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Código Logístico 56721 Fundação Biblioteca Nacional ISBN 978-85-387-6347-5 9 7 8 8 5 3 8 7 6 3 4 7 5 EQ U A Ç Õ ES D IFER EN C IA IS G u ilh erm e A u g u sto P ian ezzer / D ayan e P erez B ravo IESDE BRASIL S/A 2017 Equações Diferenciais Guilherme Augusto Pianezzer Dayane Perez Bravo Todos os direitos reservados. IESDE BRASIL S/A. Al. Dr. Carlos de Carvalho, 1.482. CEP: 80730-200 Batel – Curitiba – PR 0800 708 88 88 – www.iesde.com.br Capa: IESDE BRASIL S/A. Imagem da capa: marigold_88/iStockphoto. CIP-BRASIL. CATALOGAÇÃO NA PUBLICAÇÃO SINDICATO NACIONAL DOS EDITORES DE LIVROS, RJ P643e Pianezzer, Guilherme Augusto Equações diferenciais / Guilherme Augusto Pianezzer, Daya- ne Perez Bravo. - [2. ed.]. - Curitiba [PR] : IESDE Brasil, 2017. 136 p. : il. Inclui bibliografia ISBN 978-85-387-6347-5 1. Matemática - Estudo e ensino (Superior). 2. Equações diferenciais. I. Bravo, Dayane Perez. II. Título. 17-44754 CDD: 515.35CDU: 517.9 © 2017 – IESDE BRASIL S/A. É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por escrito dos autores e do detentor dos direitos autorais. Apresentação Esta obra tem como objetivo aprofundar seus conhecimentos sobre as formas de se obter as soluções geral e particular de alguns tipos de equações diferenciais. Discutiremos métodos para resolução de equações diferenciais se- paráveis, equações diferenciais lineares de diversas ordens, equações di- ferenciais lineares não homogêneas e as principais aplicações e soluções a partir de série de Fourier e transformadas de Laplace. O livro está dividido em 8 capítulos com os seguintes temas: Equações diferenciais de primeira ordem: apresenta a classificação e a formulação de equações diferenciais e os métodos para equações dife- renciais separáveis e homogêneas. Métodos para equações de primeira ordem: discute as equações resolvidas por fator integrante e as equações exatas, além do teorema de existência e unicidade de soluções. Equações lineares de segunda ordem: conceitua tais equações e apresenta os méto- dos para equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes cons- tantes e as equações de Euler-Cauchy homogênea. Equações não homo- gêneas: discute o método dos coeficientes indeterminados, o método da variação dos parâmetros e aplicações em oscilações. Equações lineares de ordem superior: apresenta métodos de redução de ordem e generalização dos principais métodos para resolução de equações de segunda ordem. Soluções em série para equações diferenciais de segunda ordem: funda- menta as séries de potência, as soluções perto de um ponto ordinário e de um ponto singular regular. Aplicações: apresenta problemas de Lei de Variação de Temperatura de Newton, aplicação em juros compostos e aplicações em engenharia elétrica. Série de Fourier e transformada de Laplace: apresenta métodos avançados para resolução de equações dife- renciais parciais, como as séries de Fourier e as transformadas de Laplace. Bons estudos! Sobre os autores Guilherme Augusto Pianezzer Doutorando no Programa de Métodos Numéricos em Engenharia pela UFPR. Mestre em Métodos Numéricos em Engenharia pela UFPR. Especialista em Formação Pedagógica do Professor Universitário: Didática do Ensino Superior pela PUCPR. Graduado em Licenciatura em Matemática pela PUCPR. Atualmente é professor dos cursos de Licenciatura em Física e Matemática no ensino superior, professor subs- tituto na Universidade Tecnológica Federal do Paraná e presidente da co- missão permanente do EREMATSUL. Dayane Perez Bravo Doutoranda em Métodos Numéricos em Engenharia pela Universidade Federal do Paraná (UFPR). Mestre em Métodos Numéricos em Engenharia pela UFPR. Graduada em Licenciatura em Matemática pela UFPR. Professora no ensino superior nos cursos de Engenharia. 6 Equações Diferenciais SumárioSumário 1 Equações diferenciais de primeira ordem 9 1.1 Exemplos e formulação de equações diferenciais 10 1.2 Equações diferenciais separáveis 14 1.3 Equações homogêneas 17 2 Métodos para equações de primeira ordem 27 2.1 Fator integrante 28 2.2 Equações exatas 31 2.3 Teorema de existência e unicidade de soluções 35 3 Equações lineares de segunda ordem 43 3.1 Fundamentos e conceitos das equações diferenciais de segunda ordem 44 3.2 Métodos de resolução para equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes 47 3.3 Equação de Euler-Cauchy homogênea 51 4 Equações não homogêneas 61 4.1 Método dos coeficientes indeterminados 62 4.2 Método da variação dos parâmetros 66 4.3 Aplicações em oscilações 69 Equações Diferenciais 7 SumárioSumário 5 Equações lineares de ordem superior 77 5.1 Fundamentos e conceitos das equações diferenciais de ordem superior 78 5.2 Redução de ordem 79 5.3 Generalização dos métodos de segunda ordem 82 6 Soluções em série para equações diferenciais de segunda ordem 91 6.1 Séries de potência 92 6.2 Soluções perto de um ponto ordinário 96 6.3 Soluções perto de um ponto singular regular 99 7 Aplicações 107 7.1 Lei de Variação de Temperatura de Newton 108 7.2 Aplicação em juros compostos 110 7.3 Circuito RLC 113 8 Série de Fourier e transformada de Laplace 121 8.1 Equações diferenciais parciais 122 8.2 Equações de Euler e de Bessel 126 8.3 Transformada de Laplace 129 Equações Diferenciais 9 1 Equações diferenciais de primeira ordem As equações diferenciais são utilizadas em inúmeras áreas de conhecimento, pois referem-se às equações que descrevem taxas de variações. Assim sendo, sua resolução permite representar diversos fenômenos, desde simulações econômicas para o desen- volvimento de um comércio local, até simulações físicas sobre o desenvolvimento do universo. Este primeiro capítulo está dividido em três partes. A primeira busca apresentar dois exemplos simples de equações diferenciais e como utilizar o cálculo diferencial e integral para resolvê-los. Também tem como objetivo apresentar algu- mas classificações e nomenclaturas próprias que permitem diferenciar as equações. A segunda apresenta um método composto de três etapas para resolver equações dife- renciais separáveis, enfocando a diferença entre a solução geral e a solução particu- lar. A terceira parte apresenta o que são as equações diferenciais homogêneas e um método que pode ser utilizado para transformar essas equações em equações diferen- ciais separáveis. Equações diferenciais de primeira ordem1 Equações Diferenciais10 1.1 Exemplos e formulação de equações diferenciais As equações diferenciais, que são escritas em função de taxas de variação, aparecem frequentemente nas mais diversas áreas, como na Economia para cálculo de taxas de juros; na Engenharia Elétrica nos circuitos elétricos; na Psicologia em modelos de aprendizagem; na Física em diversas simulações, como a de queda livre; na Química para simulações de decaimento radioativo; entre inúmeras outras aplicações. A quantidade de modelos que podem ser descritos a partir do uso das equações dife- renciais são tantos que poderíamos escrever diversas páginas apenas sobre isso. Entretanto, a continuidade do estudo de equações diferenciais para alguma área específica é realizada dentro das disciplinas de interesse daquela área. Vale a pena introduzir ao leitor dois casos de simulação simples para observar como é conduzida a geração de modelos dentro de equações diferenciais. O primeiro caso se trata do uso das Leis de Newton para simular a queda livre de um objeto qualquer. Existem diversas notações para descrever a Segunda Lei de Newton. Entre as escolhas possíveis, definimos m como sendo a massa do objeto, a seu vetor aceleração, F o somatório das forças aplicadas nesse objeto. Nesse caso, F m a= . (1) representa a Segunda Lei de Newton. Essa lei é considerada uma equação diferencial, pois apresenta alguma relação entre variáveis que, por sua vez, representam taxas de variação. Para cada simulação teremos diversos comportamentos para o fenômeno.Por exemplo, pode ser que: m f t= ( ) (2) caso em que o objeto está perdendo ou ganhando massa ao longo do tempo. Ou pode ser que: a g t= ( ) (3) caso em que o objeto está ganhando ou perdendo velocidade ao longo do tempo. Essas dife- renças entre cada problema específico fazem com que cada equação diferencial seja solucio- nada de forma única, adequada à modelagem que está sendo realizada. No caso mais simples, a queda livre sem resistência do ar, a única força que atua no objeto em queda é a força da gravidade, que tem valor conhecido dado por: F mg= − (4) em que g representa a aceleração da gravidade. Aquele que busca conhecer o comporta- mento do objeto em queda livre está determinado em descobrir em que posição o objeto estará ao longo do tempo. Ou seja, busca-se determinar uma função posição como: x h t= ( ) (5) Equações diferenciais de primeira ordem Equações Diferenciais 1 11 A relação entre a e x é definida, pela Física, como sendo: a d x dt = 2 2 (6) o que indica que a aceleração é a taxa de variação segunda da posição em função do tempo. Com todas essas informações em mãos, podemos reescrever a equação 1 (Segunda Lei de Newton) como: − =m g m d x dt . . 2 2 (7) resolvendo a equação pelos métodos conhecidos do cálculo diferencial e integral: g d x dt = 2 2 gdt d x2 2= gdt d x2 2∫ ∫= gtdt C dx dt + =1 dx dt gt C = + 1 dx gt C dt = +( )∫ ∫ 1 x t gt C t C( ) = + + 2 1 22 As constantes de integração que surgem durante a resolução do problema, C1 e C2, re- presentam particularidades do problema de queda livre que não foram descritos. De acordo com esse modelo, a posição inicial do objeto pode ser qualquer, visto que não definimos a informação de que x x0 0( ) = ou a velocidade inicial da simulação poderia não ser nula, ou seja, v v0 0( ) = . A inclusão dessas características surge nas equações diferenciais por meio das constantes de integração e são próprias de cada uma das simulações. Como afirmam Boyce e DiPrima: Para solucionar uma equação diferencial utilizamos o processo de integração. Ao aplicar o método de integração, obtemos uma constante arbitrária que gera uma infinidade de soluções para o problema. Geralmente essa constante será se- lecionada por meio de uma condição inicial. Essa condição inicial ocorre quando o problema estudado possui um valor inicial. Dessa forma, o valor inicial é utili- zado para que a constante arbitrária seja encontrada. (BOYCE; DIPRIMA, 2010) Equações diferenciais de primeira ordem1 Equações Diferenciais12 Ainda sobre a aplicação e a simulação de fenômenos a partir de equações diferenciais, o segundo caso é o decaimento radioativo. Na Química, no estudo do desenvolvimento das substâncias radioativas, sabe-se que certos elementos químicos deixam de existir aos poucos, passando a se tornar outros, processo que chamamos de decaimento radioativo. Determinou- se que o decaimento dessa substância é proporcional à quantidade de substância em deter- minado momento. Em outras palavras, dQ dt kQ= − (8) em que Q é a quantidade de substância em certo instante de tempo t, e k é uma constan- te de proporcionalidade arbitrária que define quão rápido essa substância está diminuin- do. Alguém interessado em conhecer a quantidade de substância radioativa em função do tempo, pode utilizar as operações conhecidas do cálculo diferencial e integral e resolver essa equação: dQ dt kQ= − dQ Q kdt= − dQ Q kdt= −∫ ∫ lnQ kt C= − + 1 Q e kt C= − + 1 Q C e kt= −2 na qual C eC2 1= . Tal exemplo também fica dependente de uma constante de integração que precisa ser determinada. Em equações diferenciais, para a determinação exata da solução geral é necessário que o problema informe um valor inicial. Por exemplo, se sabemos que no instante t t= =0 0, Q t0 100 1( ) = =% , podemos substituir na expressão Q t C e kt( ) = −2 para obter a constante C2: Q t Q C e Ck0 2 0 20 1( ) = ( ) = = =− . Nesse caso, a solução geral se tornaria Q t e kt( ) = − . Nesses dois exemplos, o método que foi utilizado representa uma possibilidade para a resolução de algumas equações diferenciais. Sabendo a importância delas nas diferentes áreas e suas potenciais aplicações, a continuidade do estudo desse tema se dá pela classifica- ção dos diferentes tipos de equação. Existem várias maneiras para solucionar uma equação diferencial, dessa forma, identificar qual método de solução é mais adequado ao problema Equações diferenciais de primeira ordem Equações Diferenciais 1 13 estudado se torna uma tarefa difícil. Para auxiliar nessa escolha, podemos classificar o tipo de equação diferencial que estamos estudando. Inicialmente podemos analisar se a função desconhecida da equação diferencial em estudo depende de uma ou de várias variáveis independentes. Teremos uma equação di- ferencial ordinária se a função depender de uma única variável independente. Teremos uma equação diferencial parcial se a função depender de várias variáveis independentes (BOYCE; DIPRIMA, 2010). O oscilador harmônico, simulado em Física, representa uma equação diferencial ordinária: m d dt x t kx t 2 2 ( ) = − ( ) (9) enquanto a equação do calor representa uma equação diferencial parcial: ∂ ∂ = ∂ ∂ T t a T x 2 2 (10) A quantidade de funções desconhecidas também fornece uma classificação para as equações diferenciais. Quando houver duas ou mais funções desconhecidas, utilizamos um sistema de equações diferenciais para determiná-las. Outra classificação importante se dá pela derivada de maior ordem da equação diferencial em estudo, de forma que a or- dem dessa derivada classifica a ordem da equação diferencial (BOYCE; DIPRIMA, 2010). Por exemplo, d y dt y e t 2 2 2+ = é uma equação diferencial de segunda ordem, enquanto: d y dt d y dt t 3 3 2 2 2+ = ( )cos é uma equação diferencial de terceira ordem. Uma equação diferencial ordinária é classificada como linear se suas funções forem lineares, ou seja, suas funções não são resultado de produtos de outras funções. Quando houver uma função desconhecida que seja o resultado do produto de duas funções, então teremos uma equação diferencial ordinária não linear. A mesma ideia vale para as equações diferenciais parciais (BOYCE; DIPRIMA, 2010), como no exemplo: ∂ ∂ + ∂ ∂ = u y u u x . 0 uma equação diferencial nem sempre possui solução. Portanto, antes de iniciar a resolução de um problema, é importante verificar a existência de solução. Essa verificação se dá por meio de teoremas que garantem a solução da equação sob determinadas condições. Entretanto, tal solução nem sempre pode ser expressa por meio de Equações diferenciais de primeira ordem1 Equações Diferenciais14 funções elementares. Por esse motivo, devemos estudar tanto os métodos para problemas simples, quanto os métodos para problemas mais complexos (BOYCE; DIPRIMA, 2010). 1.2 Equações diferenciais separáveis Seja uma equação diferencial da forma: p y dy dx q x( ) = ( ) (11) Nesse caso, dizemos que essa equação diferencial é separável ou de variáveis separá- veis. Para esse tipo de resolução, podemos seguir três passos. O primeiro passo é separar as variáveis, agrupando-as em cada membro da equação. No caso da equação 11, podemos reescrevê-la separando as variáveis, obtendo: p y dy q x dx( ) = ( ). . (12) Como as variáveis estão separadas, o passo 2 é integrar ambos os lados da equação, buscando encontrar a solução geral do problema. Em notação integral, p y dy q x dx( ) = ∫ ( )∫ . que integrando obtém-se: P y C Q x C( ) + = ( ) +1 2 na qual C1 e C2 são as constantes de integração. No estudo de equações diferenciais costuma-se, nesse passo, simplificar as constantes de integração, agrupando-as em uma só, quando possível. Nesse caso, pode-se escrever a solução geral do problema, P (y). Após obter a solução geral, para o passo 3 aplica-se a condição inicial, quando houver, para obter a solução particular do problema. Exemplo1: seja y xy y’ .,= − ( ) =4 0 12 Vamos determinar y x( ) que é a solução da equação diferencial. O primeiro passo é separar as variáveis. Nesse caso, reescrevemos a equação como: y xy’ = −4 2 dy dx xy= −4 2 (13) repare que as variáveis x e y podem ser separadas numa expressão na forma da equação 12. Nesse caso, dy y xdx2 4= − (14) Equações diferenciais de primeira ordem Equações Diferenciais 1 15 o segundo passo consiste em integrar a expressão para obter a solução geral do problema. Ou seja, dy y xdx2 4= −∫ ∫ (15) por meio das regras de integração e do uso de uma tabela de integração, sabe-se que x x n Cn n = + + + ∫ 1 1 e podemos solucionar a equação 15 para obtermos: − + = − + 1 21 2 2y C x C 1 2 2 y x C= + Repare que as constantes C1 e C2 foram adequadas para escrever uma constante C, vis- to que todas são consideradas, dentro da solução geral, como constantes arbitrárias. Antes de prosseguirmos para o terceiro passo, vale buscar interpretar graficamente a função en- contrada. Pelo aplicativo gratuito disponível on-line WolframAlpha foram traçados gráficos para a função 1 2 2 y x C= + para diferentes valores de C. Figura 1 – Gráficos para diferentes valores de C. 15 10 5 –5 –1.0 1.0 y x (x de – 1 a 1) –0.5 0.5 –10 –15 40 60 –1.0 1.0–0.5 0.5 80 20 –20 20 40 60 –1.0 –0.5 0.5 1.0 Fonte: WolframAlpha. Equações diferenciais de primeira ordem1 Equações Diferenciais16 O primeiro gráfico da Figura 1 representa a equação y x C= + 1 2 2, para C2 1= . O segun- do para C2 10= e o terceiro para C2 20= − .. Repare que todos os gráficos possuem a mesma forma, mas diferem de uma translação vertical de uma para a outra. Isso acontece porque o processo de encontrar a família de antiderivadas, a integração, encontra todas as funções que possuem uma taxa de variação conhecida. Entretanto, são infinitas funções que pos- suem essa propriedade. Para notar essa característica, imagine que estivéssemos buscando simular a po- sição final de um carro sabendo sua velocidade em cada instante de tempo. Poderíamos traçar o movimento exato que o carro fez, entretanto, sem saber sua posição inicial, não teríamos como diferenciar carros que possuíam a mesma velocidade, mas partiram de pontos distintos. O segundo passo da integração nos traz esse tipo de resultado, conhecido como solução geral, pois representa, no caso do exemplo, todas as funções que possuem a taxa de variação com a característica dada pela equação 13. Isso pode ser verificado nos gráficos traçados para alguns valores de C. Essas funções são consideradas famílias de funções por compar- tilharem uma mesma propriedade. Entretanto, em alguns problemas, como esse exemplo, é solicitado que encontremos a solução particular do problema e isso é possível a partir do passo 3. A informação particular que será aplicada ao problema é fornecida no enunciado, de que y 0 1( ) = . Aplicando essa informação na solução geral, 1 2 2 y x C= + 1 1 2 02= +. C C =1 Portanto, a solução particular do exemplo é: 1 2 12 y x= + Exemplo 2: seja y x y’ = 3 2 e y 0 3( ) = . Vamos encontrar a solução geral y = f (x) e em seguida a solução particular. O primeiro passo solicita que separemos as va- riáveis, ou seja: y x y’ = 3 2 dy dx x y= 3 2 dy y x dx= 3 2 Equações diferenciais de primeira ordem Equações Diferenciais 1 17 O segundo passo é integrar ambos os lados da equação para encontrarmos a solução geral. Consultando uma tabela de integração, verificamos que dx x x C= ( ) +∫ ln e continuan- do o desenvolvimento obtemos: dy y x dx= 3 2 ln y C x C+ = +1 3 2 ln y x C= +3 y e x C= + 3 y k e x= . 3 (16) Em equações diferenciais a simplificação da constante de integração facilita a visua- lização e a utilização das funções encontradas. Repare que, nesse caso, e kC = , visto que a constante arbitrária ainda não foi definida. A equação 16 representa a solução geral do problema. O terceiro passo é determinar a solução particular a partir da aplicação do valor inicial. Como y 0 3( ) = , temos que: y k e x= . 3 3 0 3 = k e. 3 = k Portanto, a solução particular é definida como: y e x= 3 3 . 1.3 Equações homogêneas As equações diferenciais do tipo y f x y’ ,= ( ) são definidas como homogêneas se a função f x y,( ) é uma função homogênea de grau n em relação às variáveis x e y. Em outras palavras, f x y f x ynλ λ λ, ,( ) = ( ) (17) no qual n é o grau da equação homogênea. O método para solucionar equações diferenciais homogêneas sugere que a utilização da substituição y = zx faz com que a equação diferencial se torne separável em relação às variáveis x e z. Assim, o método para obter essa solução se resume em duas fases. Na primeira fase, tes- ta-se se a função é, de fato, homogênea utilizando a equação 17. Na segunda fase, utiliza-se Equações diferenciais de primeira ordem1 Equações Diferenciais18 o método descrito na segunda parte deste capítulo para resolver a equação diferencial ordi- nária separável. Exemplo 1: seja a equação diferencial: dy dx x y xy = +2 2 (18) Determine a solução geral do problema. Como desconfia-se que a equação dada é homogênea, testa-se, a partir da equação 17, a veracidade dessa informação. O método proposto aqui só pode ser utilizado nesse tipo de equação. Por mais que a mudança de variável proposta possa ser utilizada em qualquer equação de variáveis x e y, nem toda equação consegue ser simplificada na forma separável. Nesse caso, f x y x y xy ,( ) = + 2 2 . Aplicando a equação 17, obtemos: f x y x y x y x y xy x y xy λ λ λ λ λ λ λ λ ,( ) = ( ) + ( ) ( )( ) = +( ) = + 2 2 2 2 2 2 2 2 Repare, então, que a função dada respeita a identidade apresentada na equação 17 para n = 2. Nesse caso, a equação dada é homogênea. Assim, pode-se aplicar a transformação proposta da segunda fase: y zx= (19) Reescrevendo a equação 18, a partir da transformação da equação 19, obtemos: d zx dx x zx x zx ( ) = + ( ) ( ) 2 2 (20) Para simplificar essa equação, vale a pena lembrar da regra do produto para de- rivadas aprendida no cálculo diferencial e integral. Dada uma função na forma u x y g x y h x y, , . ,( ) = ( ) ( ), então: u x y g x y h x y g x y h x y’ , ’ , . , , . ’ ,( ) = ( ) ( ) + ( ) ( ) (21) Dessa forma, aplicando a regra do produto na derivada de zx : d zx dx dz dx x z ( ) = +. pois z é uma função de x na equação 20, obtemos: dz dx x z x z x zx . + = + 2 2 2 2 dz dx x z z z + = +1 2 Equações diferenciais de primeira ordem Equações Diferenciais 1 19 dz dx x z z z= + − 1 2 dz dx x z z z z = + − 1 2 2 dz dx x z = 1 (22) Repare que a equação 22 é classificada como uma equação diferencial separável. Portanto, aplicam-se os passos do método descrito na segunda parte deste capítulo para solucioná-la. Reescrevendo a equação 22: zdz dx x = Integrando: zdz dx x =∫ ∫ z C x 2 2 + = ln Reescrevendo a solução geral: e x z C 2 2 + = k e x z . 2 2 = Por fim, vale notar que a solução geral deve ser escrita em relação às variáveis originais do problema. Ou seja, refaz-se a substituição y zx= na solução geral. Assim, obtém-se: x k e z = . 2 2 x k e y x= . 2 22 Exemplo 2: seja a equação diferencial: dy dx x y x y = + + 3 3 (23) Determine a solução geral do problema. Nesse caso, inicia-se testando se a equação diferencial 23 é homogênea. Observando o formato dessa expressão, conclui-se que: f x y x y x y ,( ) = + + 3 3 (24) Equações diferenciais de primeira ordem1 Equações Diferenciais20 Aplicando o teste proposto pela equação 17 na função 24, obtemos: f x y x y x y x y f x yλ λ λ λ λ λ λ λ , ,( ) = ( ) + ( ) ( ) + ( ) = + + = ( ) 3 3 3 3 Portanto, a equação 24 é homogênea para n =1. Aplica-se, portanto, a transformação y zx= para reescrever a equação 24: dy dx x y x y = + + 3 3 d zx dx x zx x zx ( ) = + ( ) + ( ) 3 3 dz dx x z x z x z + = +( ) +( ) 1 3 3 dz dx x z z z + = + + 1 3 3 dz dx x z z z= + + − 13 3 dz dx x z z z z z = + + − +( ) + 1 3 3 3 3 . dz dx x z z = − + 1 3 2 3 1 2 +( ) − = z dz z dx x A equação resultante está na forma separável. Aplicando a integração: 3 1 2 +( ) − =∫ ∫ z dz z dx x (25) Para a solução dessa integral, utiliza-se decomposição por frações parciais, aprendida no cálculo diferencial e integral. Vejamos que se pode reescrever a expressão 3 1 2 + − z z na forma: 3 1 1 12 + − = −( ) + +( ) z z A z B z Ou seja, tirando o mínimo múltiplo comum entre as frações: 3 1 1 1 1 1 1 12 + − = +( ) −( ) +( ) + −( ) −( ) +( ) z z A z z z B z z z Equações diferenciais de primeira ordem Equações Diferenciais 1 21 3 1 12 2 + − = + + − − z z A Az B Bz z A B A B + = − = 3 1 E assim, A B= =2 1, . Portanto, 3 1 2 1 1 12 + − = − + + z z z z (26) Assim, reescrevendo a integral da equação 25, a partir da transformação indicada pela equação 26, obtemos: 2 1 1 1− + + =∫ ∫z z dz dx x 2 1 1 1− + ∫ + =∫ ∫z dz z dz dx x 2 1 1ln ln ln ln−( ) + +( ) = +z z x C ln ln ln1 12−( ) + +( ) = +z z lnx C e e e ez z lnx Cln ln ln1 1 2−( ) +( )+ = + 1 12−( ) + +( ) = +z z x C Por fim, reescrevendo a equação em função das variáveis x e y a partir da transformação y zx= , obtemos: 1 1 2 − + + = + y x y x x C Que representa a solução geral da equação. Exemplo 3: seja a equação diferencial: 2 3 1 22 2x dy dx xy y y= + ( ) = −, (27) determine sua solução geral e particular. Como nos outros exemplos, inicialmente verificamos se a função: dy dx f x y= ( ), é homogênea. Nesse caso, f x y xy y x ,( ) = +3 2 2 2 Equações diferenciais de primeira ordem1 Equações Diferenciais22 Aplicando o teste da identidade da equação 17, obtemos: f x y x y y x xy y x f x yλ λ λ λ λ λ λ λ , ,( ) = ( )( ) + ( ) ( ) = +( ) ( ) = ( ) 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 Sendo homogênea de grau 2 (n=2), aplicamos a transformação y = zx na equação 27. Obtemos: 2 32 2x d zx dx x zx zx ( ) = ( ) + ( ) 2 32 2 2 2x dz dx x z x z x z+ = + dz dx x z z z + = + 3 2 2 2 dz dx x z z = + 1 2 2 2 dz dx x z z = + 2 2 dz z z dx x+ =2 2 Que está na forma separável. Integrando ambos os lados da equação: dz z z dx x+ =∫ ∫2 1 2 dz z z dx x1 1 2+( ) =∫ ∫ (28) Essa integral também precisa ser solucionada pela decomposição em frações parciais. Veja que: 1 1 1z z A z B z+( ) = + +( ) Para algum A e algum B. Nesse caso, tirando o mínimo múltiplo comum entre as frações, 1 1 1 1 1z z A z z z Bz z z+( ) = +( ) +( ) + +( ) Equações diferenciais de primeira ordem Equações Diferenciais 1 23 1 1 1z z A Az Bz z z+( ) = + + +( ) A A B = + = 1 0 Portanto, A =1 e B = −1. Reescrevendo a equação 28 e integrando: 1 1 1 1 2z z dz dx x − + =∫ ∫ dz z dz z dx x − ∫ + =∫ ∫1 1 2 ln ln ln lnz z x C− +( ) = +1 1 2 ln lnz z x C 1 1 2 + = z z C x 1+ = . Retornando a transformação y zx= , ou seja, z y x = . y x y x C x 1+ = . (29) que representa a solução geral do problema. Para obtermos a solução particular, usamos a informação dada no enunciado de que y 1 2( ) = − . Nesse caso, substituindo x = 1 e y = –2 na equação 29, podemos obter C. −( ) + −( ) = 2 1 1 2 1 1C . C = 2 Portanto, a solução particular desse problema é dada por: y x y x x 1 2 + = Equações diferenciais de primeira ordem1 Equações Diferenciais24 Ampliando seus conhecimentos Equações diferenciais (ÇENGEL; PALM III, 2014, p. 10-11) O estudo de equações diferenciais requer um bom conhecimento dos con- ceitos fundamentais do cálculo. Veremos alguns desses conceitos: 1. Variáveis dependentes e independentes. Uma equação geralmente envolve uma ou mais variáveis. Como o pró- prio nome sugere, variável é uma grandeza que pode assumir vários valo- res durante um estudo. Uma variável com valor fixo durante o estudo é denominada constante. Constantes são geralmente denotadas pelas pri- meiras letras do alfabeto: a, b, c e d; e as variáveis, pelas últimas: t, x, y e z. Uma variável cujo valor pode mudar de maneira arbitrária é denominada variável independente ou argumento. Uma variável cujo valor depende dos valores de outras variáveis é denominada variável dependente ou função. Uma variável dependente y que tem uma relação de dependência com a variável x geralmente é expressa por y(x). Porém, essa notação é inconve- niente quando y é usada muitas vezes na mesma equação. Nesses casos, é mais adequado usar y no lugar de y(x) quando fica claro que y é função de x. Essa simplificação melhor a aparência e a leitura das equações. O valor de y em relação a um valor fixo de a é expresso por y(a). Durante o estudo, é comum a restrição de uma variável em um certo inter- valo. Um intervalo tem seus extremos limitados por dois números dos quais um é o limite superior e o outro é o limite inferior. Esse intervalo é denominado fechado se inclui os valores-limite, do contrário é denomi- nado intervalo aberto. Por exemplo, se o limite do raio de uma equação P = 2πr é estabelecido para valores entre r1 = 3 e r2 = 7,5, incluindo os valo- res-limite, pode-se dizer que o intervalo de r é de 3 a 7,5, expresso por 3 r 7,5. Como temos a inclusão dos valores-limite, dizemos que o intervalo é fechado. 2. Funções contínuas e descontínuas No estudo e na caracterização de funções, um conceito de máxima impor- tância é o da continuidade. Uma função y é chamada de contínua em um número se (1) a função é definida nesse número (isto é, y(a) é um número Equações diferenciais de primeira ordem Equações Diferenciais 1 25 finito), (2) existe o limite lim x a y x → ( ) e (3) esse é igual ao valor da função no ponto a. Ou seja, a função y é contínua em a , se lim x a y x y a → ( ) = ( ) Quando uma função não é contínua em a, dizemos que ela é descontínua ou possui uma descontinuidade em a. A função é denominada contínua em um intervalo se ela é contínua para cada número desse intervalo. A função é denominada descontínua em um intervalo mesmo que ela pos- sua descontinuidade em apenas um valor desse intervalo. 3. Derivadas e diferenciais As derivadas e diferenciais são os tijolos usados para construir as equa- ções diferenciais. A derivada de uma função y(x) em um ponto é equiva- lente à inclinação da reta tangente ao gráfico da função naquele ponto e é definida como: dy dx y x x y x xx = +∆( )− ( ) ∆∆ → lim 0 Uma função é denominada diferenciável em x se existe limite da fun- ção no ponto x. Uma função é denominada diferenciável em um inter- valo fechado se é diferenciável em cada número desse intervalo. Uma função não é diferenciável em um ponto que apresenta uma mudança abrupta de inclinação. [...] Atividades 1. Em cada um dos itens, determine a ordem da equação diferencial e diga se ela é linear ou não linear. a. xx x y’’ ’− =2 b. ydx xdy− = 0 c. d x dy x 3 3 2 0+ = 2. Verifique que a função x ye y= é uma solução para a equação linear x x x’’ ’− + =2 0 no intervalo ( , )−∞ ∞ . 3. Encontre uma solução para a equação separável yx x’ = +1. Equações diferenciais de primeira ordem1 Equações Diferenciais26 Referências BOYCE, W. E.; DIPRIMA, R. C. Equações diferenciais elementares e problemas de valores de con- torno. São Paulo: LTC, 2010. ÇENGEL, Y; PALM III. Equações diferenciais. Trad. M. E. Marques. Porto Alegre: AMGH, 2014. KENT, N, R. Equações diferenciais. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2012. ZILL, D. G.; CULLEN, M. R. Equações diferenciais. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2001. v.1. Resolução 1. a. Essa equação diferencial é de segunda ordem, pois temos o termo de segunda ordem x”; é não linear, pois temos a multiplicação xx”. b. Essa equação diferencial é de primeira ordem, pois as derivadas da expressão são todas de primeira ordem. Além disso, ela é linear, pois não há multiplicação de variáveis. c. Essa equação diferencial é de terceira ordem, pois temos o termo deterceira ordem d x dy 3 3 ; e é não linear pois temos a potência x2. 2. Analisando a função x ye y= , podemos calcular x ye ey y’ = + e x ye ey y’’ = + 2 . Fazendo uma simples substituição desses resultados em ′′ ′− + =x x x2 0, temos ( ) ( )ye e ye e yey y y y y+ − + + =2 2 0 para todo número real. Portanto, x ye y= é uma solução para x x x’’ ’− + =2 0 no intervalo ( , )−∞ ∞ . 3. Podemos reescrever a equação yx x’ = +1 da forma x x y ’ + = 1 1 . Assim, ela pode ser separada: dx x dy y+ = 1 e podemos integrar em ambos os lados da equação, obtendo: dx x dy y+ =∫ ∫1 ln lnx y C+( ) = +1 E essa é a solução geral para a equação yx x’ = +1. Podemos fazer uma escolha con- veniente fazendo C A= log ; assim, log( ) log logx y A+ = +1 log( ) logx yA+ =1 De forma que a solução geral também poderá ser escrita como: x Ay+ =1 . Equações Diferenciais 27 2 Métodos para equações de primeira ordem A importância das equações diferenciais foi amplamente discutida no primeiro capítulo. Entretanto, com os métodos discutidos, nem toda equação diferencial con- segue ser resolvida. O objetivo deste capítulo é apresentar alguns novos métodos, em especial o método do fator integrante na primeira parte e o da resolução para equações exatas na segunda. Vale ressaltar que, nos problemas reais, discute-se a possibilidade de a equação diferencial não ter solução alguma. Nesse caso, a terceira parte do capí- tulo irá apresentar um teorema central na disciplina, chamado teorema de existência e unicidade de soluções. Métodos para equações de primeira ordem2 Equações Diferenciais28 2.1 Fator integrante A forma padrão de uma equação linear de primeira ordem é dada por: dy dt p t y g t+ ( ) = ( ) (1) onde p e g são funções arbitrárias da variável independente t. Veja que a equação 1 é de primeira ordem, visto o maior grau das derivadas da equação. Nesse caso não podemos uti- lizar os métodos de resolução discutidos no Capítulo 1. Portanto, iremos utilizar o método de Leibniz, que consiste em multiplicar a equação 1 por uma função µ(t) conveniente. Essa função µ(t) é conhecida como fator integrante e sua escolha é feita quando tal multiplicação torna a equação integrável mais facilmente (BOYCE; DIPRIMA, 2010). Para entender esse método, vamos resolver a seguinte equação diferencial: dy dt y e t + = 1 2 1 2 3 (2) Iremos aplicar o método do fator integrante, explicando as dificuldades e os artifícios do cálculo diferencial e integral que precisam ser utilizados para encontrar a solução. O mé- todo por fator integrante solicita que multipliquemos a equação diferencial por uma função µ(t) em ambos os lados. Fazendo isso, reescrevemos a equação 2: u t dy dt u t y u t e t ( ) + ( ) = ( )1 2 1 2 3 (3) aplicando a propriedade distributiva. Para prosseguir no método, utilizamos a regra da de- rivada de um produto de duas funções dependentes de t. Sabemos, do cálculo diferencial e integral, que: d dt u t y u t dy dt du t dt y( ) = ( ) + ( ) (4) representa a regra proposta. O objetivo do método por fator integrante é utilizar uma função conveniente µ(t) para reescrever a equação 3 de forma simplificada. Podemos definir µ(t) verificando que: du t dt u t ( ) = ( )1 2 (5) A equação 5, portanto, indica como obter a função µ(t). Podemos fazer: du t u t dt ( ) ( ) = 1 2 Métodos para equações de primeira ordem Equações Diferenciais 2 29 du t u t dt ( ) ( ) =∫ ∫ 1 2 ln u t t C( )( ) = +1 2 u t ke t ( ) = 2 utilizando os artifícios para a constante aprendidos no capítulo anterior. Repare que a fun- ção u(t), que representa um fator integrante possível para a simplificação da equação 3, na verdade, é uma família de funções, diferenciadas pelo constante k. Qualquer k 0 escolhido gera uma função µ(t), que pode ser utilizada para solução do método. Nesse caso, escolhe- mos k =1, obtendo como fator integrante: u t e t ( ) = 2 (6) Podemos partir para a simplificação da equação diferencial 3, multiplicando ambos os lados por u(t). Nesse caso, obtemos: e dy dt e y e e t t t t 2 2 2 31 2 1 2 + = (7) Repare que a parte esquerda da equação 7 é a mesma da equação 4, escrita para o fator integrante representado na equação 6. Assim, podemos utilizar a regra do produto para reescrever a equação 7: d dt e y e e t t t 2 2 31 2 = (8) pois d dt e y e dy dt e y t t t 2 2 21 2 = + Utilizando o método de integração e simplificações na equação 8: ∫ = ∫ d dt e y dt e e dt t t t 2 2 31 2 ∫ = ∫ d dt e y dt e dt t t 2 5 61 2 e y e C t t 2 5 61 2 6 5 = +. Métodos para equações de primeira ordem2 Equações Diferenciais30 e y e C t t 2 5 63 5 = + y e C e t t = + −3 5 3 2. Obtemos a solução geral da equação 2. Além de fazer por comparação com a regra do produto, o fator integrante pode ser obtido a partir da expressão: u x e p x dx( ) = ∫ ( ) (9) quando a equação diferencial está na forma: dy dx p x y g x+ ( ) = ( ) (10) Vamos encontrar a solução geral da equação diferencial 11: x dy dx y x sen x. − =2 3 (11) Simplificando ambos os lados por x, para obtermos a expressão no formato da equação 10: dy dx y x x sen x− = 2 2 (12) Obtém-se o fator integrante pela equação 9. Nesse caso, u x e ep x dx x dx ( ) = =∫ ( ) ∫ − 2 u x e lnx( ) = −2 u x x( ) = −2 (13) Multiplica-se pelo fator integrante u x( ) e reescreve-se a equação 12. Obtemos, assim, x dy dx x y x x x sen x− − −− = ⋅2 2 2 22 (14) 1 2 2 3x dy dx y x sen x− = (15) Simplificando pela regra do produto: d dx x y sen x 1 2 = Métodos para equações de primeira ordem Equações Diferenciais 2 31 Integrando: d dx x y dx sen x dx 1 2 =∫ ∫ 1 2x y x C= − +cos y x C x= −( )2 cos Obtemos a solução geral da equação 11. 2.2 Equações exatas O último método para equações diferenciais lineares deste curso é para as equações exatas. Dada uma equação diferencial da forma: dy dx f x y= ( ), reescrevemos a equação na forma: M x y dx N x y dy, ,( ) + ( ) = 0 (16) no qual M e N são funções quaisquer. Chamamos de equação exata a equação diferencial na forma da equação 16, quando satisfaz a equação 17: ∂ ∂ = ∂ ∂ M y N x (17) O método para resolução de equações exatas afirma que existe uma função F x y,( ), tal que: ∂ ∂ = ( ) ∂ ∂ = ( ) F x M x y F y N x y , , (18) Aplicaremos o método para resolução da equação diferencial dada pela equação 19: dy dx x y = − − + 2 1 3 7 (19) Buscando reescrever no formato da equação 16: 3 7 2 1y dy x dx+( ) = − −( ) 2 1 3 7 0x dx y dy−( ) + +( ) = Métodos para equações de primeira ordem2 Equações Diferenciais32 Repare que, nesse caso, M x y x N x y y , , ( ) = −( ) ( ) = +( ) 2 1 3 7 Verificamos, em seguida, se a equação 19 é exata. Nesse caso, aplicando o teste proposto na equação 17: ∂ ∂ = = ∂ ∂ M y N x 0 Como a equação 19 é exata, podemos buscar a função F x y,( ) que satisfaz a condição dada pela equação 18: ∂ ∂ = − ∂ ∂ = + F x x F y y 2 1 3 7 (20) Esse sistema de equações diferenciais parciais pode ser resolvido por integração como apreendida no cálculo diferencial e integral, mas com alguns cuidados. Integrando uma das equações do sistema de equações: ∂ ∂ = − F x x2 1 ∫ ∂ ∂ = ∫ −( )F x dx x dx2 1 F x y x x C,( ) = − +2 Entretanto, é importantíssimo notar que a constante C obtida é uma constante em rela- ção à variável x, podendo ser variável em relação à variável y. Nesse caso, escrevemos F(x,y) como sendo: F x y x x C y,( ) = − + ( )2 (21) A segunda equação do sistema de equações 20 pode ser combinada junto com a expres- são obtida para F x y,( ) na equação 21, para encontrar o valor de C y( ) : Métodos para equações de primeira ordem Equações Diferenciais 2 33 ∂ ∂ = + F y y3 7 ∂ − + ( )( ) ∂ = + x x C y y y 2 3 7 ∂ ( ) ∂ = + C y y y3 7 ∫ ∂ ( ) ∂ = ∫ +( ) C y y dy y dy3 7 C y y y K( )= + +3 2 7 2 (22) Assim, podemos escrever a F x y,( ) combinando a expressão obtida na equação 21, com a expressão para C y( ) obtido na equação 22: F x y x x y y K,( ) = − + + +2 23 2 7 Repare que outras formas de obter F x y,( ) podem ser realizadas dependendo da álge- bra que for escolhida. Para exemplificar isso, buscaremos a solução particular da equação diferencial separando em um passo a passo do que deve ser feito para sua resolução: x y dx xy x dy y+( ) + + −( ) = ( ) =2 22 1 0 1 1; (23) Passo 1: verificar se a equação diferencial é exata. Para isso, comparamos com a equação 16, identificando que: M x y x y N x y xy x , , ( ) = +( ) ( ) = + − 2 22 1 e testamos a identidade fornecida na equação 17: ∂ ( ) ∂ = +( ) = ∂ ( ) ∂ M x y y x y N x y x , , 2 Métodos para equações de primeira ordem2 Equações Diferenciais34 Passo 2: buscamos uma função F x y,( ) que satisfaça a condição dada pela equação 18. Nesse caso, ∂ ∂ = +( ) ∂ ∂ = + − F x x y F y xy x 2 22 1 (24) Aplicando os métodos de integração, obtemos: ∂ ∂ = + − F y xy x2 12 ∫ ∂ ∂ = ∫ + −( )F y dy xy x dy2 12 F x y xy x y y C x,( ) = + − + ( )2 2 Reparemos que a constante C x( ) é constante apenas em função de x. Substituindo no sistema de equações diferenciais 24: ∂ ∂ = +( )F x x y 2 ∂ + − + ( )( ) ∂ = + + xy x y y C x x x xy y 2 2 2 22 y xy C x x x xy y2 2 22 2+ + ∂ ( ) ∂ = + + ∂ ( ) ∂ = C x x x2 C x x K( ) = + 3 3 (25) E, portanto, F x y xy x y y x K,( ) = + − + +2 2 3 3 A equação 25 foi resolvida aplicando substituição da prévia da solução encontrada an- teriormente. Entretanto, poderia ser aplicada uma nova integração e a solução poderia ser obtida por comparação. Ambas as abordagens possuem o mesmo grau de dificuldade. A solução geral da equação diferencial dada é: F x y xy x y y x K,( ) = + − + +2 2 3 3 Métodos para equações de primeira ordem Equações Diferenciais 2 35 Veja que podemos encontrar a solução particular, visto que é fornecido que y 1 1( ) = . Logo, K = −4 3/ . 2.3 Teorema de existência e unicidade de soluções Vamos enunciar o teorema fundamental da existência e unicidade para problemas de valor inicial de primeira ordem. Teorema 1: suponha que as funções f e ∂ ∂f y/ são contínuas em um retângulo limitado por α β γ δ< < < <t y; contendo o ponto ( , )t y0 0 . Então, em algum intervalo t h t t h0 0− < < + contido em α β< <t existe uma única solução para o problema de valor inicial: y f t y’ ( , )= (26) y t y( )0 0= (27) onde y0 é um valor inicial arbitrário dado. O fato de não haver um método de resolução que se aplique a todos os casos faz com que a demonstração da existência de uma solução para as equações 26 e 27 seja feita indi- retamente. É necessário obter uma sequência de funções que converge para uma função limite. Tal sequência deve satisfazer o PVI (problema de valor inicial), mas individualmente seus elementos não satisfazem essas condições. As características principais desse teorema podem ser encontradas em Boyce e DiPrima (2010). Vamos utilizar um exemplo de PVI para discutir o teorema 1. y t y’ ( )= +2 1 (28) y( )0 0= (29) É preciso resolver o PVI pelo método de aproximações sucessivas. Inicialmente, se y t=φ( ), então podemos escrever que: φ φ( ) [ ( )]t s s ds t = +∫2 1 0 (30) Fazendo a aproximação inicial φ0 0( )t = , temos: φ φ1 0 0 2 1( ) [ ( )]t s s ds t = +∫ (31) φ1 2( )t t= (32) Métodos para equações de primeira ordem2 Equações Diferenciais36 Da mesma forma, temos: φ φ2 1 0 2 1( ) [ ( )]t s s ds t = +∫ (33) φ2 2 4 2 ( )t t t= + (34) φ φ3 2 0 2 1( ) [ ( )]t s s ds t = +∫ (35) φ3 2 4 6 2 2 3 ( ) . t t t t = + + (36) Intuitivamente, as equações indicam para n ≥1 a sequência: φn n t t t t t n ( ) ! ! ... ! = + + + +2 4 6 2 2 3 (37) que pode ser deduzida por indução matemática. Essa prova pode ser encontrada em Boyce e DiPrima (2010, p. 87). Observando a equação 37, podemos dizer que φn t( ) é a n-ésima soma parcial da série: t k k k 2 1 != ∞ ∑ (38) Assim, o limite de φn t( ) com n tendendo ao infinito existe se, e somente se, a série da equação 38 converge. Para verificar a convergência dessa série, aplicamos o teste da razão que afirma que uma série é convergente quando: lim n n n a a→∞ + <1 1 para uma série infinita: n n k k k na a a a a a a a = ∞ − +∑ = + + +…+ + + +… 1 0 1 2 1 1 e verificamos que para cada t: t k k t t k k k 2 2 2 2 1 1 0 + + = + → ( )! ! (39) quando k→∞ . Dica: Lembre-se: k k k k! . . . . .= −( ) −( )…1 2 3 2 1 Portanto a série converge e sua soma é o limite da sequência φn t( ) . Métodos para equações de primeira ordem Equações Diferenciais 2 37 A série da equação 39 pode ser integrada ou diferenciada se t permanecer no intervalo de convergência, pois ela é uma série de Taylor. Assim, temos que a: φn k k t t k ( ) ! = = ∞ ∑ 2 1 (40) é solução para a equação 28. Para analisarmos a unicidade, faremos a prova por redução ao absurdo, conforme os passos seguidos por Boyce e DiPrima (2010, p. 89). Supondo inicialmente que o PVI tem duas soluções φ e ψ , ambas satisfazem a equação 28. Fazendo a seguinte subtração: φ ψ φ ψ( ) ( ) [ ( ) ( )]t t s s s ds t − = −∫2 0 (41) e tomando valores absolutos se t >0: φ ψ φ ψ φ ψ( ) ( ) [ ( ) ( )] ( ) ( )t t s s s ds s s s ds t t − = − ≤ −∫ ∫2 2 0 0 (42) Se restringirmos t ao intervalo 0 ≤ t ≤ A/2, sendo A um valor arbitrário, teremos 2t ≤ A: φ ψ φ ψ( ) ( ) ( ) ( )t t A s s ds t − ≤ −∫ 0 (43) Fazendo uso de uma definição para uma função U, convenientemente, U t s s ds t ( ) ( ) ( )= −∫ φ ψ 0 (44) onde: U ( )0 0= (45) U t( ) ≥ 0 (46) para t >0. Também U é diferenciável com U t t t’( ) ( ) ( )= −φ ψ . Assim, por meio da equação 46, podemos fazer: U t AU t’( ) ( )− ≤ 0 (47) Multiplicar esse resultado por um valor positivo conveniente e escrevê-lo na forma de derivada não irá alterar a desigualdade: e U tAt− ≤( ) ’ 0 (48) integrando esse resultado de zero a t, temos para t >0: e U tAt− ≤( ) 0 (49) Métodos para equações de primeira ordem2 Equações Diferenciais38 Ou seja, se U(t) 0 para t >0, e também como obtemos na equação 49 U(t) ≥ 0 para t >0, então U(t) = 0 para t >0. Dessa forma, U’(t) = 0 e, portanto, temos como conclusão φ ψ( ) ( )t t= , que é um absurdo segundo a hipótese inicial. Dessa forma, podemos afirmar que a solução é única para t > 0 e para t < 0 é análogo. Ampliando seus conhecimentos Caos, de Jhon H. Hubbard. (ZILL; CULLEN, 2001, p. 221) Uma história famosa de ficção científica conta que um político, após ter ganho uma eleição, realizou uma viagem em uma máquina do tempo de volta à era dos dinossauros. Enquanto estava lá, tomou todo o cuidado para não perturbar nada. Mesmo assim, ele pisou sem querer em uma folha de grama e a entortou. Quando voltou ao seu tempo, descobriu que neste mundo modificado ele tinha perdido a eleição. Isto é o que os matemáticos têm em mente quando dizem que um sis- tema apresenta caos: mínimas variações na condição inicial de um sistema podem decisivamente afetar o resultado. Estamos falando do efeito bor- boleta. [...] Uma justificativa para o efeito borboleta não é de maneira alguma óbvia. Não temos uma máquina do tempo disponível; não podemos voltar no tempo seis semanas, pegar uma borboleta (sem perturbar nada, qualquer que seja o significado disto) e então retornar e observar as consequências. Precisamos tomar outro caminho. [...] A próxima questão com que devemos nos deparar é: o que corresponde ao número um bilionésimo acima? Qual proporção do sistema (a atmos- fera) representa nosso distúrbio (uma borboleta)? Uma maneira (talvez contestável) de estimar isso é simplesmente medir a razão das massas. O peso de uma borboleta grande é cerca de 1 grama, e a massa da atmosfera pesa 5 x 1021 gramas. Métodos para equações de primeira ordem Equações Diferenciais 2 39 A pressão atmosférica é de aproximadamente 1 kg/cm², ouseja, há 1 kg de ar acima de todo centímetro quadrado da Terra. A área de uma esfera de raio r é 4πr2, e o raio da Terra é de cerca de 6000 km. Então, o peso da massa atmosférica é 1000 x 4 π x (6 x 108)2 gramas. Logo, uma bor- boleta não é um bilionésimo do tamanho do sistema; ela é precisamente mil-bilhão-bilionésimo. Como 5 x 1021 é aproximadamente 272, deve levar cerca de 72 períodos de duplicação para os efeitos de uma única borboleta induzirem perturba- ções em uma escala global. Uma consequência dessa análise é que precisões do tempo para períodos longos são completamente impossíveis. É inconcebível que alguém possa saber o estado da atmosfera como consequência do efeito de uma borbo- leta, ou mesmo em uma escala mil bilhões de vezes maior. Perturbações dessa escala decisivamente afetam a atmosfera em um mês. Físicos, químicos, astrônomos e matemáticos estão mostrando agora que uma enorme quantidade de sistemas apresentam “caos”, no sentido de que estão se expandindo e têm um tempo de duplicação para erros. [...] A presença de caos tem um efeito devastador sobre as previsões, mas algumas vezes é útil; às vezes, o caos pode ser controlado. A Nasa não é capaz de construir foguetes com combustível suficiente para alcançar grandes distâncias. Então, eles fizeram com que o foguete tocasse delicadamente em Vênus, roubando dele um pouco da energia potencial necessária para alcançar a fantástica velocidade requerida. Apenas uma pequena variação na trajetória pode provocar uma grande variação na velocidade do foguete, e trajetória é um projeto factível. Mas imagine como isso dificulta precisões para longas trajetórias como órbitas de cometas, por exemplo. A presença de caos também tem consequências filosóficas, como, por exemplo, o conflito entre determinismo e contingência. Como o ser humano pode ser livre se o universo é completamente governado por leis determinísticas? Métodos para equações de primeira ordem2 Equações Diferenciais40 Atividades 1. Determine uma solução geral para o problema do valor inicial: y y y’ ;− = ( ) =2 0 0 1 2. Encontre uma solução geral para a seguinte equação diferencial: − + =3 4 0 dy dt y 3. Encontre uma solução geral para a seguinte equação diferencial: dy dt ty+ =4 0 Referências BOYCE, W. E.; DIPRIMA, R. C. Equações diferenciais elementares e problemas de valores de con- torno. São Paulo: LTC, 2010. ZILL, D. G.; CULLEN, M. R. Equações diferenciais. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2001. v.1. KENT, N, R. Equações diferenciais. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2012. Resolução 1. A equação diferencial dada é: dy dx y− =2 0 Veja que podemos escrever: dy dx y= 2 Ou seja, dy y dx 2 = E integrar ambos os lados, obtendo: ∫ = ∫ dy y dx 2 Métodos para equações de primeira ordem Equações Diferenciais 2 41 1 2 ∫ = ∫ dy y dx 1 2 ln y x C( ) = + ln y x C( ) = +2 2 y e x C= +2 2 y x C e x( ) = 1 2 que é a solução geral procurada. Como a condição de contorno é de que y 0 1( ) = , temos C1 1= . Logo, y x e x( ) = 2 2. Para a equação diferencial dada: − + =3 4 0 dy dt y podemos escrever: − = −3 4 dy dt y dy dt y= 4 3 dy y dt= 4 3 Integrando ambos os lados: ∫ = ∫ dy y dt 4 3 ln y t C( ) = +4 3 y t e t C ( ) = + 4 3 Métodos para equações de primeira ordem2 Equações Diferenciais42 3. A equação diferencial dada é: dy dt ty+ =4 0 dy dt ty= −4 dy y tdt= −4 Integrando ambos os lados: ∫ = ∫ − dy y tdt4 ln y t C( ) = − +4 2 2 ln y t C( ) = − +2 2 y t e t C( ) = − +2 2 y t C e t( ) = −1 2 2 Equações Diferenciais 43 3 Equações lineares de segunda ordem Quando formulamos um modelo matemático para simular um fenômeno físico, muitas vezes a equação diferencial estipulada envolve derivadas de ordem maior que 1. Quando a equação diferencial descreve a relação da taxa de variação segunda com outras variáveis, dizemos que ela é uma equação diferencial de segunda ordem e alguns métodos facilitam sua resolução. O objetivo deste capítulo é classificar e resolver algumas dessas equações diferenciais. Na primeira parte, buscamos des- crever os fundamentos e conceitos dessas equações, apresentando alguns auto- res que facilitam a descrição do assunto. Na segunda, buscamos descrever como resolver equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes, os quais são um tipo simplificado entre as possíveis equações de segunda ordem. Por fim, apresentamos, na terceira parte, um método para resolver a equação de Euler-Cauchy homogênea. Equações lineares de segunda ordem3 Equações Diferenciais44 3.1 Fundamentos e conceitos das equações diferenciais de segunda ordem As equações diferenciais de segunda ordem são muito utilizadas em problemas de Física e Matemática. Geralmente os problemas têm como variável independente o tempo. Sendo f uma função dada e t a variável que denota o tempo, temos uma equação diferencial de segunda ordem na forma: d y dt f t y dy dt 2 2 = ( , , ) (1) e ela será linear se f t y dy dt g t p t dy dt q t y( , , ) ( ) ( ) ( )= − − (2) A equação 1 também pode ser escrita de duas outras formas: y p t y q t y g t’’ ( ) ’ ( ) ( )+ + = (3) P t y Q t y R t y G t( ) ’’ ( ) ’ ( ) ( )+ + = (4) de maneira que, se P(t) 0, podemos obter a equação 3 se dividirmos a equação 4 por P t( ) . Então, se a equação 1 não puder ser escrita como a equação 3 ou a 4, então ela será uma equação não linear, por exemplo: d x dt x x 2 2 21 0+ + = Se ocorrer g t( ) = 0 ou G t( ) = 0, então a equação é homogênea, ou seja, dado f x y f x yλ λ, ,( ) = ( ), como foi apresentado nos capítulos anteriores. Caso contrário, teremos uma equação não homogênea. Geralmente, podemos resolver uma equação não homogênea quando temos a correspondente equação homogênea resolvi- da (BOYCE; DIPRIMA, 2010), o que será visto ao longo deste capítulo. Um problema de valor inicial (PVI) para a equação 1 deverá conter duas condições ini- ciais, visto que a solução geral possuirá duas constantes arbitrárias a serem definidas. Por exemplo, pode ser dado: y t y( )0 0= (5) y t y’( ) ’0 0= (6) onde y0 e y ’0 são valores conhecidos. Ou seja, além do ponto inicial ( , )t y0 0 que deve per- tencer ao gráfico da solução, as condições iniciais fornecem o coeficiente angular y ’0 da reta tangente ao gráfico no ponto inicial (BOYCE; DIPRIMA, 2010). Quando as funções da equação 4 forem constantes e o termo independente G t( ) for nulo, temos: Equações lineares de segunda ordem Equações Diferenciais 3 45 ay by cy’’ ’+ + = 0 (7) onde a, b e c são constantes. Um exemplo de resolução para esse tipo de equação foi reali- zado por Boyce e DiPrima (2010, p. 106). Outros exemplos de mesmo grau de dificuldade podem ser consultados em Farlow (2012). Vamos observar a equação 8, dada por: y y’’− = 0 (8) Podemos concluir que estamos procurando uma função cuja derivada de segunda or- dem seja igual à própria função, basta colocar o y do outro lado da igualdade. Utilizando nossos conhecimentos de cálculo, podemos pensar que a função procurada pode ser y t et1( ) = ou y t e t2( ) = − . Além disso, múltiplos constantes dessas funções também são solução para a equação 8, bem como a soma de suas soluções também pode ser uma solução. Ou seja, a combinação linear das funções y t et1( ) = e y t e t 2( ) = − representada por: y c y t c y t= +1 1 2 2( ) ( ) (9) y c e c et t= + −1 2 (10) também é uma solução para a equação 8, para quaisquer valores de c1 e c2. Como temos uma família de soluções possíveis, como na solução geral das equa- ções diferenciais de primeira ordem, podemos determinar qual solução satisfaz as condições iniciais: y( )0 2= (11) y ’( )0 1= − (12) Ou seja, procuramos uma função que contenha o ponto (0,2) cuja reta tangente possui coe- ficiente angular –1. Para encontrar a solução para essas condições, substituímos a condição da equação 11 na equação 10: 2 1 0 2 0 1 2= + = +c e c e c c (13) Em seguida, derivamos a equação 10, obtendo:y c e c et t’ = − −1 2 e substituímos nesse resultado a condição da equação 13, tendo assim: − = −1 1 2c c (14) Podemos agora resolver um sistema de equações composto pelas equações 13 e 14: 2 1 1 2 1 2 = + − = − c c c c Equações lineares de segunda ordem3 Equações Diferenciais46 Obtemos o resultado c1 1 2 = e c2 3 2= / . Esse resultado agora é inserido na equação 10, para termos então a solução para o PVI: y e et t= + − 1 2 3 2 (15) Voltando agora para o caso geral, dado pela equação 7, e supondo uma solução expo- nencial para esse caso como y ert= , y r e y r ert rt’ . , ’’= = 2 , onde r pode assumir qualquer valor. Assim, a equação 7 terá a seguinte forma: a by cy ar e bre cert rt rt’’ ’+ + = + +0 2 ar br c ert2 0+ +( ) = (16) e quando ert 0, temos: ar br c2 0+ + = (17) que é conhecida como equação característica da equação 7, onde r são as raízes dessa equação (ZILL, 2001). Supondo que as raízes da equação 16 sejam reais e distintas, podemos dizer que: y t er t1 1( ) = y t er t2 2( ) = são soluções da equação 7 e, portanto, a combinação linear dessas soluções também será. Assim, temos uma infinidade de soluções dada por: y c e c er t r t= +1 21 2 (18) Impondo as condições iniciais: y t y( )0 0= (19) y t y’( ) ’0 0= (20) Tais condições, quando inserimos na equação 17, obtemos: y c e c er t r t0 1 21 0 2 0= + (21) Derivando a equação 17 e substituindo a condição da equação 19, obtemos: y c r e c r er t r t’0 1 1 2 21 0 2 0= + (22) Agora, resolvendo o sistema de equações composto pela equação 20 e pela equação 21, temos como solução: Equações lineares de segunda ordem Equações Diferenciais 3 47 c y y r r r e r t1 0 0 2 1 2 1 0= − − −’ (23) c y r y r y r e r t2 0 1 0 1 0 2 2 0= − − − ’ Dessa forma, temos que a equação 17 é solução geral para o PVI dado pela equação 7, com restrições dadas pelas equações 18 e 19 (BOYCE; DIPRIMA, 2010). Notemos, portanto, que a solução geral de uma equação diferencial do segundo grau terá dois coeficientes a determinar. Nas próximas seções iremos definir alguns métodos para resolução de algumas equações diferenciais do segundo grau. 3.2 Métodos de resolução para equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes A forma geral de uma equação diferencial de segunda ordem é aquela apresentada na primeira seção: d y dt f t y dy dt 2 2 = , , Ou seja, define-se a taxa de variação segunda da função y em função de diversos fato- res. Entretanto, algumas dessas equações se apresentam em formatos mais simplificados, assumindo a forma apresentada na equação 24: d y dt a dy dt a y 2 2 1 0 0+ + = (24) Nesse caso, dizemos que a1 e a0 são coeficientes constantes pertencentes ao conjunto dos números reais e a equação 24 é considerada como uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes. Como visto na primeira seção, considera-se que y t ert( ) = é uma das solu- ções dessa equação, com r a determinar. Nesse caso, ′( ) =y t rert e ′′( ) =y t r ert2 . Substituindo essa solução na equação 24, obtemos: r e a re a ert rt rt2 1 0 0+ + = e r a r art 2 1 0 0+ +( ) = r a r a2 1 0 0+ + = (25) Equações lineares de segunda ordem3 Equações Diferenciais48 Como visto, a equação 25 é considerada como a equação característica que possui di- ferentes soluções para r em função dos diversos valores de a1 e a0 conhecidos. Vejamos os três casos. 2 Caso 1: se as soluções da equação característica são reais e distintas. Suponha a seguinte equação diferencial: d y dt dy dt y 2 2 2 8 0+ − = Sua equação característica é dada por: r r2 2 8 0+ − = Resolvendo essa equação, obtemos duas soluções para r1 2= e r2 4= − , visto que: r r r r2 2 8 2 4+ − = −( ) +( ) No caso 1 a solução geral é dada por: y t k e k er t r t( ) = +1 21 2 Ou seja, a solução geral para o exemplo dado é: y t k e k et t( ) = + −1 2 2 4 2 Caso 2: se as soluções da equação característica são reais mas possuem mul- tiplicidade 2, como é o caso da seguinte equação diferencial: d y dt dy dt y 2 2 4 4 0+ + = (26) Nesse caso, sabemos que y t k er t1 1 1( ) = é solução para algum r1. Entretanto, existe uma segunda solução para essa equação. Como a nova solução deve apresentar uma família de soluções, ela não pode ser do mesmo formato que y t1 ( ). Uma das suposições é que seu for- mato seja dado por: y t c t y t2 1( ) = ( ) ( ) y t c t k er t2 1 1( ) = ( ) Nesse caso, reparemos que para ser solução da equação diferencial, ′′( ) =c t 0. Ou seja, y t k ter t2 2 1( ) = A solução geral para o caso 2 se torna: y t k e k tert rt( ) = +1 2 (27) no qual r r r= =1 2, visto que as raízes da equação característica são iguais. No exemplo dado pela equação 26, sua equação característica é: Equações lineares de segunda ordem Equações Diferenciais 3 49 r r2 4 4 0+ + = r +( ) =2 02 Ou seja, r = – 2 é uma raiz com multiplicidade 2 da equação dada. A solução geral é dada pela equação 27, que nesse caso se torna: y t k e k tet t( ) = +− −1 2 2 2 y t k tk e t( ) = +( ) −1 2 2 2 Caso 3: se as raízes da equação característica não são reais, ou seja, possuem duas raízes complexas. Podemos escrever essas raízes no formato r a bi1 = + e r a bi2 = − , onde i é a unidade imaginária, visto que as raízes são conjugadas. Portanto, a solução apresentada na parte anterior poderia ser reescrita como: y t k e k ea bi a bi( ) = ++ −1 2 Essa solução pode ser escrita na forma simplificada ao ser conhecida a relação de Euler e combinações lineares específicas. Essa demonstração pode ser encontrada em Boyce e DiPrima (2010). Nesse caso, a solução y(t) é dada por: y t k e bt k e sen btat at( ) = ( ) + ( )1 2cos (28) Suponhamos a seguinte equação diferencial: d y dt y 2 2 0+ = Nesse caso, sua equação característica é dada por: r 2 1 0+ = r 2 1= − E as duas soluções complexas são r i1 = − e r i2 = . Substituídas na solução geral dada pela equação 28, obtemos: y t k t k sent( ) = +1 2cos Seguem alguns exemplos. Seja a equação diferencial: d y dt dy dt y 2 2 2 0− − = Encontramos inicialmente a equação característica. Nesse caso, seu formato será: r r2 2 0− − = r r−( ) +( ) =2 1 0 Equações lineares de segunda ordem3 Equações Diferenciais50 Indicando que essa equação diferencial possui duas raízes reais distintas, r1 2= e r2 1= − . Repare que ela se enquadra no primeiro caso. Sendo assim, sua solução geral é dada por: y t k e k et t( ) = + −1 2 2 O processo de resolução dessas equações diferenciais pode, portanto, ser separado em três passos: Passo 1: determinar a equação característica da equação diferencial dada. Passo 2: encontrar as soluções da equação característica e classificar, em relação às suas raízes, em qual dos três casos ela se apresenta. Passo 3: utilizar o modelo de solução fornecido para cada caso. Se são dadas condições de contorno para as soluções iniciais, então continuamos com um 4º passo, procurando suas constantes. Por exemplo, seja a equação diferencial dada por: 4 12 9 0 2 2 d y dt dy dt y+ + = com condições de contorno y 0 2( ) = − e ′( ) = −y 0 1. Utilizaremos o passo a passo para de- terminar a solução geral dessa equação. O primeiro passo pede que determinemos a sua equação característica. Nesse caso, 4 12 9 02r r+ + = Na sequência, o segundo passo pede que encontremos as soluções dessa equação para classificarmos de acordo com um dos três casos. Nesse caso, verificamos que a equação pos- sui uma raiz única real com multiplicidade 2, r = − 3 2 . Isso enquadra nossa solução no caso 2. Assim sendo, utilizamos o passo 3 para definir a solução: y t k e k te t t ( ) = + − − 1 3 2 2 3 2 (29) Como estamos tratando de um problema de valor inicial, podemos determinar o valor de k1 e k2 a partir dos valores dados. Sabemos que y 0 2( ) = − . Nesse caso, substituindo essa infor- mação na solução geral dada pela equação 29: y k e k e0 0 22 0 2 0( ) = + = −. . k2 2= − Reescrevendo a equação 29: y t k e tet t ( ) = − − − 1 3 2 3 22 Para determinar a constante k1, utilizamos a informação de que y ’ 0 1( ) = − . Derivando a equação 29 pela derivada da função exponencial e pela regra de derivada do produto e substituindo a informação dada: Equações lineares de segunda ordem Equações Diferenciais 3 51 y t k e e t e t t t ’ .( ) = − − − − − − − 1 3 2 3 2 3 23 2 2 2 3 2 y k e e’ 0 3 2 2 0 11 0 0( ) = − − − = − − = 3 2 11 k k1 2 3 = − Ou seja, a solução particular para o exemplo dado é: y t e te t t ( ) = − − − − 2 3 2 3 2 3 2 3.3 Equação de Euler-Cauchy homogênea Vimos que uma forma simplificada da equação diferencial de segunda ordem é aquela apresentada na equação 24, na qual os coeficientes a0 e a1 são constantes. d y dt a dy dt a y 2 2 1 0 0+ + = (24) Uma equação um pouco mais complexa pode ser apresentada no formato da equação 30: f t d y dt f t dy dt f t y1 2 2 2 3 0( ) + ( ) + ( ) = (30) Nesse caso, f1(t), f2(t) e f3(t) apresentam funções no lugar dos coeficientes constantes. Se f t at1 2( ) = , f t bt2 ( ) = e f t c3 ( ) = , temos um caso particular dessa equação diferencial, que é conhecida como equação de Euler-Cauchy de segunda ordem. Esse caso particular é dado pela equação 31: at d y dt bt dy dt cy2 2 2 0+ + = (31) Para encontrar a solução geral de uma equação diferencial como a equação 31, defini- mos uma possível função y = f (t) que seja solução dessa equação. No caso da equação com coeficientes constantes, definimos y = e t como uma possível solução. A escolha dessa função acontece, muitas vezes, por tentativa e erro, o que evidencia por que o processo de resolução de equação diferencial é tão custoso e separa cada uma das equações por tipo. Uma possível solução para a equação 31 é dada por: y f t tm= ( ) = Equações lineares de segunda ordem3 Equações Diferenciais52 com m a determinar. Se for solução, deve-se substituir essa função na equação 31 e verificar a veracidade. Como: y tm= dy dt m tm= −. 1 d y dt m m tm 2 2 21= −( ) −. , substituindo na equação 31, obtemos: at m m t b t m t c tm m m2 2 11 0. . . . . .−( ) + + =− − am m t b m t c tm m m−( ) + + =1 0. . . . am m b m c−( ) + + =1 0. que é classificada como equação auxiliar. Repare que y f t tm= ( ) = é solução para qualquer m que satisfaça a equação auxiliar. Assim, iremos classificar as soluções em relação a cada tipo de raízes encontradas, como foi feito na seção 3.2. Após a classificação, veremos um exemplo de cada caso. 2 Caso 1: Se as raízes da equação auxiliar forem reais e distintas, então tanto m1 e m2 geram uma solução para o problema. Portanto, temos duas famílias de soluções: f t tm1 1( ) = f t tm2 2( ) = A solução geral é a combinação linear dessas duas soluções. Ou seja, f t k t k tm m( ) = +1 21 2 2 Caso 2: Se as raízes da equação auxiliar forem reais mas possuírem multipli- cidade 2, então m gera uma família de soluções para o problema. Uma das soluções é dada por: f t tm1 1( ) = A outra solução não pode ser uma combinação linear de f1, pois já estará contida na solução geral. Nesse caso, podemos supor que a outra família de soluções será dada por: f t g t f t2 1( ) = ( ) ( ). Se f t2 ( ) é solução, então satisfaz a equação 31. Derivando f t2 ( ): f t g t f t g t f t2 1 2 ’ ’ . . ’( ) = ( ) ( ) + ( ) ( ) Equações lineares de segunda ordem Equações Diferenciais 3 53 Derivando f t2 ’ ( ): f t g t f t g t f t g t f t g t f t2 1 1 1 1 ’’ ’’ . ’ . ’ ’ . ’ . ’’( ) = ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( )) f t g t f t g t f t g t f t2 1 1 12 ’’ ’’ . ’ . ’ ’’( ) = ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) Substituindo na equação 31: at g t f t g t f t g t f t b t g t f t2 1 1 1 12’’ . ’ . ’ ’’ . . ’ .( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( )( ) + ( ) ( )) + ( ) ( )( ) + ( ) ( ) =g t f t c g t f t. ’ . .1 1 0 Agrupando os termos, colocando g t g t e g t( ) ( ) ( ), ’ ’’ em evidência: g t at f t g t at f t btf t g t at f t’’ ’ . ’ . ’’( ) ( )( ) + ( ) ( ) + ( )( ) + ( ) (2 1 2 1 1 2 12 )) + ( ) + ( )( ) =btf t cf t1 1 0’ Repare que at f t btf t cf t2 1 1 1 ’’ ’( ) + ( ) + ( ) é a equação 31, de Euler-Cauchy. Como ela vale 0, podemos continuar a substituição: g t at f t g t at f t btf t’’ ’ . ’( ) ( )( ) + ( ) ( ) + ( )( ) =2 1 2 1 12 0 Substituindo f t tm1 ( ) = , obtemos: g t at t g t at m t bttm m m’’ ’ . .( )( ) + ( ) +( ) =2 22 0 at g t amt bt g tm m m+ + +( ) + +( ) ( ) =2 2 12 0’’ ’ Dividindo por t m: at g t amt bt g t2 2 0’’ ’( ) + +( ) ( ) = Repare que 2 1am b+ = e, portanto: at g t t g t2 0′′ ′( ) + ( ) =. atg t g t′′ ′( ) + ( ) = 0 Considerando z g t= ( )’ : atz t z′( ) + = 0 que é uma equação diferencial de primeira ordem. Como a solução vista no Capítulo 1: z t g t= = ( )1 ’ Portanto, ′( ) =g t t 1 g t t( ) = ln Equações lineares de segunda ordem3 Equações Diferenciais54 O que nos mostra que a segunda família de soluções procurada é do tipo: f t t tm2 ( ) = ln E a solução geral para o segundo caso é: f t k t k t tm m( ) = +1 2 ln 2 Caso 3: Se as duas raízes da equação auxiliar forem complexas. Nesse caso, as raí- zes complexas podem ser escritas como: m a bi1 = + m a bi2 = − A demonstração da solução geral pode ser encontrada em Boyce e DiPrima (2010) e foge do escopo deste livro. Nesse caso, sua solução é dada por: f t t k b t k sen blnta( ) = ( ) + ( )( )1 2cos ln Exemplo 1: encontrar a solução geral da seguinte equação diferencial: t d y dt t dy dt y2 2 2 3 3 0+ + = Reparemos que essa equação é do tipo Euler-Cauchy homogênea. Os três passos da- dos para resolver equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes podem ser utilizados aqui, observando o fato de que a análise das raízes é feita em relação à equação auxiliar, e não à equação característica. O primeiro passo é determinar a equação auxiliar da equação dada. Nesse caso, am m bm c−( ) + + =1 0 é a equação auxiliar ao substituir a b e c= = =1 3 3, . Obtemos: m m m−( ) + + =1 3 3 0 O segundo passo é definir as raízes da equação auxiliar para classificar em qual dos três casos essa equação se enquadra. Veja que: m m m−( ) + + =1 3 3 0 m m m2 3 3 0− + + = m m2 2 3 0+ + = Equações lineares de segunda ordem Equações Diferenciais 3 55 Utilizando algum método para encontrar raízes, verificamos que essa equação possui duas raízes complexas: m i1 1 2= − + . m i2 1 2= − − . Assim, ela se enquadra no terceiro caso. O terceiro passo é encontrar a solução geral. A solução geral desse modelo é dada por: f t t k b t k sen b ta( ) = ( ) + ( )( )1 2cos ln ln Ou seja, f t t k t k sen t( ) = +( )−1 1 22 2cos( .ln ) ( ln ) Perceba que, com todo o desenvolvimento para encontrar as soluções, o método de re- solução se resume apenas em analisar raízes de uma equação do segundo grau e substituir na solução adequada. Exemplo 2: encontrar a solução geral da seguinte equação diferencial: t d y dt t dy dt y2 2 2 3 3 0− + = O primeiro passo é encontrar a equação auxiliar. Veja que a =1, b = −3 e c = 3. Portanto, a equação auxiliar é: am m bm c−( ) + + =1 0 m m m−( ) − + =1 3 3 0 m m m2 3 3 0− − + = m m2 4 3 0− + = m m−( ) −( ) =3 1 0 O segundo passo é determinar as raízes e classificar a equação. As raízes são m1 3= e m2 1= . Assim, trata-se de uma equação do primeiro caso, cuja solução é: y t k t k tm m( ) = +1 21 2 O terceiro passo é definir a solução com base no caso. Assim, sua solução geral é: y t k t k t( ) = +1 3 2 Equações lineares de segunda ordem3 Equações Diferenciais56 Ampliando seus conhecimentos Para determinar as raízes de uma equação característica, a maneira mais conveniente é pela fórmula de Euler e algumas regras algébricas, dadas na seção 3.3, de Boyce e DiPrima. Transcrevemos o trecho a seguir. Equações diferenciais elementares e problemas de valores de contorno (BOYCE; DIPRIMA, 2010, p. 121-125) Para atribuir significado às expressões y t i t1( ) exp= +( ) λ µ e y t i t2( ) exp= −( ) λ µ , precisamos definir a funçãoexponencial complexa. É claro que queremos que a definição se reduza à função exponencial real habitual quando o expoente for real. Existem várias maneiras de descobrir como essa extensão da função exponencial deveria ser definida. Vamos usar aqui um método baseado em séries infinitas [...]. Lembre-se do Cálculo que a série de Taylor para et em torno de t = 0 é e t n tt n n = −∞ < < ∞ = ∞ ∑ ! ;0 (1) Se supusermos que podemos substituir t por it na equação (1), teremos e it n t n i t n it n n n n n n n n = = − + − −= ∞ = ∞ − − = ∑ ∑( )! ( ) ( )! ( ) ( )!0 2 0 1 2 11 2 1 2 111 ∞ ∑ (2) onde separamos a soma em suas partes real e imaginária, usando o fato de que i i i i i2 3 41= − = − =; ; , e assim por diante. A primeira série na equação (2) é precisamente a série de Taylor para cos t em torno de t = 0 e a segunda é a série de Taylor para sen t em torno de t = 0. Temos, então, e t i tit = +cos sen (3) A equação (3) é conhecida como a fórmula de Euler, e é uma relação mate- mática extremamente importante. Embora nossa dedução da Equação (3) esteja baseada na hipótese não verificada de que a série (1) pode ser usada para números complexos da mesma forma que para números reais da variável independente, nossa intenção é usar essa dedução apenas para tornar a equação (3) mais plausível. Vamos colocar as coisas em uma fun- dação sólida agora, adotando a Equação (3) como definição de eit. Em outras palavras, sempre que escrevermos eit, queremos dizer a expressão à direita de Euler que vale a pena notar. Substituindo t por –t na equação (3) e lembrando que cos( ) cos− =t t e sen( ) sen− = −t t, temos Equações lineares de segunda ordem Equações Diferenciais 3 57 e t i tit− = −cos sen (4) Além disso, se t for substituído por µt na equação (3), então obtemos uma versão generalizada da fórmula de Euler, a saber, e t i ti tµ µ µ= +cos sen (5) A seguir, queremos estender a definição de exponencial complexa para expoentes complexos arbitrários da forma ( )λ µ+ i t . Como queremos que as propriedades usuais da função exponencial continuem válidas para expoentes complexos, queremos, certamente, que exp ( )λ µ+[ ]i t satisfaça e e ei t t i t( )λ µ λ µ+ = (6) Usando, então, a equação (5), obtemos e e t i t e t ie ti t t t t( ) (cos sen ) cos senλ µ λ λ λµ µ µ µ+ = + = + (7) Tomamos agora a equação (7) como a definição de exp ( )λ µ+[ ]i t . O valor da função exponencial com coeficiente complexo é um número complexo cujas partes real e imaginária são dadas pelas expressões à direita do sinal de igualdade na equação (7). Note que as partes real e imaginária de exp ( )λ µ+[ ]i t estão expressas inteiramente em termos de funções elemen- tares reais. Atividades 1. Determine uma solução geral para o problema do valor inicial: y y y y y’’ ’ ; ( ) ; ’( )+ − = = =2 0 0 1 0 1 2. Utilize o método dos coeficientes determinados para encontrar uma solução geral para: d y dt dy dt y 2 2 3 4 0− + = 3. Utilize o método dos coeficientes determinados para encontrar uma solução parti- cular para: d y dt dy dt y 2 2 3 4 0− + = y 0 1( ) = y ’ 0 2( ) = Equações lineares de segunda ordem3 Equações Diferenciais58 Referências BOYCE, W. E.; DIPRIMA, R. C. Equações diferenciais elementares e problemas de valores de con- torno. São Paulo: LTC, 2010. ZILL, D. G.; CULLEN, M. R. Equações diferenciais. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2001. v.1. KENT, N, R. Equações diferenciais. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2012. FARLOW, S. J. An introdution to differential equations and their applications. Mineola, NY: Dover Books on Mathematics, 2012. Resolução 1. Seja a equação diferencial: d y dx dy dx y 2 2 0+ − = sua equação característica é dada por: r r2 2 0+ − = cujas raízes são x1 1= e x2 2= − . Portanto, a solução geral é dada por: y t C e C et t( ) = + −1 2 2 As condições iniciais do problema são y 0 1( ) = e ′( ) =y 0 1. Nesse caso, y C e C e y C e C e 0 1 0 2 1 1 0 2 2 0 1 0 2 2 0 ( ) = + = ( ) = − = ′ − − . . ou seja, C C C C 1 2 1 2 1 2 1 + = − = Portanto, C C1 21 1= = −, e a solução particular é dada por: y t e ep t t( ) = − −2 2. A equação diferencial desse problema é: d y dt dy dt y 2 2 3 4 0− + = Equações lineares de segunda ordem Equações Diferenciais 3 59 Sua equação característica é: r r2 3 4 0− + = que possui duas raízes complexas: 3 2 7 2 ± i Portanto, sua solução geral é dada por: y t k e t k e tt t( ) = + 1 3 2 2 3 27 2 7 2 sin cos 3. Nesse caso, d y dt dy dt y 2 2 3 4 0− + = É a mesma equação do problema 2. As condições de contorno são: y 0 1( ) = ′( ) =y 0 2 Resolvendo o sistema de equações associado, obtemos os valores para C1 e C2: y t e t e tt t( ) = + 7 7 7 2 7 2 3 2 3 2sin cos Equações Diferenciais 61 4 Equações não homogêneas No capítulo anterior, vimos que existem equações diferenciais de segunda ordem homogêneas e não homogêneas e métodos que visam encontrar uma solução geral para uma equação homogênea. Neste capítulo, o enfoque está nas equações não homo- gêneas. A primeira parte busca tratar do método dos coeficientes indeterminados para resolver equações não homogêneas. A segunda apresenta o método de variação de parâmetros, que permitirá resolver mais alguns casos de equações não homogêneas. Já a terceira parte apresenta uma discussão de como a simulação de oscilações pode ser realizada a partir de equações diferenciais, tendo por base conhecimentos sobre as leis da Física. Equações não homogêneas4 Equações Diferenciais62 4.1 Método dos coeficientes indeterminados Para encontrarmos uma solução particular Y de uma equação linear não homogênea de ordem n com coeficientes constantes, podemos utilizar o método dos coeficientes indetermi- nados (BOYCE; DIPRIMA, 2010). Dada a equação não linear: L y a y a y a y a y g tn n n n[ ] ... ’ ( ) ( ) ( )= + + + + =− −0 1 1 1 se g(t) tiver uma forma apropriada, que pode ser uma soma de polinômios exponenciais, senos e cossenos etc., podemos encontrar Y(t) convenientemente utilizando constantes inde- terminadas (BOYCE; DIPRIMA, 2010). O método consiste em supor uma forma inicial para Y(t), porém sem coeficientes deter- minados. Substituindo essa hipótese, devemos tentar determinar os coeficientes, da mesma forma que estudamos para as equações de segundo grau. No caso das equações de grau superior, pode ocorrer de as raízes terem maior grau de multiplicidade. Para essas situações, é necessário multiplicar as parcelas por potências mais altas de t, como veremos em breve. Vamos aplicar esse método no exemplo extraído de Boyce e DiPrima (p. 183, 2010), si- milar aos encontrados em Zill (2011), a seguir. Vamos encontrar a solução particular Y da equação: y y y y et’’’ ’’ ’− + − =3 3 4 cujo polinômio característico associado é dado por: r r r r3 2 33 3 1 1− + − = −( ) Assim, a solução geral da equação homogênea, visto que r =1 possui multiplicidade tripla, é dada por: y t c e c te c t ec t t t( ) = + +1 2 3 2 Iniciamos supondo que Y (t) é um múltiplo de et . Assim, teríamos: Y t Aet( ) = porém, e te t et t t; ; 2 são soluções, então faremos uma multiplicação por t³, visando obter uma nova solução linearmente independente. Agora precisamos encontrar o valor de A para a hipótese: Y t At et( ) = 3 Para isso, calculamos sua primeira, segunda e terceira derivadas: Y t At e At et t’( ) = +3 2 3 Y t Ate At e At e At et t t t’’( ) = + + +6 3 32 2 3 Y t Ate At e At et t t’’( ) = + +6 6 2 3 Equações não homogêneas Equações Diferenciais 4 63 Y t Ae Ate Ate At e At e At et t t t t t’’’( ) = + + + + +6 6 612 32 2 3 Y t Ae Ate At e At et t t t’’’( ) = + + +6 18 9 2 3 e substituímos esses resultados na equação geral: Y t Y t Y t Y et’’’ ’’ ’( ) − ( ) + ( ) − =3 3 4 resultando em: 6 18 9 3 6 6 3 32 3 2 3 2 3Ae Ate At e At e Ate At e At e At e Att t t t t t t t+
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