MATEMÁTICA_EsPCEx-15

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EXEMPLOS: 
1) Estude o sinal da função 𝑓𝑥=𝑥2−2𝑥−3 
02) Para que valores de x a função 𝑓𝑥= −𝑥2+4𝑥−3 
assume valores negativos? 
03) A função 𝑓𝑥= 𝑥2+2𝑥, assume valores positivos 
quando os valores de x são: 
MÁXIMO E MÍNIMO DA FUNÇÃO QUADRÁTICA 
VALOR MÁXIMO DA FUNÇÃO QUADRÁTICA 
Seja a função 𝑓𝑥=− 𝑥2−4𝑥 
 
 
 
 
 
 
VALOR MÍNIMO DA FUNÇÃO QUADRÁTICA 
Seja a função 𝑓𝑥= 𝑥2−4𝑥 
 
 
 
 
 
 
COORDENADAS DO VÉRTICE DA PARÁBOLA 
A coordenadas do vértice 𝑉(𝑥𝑉,𝑦𝑉) da parábola 
correspondente à função 𝑓𝑥=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 são dadas 
por: 
𝑉−𝑏2𝑎,−∆4𝑎 no qual ∆=𝑏2−4𝑎𝑐 
EXEMPLO: 
A função C(x) = 2x2 – 400x + 10000 representa o 
custo de produção de uma empresa para produzir x 
unidades de um determinado produto, por mês. Para 
que o custo seja mínimo, o valor de x será: 
ATIVIDADE 06 
01) A trajetória de um projetil se dá por 𝑦=−x264+𝑥16 
, unidades em Km, a altura máxima atingida pelo 
projétil é: 
a) 40 m 
b) 64 m 
c) 16,5 m 
d) 32 m 
e) 62,5 m 
02) A área máxima de um retângulo de 12 m de 
perímetro é: 
a) 3 
b) 6 
c) 9 
d) 12 
e) 15 
03) Um projétil é atirado de um canhão (como mostra 
a figura) e descreve uma parábola de equação 
𝑦=−310000𝑥2+610𝑥 (sendo x e y medidos em 
metros). 
 
Determine a soma da altura máxima atingida pelo 
projétil e o alcance do disparo é igual 
a) 2300m 
b) 2400 
c) 2500 
d) 2600 
e) 2700 
04) As funções polinomiais f(x) = 3x + 3 e g(x) = x2 + 
2x + 1. Determine se as funções acima assumem o 
mesmo valor em um único valor de x. 
 05) Sejam a e b as raízes da equação x2 – 7x + m = 
3. Se 1𝑎+1𝑏=1, determine o valor de m. 
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a) 3 
b) 7 
c) 10 
d) 12 
e) 15 
06) Se f: R ∈ R é uma função definida por f(x) = – x2 
+ 3x – 2, então podemos afirmar que f(x) > 0 para: 
a) –1 < x < 0 
b) 0 < x < 1 
c) 1< x < 2 
d) 2 < x < 3 
07) Resolva a inequação produto. 
x2−𝑥−2⋅−𝑥2+4𝑥−3>0 
08) Resolva a inequação quociente. 
2−3𝑥2𝑥2+3𝑥−2<0 
- Inequações do 2º Grau. 
INEQUAÇÃO DO 2º GRAU – INTRODUÇÃO 
Vamos resolver as seguintes inequações do 2º grau: 
EXEMPLOS: 
01) 𝑥2−8𝑥+15<0 
02) −𝑥2+16≥0 
03) 2𝑥2−2𝑥+5>0 
04) −𝑥2+6𝑥−9>0 
INEQUAÇÃO DO 2º GRAU – PRODUTO E 
QUOCIENTE 
Resolva as seguintes inequações produto em reais: 
EXEMPLOS: 
01) 𝑥+2−𝑥2−2𝑥+3≤0 
INEQUAÇÃO PRODUTO 
02) x2−𝑥−2−𝑥2+4𝑥−3>0 
INEQUAÇÃO QUOCIENTE 
EXEMPLOS: 
01) 𝑥+1𝑥2−3𝑥+2≥0 
02) 2𝑥2+𝑥−12𝑥−𝑥2≤0 
 
- Equação e Função Modular. 
EQUAÇÃO MODULAR 
Equações modulares são aquelas em que a incógnita 
aparece dentro de módulos. Para resolver essas 
equações iremos utilizar a definição de módulo e 
suas propriedades. 
Exemplos: 
Resolva as seguintes equações modulares: 
a) 𝑥−2=4 
b) 2𝑥−2=𝑥+8 
c) x2+2𝑥−15=0 
d) x2−𝑥−1=1 
e) 3𝑥−4=2𝑥−2 
f) x + 2−1=2 
FUNÇÃO MODULAR 
Chama-se função modular a função 𝑓 de ℝ em ℝ 
dada pela lei 𝑓𝑥=𝑥. utilizando o conceito de módulo 
de um número real, a função modular pode ser assim 
definida: 
𝑓𝑥=x,𝑠𝑒𝑥≥0−𝑥, 𝑠𝑒<0 
Construção do gráfico da função modular 𝑓𝑥=𝑥: 
 
Gráficos de funções que envolvem a função modular. 
Usaremos o conceito de translações para construção 
de gráficos de funções envolvendo módulo. 
Exemplos: 
a) 𝑓(𝑥)=𝑥+1 
b) 𝑓(𝑥)=𝑥−1 
c) 𝑓(𝑥)=𝑥+3 
d) 𝑓(𝑥)=𝑥−3 
e) 𝑓(𝑥)=𝑥+2+2 
f) 𝑓𝑥=x2−4 
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- Inequação Modular. 
INEQUAÇÃO MODULAR 
As inequações modulares são desigualdades que 
envolvem módulos. Para a solução é necessário a 
utilização das seguintes propriedades dos módulos: 
I) 𝑥≥𝑂, ∀𝑥∈ℝ 
II) 𝑥<0 𝑛ã𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑥∈ℝ 
III) 𝑥<𝑘, se −𝑘<𝑥<𝑘 
𝐼𝑉) 𝑥>𝑘, se 𝑥>𝑘 ou 𝑥<−𝑘 
01) Resolva as seguintes inequações modulares: 
a) 4𝑥−1≤7 
b) 4𝑥−3>5 
c) 𝑥+3<−2 
d) 1≤𝑥−1≤3 
e) 4𝑥−4≥2𝑥+2 
02) Cerca de 90% das baterias de automóveis 
produzidas por uma empresa tem tempo de vida X 
(em meses) que satisfaz a desigualdade x −
244≤1,65. 
Qual diferença entre o maior e menor valor de X? 
03) Qual a soma dos valores inteiros de X que 
satisfazem simultaneamente as desigualdades 
𝑥−5<3 e 𝑥−4≥1? 
ATIVIDADE 07 
01) Resolva as seguintes equações modulares: 
a) 3𝑥−1=2 
b) x2−3𝑥−1=3 
c) 𝑥−2=2𝑥+1 
d) 3𝑥+2=𝑥−1 
e) x2+𝑥−6=0 
02) Resolva as inequações 
a) 3𝑥−2<4 
b) 2𝑥−1>3 
03) A função modular 𝑓𝑥=𝑥−2 é decrescente para 
todo 𝑥 real tal que 
a) 0<𝑥<4 
b) 𝑥>0 
c) 𝑥>4 
d) 𝑥≤2 
04) Seja 𝑓𝑥=𝑥−3 uma função. A soma dos valores de 
x para os quais a função assume o valor 2 é 
a) 3 
b) 4 
c) 6 
d) 7 
05) Seja a função 𝑓:ℝ→ℝ, definida por 𝑓𝑥=2𝑥2−3 . O 
valor de 1+𝑓−1 
a) -1 
b) 0 
c) 1 
d) 2 
06) Os gráficos de 𝑓𝑥=2x2−4 e 𝑔𝑥=x − 22 se 
interceptam em 
a) apenas um ponto. 
b) dois pontos. 
c) três pontos. 
d) quatro pontos 
e) nenhum ponto. 
- Equação Exponencial; - Função 
Exponencial 
EQUAÇÃO EXPONENCIAL 
Equação exponencial é uma equação cuja incógnita 
aparece no expoente 
Em algumas equações exponenciais os dois 
membros podem ser reduzidos a potências de 
mesma base: 𝑎𝑥1=𝑎𝑥2⇔ 𝑥1=𝑥2 
Ex: 2𝑥=64 
Vamos resolver as seguintes equações 
exponenciais: 
1) 2𝑥=34 
2) 125𝑥=1 
3) 3𝑥−1+ 3𝑥+1=90 
4) 22𝑋 −5 ∙2𝑥+4=0 
5) 16𝑥+645=4𝑥+1 
6) 3𝑥+2+3𝑥−1=84 
 
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