FENÔMENOS DE TRANSPORTE 2

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FENÔMENOS DE TRANSPORTEFENÔMENOS DE TRANSPORTE
PROPRIEDADES EPROPRIEDADES E
ESTÁTICA DOS FLUIDOSESTÁTICA DOS FLUIDOS
Autor: Me. Rafaela Fi lomena Alves Guimarães
IN IC IAR
introdução
Introdução
Nesta unidade, serão apresentados conceitos relativos à medição de pressão e
instrumentos de medida para podermos mensurar o escoamento dos �uidos e
depois classi�cá-los em relação, por exemplo, aos tipos de regime: se um �uido
possui regime de �uxo variado ou permanente, ou se o �uxo pode ser classi�cado
como laminar, de transição ou turbulento.
Essa classi�cação é feita por meio do número de Reynolds. Estudaremos também os
conceitos de vazão mássica e volumétrica que serão úteis para podermos calcular a
velocidade. Compreenderemos o princípio da conservação de massa e como
podemos, por meio de um tubo de Venturi, utilizar essa con�guração para alterar a
velocidade de um �uido de maneira simples e e�ciente.
Finalmente, estudaremos a equação de conservação de energia e os vários tipos de
energia que um �uido em movimento pode despender como a energia potencial, a
cinética e a energia de pressão.
O estudo será seguido de atividades práticas para que o aluno possa perceber a
vantagem da utilização dessas equações para tornar o cálculo simples e preciso.
Esses cálculos são muito empregados em líquidos incompressíveis, como a água.
Bons estudos!
A pressão é uma das características mais importantes em se tratando de fenômenos
de transporte e escoamento de �uidos. Por isso, precisamos ter a certeza de que
estamos utilizando o medidor certo e estamos medindo exatamente a pressão da
tubulação que nos interessa.
Escalas de Pressão
Quando uma pressão é medida, em relação ao vácuo ou ao zero absoluto, temos o
que chamamos de “pressão absoluta”. Já quando uma pressão é medida, em relação
à pressão atmosférica (o nível de referência mais comum), chamamos de “pressão
efetiva”, e a relação entre essas pressões é dada por:
 (Equação 2.1)
“A maioria dos medidores de pressão indica uma diferença de pressão – a diferença
entre a pressão medida e aquela do ambiente (usualmente a pressão atmosférica).
Os níveis de pressão medidos em relação à pressão atmosférica são denominados
de pressões manométricas” (FOX et al., 2010, p. 90). Uma pressão negativa é
também referida como vácuo.
Medições eMedições e
Medidores deMedidores de
PressãoPressão
= +pabs patm pef
Além disso, para sabermos se um manômetro está marcando a pressão efetiva,
basta que ele seja submetido a um teste simples: medimos a pressão atmosférica.
Se a marcação for igual a zero (ao nível do mar), ao instalarmos esse equipamento
na tubulação, esse marcará a pressão efetiva. A Figura 2.1 ilustra a Equação 2.1:
Podemos medir pressões em várias unidades, e algumas relações entre essas
unidades é dada por:
1 kgf/cm² = 10 kgf /m² = 9,8 x 10 Pa = 0,98 bar = 14,2 psi.
1 atm = 760 mmHg = 101.230 Pa = 101,23 kPa = 10.033 kgf/m² = 1,033
kgf/cm² = 1,01 bar = 14,7 psi = 10,33 mca
1,01 bar = 14,7 psi = 10,33 mca
Ainda assim, é possível medir a pressão em mmHg (milímetros de coluna de
mercúrio) ou mca (metros de coluna-d’água) e transformar o valor medido para kPa,
por exemplo.
Figura 2.1 - Escala mostrando as pressões absoluta, efetiva e atmosférica
Fonte: Fox et al. (2010, p. 91).
4 4
Medidores de Pressão
As pressões ou depressões (pressões negativas) são medidas pelos manômetros
que podem ser de uso industrial como os manômetros:
Metálico ou de Bourdon.
Strain-gages.
Transdutores piezelétricos.
O manômetro metálico ou de Bourdon é o mais utilizado industrialmente e está
representado na Figura 2.2. Ele mede a pressão por meio da deformação do tubo
elástico localizado no interior de (em nosso exemplo) um tubo metálico. Ao ligarmos
o manômetro, o tubo elástico é submetido à pressão que queremos medir,
deformando, assim, o tubo elástico, e, através de um sistema de engrenagens
(Figura 2.3), acionando o ponteiro, indicando a pressão da tubulação em que o
equipamento foi instalado.
Figura 2.2 - Manômetro instalado em ambiente industrial. Esse manômetro mede
uma pressão de 0 a 1 MPa
Fonte: anita_starzycka / Pixabay.
Também temos os manômetros chamados de transdutores de pressão, ou de strain-
gages, que funcionam por meio de um diafragma que se curva entre duas câmaras
abertas para as entradas de pressão e os transdutores piezelétricos que funcionam
de acordo com o princípio de que um potencial elétrico é gerado em uma substância
cristalina quando ela é submetida à pressão mecânica.
Os manômetros industriais são projetados para medir até ¾ ou 75% da sua escala.
Nunca devemos con�ar na leitura de um equipamento que está com o ponteiro
apontando para o fundo de escala, pois a medição pode ser dezenas de vezes
superior ao número que está no visor, simplesmente porque o aparelho não tem
capacidade de realizar a medição que queremos.
Figura 2.3 - Vista interna e partes constituintes de um manômetro metálico
Fonte: DStaiger / Wikimedia Commons.
Já os manômetros piezométricos e com tubo em U são muito utilizados para a
realização de experimentos em laboratório ou a medição de grandes reservatórios,
em que o controle por meio de uma coluna-d’água é a melhor forma de obtermos
informações sobre um reservatório. Essa técnica utiliza colunas de líquido verticais
ou inclinadas. Os três tipos mais utilizados são:
Tubo piezométrico.
Manômetro em U.
Tubo inclinado.
Tubo Piezométrico
O manômetro de coluna piezométrica consiste em um tubo de vidro que, ligado a
um reservatório, permitindo medir diretamente a carga de pressão. Esse
manômetro é usado para medir pequenas pressões devido à limitação da altura do
tubo de vidro. Também não pode ser utilizado para medir pressões de gases e
pressões negativas.
Esse manômetro indicará uma leitura dada pela fórmula
 (Equação 2.2)
saibamais
Saiba mais
Agora, assista ao vídeo em que se explicam as
partes constituintes de um manômetro, bem
como quais os requisitos que necessitamos saber
para especi�car esse equipamento, desde
detalhes construtivos até tipo de conexão:
ASS IST IR
p = + γ. hp0
sendo que é a pressão atmosférica, é o peso especí�co e h é a altura da coluna
do �uido. “Essa equação fornece a pressão gerada por qualquer coluna de �uido
homogêneo em função da pressão de referência e da distância vertical entre os
planos que apresentam p e ” (MUNSON; YOUNG; OKIISHI, 2004, p. 45).
Manômetro com o Tubo em U
O manômetro com tubo em U é muito utilizado em laboratórios e pode ser visto
na Figura 2.4. O �uido que está em seu interior é denominado �uido manométrico.
Também podemos instalar dois recipientes com líquidos diferentes no lugar das
saídas da tubulação aberta em A e B. A equação desse tipo de con�guração é dada
por:
 (Equação 2.3)
Na Figura 2.4, temos dois �uidos diferentes (o ar e o mercúrio), então a equação de
pressão será dada por:
p0 γ
p0
p0
− = Δp = ρ. g. hPfinal(A) Pinicial(B)
 (Equação 2.4)
Em que a gravidade especí�ca (SG) é dada por , temos:
 (Equação 2.5)
Em que os pontos A e A’ têm a mesma pressão.
praticar
Vamos Praticar
A �gura a seguir mostra o esboço de um tanque pressurizado que contém óleo (densidade
= SG = 0,9). A placa de inspeção instalada no tanque é quadrada e possui uma largura de
0,6 m. O módulo da força resultante que mantém a pressão relativa em 50 kPa (conforme a
indicação do manômetro da �gura) é um número entre:
Dado: o tanque está exposto à atmosfera.
MUNSON, B. R.; YOUNG, D. F; OKIISHI, T. H. Fundamentos da mecânica dos �uidos.
Tradução da quarta edição americana de: Euryale de Jesus Zerbini. São Paulo: Edgard
Blucher, 2004.
= + ρHgg. hPA PB
ρ/ρágua
= S . . g. hPA GHG ρágua
a) 0 e 10 kN.
b) 11 e 20 kN.
c) 21 e 30 kN.
d) 31 e 40 kN.
e) 41 e 50 kN
Figura - Tanque de óleo exposto à atmosfera
Fonte: Munson, Young e Okiishi (2004, p. 61).
Esse princípio é baseado no mesmo princípio da equação de Lavoisier, que nos diz
que “a quantidade de massa na naturezanão pode ser criada, apenas
transformada”. Para sistemas fechados, o princípio da conservação de massa é
usado implicitamente como exigência que a massa permaneça constante durante
um processo. Para volumes de controle (sistemas abertos), a massa pode cruzar as
fronteiras do sistema, então esse princípio se transforma em “a quantidade de
massa que entra no volume de controle tem que ser igual à quantidade de massa
que dele sai”.
Em termos matemáticos, temos que:
 (Equação 2.6)
Para estudarmos o princípio de conservação de massa, devemos, primeiramente,
entender como o escoamento de um �uido pode ser classi�cado.
Comportamento de um Fluido
Temos duas maneiras de analisarmos o comportamento de um �uido:
O método de Lagrange.
Balanço Global deBalanço Global de
MassaMassa
=Qm1 Qm2
O método de Euler.
“Lagrange inventou um método de análise que acompanha a trajetória de uma única
partícula de �uido ao longo do escoamento. A trajetória é o lugar geométrico dos
pontos ocupados por uma única partícula em instantes sucessivos começando por
, seguido de + dt, + 2 dt e assim sucessivamente” (MUNSON; YOUNG;
OKIISHI, 2004, p. 147). Aqui, acompanhamos a mesma partícula em vários instantes,
conforme a Figura 2.5. Esse método é útil para o cálculo da vazão de um �uido.
Já Euler inventou outro método de análise que estuda as propriedades de um
escoamento �uido em pontos �xos no espaço em função do tempo, conforme a
Figura 2.6. Esse método é utilizado quando escolhemos um volume de controle
(representado por partículas na �gura), que é uma quantidade de volume ou região
do espaço, através da qual há �uxo de massa como objeto de estudo. Portanto,
nesse método, as propriedades do campo de escoamento são descritas como sendo
uma função das coordenadas espaciais e do tempo. A maioria dos problemas de
t0 t0 t0
Figura 2.5 - Análise do método Lagrangeano
Fonte: Çengel e Cimbala (2007, p. 112).
mecânica dos �uidos utiliza esse método. Esse método é utilizado no princípio da
conservação de massa, por exemplo.
Regimes de Escoamento
Os regimes de escoamento podem ser separados segundo várias formas de
classi�cação. Podemos separá-los segundo o tempo que ocorrem, ou segundo as
dimensões nos eixos x, y e z que ocupam quando um �uido está em movimento.
Segundo o tempo em que ocorrem os escoamentos, podem ser classi�cados em
regimes permanente e variado.
Regimes Variado e Permanente
Os escoamentos podem ser separados segundo o tempo que ocorrem, e devemos
lembrar que um mesmo escoamento em um dado tempo pode ser variado e em
outro tempo ser permanente. Tudo vai depender do momento em que estivermos
fazendo nossa análise.
Escoamento em Regime Permanente
O escoamento em regime permanente pode ser de�nido como:
Regime permanente é aquele em que as propriedades do �uido são
invariáveis em cada ponto com o passar do tempo (elas podem variar de
ponto para ponto, desde que não variem com o tempo). Isto signi�ca que
apesar de um certo �uido estar em movimento, a con�guração de suas
propriedades em qualquer instante permanece a mesma (BRUNETTI,
2008, p. 67).
Escoamento em regime variado
Segundo Brunetti (2008, p. 67), “O escoamento em regime variado é aquele em que
as condições do �uido em alguns pontos ou regiões de pontos variam com o passar
do tempo”.
O exemplo mais comum é o estudo de um reservatório, como o da Figura 2.7.
Temos que, quando a quantidade que entra no reservatório é a mesma quantidade
que sai dele, o volume do �uido é constante e o regime será permanente.
Entretanto, se interrompermos a entrada de �uido no reservatório, seu volume vai
diminuir, fazendo com que o volume do �uido varie com o tempo, aí ele se torna um
regime variado.
Reservatórios de grandes dimensões, que mantêm o nível de água
aproximadamente constante com o passar do tempo, são considerados
reservatórios com regime permanente.
Número de Reynolds
“O número de Reynolds classi�ca o escoamento como laminar, de transição ou
turbulento” (BRUNETTI, 2008, p. 69).
Reynolds injetou uma linha de corante em um tubo transparente dentro de um
reservatório de água, conforme é mostrado na Figura 2.8.
Para pequenas velocidades do �uido, chamadas de velocidade de descarga, o �lete
formado é reto e contínuo. Quando aumentamos a velocidade, o �lete se tornará
turbulento, aparecendo uma con�guração de transição até que ele se dissolva
totalmente na água, em um escoamento turbulento.
O escoamento laminar é aquele em que as partículas se deslocam em
lâminas individualizadas, sem trocas de massa entre elas. Já o
escoamento turbulento é aquele em que as partículas apresentam um
movimento aleatório macroscópico, isto é, a velocidade apresenta
componentes transversais ao conjunto do �uido (BRUNETTI, 2008, p. 69).
A classi�cação entre um escoamento e outro é dado pelo número de Reynolds
de�nido pela fórmula:
(este número é adimensional) (Equação 2.7)Re = =
ρ velocidade D
μ
 velocidade D
ν
Em que = densidade (kg/m³), = viscosidade (kg/m.s), - viscosidade cinemática
(m²/s) e D = diâmetro do tubo (m).
Reynolds de�niu que, para valores de Re:
Re < 2.000 - Escoamento laminar.
2.000 < Re < 2.400 - Escoamento de transição.
Re > 2.400 - Escoamento turbulento.
O escoamento turbulento é variado por natureza, devido às alterações, por
exemplo, no formato de um rio, por quedas, estreitamentos ou alargamentos feitos
pelo homem. A maioria dos aparelhos não indicará essa variação na velocidade do
escoamento com precisão.
ρ μ ν
Variação de Escoamento nos Eixos x, y e
z
Os escoamentos também podem ser classi�cados segundo sua variação nos eixos
de coordenadas x, y e z. É claro que, na maioria das vezes, os escoamentos serão
fenômenos tridimensionais (como tudo que nos cerca). Mas, muitas vezes, podemos
realizar nossos cálculos somente com uma coordenada e, ainda assim, obtermos um
valor bem preciso.
Escoamento unidirecional
Quando utilizamos uma única coordenada (eixo x) para descrever as propriedades
do �uido, temos um escoamento unidimensional.
Escoamento bidirecional
Os escoamentos bidirecionais precisam de duas coordenadas (eixos x e y) para
descrever a variação de sua velocidade.
Escoamento tridirecional
Escoamentos tridimensionais (eixos x, y e z) utilizam as três coordenadas para obter
a velocidade e são de difícil resolução matemática.
Taxas de Escoamento: Vazão
Volumétrica e Vazão Mássica
Agora, vamos de�nir os conceitos de vazão em massa e volume para que possamos
calcular a velocidade do �uxo. Também utilizamos a vazão para o cálculo do tempo
que um reservatório leva para encher ou esvaziar.
De�nimos vazão em volume pela letra Q como: o volume do �uido que atravessa
uma seção de escoamento por unidade de tempo, ou seja:
 (Equação 2.8)
Com a aplicação dessa fórmula, podemos calcular o tempo de enchimento de um
reservatório, para um volume V conhecido a partir de uma vazão especi�cada.
A vazão (Q) também pode ser calculada utilizando a velocidade média e a área:
 (Equação 2.9)
onde é a velocidade média (m/s) e A é a área (m).
A vazão mássica ( ) é obtida pela multiplicação da vazão volumétrica pela massa
especí�ca do �uido, dada por
 (Equação 2.10)
Para casos especiais em que a velocidade não é uniforme na seção (escoamentos
turbulentos ou de transição), temos que usar o cálculo da integral de área, dado por
 (Equação 2.11)
Q = ( /s,L/s, /h,L/min)V
t
m3 m3
Q = AVm
Vm
Qm
= ρQ = ρ AQm Vm
Q = V elocidade .  dA∫
A
O cálculo da vazão é de extrema importância para o cálculo da velocidade e para
podermos traçar os per�s de velocidade de um �uido. A vazão também será muito
empregada no aumento ou na diminuição de velocidade de um �uido por meio da
diminuição ou aumento da área de tubulação, como no caso dos bocais utilizados
nas mangueiras de jardim.
praticar
Vamos Praticar
Os reservatórios da �gura a seguir são cúbicos. Eles são enchidos pelos tubos bifurcados,
respectivamente, em 100 e 500 segundos. Dado: o diâmetro do condutor nessa seçãoé de
1 m. A velocidade da água na seção (A) em m/s é um número que varia entre:
BRUNETTI, F. Mecânica dos �uidos. 2. ed. rev. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2008.
a) Entre 0 e 1 m/s.
b) Entre 1,1 e 2 m/s.
c) Entre 2,1 e 3 m/s.
d) Entre 3,1 e 4 m/s.
e) Entre 4,1 e 5 m/s.
Figura -Reservatórios (1) e (2) sendo enchidos por um tubo com diâmetro .
Fonte: Brunetti (2008, p. 80).
DA
Já estudamos que a vazão em massa na seção de entrada dada por tem de ser
igual à vazão em massa na seção de saída dada por , conforme está ilustrado
na Figura 2.9:
Balanço Global deBalanço Global de
MassaMassa
Qm1
2Qm
Em termos matemáticos, temos que:
 ou ou (Equação 2.12)
“Essas equações são de�nidas como as equações da continuidade para um �uido
em regime permanente” (BRUNETTI, 2008, p. 75).
Caso o �uido seja incompressível, temos que a massa especí�ca na entrada e na
saída do volume V deverá ser a mesma. Dessa forma, a Equação 2.13 �ca:
 ou (Equação 2.13)
“A equação nos diz que a vazão em volume de um �uido incompressível é a mesma
em qualquer seção do escoamento ou que as velocidades médias e as áreas são
inversamente proporcionais” (BRUNETTI, 2008, p. 75), isto é, a uma diminuição de
área corresponde um aumento da velocidade média proporcional, conforme está
ilustrado na Figura 2.10, no tubo conhecido por tubo de Venturi. A parte onde o tubo
se estreita é chamada de garganta do tubo.
=Qm1 Qm2 =ρ1Q1 ρ2Q2 =ρ1v1A1 ρ2v2A2
ρ = ρ ⇒ =Q1 Q2 Q1 Q2 =v1A1 v2A2
 (Equação 2.14)
O tubo de Venturi é utilizado em variadas áreas, como para espalhar fertilizantes na
agricultura, para aumentar o nível de oxigênio para peixes criados em cativeiro, até
mesmo para dar sustentabilidade a aviões voando a altitudes de cruzeiro.
=v1
v2
A2
A1
Figura 2.10 - Tubo de Venturi
Fonte: letindor / 123RF.
Per�il de Velocidade e Velocidade Média
Os �uidos aderem à superfície sólida com o qual estão em contato, de forma que,
em um escoamento, uma película do �uido que está em contato direto com uma
superfície sólida possui a mesma velocidade que essa superfície, ou seja, não ocorre
deslizamento do �uido sobre uma superfície sólida.
Em algumas ocasiões, podemos dividir o campo de escoamento em duas regiões
principais:
Junto às superfícies sólidas onde existe uma região com gradientes de
velocidade de escoamento, havendo, assim, tensões de cisalhamento.
Na região fora da camada limite, em que não existem estas tensões de
cisalhamento.
A primeira região é chamada camada limite e a segunda região de região, de
escoamento ideal ou livre, respectivamente.
saibamais
Saiba mais
Assista ao vídeo que utiliza o tubo de Venturi para
montar uma experiência bastante simples
simulando como um avião utiliza esse princípio
para se sustentar voando em altitudes de
cruzeiro. No vídeo, é utilizado com um envelope,
3 clipes de papel, um secador de cabelo e um
suporte para reproduzir a asa de um avião:
ASS IST IR
A Figura 2.11 mostra um esquema simpli�cado da formação de uma camada limite
para o escoamento de um �uido sobre uma placa plana. O escoamento atinge a
placa com um per�l de velocidade . Como os �uidos possuem a propriedade de
aderência às superfícies sólidas, uma �na película adere à placa, exercendo uma
força retardadora sobre o escoamento, desacelerando o �uido na vizinhança da
superfície sólida. A in�uência da placa cria uma região no escoamento com
gradientes de velocidade em que existem tensões de cisalhamento. O escoamento
não sofre a in�uência da placa fora da camada limite.
O escoamento na camada limite pode ser laminar ou turbulento. Para escoamentos
sobre uma placa �na, a fórmula para o cálculo do número de Reynolds é dada por:
 (Equação 2.15)
em que a coordenada x é a medida a partir do bordo de ataque da placa, na direção
do escoamento sobre a placa na qual a camada limite se desenvolve. O tipo de
v0
=Rex
ρ   xV0
μ
escoamento na camada limite depende do número de Reynolds.
Os escoamentos internos em dutos podem ser classi�cados como de entrada ou
estabelecido. Um escoamento interno em um duto de seção circular constante é
mostrado na Figura 2.12. Antes da entrada da tubulação, tem-se um escoamento
livre com per�l uniforme de velocidade . Na região com comprimento , a
camada limite está em formação e temos o escoamento de entrada. Após a
camada limite está totalmente desenvolvida e o escoamento é estabelecido.
Depois do comprimento da entrada, no escoamento estabelecido o per�l da
velocidade �ca invariante ao longo de um duto de seção constante, e a forma da
distribuição real de velocidade depende de o regime ser laminar ou turbulento. Para
um escoamento laminar em um duto de seção transversal circular, o per�l de
velocidade numa seção parabólica é dado por:
 (Equação 2.16)
em que é a velocidade de escoamento no centro da seção.
v0 Le
Le
Figura 2.12 - Esquema simpli�cado dos escoamentos de entrada e estabelecido em
um duto
Fonte: Livi (2017, p. 71).
V (r) = [1  − ]Vmáx   ( )rR
2
Vmáx
Teorema de Transporte de Reynolds
Muitas vezes, estamos interessados no que acontece numa região particular do
escoamento e, em outras vezes, estamos interessados no efeito do escoamento
num objeto que interage com o escoamento.
O teorema de transporte de Reynolds é uma ferramenta que transforma a
abordagem dos sistemas (considerando uma massa �xa de um �uido) em volume de
controle (considerando um dado volume).
Sistema é uma quantidade �xa de massa identi�cável que se move com o �uido, e
volume de controle é um volume no espaço.
A maioria das leis que descrevem o movimento dos �uidos envolve a taxa de
variação temporal de uma propriedade extensiva (como a taxa de variação da
quantidade de movimento de um sistema). Assim, sempre existirão termos
representados por:
 Equação 2.17)
onde B é um parâmetro físico e b = V (quantidade de movimento por unidade de
massa).
Na abordagem do volume de controle, precisamos obter uma expressão para a taxa
de variação de uma propriedade extensiva no volume de controle, , e não em
um sistema. Isso pode ser escrito do seguinte modo
(Equação 2.18)
onde os limites de integração, denotados por você, cobrem o volume de controle em
que estamos interessados.
O teorema de transporte de Reynolds fornece uma relação entre a taxa de variação
temporal de uma propriedade extensiva para um sistema e aquela para um volume
de controle, ou seja, a relação entre as equações (2.17) e (2.18).
Vamos estudar melhor esse teorema por meio de um exemplo:
=dBsis
dt
d( ρ b dQ)∫sis
dt
cBv
=dBvc
dt
d( ρ b dQ)∫vc
dt
Um �uido escoa do extintor de incêndio mostrado na Figura 2.13. Vamos ver as
diferenças entre e , considerando que B representa a massa do �uido.
Como B = m, a massa do sistema, segue que b = 1 e as Equações 2.17 e 2.18 podem
ser reescritas como:
 e (Equação 2.19)
Essas equações representam a taxa de variação temporal da massa no sistema e a
taxa de variação temporal da massa no volume de controle. Vamos escolher o �uido
contido no extintor no instante inicial, dado por t = 0 como sistema e o tanque
(recipiente) como volume de controle (a superfície de controle será a parede interna
do extintor). Um instante após a abertura da válvula, uma parte do sistema escoa
para fora do volume de controle, como mostra a Figura 2.13, item b. O volume de
controle permanece imóvel. Os limites de integração são �xos para o volume de
controle, e eles são uma função do tempo para o sistema.
dBsis
dt
dBvc
dt
Figura 2.13 - Extintor de incêndio. Em a) o extintor está cheio e em b) em uso
Fonte: Munson, Young e Okiishi (2004, p. 165).
= =dBsis
dt
dmsis
dt
d( ρ  dQ)∫sis
dt
= =dBvc
dt
dmvc
dt
d( ρ  dQ)∫vc
dt
Se a massa deve ser conservada, a massa de �uido do sistema é constante, ou
 (Equação 2.20)
Do outro lado, é claro que uma certa quantidade de �uido deixou o volume de
controle por meio da válvula do tanque durante o processo. Assim, a quantidade de
massa no tanque (o volume de controle) decresce aolongo do tempo, ou
 (Equação 2.21)
O valor numérico real da taxa com que a massa no volume decresce dependerá da
taxa com que o �uido escoa na válvula do extintor. Esse princípio também é usado
para aerossóis, como desodorantes, secadores de unha etc.
praticar
= 0
d( ρ  dQ)∫sis
dt
< 0
d( ρ  dQ)∫vc
dt
saibamais
Saiba mais
Con�ra a demonstração do Teorema de Reynolds
e das fórmulas e
, que estabelecem a relação
de tempo de uma propriedade para um sistema e
para um volume de controle  no vídeo a seguir:
ASS IST IR
=dBsis
dt
d( ρ b dQ)∫sis
dt
=dBvc
dt
d( ρ b dQ)∫vc
dt
praticar
Vamos Praticar
Assumindo o diagrama de velocidades indicado na �gura apresentada, em que a parábola
tem seu vértice a 10 cm do fundo, calcule o gradiente de velocidade e a tensão de
cisalhamento para y = 10 cm. Para isso, adote centipoises (essa unidade é
adotada no CGS - Centímetro, Grama e Segundo e equivale a = poise). Em seguida,
assinale a alternativa que apresenta o valor encontrado se situa em:
BRUNETTTI, F. Mecânica dos �uidos. 2. ed. rev. São Paulo: Pearson Prentice  Hall, 2008.
a) Entre 0 e 10 kN.
b) Entre 11 e 20 kN.
c) Entre 21 e 30 kN.
d) Entre 31 e 40 kN.
e) Entre 41 e 50 kN.
μ = 400
dina . s
cm2
Figura: Gradiente de velocidade
Fonte: Brunetti (2008, p. 15).
Da mesma forma que foi feito para as massas que entram e saem de um �uido, pela
lei de conservação de Lavoisier podemos deduzir uma equação para o balanço de
energias armazenados em um �uido.
Essa equação será extremamente útil para determinamos a potência de máquinas
hidráulicas, determinação das perdas em escoamento e para transformamos a
energia potencial hidráulica de uma queda em energia elétrica.
Tipos de Energias Mecânicas
Associadas a um Fluido
Os tipos de energia mecânicos associados a um �uido são (BRUNETTI, 2008, p. 85):
Energia potencial.
Energia cinética.
Energia de pressão.
Energia Potencial ( )
Balanço Global deBalanço Global de
Energia MecânicaEnergia Mecânica
Ep
É a energia que um corpo acumula devido à sua posição no campo de gravidade em
relação a um plano horizontal de referência (PHR). É a energia de uma queda livre,
conforme Figura 2.14 (BRUNETTI, 2008, p. 85):
Como Trabalho = Força x Deslocamento temos que:
 (Equação 2.22)
onde: é a força peso em N, m é a massa em kg, g é a aceleração da gravidade
igual a 9,81 m/s² e z é a altura em metros.
Energia Cinética ( )
É o estado de energia determinado pelo movimento do �uido. Seja um sistema de
massa m e velocidade v, a energia cinética é obtida por (BRUNETTI, 2008, p. 86):
 (Equação 2.23)
Figura 2.14 - Corpo com Centro de Gravidade (CG) em queda livre de uma altura z.
Fonte: Brunetti (2008, p. 86).
W = . z = m. g. zFp
Fp
Ec
=Ec
m v2
2
Energia de Pressão ( )
É a energia que corresponde às forças de pressão exercida por uma superfície
dentro de um líquido, conforme a Figura 2.15, que mostra um tubo de corrente
(BRUNETTI, 2008, ps. 86 e 87).
Vamos admitir que a pressão seja uniforme em um tubo de corrente conforme está
ilustrado na Figura 2.15. Então, a pressão aplicada pelo meio externo no �uido do
tubo de corrente, na interface A, será F = p . A. Ao considerarmos o intervalo de
tempo dt, o �uido terá se deslocado uma distância ds, sob a ação da força F,
produzindo um trabalho dado por:
 (Equação 2.24)
Também podemos calcular a energia de pressão pela integral de volume dada por:
 (Equação 2.25)
rEp
Figura 2.15 - Figura de um tubo de corrente
Fonte: Brunetti (2008, p. 86).
dW = F . ds = p.A. ds = p. dV
= p. dVEpr ∫V
A energia mecânica total de um �uido será dada pela soma das energias potenciais,
cinemáticas e de pressão:
 (Equação 2.26)
Os diferentes tipos de energia serão úteis no cálculo da equação de Bernoulli.
Equação Integral de Conservação de
Energia
A termodinâmica estuda as relações entre as propriedades de um sistema e as
trocas de calor e trabalho com a vizinhança. Convencionamos que o calor que entra
no sistema e o trabalho realizado pelo sistema sobre a vizinhança são positivos,
assim como o calor que sai do sistema e o trabalho realizado pela vizinhança sobre o
sistema são representados pelo sinal negativo.
Considerando um sistema que troca calor e trabalho com a vizinhança, mostrado na
Figura 2.16, onde foram representados o �uxo de calor e a potência (taxa de
realização de trabalho como positivo), a 1ª Lei da Termodinâmica pode ser escrita
como:
 (Equação 2.27)
A taxa de variação da energia total do sistema é igual ao �uxo líquido de calor que
entra no sistema menos a taxa líquida de trabalho realizado pelo sistema sobre a
vizinhança.
E = + +Ep Ec Epr
= −dEsist
dt
δQ
dt
δW
dt
Agora que nos lembramos conceitualmente da 1ª Lei da Termodinâmica, vamos
aplicá-la aos �uidos. A 1ª Lei da Termodinâmica aplicável a um volume de controle
pode ser obtida a partir da equação básica da formulação de volume de controle
dada por
 (Equação 2.28)
Na dedução da equação básica da formulação de controle, consideramos que o
sistema e o volume de controle são coincidentes no instante t, de modo que:
 (Equação 2.29)
resultando
 (Equação 2.30)
sendo e a energia total especí�ca (por unidade de massa) do �uido dada por
 (Equação 2.31)
Figura 2.16 - Sistema que troca calor e trabalho com a vizinhança
Fonte: Livi (2017, p. 96).
= ∫ βρ (  .   ) dA + ∫ ∫ βρ d ∀dEsist
dt
∫
S.C.
V−− n−−
d
dt
∫
V . C.
=  (   −  )δQ
dt
δW
dt sistema
(   −  )δQ
dt
δW
dt volume de controle
  − = ∫ e ρ (  .   ) dA + ∫ ∫ eρ d ∀δQ
dt
δW
dt
∫
S.C.
V−− n−−
d
dt
∫
V . C.
e = g. y + + uV
2
2
em que: g. y é a energia potencial especí�ca, é a energia cinética especí�ca e u é
a energia interna especí�ca.
A Equação 2.31 é uma expressão da 1ª Lei da Termodinâmica (princípio da
conservação de energia) na formulação de volume de controle e ela fornece um
balanço global de energia, para um volume de controle (V. C.) que pode ser escrito
da seguinte forma:
ou
 (Equação 2.32)
onde:
 é o trabalho realizado pelo �uido dentro do volume de controle e transmitido
para a vizinhança por meio de um eixo que atravessa a superfície de controle,
normalmente esse trabalho é realizado por turbinas ou bombas.
 é o trabalho realizado pelo �uido ao escoar através de superfícies de
controle, resultante das forças devidas às tensões normais , ou seja, é o trabalho
realizado pelas forças de pressão.
 é o trabalho realizado pelo �uido contra as tensões cisalhantes (atrito
viscoso) conhecido também como perda de carga.
praticar
Vamos Praticar
Um dos métodos para se produzir vácuo em uma câmara é descarregar água por um tubo
convergente-divergente, como é mostrado na �gura a seguir. Temos que produzir uma
depressão de 22 cm de mercúrio na câmara da �gura. Dados: as perdas de carga devem
V 2
2
= + +δW
dt
δWeixo
dt
δWescoamento
dt
δWcisalhamento
dt
Weixo
Wescoamento
σ
Wcisalhamento
ser desprezadas. = 104 N/m³, = 1,36 x 105 N/m³, g = 9,81 m/s², D = 72 mm e D
 = 36 mm. A vazão em massa de água pelo convergente-divergente deve ser um número
situado entre:
a) Entre 0 e 1,99 kg/s.
b) Entre 2 e 3,99 kg/s.
c) Entre 4 e 5,99 kg/s.
d) Entre 6 e 7,99 kg/s.
e) Entre 8 e 9,99 kg/s.
γ água γ Hg 1
2
Figura: Tubo convergente-divergente
Fonte: Brunetti (2008, p. 109).
indicações
Material
Complementar
LIVRO
Mecânica dos �uidos: fundamentos e
aplicações
Editora: McGraw Hill
Autores: Yunus A. Çengel e John M. Cimbala
ISBN: 978-85-86804-58-8
Comentário: você encontrará inúmeras aplicações da
equação de Bernoulli explicadas passo a passo (p. 169 a
175). Esse livro apresenta exemplos reais para ajudar os
alunos a resolverem problemas de forma intuitiva e
analítica.
FILME
Sob pressão
Ano: 2015
Comentário: a 160 km da costa da Somália, uma equipe é
designada para descer e realizar a manutenção corretiva em
um oleoduto de petróleo. O problema é que o navio que
daria suporte ao módulo de descida afunda por causa de
uma tempestade e quatro trabalhadores �cam presos no
fundo domar com o oxigênio acabando. Trata-se de uma
emocionante história de como esses operários lutaram para
retornar à superfície, e sobreviver a pressões extremas é
retratado de uma maneira muito verídica.
TRA ILER
conclusão
Conclusão
Nesta unidade, aprendemos a diferenciar os tipos de escoamento em laminar, de
transição e turbulento por meio do cálculo do número de Reynolds, assim como a
reconhecer se um escoamento é uni, bi ou tridimensional.
Também estudamos o cálculo da vazão em função do tempo e da massa para
determinarmos o tempo de enchimento de um reservatório ou sua velocidade de
enchimento. Vimos que a velocidade é inversamente proporcional à área para
líquidos incompressíveis.
Também estudamos o princípio da conservação de massa que pode ser utilizado em
um tubo de Venturi. Por esse tubo, podemos alterar a velocidade de um �uido de
maneira simples, razão pela qual ele é utilizado na agricultura e no projeto de
aeronaves.
Finalmente, compreendemos o princípio da conservação de energia, as energias
acumuladas em quedas-d’água, no movimento dos �uidos, e a energia de pressão.
referências
Referências
Bibliográ�cas
BRUNETTI, F. Mecânica dos �uidos. 2. ed. rev. São Paulo: Pearson Prentice Hall,
2008.
ÇENGEL, Y.; CIMBALA, J. M. Mecânica dos �uidos: fundamentos e aplicações.
Tradução de K. A. Roque e M. M. Fecchio. Revisão Técnica de F. Saltara, J. L. Baliño e
K. P. Burr. Consultoria técnica de H. M. Castro. São Paulo: McGraw-Hill, 2007.
FOX. R. W.; McDONALD, A. T.; PRITCHARD, P. J.; LEYLEGIAN, J. C. Tradução e revisão
técnica de R. N. Koury, Introdução à mecânica dos �uidos. 8. ed. São Paulo: LTC,
2010.
LIVI, C. P. Fundamentos de fenômenos de transporte: um texto para cursos
básicos. 2. reimp. Rio de Janeiro: LTC, 2017.
MUNSON, B. R.; YOUNG, D. F.; OKIISHI, T. H. Fundamentos da mecânica dos
�uidos. Tradução da 4. ed. americana de Euryale de Jesus Zerbini. São Paulo: Edgard
Blucher, 2004.
POTTER, M. C.; WIGGERT, D. C. Mecânica dos �uidos. Tradução de Francisco Araújo
da Costa. Revisão Técnica: Jorge Luis Baliño. Porto Alegre: Bookman, 2018.
TARDELLI FILHO, J. Aspectos relevantes do controle de perdas em sistemas públicos
de abastecimento de água. Revista Dae, jan./abr. 2016. Disponível em:
http://revistadae.com.br/artigos/artigo_edicao_201_n_1622.pdf. Acesso em: 15 dez.
2019.
http://revistadae.com.br/artigos/artigo_edicao_201_n_1622.pdf