Aula 3 (RM)

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ
CTC/DEC – CAMPUS SEDE
DISCIPLINA: MECÂNICA E RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
PROF. DANIEL WILLIAM
ANOTAÇÕES DE AULA
MECÂNICA E RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
MARINGÁ­PR / 2021
3) TORÇÃO (cap. 3 do Beer, pg. 195)
• T e T’ são conjugados de:
• São representados por setas curvas ou vetores 
conjugados
• Muito comum em eixos de transmissão
• Motor de carro
• Moto­bombas (irrigação)
• Turbina com gerador
• Motores elétricos
𝑇
𝑇
𝑇′𝑇′
momento de torção
momento torcional
torque
momento torsor
Juliana Braz
Juliana Braz
3.2) TENSÕES EM MEMBROS CIRCULARES SUBMETIDOS À 
TORÇÃO
• Cada força 𝑑𝐹 gera um momento 𝑑𝑀 = 𝜌 𝑑𝐹 ao redor 
do eixo longitudinal
• Porém essa equação não indica como é a distribuição 
de tensões
• Apenas as equações da estática não determinam as 
distribuições de tensão
• Deve­se estudar as deformações
𝑇 = න𝑑𝑀
𝑇 = න𝜌 𝑑𝐹
𝜏 =
𝐹
𝐴
𝜏 =
𝑑𝐹
𝑑𝐴 𝑑𝐹 = 𝜏 𝑑𝐴
𝑇 = න𝜌 𝜏 𝑑𝐴
O torque resultante vai ser a integral:
Substituindo dM, temos:
Da tensão de cisalhamento:
Substituindo dF, temos:
3.3) DEFORMAÇÃO EM EIXOS CIRCULARES
• Com a aplicação do momento torsor T, a barra sofrerá 
uma rotação, com sua extremidade livre girando um 
ângulo ϕ chamado de ângulo de torção
• Propriedade das barras circulares (cheias ou vazadas): 
quando submetida à torção, toda seção transversal 
plana permanece plana e indeformada
cada seção gira como 
um disco rígido
empenamento das 
seções transversais
Juliana Braz
Juliana Braz
Juliana Braz
Juliana Braz
• Destacando do eixo um 
cilindro de raio ρ, 
considerando o pequeno 
elemento quadrado 
formado por dois círculos 
adjacentes e duas linhas 
retas adjacentes traçadas na 
superfície do cilindro antes 
de aplicarmos o 
carregamento torcional
• O elemento deformado 
assume uma forma de um 
losango.
• A deformação por 
cisalhamento 𝛾 em um 
elemento é medida pela 
variação dos ângulos 
formados pelos lados 
daquele elemento.
• Observamos que para pequenos valores de γ podemos 
expressar o comprimento do arco AA’= ρ. ɸ e AA’= L. γ
• Eliminando 𝜙 das duas equações, podemos expressar a 
deformação de cisalhamento γ a uma distância ρ do 
eixo, como:
γ =
ρ.ɸ
L γ𝑚𝑎𝑥 =
c.ɸ
L
γ =
ρ
c γ𝑚𝑎𝑥
Juliana Braz
Juliana Braz
Juliana Braz
Juliana Braz
Juliana Braz
Juliana Braz
Juliana Braz
Juliana Braz
Juliana Braz
Juliana Braz
Juliana Braz
Juliana Braz
Juliana Braz
• No regime elástico é válida a lei de Hooke
• Podemos estabelecer uma nova relação entre o torque 
T e a tensão de cisalhamento 𝜏:
𝜏 = 𝐺 𝛾 γ =
ρ
c γ𝑚𝑎𝑥
G γ =
ρ
c G γ𝑚𝑎𝑥
𝜏 =
ρ
c 𝜏𝑚𝑎𝑥
𝑇 = න𝜌 𝜏 𝑑𝐴
𝜏 =
𝑇.𝜌
𝐽
𝐽 =
1
2 .𝜋. 𝑐
4
Momento polar de inércia de um círculo de raio c:
𝜏 =
𝜌
𝑐 𝜏𝑚𝑎𝑥
Para seção vazada:
𝐽 =
1
2 .𝜋. (𝑐𝑒𝑥𝑡
4 − 𝑐𝑖𝑛𝑡4 )
Para seção maciça:
𝑐 𝑐𝑒𝑥𝑡𝑐𝑖𝑛𝑡
(eq. 3.9)
Juliana Braz
𝐽 = 1,021 ∙ 106 𝑚4
𝑇 = 4,08 𝑘𝑁𝑚
EXEMPLO 3.1) Uma barra circular vazada de aço cilíndrica tem 1,5 m 
de comprimento e diâmetros interno e externo, respectivamente, 
iguais a 40 mm e 60 mm.
(a) Qual é o maior torque que pode ser aplicado à barra circular se a
tensão de cisalhamento não deve exceder 120 MPa?
(b) Qual é o valor mínimo correspondente da tensão de
cisalhamento na barra circular?
𝜏𝑚𝑖𝑛 = 80𝑀𝑃𝑎
Juliana Braz
Juliana Braz
Juliana Braz
Juliana Braz
Juliana Braz
𝐽𝐵𝐶 = 13,92 ∙ 10−6 𝑚4
PROBLEMA RESOLVIDO 3.1)
900𝑚𝑚
700𝑚𝑚
500𝑚𝑚
6𝑘𝑁.𝑚 14𝑘𝑁.𝑚 26𝑘𝑁.𝑚
6𝑘𝑁.𝑚
𝐴
𝐵 𝐶 𝐷
𝑑𝐵𝐶,𝑒𝑥𝑡 = 120𝑚𝑚
𝑑𝐵𝐶,𝑖𝑛𝑡 = 90𝑚𝑚
𝜏𝑎𝑑𝑚 = 65𝑀𝑃𝑎 𝑑𝐴𝐵 =? 𝑑𝐶𝐷 =?
𝜏𝐵𝐶,𝑚á𝑥 =?
𝜏𝐵𝐶,𝑚𝑖𝑛 =?
𝜏𝐵𝐶,𝑚á𝑥 = 86,2 𝑀𝑃𝑎
𝜏𝐵𝐶,𝑚𝑖𝑛 = 64,7𝑀𝑃𝑎
𝑑 = 77,8𝑚𝑚
𝐽𝐵𝐶 = 13,92 ∙ 10−6 𝑚4
PROBLEMA RESOLVIDO 3.1)
900𝑚𝑚
700𝑚𝑚
500𝑚𝑚
6𝑘𝑁.𝑚 14𝑘𝑁.𝑚 26𝑘𝑁.𝑚
6𝑘𝑁.𝑚
𝐴
𝐵 𝐶 𝐷
𝑑𝐵𝐶,𝑒𝑥𝑡 = 120𝑚𝑚
𝑑𝐵𝐶,𝑖𝑛𝑡 = 90𝑚𝑚
𝜏𝑎𝑑𝑚 = 65𝑀𝑃𝑎 𝑑𝐴𝐵 =? 𝑑𝐶𝐷 =?
𝜏𝐵𝐶,𝑚á𝑥 =?
𝜏𝐵𝐶,𝑚𝑖𝑛 =?
𝜏𝐵𝐶,𝑚á𝑥 = 86,2 𝑀𝑃𝑎
𝜏𝐵𝐶,𝑚𝑖𝑛 = 64,7𝑀𝑃𝑎
𝑑 = 77,8𝑚𝑚
3.4) ÂNGULO DE TORÇÃO NO REGIME ELÁSTICO 
• Eixo circular de raio 𝑐 e comprimento 𝐿
𝑇
𝛾𝑚á𝑥
ɸ 𝑐
𝐿
ɸ: ângulo de torção
𝛾𝑚á𝑥 =
𝑐 ɸ
𝐿
Pela lei de Hooke: 𝜏 = 𝐺 𝛾 𝜏𝑚á𝑥 = 𝐺 𝛾𝑚á𝑥 𝛾𝑚á𝑥 =
𝜏𝑚á𝑥
𝐺
𝜏 =
𝑇 𝜌
𝐽 𝜏𝑚á𝑥 =
𝑇 𝑐
𝐽
𝛾𝑚á𝑥 =
𝑇 𝑐
𝐽
𝐺
𝛾𝑚á𝑥 =
𝑇 𝑐
𝐽 𝐺
Pela distribuição de tensão de cisalhamento na seção:
(eq. 3.15)
Como 𝛾𝑚á𝑥 =
𝑐 ɸ
𝐿 e 𝛾𝑚á𝑥 =
𝑇 𝑐
𝐽 𝐺
𝑐 ɸ
𝐿 =
𝑇 𝑐
𝐽 𝐺 ɸ =
𝑇 𝐿
𝐽 𝐺
(eq. 3.16)
𝐽 = 1,021 ∙ 106 𝑚4
EXEMPLO 3.2) Qual o torque que deverá ser aplicado à extremidade 
do eixo do Exemplo 3.1 para produzir um ângulo de torção de 2°?
𝐺 = 77 𝐺𝑃𝑎
𝑇 = 1,829 𝑘𝑁.𝑚
3.5) ÂNGULO DE TORÇÃO PARA SEÇÕES E TORQUES 
VARIÁVEIS
• Condições para equação 3.16:
• Material homogêneo (G constante)
• Seção constante
• Momento torsor nas extremidades do eixo
• Para várias seções e vários torsores, dividir trechos que 
satisfaça a equação 3.16 (tanto para esforço interno, 
quanto para diferentes seções e diferentes materiais)
• Por exemplo os trechos AB, BC, CD e DE da figura 
anterior
• O ângulo de torção total é a soma algébrica dos ângulos 
de torção de cada trecho
ɸ =
𝑇 𝐿
𝐽 𝐺
(eq. 3.16)
𝐴
𝐵 𝐶 𝐷 𝐸
ɸ𝐴𝐵 = ɸ𝐴𝐵 + ɸ𝐵𝐶 + ɸ𝐶𝐷 + ɸ𝐷𝐸
ɸ =෍
𝑇𝑖 𝐿𝑖
𝐽𝑖 𝐺𝑖
(eq. 3.17)
𝑇𝑖 : esforço interno de torção para cada trecho
𝐿𝑖 : comprimento de cada trecho
𝐽𝑖 : momento de inércia polar para cada trecho
𝐺𝑖 : módulo de elasticidade transversal para cada trecho
Juliana Braz
Juliana Braz
Juliana Braz
Juliana Braz
Juliana Braz
Juliana Braz
• OBS: convenção de sinal para momento torsor (T) e 
ângulo de torção (ɸ) seguem a regra da mão direita
𝑇𝑇
𝑇
𝑇
Sentido positivo: vetor representante do momento torsor “saindo” da seção
+
Juliana Braz
Juliana Braz
Juliana Braz
Juliana Braz
𝐽𝐵𝐶 = 1,5708 ∙ 10−8 𝑚4
EXEMPLO)
𝐺 = 80 𝐺𝑃𝑎
𝑑 = 20𝑚𝑚
ɸ𝐷 =?
2,0𝑚
150 𝑁.𝑚
𝐴 𝐵 𝐶 𝐷
1,0𝑚 1,0𝑚
60 𝑁.𝑚 10 𝑁.𝑚
ɸ𝐷 = −6,3662 ∙ 10−2 𝑟𝑎𝑑 = −3,646°
𝐽𝐵𝐶 = 1,5708 ∙ 10−8 𝑚4
EXEMPLO)
𝐺 = 80 𝐺𝑃𝑎
𝑑 = 20𝑚𝑚
ɸ𝐷 =?
2,0𝑚
150 𝑁.𝑚
𝐴 𝐵 𝐶 𝐷
1,0𝑚 1,0𝑚
60 𝑁.𝑚 10 𝑁.𝑚
ɸ𝐷 = −6,3662 ∙ 10−2 𝑟𝑎𝑑 = −3,646°
3.6) TORÇÃO EM BARRAS DE SEÇÃO NÃO CIRCULAR
• Seção circular se mantém plana em eixos circulares
• Em seções não circulares as seções transversais se 
entortam (empenam)
• Distribuição das tensões na seção não circular não são 
lineares com a distância do eixo longitudinal
• Cálculo da distribuição das tensões de cisalhamento 
está além do objetivo da disciplina e é estudado na 
teoria da elasticidade (Timoshenko)
• Maneira de compreender a distribuição das tensões em 
torção de eixo não circular pode ser feita pela analogia 
à análise de membrana de Prandtl
𝑇
ɸ
𝐿
𝜏𝑚á𝑥 =
𝑇 𝑐
𝐽ɸ =
𝑇 𝐿
𝐽 𝐺
𝑇
𝜏 =
𝑇 𝜌
𝐽
Juliana Braz
• A tensão de cisalhamento é nula nos vértices
• Maior tensão de cisalhamento ocorre na linha central 
da lateral de maior dimensão
• Distribuição de tensão não é linear ao longo de seção
• Tensão no eixo longitudinal é nula
• Cálculo do valor da máxima tensão de cisalhamento 
(𝜏𝑚á𝑥 ) e do ângulo de torção (ɸ) para uma seção 
retangular podem ser obtidos pelas equações e tabela 
abaixo
𝑎
𝑏
𝐿
𝑎 : lado maior
𝑏 : lado menor
𝜏𝑚á𝑥 =
𝑇
𝑐1 𝑎 𝑏2
ɸ =
𝑇 𝐿
𝑐2 𝑎 𝑏3 𝐺
Para 𝑎/𝑏 ≥ 5, podemos utilizar:
𝑐1 = 𝑐2 =
1
3 1− 0,630
𝑏
𝑎
(eq. 3.43)
(eq. 3.44)
Obs: fazer interpolação linear para 
valores de a/b intermediários da tabela
Juliana Braz
Juliana Braz
• Para seção quadrada, triangular ou elíptica pode ­se 
utilizar a tabela a seguir (pontos de 𝜏𝑚á𝑥 destacados)
Quadrada
Triangular
Elíptica
𝑎
𝑎
𝑎𝑎
𝑎
𝑎 𝑎
𝑏
𝑏
Formato da seção 
transversal
𝜏𝑚á𝑥
4,81 𝑇
𝑎3
20 𝑇
𝑎3
2 𝑇
𝜋 𝑎 𝑏2
ɸ
7,10 𝑇 𝐿
𝑎4 𝐺
46 𝑇 𝐿
𝑎4 𝐺
𝑎2 + 𝑏2 𝑇 𝐿
𝜋 𝑎3 𝑏3 𝐺
Fonte: adaptado de R.C. Hibbeler, Resistência dos Materiais 5ª 
edição, São Paulo, Prentice Hall, 2004
𝑇𝑞𝑢𝑎𝑑 = 532𝑁.𝑚
PROBLEMA RESOLVIDO3.9) Utilizando 𝜏𝑎𝑑𝑚 = 40𝑀𝑃𝑎, determine o 
maior torque que pode ser aplicado a cada uma das barras de latão. 
Note que as barras têm a mesma área.
𝑇𝑟𝑒𝑡 = 414 𝑁.𝑚
3.6.1) TORÇÃO EM PERFIS ABERTOS DE PAREDES FINAS
• Para perfis abertos de paredes finas e de espessura 
constante, a máxima tensão de cisalhamento é igual a 
tensão máxima para barra retangular de grande relação 
𝑎/𝑏
Para 𝑎/𝑏 ≥ 5, podemos utilizar:
𝑐1 = 𝑐2 =
1
3 1− 0,630
𝑏
𝑎
Juliana Braz
Juliana Braz
Juliana Braz
Juliana Braz
Juliana Braz
Juliana Braz
Juliana Braz
𝑇 = 889,2𝑁.𝑚
ɸ = 8,77°
Juliana Braz
Juliana Braz
Juliana Braz
Juliana Braz
Juliana Braz
Juliana Braz
Juliana Braz
3.6.1) TORÇÃO EM EIXOS VAZADOS DE PAREDES FINAS
• Vimos anteriormente que seções não circulares requerem 
modelos matemáticos avançados (tabelas)
• No entanto, se essas seções forem vazadas com uma 
pequena espessura, pode­se obter uma boa aproximação 
com um cálculo simples
• “Em uma barra cilíndrica vazada de seção não ­circular de 
espessura t fina, submetida a torção, as tensões de 
cisalhamento nos pontos de uma mesma espessura, são
representadas por um valor médio da tensão de 
cisalhamento.”
• Considerações:
I. Seção transversal qualquer fechada;
II. Espessura t pequena em comparação com as dimensões do eixo;
III. Espessura t pode variar na seção transversal
IV. Mesma seção transversal ao longo do eixo longitudinal
• A tensão de cisalhamento em qualquer ponto da parede 
pode ser expressa por:
𝒜
𝑡
𝜏 =
𝑇
2 𝑡 𝒜
(eq. 3.53)
𝑡 : espessura da parede no ponto considerado
𝒜 : é a área limitada pela linha de centro
Em que:
Juliana Braz
Juliana Braz
Juliana Braz
Juliana Braz
Juliana Braz
Exemplo 3.10) Uma barra de alumínio de seção transversal vazada 
retangular que mede 64 mm  100 mm foi fabricada por extrusão. 
Determine a tensão de cisalhamento em cada uma das quatro paredes 
da barra quando ela é submetida a um torque de 2,7 kN.m, supondo:
a) Uma espessura de parede uniforme de 4 mm 
b) Que, como resultado de um defeito de fabricação, as paredes AB e 
AC têm espessura de 3 mm, e as paredes BD e CD têm espessura de 
5mm
𝜏 = 58,6 𝑀𝑃𝑎
𝜏𝐴𝐵 = 𝜏𝐴𝐶 = 78,1𝑀𝑃𝑎
Juliana Braz
Juliana Braz
Juliana Braz
Juliana Braz
Juliana Braz
Juliana Braz
Juliana Braz
Juliana Braz
Juliana Braz
3.7) PROJETO DE EIXOS DE TRANSMISSÃO
• Especificações no projeto de um eixo de transmissão: 
potência e ser transmitida e velocidade de rotação do 
eixo
• A potência associada à rotação de um corpo rígido 
submetido a um torque T é
• A velocidade angular de um corpo se relaciona com sua
frequência de rotação na seguinte forma
• Se utilizadas unidades no SI, potência é expressa em 
N.m/s, ou seja, watts (W)
• Dessa forma, obtemos o torque T aplicado em um eixo,
quando ele transmite uma potência 𝑃 a uma frequência 
de rotação 𝑓
𝑃 = 𝑇 𝜔
𝜔 : velocidade angular do corpo [rad/s]
𝜔 = 2 𝜋 𝑓
𝑓 frequência de rotação [1/s = Hz]
Em que:
Em que:
𝑃 = 2 𝜋 𝑓 𝑇 (eq. 3.20)
𝑇 =
𝑃
2 𝜋 𝑓 (eq. 3.21)
Juliana Braz
Juliana Braz
Juliana Braz
Juliana Braz
Juliana Braz
Exemplo 3.6) Qual a dimensão do diâmetro do eixo que deverá ser 
utilizado para o rotor de um motor de 5 hp que opera a 3600 rpm, se a 
tensão de cisalhamento não deve exceder 60 MPa no eixo?
1 ℎ𝑝 = 746 𝑊 𝑇 = 9,89 𝑁.𝑚
𝑑 = 9,4 𝑚𝑚
3.8) CONCENTRAÇÃO DE TENSÕES EM EIXOS CIRCULARES
• Na prática, os torques são geralmente aplicados ao eixo 
por meio de acoplamentos com flange ou engrenagens 
conectadas ao eixo por chavetas
• No caso de um eixo com uma mudança abrupta no 
diâmetro de sua seção transversal, as concentrações de 
tensão ocorrerão próximas da descontinuidade
• Essas tensões podem ser reduzidas com o adoçamento 
do ângulo
• O valor máximo da tensão de cisalhamento no 
adoçamento pode ser expresso como:
• Em que a tensão é calculada para o menor diâmetro do 
eixo, e K depende da geometria
𝜏𝑚á𝑥 = 𝐾
𝑇 𝑐
𝐽
Coeficientes de concentração de tensão para 
adoçamentos em eixos circulares (no regime linear)
Juliana Braz
Juliana Braz
Juliana Braz
Problema resolvido 3.6) Verifique a máxima potência que o eixo pode 
transmitir. Caso o raio do adoçamento seja aumentado para 24 mm, 
qual será a potência máxima? 1 ℎ𝑝 = 746 𝑊
𝐾 = 1,33
𝑃 = 878 ℎ𝑝
𝑓 = 900 𝑟𝑝𝑚
𝜏𝑎𝑑𝑚 = 55𝑀𝑃𝑎
𝑃𝑚á𝑥 = ?
𝐾 = 1,19
𝑃 = 981 ℎ𝑝
𝑇 = 6 955𝑁.𝑚
𝑇 = 7 762𝑁.𝑚
Problema resolvido 3.6) Verifique a máxima potência que o eixo pode 
transmitir. Caso o raio do adoçamento seja aumentado para 24 mm, 
qual será a potência máxima? 1 ℎ𝑝 = 746 𝑊
𝐾 = 1,33
𝑃 = 878 ℎ𝑝
𝑓 = 900 𝑟𝑝𝑚
𝜏𝑎𝑑𝑚 = 55𝑀𝑃𝑎
𝑃𝑚á𝑥 = ?
𝐾 = 1,19
𝑃 = 981 ℎ𝑝
𝑇 = 6 955𝑁.𝑚
𝑇 = 7 762𝑁.𝑚