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<p>9 Funções</p><p>Definição Variável dependente - normalmente representada pela letra y, é a va- riável que assume os possíveis valores do conjunto B. Sejam dados dois conjuntos A e B não Chama-se FUNÇÃO (ou - representado pela letra D - conjunto de elementos do pri- CAÇÃO) de A em B, representada por f: A B y = f(x), a quaiquer relação binária que associa a cada elemento de A um único elemento em B. meiro conjunto (A). Contradomínio - representado por CD - conjunto de elementos do se- Portanto, para que uma relação de A em B seja uma função, é imprescin- dível que a cada A esteja associado um único y gundo conjunto (B). Lei de formação - lei que define como os elementos do se re- A palavra cada da definição indica que não pode ficar nenhum elemento do lacionam com os elementos do conjunto A sem manter relação com um único elemento do conjunto B. Conjunto imagem representado por Im - conjunto formado apenas Nada é dito quanto aos elementos do conjunto B; portanto, é possivel que no conjunto B existam elementos que não mantenham relação com ele- pelos elementos do contradominio que se relacionam com elementos do mentos do conjunto A. Logo, pode existir y € B que não esteja associado a nenhum elemento A. Exemplo resolvido A representação pode ser indicada pela figura: Dados os conjuntos A se a relação dada A B Para resolver essa questão, e necessário, em primeiro lugar, determinar quais são os elementos do conjunto B. pertencentes ao con- junto dos números naturais, maiores ou iguais a menores que 6. os elementos do conjunto B são: 4, -3, -2, 3, y=f(x) Fazendo os cálculos para ver qual a relação existente entre os elementos do conjunto A com os elementos do conjunto B, Na notação escrita na figura acima, y = f(x). Isso significa que y asso- ciado a x por meio da função f. Essa associação também pode ser dita ao se mencionar que y é imagem de gerada pela função f. Nomenclatura utilizada A seguir, serão definidos alguns termos da nomenclatura normalmente Pode-se, então, montar seguinte diagrama de Venn representativo da utilizada ao se trabalhar com situação: Variável independente normalmente representada pela letra X, é a variável que assume os possíveis valores do conjunto A. 102 103</p><p>Cálculo das imagens geradas pelos valores da variável independente: A y=f(x) B -5 -1 par ordenado .0 3 2. gerando par ordenado 5 .-2 (2,1); 4 para gerando par ordenado (3,3); Conclui-se que a situação exposta representa uma função, pois, para cada gerando par ordenado valor de A, existe um único y E B. Pode-se, então, definir: Variável dependente: y Ao representar os pares ordenados em um sistema de eixos cartesianos, obtém-se: Variável y 5 Lei de 4 3 CD (f) = -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 2 Conjunto Im 1 Quando Re CD (f) sendo R conjunto dos números reais, diz- 0 2 3 4 -1 se que a função fé uma função real de variável real. -2 Gráfico de uma função -3 Seja dada uma função R definida pela lei de formação Pode-se representar os pares ordenados (x, y), obtidos por meio da lei de que possuem num sistema de coordenadas cartesianas. a) o dominio dessa função é dado por 2. 3, A curva obtida com a ligação dos pares ordenados é a representação geo- b) o contradominio CD (f) = R(conjunto dos números reais); métrica da função, usualmente denominada de GRÁFICO DA FUNÇÃO f. c) o conjunto imagem é dado por Im (f) 3, Exemplos resolvidos d) como o domínio e composto por números naturais isolados, a repre- 1) Fazer gráfico da função A R, definida pela lei de formação dada sentação fica restrita a pontos isolados - um ponto para cada por f(x) = - sabendo-se que A = 2, 3, par ordenado. 104 105</p><p>2) Fazer gráfico da função A definida pela lei de formação dada tem nem final definidos. O gráfico de tal função será representado, então, por uma reta infinita: A lei de formação dessa função é a mesma do exemplo anterior, mas o dominio da função, agora, é intervalo [1, 4]. Isso indica que, além dos y pontos marcados no exemplo deve-se marcar todos os pontos 5 intermediários, desde número 1 até número 4. 4 O gráfico ficará: 3 y 2 5 1 4 3 -2 -1 0 2 3 4 2 -2 1 -3 0 -2 2 3 4 -2 a) o dominio dessa função é dado por -3 b) contradominio é CD (f) = R; conjunto imagem é dado por Im (f) = R; a) dominio dessa função d) como o dominio é dado pelo conjunto dos números a represen- tação gráfica e uma reta. b) é CD (f) R(conjunto dos números reais); Assim, após esses exemplos, sendo dado gráfico representativo de uma c) conjunto imagem função, pode-se dizer que: d) como o dominio é dado por um intervalo, a representação gráfica fica a) a projeção da curva sobre o eixo dos nos o da restrita a um segmento de reta. b) a projeção da curva sobre eixo dos y nos conjunto imagem 3) Fazer gráfico da função R definida pela lei de formação dada da por toda reta vertical que passa por um ponto do domínio da função in- A diferença deste exercício para os anteriores é que, agora, é tercepta gráfico da função em um ponto. conjunto dos números reais. Assim, não há restrição para os valores da variável independente podendo ser selecionado qualquer valor do con- junto dos numeros reais, que significa que a representação gráfica não 107 106</p><p>Determinação do dominio de uma função Deve-se lembrar que se está supondo que os elementos dos conjuntos de- situação nominados de e pertencem ao conjunto dos nu- Caso apareça a variável independente no denominador de uma meros reais (R). deve-se ter cuidado de restringir valor dessa variável, de tal modo que Já foi visto que dominio de uma função é constituído pelo conjunto de esse denominador não anule. todos os elementos da variável independente, para os quais valor da EXEMPLO: função pode ser determinado. Qual domínio da situação SOLUÇÃO: Caso não seja explicitado dominio da função, que o dominio Como a variável independente está no denominador, deve-se impor a con- éo conjunto dos reais, ou seja, domínio é por todos dição de esse denominador não se anular Assim: os valores de para os quais f(x) é um número Então, dominio da função será dado por Estabelecer dominio da função situação Como não foi especificado em qual conjunto se supõe-se que será conjunto dos números De fato, pode-se encontrar valor de y Se a variável independente estiver sob um radical de índice par, deve-se (variável dependente) ao se substituir x (variável independente) por qual- impor a condição de radicando ser maior ou igual a zero. quer valor real. se radical for de impar, domínio será o conjunto Assim, pode-se escrever que: dos números reais D (f) R EXEMPLO: Qual dominio da função situação SOLUÇÃO: Se for estabelecido um intervalo de validade da variável independente, esse intervalo dominio da função. Como a variável está sob um radical de indice par, deve-se fazer a im- posição de radicando ser maior ou igual a Portanto: Qual domínio da função f(x) 5x 3, com Logo, domínio da função será dado por: Como, juntamente com a função, já foram esclarecidos quais valores podem ser assumidos pela variável independente, o da função será dado por: 108 109</p><p>situação Ao representar a função sobrejetora por meio de um diagrama, pode-se notar que, além de não sobrarem elementos no conjunto A (fato No caso de uma função ser composta de várias operações rio para ser uma não sobram elementos no conjunto B. deve-se considerar como domínio todos os valores da variável indepen- dente que tornam possiveis as operações indicadas na defi- nição da EXEMPLO: Estabelecer o da função SOLUÇÃO: 1) A variável independente que está sob radical de indice par faz com que A B seja imposta a condição de radicando ser maior ou igual a zero. Logo: Função injetora 2) A variável independente que no numerador pode assumir qual- Uma função y = f(x) é injetora quando elementos distintos do seu dominio quer valor. Então, nesse caso, não restrição quanto ao seu valor, po- possuem imagens distintas, dendo assumir qualquer valor real. 3) A variável independente que se encontra no denominador faz com EXEMPLO: que seja imposta a condição de esse denominador ser diferente de zero. Assim: f 7 2 4) As restrições impostas são: A B Verifica-se que a primeira restrição satisfaz, simultaneamente, a todas as ope- rações matemáticas que definem a Logo, o dominio será dado por: Função bijetora Tipos de funções Uma função é dita bijetora quando ao mesmo injetora e sobre- jetora. Função sobrejetora E aquela cujo conjunto imagem é igual ao contradominio. 110 111</p><p>EXEMPLO: g é injetora, pois não existem duas pessoas com mesmo número de regis- tro geral de identificação junto ao mesmo órgão expedidor; e h é injetora, pois dois números distintos possuem metades também dis- tintas. Assim, a alternativa correta é a letra 2) Seja f uma função definida em R - conjunto dos números reais, tal que A B Nessas condições, pede-se determinar f(4x). Exemplos resolvidos 1) Considere três funções f, g e tais que: Deve-se fazer uma mudança de variável em se a função atribui a cada pessoa seu sobrenome; guinte forma: a função g atribui a cada pessoa seu número de registro geral de iden- tificação junto ao expedidor; Isolando-se a variável obtém-se: a função h atribui a cada número inteiro a sua z+4 2 Pode-se afirmar que, das funções dadas, são injetoras: Substituindo-se agora (2x-4) pela variável por 2 vem: nova a) b) feh. c) d) apenas 3z+12+10 e) nenhuma 3z+22 SOLUÇÃO: Sabe-se que, numa função injetora, elementos distintos do dominio pos- então, trocando-se a variável Z por 4x, que é que se de- 2 suem imagens distintas, ou seja: seja calcular, Logo, pode-se concluir que: f não é injetora, pois duas pessoas distintas podem ter mesmo sobre- nome; 113 112</p><p>Paridade de funções e = Função par f(-3) = 5 A função y = f(x) é par se para todo E D (f) acontecer fato de se ter f(-3) = 162 + 5 Portanto, numa função par, elementos simétricos do possuem f(-3) = 167 mesmo valor para imagem. Logo, a função dada é uma função par. Uma consequência desse fato é que os gráficos cartesianos das funções pa- res são curvas simétricas em relação ao eixo das ordenadas (eixo y), ou seja, Função impar têm eixo y funcionando como um espelho que reflete, do lado esquerdo, A função y = f(x) é impar quando para todo valor de D (f) acontecer que tem imagem do lado direito. Um exemplo de gráfico de uma função par pode ser que segue: Portanto, numa função impar, elementos simétricos do dominio possuem imagens y Uma consequência desse fato é que os gráficos cartesianos das funções impares são curvas simétricas em relação à origem do sistema de eixos, o par ordenado (0, Observe: 0 f(x) EXEMPLO: Verificar se a função dada não uma função par. Para ser uma função par, deve-se ter f(x) = Então, escolhendo-se va- -f(x) lores simétricos para deve-se obter resultados iguais para Se forem escolhidos para valores de f(3) = + 5 Verificar se a função dada pela lei de formação é ou não uma função impar. f(3) = 162 5 Para que a função dada seja impar, deve-se f(3) = 167 Atribuindo para os valores 3 e -3, 114 115</p><p>f(3) = 3 243 y f(3) = 729 k e = f(-3) 3. (-243) 0 f(-3) = -729 Como a função dada é impar. Função polinomial de 1° grau Definição y Uma função polinomial de grau também recebe as denominações de função afim e de função linear. Identifica-se esse tipo de função quando ela puder ser escrita na forma com a # Exemplos f(x) 125, em que a 7eb=125 em que a 9 Classificação das funções polinomiais de 1° grau FUNÇÃO IDENTIDADE Função constante É uma função polinomial de grau em sendo, portanto, Uma função é dita constante quando é do tipo f(x) = em que k é um escrita com formato f(x) = valor numérico qualquer do conjunto dos reais, ou seja, k FUNÇÃO LINEAR Outro aspecto a considerar é que, nesse tipo de função, não aparece vel independente. É toda função polinomial de grau escrita na forma f(x) = ax, sendo a # Nesse caso, tem-se b = 0. EXEMPLOS: FUNÇÃO AFIM f(x) É caso mais geral de uma função polinomial de 1° grau. São as funções f(x) que podem ser escritas na forma f(x) = ax + b, com a A representação gráfica de uma função constante é uma reta paralela ao eixo das o eixo Características da função de grau Graficamente, temos: Em toda função polinomial de 1° grau a é chamado de COEFI- CIENTE e b de COEFICIENTE 116 117</p><p>Toda função de grau tem uma única raiz, que representa O ponto em SOLUÇÃO: que gráfico da função intercepta eixo das abscissas (eixo x) e é dada Para a determinação dos coeficientes angular e linear, basta verificar os por = b valores de a e de b. a Coeficiente a = 3. Como função crescente. Gráfico de uma função de 1° grau Coeficiente linear: Toda função de grau tem por gráfico uma reta. Raiz = b coeficiente angular a dá a inclinação da reta representativa do gráfico da a 3 função em relação ao eixo X. então, que se: Construção do gráfico: função crescente a) ponto onde a reta intercepta eixo das ordenadas (eixo y) = 12 a <0 função decrescente b) ponto onde a reta intercepta eixo das abscissas (eixo a=0 função constante V O coeficiente linear b representa valor numérico em que gráfico da função de grau intercepta eixo das ordenadas (eixo y) 12 Observe os modelos de gráficos dados abaixo: a 0 a<0 y y b b b 0 b a a 2) Determine a função b, sabendo que SOLUÇÃO: OBSERVAÇÃO: quando a função linear, ou seja, y = f(x) = ax, gráfico é Se f(2) = 5, pode-se escrever que uma reta que sempre passa na origem, ponto de coordenadas Se f(3) = -10, pode-se escrever que Exemplos resolvidos Dessa forma, sabendo-se pode-se montar sistema de 1) Dada a função polinomial a raiz, equações: angular e coeficiente linear da função, bem como verifique 5=2.a+b se essa função é crescente ou Construa gráfico da função. -10=3.a+b 119 118</p><p>Isolando-se b na equação de cima, b=5-2a Substituindo-se esse valor na equação de baixo, encontra-se: -10= a<0 a > 0 Resolvendo-se essa equação: y y Substituindo-se O valor encontrado em obtém-se valor de b: 0 0 Portanto, como a função procurada é da formay=a.x+b,basta substituir os valores encontrados nos lugares de a e de b Então: Resposta: A função procurada Para encontrar as raízes que são os pontos nos quais a parabola intercepta eixo das abscissas (eixo x), deve-se igualar a função do grau Função polinomial de grau a zero e resolver a equação do grau resultante. Para tanto, usa-se a de Definição Uma função polinomial de grau também pode ser chamada de FUNÇÃO É toda função que pode ser reduzida à forma f(x) ax2 + bx EXEMPLOS Toda parabola possui um vértice, que é ponto no qual gráfico re- presentativo da função de grau deixa de ser crescente e passa a ser decrescente, ou vice-versa. Para calcular as coordenadas do utilizam-se as Gráfico de uma função polinomial de grau Toda função polinomial de grau tem a representação gráfica dada por uma curva denominada de a qual intercepta eixo das orde- nadas (eixo y) no ponto de coordenadas sendo que A recebe nome de DISCRIMINANTE e Se a função de grau tiver parâmetro a positivo, isto é, a > 0, a curva terá a sua concavidade voltada para cima, e a função terá um ponto de mini- Em relação ao discriminante conforme o seu valor, pode-se saber o que espe- Se o valor de a for negativo, ou seja, a a concavidade da curva será rar em relação às raizes obtidas da fórmula de Assim, se: voltada para baixo, e a função então, um ponto de máximo. A> 0 a função possui duas raízes reais e A pará- bola interceptará eixo em dois pontos: ex"; 120 121</p><p>A (nulo), a função possui duas raizes reais e iguais. A "en- Como ponto (-1, 8) pertence ao gráfico da função, obtém-se: costará" no eixo x no ponto 8 4a A < 0 (negativo), a função não possui raizes Isso implica que a A função é então: (x-3) (x-3) parábola não interceptará eixo = 12 Observe atentamente gráfico genérico esquematizado abaixo: Como a é negativo, conclui-se que a função possui ponto de A a<0 a>0 ordenada desse ponto vai ser dada pela V C Resposta: A função procurada que possui um ponto de 0 x' 0 x" máximo dado pela ordenada C 2) Determine as da função construa seu gráfico representativo. SOLUÇÃO: Quando se conhecem os valores das raizes x' e x" de uma função do Para encontrar as raizes da função, usa-se a formula de após grau e valor do parâmetro a, pode-se escrever a função do grau que igualar a função a zero. Assim: resultou nessas Para tanto, utiliza-se a forma fatorada da função do grau, que Exemplos resolvidos Como valor do discriminante A=-8é negativo, não possível extrair sua 1) Sabendo que -2 e 3 são raizes de uma função quadrática e que ponto (-1, 8) pertence ao gráfico dessa função, determine a função raiz quadrada no conjunto dos números reais e, portanto, não há valores que deu origem a essas raízes, verificando se a função possui ponto para para x" Isso significa que a não intercepta eixo de máximo ou de minimo, e a ordenada desse ponto. Calculando-se as coordenadas do da encontra-se: Sabe-se que a função quadrática pode ser escrita na forma fatorada: A em que x' ex" são os zeros ou raizes da função. Portanto, pode-se escrever: 122 123</p><p>Portanto, sabe-se que: -4 -3 -2 -1 -0,5 0 0,5 1 2 3 4 gráfico interceptará eixo das ordenadas no ponto (0, -3); f(x) -3,20 -2,25 -1,33 -0,50 -0,17 0 -0,50 ? 4 4,5 5,33 vértice tem coordenadas V (1, -2); x2 Veja agora o gráfico da função f(x) a parábola não intercepta eixo pois A = x-1 y 1 5 4 -2 V : -3 I 2 2 Continuidade e descontinuidade -5 Uma função é continua quando o gráfico que a representa não possui qualquer como exemplo, a função f(x) x2 4, mos- Teste da reta vertical trada se verificou que toda função pode ser representada por um gráfico no Caso haja no gráfico uma diz-se que houve uma desconti- plano cartesiano. Entretanto, a não é verdadeira, ou seja, nem Um exemplo comum é a função que apresenta a variável x no toda curva no plano cartesiano é gráfico de uma função. Como saber en- denominador de uma fração. A função apresentará descontinuidade para tão se uma dada curva no plano cartesiano é gráfico de uma função? o valor de que anular Por exemplo, seja a função: Basta verificar se alguma reta vertical intercepta a curva em mais de um ponto. Caso isso ocorra, a curva não é o gráfico de uma função y = f(x). Por quê? Por- que estaria sendo violada a definição de função, que diz que a cada Quando = ocorrerá uma interrupção no Para verificar esse fato, é pertencente ao domínio da função corresponde um único elemento y perten- cente ao contradomínio dessa função. Veja os gráficos a seguir. preciso atribuir valores à variável calcular o correspondente f(x). 124 125</p><p>a) f (x) Exercícios 1. Sejam dados os conjuntos = Verifique se a relação dada pela lei ou não uma função. Em caso positivo, qual é conjunto imagem da função? 2. Observe diagrama dado abaixo: 0 -6 -5 -3 .-3 -2 -2 -1 b) .8 .6 2 7 .9 10 Com base nesse diagrama, responda: a) Qual é a variável dependente? b) Qual é a variável independente? A curva do item a não é gráfico de uma função, porque a reta vertical c) Qual dominio da função? intercepta a curva em mais de um ponto. A curva do item b é gráfico de d) Qual e contradominio da função? uma função, porque a reta vertical intercepta a curva uma e) Qual é conjunto imagem da função? Observe, ainda, a curva da função mostrada anteriormente 3. Seja f uma função definida em R - conjunto dos reais - de tal modo que f(x-3) = 2x. Nessas condições, determine Verifique a reta vertical que passa pelo ponto A curva é gráfico da função, porque a reta vertical intercepta a curva em no máximo um 4. Estabeleça das funções dadas abaixo: a) 4x-7 126 127</p><p>c) d) f(x) 2-3x 2 11. Qual dos gráficos abaixo representa uma função constante? a) y b) V x2 -3x+4 4x 10 5. Para que uma função seja classificada como uma função: 0 a) par, deve-se ter b) impar, deve-se ter c) par, deve-se ter c) y d) y d) impar, deve-se 6. Olucro de uma indústria é função da produção diária de determinada peça. Tal lucro obedece à regra definida pela função = 1500 Qual é, então, lucro dessa em reais, quando a produção diária for de 100 peças? 7. Certa localidade brasileira apresenta crescimento populacional de acor- do com a função mil habitantes. Qual será a população e) y dessa localidade daqui a dez anos? 8. Se a função f atribui a cada pessoa a sua naturalidade, a função g atribui a cada cidade o seu prefeito, e a função h atribui a cada número natural a sua metade, determine quais dessas funções são injetoras. 9. Classifique em par ou impar as a) f : R R, definida por R, definida por 128 129</p><p>12. Determine a função f(x) = ax + sabendo que f(5) a) Qual é a expressão matemática que representa essa função? 13. Determine a raiz e o coeficiente linear da função afim f(x) = b) Qual é o ponto no qual o gráfico da função intercepta o eixo das ordenadas? 14. Qual dos gráficos abaixo representa uma função polinomial de 1° grau c) Quais são as coordenadas do vértice dessa função? do tipo f(x) = -ax 17. Determine as coordenadas do da parábola que apresentam como lei de formação as expressões matemáticas dadas abaixo: a) a) b) y b) c) 18. Dada a função f(x) = ax + b, e sabendo que -5, determine 0 0 o valor de f(0,5). 19. Determine a lei de formação da função cujo gráfico é o representado abaixo: y c) y d) y () 0 0 -1 -2 e) nenhuma das anteriores. 15. Determine as raizes das equações dadas abaixo: a) f(x) = b) c) 16. Sabe-se que 2 e 3 são raízes de uma função O ponto de coordenadas (1, 8) pertence ao gráfico dessa Com base nessas informações, responda corretamente: 130 131</p>