MATEMÁTICA_EsPCEx-11

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PARIDADE DE FUNÇÕES 
FUNÇÃO PAR 
Uma função é considerada função par quando 
𝑓𝑥= 𝑓−𝑥. Graficamente, esse tipo de função é 
simétrica em relação ao eixo das ordenadas (eixo y). 
EXEMPLO: 
Seja a função 𝑓: ℝ→ℝ, tal que 𝑓𝑥=𝑥2. 
 
FUNÇÃO ÍMPAR 
Uma função é considerada função ímpar quando 
𝑓𝑥=−𝑓−𝑥. O gráfico desse tipo de função é simétrico 
em relação à origem do plano cartesiano. 
 EXEMPLO: 
Seja a função 𝑓: ℝ→ℝ, tal que 𝑓𝑥=𝑥3. 
 
Observação: 
As funções que não são pares e nem ímpares são 
chamadas de “funções sem paridade”. Um exemplo 
é a função 𝑓𝑥=𝑥−3. 
FUNÇÕES PERIÓDICAS 
As funções periódicas são aquelas nas quais os 
valores da variável dependente y se repetem para 
determinados valores da variável independente x, ou 
seja, para cada período determinado pelos valores de 
x, iremos obter valores repetidos para y. 
EXEMPLOS: 
 𝑓:ℕ→𝑧 , fx=−1x 
 
 
 
Função Seno e Função Cosseno: 
Analisando os gráficos das funções seno e cosseno 
podemos observar suas características 
 
 
ATIVIDADE 05 
01) Dados os conjuntos 𝐴=𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 e 
𝐵=1, 2, 3, 4, 5, assinale a única alternativa que 
define uma função de A em B. 
a) a, 1𝑏, 3𝑐, 2 
b) a, 3𝑏, 1𝑐, 5 (𝑎, 1) 
c) a, 1𝑏, 1𝑐, 1(𝑑, 1) 
d) a, 1𝑎, 2𝑎, 3𝑎, 4(𝑎, 5) 
a) a, 12, 𝑏3, 𝑐4, 𝑑(5, 𝑎) 
02) Dada as funções f(x) = 3x + 5, 𝑔𝑥=𝑥2+2𝑥−1 e h(x) 
= 7 – x, o valor em módulo da expressão: 
 4ℎ12−𝑔4𝑓−1 
03) A função 𝑓 de ℝ em ℝ é tal que, para todo 𝑥∈ℝ, 
𝑓3𝑥=3𝑓𝑥. Se 𝑓9= 45, calcule 𝑓1. 
04) Calcular a função inversa de: 
a) 𝑔𝑥=2𝑥−8 
b) 𝑓𝑥=𝑥+31−2𝑥 
05) Se 𝑓 é uma função tal que 𝑓𝑎+𝑏= 𝑓𝑎∙𝑓𝑏, 
quaisquer que seja 𝑎 e 𝑏, então 𝑓3𝑥 é igual a 
a) 3⋅𝑓𝑥 
b) 3+𝑓𝑥 
c) 𝑓x3 
d) f𝑥3 
e) 𝑓3+𝑓𝑥 
 
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06) Nas funções 𝑓 e 𝑔, definidas por 𝑓𝑥=𝑥2+2 e 
𝑔𝑥=𝑥−3, obtenha as leis que definem: 
a) 𝑓𝑔𝑥 b) 𝑔𝑓𝑥 
07) Seja a função 𝑓 definida por 𝑓𝑛+1=𝑓𝑛2, com 
𝑓0=4, calcule o valor de 𝑓3 
08) Considere a função f(x) real, definida por f(1) = 43 
e f(x+1) = 2f(x) -15. Determine o valor de f(0). 
(Funções) - Funções compostas, raiz 
de uma função, função constante, 
função crescente e função 
decrescente. 
FUNÇÃO COMPOSTA 
Dadas as funções f: A → B e g: B → C, denominamos 
função composta de g e f a função h: A → C, tal que 
h = (g ◦ f)(x) = g(f(x)), com X ∈ A. 
Vamos analisar um exemplo para entender o que é 
uma função composta. 
Consideramos os conjuntos: 
A = {0,1,2} 
B = {4,7,10} 
C = {15,48,99} 
E as funções 
f: A → B definida por f(x) = 3x+4 
g: B → C definida por g(y) = y2-1 
 
EXEMPLO: 
Sejam as funções 𝑓:𝐴 →𝐵, tal que 𝑓𝑥=2𝑥+2 e 𝑔:𝐵→𝐶, 
tal que 𝑔𝑥=𝑥−1. Determine a função composta 
ℎ:𝐴→𝐶. 
EXEMPLOS: 
01) Sejam as funções 𝑓𝑥=𝑥2+2 e 𝑔𝑥=𝑥−1. Determine: 
a. 𝑓𝑔0 
b. 𝑔𝑓1 
c. 𝑔(𝑓𝑥) 
02) Sejam as funções reais 𝑓𝑥=2𝑥+3 e 𝑓 ∘𝑔𝑥= 2𝑥2−4. 
Determine 𝑔(2). 
RAIZES DA FUNÇÃO 
Dada uma função y = f(x), os valores de x para os 
quais f(x) = 0, são chamados raízes da função. No 
gráfico cartesiano, as raízes são abscissas dos 
pontos onde o gráfico corta o eixo horizontal. 
Observe o gráfico abaixo: 
 
Neste gráfico, temos: 
- Raízes da função 𝑓 no intervalo analisado os valores 
-2 e 1 
EXEMPLO: 
Determine as raízes das funções 𝑓:𝐴 →𝐵, tal que 
𝑓𝑥=2𝑥+2 e 𝑔:𝐵→𝐶, tal que 𝑔𝑥=𝑥−1. 
FUNÇÃO CONSTANTE 
Uma função constante é caracterizada por 
apresentar uma lei deformação f(x) = c, na qual c é 
um número real. 
EXEMPLO: 
O gráfico da função f(x) = 2 é uma reta paralela ao 
eixo x que intercepta o eixo y no ponto (0, 2). 
 
FUNÇÃO CRESCENTE 
Dada uma função f: A → B, dizemos que f 
é crescente se, e somente se, para quaisquer x2 
∈ A e x1 ∈ A, com x2 ˃ x1 tivermos f(x2) ˃ f(x1). 
Por exemplo, a função f: ℝ → ℝ definida por f(x) = 
x+1 é crescente, pois: x2 ˃ x1 teremos f(x2) ˃ f(x1). 
Ou seja, quando os valores do domínio crescem, 
suas imagens também crescem. 
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f(x) = x+1 
 
Podemos notar no gráfico que à medida que os 
valores de x vão aumentando, suas imagens também 
vão aumentando. 
FUNÇÃO DECRESCENTE 
Dada uma função f: A → B, dizemos que f 
é decrescente se, e somente se, para quaisquer x2 
∈ A e x1 ∈ A, com x2 > x1, tivermos f(x2) < f(x1). 
Por exemplo, a função f: ℝ → ℝ definida por f(x) = 
-x+1 é decrescente, pois: x2 > x1 teremos f(x2) < f(x1). 
f(x) = -x+1 
 
Podemos notar no gráfico que à medida que os 
valores de x vão aumentando, suas imagens vão 
diminuindo. 
(Funções) - Função definida por mais de uma 
sentença - Função inversa e seu gráfico. 
Função Definida Por Várias Sentenças 
Considere as seguintes funções: 
1. g ∶ ℝ → ℝ, definida por 𝑔𝑥=𝑥2; 
2. ℎ: ℝ → ℝ, definida por ℎ𝑥=1−𝑥. 
 
 
Agora, se pensarmos em uma função 𝑓 definida por 
𝑓𝑥= 𝑔𝑥=𝑥2 para 𝑥 < 1 
e 𝑓𝑥= ℎ𝑥=1−𝑥, quando 𝑥 ≥ 1, isto é: 
 
o gráfico da função 𝑓 será o gráfico da função 𝑔 
quando os valores de 𝑥 tomados são menores que 1, 
e quando os valores de 𝑥 tomados maiores ou igual 
a 1, o gráfico da 𝑓 será igual ao gráfico de ℎ: 
 
EXEMPLO: 
01) Considere a função real 𝑓∶ ℝ → ℝ definida por: 
 
a) calcule as imagens a baixo: 
I) 𝑓(−2) = 
II) 𝑓 (−1) = 
III) 𝑓 (0) = 
IV) 𝑓 (1) = 
V) 𝑓 (2) = 
b) construa o gráfico da 𝑓. 
02) Considere a função real 𝑓∶ ℝ → ℝ definida por: 
 
a) calcule as imagens a baixo: 
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