MATEMÁTICA_EsPCEx-5

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SUBCONJUNTO: 
Dizer que um conjunto B é subconjunto de um 
conjunto A, é equivalente a dizer que, se x é elemento 
de B, então x é elemento de A. 
Em símbolos: 𝑩 ⊂ 𝑨 ⇔∀𝒙 𝒙 ∈𝑩⇒ 𝒙 ∈𝑨 
EXEMPLO: 
A = 𝟏,𝟐,𝟑,𝟒,𝟓 
B = 𝟑,𝟒,𝟓 
C = 𝟒,𝟓,𝟔 
Conjunto vazio 
É um conjunto que não possui elementos. O conjunto 
vazio é representado por { } ou ∅ 
Conjunto universo 
Em matemática, principalmente na teoria dos 
conjuntos e nos fundamentos da matemática, 
um universo é uma classe que contém (como 
elementos) todas as entidades que se deseja 
considerar em uma certa situação. Assim, todos os 
conjuntos em questão seriam subconjuntos de um 
conjunto maior, que é conhecido como conjunto 
universo e indicado geralmente por 𝑈. 
OPERAÇÕES 
I. UNIÃO 
A união de dois conjuntos A e B, é o conjunto 
formado pelos elementos que pertencem ao conjunto 
A ou ao conjunto B. 
 𝐴 ∪𝐵 = 𝑥 | 𝑥 ∈𝐴 𝑜𝑢 𝑥 ∈𝐵 
EXEMPLO: 
A = 1,2,3,4 
B= 3,4,5 
C= 1,2,3 
II. INTERSECÇÃO 
A intersecção de dois conjuntos A e B, é o conjunto 
formado pelos elementos que pertecem ao conjunto 
A e ao conjunto B. 
 𝐴 ∩𝐵 = 𝑥 | 𝑥 ∈𝐴 𝑒 𝑥 ∈𝐵 
EXEMEPLO; 
𝐴=4,5,6,7 
𝐵=4,6,8 
𝐶=8,9,10 
III. DIFERENÇA0 
A diferença de dois conjuntos A e B, é o conjunto 
formado pelos elementos que pertencem ao conjunto 
A e não pertencem a B. 
𝐴−𝐵=𝑥 𝑥 ∈𝐴 𝑒 𝑥 ∉𝐵 
EXEMPLO: 
𝐴=4,5,6,7 
𝐵=4,6,8 
𝐶=8,9,10 
IV. COMPLEMENTAR 
Sejam A e B dois conjuntos que A ⊂ B. Chama-se 
complementar de A em relação a B, o conjunto o qual 
os elementos pertencem a B e não pertencem a A. 
 𝐶𝐵𝐴=𝑥 𝑥 ∈𝐵 𝑒 𝑥 ∉𝐴} 
EXEMPLO; 
𝐴=4,5 
𝐵=4,5,6,7 
𝐶= 5,6,7 
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS 
É importante que saibamos resolver problemas que 
relacionam as operações entre conjuntos aprendidas 
até aqui com a quantidade de elementos desse 
conjunto. 
EXEMPLOS: 
EXEMPLO 1: 
Dos 40 alunos de uma classe, 20 falam inglês, 15 
falam espanhol e 10 não falam inglês e nem 
espanhol. Quantos alunos dessa classe falam as 
duas línguas? 
EXEMPLO 2: 
Em uma pesquisa, 33 dos entrevistados leem o jornal 
A, 29 leem o jornal B, 22 leem o jornal C, 13 leem A 
e B, 6 leem B e C, 14 leem A e C e 6 leem os 3 
Jornais. Quantos entrevistados lê os jornais A e B, 
mas não lê C? 
ATIVIDADES 01 (Teoria dos Conjuntos) 
01) Sejam A = {l, 2, 3, ... ,4029, 4030} um subconjunto 
dos números naturais e B⊂A, tal que não existem x e 
y, x ≠ y, pertencentes a B nos quais x divida y. O 
número máximo de elementos de B é N. Sendo 
assim, a soma dos algarismos de N é 
a) 8 
b) 9 
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12 
c) 10 
d) 11 
e) 12 
02) Uma empresa possui 13 postos de trabalho para 
técnicos em contabilidade, 10 para técnicos em 
sistemas operacionais e 12 para técnicos em 
eletrônica. Alguns técnicos ocupam mais de um posto 
de trabalho, isto é, 4 são técnicos em contabilidade e 
em sistemas operacionais, 5 são técnicos em 
sistemas operacionais e em eletrônica e 3 possuem 
todas as três especialidades. Nessas condições, se 
há 22 técnicos nessa empresa, qual a quantidade de 
técnicos em contabilidade e em eletrônica. 
a) 4 
b) 6 
c) 9 
d) 7 
e) 10 
03) Representando-se por n(x) o número de 
elementos de um conjunto X, considere dois 
conjuntos A e B tais que n(A ∩ B) = 4, n(A – B) = 5 e 
n(A x B) = 36. Podemos afirmar que n(A ∪ B) é igual 
a: 
a) 4 
b) 6 
c) 7 
d) 9 
e) 10 
04) Numa escola há n alunos. Sabe-se que 56 alunos 
leem o jornal A, 21 leem os jornais A e B, 106 leem 
apenas um dos dois jornais e 66 não leem o jornal B. 
O valor de n é 
a) 249 
b) 137 
c) 158 
d) 127 
e) 183 
05) Um subconjunto X de números naturais contém 
exatamente 12 múltiplos de 4, 7 múltiplos de 6, 5 
múltiplos de 12 e 8 números ímpares. Então, o 
número de elementos de X é igual a: 
a) 22 
b) 20 
c) 18 
d) 24 
e) 28 
06) Uma pesquisa foi realizada para tentar descobrir, 
do ponto de vista das mulheres, qual é o perfil da 
parceira ideal procurada pelo homem do séc. XXI. 
Alguns resultados estão apresentados no quadro 
abaixo. 
 
Se a pesquisa foi realizada com 300 mulheres, então 
a quantidade delas que acredita que os homens 
odeiam ir ao shopping e pensa que eles preferem que 
elas façam todas as tarefas da casa é 
a) inferior a 80. 
b) superior a 80 e inferior a 100. 
c) superior a 100 e inferior a 120. 
d) superior a 120 e inferior a 140. 
e) superior a 140. 
07) Se A é um conjunto finito, seja n(A) o número de 
elementos de A. Sejam X, Y e Z três conjuntos tais 
que: 
n(X) = 100, n(Y) = 90, n(Z) = 80, n(X – (Y ∪ Z)) = 50 
n(X ∩ Y ∩ Z) = 10 e n(X ∩ Y) = n(X ∩ Z) = n(Y ∩ Z) 
Nestas condições o número de elementos que 
pertencem a mais de um conjunto é: 
a) 70 
b) 80 
c) 90 
d) 100 
e) 125 
08) Um grupo de 50 pessoas, foi dividido em duas 
categorias: quanto à cor dos cabelos, louras ou 
morenas; quanto à cor dos olhos, azuis ou castanhos. 
De acordo com essa identificação, sabe-se que 14 
pessoas no grupo são louras com olhos azuis, que 31 
pessoas são morenas e que 18 têm olhos castanhos. 
Nesse grupo, o número de pessoas morenas com 
olhos castanhos é: 
a) 13 
b) 14 
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13 
c) 15 
d) 16 
e) 17 
(Teoria dos Conjuntos e 
Conjuntos Numéricos) - 
Conjuntos dos números naturais 
e inteiros; - Números Primos; - 
Fatoração; - Número de 
divisores; - Máximo Divisor 
Comum e Mínimo Múltiplo 
Comum. 
CONJUNTOS NUMÉRICOS 
CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS (ℕ) 
O conjunto dos números naturais é representado por: 
ℕ=0,1,2,3,4,5,6, … 
O conjunto dos números naturais não nulos é 
representado por: 
ℕ∗ =𝟏,𝟐,𝟑,𝟒,𝟓,𝟔, … 
CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS ( ℤ ) 
 O conjunto dos números inteiros é representado por: 
ℤ=…, −3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, … 
Subconjuntos importantes de ℤ: 
ℤ∗=…,−3,−2,−1,1,2,3,… 
ℤ+=0,1,2,3,4,…= ℕ 
ℤ+∗=1,2,3,4,5,6,…= ℕ∗ 
ℤ−=…,−3,−2,−1,0 
ℤ−∗=…,−4,−3,−2,−1 
Observação: Todo número natural é inteiro, isto é, 
ℕ ⊂ℤ. 
Números primos: Números primos são os números 
naturais que têm apenas dois divisores naturais 
diferentes: o 1 e ele mesmo. 
Exemplos: 
1) 2 tem apenas os divisores 1 e 2, portanto 2 é um 
número primo. 
2) 17 tem apenas os divisores 1 e 17, portanto 17 é 
um número primo. 
3) 10 tem os divisores 1, 2, 5 e 10, portanto 10 não é 
um número primo. 
Observações: 
1 não é um número primo, porque ele tem apenas 
um divisor que é ele mesmo. 
2 é o único número primo que é par 
NÚMERO COMPOSTO: Um número natural 
composto é aquele que possui mais de dois divisores 
naturais distintos. 
EXEMPLOS: 
4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20,21,22,24,25,26,27,28, 
... 
Decomposição em fatores primos: Todo número 
natural, maior que 1, pode ser decomposto em um 
produto de dois ou mais fatores primos. 
Decomposição do número 12 em fatores primos: 
No produto 2 x 2 x 3, todos os fatores são primos. 
OBSERVAÇÃO: 
Chamamos de fatoração de um número natural, 
maior que 1, a sua decomposição em um produto de 
fatores primos. 
Quantidade de Divisores Naturais de um Número 
Passo #1: faça a decomposição em fatores primos do 
número dado. 
Passo #2: somar uma unidade a cada um dos 
expoentes dos fatores primos. 
Passo #3: Multiplique os resultados encontrados. 
EXEMPLO: 
Determine a Quantidade de Divisores dos 
Números… 
a) 15 
b) 120 
MÚLTIPLOS E MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC) 
MÚLTIPLOS DE UM NÚMERO INTEIRO EXEMPLO: 
 
𝑴𝟑= 
 
𝑴𝟒= 
MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC) 
O mínimo múltiplo comum (mmc) de dois ou mais 
inteiros é o menor inteiro positivo que é múltiplo 
simultaneamente desses números. 
EXEMPLO: 
𝑀3=𝑀4= 
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