MATEMÁTICA_EsPCEx-37

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Uma matriz quadrada 𝑨 = (𝒂𝒊𝒋)𝒎𝒙𝒏
.é denominada 
matriz triangular, se todos elementos acima ou 
abaixo da diagonal principal são nulos. 
𝑨 = (
𝟔 𝟐
𝟎 𝟕
) 
𝑩 = [
𝟗 𝟎 𝟎
𝒙 𝟎 𝟎
𝟕 𝟐 𝟓
] 
Matriz diagonal 
 𝑨 = (𝒂𝒊𝒋)𝒎𝒙𝒏
. é denominada matriz diagonal, se 
𝒂𝒊𝒋 = 𝟎, ∀𝒊 ≠ 𝒋, ou seja os elementos que não 
pertence à diagonal principal são nulos (iguais a 
zero). 
𝑨 = (
𝟔 𝟎
𝟎 𝟕
) 
𝑩 = [
𝟗 𝟎 𝟎
𝟎 𝟕 𝟎
𝟎 𝟎 𝟓
] 
Matriz identidade 
Chama-se matriz identidade de ordem n, indicada 
por, 𝐼𝑛. A matriz: 
𝑰𝒏 = (𝒂𝒊𝒋)𝒎𝒙𝒏
., tal que 𝒂𝒊𝒋 = {
𝟏, 𝒔𝒆 𝒊 = 𝒋
𝟎, 𝒊 ≠ 𝒋
 
Isso significa que os elementos da diagonal principal 
são iguais a 1 e os que não pertencem à diagonal 
principal são iguais a zero. 
Exemplo 
𝑰𝟏 = (𝟏) 
 𝑰𝟐 = (
𝟏 𝟎
𝟎 𝟏
) 
𝑰𝟑 = [
𝟏 𝟎 𝟎
𝟎 𝟏 𝟎
𝟎 𝟎 𝟏
] 
Matriz transposta 
Chama-se transposta da matriz (𝒂𝒊𝒋)𝒎𝒙𝒏
 , que se 
indica por 𝐴𝑡, a matriz: 
𝑨𝒕 = (𝒃𝒋𝒊)𝒏×𝒎
, tal que 𝒃𝒋𝒊 = 𝒂𝒊𝒋 
Em outras palavras troca linha por coluna. 
Exemplo: 
𝑨 = [𝟐 𝟏 𝟑] ⇒ 𝑨𝒕 = [
𝟐
𝟏
𝟑
] 
𝑩 = (
𝟔 𝟐
𝟎 𝟕
) ⇒ 𝑩𝒕 = (
𝟔 𝟎
𝟐 𝟕
) 
Propriedades da matriz transposta 
Considere as matrizes A e B e o número real k. Valem 
as seguintes propriedades: 
(𝑨 + 𝑩)𝒕 = 𝑨𝒕 + 𝑩𝒕 
(𝑨𝒕)𝒕 = 𝑨 
(𝒌 ⋅ 𝑨)𝒕 = 𝒌𝑨𝒕 
(𝑨𝑩)𝒕 = 𝑨𝒕 ⋅ 𝑩𝒕 
Matriz simétrica 
Uma matriz quadrada A é simétrica se, somente se, 
𝐴 = 𝐴𝑡 
Exemplo: 
𝑨 = [
−𝟏𝟎 𝟓 𝟑
𝟓 𝟎 −𝟖
𝟑 −𝟖 𝟏𝟔
] 
𝑨𝒕 = [
−𝟏𝟎 𝟓 𝟑
𝟓 𝟎 −𝟖
𝟑 −𝟖 𝟏𝟔
] 
Matriz antissimétrica 
Uma matriz quadrada A é simétrica se, somente se, 
𝐴 = −𝐴𝑡 
Exemplo: 
 𝑨 = [
𝟎 −𝟓 𝟐
𝟓 𝟎 −𝟐
𝟐 𝟐 𝟎
] 
− 𝑨𝒕 = [
𝟎 −𝟓 −𝟐
𝟓 𝟎 −𝟐
−𝟐 𝟐 𝟎
] 
Matriz oposta 
É a matriz que se obtém de uma matriz A, trocando-
se o sinal de cada um dos seus elementos. Indica-se 
a oposta de uma matriz A por – A. 
Exemplo: 
𝑨 = [
−𝟏𝟎 𝟓 𝟑
𝟓 𝟎 −𝟖
𝟑 −𝟖 𝟏𝟔
] 
−𝑨 = [
𝟏𝟎 −𝟓 −𝟑
−𝟓 𝟎 𝟖
−𝟑 +𝟖 −𝟏𝟔
] 
Igualdade de matrizes 
Dada duas matrizes de mesma ordem A e B, diz-se 
que A = B se, somente se, todo elemento de A for 
igual ao seu correspondente em B. 
Exemplo: 
𝑨 = [
−𝟏𝟎 𝟓 𝟑
𝟓 𝟎 −𝟖
𝟑 −𝟖 𝟏𝟔
] 
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𝑩 = [
−𝟏𝟎 𝟓 𝟑
𝟓 𝟎 −𝟖
𝟑 −𝟖 𝟏𝟔
] 
Operações com matrizes 
Adição de matrizes 
A operação de adição de matrizes só pode ser 
efetuada com matrizes de mesma dimensão. 
Exemplo: 
Se 𝐴 = (
3 5
7 1
2 0
) e 𝐵 = (
1 3
0 5
3 2
), então a matriz soma é 
dada por: 
Subtração de matrizes 
Dada duas matrizes A e B do mesmo tipo m x n, 
chamamos de diferença de A com B a soma da matriz 
A com a matriz oposta de B ou seja, 
A – B = A + (- B). 
Exemplo: 
Sejam A = (
5 4
3 1
) e B = (
2 −3
−1 0
). Então, 
A + (-B) = 
Produto de um número real por matriz 
Considere a matriz A, do tipo m x n, e um número real 
k. Definimos o produto de k por A, e denotamos por 
k∙A a matriz obtida ao multiplicar todos os elementos 
de A por k. 
 
Exemplo: 
Sejam 𝑨 = [
𝟔 𝟐 𝟎 −𝟑
𝟑 𝟏 𝟐 𝟑
] e k = 2. Então, 
K∙A = 2∙[
𝟔 𝟐 𝟎 −𝟑
𝟑 𝟏 𝟐 𝟑
]= 
Multiplicação de matrizes 
Condição de existência da multiplicação 
Só é possível multiplicar duas matrizes A e B se o 
número de colunas da matriz A for igual ao número 
de linhas da matriz B. 
 
O produto entre duas matrizes é obtido multiplicando-
se cada linha da primeira matriz por cada coluna da 
segunda matriz. 
Exemplo: Sejam 𝐴 = (
2 1
4 −1
3 0
) e 𝐵 = (
2 0
3 4
), 
determine se possível, a matriz produto AB. 
Matriz inversa 
Seja A uma matriz quadrada de ordem 𝑛. A matriz A 
terá uma matriz inversa se existir uma matriz B, 
quadrada de ordem 𝑛, tal que: 
𝑨 ⋅ 𝑩 = 𝑩 ⋅ 𝑨 = 𝑰𝒏 
Observação: A matriz inversa de A é indicada por 𝐴−1 
𝐴 ⋅ 𝐴−1 = 𝐴−1 ⋅ 𝐴 = 𝐼𝑛 
Exemplo: 
Determine a inversa da matriz 𝐴 = [
2 5
1 3
]. 
01) Sejam as matrizes: 
𝑀 = (
𝑎 𝑏
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 1
) e 𝑁 = (
1 + 𝑏 3 − 𝑐
5 1
) 
Se M = N, então o valor do produto 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ 𝑐: 
a) 2 
b) 3 
c) 4 
d) 5 
e) 6 
02) Se A, B e C são matrizes de ordens 
respectivamente iguais a (2x3), (3x4) e (4x2), então a 
expressão [A. (B. C)]2 tem ordem igual a: 
a) 2 x 2 
b) 3 x 3 
c) 4 x 4 
d) 6 x 6 
e) 12 x 12 
03) Sabendo que a matriz [
𝑎 + 1 8 3𝑏 − 1
𝑎 𝑐 2𝑐
8 10 𝑏 − 2
] é 
simétrica, determine o valor de a + b + c. 
a) 5 
b) 8 
c) 12 
d) 16 
e) 18 
 
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(Determinante Parte I) 
DETERMINANTERS 
Denomina-se determinante de uma matriz quadrada 
o número associado a essa matriz obtido por meio de 
operações que envolvem todos os seus elementos. 
Os determinantes são usados para resolver sistemas 
lineares, em geral, como os seguintes exemplos 
{
𝑥 + 𝑦 = 10
𝑥 − 𝑦 = 2
 
{
𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 10
𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 8
−2𝑥 + 𝑦 − 5𝑧 = 0
 
{
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 𝑤 = 1
2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 − 𝑤 = 2
−𝑥1 − 𝑦 + 𝑧 + 5𝑤 = −1
2𝑥 + 𝑦 + 7𝑧 − 𝑤 = 10
 
A representação de determinante é feita por duas 
barras. 
𝐵 = [
10 −3
2 −5
] ⇒ det 𝐵 = |
10 − 3
2 − 5
| 
Determinante da matriz de ordem 1 
Quando a matriz possui apenas um elemento, seu 
determinante é igual ao próprio elemento da matriz. 
Exemplo: 
𝐴 = [5] ⇒ determinante de 𝐴 = det 𝐴 = |5| = 5 
Determinante da matriz de ordem 2 
O determinante de uma matriz de ordem 2 é igual ao 
produto dos elementos da diagonal principal menos o 
produto dos elementos da diagonal secundária. 
Exemplo: 
𝐵 = [
10 −3
2 −5
] ⇒ det 𝐵 = |
10 − 3
2 − 5
| 
Determinante da matriz de ordem 3 
Para calcular o determinante de uma matriz de ordem 
3, utilizaremos a Regra de Sarrus. 
Considere a seguinte matriz. 
𝐴 = [
𝑎 𝑏 𝐶
𝑑 𝑒 𝑓
𝑔 ℎ 𝑖
] 
Devemos utilizar os seguintes procedimentos: 
I – Repetem-se as duas primeiras colunas, na ordem 
que aparecem à direita do determinante. 
II – Multiplicam-se os elementos que estão na direção 
da diagonal principal, mantendo o sinal de cada 
produto. 
III - Multiplicam-se os elementos que estão na direção 
da diagonal secundária, trocando o sinal de cada 
produto. 
|
𝑎 𝑏 𝑐
𝑑 𝑒 𝑓
𝑔 ℎ 𝑖
| 
Exemplo: Determine o valor de |
−1 2 1
0 2 0
3 3 0
| 
Determinante da matriz de ordem 𝒏 ≥ 𝟑 
Regra de Chió 
A regra de Chió tem por finalidade reduzir em uma 
unidade a ordem de um determinante, sem alterar o 
seu valor. 
Passos para aplicação da regra de Chió: 
Escolher um elemento igual a 1 da matriz. Caso não 
tenha elemento igual a 1, utilize o Teorema de Jacobi 
para obtenção do elemento 1; 
Suprima a linha e a coluna no qual se encontra o 
elemento 1 escolhido; 
Forme uma matriz apenas com os elementos 
restantes; 
Subtraia de cada um desses elementos o produto dos 
elementos correspondentes que foram suprimidos; 
Calcule esse novo determinante e multiplique por 
(−1)𝑖+𝑗. O índice (𝑖 + 𝑗) correspondem à posição do 
elemento 1 escolhido. 
Exemplo: 
Escolher um elemento igual a 1 da matriz. Caso não 
tenha elemento igual a 1, utilize o Teorema de Jacobi 
para obtenção do elemento 1; 
Calcular |
1 0 8 6
3 − 2 1 −1
5 2 0 1
4 6 5 3
| 
Suprima a linha e a coluna no qual se encontra o 
elemento 1 escolhido; 
Calcular |
1 0 8 6
3 − 2 1 −1
5 2 0 1
4 6 5 3
| 
Forme uma matriz apenas com os elementos 
restantes; 
Calcular |
1 0 8 6
3 − 2 1 −1
5 2 0 1
4 6 5 3
| 
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