Trigonometria - funções seno, cosseno e tangente - Enzo Libório

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COLÉGIO JOSÉ AUGUSTO VIEIRA 
 
TRIGONOMETRIA: FUNÇÕES SENO, COSSENO E TANGENTE 
 
Enzo Libório Fraga 
enzoliborio@hotmail.com 
 
1. FUNÇÃO SENO 
 
A função seno é representada pela equação: 
𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 
 Localizados graficamente em um plano cartesiano com 𝑥 no eixo das abscissas 
e 𝑓(𝑥) ou 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 (𝑥), no eixo das ordenadas. 
Formando-se um gráfico no plano cartesiano com a equação, ele apresenta-se 
da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Sendo X um ângulo no círculo trigonométrico, a sua ordenada, valor associado 
ao eixo Y, será o seu valor seno, como mostrado na seguinte tabela com os ângulos 
localizados nos pontos máximo e mínimos do gráfico: 
𝒙 0 𝑟𝑎𝑑 
𝜋
2
 (90°) 𝜋 (180°) 
3𝜋
2
 (270°) 2𝜋 (360°) 
𝒔𝒆𝒏 (𝒙) 0 1 0 -1 0 
 O ponto de encontro com o eixo das ordenadas é sempre na origem do plano 
cartesiano, pois o seno de 0º é sempre 0, porém com outros coeficientes na equação, 
o gráfico pode variar de posição, sinal, amplitude e período, tópicos esses que serão 
mostrados ao longo da análise. 
 Caso o seno de determinado ângulo do círculo trigonométrico seja invertido, o 
gráfico também se alterará, fator esse dado na equação: 
𝑓(𝑥) = −𝑠𝑒𝑛(𝑥) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.1. Período e imagem da função seno. 
 
O período da função é dado pela menor parte da função que sempre se repete. 
Logo, é notório que o período da função seno 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) é dado por 2𝜋, pois a 
partir daí a função sempre se repetirá, formado um senoide. 
 Dessa forma também é possível classificá-la como uma função ímpar, já 
que sua forma permanece quando alterado o sinal de ambos os coeficientes: 
𝑓(𝑥) = −𝑓(−𝑥) 
 
 
 
 
 
 
𝑠𝑒𝑛(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(2𝜋 + 𝑥) 
𝑠𝑒𝑛(𝜋) = 𝑠𝑒𝑛(2𝜋 + 𝜋) ∴ 𝑠𝑒𝑛(90°) = 𝑠𝑒𝑛(360° + 90°) 
Seus pontos máximos e mínimos definem a sua imagem. Na equação da 
função seno sua imagem é [-1, 1]. 
 
1.2. Coeficientes da equação da função seno e cosseno. 
 
As funções podem assumir diferentes posições, sentidos, períodos e 
amplitudes. Esses fatores são mostrados na equação da função de acordo com seus 
coeficientes: 
𝑓(𝑥) = 𝑎 + 𝑏 . 𝑠𝑒𝑛(𝑐𝑥 + 𝑑) 
 O coeficiente 𝑎 causa um deslocamento vertical da função e é a posição da 
origem da função no eixo das ordenadas (eixo y). 
Exemplo: comparação entre duas funções: 
𝑔(𝑥) = 1 + 𝑠𝑒𝑛(𝑥) ≠ 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Observando o plano cartesiano, é notório que o gráfico da função em azul, 
apesar de possuir a mesma amplitude e período, passa a se iniciar no ponto 1 do eixo 
vertical, tendo agora sua imagem igual a [0, 2]. Por sua vez, nessa equação, o 
coeficiente linear da função é 1. Portanto, o valor que está somando a equação definirá 
o ponto em que o gráfico da função passará pelo eixo das ordenadas. 
 O coeficiente 𝑎, caso seja negativo, somente mostrará que o gráfico senoidal 
passará por um ponto negativo no eixo y, mas não alterará a rotação do gráfico: 
 
𝑓(𝑥) = −1 + 𝑠𝑒𝑛(𝑥) ≠ 𝑓(𝑥) = −1 − 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 
 
Exemplo 1: 𝑓(𝑥) = −1 + 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 
 O gráfico dessa equação terá posição de encontro com o eixo das ordenadas 
no ponto -1, mas a função seno continuará positiva, tendo seu início – a partir da 
origem do plano cartesiano, “apontada” para cima: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Observando o gráfico formado, é visto que a função passa pelo ponto -1 do eixo 
y, permanece com a amplitude igual a 2 u.c. e período 2𝜋. 
 
Exemplo 2: 𝑓(𝑥) = −1 − 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 
Por sua vez, a equação formará um gráfico com mesma amplitude e período 
que o mostrado anteriormente, mas por ter o seno negativo, sua origem “apontará” 
para baixo: