Lista de Exercícios 2 Cálculo 2

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Universidade Veiga de Almeida
Curso: Básico das engenharias
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral II
Professora: Adriana Nogueira
2a Lista de Exerćıcios
Exerćıcio 1: Seja f(x, y) = 4x2y + 3y2 − 7x3.
(a) Calcule fx(1, 3)
(b) Calcule fy(−1, 2)
Exerćıcio 2: Seja f(x, y) = xy
2+3x
cosx .
(a) Determine a derivada parcial fx(x, y);
(b) Determine a derivada parcial fy(x, y).
Exerćıcio 3: Dada f(x, y) = ln(x +
√
x2 + y2), calcule fx(3, 4).
Exerćıcio 4: Seja f(x, y, z) = z3cos(x + y). Calcule fz(0, 0, 2).
Exerćıcio 5: Seja f(x, y, z) =
√
sen2x + sen2y + sen2z. Calcule fz(0, 0, π4 ).
Exerćıcio 6: Determine se cada uma das funções abaixo é solução da
equação de Laplace: uxx + uyy = 0.
(a) u(x, y) = x2 − y2
(b) u(x, y) = 2cosx− 2senx
(c) u(x, y) = 2cosx + 2senx
1
Exerćıcio 7: Dada u = s2r3t5, determine as derivadas parciais ∂u∂s ,
∂u
∂r ,
∂u
∂t ,
∂2u
∂s∂t ,
∂2u
∂s2
, ∂
3u
∂s2∂t
.
Respostas:
Exerćıcio 1: a) 3 b) 16
Exerćıcio 2:
a) fx(x, y) =
(y2+3)(cosx)−(xy2+3x)(−senx)
cos2x
b) fy(x, y) = 2xycosx
Exerćıcio 3: 1/5
Exerćıcio 4: 12
Exerćıcio 5:
√
2
2
Exerćıcio 6: a) É solução b) Não é solução c) Não é solução
Exerćıcio 7:
∂u
∂s = 2sr
3t5
∂u
∂r = 3s
2r2t5
∂u
∂t = 5s
2r3t4
∂2u
∂s∂t = 10sr
3t4
∂2u
∂s2
= 2r3t5
∂3u
∂s2∂t
= 10r3t4
2