Geometria Plana Semelhança de triângulos e Teorema de Tales

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SEMELHANÇA DE 
TRIÂNGULOS
TRIÂNGULOS SEMELHANTES
MESMA FORMA DOIS ÂNGULOS EM COMUM
LADOS PROPORCIONAIS
O PROBLEMA DA SOMBRA
(IFPE 2017) Às 10h45min de uma manhã ensolarada, as
sombras de um edifício e de um poste de 8 metros de altura
foram medidas ao mesmo tempo. Foram encontrados 30
metros e 12 metros, respectivamente, conforme ilustração.
O PROBLEMA DA SOMBRA
De acordo com as informações acima, a altura h do prédio,
em metros, é igual a
12.
14.
16.
18.
20.
O PROBLEMA DA SUBIDA
(UFPR) Um telhado inclinado reto foi construído sobre três
suportes verticais de aço, colocados nos pontos A, B e C,
como mostra a figura ao lado. Os suportes nas extremidades
A e C medem, respectivamente, 4 metros e 6 metros de
altura.
O PROBLEMA DA SUBIDA
A altura, em metros, do suporte em B é, então, de
4,2.
4,5
5,0.
5,2.
5,5.
POSIÇÕES DIFERENTES
(UEL – Adaptada) Na figura a seguir, são dados: ED = 2 cm,
AB = 6 cm, BC = 9 cm e AC = 12 cm.
O perímetro do triângulo EDC é, em centímetros,
9,0.
9,5.
10,0.
10,5.
11,0.
O PROBLEMA DOS CABOS CRUZANDO
(ENEM 2013) O dono de um sítio pretende colocar uma haste de
sustentação para melhor firmar dois postes de comprimentos iguais
a 6m e 4m. A figura representa a situação real na qual os postes são
descritos pelos segmentos AC e BD e a haste é representada pelo
EF, todos perpendiculares ao solo, que é indicado pelo segmento de
reta AB. Os segmentos AD e BC representam cabos de aço que
serão instalados.
O PROBLEMA DOS CABOS CRUZANDO
Qual deve ser o valor do comprimento da haste EF?
1 m
2 m
2,4 m
3 m
2 𝟔 m
O PROBLEMA DAS ÁREAS
(ENEM 2010) Em canteiros de obras de construção civil é comum
perceber trabalhadores realizando medidas de comprimento e de
ângulos e fazendo demarcações por onde a obra deve começar ou
se erguer. Em um desses canteiros foram feitas algumas marcas
no chão plano. Foi possível perceber que, das seis estacas
colocadas, três eram vértices de um triângulo retângulo e as
outras três eram os pontos médios dos lados desse triângulo,
conforme pode ser visto na figura, em que as estacas foram
indicadas por letras.
A região demarcada pelas estacas A, B, M e N deveria ser calçada
com concreto.
Nessas condições, a área a ser calçada corresponde
à mesma área do triângulo AMC.
à mesma área do triângulo BNC.
à metade da área formada pelo triângulo ABC.
ao dobro da área do triângulo MNC.
ao triplo da área do triângulo MNC.
CASOS DE SEMELHANÇA
DOIS ÂNGULOS EM COMUM (CASO ÂNGULO, ÂNGULO)
PODEMOS GARANTIR QUE DOIS TRIÂNGULOS SÃO
SEMELHANTES SE ELES POSSUÍREM:
CASOS DE SEMELHANÇA
TRÊS LADOS PROPORCIONAIS (CASO LADO, LADO, LADO)
RAZÃO DE SEMELHANÇA É A RAZÃO ENTRE 
OS COMPRIMENTOS DOS LADOS 
HOMÓLOGOS NOS DOIS TRIÂNGULOS
CASOS DE SEMELHANÇA
DOIS LADOS PROPORCIONAIS E O ÂNGULO ENTRE ELES
EM COMUM (CASO LADO, ÂNGULO, LADO)
CONGRUÊNCIA DE 
TRIÂNGULOS
TRIÂNGULOS CONGRUENTES
MESMOS LADOS MESMOS ÂNGULOS
NA PRÁTICA, DOIS TRIÂNGULOS CONGRUENTES SÃO O
MESMO TRIÂNGULO, EM POSIÇÕES DIFERENTES.
DOIS TRIÂNGULOS CONGRUENTES SÃO SEMELHANTES
COM RAZÃO DE SEMELHANÇA IGUAL A 1.
CUIDADO! NÃO PODEMOS GARANTIR QUE DOIS
TRIÂNGULOS SEMELHANTES SÃO CONGRUENTES.
CASOS DE SEMELHANÇA
TRÊS LADOS IGUAIS (CASO LADO, LADO, LADO)
PODEMOS GARANTIR QUE DOIS TRIÂNGULOS SÃO
CONGRUENTES SE ELES POSSUÍREM:
CASOS DE SEMELHANÇA
DOIS LADOS IGUAIS E O ÂNGULO ENTRE ELES IGUAL
(CASO LADO, ÂNGULO, LADO)
CASOS DE SEMELHANÇA
DOIS ÂNGULOS IGUAIS E UM LADO ENTRE ELES IGUAL
DESDE QUE ESSE LADO SEJA OPOSTO AO MESMO
ÂNGULO (CASO ÂNGULO, LADO, ÂNGULO)
EXEMPLO
QUAIS DELES GARANTIMOS QUE SÃO CONGRUENTES?
E QUAIS GARANTIMOS QUE SÃO SEMELHANTES?
TEOREMA DE TALES
TEOREMA DE TALES
A figura a seguir mostra os quatro lotes que existem entre a Rua
Azul e a Rua Vermelha. As frentes dos lotes estão na Rua Azul e
suas medidas estão indicadas. Os fundos dos lotes estão na Rua
Vermelha e o tamanho do quarteirão da Rua Vermelha entre a Rua
das Amoras e a Rua do Limão, que são paralelas, é de 80 m.
A diferença entre o comprimento do fundo do lote 1 e o fundo do
lote 2 é igual a
30 m.
20 m.
10 m.
8 m.
6 m.
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