MATEMÁTICA_EsPCEx-6

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MMC – REGRA PRÁTICA 
Determine o MMC entre os números 12,15 e 20. 
𝑀12={12,24,36,48,60,72,84,96,108,120,132,…} 
𝑀15={15,30,45,60,75,90,105,120,135,…} 
𝑀12={20,40,60,80,100,120,140,…} 
PROPRIEDADES QUE ENVOLVEM O MMC 
P1: O mínimo múltiplo comum (mmc) de dois ou mais 
números primos será sempre o produto entre eles. 
P2: Entre dois ou mais números, se o maior deles é 
múltiplo dos outros, então esse maior número é o 
mmc. 
P3: Se os números forem multiplicados/divididos por 
uma constante 𝑘, então o mmc entre esses números 
também será multiplicado/dividido por 𝑘. 
PROBLEMAS SOBRE MMC 
Uma pessoa dá a volta completa em uma pista 
circular em 12 minutos enquanto que outra realiza a 
mesma volta em 15 minutos. As duas partem juntas 
e ao mesmo tempo às 13h30min. A que horas as 
duas pessoas se encontrarão novamente no ponto 
onde partiram e quantas voltas de cada uma? 
MÁXIMO DIVISO COMUM (MDC) 
O máximo divisor comum (mdc) entre dois ou mais 
números inteiros é o maior número inteiro que é 
divisor de tais números. 
EXEMPLO: 
Qual é o máximo divisor comum entre os números 12 
e 18? 
MDC – REGRA PRÁTICA 
O máximo divisor comum entre dois ou mais números 
inteiros pode ser obtido pelo método da fatoração 
simultânea de números inteiros. 
EXEMPLO: 
Qual é o máximo divisor comum entre os números 
120 e 140? 
PROPRIEDADES 
P1: O máximo divisor comum (mdc) entre dois ou 
mais números primos é sempre igual a 1. 
P2: O se 𝑎 é divisor de 𝑏, então 𝑚𝑑𝑐𝑎,𝑏=𝑎. 
P3: Se os números forem multiplicados/divididos por 
uma constante 𝑘, então o mdc entre esses números 
também será também multiplicado/dividido por 𝑘. 
OBSERVAÇÃO: mdc(a,b) x mmc(a,b) = a x b 
PROBLEMAS SOBRE MDC 
Três barbantes que medem respectivamente 24 m, 
84 m e 90 m foram cortados em pedaços iguais do 
maior tamanho possível, sem deixar sobras. 
Determine o número de pedaços obtidos e o tamanho 
de cada um deles. 
ATIVIDADE 02 
01) Sejam os números A = 23.32.5 e B = 2.33.52. O 
MDC e o MMC entre A e B valem, respectivamente: 
 a) 2.32.5 e 23.33.52 
b) 2.32 5 e 22.32.5 
c) 2.3.5 e 23.33.52 
d) 22.32.5 e 2.32.5 
e) 23.32.52 e 2.33.52 
02) Dois ônibus partem simultaneamente de um 
mesmo terminal rodoviário com destinos diferentes. 
Um dos ônibus torna a partir do terminal a cada 80 
minutos e o outro a cada 90 minutos. Quantos 
minutos serão necessários para os ônibus partirem 
novamente juntos do terminal? 
a) 450 minutos 
b) 810 minutos 
c) 650 minutos 
d) 500 minutos 
e) 720 minutos 
03) Uma faixa retangular de tecido deverá ser 
totalmente recortada em quadrados, todos de mesmo 
tamanho e sem deixar sobras. Esses quadrados 
deverão ter o maior tamanho (área) possível. Se as 
dimensões da faixa são 105 cm de largura por 700 
cm de comprimento, o perímetro de cada quadrado, 
em centímetros, será: 
a) 28 
b) 60 
c) 100 
d) 140 
e) 280 
04) Um galpão na forma de um paralelepípedo reto 
de dimensões 30m, 72m e 6m deve ser preenchido 
completamente com caixas cúbicas de mesmo 
volume. 
Qual o menor número de caixas a serem utilizadas? 
a) 80 
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15 
b) 70 
c) 60 
d) 50 
e) 40 
05) Das pessoas presentes em uma festa, sabe-se 
que a razão entre o número de mulheres e o de 
homens, nessa ordem, é 7/13. Nessas condições, o 
número de mulheres é igual a que porcentagem do 
total de pessoas presentes? 
a) 35% 
b) 25% 
c) 20% 
d) 13% 
e) 7% 
06) Na série de razões 𝑥2=𝑦3=𝑧4, calcule o valor de 
X + Y + Z, sabendo que X + 3Y + 2Z = 76. 
a) 34 
b) 35 
c) 36 
d) 37 
e) 38 
07) Três semirretas partem de um mesmo ponto Q, 
formando 3 ângulos que cobrem todo o plano e são 
proporcionais aos números 11, 12 e 13. O 
suplemento do maior dos 3 ângulos, em graus, mede: 
a) 50 
b) 60 
c) 70 
d) 80 
e) 90 
08) O presidente de um clube de futebol resolveu 
dividir uma gratificação de R$ 1.400,00 entre os dois 
melhores jogadores de uma certa partida, de forma 
inversamente proporcional ao número de faltas que 
eles cometeram no jogo. Se um jogador A fez 5 faltas 
e um jogador B fez 2 faltas, então a diferença entre o 
que coube aos jogadores é: 
a) 400 
b) 600 
c) 800 
d) 900 
e) 1000 
(Teoria dos Conjuntos e 
Conjuntos Numéricos) - Razão, 
proporção e suas propriedades; - 
Divisão em partes direta e 
inversamente proporcionais; - 
Regra de três simples e 
composta. 
RAZÃO E PROPORÇÃO 
RAZÃO: 
Razão é toda a relação existente entre dois valores 
de uma mesma grandeza, expressa geralmente “𝑎 
para 𝑏”, 𝑎:𝑏 ou 𝑎𝑏. 
Quando comparamos duas medidas, dois valores ou 
até duas grandezas, estamos determinando uma 
relação entre dois números que os representam. 
EXEMPLOS: 
a. Um concurso público possui 20.000 candidatos 
concorrendo a 50 vagas. 
b. Em uma sala de aula existem 20 meninas e 15 
meninos. 
PROPORÇÃO: 
Proporção é igualdade entre duas ou mais razões. 
PROPRIEDADES NAS PROPORÇÕES 
a. 𝑎𝑏=𝑐𝑑⇒ 
b. 𝑎𝑏=𝑐𝑑 = 
EXEMPLO 1: 
Encontre o valor de 𝑥 na seguinte proporção: 
2𝑥−48=52 
EXEMPLO 2: 
Uma empresa possui atualmente 2.100 funcionários. 
Se a relação entre o número de efetivos e 
contratados é de 5 por 2, quantos são efetivos? 
GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS 
As grandezas 𝑎 e 𝑏 são diretamente proporcionais 
se 𝑎𝑏=𝑘. 
EXEMPLO: 
Três amigos, Paulo, Bruno e Carlos, abriram uma 
loja. Paulo entrou com R$60.000,00, Bruno com R$ 
90.000,00 e Carlos com R$120.000,00. No primeiro 
ano, a loja teve um lucro de R$540.000,00 que será 
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dividido de forma proporcional aos valores integrados 
por elas na abertura do negócio. Quando cada uma 
deverá receber? 
GRANDEZA INVERSAMENTE PROPORCIONAIS 
As grandezas 𝑎 e 𝑏 são inversamente proporcionais 
se uma delas é proporcional ao inverso da outra, ou 
seja, 𝑎∙𝑏=𝑘. 
EXEMPLO: 
Pedro recebeu um prêmio de R$ 6.000,00 e irá dividi-
lo entre suas três filhas de forma inversamente 
proporcional e suas idades. Sabendo que suas filhas 
têm 20 anos, 15 anos e 12 anos, determine a quantia 
que cada uma receberá. 
REGRA DE TRÊS SIMPLES 
GRANDEZA: Grandeza é tudo aquilo que pode ser 
medido, contado ou comparado. 
EXEMPLO: 
Assinale se as grandezas abaixo são diretamente 
proporcionais (D) ou inversamente proporcionais(I): 
( ) Velocidade e Tempo. 
( ) Velocidade e Distância. 
( ) Quantidade de Operários e Tempo. 
( ) Eficiência e Quantidade de Operários. 
REGRA DE TRÊS SIMPLES 
É uma regra prática para resolver problemas que 
envolvam duas grandezas diretamente ou 
inversamente proporcionais. 
Exemplo: Uma máquina, funcionando durante 5 
horas, enche 120 vasilhas de detergente. Quantas 
vasilhas ela encheria se funcionasse durante 8 
horas? 
EXEMPLO: 
Vinte homens fazem um determinado serviço em 10 
dias. Para fazer o mesmo trabalho em 8 dias, quantos 
homens, com a mesma capacidade dos primeiros, 
seriam necessários? 
REGRA DE TRÊS COMPOSTA 
É uma regra prática para resolver problemas que 
envolvam três ou mais grandezas diretamente ou 
inversamente proporcionais. 
EXEMPLO 1: 
Em 3 horas, 4 torneiras despejam 4200 litros de 
água. Em quantas horas 5 dessas torneiras 
despejam 7000 litros de água? 
EXEMPLO 2: 
Se 2 impressoras trabalhando 10 horas por dia levam 
6 dias para fazer determinado trabalho, então 3 
impressoras (com a mesma eficiência das anteriores) 
trabalhando 8 horas por dia levarão quantos dias 
para fazer o mesmo trabalho? 
(Teoria dos Conjuntos e 
Conjuntos Numéricos) (Conjunto 
dos números racionais) - 
Escalas; - Porcentagem; - Juros 
simples; - Juros compostos. 
ESCALAS NUMÉRICAS 
Na área de medidas, dizemos que escala é a razão 
constante entre qualquer grandeza física ou química 
que permite uma comparação. 
No caso de um desenho ou mapa, chamamos de 
escala cartográfica a relaçãomatemática entre as 
dimensões apresentadas no desenho e o objeto real 
por ele representado. Estas dimensões devem ser 
sempre tomadas na mesma unidade. 
A forma de representação é a seguinte: 
Escala = medida no desenho ÷ medida no objeto real 
Por exemplo, se um mapa apresenta a escala 1:50, 
significa que 1 cm no mapa é equivalente a 50 cm na 
área real. 
EXEMPLO: Um construtor entrega ao mestre de 
obras a reprodução reduzida da planta de uma casa 
desenhada em um papel ofício de 30 cm de 
comprimento. Se a casa a ser construída tem 27 
metros de comprimento, a escala utilizada no 
desenho do papel ofício foi igual a: 
A planta do prédio de uma empresa foi feita na escala 
de 1:250. Determine a área real que está 
representada na planta por 4𝑐𝑚2. 
 PORCENTAGEM 
FORMAS DE REPRESENTAÇÃO DA 
PORCENTAGEM 
TRANSFORMAÇÃO DE TAXAS 
 
47% = 0,56% = 
0,37 = 0,097 = 
 
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