09 Cap 3 e 4 - Cinemática e Equações Básicas na forma integral

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Profa. Edilma Pereira Oliveira
1. Cinemática dos Fluido
2. Equações de Conservação na Forma Integral para Volumes de Controle
Finito
Universidade Federal Rural do Pernambuco
Unidade Acadêmica de Cabo de Santo Agostinho
Curso de Engenharia Mecânica
Cabo de Santo Agostinho-PE, 2023
Cinemática dos Fluidos
• Introdução
• Cinemática dos fluidos
• Descrição Lagrangiana e Euleriana do escoamento
• Velocidade e aceleração
• Linhas de trajetória, linhas de emissão linhas de correntes
• Teorema do Transporte de Reynolds
• Referencia Bibliográfica:
1. Fox, Robert W.; Pritchard, Philip J.; McDonald, Alan T.; “Introdução a Mecânica dos Fluidos”.
8ª edição, Editora LTC (2014). (Capítulo 5 - 5.3)
2. Cengel, Yunus A. e Cimbala, John M. “Mecânica dos Fluidos - Fundamentos e Aplicações”. 3ª
edição. Editora McGraw-Hill (2015). (Capítulo 4)
Tópicos
http://loja.grupoa.com.br/livros/mcgraw-hill
• Cinemática dos fluidos trata da descrição do movimento do fluidos sem necessariamente
considerar as forças e os momentos que causam o movimentos.
• Cinemática dos fluidos diz respeito aos movimentos.
• Cinemática dos fluidos é o estudo como os fluidos escoam e de como descrever o
movimento dos fluidos;
Definição
• No estudo da cinemática dos fluidos,
estudaremos os movimentos de partículas
fluidas (posição, velocidade e aceleração) sem
nos preocuparmos com forças que causam o
movimento.
• Tem importância fundamental para obter
equações relativas a volume arbitrários, além
de permitir a análise de escoamentos.
O que estuda a cinemática dos fluidos?
• Para estudar o escoamento em um fluido, considere inicialmente a posição de uma partícula em 
um fluido em movimento.
A posição da partícula é dada por
𝒓 𝒕 = 𝒓 𝒕𝟎 + 𝑡0׬
𝑡
𝑽𝒅𝒕
Posição de uma partícula de fluido
• A velocidade de uma partícula imersa em um campo de escoamento pode ser obtida a partir 
da posição espacial
𝒓𝐴(𝑡) = 𝒓 𝑥𝐴(𝑡), 𝑦𝐴(𝑡), 𝑧𝐴(𝑡), 𝑡
com 
𝑽 𝒓𝐴, 𝑡 =
𝑑𝒓𝐴 𝑡
𝑑𝑡
= 𝑢 𝒓𝐴, 𝑡 Ƹ𝒊 + 𝑣 𝒓𝐴, 𝑡 Ƹ𝒋 + 𝑤 𝒓𝐴, 𝑡 ෡𝒌
• 𝑢, 𝑣 𝑒 𝑤 são as componentes do vetor velocidade e são funções das coordenadas espaciais 
da partícula no escoamento.
Velocidade de uma partícula de fluido
𝑽 𝒓𝐴, 𝑡 = 𝑢 𝒓𝐴, 𝑡 Ƹ𝒊 + 𝑣 𝒓𝐴, 𝑡 Ƹ𝒋 + 𝑤 𝒓𝐴, 𝑡 ෡𝒌
Velocidade de uma partícula de fluido
• Sob o ponto de vista fundamental, existe duas formas distintas de descrever o movimento,
considerando um fluido como contínuo (sobre o ponto de vista macroscópico), temos:
✓ Descrição Lagrangeana – Quando o método é aplicado ao escoamento de um fluido. É uma
análise análoga à analise de sistemas, ou seja seguimos uma massa de identidade fixa.
Aplicações: Controle dos escalares passivos em escoamento; cálculos da dinâmica de gás rarefeito
com relação da reentrada de uma nave espacial da Terra; desenvolvimento dos sistemas de medição
de escoamento com base na imagem de partículas.
✓ Descrição Euleriana – É o método mais comum para descrever os escoamentos de fluidos. Nessa
descrição um volume de controle é definido, através do qual o fluido escoa para dentro e para fora.
Definimos as variáveis de campo funções do espaço e do tempo dentro do volume de controle. Não
nos importamos com o que acontece com as partículas individuais do fluido.
Descrição do Escoamento
• Do matemático italiano Joseph Louis Lagrange (1736-1813).
• Descreve o comportamento de cada partícula acompanhando-a em sua trajetória
• Baseado na leis do movimento de Newton
• Apresenta grande dificuldade nas aplicações práticas na mecânica dos fluidos
• Fluidos são compostos por bilhões de particulas
• A interação entre moléculas é dificil de descrever ou modelar
• Para a engenharia, normalmente se interessa pelo comportamento do conjunto de partículas no
processo de escoamento, e não de particulas individuais.
• O comportamento do fluido é descrito pela especificação dos parâmetros em função do tempo:
• Pressão, 𝑝 = 𝑝(𝑡)
• Velocidade, 𝑽 = 𝑽(𝑡)
• Massa específica, 𝜌 = 𝜌(𝑡)
• Posição, 𝒓 = 𝒓(𝑡)
Descrição Lagrangeana
• Do matemático suíço Leonhard Euler (1707-1783).
• Consiste em adotar um intervalo de tempo, escolher uma seção ou volume de controle no
espaço e considerar todas as partículas que passem por este local.
• Método preferencial para estudar o movimento dos fluidos devido a praticidade.
• O movimento do fluido é descrito pela especificação de variáveis de campo necessárias em 
função do tempo:
• Pressão, 𝑝 = 𝑝 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡
• Velocidade, 𝑽 = 𝑽(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)
• Massa específica, 𝜌 = 𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)
• Estas variáveis definem o campo de escoamento.
Descrição Euleriana
• Método de Euler
✓O termômetro instalado perto da abertura indicaria a temperatura de diversas partículas
em instantes diferentes. Assim, obtém-se a variação da temperatura, 𝑇, nesse ponto, em
função de suas coordenadas e do tempo, 𝑡.
✓Vários termômetros instalados em pontos fixos do escoamento forneceria seu campo de
temperatura.
• Método de Lagrange
✓Um termômetro seria instalado em uma partícula fluida e, assim, registraria sua
temperatura ao longo do movimento, isto é, 𝑇 = 𝑇(𝑡).
✓Um conjunto de dispositivos para medir a variação da temperatura de várias partículas
forneceria a história da temperatura do escoamento. Isto só seria possível se a
localização de cada partícula fosse conhecida em função do tempo.
Exemplo
• Temperatura de um gás saindo da chaminé
Visão Euleriana:
Instalar um termômetro 
num ponto fixo!
Visão Lagrangeana:
Acompanhar a 
temperatura de uma 
partícula fluida!
Exemplo
Lagrangeana
• Segue as partículas fluidas.
• Especificação da partícula:
Pressão 𝑝 = 𝑝 𝑡
Velocidade 𝑽 = 𝑽(𝑡)
• Informações sobre o que acontece com a 
partícula ao longo do tempo.
Euleriana
• Usa o conceito de campo.
• Especificação Espaço-Temporal:
Pressão 𝑝 = 𝑝 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡
Velocidade 𝑽 = 𝑽(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)
• Informações sobre o escoamento em pontos 
fixos no espaço.
Comparação Lagrangiana e Euleriana
Considere a Segunda Lei de Newton aplicada a uma 
partícula de fluido:
Ԧ𝐹𝑝𝑎𝑟𝑡í𝑐𝑢𝑙𝑎 = 𝑚𝑝𝑎𝑟𝑡í𝑐𝑢𝑙𝑎 ⋅ Ԧ𝑎
Onde Ԧ𝐹𝑝𝑎𝑟𝑡í𝑐𝑢𝑙𝑎 é a força resultante que age sobre a 
partícula de fluido, 𝑚𝑝𝑎𝑟𝑡í𝑐𝑢𝑙𝑎 é sua massa e Ԧ𝑎 é sua 
aceleração.
Por definição, a aceleração da partícula é a derivada no 
tempo da velocidade da partícula,
Ԧ𝑎𝑝𝑎𝑟𝑡í𝑐𝑢𝑙𝑎 =
𝑑𝑉𝑝𝑎𝑟𝑡í𝑐𝑢𝑙𝑎
𝑑𝑡
Campo de Aceleração
• Dado o campo de velocidades de uma partícula
𝑽 𝒓, 𝑡 = 𝑽 𝑥𝐴 𝑡 , 𝑦𝐴 𝑡 , 𝑧𝐴 𝑡 , 𝑡 , 
A aceleração será
𝒂 𝒓, 𝑡 =
𝑑
𝑑𝑡
𝑽 𝒓, 𝑡 =
𝑑
𝑑𝑡
𝑽 𝑥𝐴 𝑡 , 𝑦𝐴 𝑡 , 𝑧𝐴 𝑡 , 𝑡
• Aplicando a regra da cadeia
𝒂 =
𝜕𝑽
𝜕𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
+
𝜕𝑽
𝜕𝑥
𝑑𝑥𝐴
𝑑𝑡
+
𝜕𝑽
𝜕𝑦
𝑑𝑦𝐴
𝑑𝑡
+
𝜕𝑽
𝜕𝑧
𝑑𝑧𝐴
𝑑𝑡
• Desta forma e generalizando para qualquer partícula do fluido
𝒂 =
𝜕𝑽
𝜕𝑡
+ 𝑢
𝜕𝑽
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑽
𝜕𝑦
+ 𝑤
𝜕𝑽
𝜕𝑧
Campo de Aceleração
• O operador
𝐷(∙)
𝐷𝑡
=
𝜕(∙)
𝜕𝑡
+ (𝑽 ∙ 𝛁)(∙)
• É conhecido como derivada material ou substantiva ou 
total. Para o caso da velocidade
𝐷(𝑽)
𝐷𝑡
= 𝒂 =
𝜕𝑽
𝜕𝑡
+ (𝑽 ∙ 𝛁)𝑽
Derivada Material
• Aceleração é composta por
𝒂 =
𝜕𝑽
𝜕𝑡
+ 𝑢
𝜕𝑽
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑽
𝜕𝑦
+𝑤
𝜕𝑽
𝜕𝑧
• O primeiro termo é chamado aceleração local e é diferente de zero para escoamentos em regime
não permanente (transiente).
• O segundo termo é a aceleração advectiva (aceleração convectiva) e pode ser diferente de zero
mesmo para escoamentos em regime permanente. Leva em conta os efeitos devido ao
deslocamento de uma particula para uma região diferente do escoamento onde a velocidade seja
diferente.
Campo de Aceleração
• Representa a trajetória real percorrida por uma partícula de fluido individual em um determinado 
período de tempo.
• Linha traçada por uma dada partícula ao longo de seu escoamento
Linha de Trajetória
• É uma curva que é tangente em todos os pontos aos vetor velocidade local instantâneo;
• Linha que é tangente ao vetor velocidade local instantâneo;• São uteis como indicadores instantâneos do movimento dos fluidos ao longo do campo de
escoamento.
X y
z
Partícula 1
no instante t
Partícula 2
no instante t
Partícula 3
no instante t
v1
v2
v3
Linha de corrente
• Linha que é tangente ao vetor velocidade local instantâneo
Linha de corrente
• No interior de um fluido em escoamento existem
infinitas linhas de corrente definidas por suas partículas
fluidas;
• A superfície constituída pelas linhas de corrente
formada no interior do fluido é denominada de tubo de
corrente ou veia líquida;
Tubo de corrente (tubo de fluxo)
• Linha definida pelo conjunto de partículas 
que tenham passado pelo mesmo ponto;
• A pluma que se desprende de uma chaminé 
permite visualizar de forma grosseira uma 
linha de emissão;Ponto de
Referência
Linha de Emissão (Filete)
• Gráficos de perfil
• Indica como determinada propriedade 
varia ao longo de uma direção do 
escoamento
• Gráficos de Vetores
• Um conjunto de setas indica como a 
magnitude e sentido de dada propriedade 
vetorial varia no espaço em um instante de 
tempo
• Gráficos de Contorno
• Mostra curvas de valores constantes em 
magnitude de uma propriedade escalar em 
dado instante de tempo
Contornos de 
velocidade no 
escoamento dentro de 
cavidade a Re=100
Representação Gráfica
Velocidades próximas à 
superfície do nariz de um 
trem de alta velocidade (TGV)
Planos de velocidades instantâneas (em instantes de tempo diferentes) - Re = 104
Representação Gráfica
Visualização de escoamentos: 
Campo de vorticidade: representação gráfica dos vetores vorticidade 
do escoamento. 
Plano de velocidades 
instantâneas, ReD = 10
4
CILINDRO
Campo instantâneo de vorticidade, ReD = 4300.
Detalhe com os vetores velocidade
V

=
Vorticidade:
Representação Gráfica
Princípio Fundamental
Modelos Matemáticos para 
abordagem de escoamentos via 
sistemas
Teorema de Transporte de Reynolds
Modelos Matemáticos para 
abordagem de escoamentos via 
volumes de controle
Teorema do Transporte de Reynolds
Sistema:
• Um sistema é uma quantidade de
matéria de identidade fixa. A massa não
cruza a fronteira do Sistema;
Volume de Controle:
• Um volume de controle é a região do
espaço. Massa pode cruzar a superfície de
controle.
✓ As leis fundamentais de conservação (conservação da massa, energia) se aplicam a sistemas;
✓ Assim, é necessário transformar as leis de conservação de um sistema para um volume de
controle;
✓ Essa transformação é feito usando o Teorema de Transporte de Reynolds.
Teorema do Transporte de Reynolds
• Propriedade intensiva 𝑏
• Não depende do tamanho do sistema. Por exemplo, densidade, temperatura.
• Propriedade extensiva, 𝐵𝑆𝐼𝑆
• Depende do tamanho do sistema. Por exemplo, massa, volume.
• Em geral, uma propriedade extensiva de um sistema, 𝐵𝑆𝐼𝑆, é determinada pela somatória da 
quantidade intensiva, 𝑏, associada a cada partícula da massa 𝜌𝛿∀. Isto é;
𝐵𝑆𝐼𝑆 = න
𝑆𝐼𝑆
𝑏𝑑𝑚 +න
𝑆𝐼𝑆
𝜌𝑏𝑑∀
Teorema do Transporte de Reynolds
“A taxa de variação de uma propriedade extensiva, B, de um fluido em um volume 
de controle é expressa em termos da derivada material.”
• Estabelece uma ligação entre os conceitos ligados aos volumes de controles 
àqueles ligados aos sistemas.
Teorema do Transporte de Reynolds
Considere um escoamento
unidimensional através de um volume
fixo.
▪ O volume de controle é estacionário
▪ O sistema é o fluido que ocupa o
volume no instante 𝑡
▪ As velocidades são normais às
superfícies (1) e (2).
Dedução do Teorema do Transporte de Reynolds
• Após um intervalo de tempo 𝛿𝑡, o sistema se desloca para direita.
A seção (1) se desloca 
𝛿𝑙1 = 𝑉1𝛿𝑡
A seção (2) se 
desloca 𝛿𝑙2 = 𝑉2𝛿𝑡
Dedução do Teorema do Transporte de Reynolds
• O escoamento para fora do volume de controle em 𝑡 + 𝛿𝑡 é denominado volume II.
• O escoamento para dentro do volume de controle em 𝑡 + 𝛿𝑡 é denominado volume I.
• Assim, o sistema no instante 𝑡 consiste no volume VC (linha pontilhada azul). No instante 
𝑡 + 𝛿𝑡 é (VC – I) + II.
• O volume de controle permanece VC o tempo todo
Dedução do Teorema do Transporte de Reynolds
• Seja B uma propriedade extensiva do sistema. Então, teremos:
• Antes: 
𝐵𝑆𝐼𝑆 𝑡 = 𝐵𝑉𝐶 𝑡
• Depois:
𝐵𝑆𝐼𝑆 𝑡 + 𝛿𝑡 = 𝐵𝑉𝐶 𝑡 + 𝛿𝑡 − 𝐵𝐼 𝑡 + 𝛿𝑡 + 𝐵𝐼𝐼 𝑡 + 𝛿𝑡
Dedução do Teorema do Transporte de Reynolds
• A variação de 𝐵𝑆𝐼𝑆 durante 𝛿𝑡
𝛿𝐵𝑆𝐼𝑆
𝛿𝑡
=
𝐵𝑆𝐼𝑆 𝑡 + 𝛿𝑡 − 𝐵𝑆𝐼𝑆 𝑡
𝛿𝑡
=
𝐵𝑉𝐶 𝑡 + 𝛿𝑡 − 𝐵𝐼 𝑡 + 𝛿𝑡 + 𝐵𝐼𝐼 𝑡 + 𝛿𝑡 − 𝐵𝑆𝐼𝑆 𝑡
𝛿𝑡
Dedução do Teorema do Transporte de Reynolds
• Como 𝐵𝑆𝐼𝑆 𝑡 = 𝐵𝑉𝐶 𝑡
𝛿𝐵𝑆𝐼𝑆
𝛿𝑡
=
𝐵𝑉𝐶 𝑡 + 𝛿𝑡 − 𝐵𝑉𝐶 𝑡
𝛿𝑡
+
𝐵𝐼𝐼 𝑡 + 𝛿𝑡 − 𝐵𝐼 𝑡 + 𝛿𝑡
𝛿𝑡
• Fazendo o limite quando 𝛿𝑡 → 0
lim
𝛿𝑡→0
𝐵𝑉𝐶 𝑡 + 𝛿𝑡 − 𝐵𝑉𝐶 𝑡
𝛿𝑡
=
𝜕𝐵𝑉𝐶
𝜕𝑡
=
𝜕
𝜕𝑡
න
𝑉𝐶
𝜌𝑏𝑑∀
Dedução do Teorema do Transporte de Reynolds
• Sendo
𝐵𝐼 𝑡 + 𝛿𝑡 = 𝜌1𝑏1𝛿∀1= 𝜌1𝑏1𝐴1𝑉1𝛿𝑡
𝐵𝐼𝐼 𝑡 + 𝛿𝑡 = 𝜌2𝑏2𝛿∀2= 𝜌2𝑏2𝐴2𝑉2𝛿𝑡
• Fazendo o limite quando 𝛿𝑡 → 0
lim
𝛿𝑡→0
𝐵𝐼𝐼 𝑡 + 𝛿𝑡 − 𝐵𝐼 𝑡 + 𝛿𝑡
𝛿𝑡
= 𝜌2𝑏2𝐴2𝑉2 − 𝜌1𝑏1𝐴1𝑉1
Dedução do Teorema do Transporte de Reynolds
• Portanto
𝐷𝐵𝑆𝐼𝑆
𝐷𝑡
=
𝜕𝐵𝑉𝐶
𝜕𝑡
+ 𝜌2𝑏2𝐴2𝑉2 − 𝜌1𝑏1𝐴1𝑉1
𝐷𝐵𝑆𝐼𝑆
𝐷𝑡
=
𝜕
𝜕𝑡
න
𝑉𝐶
𝜌𝑏𝑑∀ + ሶ𝐵𝑠𝑎𝑖 − ሶ𝐵𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎
O primeiro termo representa a taxa de variação de 𝐵 dentro do volume de controle, enquanto os
outros dois representam o fluxo liquido de 𝐵 pelas superfícies do sistema.
Dedução do Teorema do Transporte de Reynolds
• Uma forma mais abrangente deste teorema pode ser escrita como
𝐷𝐵𝑆𝐼𝑆
𝐷𝑡
𝐼
=
𝜕
𝜕𝑡
න
𝑉𝐶
𝜌𝑏𝑑∀
𝐼𝐼
+න
𝑆𝐶
𝜌𝑏𝑉 ∙ 𝑛𝑑𝐴
𝐼𝐼𝐼
Interpretação física:
• I Representa a taxa de variação temporal de um parâmetro extensivo num sistema (massa, Q.
movimento, etc.).
• II Representa a taxa de variação temporal de B num dado instante.
• III Representa a vazão líquida do parâmetro B através de toda a superfície de controle:
✓Se 𝑉 ∙ 𝑛 > 0, a propriedade B é transportada para fora do volume de controle.
✓E se 𝑉 ∙ 𝑛 < 0, a propriedade entra no volume de controle.
✓Se 𝑉 ∙ 𝑛 = 0, 𝑉 é tangente à superfície de controle.
Dedução do Teorema do Transporte de Reynolds
Na mecânica dos fluidos, um elemento pode sofrer quatro tipos
fundamentais de movimento. 
(a) Translação
(b) Rotação
(c) Deformação linear
(d) Deformação por cisalhamento
Como os fluidos estão em movimento estes movimentos são melhor
descritos por taxas:
• Velocidade: taxa de translação
• Velocidade angular: taxa de rotação
• Deformação linear: taxa de deformação linear
• Deformação cisalhamento: taxa de deformação por cisalhamento
Descrições Cinemáticas
• Para serem úteis, estas taxas devem ser expressas em função da velocidade e suas derivadas;
• A taxa de translação linear é expressa com a própria velocidade
𝑽 = 𝑢 Ƹ𝒊 + 𝑣 Ƹ𝒋 + 𝑤 ෡𝒌
• A taxa de rotação em um ponto é definida como a rotação média de duas linhas inicialmente
perpendiculares que se intersectam neste ponto. Podemos definir esta taxa em relação a
vorticidade.
Vetor taxa de rotação em coordenadas cartesianas:
𝜔 =
1
2
𝜕𝑤
𝜕𝑦
−
𝜕𝑣
𝜕𝑧
Ԧ𝑖
+
1
2
𝜕𝑢
𝜕𝑧
−
𝜕𝑤
𝜕𝑥
Ԧ𝑗
+
1
2
𝜕𝑣
𝜕𝑥
−
𝜕𝑢
𝜕𝑦
𝑘
Taxa de Translação e Rotação
• A deformação linear é definida como o aumento de velocidade por unidade de comprimento.
Em coordenadas cartesianas
𝜀𝑥𝑥 =
𝜕𝑢
𝜕𝑥
, 𝜀𝑦𝑦=
𝜕𝑣
𝜕𝑦
, 𝜀𝑧𝑧 =
𝜕𝑤
𝜕𝑧
• Já a taxa de deformação volumétrica
1
∀
𝐷𝑉
𝐷𝑡
= 𝜀𝑥𝑥 + 𝜀𝑦𝑦 + 𝜀𝑧𝑧 =
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+
𝜕𝑣
𝜕𝑦
+
𝜕𝑤
𝜕𝑧
Em Fluidos incompressíveis a taxa deve ser nula.
Taxa de Deformação Linear
• É definida como metade da taxa de decréscimo do ângulo entre duas linhas perpediculares que
se intersectam em um ponto.
• Em coordenadas Cartesianas:
𝜀𝑥𝑦 =
1
2
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+
𝜕𝑣
𝜕𝑥
, 𝜀𝑧𝑥 =
1
2
𝜕𝑤
𝜕𝑥
+
𝜕𝑢
𝜕𝑧
, 𝜀𝑦𝑧 =
1
2
𝜕𝑣
𝜕𝑧
+
𝜕𝑤
𝜕𝑦
Combinando matematicamentea taxa de deformação linear e a taxa de deformação por
cisalhamento em um tensor simétrico de segunda ordem chamado de tensor de taxa de
deformação, temos:
𝜀𝑖𝑗 =
𝜀𝑥𝑥 𝜀𝑥𝑦 𝜀𝑥𝑧
𝜀𝑦𝑥 𝜀𝑦𝑦 𝜀𝑦𝑧
𝜀𝑧𝑥 𝜀𝑧𝑦 𝜀𝑧𝑧
=
𝜕𝑢
𝜕𝑥
1
2
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+
𝜕𝑣
𝜕𝑥
1
2
𝜕𝑢
𝜕𝑧
+
𝜕𝑤
𝜕𝑥
1
2
𝜕𝑣
𝜕𝑥
+
𝜕𝑢
𝜕𝑦
𝜕𝑣
𝜕𝑦
1
2
𝜕𝑣
𝜕𝑧
+
𝜕𝑤
𝜕𝑦
1
2
𝜕𝑤
𝜕𝑥
+
𝜕𝑢
𝜕𝑧
1
2
𝜕𝑤
𝜕𝑦
+
𝜕𝑣
𝜕𝑧
𝜕𝑤
𝜕𝑧
Taxa de Deformação Angular
• O vetor vorticidade é definido como o rotacional do vetor velocidade. Também é igual ao dobro
da velocidade angular 𝜔
Ԧ𝜉 = 𝛻 × 𝑉 = 2 𝜔
✓Coord. Cartesianas 2D: Ԧ𝜉 =
𝜕𝑣
𝜕𝑥
−
𝜕𝑢
𝜕𝑦
𝑘
✓Em regiões onde Ԧ𝜉 = 0, o fluxo é chamado irrotacional.
✓O vetor vorticidade em coordenadas cartesianas,
Ԧ𝜉 =
𝜕𝑤
𝜕𝑦
−
𝜕𝑣
𝜕𝑧
Ԧ𝑖 +
𝜕𝑢
𝜕𝑧
−
𝜕𝑤
𝜕𝑥
Ԧ𝑗 +
𝜕𝑣
𝜕𝑥
−
𝜕𝑢
𝜕𝑦
𝑘
Vorticidade e Rotacionalidade
• Se o escoamento for bidimensional no plano 𝑥𝑦, a componente 𝑧 da velocidade 𝑤 é zero e
nem 𝑢 nem 𝑣 variam com 𝑧. Assim, as duas primeiras componentes da equação acima, são
identicamente nulas e a vorticidade reduz-se a:
Ԧ𝜉 =
𝜕𝑣
𝜕𝑥
−
𝜕𝑢
𝜕𝑦
𝑘
• Observe que, se um escoamento é bidimensional no plano 𝑥𝑦, o vetor vorticidade deve apontar
na direção 𝑧 ou −𝑧.
✓ Em coordenadas cilíndricas Ԧ𝑒𝑟, Ԧ𝑒𝜃, Ԧ𝑒𝑧 , 𝑟, 𝜃, 𝑧 e 𝑢𝑟 , 𝑢𝜃 , 𝑢𝑧 pode ser expandida como:
Ԧ𝜉 =
1
2
𝜕𝑢𝑧
𝜕𝜃
−
𝜕𝑢𝜃
𝜕𝑧
Ԧ𝑒𝑟 +
𝜕𝑢𝑟
𝜕𝑧
−
𝜕𝑢𝑧
𝜕𝑟
Ԧ𝑒𝜃 +
1
𝑟
𝜕 𝑟𝑢_𝜃
𝜕𝑟
−
𝜕𝑢𝑟
𝜕𝜃
Ԧ𝑒𝑧
Vorticidade e Rotacionalidade
Vorticidade e Rotacionalidade
( ) ( )2
0,
1 1
0 2
r
r
z z z
u u r
rru u
e e e
r r r r




 

= =
   
 = − = − = 
      
( ) ( )
0,
1 1
0 0
r
r
z z z
K
u u
r
ru Ku
e e e
r r r r



= =
    
= − = − =   
    
Escoamento A: Rotação de corpo Rígido Escoamento B: Linha de Vortícies
Comparação entre dois escoamentos circulares
Exercícios
Considere o escoamento em regime permanente,
incompressível e bidimensional através de um duto
convergente. Um campo de velocidade aproximado simples
para esse escoamento é
𝑉 = 𝑢, 𝑣 = 𝑈0 + 𝑏𝑥 Ԧ𝑖 − 𝑏𝑦Ԧ𝑗
onde 𝑈0 é a velocidade horizontal em 𝑥 = 0. Observe que
essa equação ignora os efeitos viscosos ao longo das
paredes, mas é uma aproximação razoável na maior parte do
campo de escoamento. Calcule a aceleração material das
partículas de fluido que passam através desse duto. Dê sua
resposta de duas maneiras: (1)Como componente da
aceleração 𝑎𝑥 e 𝑎𝑦 e (2) como vetor aceleração Ԧ𝑎.
49
Questão 4.15 (Çengel 1ªEdição):
1. Dados:
• Campo de velocidade 𝑉 = 𝑢, 𝑣 = 𝑈0 + 𝑏𝑥 Ԧ𝑖 − 𝑏𝑦Ԧ𝑗;
• 𝑈0 é a velocidade horizontal em 𝑥 = 0
2. Achar:
Aceleração material das partículas de fluidos através do duto para o campo de velocidade usando
as seguintes maneiras:
(1) Como componente da aceleração 𝑎𝑥 e 𝑎𝑦 e
(2) Como vetor aceleração Ԧ𝑎.
3. Esquema (dado na questão)
50
4. Equação básicas:
• Aceleração material de uma partícula de fluido em coordenadas cartesianas
𝒂 =
𝜕𝑽
𝜕𝑡
+ 𝑢
𝜕𝑽
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑽
𝜕𝑦
+𝑤
𝜕𝑽
𝜕𝑧
5. Considerações
i. As propriedades do fluido são constante
ii. O escoamento do fluido é incompressível
iii. Escoamento é bidimensional (velocidade esta variando só com x e y)
iv. Escoamento permanente
6. Análise:
Os componentes do campo de aceleração são obtidos a partir de sua definição (aceleração material)
em coordenadas cartesianas. Sabendo o vetor velocidade temos:
𝑉 = 𝑢, 𝑣 = 𝑈0 + 𝑏𝑥 Ԧ𝑖 − 𝑏𝑦Ԧ𝑗
Onde: 𝑢 𝑥, 𝑦 = 𝑈0 + 𝑏𝑥 e 𝑣 𝑥, 𝑦 = −𝑏𝑦
Como o escoamento é bidimensional, a componente do vetor velocidade 𝑤 é zero (ou seja, a 
velocidade não está variando na posição z) e o escoamento é permanente (a velocidade não varia 
com o tempo), temos que a aceleração torna-se, 51
𝒂 =
𝜕𝑉
𝜕𝑡
+ 𝑢
𝜕𝑽
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑽
𝜕𝑦
+ 𝑤
𝜕𝑽
𝜕𝑧
𝑎𝑥 =
∂V
∂t
+ 𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+𝑤
𝜕𝑢
𝜕𝑧
= 0 + 𝑈0 + 𝑏𝑥 𝑏 + −𝑏𝑦 ⋅ 0 + 0 = 𝑈0 + 𝑏𝑥 𝑏
𝑎𝑦 =
∂V
∂t
+ 𝑢
𝜕𝑣
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑣
𝜕𝑦
+𝑤
𝜕𝑣
𝜕𝑧
= 0 + 𝑈0 + 𝑏𝑥 ⋅ 0 + −𝑏𝑦 −𝑏 + 0 = 𝑏
2𝑦
Portanto, as componentes da aceleração material são:
𝒂𝒙 = 𝑼𝟎 + 𝒃𝒙 𝒃 𝐞 𝒂𝒚 = 𝒃
𝟐𝒚
Em termos de vetor aceleração material temos:
𝒂 = 𝑼𝟎 + 𝒃𝒙 𝒃 Ԧ𝒊 + 𝒃
𝟐𝒚Ԧ𝒋
7. Comentários: 
Para x e b positivos, as partículas de fluido aceleram na direção x positiva. Mesmo que esse 
escoamento seja constante, ainda há um campo de aceleração diferente de zero. 52
Um campo de velocidade bidimensional, incompressível e em regime permanente é dado por
𝑉 = 𝑢, 𝑣 = 1 + 2,5𝑥 + 𝑦 Ԧ𝑖 + −0,5 − 1,5𝑥 − 2,5𝑦 Ԧ𝑗
onde as coordenadas 𝑥 e 𝑦 estão em metros e o módulo da velocidade em 𝑚/𝑠.
(a) Determine se há muitos pontos de estagnação nesse campo de escoamento e, neste caso, 
onde?
(b) Represente graficamente os vetores velocidade em diversos locais do quadrante superior 
direito de 𝑥 = 0 m e de 𝑦 = 0 𝑚 a 4 𝑚; descreva qualitativamente o campo de escoamento.
53
Questão 4.15 (Çengel 1ªEdição):
judoc
Realce
(Correção)4.35
1. Dados:
• Campo de velocidade: 𝑉 = 𝑢, 𝑣 = 1 + 2,5𝑥 + 𝑦 Ԧ𝑖 + −0,5 − 1,5𝑥 − 2,5𝑦 Ԧ𝑗
• Coordenadas 𝑥 e 𝑦 estão em metros e o módulo da velocidade em 𝑚/𝑠.
2. Achar:
i. Pontos de estagnação nesse campo de escoamento;
ii. Represente graficamente os vetores velocidade em diversos locais do quadrante superior
direito de 𝑥 = 0 m e de 𝑦 = 0 𝑚 a 4 𝑚
iii. Descrição qualitativamente o campo de escoamento.
3. Considerações:
i. As propriedades do fluido são constante
ii. O escoamento do fluido é incompressível
iii. Escoamento é bidimensional (velocidade esta variando só com x e y)
iv. Escoamento permanente
54
4. Análises:
Campo de velocidade é dado por
𝑉 = 𝑢, 𝑣 = 1 + 2,5𝑥 + 𝑦 Ԧ𝑖 + −0,5 − 1,5𝑥 − 2,5𝑦 Ԧ𝑗
Sendo 𝑉 o vetor velocidade e 𝑢 e 𝑣 as componentes do vetor velocidade nas direções 𝑥 e 𝑦
respectivamente. Para determinar os pontos de estagnação do campo de escoamento temos que
𝑉 = 0, 0 , ou seja o vetor velocidade é nulo. Então temos,
𝑢 𝑥, 𝑦 = 1 + 2,5𝑥 + 𝑦 e 𝑣 𝑥, 𝑦 = −0,5 − 1,5𝑥 − 2,5𝑦
Para ponto de estagnação no campo de escoamento, fazemos 𝑢 = 0 e 𝑣 = 0. Temos o seguinte 
sistema:
ቊ
1 + 2,5𝑥 + 𝑦 = 0
−0,5 − 1,5𝑥 − 2,5𝑦 = 0
Resolvendo o sistema, encontraremos um ponto de estagnação do campo de velocidade em:
𝒙 = −𝟎, 𝟒𝟐𝟏 𝒎 e 𝒚 = 𝟎, 𝟎𝟓𝟐𝟓𝒎
55
4. Análises:
As componentes 𝑥 e 𝑦 do vetor velocidade foram calculados campo de velocidade para vários locais
𝑥, 𝑦 no intervalo especificado.
No ponto 𝑥 = 2 𝑚, 𝑦 = 3 𝑚 , as componentes do vetor velocidade 𝑢 e 𝑣 são:
𝑢 = 1 + 2,5𝑥 + 𝑦 = 1 + 2,5 ⋅ 2 + 3 = 𝟗, 𝟎𝟎 𝒎/𝒔
𝑣 = −0,5 − 1,5𝑥 − 2,5𝑦 = −0,5 − 1,5 ⋅ 2 − 2,5 ⋅ 3 = −𝟏𝟏, 𝟎𝟎 𝒎/𝒔
A magnitude da velocidade neste ponto 𝑥 = 2 𝑚, 𝑦 = 3 𝑚 é,
𝑉 = 𝑢2 + 𝑣2 = 92 + −11 2 = 𝟏𝟒, 𝟐𝟏 𝒎/𝒔
Para esse ponto e em outros locais, o vetor velocidade é construído a partir de seus dois
componentes, cujos resultados são mostrados na Figura. O fluxo pode ser descrito como um giro no
sentido anti-horário, acelerando o fluxo do canto superior esquerdo para o inferior certo. O ponto de
estagnação não está no quadrante superior direito e, portanto, não aparece no esboço.
56
4. Análises:
Para esse ponto e em outros locais, o vetor velocidade é construído a partir de seus dois
componentes, cujos resultados são mostrados na Figura. O fluxo pode ser descrito como um giro no
sentido anti-horário, acelerando o fluxo do canto superior esquerdo para o inferior certo. O ponto de
estagnação não está no quadrante superior direito e, portanto, não aparece no esboço.
GNU Octave, version 5.2.0
57
Considere o seguinte campo de velocidade em regime permanente e tridimensional:
𝑉 = 𝑢, 𝑣, 𝑤 = 3,0 + 2,0𝑥 − 𝑦 Ԧ𝑖 + 2,0𝑥 − 2,0𝑦 Ԧ𝑗 + 0,5𝑥𝑦 𝑘
Calcule o vetor vorticidade como função do espaço (𝑥, 𝑦, 𝑧).
58
Questão 4.70 (Çengel 1ªEdição):
1. Dados:
• Sistema tridimensional 𝑥, 𝑦, 𝑧 em coordenadascartesianas
• Campo de velocidade:
𝑉 = 𝑢, 𝑣, 𝑤 = 3,0 + 2,0𝑥 − 𝑦 Ԧ𝑖 + 2,0𝑥 − 2,0𝑦 Ԧ𝑗 + 0,5𝑥𝑦 𝑘
2. Achar:
• Vetor vorticidade como função do espaço
3. Considerações:
i. Escoamento é tridimensional e em coordenadas cartesianas
ii. Escoamento permanente
4. Equações Básicas:
Vetor Vorticidade em coordenadas cartesianas:
𝜉 =
𝑑𝑤
𝑑𝑦
−
𝑑𝑣
𝑑𝑧
Ԧ𝑖 +
𝑑𝑢
𝑑𝑧
−
𝑑𝑤
𝑑𝑥
Ԧ𝑗 +
𝑑𝑣
𝑑𝑥
−
𝑑𝑢
𝑑𝑦
𝑘
59
5. Análise:
Sabendo que as componentes do vetor velocidade são:
𝑢 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 3,0 + 2,0𝑥 − 𝑦, 𝑣 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 2,0𝑥 − 2,0𝑦 e 𝑤 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 0,5𝑥𝑦
Podemos substituir na equação do vetor vorticidade, temos:
𝜉
=
𝑑
𝑑𝑦
(0,5𝑥𝑦) −
𝑑
𝑑𝑧
(2,0𝑥 − 2,0𝑦) Ԧ𝑖 +
𝑑
𝑑𝑧
(3,0 + 2,0𝑥 − 𝑦) −
𝑑
𝑑𝑥
(0,5𝑥𝑦) Ԧ𝑗
+
𝑑
𝑑𝑥
(2,0𝑥 − 2,0𝑦) −
𝑑
𝑑𝑦
(3,0 + 2,0𝑥 − 𝑦) 𝑘
Então,
𝜉 = 0,5𝑥 − 0 Ԧ𝑖 + 0 − 0,5𝑦 Ԧ𝑗 + (2,0) − (−1) 𝑘
𝝃 = 𝟎, 𝟓𝒙 Ԧ𝒊 − 𝟎, 𝟓𝒚 Ԧ𝒋 + 𝟑, 𝟎 𝒌
Portanto, como a vorticidade é diferente de zero, o escoamento é rotacional.
60
Considere a forma geral do teorema de transporte de Reynolds (TTR) dada por:
𝐷𝐵𝑆𝐼𝑆
𝐷𝑡
=
𝜕
𝜕𝑡
න
𝑉𝐶
𝜌𝑏𝑑∀ +න
S𝐶
𝜌𝑏𝑉 ∙ 𝑛𝑑𝐴
onde 𝑉𝑟 é a velocidade do fluido com relação à superfície de controle. Seja 𝐵𝑠𝑖𝑠 a massa 𝑚 de uma
sistema de partículas de fluidos. Sabemos que para um sistema Τ𝑑𝑚 𝑑𝑡 = 0, uma vez que, por
definição, nenhuma massa pode entrar ou sair do sistema. Use a equação dada para deduzir a
equação da conservação da massa para um volume de controle.
61
Questão 4.75 (Çengel 1ªEdição):
1. Dados:
• Teorema de transporte de Reynolds:
𝐷𝐵𝑆𝐼𝑆
𝐷𝑡
=
𝜕
𝜕𝑡
න
𝑉𝐶
𝜌𝑏𝑑∀ + න
S𝐶
𝜌𝑏𝑉 ∙ 𝑛𝑑𝐴
• Massa do sistema:
𝑑𝑀𝑠𝑖𝑠
𝑑𝑡
= 0
2. Achar:
• Deduzir a equação de conservação da massa para volume de controle
3. Análise:
A massa é a propriedade extensiva 𝐵𝑠𝑖𝑠 é a massa ou seja, 𝐵𝑠𝑖𝑠 = m e que a propriedade intensiva, 𝑏 =
𝑚
𝑚
= 1,
podemos utilizar o TTR para deduzir a equação da conservação da massa para um volume de controle,
𝐷𝑀𝑆𝐼𝑆
𝐷𝑡
=
𝜕
𝜕𝑡
න
𝑉𝐶
𝜌1𝑑∀ + න
S𝐶
𝜌1𝑉 ∙ 𝑛𝑑𝐴
Como a massa de um sistema se conserva, ou seja,
𝑑𝑀𝑠𝑖𝑠
𝑑𝑡
= 0, então a Equação da conservação da massa para
um volume de controle torna-se
𝟎 =
𝛛
𝛛𝐭
න
𝐕𝐂
𝛒𝐝∀ +න
𝐒𝐂
𝛒𝐕 ∙ 𝐧𝐝𝐀
62
Considere a forma geral do teorema de transporte de Reynolds (TTR) dada por: 
𝐷𝐵𝑆𝐼𝑆
𝐷𝑡
=
𝜕
𝜕𝑡
න
𝑉𝐶
𝜌𝑏𝑑∀ + න
S𝐶
𝜌𝑏𝑉 ∙ 𝑛𝑑𝐴
Seja 𝐵𝑠𝑖𝑠 o momento 𝑚𝑉 de um sistema de partículas de fluido. Sabendo que para um sistema, a 
segunda Lei de Newton é:
෍ Ԧ𝐹 = 𝑚 Ԧ𝑎 = 𝑚
𝑑𝑉
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
𝑚𝑉
𝑠𝑖𝑠
Use a equação para deduzir a equação da conservação do momento para um volume de controle.
63
Questão 4.76 (Çengel 1ªEdição):
1. Dados:
• Teorema de transporte de Reynolds:
𝐷𝐵𝑆𝐼𝑆
𝐷𝑡
=
𝜕
𝜕𝑡
න
𝑉𝐶
𝜌𝑏𝑑∀ +න
S𝐶
𝜌𝑏𝑉 ∙ 𝑛𝑑𝐴
• 2ª Lei de Newton:
෍ Ԧ𝐹 = 𝑚 Ԧ𝑎 = 𝑚
𝑑𝑉
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
𝑚𝑉
𝑠𝑖𝑠
2. Achar:
• Deduzir a equação de conservação do movimento para um volume de controle.
3. Análise:
A propriedades extensiva 𝐵𝑠𝑖𝑠 = 𝑚𝑉, e a propriedade intensiva, 𝑏 =
𝑚𝑉
𝑚
= 𝑉, utilizando o TTR para
deduzir a equação da conservação da massa para um volume de controle,
෍𝑭 =
𝑫
𝑫𝒕
𝒎𝑽
𝒔𝒊𝒔
=
𝝏
𝝏𝒕
න
𝑽𝑪
𝝆𝑽𝒅∀ + න
𝑺𝑪
𝝆𝑽 𝑽 ⋅ 𝒏 𝒅𝑨
Que é a equação da conservação do momento em volume de controle. 64
Equações de Conservação na Forma Integral para 
Volumes de Controle Finito
❑ Equações para sistema;
❑ Relação entre as equações para sistema e a formulação para VC;
❑ Conservação da massa para volume de controle;
❑ Conservação da Quantidade de movimento para VC inercial;
❑ Conservação da Quantidade de movimento para volume de controle sob aceleração retilínea;
❑ Conservação da Quantidade de movimento para volume de controle sob aceleração arbitrária;
❑ Quantidade de movimento angular;
❑ Conservação da Energia (1ª Lei da Termodinâmica)
❑ Conservação da Quantidade de Entropia (2ª Lei da Termodinâmica)
• Referencia Bibliográfica:
1. Fox, Robert W.; Pritchard, Philip J.; McDonald, Alan T.; “Introdução a Mecânica dos Fluidos”.
8ª edição, Editora LTC (2014). (Capítulo 4)
2. Cengel, Yunus A. e Cimbala, John M. “Mecânica dos Fluidos - Fundamentos e Aplicações”. 3ª
edição. Editora McGraw-Hill (2015). (Capítulo 5 e 6)
Tópicos
http://loja.grupoa.com.br/livros/mcgraw-hill
1. Conservação da massa (sem reações químicas)
ቇ
𝒅𝑴
𝒅𝒕
𝒔𝒊𝒔𝒕𝒆𝒎𝒂
= 𝟎
𝑀𝑠𝑖𝑠 = න
𝑀(𝑠𝑖𝑠)
𝑑𝑚 = න
∀(𝑠𝑖𝑠)
𝜌𝑑∀
2. Conservação da quantidade de movimento (2ª lei de Newton)
Força Resultante: 
𝑭 = ቇ
𝒅𝑷
𝒅𝒕 𝒔𝒊𝒔𝒕𝒆𝒎𝒂
Quantidade de movimento linear:
𝑃𝑠𝑖𝑠 = න
𝑀(𝑠𝑖𝑠)
𝑉𝑑𝑚 = න
∀(𝑠𝑖𝑠)
𝑉𝜌𝑑∀
Equações para Sistemas
3. Conservação da quantidade de movimento angular (Segunda lei de Newton – sistemas em
rotação)
Torque Resultante: 
𝑻 = ቇ
𝒅𝑯
𝒅𝒕 𝒔𝒊𝒔𝒕𝒆𝒎𝒂
Quantidade de movimento angular
𝐻𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 = න
𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎
Ԧ𝑟 × 𝑉 𝑑𝑚 = න
∀(𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎)
Ԧ𝑟 × 𝑉 𝜌 𝑑∀
Torque
𝑇 = Ԧ𝑟 × Ԧ𝐹𝑠 +න
𝑀(𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎)
Ԧ𝑟 × Ԧ𝑔 𝑑𝑚 + 𝑇𝑒𝑖𝑥𝑜
Equações para Sistemas
4. Conservação da Energia (1ª Lei da Termodinâmica)
Energia Total
ሶ𝑸𝒕𝒐𝒕 − ሶ𝑾𝒕𝒐𝒕 = ቇ
𝒅𝑬
𝒅𝒕
𝐬𝐢𝐬𝐭𝐞𝐦𝐚
𝐸 = න
𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎
𝑒 𝑑𝑚 = න
∀(𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎)
𝑢 +
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧 𝜌 𝑑∀
5. Conservação da Entropia (2ª Lei da Termodinâmica)
Variação de Entropia: 
𝒅𝑺 ≥
𝜹 ሶ𝑸
𝑻
Taxa de entropia
ቇ
𝑑𝑆
𝑑𝑡
sistema
≥
1
𝑇
ሶ𝑄
𝑆𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 = න
𝑀(𝑠𝑖𝑠)
𝑠 𝑑𝑚 = න
∀(𝑠𝑖𝑠)
𝑠 𝜌 𝑑∀
Equações para Sistemas
Relação entre as equações para sistema e a formulação para volume de 
controle
O Teorema de Transporte de Reynolds nos fornece a transformação das equações constitutivas de
sistema para volume de controle
𝐷𝐵𝑆𝐼𝑆
𝐷𝑡
=
𝜕
𝜕𝑡
න
𝑉𝐶
𝜌𝑏𝑑∀ + න
S𝐶
𝜌𝑏𝑉 ∙ 𝑛𝑑𝐴
Propriedade Extensiva - 𝐁 Propriedade Intensiva - 𝒃 =
𝑩
𝒎
Massa:
𝐵 = 𝑀 𝑏 =
M
m
= 1
Quantidade de Movimento linear:
𝐵 = 𝑃 = 𝑚𝑉
𝑏 =
𝑚𝑉
𝑚
= 𝑉
Quantidade de movimento angular:
𝐵 = 𝐻 = 𝑚 Ԧ𝑟 × 𝑉 𝑏 =
𝑚 Ԧ𝑟 × 𝑉
𝑚
= Ԧ𝑟 × 𝑉
Energia:
𝐵 = 𝐸 𝑏 =
𝐸
𝑚
= 𝑒 = 𝑢 +
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧
Entropia:
𝐵 = 𝑆 𝑏 =
𝑆
𝑚
= 𝑠
fluxo da propriedade 
B através da 
superfície de controle
taxa de variação da 
propriedade B no 
volume de controle
taxa de variação da 
propriedade B para 
sistemas
𝐃𝐁𝐒𝐈𝐒
𝐃𝐭
=
𝛛
𝛛𝐭
න
𝐕𝐂
𝛒𝐛𝐝∀ +න
𝐒𝐂
𝛒𝐛(𝐕 ∙ 𝐧)𝐝𝐀
Teorema de Transporte de Reynolds
O sinal do produto escalar é ilustrado na figura abaixo para:
(a) o caso geral de uma entrada ou saída,
(b) uma velocidade de saída paralela à normal à superfície e
(c) uma velocidade de entrada paralela à normal à superfície.
Os casos (b) e (c) são obviamente casos especiais convenientes de (a); o valor do cosseno
no caso (a) gera automaticamente o sinal correto tanto na entrada quanto na saída
Teorema de Transporte de Reynolds
fluxo de massa 
através da superfície 
de controle
taxa de variação da 
massa no volume de 
controle
taxa de variação 
da massa para 
sistemas é zero
ቇ
𝒅𝑴
𝒅𝒕
𝒔𝒊𝒔𝒕
= 𝟎 =
𝝏
𝝏𝒕
න
𝑽𝑪
𝝆𝒅∀ +න
𝑺𝑪
𝝆 𝑽 ∙ 𝒏 𝒅𝑨
Conservação da Massa para Volume de Controle
Ad

V

𝟎 =
𝛛
𝛛𝐭
න
𝐕𝐂
𝛒𝐝∀ +න
𝐒𝐂
𝛒 𝐕 ∙ 𝐧 𝐝𝐀
❑ Velocidade paralela ao vetor área (sempre para o exterior do V.C.):
൝𝑉 ∙ 𝑑
Ԧ𝐴 > 0 𝐹𝑙𝑢𝑥𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑎í𝑑𝑎𝑠
𝑉 ∙ 𝑑 Ԧ𝐴 < 0 𝐹𝑙𝑢𝑥𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎𝑠
❑ Escoamento uniforme (uma entrada / uma saída ):
d
dt
න
∀𝐶
𝜌𝑑∀ +෍
𝑆
𝜌𝑉𝑛𝑑𝐴 −෍
𝑒
𝜌𝑉𝑛𝑑𝐴 = 0
න
𝐴
𝜌 𝑉 ⋅ 𝑑 Ԧ𝐴 = 𝜌𝑠𝑉𝑠𝐴𝑠 − 𝜌𝑒𝑉𝑒𝐴𝑒
Conservação da Massa para Volume de Controle
❑ Casos Especiais
❖ Fluidos incompressíveis:
𝜌
𝜕
𝜕𝑡
න
∀𝐶
𝑑∀ + 𝜌න
𝑆𝐶
𝑉 ∙ 𝑑 Ԧ𝐴 = 0
❖ A integral se sobre todo o volume de controle é simplesmente o volume total do volume de controle,
dividindo por 𝜌 temos:
𝜕∀
𝜕𝑡
+න
𝑆𝐶
𝑉 ∙ 𝑑 Ԧ𝐴 = 0
❖ Para o volume de controle não deformável, de forma e tamanho fixos,
∀= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒. A equação da conservação da massa para escoamentoincompressível através de um volume
de controle fixo,
න
𝑆𝐶
𝑉 ∙ 𝑑 Ԧ𝐴 = 0
❖ Caso especial quando a velocidade é uniforme na entrada e na saída, temos:
෍
𝑆𝐶
𝑉 ∙ 𝑑 Ԧ𝐴 = 0
Conservação da Massa para Volume de Controle
❑ Casos Especiais
❖ A integral sobre uma seção da superfície de controle e chamada de taxa de fluxo de volume ou vazão
em volume ou ainda vazão volumétrica. Deste forma, para um escoamento incompressível, a vazão
volumétrica para dentro do volume de controle deve ser igual à vazão volumétrica para fora do volume
de controle. A vazão volumétrica ሶ𝑄, através de uma seção de uma superfície de controle de área 𝐴, é:
ሶ𝑄 = න
𝑆𝐶
𝑉 ∙ 𝑑 Ԧ𝐴 = 0
❖ O módulo da velocidade média 𝑉 em uma seção é definido como:
𝑉 =
ሶ𝑄
𝐴
=
1
𝐴
න
𝐴
𝑉 ∙ 𝑑 Ԧ𝐴
❖ Considerando caso geral de escoamento permanente, compressível através de um volume de controle
fixo e 𝜌 = 𝜌 𝑥, 𝑦, 𝑧 , temos:
න
𝑆𝐶
𝑉 ∙ 𝑑 Ԧ𝐴 = 0
❖ Caso especial quando a velocidade é uniforme das entradas e saídas:
෍
𝑆𝐶
𝜌𝑉 ∙ 𝑑 Ԧ𝐴 = 0
Conservação da Massa para Volume de Controle
❑ A força resultante, Ԧ𝐹, inclui todas as forças de campo e de superfície atuando sobre o sistema,
Ԧ𝐹 = Ԧ𝐹𝑠 + Ԧ𝐹𝑐
Sabendo que a propriedades extensiva 𝐵𝑠𝑖𝑠 = 𝑃 = 𝑚𝑉, e a propriedade intensiva, 𝑏 =
𝑚𝑉
𝑚
= 𝑉,
utilizando o TTR para deduzir a equação da conservação da quantidade de movimento para um
volume de controle e substituindo na equação do TTR, temos:
Ԧ𝐹 =
𝑑
𝑑𝑡
𝑚𝑉
𝑠𝑖𝑠
=
𝜕
𝜕𝑡
න
𝑉𝐶
𝑉𝜌𝑑∀ +න
𝑆𝐶
𝑉𝜌 𝑉 ⋅ 𝑛 𝑑𝐴
Usando as definições das forças atuando sobre o fluido, temos:
𝑭 =
𝑑
𝑑𝑡
𝑚𝑉
𝑠𝑖𝑠
= 𝑭𝒔 + 𝑭𝒄 =
𝝏
𝛛𝒕
න
𝑽𝑪
𝑽𝝆𝒅∀ +න
𝑺𝑪
𝑽𝝆 𝑽 ⋅ 𝒏 𝒅𝑨
Conservação da Quantidade de Movimento para Volume de Controle Inercial
F

1V
 2
V

Exemplo típico: Curva de 90o
Mudança de quantidade de movimento do
escoamento de 𝑉1 para 𝑉2através da aplicação da
força externa Ԧ𝐹.
𝑭 =
𝒅
𝒅𝒕
𝒎𝑽
𝒔𝒊𝒔
= 𝑭𝒔 + 𝑭𝒄 =
𝝏
𝝏𝒕
න
𝑽𝑪
𝑽𝝆𝒅∀ +න
𝑺𝑪
𝑽𝝆 𝑽 ⋅ 𝒏 𝒅𝑨
Conservação da Quantidade de Movimento para Volume de Controle Inercial
fluxo da quantidade de 
movimento através da 
superfície de controle
taxa de variação da quantidade 
de movimento no volume de 
controle
taxa de variação da quantidade de movimento 
para sistemas é igual a força externa aplicada 
(soma das forças de campo e de superfície)
𝑭 = 𝑭𝒔 + 𝑭𝒄 =
𝝏
𝛛𝒕
න
𝑽𝑪
𝑽𝝆𝒅∀ +න
𝑺𝑪
𝑽𝝆 𝑽 ⋅ 𝒏 𝒅𝑨
Conservação da Quantidade de Movimento para Volume de Controle Inercial
❑ A equação da quantidade de movimento é uma equação vetorial. Geralmente
escrevemos as componentes escalares, como medidas nas coordenadas 𝑥𝑦𝑧 do
volume de controle. Sabendo que as componentes do vetor velocidade em
coordenadas cartesianas são 𝑢, 𝑣, 𝑤, temos:
𝐹𝑥 = 𝐹𝑠𝑥 + 𝐹𝑐𝑥 =
𝜕
𝜕𝑡
න
𝑉𝐶
𝑢 𝜌 𝑑∀ + න
𝑆𝐶
𝑢 𝜌 𝑉 ⋅ 𝑛 𝑑𝐴
𝐹𝑦 = 𝐹𝑠𝑦 + 𝐹𝑐𝑦 =
𝜕
𝜕𝑡
න
𝑉𝐶
𝑣 𝜌 𝑑∀ +න
𝑆𝐶
𝑣 𝜌 𝑉 ⋅ 𝑛 𝑑𝐴
𝐹𝑧 = 𝐹𝑠𝑧 + 𝐹𝑐𝑧 =
𝜕
𝜕𝑡
න
𝑉𝐶
𝑤 𝜌 𝑑∀ +න
𝑆𝐶
𝑤 𝜌 𝑉 ⋅ 𝑛 𝑑𝐴
Conservação da Quantidade de Movimento para Volume de Controle Inercial
❑ Para escoamento uniforme em cada entrada e saída:
𝐹𝑥 = 𝐹𝑠𝑥 + 𝐹𝑐𝑥 =
𝜕
𝜕𝑡
න
𝑉𝐶
𝑢 𝜌 𝑑∀ +෍
𝑆𝐶
𝑢 𝜌 𝑉 ∙ Ԧ𝐴
𝐹𝑦 = 𝐹𝑠𝑦 + 𝐹𝑐𝑦 =
𝜕
𝜕𝑡
න
𝑉𝐶
𝑣 𝜌 𝑑∀ +෍
𝑆𝐶
𝑣 𝜌 𝑉 ∙ Ԧ𝐴
𝐹𝑧 = 𝐹𝑠𝑧 + 𝐹𝑐𝑧 =
𝜕
𝜕𝑡
න
𝑉𝐶
𝑤 𝜌 𝑑∀ +෍
𝑆𝐶
𝑤 𝜌 𝑉 ∙ Ԧ𝐴
Conservação da Quantidade de Movimento para Volume de Controle Inercial
Equação da Conservação da Massa em regime permanente
+
Equação da Quant. de Mov. em regime permanente
𝒅𝒑
𝝆
+ 𝒅
𝑽𝒔
𝟐
𝟐
+ 𝒈 𝒅𝒛 = 𝟎
Análise do Volume de Controle Diferencial
❑ Considerando o movimento de uma partícula
de fluido no campo de escoamento em
regime permanente, aplicando a Segunda Lei
de Newton (conservação do movimento
linear) na direção 𝑠, a uma partícula que se
move ao longo de uma linha de corrente,
temos:
෍𝐹𝑠 = 𝑚𝑎𝑠
Em regiões de escoamento onde as forças
resultantes de atrito são desprezíveis, as forças
significativas que atuam na direção de 𝑠 são a
pressão e o componente do peso da partícula na
direção 𝑠, Portanto, a equação torna-se:
𝒑 𝒅𝑨 − 𝒑 + 𝒅𝒑 𝒅𝑨 −𝑾𝒔𝒆𝒏𝜽 = 𝒎𝑽
𝒅𝑽
𝒅𝒔
Análise do Volume de Controle Diferencial
84
❑ Onde 𝜃 é o ângulo entre a normal da LC e o eixo vertical 𝑧 naquele ponto, 𝑚 = 𝜌∀= 𝜌 𝑑𝐴 𝑑𝑠 é a
massa, 𝑊 = 𝑚𝑔 = 𝜌𝑔 𝑑𝐴 𝑑𝑠 é o peso da partícula de fluido e o 𝑠𝑒𝑛 𝜃 =
𝑑𝑧
𝑑𝑠
. Substituindo temos:
−𝑑𝑝 𝑑𝐴 − 𝜌𝑔 𝑑𝐴 𝑑𝑠
𝑑𝑧
𝑑𝑠
= 𝜌 𝑑𝐴 𝑑𝑠 𝑉
𝑑𝑉
𝑑𝑠
× 𝑑𝑠
−𝑑𝑝 𝑑𝐴 𝑑𝑠 − 𝜌𝑔 𝑑𝐴 𝑑𝑠 𝑑𝑧 = 𝜌 𝑑𝐴 𝑑𝑠 𝑉𝑑𝑉 ÷ 𝑑𝐴 𝑑𝑠
Simplificando a expressão, temos:
−𝑑𝑝 − 𝜌𝑔 𝑑𝑧 = 𝜌 𝑉𝑑𝑉
Sabendo que 𝑉 𝑑𝑉 =
1
2
𝑑 𝑉2 + 𝑔 𝑑𝑧 e dividindo tudo por 𝜌, temos
𝑑𝑝
𝜌
+
1
2
𝑑 𝑉2 + 𝑔 𝑑𝑧 = 0
Análise do Volume de Controle Diferencial
85
❑ Integrando temos:
➢ Escoamento em regime permanente:
න
𝑑𝑝
𝜌
+
𝑉2
2
+ 𝑔 𝑑𝑧 = constante (ao longo LC)
➢ Escoamento para regime permanente e incompressível:
𝑝
𝜌
+
𝑉2
2
+ 𝑔 𝑑𝑧 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 (ao longo LC)
Que é conhecida como a equação de Bernoulli, usada em mecânica dos fluidos para:
▪ Em regime permanente;
▪ Em escoamento incompressível;
▪ Ao longo de uma linha de corrente e
▪ Nas regiões do escoamento sem viscosidade (atrito.)
Análise do Volume de Controle Diferencial
• Equação de Bernoulli entre dois pontos:
𝑝1
𝜌
+
𝑉1
2
2
+ 𝑔𝑧1 =
𝑝2
𝜌
+
𝑉2
2
2
+ 𝑔𝑧2
• Equação de Bernoulli - para escoamento sem perdas por atrito:
𝑝1
𝜌
+
𝑉1
2
2
+ 𝑔𝑧1 = 𝑐𝑡𝑒 =
𝑝2
𝜌
+
𝑉2
2
2
+ 𝑔𝑧2
𝐽
𝑘𝑔
𝑜𝑢
𝑚2
𝑠
𝒅𝒑
𝝆
+ 𝒅
𝑽𝒔
𝟐
𝟐
+ 𝒈 𝒅𝒛 = 𝟎
Para fluidos incompressíveis
𝑑𝑝
𝜌
+
𝑉𝑠
2
2
+ 𝑔 𝑑𝑧 = 𝑐𝑡𝑒
Linhas de corrente
Seção 1 Seção 2 Onde:
P é a pressão estática – representa a pressão termodinâmica
real do fluido;
ρV2/2 é a pressão dinâmica - representa o aumento de
pressão quando o fluido em movimento é parado de forma
isoentrópica;.
ρg z é a pressão hidrostática – representa os efeitos na altura,
ou seja, do peso do fluido na pressão.
Análise do Volume de Controle Diferencial
Um volume de controle, fixo em relação a um sistema de referência 𝑥𝑦𝑧, movendo-se a
velocidade constante, 𝑉𝑟𝑓, em relação a um sistema de referência fixo (e inercial) 𝑋𝑌𝑍,
também é inercial, visto que não possui aceleração em relação a 𝑋𝑌𝑍.
xyz
XYZ
Vrf
𝑭 = 𝑭𝒔 + 𝑭𝒄 =
𝝏
𝛛𝒕
න
𝑽𝑪
𝑽𝒙𝒚𝒛𝝆 𝒅∀ +න
𝑺𝑪
𝑽𝒙𝒚𝒛 𝝆 𝑽𝒙𝒚𝒛 ⋅ 𝒏 𝒅𝑨
Onde 𝑉𝑥𝑦𝑧 é a velocidades no volume de controle em relação ao sistema de referência
xyz (móvel)
Volume de Controle Movendo em velocidade Constante
xyz
XYZ
rfa

✓ Um volume de controle, fixo em relação a um sistema de referência 𝑥𝑦𝑧, que se move com
aceleração retilínea, Ԧ𝑎𝑟𝑓, em relação a um sistema de referência inercial (fixo) 𝑋𝑌𝑍, não é
inercial, visto que possui aceleração em relação a 𝑋𝑌𝑍.
✓ Segunda Lei de Newton:
Ԧ𝐹 = න
𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎
Ԧ𝑎𝑋𝑌𝑍 𝑑𝑚
✓ Quantidade de Movimento:
𝑃𝑋𝑌𝑍 = න
𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎
𝑉𝑋𝑌𝑍 𝑑𝑚
Ԧ𝐹 =
𝑑𝑃𝑋𝑌𝑍
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
න
𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎
𝑉𝑋𝑌𝑍𝑑m =
𝑑
𝑑𝑡
න
𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎
𝑉𝑥𝑦𝑧 𝑑𝑚
Conservação da Quantidade de Movimento para Volume sob Aceleração 
Retilínea
✓ Quando o movimento é somente de translação:
Ԧ𝑎𝑋𝑌𝑍 = Ԧ𝑎𝑋𝑌𝑍 + Ԧ𝑎𝑟𝑓
Então:
Ԧ𝐹 = න
𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎
Ԧ𝑎𝑋𝑌𝑍𝑑m =න
𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎
Ԧ𝑎𝑥𝑦𝑧 𝑑𝑚 +න
𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎
Ԧ𝑎𝑟𝑓 𝑑𝑚
✓ Como:
Ԧ𝐹 − න
𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎
Ԧ𝑎𝑟𝑓 𝑑𝑚 =න
𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎
Ԧ𝑎𝑋𝑌𝑍𝑑m =
𝑑
𝑑𝑡
න
𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎
𝑉𝑋𝑌𝑍𝑑m
Então:
Ԧ𝐹 − න
𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎
Ԧ𝑎𝑟𝑓 𝑑𝑚 =
𝑑
𝑑𝑡
න
𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎
𝑉𝑋𝑌𝑍𝑑m =
𝑑𝑃𝑋𝑌𝑍
𝑑𝑡
Logo,
Ԧ𝐹𝑠 + Ԧ𝐹𝑐 −න
𝑉𝐶
Ԧ𝑎𝑟𝑓𝜌 𝑑∀=
𝜕
𝜕𝑡
න
𝑉𝐶
𝑉𝑥𝑦𝑧𝜌 𝑑∀ + න
𝑆𝐶
𝑉𝑥𝑦𝑧 𝜌 𝑉𝑥𝑦𝑧 ⋅ 𝑛 𝑑𝐴
Conservação da Quantidade de Movimento para Volume sob Aceleração 
Retilínea
➢ O princípio da quantidade de movimento angular para um sistema é:
𝑇 = ቇ
𝑑𝐻
𝑑𝑡 sistema
Em que 𝑇 é o torque total exercido sobre o sistema pela sua vizinhança, e 𝐻 é a quantidadede
movimento angular do sistema,
𝐻 = න
𝑀(𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎)
Ԧ𝑟 × 𝑉 𝑑𝑚 = න
∀(𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎)
Ԧ𝑟 × 𝑉 𝜌 𝑑∀
O vetor posição Ԧ𝑟 localiza cada elemento de massa ou de volume do sistema com respeito ao sistema
de coordenadas. O torque aplicado a um sistema pode ser escrito:
𝑇 = Ԧ𝑟 × Ԧ𝐹𝑠 +න
𝑀(𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎)
Ԧ𝑟 × Ԧ𝑔 𝑑𝑚 + 𝑇𝑒𝑖𝑥𝑜
Em que Ԧ𝐹𝑠 é a força de superfície exercida sobre o sistema.
A relação entre as formulações de sistema e volume de controle através do TTR torna-se:
ቇ
𝑑𝐻
𝑑𝑡 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎
=
𝜕
𝜕𝑡
න
𝑉𝐶
Ԧ𝑟 × 𝑉 𝜌 𝑑∀ + න
𝑆𝐶
Ԧ𝑟 × 𝑉 𝜌 𝑉 𝑑 Ԧ𝐴
Conservação da Quantidade de Movimento Angular
Podemos obter da combinação das equações, sabendo que:
Ԧ𝑟 × Ԧ𝐹𝑠 +න
𝑀(𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎)
Ԧ𝑟 × Ԧ𝑔 𝑑𝑚 + 𝑇𝑒𝑖𝑥𝑜 =
𝜕
𝜕𝑡
න
𝑉𝐶
Ԧ𝑟 × 𝑉 𝜌 𝑑∀ + න
𝑆𝐶
Ԧ𝑟 × 𝑉 𝜌 𝑉 𝑑 Ԧ𝐴
Sabendo que o volume de controle e o sistema coincide no instante 𝑡0, temos:
𝒓 × 𝑭𝒔 +න
𝑽𝑪
𝒓 × 𝒈𝝆 𝒅∀ + 𝑻𝒆𝒊𝒙𝒐 =
𝝏
𝝏𝒕
න
𝑽𝑪
𝒓 × 𝑽 𝝆 𝒅∀ +න
𝑺𝑪
𝒓 × 𝑽 𝝆 𝑽 𝒅𝑨
Sendo a formulação geral do princípio da quantidade de movimento angular para um volume de
controle inercial. O lado esquerdo expressa todos os torques que atuam sobre o volume de
controle. Os termos no lado direito expressa a taxa de variação da quantidade de movimento
angular dentro do volume de controle. Todas as velocidades são medidas em relação ao volume de
controle fixo.
Conservação da Quantidade de Movimento Angular
❑ A energia de uma quantidade fixa de massa em um sistema pode ser mudado por dois
mecanismos: Transferência de calor 𝑸 e transferência de trabalho 𝑾.
❑ Assim, a conservação de energia para uma quantidade fixa de massa pode ser expressa na
forma de taxa como:
ሶ𝑄𝑡𝑜𝑡 − ሶ𝑊𝑡𝑜𝑡 =
𝑑𝐸𝑠𝑖𝑠
𝑑𝑡
Ou
ሶ𝑄𝑡𝑜𝑡 − ሶ𝑊𝑡𝑜𝑡 =
𝑑
𝑑𝑡
න
𝑠𝑖𝑠
𝜌𝑒 𝑑∀
Onde: ሶ𝑄𝑡𝑜𝑡 é a taxa de transferência de calor para o sistema ou do sistema, ሶ𝑊tot é a entrada de
potência total no sistema em todas as formas e
𝑑𝐸𝑠𝑖𝑠𝑡
𝑑𝑡
é a taxa de variação temporal da
quantidade de energia total do sistema.
❑ Em sistemas compressíveis, a energia total consiste nas energias interna, cinética e potencial
e é expressa por unidade de massa como:
𝑒 = 𝑢 + 𝑒𝑐 + 𝑒𝑝 = 𝑢 +
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧
Conservação da Energia
❑ O trabalho de escoamento é expresso em termos das propriedades do fluido, sendo vista como
parte da energia de um fluido em um escoamento que pode ser chamado de energia de
escoamento. É expressa por unidade de massa como:
𝑒𝑚𝑒𝑐 =
𝑝
𝜌
+
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧
Onde 𝑝/𝜌 é a energia de escoamento, 𝑉2/2 é a energia cinética e 𝑔𝑧 é a energia potencial do
fluido por unidade de massa.
❑ A variação da energia mecânica de um fluido durante escoamentos incompressíveis torna-se:
∆𝑒𝑚𝑒𝑐 =
𝑝2 − 𝑝1
𝜌
+
𝑉2
2 − 𝑉1
2
2
+ 𝑔 𝑧2 − 𝑧1
❑ Portanto a energia mecânica de um fluido não varia durante um escoamento se sua pressão,
massa específica, velocidade e elevação permanecerem constantes. Na ausência de perdas, as
variações da energia mecânica representam o trabalho mecânica fornecido ao fluido se
∆𝑒𝑚𝑒𝑐 > 0 ou extraído se ∆𝑒𝑚𝑒𝑐 < 0 .
93
Conservação da Energia
94
❑ Partindo do Teorema do Transporte de Reynolds:
𝐷𝐸𝑆𝐼𝑆
𝐷𝑡
=
𝜕
𝜕𝑡
න
𝑉𝐶
e𝜌𝑑∀ + න
S𝐶
𝑒𝜌 𝑉 ∙ 𝑛 𝑑𝐴
❑ Os estados inicial e final de energia de um sistema dependem do calor adicionado ou retirado e do trabalho
realizado sobre ou pelo o sistema,
𝑑𝐸𝑠𝑖𝑠
𝑑𝑡
= ሶ𝑄 − ሶ𝑊, logo
𝐷𝐸𝑠𝑖𝑠𝑡
𝐷𝑡
= ሶ𝑄 − ሶ𝑊 =
𝜕
𝜕𝑡
න
𝑉𝐶
e𝜌𝑑∀ 𝑑∀ +න
𝑆𝐶
𝑢 +
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧 𝜌𝑉 ∙ 𝑛 𝑑𝐴
taxa de variação da 
propriedade energia 
para sistemas
taxa de variação de 
energia específica no 
volume de controle
fluxo de energia 
específica através da 
superfície de controle
Conservação da Energia
95
❑ Examinando cada termo da equação temos:
ሶ𝑄 =
𝑑𝑄
𝑑𝑡
→ é a taxa transferência de calor (condução, convecção ou radiação);
ሶ𝑊 =
𝑑𝑊
𝑑𝑡
→ é a taxa de trabalho realizado sobre um eixo, pressão e tensões viscosas (o 
trabalho das forças gravitacionais são incluídos no termo de energia potencial.
❑ O trabalho realizado, pode ser:
𝑑𝑊𝑒𝑖𝑥𝑜
𝑑𝑡
→ é a taxa de trabalho transmitido ao volume de controle por uma máquina, ex.
bomba, turbina, pistão;
𝑑𝑊𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜
𝑑𝑡
→ é a taxa de trabalho devido as forças de pressão;
𝑑𝑊𝑣𝑖𝑠𝑐𝑜𝑠𝑎𝑠
𝑑𝑡
→ é a taxa de trabalho devido as forças viscosas;
Conservação da Energia
❑ Taxa de trabalho realizado em um volume de controle:
ሶ𝑊 = ሶ𝑊𝑒𝑖𝑥𝑜 + ሶ𝑊𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 + ሶ𝑊𝑐𝑖𝑠𝑎𝑙ℎ𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 + ሶ𝑊𝑜𝑢𝑡𝑟𝑜𝑠
1. Trabalho de Eixo – é o trabalho que cruza a superfície de controle. Ex. motor elétrico, turbina
ou bomba hidráulica, compressores e etc.
2. Trabalho realizado por tensões normais (pressão) na superfície de controle
𝛿 ሶ𝑊 = Ԧ𝐹 𝑑 Ԧ𝑆
ሶ𝑊 = lim
∆𝑇→0
ሶ𝛿𝑊
∆𝑡
= lim
∆𝑇→0
Ԧ𝐹 𝑑 Ԧ𝑆
∆𝑡
= Ԧ𝐹 ∙ 𝑉
Logo, podemos aplicar:
𝛿 ሶ𝑊𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 = 𝑑 Ԧ𝐹 ∙ 𝑉 = 𝜎𝑛𝑛 𝑑 Ԧ𝐴 ∙ 𝑉 = 𝜎𝑛𝑛𝑉 ∙ 𝑑 Ԧ𝐴
Portanto,
ሶ𝑾𝒏𝒐𝒓𝒎𝒂𝒍 = −න
𝑺𝑪
𝝈𝒏𝒏𝑽 ∙ 𝒅𝑨 = න
𝑺𝑪
𝒑 𝑽 ∙ 𝒅𝑨
O sinal negativo aparece devido a convenção de sinais para sistema.
Conservação da Energia
3. Trabalho realizado pelas tensões de cisalhamento na superfície de controle
𝛿 ሶ𝑊𝑐𝑖𝑠𝑎𝑙ℎ𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 = 𝑑 Ԧ𝐹 ∙ 𝑉 = 𝜏 ∙ 𝑉 dA
Onde:
ሶ𝑾𝒄𝒊𝒔𝒂𝒍𝒉𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 = න
𝑺𝑪
𝝉 𝑽 ∙ 𝒅𝑨
➢ Nas paredes, se 𝑉 = 0, tem-se ሶ𝑊𝑐𝑖𝑠𝑎𝑙ℎ𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 = 0;
➢ Nas entradas e saídas, se 𝑉 ⊥ Ԧ𝜏, tem-se ሶ𝑊𝑐𝑖𝑠𝑎𝑙ℎ𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 = 0;
➢ Portanto, em geral, tem-se que ሶ𝑊𝑐𝑖𝑠𝑎𝑙ℎ𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 = 0
4. Outros trabalhos:
ሶ𝑾𝒐𝒖𝒕𝒓𝒐𝒔 = 𝟎
Conservação da Energia
Formulação para obter a equação da energia para volume de controle:
ሶ𝑄 − ሶ𝑊 =
𝜕
𝜕𝑡
න
𝑉𝐶
e𝜌𝑑∀ + න
𝑆𝐶
𝑢 +
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧 𝜌𝑉 ∙ 𝑛 𝑑𝐴
Atribuindo os tipos de trabalhos, temos:
ሶ𝑄 − ሶ𝑊𝑒𝑖𝑥𝑜 + ሶ𝑊𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 =
𝜕
𝜕𝑡
න
𝑉𝐶
e𝜌𝑑∀ + න
𝑆𝐶
𝑢 +
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧 𝜌𝑉 ∙ 𝑛 𝑑𝐴
Substituindo o valor do trabalho normal, temos,
ሶ𝑄 − ሶ𝑊𝑒𝑖𝑥𝑜 −න
𝑆𝐶
𝑝 𝑉 ∙ 𝑑 Ԧ𝐴 =
𝜕
𝜕𝑡
න
𝑉𝐶
e𝜌𝑑∀ + න
𝑆𝐶
𝑢 +
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧 𝜌𝑉 ∙ 𝑛 𝑑𝐴
Logo,
ሶ𝑄 − ሶ𝑊𝑒𝑖𝑥𝑜 =
𝜕
𝜕𝑡
න
𝑉𝐶
e𝜌 𝑑∀ + න
𝑆𝐶
𝑢 +
p
𝜌
+
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧 𝜌𝑉 ∙ 𝑛 𝑑𝐴
Conservação da Energia
Sabendo que entalpia é definida por ℎ = 𝑢 +
𝑝
𝜌
ሶ𝑄 − ሶ𝑊𝑒𝑖𝑥𝑜 =
𝜕
𝜕𝑡
න
𝑉𝐶
e𝜌𝑑∀ 𝑑∀ + න
𝑆𝐶
ℎ +
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧 𝜌𝑉 ∙ 𝑛 𝑑𝐴
❖ Em regime permanente
ሶ𝑄 − ሶ𝑊𝑒𝑖𝑥𝑜 = න
𝑆𝐶
ℎ +
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧 𝜌𝑉 ∙ 𝑛 𝑑𝐴
❖ Quando a troca de calor e de trabalho de eixo forem iguais a zero:
0 = න
𝑆𝐶
ℎ +
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧 𝜌𝑉 ∙ 𝑛 𝑑𝐴
❖ Para um volume de controle com uma entrada e uma saída, em escoamento uniforme:
0 = ሶ𝑚 ℎ +
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧
s
− ሶ𝑚 ℎ +
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧
𝑒
ou
𝑢 +
𝑝
𝜌
+
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧
s
= 𝑢 +
𝑝
𝜌
+
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧
𝑒
Conservação da Energia
Em temperatura constante, podemos obter a equação da Bernoulli a partir da
equação da conservação da energia.
𝒑𝟏
𝝆
+
𝑽𝟏
𝟐
𝟐
+ 𝒈𝒛𝟏 =
𝒑𝟐
𝝆
+
𝑽𝟐
𝟐
𝟐
+ 𝒈𝒛𝟐
Conservação da Energia
A formulação da segunda lei da termodinâmica, para sistema pode ser escrita como:
ቇ
𝑑𝑆
𝑑𝑡
𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎
≥
1
𝑇
ሶ𝑄
Onde a entropia total do sistema é dada por:
𝑆𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 = න
𝑀(𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎)
𝑠 𝑑𝑚 = න
∀(𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎)
𝑠 𝜌 𝑑∀
Usando o Teorema de Transporte de Reynolds,
ቇ
𝑑𝑆
𝑑𝑡
𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎
=
𝜕
𝜕𝑡
න
𝑉𝐶
𝑠 𝜌 𝑑∀ +න
𝑆𝐶
𝑠 𝜌 𝑉 ∙ 𝑛 𝑑𝐴
Como o sistema e o volume de controle coincidem em um instante de tempo 𝑡0,
temos:
ቇ
1
𝑇
ሶ𝑄
sistema
= ቇ
1
𝑇
ሶ𝑄
vc
= න
𝑆𝐶
1
𝑇
ሶ𝑄
𝐴
𝑑𝐴
Conservação da Quantidade de Entropia
Nesta equação o termo de ሶ𝑄/𝐴 representa a taxa de transferência de calor por
unidade de área para dentro do volume de controle através do elemento de área 𝑑𝐴.
Para Avaliar o termo:
න
𝑆𝐶
1
𝑇
ሶ𝑄
𝐴
𝑑𝐴
Tanto o fluxo local de calor quanto a temperatura local, devem ser conhecidos para
cada elemento de controle.
Portanto,
𝝏
𝝏𝒕
න
𝑽𝑪
𝒔 𝝆 𝒅∀ +න
𝑺𝑪
𝒔 𝝆 𝑽 ∙ 𝒏 𝒅𝑨 ≥න
𝑺𝑪
𝟏
𝑻
ሶ𝑸
𝑨
𝒅𝑨
Conservação da Quantidade de EntropiaExercícios
Marabá-PA, 03/11/2021 
4.12 – Um campo de velocidade na região mostrada dado por:
𝑉 = 𝑎Ԧ𝑗 + 𝑏𝑦𝑘
em que 𝑎 = 10 𝑚/𝑠 e 𝑏 = 5 𝑠−1 . Para o volume de controle triangular de 1 𝑚 𝑥 1 𝑚
(profundidade 𝑤 = 1𝑚 perpendicular ao diagrama), um elemento de área 1 pode ser
representado por 𝑑 Ԧ𝐴1 = 𝑤𝑑𝑧Ԧ𝑗 − 𝑤𝑑𝑦𝑘 e um elemento de área 2 por 𝑑 Ԧ𝐴2 = −𝑤𝑑𝑦𝑘.
a) Encontre uma expressão para 𝑉 ∙ 𝑑 Ԧ𝐴1
b) Avalie 𝐴1׬
𝑉 ∙ 𝑑 Ԧ𝐴1
c) Encontre uma expressão para 𝑉 ∙ 𝑑 Ԧ𝐴2
d) Encontre uma expressão para 𝑉 𝑉 ∙ 𝑑 Ԧ𝐴2
e) Avalie 𝐴2׬
𝑉 𝑉 ∙ 𝑑 Ԧ𝐴2
1. Dados:
• Campo de velocidade: 𝑉 = 𝑎Ԧ𝑗 + 𝑏𝑦𝑘 em que 𝑎 = 10 𝑚/𝑠 e
𝑏 = 5 𝑠−1.
• Volume de controle triangular de 1 𝑚 𝑥 1 𝑚 com profundidade de 𝑤 = 1𝑚
• Elemento de área 1: 𝑑 Ԧ𝐴1 = 𝑤𝑑𝑧Ԧ𝑗 − 𝑤𝑑𝑦𝑘
• Elemento de área 2: 𝑑 Ԧ𝐴2 = −𝑤𝑑𝑦𝑘.
2. Achar:
a) Encontre uma expressão para 𝑉 ∙ 𝑑 Ԧ𝐴1
b) Avalie 𝐴1׬
𝑉 ∙ 𝑑 Ԧ𝐴1
c) Encontre uma expressão para 𝑉 ∙ 𝑑 Ԧ𝐴2
d) Encontre uma expressão para 𝑉 𝑉 ∙ 𝑑 Ԧ𝐴2
e) Avalie 𝐴2׬
𝑉 𝑉 ∙ 𝑑 Ԧ𝐴2
3. Esquema do Volume de controle:
4. Equação Básica:
• Equação da conservação da massa:
0 =
𝜕
𝜕𝑡
න
𝑉𝐶
𝜌𝑑∀ + න
𝑆𝐶
𝜌 𝑉 ∙ 𝑛 𝑑𝐴
5. Considerações:
i. Escoamento permanente;
ii. Escoamento incompressível;
iii. Propriedades uniformes;
6. Análises
Como o escoamento é permanente e incompressível com propriedades uniformes a equação da
conservação da massa torna-se:
𝜌න
𝑆𝐶
𝑉 ∙ 𝑛 𝑑𝐴 = 0 ⇒න
𝑆𝐶
𝑉𝑑 Ԧ𝐴 = 0
Para determinar as questões solicitadas precisamos reescrever os dados fornecidos:
𝑑 Ԧ𝐴1 = 𝑤𝑑𝑧Ԧ𝑗 − 𝑤𝑑𝑦𝑘 = 𝑑𝑧Ԧ𝑗 − 𝑑𝑦𝑘
𝑑 Ԧ𝐴2 = −𝑑𝑦𝑘
𝑉 = 𝑎Ԧ𝑗 + 𝑏𝑦𝑘 = 10Ԧ𝑗 + 5𝑦𝑘
Então:
a) 𝑉 ∙ 𝑑 Ԧ𝐴1 = 10Ԧ𝑗 + 5𝑦𝑘 ∙ 𝑑𝑧Ԧ𝑗 − 𝑑𝑦𝑘 = 10𝑑𝑧 Ԧ𝑗 Ԧ𝑗 − 5𝑦𝑑𝑦𝑘 𝑘
Logo,
𝑽 ∙ 𝒅𝑨𝟏 = 𝟏𝟎𝒅𝒛 − 𝟓𝒚𝒅𝒚
b)׬𝐴1
𝑉 ∙ 𝑑 Ԧ𝐴1 = 0׬
1
10 𝑑𝑧 − 0׬
1
5𝑦 𝑑𝑦 = ȁ10 𝑧 0
1 − ቚ
5
2
y2
0
1
= 10 −
5
2
Logo,
𝑨𝟏׬
𝑽 ∙ 𝒅𝑨𝟏 =
𝟏𝟓
𝟐
c) 𝑉 ∙ 𝑑 Ԧ𝐴2 = 10Ԧ𝑗 + 5𝑦𝑘 ∙ 0Ԧ𝑗 − 𝑑𝑦𝑘
Logo,
𝑽 ∙ 𝒅𝑨𝟐 = −𝟓𝒚𝒅𝒚
d)𝑉 𝑉 ∙ 𝑑 Ԧ𝐴2 = 𝟏𝟎Ԧ𝒋 + 𝟓𝒚𝒌 ∙ −𝟓𝒚𝒅𝒚
e) 𝐴2׬ 𝑉 𝑉 ∙ 𝑑
Ԧ𝐴2 = 0׬−
1
10Ԧ𝑗 + 5𝑦𝑘 ∙ 5𝑦 𝑑𝑦 = −
50
2
𝑦2Ԧ𝑗 +
25
3
𝑦3𝑘
0
1
න
𝑨𝟐
𝑽 𝑽 ∙ 𝒅𝑨𝟐 = −𝟐𝟓Ԧ𝒋 −
𝟐𝟓
𝟑
𝒌
1 1
4.15 – Obtenha expressões para a vazão volumétrica e para o fluxo de quantidade de 
movimento através da seção transversal 1 do volume de controle mostrado no 
diagrama.
1. Dados:
• Volume de controle onde o perfil de velocidade é linear
2. Achar:
i. Expressão para a vazão volumétrica;
ii. Expressão para o fluxo da quantidade de movimento através da seção 1 do volume de
controle;
3. Esquema do Volume de controle:
4. Equação Básica:
• Equação da conservação da massa:
0 =
𝜕
𝜕𝑡
න
𝑉𝐶
𝜌𝑑∀ + න
𝑆𝐶
𝜌 𝑉 ∙ 𝑛 𝑑𝐴
• Equação da conservação da quantidade de movimento:
Ԧ𝐹 = Ԧ𝐹𝑠 + Ԧ𝐹𝑐 =
𝜕
𝜕𝑡
න
𝑉𝐶
𝑉𝜌𝑑∀ + න
𝑆𝐶
𝑉𝜌 𝑉 ⋅ 𝑛 𝑑𝐴
5. Considerações:
i. Escoamento permanente;
ii. Escoamento incompressível;
iii. Propriedades uniformes e
iv. Desprezas as forças de superfície e de contato.
6. Análise:
A partir das considerações as equações básicas torna-se:
• Equação da conservação da massa:
න
𝑆𝐶
𝜌 𝑉 ∙ 𝑛 𝑑𝐴 = 0 → 𝑄 = න
𝐴
𝑉 ∙ 𝑑 Ԧ𝐴 = 0
• Equação da conservação da quantidade de movimento ( ሶ𝑚𝑓):
𝜌න
𝑆𝐶
𝑉 𝑉 ⋅ 𝑛 𝑑𝐴 → ሶ𝑚𝑓 = 𝜌න
𝐴
𝑉 𝑉 ⋅ 𝑑 Ԧ𝐴
Como a velocidade é linear temos
𝑉 =
𝑉
ℎ
𝑦 Ԧ𝑖
e
𝑑 Ԧ𝐴 = −𝑤𝑑𝑦 Ԧ𝑖
Logo, a vazão volumétrica é dada por:
𝑄 = න
𝑦=0
ℎ 𝑉
ℎ
𝑦Ԧ𝑖 −𝑤 𝑑𝑦 Ԧ𝑖 = −
𝑉𝑤
ℎ
න
0
ℎ
𝑦 𝑑𝑦 = −
𝑉𝑤
ℎ
቉
𝑦2
2
0
h
Então a vazão volumétrica é
𝑸 = −
𝟏
𝟐
𝑽 𝒉 𝒘
Para determinar o fluxo da quantidade de movimento temos:
ሶ𝒎𝒇 = 𝟎׬
𝒉 𝑽
𝒉
Ԧ𝒊 𝝆
𝑽𝒘
𝒉
𝒚 𝒅𝒚 = −𝝆
𝑽𝟐 𝒘
𝒉𝟐
Ԧ𝒊 𝟎׬
𝒉
𝒚𝟐 𝒅𝒚 = −𝝆
𝑽𝟐 𝒘
𝒉𝟐
Ԧ𝒊 ൨
𝒚𝟑
𝟑 𝟎
𝒉
Portanto,
ሶ𝒎𝒇 = −
𝟏
𝟑
𝝆𝑽𝟐𝒘𝒉
4.20 – Um agricultor está pulverizando um líquido através de 10 bocais com
diâmetro interno de 3 mm, a uma velocidade média na saída de 3 m/s. Qual é a
velocidade média na entrada do alimentador que possui diâmetro interno igual a 25
mm? Qual é a vazão do sistema, em L/min?
1. Dados:
• Pulverizador com 10 bocais de saída de diâmetro 3 mm;
• Velocidade média de saída de 3 m/s e
• Diâmetro interno do alimentar de 25 mm
2. Achar:
i. Velocidade média na entrada do alimentador e
ii. Vazão do sistema em L/min;
3. Equações Básicas:
• Equação da conservação da massa:
0 =
𝜕
𝜕𝑡
න
𝑉𝐶
𝜌𝑑∀ + න
𝑆𝐶
𝜌 𝑉 ∙ 𝑛 𝑑𝐴
4. Considerações:
i. Escoamento permanente;
ii. Escoamento incompressível;
iii. Fluxo uniforme.
5. Análise:
Aplicando as considerações na equação da continuidade temos que:
න
𝑆𝐶
𝜌 𝑉 ∙ 𝑛 𝑑𝐴 = 0 →𝜌න
𝑆𝐶
𝑉 ∙ 𝑑 Ԧ𝐴 = 0 →෍
𝑆𝐶
𝑉 ∙ Ԧ𝐴 = 0
Sabendo que:
෍
𝑆𝐶
𝑉 ∙ Ԧ𝐴 = −𝑉𝑎𝑙𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑑𝑜𝑟𝐴𝑎𝑙𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑑𝑜𝑟 + 10 𝑉𝑏𝑜𝑐𝑎𝑙𝐴𝑏𝑜𝑐𝑎𝑙 = 0
Então, arrumando a equação, temos:
𝑉𝑎𝑙𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑑𝑜𝑟 =
10 𝑉𝑏𝑜𝑐𝑎𝑙𝐴𝑏𝑜𝑐𝑎𝑙
𝐴𝑎𝑙𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑑𝑜𝑟
= 10 𝑉𝑏𝑜𝑐𝑎𝑙
𝑑𝑏𝑜𝑐𝑎𝑙
𝐷𝑎𝑙𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑑𝑜𝑟
2
Atribuindo os valores e as unidades de medidas, temos,
𝑉𝑎𝑙𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑑𝑜𝑟 = 3
𝑚
𝑠
× 10 ×
3 × 10−3 𝑚
25 × 10−3 𝑚
2
Portanto, a velocidade média na entrada do alimentador é,
𝑽𝒂𝒍𝒊𝒎𝒆𝒏𝒕𝒂𝒅𝒐𝒓 = 𝟎, 𝟒𝟑𝟐𝒎/𝒔
A vazão do sistema é:
𝑄 = 𝑉𝑎𝑙𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑑𝑜𝑟 ∙ 𝐴𝑎𝑙𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑑𝑜𝑟
Então temos
𝑄 = 𝑉𝑎𝑙𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑑𝑜𝑟 ∙
𝜋𝐷𝑎𝑙𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑑𝑜𝑟
2
4
Atribuindo os valores numéricos e as unidades de medidas temos,
𝑄 = 0,432
𝑚
𝑠
× 𝜋 ×
25 × 10−3 𝑚 2
4
Logo,
𝑸 = 𝟐, 𝟏𝟐 × 𝟏𝟎−𝟒
𝒎𝟑
𝒔
= 𝟕, 𝟐 𝑳/𝒎𝒊𝒏
4.24 – Um fluido com massa específica de 1040 𝑘𝑔/𝑚3, flui em regime permanente através da
caixa retangular mostrada. Dados 𝐴1 = 0,046 𝑚
2, 𝐴2 = 0,009 𝑚
2, 𝐴3 = 0,056 𝑚
2, 𝑉1 = 3 Ԧ𝑖 𝑚/𝑠,
𝑉2 = 6 Ԧ𝑗 𝑚/𝑠. Determine a velocidade 𝑉3.
1. Dados:
• Massa específica 𝜌 = 1024 𝑘𝑔/𝑚3;
• Áreas: 𝐴1 = 0,046 𝑚
2, 𝐴2 = 0,009 𝑚
2, 𝐴3 = 0,056 𝑚
2
• Vetor velocidades: 𝑉1 = 3Ԧ𝑖 𝑚/𝑠 e 𝑉2 = 6Ԧ𝑗 𝑚/𝑠
2. Achar:
i. Velocidade 𝑉3
3. Esquema:
𝑉2
Volume de contorno
𝑉1
Ԧ𝐴1
Ԧ𝐴2
𝑉3
Ԧ𝐴3
4. Equações Básicas:
• Equação da conservação da massa:
0 =
𝜕
𝜕𝑡
න
𝑉𝐶
𝜌𝑑∀ + න
𝑆𝐶
𝜌 𝑉 ∙ 𝑛 𝑑𝐴
5. Considerações:
i. Escoamento permanente;
ii. Escoamento incompressível;
iii. Fluxo uniforme em cada seção.
6. Análises:
Como o regime é permanente e o fluxo incompressível, a equação da conservação da massa torna-
se,
න
𝑆𝐶
𝜌 𝑉 ∙ 𝑛 𝑑𝐴 = 0
Como a massa específica é constante (𝜌 = 𝑐𝑡𝑒),
න
𝑆𝐶
𝑉 ∙ 𝑛 𝑑𝐴 =෍
𝑆𝐶
𝑉. Ԧ𝐴 = 0
Considerando que o fluxo entra em 1 e sai em 2 e 3 temos:
෍
𝑆𝐶
𝑉. Ԧ𝐴 = −𝑉1. 𝐴1 + 𝑉2. 𝐴2 + 𝑉3. 𝐴3 = 0
Para cada seção temos:
• Seção 1: Considera fluxo entrando na SC
𝑉1. 𝐴1 cos 180° = −𝑉1. 𝐴1
• Seção 2: Considera o fluxo saindo da SC
𝑉2. 𝐴2 cos 0° = + 𝑉2. 𝐴2
• Seção 3: Considera o fluxo saindo da SC
𝑉3. 𝐴3 cos 0° = + 𝑉3. 𝐴3
Portanto,
෍
𝑆𝐶
𝑉. Ԧ𝐴 = −𝑉1. 𝐴1 + 𝑉2. 𝐴2 + 𝑉3. 𝐴3 = 0
Para determinar 𝑉3 temos:
−𝑉1. 𝐴1 + 𝑉2. 𝐴2 + 𝑉3. 𝐴3 = 0
𝑉3 =
𝑉1. 𝐴1 − 𝑉2. 𝐴2
𝐴3
= 𝑉1
𝐴1
𝐴3
− 𝑉2
𝐴2
𝐴3
Atribuindo os valores e as unidades de medidas temos:
𝑉3 = 3𝑚/𝑠
0,046 𝑚2
0,056 𝑚2
− 6𝑚/𝑠
0,009 𝑚2
0,056 𝑚2
𝑉2
Volume de 
contorno
𝑉1
Ԧ𝐴1
Ԧ𝐴2
𝑉3
Ԧ𝐴3
Atribuindo os valores e as unidades de medidas temos:
𝑉3 = 3 𝑚/𝑠
0,046 𝑚2
0,056 𝑚2
− 6𝑚/𝑠
0,009 𝑚2
0,056 𝑚2
𝑽𝟑 = 𝟏, 𝟒𝟗𝒎/𝒔
Considerando a geometria do volume de controle, temos
𝑉3𝑥 = 𝑉3 s𝑒𝑛 60° = 1,49 × 0,86
𝑽𝟑𝒙 = 𝟏, 𝟐𝟖𝒎/𝒔
e para
𝑉3𝑦 = 𝑉3 𝑐𝑜𝑠 60° = 1,49 × 0,5
𝑽𝟑𝒙 = 𝟎, 𝟕𝟒𝟓𝒎/𝒔
Então,
𝑽𝟑 = 𝟏, 𝟐𝟖
𝒎
𝒔
Ԧ𝒊 + 𝟎, 𝟕𝟒𝟓
𝒎
𝒔
Ԧ𝒋
7. Comentários:
A equação da conservação da massa em regime permanente e incompressível, nos diz para o
problema que a velocidade 𝑉3 para o esquema dado entra em 𝐴1 e sai em 𝐴2 e 𝐴3. Logo, o sinal do
produto 𝑉3 ∙ Ԧ𝐴3 é positivo.
𝑉2
Volume de 
contorno
𝑉1
Ԧ𝐴1
Ԧ𝐴2
𝑉3
Ԧ𝐴3
4.33 – Óleo escoa em regime permanente formando uma finacamada em um plano
inclinado para baixo. O perfil de velocidade é dado por:
𝑢 =
𝜌 𝑔 𝑠𝑒𝑛 𝜃
𝜇
ℎ𝑦 −
𝑦2
2
Expresse a vazão mássica por unidade de largura em termos de 𝜌, 𝜇, 𝑔, 𝜃 e ℎ.
1. Dados:
• Fina camada de óleo no plano inclinado;
• Perfil de velocidade: 𝑢 =
𝜌 𝑔 𝑠𝑒𝑛 𝜃
𝜇
ℎ𝑦 −
𝑦2
2
2. Achar:
i. Vazão mássica por unidade de largura em termos de 𝜌, 𝜇, 𝑔, 𝜃 e ℎ.
3. Esquema:
4. Equação Básica:
• Equação da conservação da massa:
0 =
𝜕
𝜕𝑡
න
𝑉𝐶
𝜌𝑑∀ + න
𝑆𝐶
𝜌 𝑉 ∙ 𝑛 𝑑𝐴
5. Considerações:
i. Escoamento permanente;
ii. Escoamento incompressível;
6. Análises:
A placa está inclinada e o óleo escoa sobre ela em uma fina camada, podemos considerar o
escoamento permanente e incompressível, logo a equação da conservação da massa torna-se:
න
𝑆𝐶
𝜌 𝑉 ∙ 𝑛 𝑑𝐴 = 0
Que é a própria vazão mássica do volume de controle, então:
ሶ𝑚𝑓𝑙𝑢𝑥𝑜 = න
0
ℎ
𝜌
𝜌. 𝑔 𝑠𝑒𝑛𝜃
𝜇
ℎ𝑦 −
𝑦2
2
.𝑤. 𝑑𝑦
ሶ𝑚𝑓𝑙𝑢𝑥𝑜 = න
0
ℎ
𝜌
𝜌. 𝑔 𝑠𝑒𝑛𝜃
𝜇
ℎ𝑦 −
𝑦2
2
. 𝑤. 𝑑𝑦
Então,
ሶ𝑚𝑓𝑙𝑢𝑥𝑜 = න
0
ℎ 𝜌2. 𝑔 𝑠𝑒𝑛𝜃
𝜇
ℎ𝑦 −
𝑦2
2
.𝑤. 𝑑𝑦
ሶ𝑚𝑓𝑙𝑢𝑥𝑜 =
𝜌2. 𝑔 𝑠𝑒𝑛𝜃
𝜇
𝑤න
0
ℎ
ℎ𝑦 −
𝑦2
2
𝑑𝑦
ሶ𝑚𝑓𝑙𝑢𝑥𝑜 =
𝜌2. 𝑔 𝑠𝑒𝑛𝜃
𝜇
𝑤
ℎ𝑦2
2
−
𝑦3
6
0
h
Logo, o fluxo mássico é,
ሶ𝑚𝑓𝑙𝑢𝑥𝑜 =
𝜌2. 𝑔 𝑠𝑒𝑛𝜃
𝜇
𝑤
ℎ3
2
−
ℎ3
6
Portanto, a vazão mássica por unidade de largura em termos de 𝜌, 𝜇, 𝑔, 𝜃 e ℎ.
ሶ𝒎𝒇𝒍𝒖𝒙𝒐 =
𝝆𝟐. 𝒈 𝒔𝒆𝒏𝜽.𝒘. h𝟑
𝟑𝝁
4.63 – Jatos de água estão sendo usados cada vez com maior frequência para
operações de cortes de metais. Se uma bomba gera uma vazão de 63 × 10−6 𝑚3/𝑠
através de um orifício de diâmetro 0,254 𝑚𝑚, qual é a velocidade média do jato? Que
força (N) o jato produzirá por impacto, considerando como uma aproximação que a
água segue pelos lados depois do impacto?
1. Dados:
• Jatos de água (cortes de metais);
• Vazão bomba 𝑄 = 63 × 10−6
𝑚
𝑠
• Diâmetro 𝐷 = 0,254 𝑚𝑚
2. Achar:
i. Velocidade media do jato;
ii. Força com que o jato produzirá no impacto considerando reação de que a água segue pelos
lados depois do impacto
3. Esquema:
3. Equações Básicas:
• Equação da conservação da massa:
0 =
𝜕
𝜕𝑡
න
𝑉𝐶
𝜌𝑑∀ + න
𝑆𝐶
𝜌 𝑉 ∙ 𝑛 𝑑𝐴
• Equação da conservação da quantidade de movimento:
Ԧ𝐹 = Ԧ𝐹𝑠 + Ԧ𝐹𝑐 =
𝜕
𝜕𝑡
න
𝑉𝐶
𝑉𝜌𝑑∀ + න
𝑆𝐶
𝑉𝜌 𝑉 ⋅ 𝑛 𝑑𝐴
Na direção 𝑥, temos:
𝐹𝑥 = 𝐹𝑠𝑥 + 𝐹𝑐𝑥 =
𝜕
𝜕𝑡
න
𝑉𝐶
𝑢 𝜌𝑑∀ + න
𝑆𝐶
𝑢 𝜌 𝑉 ⋅ 𝑛 𝑑𝐴
4. Considerações
i. Escoamento permanente;
ii. Escoamento incompressível;
iii. Fluxo uniforme em cada seção;
iv. Pressão atmosférica atuando;
v. Despreza as forças de campo
5. Análises
• A partir das considerações para a equação da conservação da massa temos:
න
𝑆𝐶
𝜌 𝑉 ∙ 𝑛 𝑑𝐴 = 0 ⇒ න
𝑆𝐶
𝑉 ∙ 𝑛 𝑑𝐴
Onde
𝑄 = 𝑉𝑛. 𝐴 = 𝑈 ∙
𝜋D2
4
e
𝑈 =
𝑄
𝜋D2
4
→ 𝑈 =
4 𝑄
𝜋D2
=
4 × 63 × 10−6 𝑚3/𝑠
𝜋 × 0,254 𝑚𝑚 ×
1 𝑚
1000 𝑚𝑚
2
Portanto,
𝑼 = 𝟏𝟐𝟒𝟑, 𝟑 𝒎/𝒔
Usando a equação da quantidade de movimento para determinar a reação de impacto, 𝑅𝑥, temos:
𝑅𝑥 = න
𝑆𝐶
𝑢 𝜌 𝑉 ⋅ 𝑛 𝑑𝐴
Como 𝑉 ∙ 𝑑 Ԧ𝐴 é a vazão e o fluxo está entrando na seção, temos:
𝑅𝑥 = න
𝑆𝐶
𝑢 𝜌𝑉 ∙ 𝑑 Ԧ𝐴 = 𝑈 𝜌 −𝑈 ∙ 𝐴1 = −𝜌 𝑈
2𝐴 = −𝜌 𝑈2
𝜋D2
4
Substituindo os valores e unidades de medidas na expressão, temos:
𝑅𝑥 = −𝜌 𝑈
2
𝜋D2
4
= −1000 kg/m3 ∙ 1243,3
𝑚
𝑠
2
∙ 𝜋 ∙
0,254 𝑚𝑚 ∙
1 𝑚
1000 𝑚𝑚
2
4
Portanto,
𝑅𝑥 = −𝜌 𝑈
2
𝜋D2
4
= −1000 kg/m3 ∙ 1243,3
𝑚
𝑠
2
∙ 𝜋 ∙
0,254 𝑚𝑚 ∙
1 𝑚
1000 𝑚𝑚
2
4
Logo a reação de impacto é de
𝑹𝒙 = −𝟕𝟖, 𝟑𝟐 𝑵
6. Comentários
O corte com jato de água é um processo de corte a frio que utiliza um jato de água projetado a
altíssima velocidade, às vezes associado a um abrasivo. A água é inicialmente levada a uma pressão
de 4.000 a 6.500 bars e depois pressurizada passa através de um orifício de diâmetro extremamente
pequeno (de 0,08 a 0,4 mm). A velocidade do jato de água, em função da pressão, pode alcançar
1.200 m/s. As partículas de água projetadas que atingem a superfície do material o cortam de
maneira limpa e precisa. A adição de um abrasivo é necessária para cortar materiais duros, em
particular metálicos (aço, alumínio, etc.).
O ar entra em um bocal de forma constante a 2,21 𝑘𝑔/𝑚3 e 30 𝑚/𝑠 e sai a 
0,762 𝑘𝑔/𝑚3 e 180 𝑚/𝑠. Se a área de entrada do bocal é de 80 𝑐𝑚2, determine:
(a) a vazão em massa através do bocal e 
(b) a área de saída do bocal.
130
Questão 5.6 (Çengel 1ªEdição):
1. Dados:
• Fluido é ar passando por um bocal
• Massa específica na entrada do ar 2,21 𝑘𝑔/𝑚3;
• Velocidade de entrada de 30 𝑚/𝑠;
• Massa específica do ar na saída 0,762 𝑘𝑔/𝑚3
• Velocidade na saída do bocal de 180 𝑚/𝑠;
• Área da entrada do bocal de 80 𝑐𝑚2.
2. Achar:
(a) A vazão em massa através do bocal;
(b) A área de saída do bocal
4. Equações Básicas:
Equação da Conservação da massa para volume de controle
0 =
𝜕
𝜕𝑡
න
𝑉𝐶
𝜌𝑑∀ + න
𝑆𝐶
𝜌 𝑉 ∙ 𝑛 𝑑𝐴
Onde:
𝑑
𝑑𝑡
න
∀𝐶
𝜌𝑑∀ +෍
𝑆
𝜌𝑉𝑛𝑑𝐴 −෍
𝑒
𝜌𝑉𝑛𝑑𝐴 = 0
Lembrando que 𝑆𝐶׬ 𝜌 𝑉 ∙ 𝑛 𝑑𝐴 = 𝜌𝑉𝐴 131
3. Esquema
5. Considerações:
i. Regime permanente;
ii. Propriedades constantes;
iii. Escoamento uniformes nas seções de entrada e saída do bocal e
iv. Escoamento incompressível
6. Análises:
Aplicando as considerações na equação da continuidade (equação da conservação da massa), temos
0 =
𝜕
𝜕𝑡
න
𝑉𝐶
𝜌𝑑∀ + න
𝑆𝐶
𝜌 𝑉 ∙ 𝑛 𝑑𝐴
No qual:
෍
𝑆
𝜌𝑉𝑛𝑑𝐴 −෍
𝑒
𝜌𝑉𝑛𝑑𝐴 = 0
Considerando que as seções de entrada e saída do bocal são uniformes e tendo apenas uma entrada (1) e uma
saída (2) temos a equação da vazão mássica como sendo
න
𝑆𝐶
𝜌 𝑉 ∙ 𝑛 𝑑𝐴 = 𝜌𝑉𝐴
Então, vazão mássica torna-se: ሶ𝑚 = 𝜌𝑉𝐴. De forma que a vazão mássica que entra no volume de controle é
igual a vazão mássica que sai do volume de controle, ou seja, ሶ𝑚 = ሶ𝑚𝑒 = ሶ𝑚𝑠 onde, 𝜌1𝑉1𝐴1 = 𝜌2𝑉2𝐴2.
132
0 (i)
Então, vazão mássica torna-se: ሶ𝑚 = 𝜌𝑉𝐴. De forma que a vazão mássica que entra no volume de controle é
igual a vazão mássica que sai do volume de controle, ou seja, ሶ𝑚 = ሶ𝑚𝑒 = ሶ𝑚𝑠 onde, 𝜌1𝑉1𝐴1 = 𝜌2𝑉2𝐴2.
Atribuindo os valores dados temos que a vazão mássica através do bocal é:
ሶ𝑚 = 𝜌1𝑉1𝐴1
ሶ𝑚 = 2,21
kg
m3
× 30
𝑚
𝑠
× 80 𝑐𝑚2 ×
1𝑚2
104 𝑐𝑚2
ሶ𝒎 = 𝟎, 𝟓𝟑𝟎
𝒌𝒈
𝐬
A área na saída do bocal é portanto,
ሶ𝑚 = 𝜌2𝑉2𝐴2 ou 𝜌1𝑉1𝐴1 = 𝜌2𝑉2𝐴2
Substituindo os valores, temos
𝐴2 =
ሶ𝑚
𝜌2𝑉2
=
0,530
𝑘𝑔
𝑠
0,762
𝑘𝑔
𝑚3
× 180
𝑚
𝑠
𝑨𝟐 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟑𝟖𝟕𝒎
𝟐 = 𝟑𝟖, 𝟕 𝒄𝒎𝟐
133
7. Comentários:
Podemos verificar se o escoamento na saída do bocal é compressível, verificando o número de Mach que é
um número adimensional e é a relação entre a velocidade do fluido e a velocidade do som, ou seja,
𝑀𝑎 =
𝑉𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜
𝑉𝑠𝑜𝑚
Onde
𝑀𝑎 < 0,3 – Escoamento é incompressível
0,3 < 𝑀𝑎 > 1,0 – Escoamento subsônico
𝑀𝑎 = 1,0 – Escoamento sônico;
𝑀𝑎 > 1,0 – Escoamento supersônico.
Sabendo que a velocidade do ar na saída do bocal é 180𝑚/𝑠 e a velocidade do som no ar é 343 𝑚/𝑠 temos
que,
𝑀𝑎 =
180 𝑚/𝑠
343 𝑚/𝑠
= 0,52 > 0,3
Logo o escoamento na saída do bocal é compressível e o problema só deve ser resolvido usando as taxas de
fluxos de massa e não de fluxo de volume.
134
Um computador pessoal deve ser resfriado por um
ventilador cuja vazão é de 0,34 𝑚3/𝑚𝑖𝑛. Determine a
vazão de massa do ar através do ventilador a uma elevação
de 3400 𝑚, onde a massa específica do ar é de 0,7 𝑘𝑔/𝑠.
Da mesma forma, se a velocidade média do ar não exceder
os 110 𝑚/𝑚𝑖𝑛 , determine o diâmetro do gabinete do
ventilador.
135
Questão 5.10 (Çengel 1ªEdição):
1. Dados:
• Fluido é ar para resfriar um computador pessoal pelo ventilador
• Vazão volumétrica 0,34 𝑚3/𝑚𝑖𝑛 a um elevação 3400 𝑚;
• Massa específica do ar 0,7 𝑘𝑔/𝑚3
• Velocidade do ar não exceder 110 𝑚/min;
2. Achar:
(a) A vazão de massa do ar através do ar do ventilador a uma elevação de 3400𝑚;
(b) O diâmetro do gabinete do ventilador para que velocidade média do ar não exceder os 110 𝑚/𝑚𝑖𝑛.
4. EquaçõesBásicas:
Equação da Continuidade para volume de controle
0 =
𝜕
𝜕𝑡
න
𝑉𝐶
𝜌𝑑∀ + න
𝑆𝐶
𝜌 𝑉 ∙ 𝑛 𝑑𝐴
Onde:
𝑑
𝑑𝑡
න
∀𝐶
𝜌𝑑∀ +෍
𝑆
𝜌𝑉𝑛𝑑𝐴 −෍
𝑒
𝜌𝑉𝑛𝑑𝐴 = 0
Equação da vazão Volumétrica:
ሶ∀= න
𝐴𝑐
𝑉𝑛𝑑𝐴𝑐 = 𝑉𝑚é𝑑𝐴𝑐 = 𝑉𝐴𝑐
Relação das vazões em mássicas e em volume: ሶ𝑚 = 𝜌 ሶ∀=
ሶ∀
𝜐
136
5. Esquema:
Foi fornecido na questão
6. Considerações
i. Regime permanente;
ii. Propriedades constantes;
iii. Escoamento uniformes na seção de saída
iv. Escoamento incompressível, pois, 𝑀𝑎 < 0,3.
7. Analises:
Aplicando as considerações na equação da continuidade, temos
0 =
𝜕
𝜕𝑡
න
𝑉𝐶
𝜌𝑑∀ +න
𝑆𝐶
𝜌 𝑉 ∙ 𝑛 𝑑𝐴
No qual:
෍
𝑆
𝜌𝑉𝑛𝑑𝐴 −෍
𝑒
𝜌𝑉𝑛𝑑𝐴 = 0
Considerando que a seções uniformes temos a equação da vazão mássica como sendo
න
𝑆𝐶
𝜌 𝑉 ∙ 𝑛 𝑑𝐴 = 𝜌𝑉𝐴
Então, vazão mássica torna-se: ሶ𝑚 = 𝜌𝑉𝐴. Sabendo que ሶ∀= 𝜌𝑉, temos 137
0 (i)
ሶ𝑚 = 𝜌 ሶ∀
Atribuindo os valores numéricos dados, temos:
ሶ𝑚𝑎𝑟 = 𝜌 ሶ∀= 0,7
kg
m3
× 0,34
𝑚3
𝑚𝑖𝑛
×
1𝑚𝑖𝑛
60𝑠
ሶ𝒎𝒂𝒓 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟒𝟎 𝒌𝒈/𝒔
Se a velocidade média for 110 m / min, o diâmetro do revestimento será de
ሶ∀= 𝑉𝑚é𝑑𝐴𝑐
Sabendo que a 𝐴 = 𝜋
𝐷2
4
, temos:
ሶ∀= 𝜋
𝐷2
4
⋅ 𝑉𝑚é𝑑
E que,
𝐷 =
4 ⋅ ሶ∀
𝜋 ⋅ 𝑉𝑚é𝑑
=
4 0,34 𝑚3/𝑚𝑖𝑛
𝜋 110 𝑚/𝑚𝑖𝑛
𝑫 = 𝟎, 𝟎𝟔𝟑𝒎
8. Comentários:
Portanto, o diâmetro do invólucro deve ser de pelo menos 6,3 cm para garantir que a velocidade média não exceda
110 𝑚/𝑚𝑖𝑛. Este problema mostra que os sistemas de engenharia são dimensionados para satisfazer determinadas
restrições impostas.
138
Em um determinado local, o vento sopra em regime
permanente a 12 𝑚/𝑠. Determine a energia mecânica
do ar por unidade de massa e o potencial de geração de
potência de uma turbina de vento (turbina eólica) com
lâminas de 50 𝑚 de diâmetro naquele local. Determine
também a geração real de potência elétrica,
considerando uma eficiência geral de 30%. Considere
a massa específica do ar de 1,25 𝑘𝑔/𝑚3.
139
Questão 5.19 (Çengel 1ªEdição):
1. Dados:
• Fluido é ar (vento soprando)
• Velocidade do vento 12 𝑚/𝑠;
• Diâmetro das lâminas de 50 𝑚;
• Eficiência geral de 30%;
• Massa específica do ar é de 1,25 𝑘𝑔/𝑚3.
2. Achar:
(a) A energia mecânica do ar por unidade de massa;
(b) O potencial de geração de potência da turbina eólica com lâminas de 50 𝑚 diâmetro;
(c) A geração real de potência elétrica para uma eficiência de 30 %.
3. Esquema
140
4. Equações Básicas:
Equação da Conservação da Energia para volume de controle
ሶ𝑄 − ሶ𝑊 =
𝜕
𝜕t
න
VC
eρd∀ + න
𝑆𝐶
𝑒𝑢 +
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧 𝜌𝑉 ∙ 𝑛 𝑑𝐴
Energia Mecânica
𝑒𝑚𝑒𝑐 =
𝑝
𝜌
+
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧
Equação da Conservação da massa para um volume de controle
0 =
𝜕
𝜕𝑡
න
𝑉𝐶
𝜌𝑑∀ + න
𝑆𝐶
𝜌 𝑉 ∙ 𝑛 𝑑𝐴
Equação da vazão Volumétrica:
ሶ∀= න
𝐴𝑐
𝑉𝑛𝑑𝐴𝑐 = 𝑉𝑚é𝑑𝐴𝑐 = 𝑉𝐴𝑐
Relação das vazões em mássicas e em volume: ሶ𝑚 = 𝜌 ሶ∀=
ሶ∀
𝜐
141
5. Considerações:
i. Regime permanente;
ii. Propriedades constantes e uniformes;
iii. Escoamento uniformes (O vento está soprando continuamente a uma velocidade uniforme e constante);
iv. Escoamento incompressível, 𝑀𝑎 = 0,035 e
v. A eficiência da turbina eólica é independente da velocidade do vento.
6. Análises:
A única forma de energia mecânica que o vento possui é a energia cinética. A energia cinética pode ser convertida
para gerar energia elétrica. Portanto, o potencial de potência do vento é a sua energia cinética, que é
𝑒𝑚𝑒𝑐 =
𝑝
𝜌
+
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧
𝑒𝑚𝑒𝑐 =
𝑉2
2
=
12 𝑚/𝑠2 2
2
×
1 𝑘𝐽/𝑘𝑔
1000 𝑚2/𝑠2
= 𝟎, 𝟎𝟕𝟐 𝒌𝑱/𝒌𝒈
A energia mecânica por unidade de massa é
𝑒𝑚𝑒𝑐 = ሶ𝑚
𝑉2
2
Usando a equação da conservação da massa temos que a vazão mássica de ar é,
ሶ𝑚 = 𝜌𝑉𝐴 = 𝜌𝑉
𝜋𝐷2
4
= 1,25 𝑘𝑔/𝑚3 × 12 𝑚/𝑠 ×
𝜋 50𝑚 2
4
= 𝟐𝟒, 𝟒𝟓𝟐 𝒌𝒈/s 142
0 0 
Portanto, a potencia de geração de potencial é dado por unidade de massa,
ሶ𝑊𝑚𝑎𝑥 = ሶ𝐸,𝑚𝑒𝑐 = ሶ𝑚𝑒𝑚𝑒𝑐 = 29,452 𝑘𝑔/𝑠 × 0,0722𝑘𝐽/𝑘𝑔
ሶ𝑾𝒎𝒂𝒙 = 𝟐𝟏𝟐𝟏 𝒌𝑾
A geração real de energia elétrica é determinada multiplicando o potencial de geração de energia pela
eficiência,
ሶ𝑊𝑒𝑙é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 = 𝜂𝑡𝑢𝑟𝑏 𝑒ó𝑙𝑖𝑐𝑎 × ሶ𝑊𝑚𝑎𝑥
ሶ𝑊𝑒𝑙é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 = 0,30 × 2121 𝑘𝑊
ሶ𝑾𝒆𝒍𝒆𝒕𝒓𝒊𝒄𝒂 = 𝟔𝟑𝟔 𝒌𝑾
7. Comentários:
Portanto, 636 kW de potência real podem ser gerados por esta turbina eólica nas condições estabelecidas. A
geração de energia de uma turbina eólica é proporcional ao cubo da velocidade do vento e, portanto, a
geração de energia mudará fortemente com as condições do vento.
143
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	Slide 49: Considere o escoamento em regime permanente, incompressível e bidimensional através de um duto convergente. Um campo de velocidade aproximado simples para esse escoamento é maiúscula V ⃗ é igual a abre parêntese u ,, v , fecha parêntese é igu
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	Slide 53: Um campo de velocidade bidimensional, incompressível e em regime permanente é dado por maiúscula V ⃗ é igual a abre parêntese u ,, v , fecha parêntese é igual a abre parêntese 1 mais 2,5 x mais y , fecha parêntese , i. ⃗ mais abre parêntese me
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	Slide 58: Considere o seguinte campo de velocidade em regime permanente e tridimensional: maiúscula V ⃗ é igual a abre parêntese u ,, v ,w , fecha parêntese é igual a abre parêntese 3,0 mais 2,0 x menos y , fecha parêntese , i. ⃗ mais abre parêntese 2,0
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	Slide 61: Considere a forma geral do teorema de transporte de Reynolds (TTR) dada por: numerador , maiúscula D maiúscula B inferior à linha maiúscula S maiúscula I. maiúscula S fim de numerador , superior a maiúscula D t é igual a parcial superior a pa
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	Slide 63: Considere a forma geral do teorema de transporte de Reynolds (TTR) dada por: numerador , maiúscula D maiúscula B inferior à linha maiúscula S maiúscula I. maiúscula S fim de numerador , superior a maiúscula D t é igual a parcial superior a par
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	Slide 130: O ar entra em um bocal de forma constante a 2,21 , k g superior a m ao cubo e 30 , m superior a s e sai a 0,762 , k g superior a m ao cubo e 180 , m superior a s . Se a área de entrada do bocal é de 80 , c m ao quadrado, determine: (a) a vazã
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	Slide 135: Um computador pessoal deve ser resfriado por um ventilador cuja vazão é de 0,34 , m ao cubo superior a m i. n . Determine a vazão de massa do ar através do ventilador a uma elevação de 3400 , m , onde a massa específica do ar é de 0,7 , k g sup
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	Slide 139: Em um determinado local, o vento sopra em regime permanente a 12 , m superior a s . Determine a energia mecânica do ar por unidade de massa e o potencial de geração de potência de uma turbina de vento (turbina eólica) com lâminas de 50 , m de 
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