aula6 (4)

Prévia do material em texto

6ºAula
Formalismo integral para 
volume de controle
Objetivos de aprendizagem
Ao término desta aula, vocês serão capazes de:
• compreender o formalismo integral para um volume de controle;
• aprender sobre a aplicação do teorema do transporte de Reynolds.
Nesta aula, estudaremos o formalismo diferencial para 
uma partícula fluida, obtendo as equações gerais, as equações 
de Navier-Stokes e faremos aplicação dessas equações em 
alguns problemas.
Bons estudos!
42Fenômenos de transportes
1 – Equação Básica para Volume de Controle
2 – Aplicações em problemas
1 - Introdução às equações de Navier-
Stokes
O foco no presente estudo serão os elementos 
infi nitesimais ou a análise de ponto em um campo de 
escoamento. Propriedades como a conservação de massa 
serão explanadas nesse intuito, aplicando volume de controle 
retangulares e cilíndricas.
Infi nitesimal, e neste estendendo sobre os campos 
defi nidos em coordenadas espaciais em relação ao tempo, 
denotando cada propriedade em diferenciais parciais. 
Então, no momento defi niremos os casos mais comuns, em 
coordenadas.
Figura 6.1 - Representação gráfi ca de coordenadas 
retangulares em um elemento infi nitesimal com suas 
respectivas direções u, v e w.
 Fonte: Elaborado pelo autor.
Em coordenadas retangulares de elementos infi nitesimal, 
admite-se a existência de um cubo na mesma proporção, com 
lados e , de velocidade em cada componente 
 denotada por e . Assim:
Para generalizar a massa específi ca no ponto de 
executa-se a Série de Taylor para o centro do cubo:
Essa é a massa específi ca para uma das superfícies, e por 
se tratar de uma propriedade em particular em uma superfície 
também particular, as derivadas originais da Série de Taylor 
são substituídas por derivadas parciais.
Quanto mais termos são somados à Série, maior é a 
precisão do resultado, para uma precisão razoável os dois 
Seções de estudo
primeiros termos podem ser considerados. Essas ponderações 
aplicadas conjuntamente a componente de velocidade no 
eixo : 
E:
Em todas as superfícies podemos ditar o fl uxo 
pela superfície de controle sabendo as velocidades e as 
massas específi cas, além do elemento de área da 
superfície representada pelas diferenciais laterais do cubo 
. Na esquerda de :
Na direita de :
Na superfície inferior:
Na superfície superior:
Na superfície posterior:
Na superfície frontal:
Somando todas as superfícies, para encontrar o fl uxo 
total pela superfície de controle, cancelando os termos de 
acordo com a convenção de sinais do vetor de :
43
Em diferenciais parciais ou diferenciais de variáveis 
múltiplas, as diferenciais da função de variáveis são a soma 
das diferenciais de cada variável com as restantes constantes. 
Portanto: 
Segundo a Lei da Conservação de Massa, a somatória da 
massa contida no volume de controle e a quantidade no fluxo 
pela superfície de controle têm de ser zero. Como já foi obtido 
a quantidade de massa fluida, resta a contida, esta por sua vez, 
é o produto entre a massa específica (massa por unidade de 
volume) e o volume , cancelando os respectivos, e 
restando a própria massa (tal método é apenas uma forma de 
denotar diferencialmente).
Desse modo:
E:
A área pode ser expressa por um operador vetorial, 
expressando em vetores unitários cada variação infinitesimal 
no eixo, onde o módulo fornece o valor “real” da área. No 
caso, não visualizados os vetores unitários, onde a direção está 
implícita pelas velocidades e . Logo, visualizado através 
do operador vetorial gradiente:
E:
Na situação de um escoamento permanente:
E no incompressível:
Fica assim, deduzida a conservação de massa em um 
sistema de coordenadas retangulares.
Coordenadas Cilíndricas
O sistema cilíndrico é distinto, mas completamente 
análogo ao sistema retangular. As alterações pertinentes 
constam nas direções. O representa o comprimento até o 
centro da superfície , o representa o ângulo formado pelo 
eixo central do semicírculo plano das superfícies circulares 
do objeto cilíndrico com o eixo e , o perfil das linhas de 
projeção da superfície lateral do cilindro no plano horizontal.
De modo mais repentino, o fluxo de massa é dado pela 
equação abaixo, encontrada pelo mesmo método anterior, pela 
determinação dos primeiros termos da Série de Taylor para a 
velocidade e a massa específica, aplicando-os posteriormente 
na equação para o fluxo pela superfície de controle.
Figura 6.2 - Coordenadas cilíndricas. Fonte: Elaborado pelo autor.
Como o volume é , a massa no volume de 
controle é (o tempo denota o fluxo da mesma contida no 
volume):
Aceleração Adquirida por uma Partícula 
Da base de estudo da Mecânica dos Fluidos, a ideia de 
campo de velocidade é deduzida e empregada diversas vezes 
ao longo do avanço quase pragmático de novas aplicações e 
considerações internas e externas de (em geral na dinâmica) 
escoamentos. Neste instante, formulações matemáticas serão 
propostas com intuito de adquirir velocidade e aceleração 
partindo do pressuposto indivisível, partícula em diferenciais 
no espaço tridimensional.
O campo de velocidade apropriado ao deslocamento 
de uma partícula é descrito na forma vetorial, em função das 
coordenadas espaciais e do tempo, mas deslocando-se , 
e , no intervalo de tempo 
Figura 6.3- Movimento de uma partícula nos instantes e 
num campo de escoamento
 Fonte: Elaborado pelo autor.
44Fenômenos de transportes
Isto posto, segue-se:
Adotando-se um referencial para o deslocamento, como 
o centro dos eixos coordenados, em um certo instante , 
chamado de , e em , chamado de , a velocidade 
nas mesmas dimensões de deslocamento é a diferencial 
da própria. Para tanto, constando mais de uma variável na 
função em tratamento, é necessário diferenciar parcialmente 
o segundo membro. Nessa situação:
A aceleração é obtida pelo simples quociente 
incorporado na equação, resultando na velocidade em cada 
componente. Veja:
Para meio contínuo, a partícula recebe denotação 
experimental. Portanto, além de expressar uma derivada 
material, também pode signifi car uma generalização do 
deslocamento da própria. Tal notação é a seguinte:
Nesse caso, tanto para um escoamento permanente, 
quanto para um não permanente, a dedução da derivada 
material é válida, para a qual, no último caso, são representadas 
as alterações de velocidade no campo através de 
, a aceleração local (diferente do espaço anterior, defi nida 
coordenadas espaciais de aceleração).
Resumidamente, a diferenciação parcial para vetores não 
direcionados perpendicularmente aos eixos, são expressos 
por meio da decomposição de cada variável (com as restantes 
constantes) para cada um dos eixos, porém, há outro método 
de expressar a chamada aceleração convectiva, isto é, a 
aceleração de componentes de velocidade e , sendo 
por meio do produto escalar da própria função (velocidade) 
com o operador vetorial gradiente, responsável somente 
pela variação diferencial em cada eixo, tudo multiplicado 
pelo vetor que demonstra o sentido da tangente do campo 
de escoamento, participando da relação, a inclinação da 
tangente por meio do produto escalar. Logo, o operador 
vetorial gradiente, é um modo de observação mais rápido da 
velocidade tangente às linhas de corrente por meio de uma 
projeção e a adoção de vetor unitário.
Expressando essa ideia matematicamente, com a 
velocidade em seu módulo e sentido, o unitário torna-se a 
mesma função . Partindo do pressuposto e relembrando a 
propriedade escalar do operador vetorial gradiente:
Temos a aceleração convectiva (aceleração relacionada 
ao movimento em três dimensões, sem mudanças locais de 
velocidade) escrita como:
Logo:
Respectivamente estão dispostas as equações 
particularizadas para um escoamento bidimensional 
, unidimensional e permanente 
em três dimensões de :
A presente formulação é decomposta em componentes, 
onde cada um pode ser expresso separadamente, isto é, os 
escalares. Basta adotar a velocidade correspondente à direção 
e a diferenciarem cada eixo e na aceleração local. 
Abaixo, está descrita a formulação anterior:
E com a aplicação da diferenciação de diversas variáveis 
independentes para cada componente escalar, tendo e 
por diferenciais de cada eixo, a aceleração do ponto no eixo 
é a diferenciação das velocidades e em relação a cada 
eixo: 
45
A obtenção das equações para coordenadas cilíndricas 
são equivalentes, de demonstração distinta em termos de 
velocidade, não sendo necessária uma dedução desde o início. 
Suas equações enquadram em coordenadas polares de 
constante e variação e .
Portanto, realizando trocas nas Equações em variáveis 
cilíndricas:
Essa foi a descrição através do método Euleriano, 
mostrando a aceleração para qualquer ponto. Na descrição 
Lagrangeana, a partícula no espaço e seu deslocamento são 
descritos em relação ao tempo.
Dedução das equações de Navier-Stokes:
Suposições básicas foram adotadas desde o início como, 
por exemplo, o fluido não conter vazios, bolhas, ou partículas 
excedentes (além das fluídicas), suas propriedades serem 
diferenciáveis e contínuas. Esta última condição inclusive 
(em aplicações tridimensionais), juntamente ao possível 
resultado infinito, foi em maio de 2000, discussão de prêmio 
de valor 1.000.000 U$ pelo Instituto de matemática Clay. 
Além destas, há outras condições que na realidade tratam-
se de simplificações, este é o caso da análise em diferenciais 
lineares, transformada a resolução de uma situação não real, 
proximamente certa e menos complexa. Influenciando nesse 
quesito também, é claro, o caso de um regime turbulento, 
identificado pelo número de Reynolds. 
As aplicações das Equações a serem discutidas são diversas 
em importantes campos da ciência, como na observação 
do fenômeno do El Niño, fluxos da água, movimento 
das estrelas, propagação da fumaça, ou mais aplicadas à 
Engenharia, como o projeto de usinas, construções havendo 
interação suficientemente complexas com fluidos, estudos 
na magnetodinâmica, além de várias outras aplicações, onde 
podem ser tão fundamentais como as Equações de Maxwell.
A Equação de Cauchy não é suficiente para solucionar 
grande parte dos problemas, isso porque a quantidade de 
incógnitas é superior à quantidade de equações disponíveis 
até o momento. Têm-se como incógnitas as tensões viscosas 
e, a velocidade em cada uma de suas componentes, além da 
massa específica. Então, o primeiro passo adiante na dedução 
da Equação de Navier-Stokes é a dedução das denominadas 
equações constitutivas, as responsáveis pela validade no que 
se refere à resolução da equação de várias incógnitas, e por sua 
vez, irá propiciar o tensor tensão em termos calculáveis.
Para fluido em repouso as únicas forças atuantes é a 
pressão hidrostática em cada face do elemento agindo do meio 
externo para o interno. Assim sendo, a pressão hidrostática 
 terá sendo negativo em cada eixo coordenado (Figura 
6.4). 
Figura 6.4 – Num fluido em repouso a única tensão é a 
pressão hidrostática, perpendicular as superfícies e do sentido 
externo para o interno.
Fonte: Elaborado pelo autor.
Matricialmente as tensões no elemento de fluido são 
formadas pelas tensões de pressão e pelas tensões viscosas. 
Em um fluido estático, há somente tensões de pressão 
negativa, mas no elemento fluido em movimento, existem 
também as tensões cisalhantes e as tensões normais. E desse 
modo, determina-se a matriz:
Dependendo da massa especifica ser constante 
ou variável, por consequência das Leis Termodinâmicas, 
classifica-se como pressão mecânica ou como pressão 
termodinâmica. Para constante, tem-se a pressão mecânica 
como a média das tensões de pressão, veja:
É de importância relatar, toda via, que a pressão mecânica 
não é igual a pressão termodinâmica.
A dedução em sua totalidade será centrada, neste instante, 
em fluidos newtonianos, nos quais a tensão de cisalhamento 
é proporcional à taxa de deformação de cisalhamento, ao 
contrário dos fluidos não newtonianos, como soluções de 
polímero, sangue, pasta, etc. Há também, outros fluidos como 
os pseudoclássicos, os plásticos (plástico de Bingham), em que 
46Fenômenos de transportes
as relações entre taxa de deformação e tensão de cisalhamento 
variam (pasta de dente, cremes, areia movediça, são alguns 
exemplos).
 Várias são as variáveis, inclusive a variável até então 
desconhecida , e necessário identifi cá-las. Se considerar um 
fl uido newtoniano, será preciso basicamente aplicar a Lei de 
Newton da Viscosidade, tanto para as tensões cisalhantes 
como para as tensões normais e estas formam o tensor tensão, 
dividido na parte estática e na parte dinâmica.
Primeiramente, é mais conveniente tratar o tensor tensão 
por , a título de diferenciação das demais simbologias. E 
consequentemente:
Com , designando a hidrostática e a 
hidrodinâmica. Isto feito, a função torna-se mais simplifi cada 
visualmente, idem a aplicação da matriz identidade negativa 
de . Resultando em: 
A taxa de deformação linear, volumétrica, de 
cisalhamento, as tensões dinâmicas são descritas por na 
equação:
Nesta, é a deformação volumétrica e é a taxa 
de deformação em função da velocidade e suas variações 
no espaço. Combinando à Equação 4-58 são dadas estas 
variações:
Em e , conhecendo-se a velocidade em 
todas as direções, tem-se em diferenciais parciais:
Sob condições específi cas de compressibilidade 
e temperatura, em um escoamento incompressível e 
isotérmico, por exemplo, podem ser consideradas constantes 
a viscosidade dinâmica . Não é necessário incorporar 
diferencial de energia, e num fl uido estável, a deformação 
volumétrica é nula. Portanto, para somente as 
tensões normais, o termo das Equações anteriores é 
algebricamente desconsiderado. Desse modo:
Se concebermos :
Se apropriando de todas as componentes da equação 
acima e substituindo em cada componente da Equação de 
Cauchy representada já prontamente no tópico de dedução 
através da Segunda Lei de Newton e a escrevendo de modo 
simplifi cado, por meio da aplicação do Operador Laplaciano, 
obtêm-se fi nalmente as Equações de Navier-Stokes. 
Dessa maneira: 
Adicionando-se o diferencial em relação à pressão 
estática, pois acima temos apenas as tensões do elemento de 
fl uido em movimento:
Realizando a reposição das equações de tensões 
(primeiramente em ):
47
Posicionando em evidência a diferenciação de velocidade 
para a equação da continuidade, possível através da 
propriedade da classe de funções suaves, na qual diz a função 
ser diferenciável em todas as ordens, a ordem de derivação 
não importa, resultamos na equação:
Para a Equação da Continuidade em seu termo variável de 
velocidade identificada no terceiro termo do lado esquerdo da 
equação acima, o seu valor é nulo, de acordo com o princípio 
básico de escoamento incompressíveis (previsto na dedução) 
e é verificado também o termo do operador Laplaciano, sendo 
basicamente um operador vetorial gradiente ao quadrado. 
Logo:
De : 
Assim, para as componentes restantes:
Ou de forma geral:
Essa é a Equação de Navier-Stokes. Nome em 
homenagem ao engenheiro francês Louis Marie Henri Navier 
(1785-1836) e ao matemático inglês Sir George Gabriel 
Stokes (1819-1903), pois ambos a desenvolveram. É preciso 
ainda solucioná-la (há quatro incógnitas), o que fez muitos 
pesquisadores dedicarem as suas carreiras a resolver uma 
equação de gigantesca importância na mecânica dos fluidos.
As equações de Navier-Stokes em coordenadas cilíndricas
As componentes e são velocidades nas 
coordenadas cartesianas. Para expressar toda a Equação de 
Stokes desse modo, simplesmente substitui-se as referidas 
componentes em para e . 
Para as respectivas e a equação da continuidade 
incompressível:
Figura 6.5 – Coordenadas Cilíndricas.
 
Fonte: Elaborado pelo autor.
Com o intuito de obter a velocidade do ponto (Figura 
6.5) em , admite-se o deslocamento espacial em cada 
direção, de acordo o ângulo , obtendo e , sendo 
a distância do ponto aos eixos. Em termos da equaçãoda continuidade, há vários modos de obtê-la, uma delas é 
transformando os elementos cartesianos por equações obtidas 
pela Figura 6.5. E estas equações são:
Cambiando as equações acima em relação às deduções 
das equações cartesianas da continuidade, são justapostos 
os termos de velocidade nos eixos, relativos às coordenadas 
acopladas no plano cilíndrico, é suficiente realizar as operações 
de acordo a Figura 6.5. Assim, estas são as equações da 
continuidade em coordenadas cilíndricas (demonstradas 
inicialmente):
Faz-se então no momento a necessidade de aplicar 
o laplaciano vetorial em coordenadas cilíndricas, onde 
um operador designa a aplicação do laplaciano em cada 
componente. Utilizando o rotacional, ou seja, o produto 
48Fenômenos de transportes
vetorial do laplaciano com as componentes. E, o diferencial 
de velocidade em relação ao tempo (aceleração da partícula,) é 
denotado também nas coordenadas cilíndricas.
2 - Aplicações em problemas
Problema - Escoamento Laminar e Permanente Entre 
Placas Paralelas 
No deslocamento de uma partícula, na direção paralela 
às placas, o movimento ocorre apenas em 
. Sendo permanente . Na condição de 
incompressível, a variação da massa é nula, por isso o 
lado esquerdo da equação de Navier-Stokes é nula e, para 
viscosidade, há o coefi ciente e o diferencial em relação ao eixo 
coordenado no plano. 
Dito isto: 
Em :
Em :
Integrando a Equação:
Onde em consta uma variável de pressão dada 
uma altura. Integrando a Equação:
Integrando uma segunda vez:
Da condição de não escorregamento, e 
, têm-se as condições de contorno:
Substituindo na Equação:
Este é o perfi l da parábola do campo de velocidade. E a 
vazão entre as placas é a integral de limite nas alturas 
e . Veja:
O negativo acima decorre da queda de pressão ao longo 
do escoamento, por suas tendências dissipativas. Sem os 
termos diferenciais da expressão acima, a equação se torna:
Substituindo a vazão da velocidade média do escoamento 
por , onde é a distância vertical:
De:
Tem-se em , ponto central em um volume de 
raio , a velocidade máxima, devido a sofrer menos variações 
de fl uxo nesse ponto em relação a pontos mais próximos da 
parede. Logo, a Equação 4-94:
Com essa solução analítica da equação de Navier-
Stokes, relativamente simples, é possível num escoamento 
laminar, calcular a vazão em volume, o perfi l de velocidade, 
a velocidade média do escoamento ou a pressão no fl uido, 
partindo de um ponto de referência e da pressão nesse ponto.
Retomando a aula
1 – Introdução às equações de Navier-Stokes
O formalismo diferencial para análise de uma partícula 
fl uida, obtém as equações de Navier-Stokes que são as 
equações mais gerais sobre a dinâmica de fl uidos, são de 
extrema relevância para o desenvolvimento da mecânica de 
fl uidos.
2 – Aplicações em problemas
Foram apresentadas aplicações do formalismo diferencial, 
aplicação das equações de Navier-Stokes em problema de 
escoamento.
49
Artigo- https://periodicos.furg.br/vetor/article/
view/6143.
Vale a pena acessar
Equação de Navier-Stokes. Disponível em: https://
www.youtube.com/watch?v=FLoZODPpayM.
Vale a pena assistir
Minhas anotações