Atividade A2 MODELAGEM DE SISTEMAS

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Pergunta 1)
Caso uma equação diferencial precise ser linearizada, é preciso recorrer a uma aproximação desta, a fim de possibilitar a realização do cálculo do comportamento do sistema em relação às entradas desejadas. Ao realizar esse tipo de procedimento, é possível garantir a aderência do modelo às propriedades de sistemas lineares.
 
A respeito da aproximação de funções diferenciais ordinárias não lineares, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
 
I. ( ) A aproximação de funções produz alternativas exatas para as funções que se deseja analisar, assim, a substituição é somente uma formalidade.
II. ( ) Ao substituir uma função por uma aproximação desta, é preciso se preocupar com o erro inserido no sistema como resultado desta operação.
III. ( ) Tipicamente, é possível refinar uma aproximação que não seja boa o suficiente para que o processo seja preservado de maneira mais precisa.
IV. ( ) Ao se aproximar uma função, é possível desprezar a original, uma vez que outros dados, como erro ou qualidade da aproximação, não interessam mais.
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
Resposta:
F, V, V, F.
Resposta correta. A sequência está correta. A alternativa I é falsa, já que uma aproximação de uma função introduz erro no sistema, definido como a diferença entre o valor analítico da resposta e o calculado pela aproximação. A alternativa II é verdadeira, pois, caso o erro da função aproximada seja grande demais, esta aproximação se mostra inviável e deve ser substituída por outra. A alternativa III é verdadeira, pois, ao escolher outros parâmetros para a função de aproximação, é possível reduzir o erro e se aproximar da solução da função analítica. A afirmação IV é falsa, uma vez que a função aproximada não substitui a função original, devido à inserção de erro no sistema.
Pergunta 2)
A modelagem de um sistema é realizada de forma a otimizar seu desenvolvimento, ao utilizar a modelagem de espaço de estados, é possível resolver problemas algébricos de alta complexidade através da utilização de matrizes. Esse processo é conhecido como espaço de estados.
 
A partir do apresentado, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
 
I. O espaço de estados de um sistema qualquer deve apresentar um número de variáveis de estado sempre inferior à ordem do sistema modelado.
Pois:
II. Cada variável de estado corresponde a uma unidade da ordem do sistema, que deve ser alimentada na equação matricial da transformada.
 
A seguir, assinale a alternativa correta.
Resposta:
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
Resposta correta. A alternativa está correta. A asserção I é uma proposição falsa, já que, na modelagem de sistemas utilizando espaço de estados, é preciso criar tanto variáveis de estado quanto estados do sistema modelado, resultando em matrizes e vetores de dimensão semelhante à ordem da função. A asserção II é uma proposição verdadeira, já que a dimensão dos vetores do espaço de estados é igual à ordem do sistema, ou seja, os vetores do espaço de estados devem ter a mesma quantidade de variáveis que a ordem do sistema modelado.
Pergunta 3)
Calcular a transformação de Laplace de uma determinada função significa mudar a função do domínio do tempo para o domínio da frequência, e a base muda dos números reais para os números complexos. A principal vantagem deste método é que, no domínio da frequência, a função pode ser resolvida de maneira mais simples.
 
Com relação à transformada de Laplace de uma função, é correto afirmar que:
Resposta:
Esse tipo de transformação permite a visualização dos zeros e dos polos de uma função em um plano, permitindo a análise de estabilidade do sistema.
Resposta correta. A alternativa está correta, pois, ao se calcular a transformada de Laplace de uma função e, consequentemente, transformar o domínio da função dos números reais para os complexos, é possível escrever as soluções das equações na forma a + ib, onde a e b são números reais e i é a raiz de -1. Nessa forma de escrita de valores, é possível plotar em um plano os pontos que atendem a critérios específicos, como polos ou zeros de uma função.
Pergunta 4)
Os sistemas de malha fechada contam com o bloco de realimentação negativa, em que a saída é subtraída da entrada do sistema. Este processo busca garantir que o erro do sistema decaia ao longo do tempo, provocando a estabilidade da planta e garantindo a estabilidade do sistema, sob pena de que ele apresente erros sucessivamente maiores durante o seu funcionamento.
 
Com relação aos sistemas de malha fechada e ao processo de realimentação, é possível afirmar que:
Resposta:
Diferentes sistemas podem reagir a perturbações de maneiras diferentes. A resposta de um determinado sistema é que define qual técnica de controle deve ser aplicada.
Resposta correta. A alternativa está correta, pois cada sistema possui suas próprias características, e as equações de transferência devem representar isso. Com modelagens distintas, os sistemas têm respostas diferentes para perturbações distintas, e isso influencia o tipo de controlador utilizado no sistema.
Pergunta 5)
Ao se modelar um sistema, é preciso atentar-se para os fenômenos físicos que o sistema apresenta e para as equações que o regem, uma vez que uma planta realiza a transformação de uma entrada em uma saída através de algum processo específico que precisa ser modelado de acordo.
 
A partir do apresentado, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
 
I. A saída é correspondente à convolução da entrada da planta, que pode ou não coincidir com a entrada do sistema e do bloco de realimentação.
Pois:
II. O bloco de realimentação deve ser modelado de acordo com as leis da física que regem a transformação desejada aplicada à entrada.
 
A seguir, assinale a alternativa correta.
Resposta:
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a asserção II é uma proposição falsa.
Resposta correta. A alternativa está correta. A asserção I é uma proposição verdadeira, pois a entrada da planta pode ser a entrada do sistema ou pode ser correspondente à saída do bloco de realimentação do sistema, que realiza a composição do sinal de entrada com a saída. A asserção II é uma proposição falsa, uma vez que a modelagem física do processo corresponde à modelagem da planta do sistema, ou ao bloco que de fato faz a transformação do sinal.
Pergunta 6)
Leia o trecho a seguir:
O princípio da superposição é um dos elementos determinantes em equações diferenciais ordinárias, uma vez que “toda equação linear diferencial satisfaz o princípio da superposição”. Ademais, aceita-se que “quando uma equação diferencial satisfaz o princípio de superposição, já é prova suficiente que a equação diferencial é linear” (tradução nossa).
 
HERNÁNDEZ-GUZMÁN, V. M.; SILVA-ORTIGOZA, R. Automatic Control with Experiments. Cham: Springer, 2019. p. 152.
 
Com relação ao princípio de superposição, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
 
I. (   ) O princípio da superposição determina que, se for possível analisar separadamente os efeitos de diferentes entradas e somá-los, o sistema de equações diferenciais é linear.
II. (   ) O princípio da superposição determina que, se for possível analisar separadamente os efeitos de diferentes entradas e multiplicá-los, o sistema de equações diferenciais é linear.
III. (   ) A principal vantagem de se linearizar um determinado sistema é viabilizar a aplicação do princípio da superposição.
IV. (   ) O princípio da superposição pode ser aplicado para sistemas lineares e não lineares de maneira indiscriminada.
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
Resposta:
V, F, V, F.
Resposta correta. A sequência está correta. A afirmativa I é verdadeira, apesar de não ser a única condição para se dizer que um determinado sistema é linear, a possibilidade de aplicar o princípio da superposiçãoé condição necessária e suficiente para que o sistema seja dito linear. A afirmativa II é falsa, pois o princípio da superposição dita ser possível somar os efeitos das entradas, não multiplicá-los. A afirmativa III é verdadeira, pois, ao ser possível aplicar o princípio da superposição, a análise do sistema é facilitada, ao se dividir o efeito de dois ou mais estímulos separadamente e, posteriormente, somar os resultados. Finalmente, a afirmativa IV é falsa, uma vez que a principal característica de sistemas não lineares é que não é possível aplicar o princípio da superposição.
Pergunta 7)
Trocar uma função por uma série ou por um polinômio, como o de Taylor, pode ser uma forma de linearizar o comportamento de um sistema não linear nas vizinhanças de um determinado ponto. A função do polinômio de Taylor que representa um sistema não linear pode ser escrita como:
 
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Assinale a alternativa que indica o que é a série de Taylor.
Resposta:
Uma aproximação da função analítica do sistema. A principal vantagem desse processo é a possibilidade de se aplicar o princípio da superposição na análise do sistema.
Resposta correta. A alternativa está correta, pois, ao se linearizar uma função de transferência através da série de Taylor, é possível aplicar o princípio da superposição na análise do problema. A série é uma aproximação da solução analítica do problema, com a reescrita do sistema a partir da transformação matemática.
Pergunta 8)
Ao se analisar equações não lineares, não é possível determinar que cargas diferentes podem ser adicionadas independentemente. Assim, a influência de todas as entradas deve ser avaliada de forma única, ainda que não seja possível realizar a decomposição dos estímulos aplicados a um sistema separadamente.
 
A partir do apresentado, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
 
I. Ao se descrever um sistema com equações diferenciais ordinárias lineares, é desnecessário considerar todas as entradas durante a análise.
Pois:
II. Ao se descrever um sistema com equações diferenciais ordinárias não lineares, é preciso considerar a média ponderada de todas as entradas.
 
A seguir, assinale a alternativa correta.
Resposta:
As asserções I e II são proposições falsas.
Resposta correta. A alternativa está correta. A asserção I é uma proposição falsa, pois, ao descrever um sistema com equações diferenciais ordinárias lineares, é possível utilizar o princípio da superposição e somar as influências dos estímulos para calcular a resposta total do sistema. A asserção II também é uma proposição é falsa, pois, ao se modelar um sistema utilizando equações diferenciais ordinárias não lineares, não é possível realizar a composição das entradas do sistema, e o princípio da superposição define que é possível somar os efeitos dos estímulos, e não realizar a média ponderada das entradas.
Pergunta 9)
Leia o texto a seguir:
“Sistemas de controle não lineares possuem uma desvantagem principal em relação aos lineares - não há teoria geral de controle não linear, o que significa que é impossível achar métodos universais válidos para análise e/ou síntese de toda a classe de sistemas não lineares. Em vez disso, são utilizadas técnicas cuja aplicabilidade é limitada a um certo subgrupo de sistemas com propriedades em comum” (tradução nossa).
 
ONDERA, M. Matlab-Based Tools for Nonlinear Systems. In: ANNUAL CONFERENCE OF TECHNICAL COMPUTING PRAGUE, 13., 2005, Praga. Anais eletrônicos [...].Praga:
MATLAB, 2005.p. 96. Disponível em: https://www2.humusoft.cz/www/papers/tcp05/ondera.pdf. Acesso em: 21 maio 2021.
 
 
Assinale a alternativa correta com relação à linearização de sistemas não lineares.
Resposta:
Ao se utilizar uma série de Taylor, utiliza-se a equação característica definida como uma soma infinita de polinômios de ordem 1.
Resposta correta. A alternativa está correta, pois, ao se decompor um polinômio de ordem maior do que 1, através de uma série de Taylor, troca-se a ordem do polinômio por uma soma de derivadas deste polinômio, de acordo com a formulação da série de Taylor. Assim, a função depois de decomposta pode ser tratada como uma função linear na vizinhança de um determinado ponto.
Pergunta 10)
Dada uma determinada equação diferencial ordinária de ordem n, é possível transformá-la em um polinômio de ordem 1, utilizando a série de Taylor. Esta série se baseia em uma soma infinita de termos que aproxima, de forma satisfatória, o valor de uma função em um determinado ponto.
 
Com base no apresentado, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas. 
 
I. O valor da série de Taylor de uma função, em um determinado ponto, é a aproximação do valor da função neste ponto.
Pois:
II. O primeiro termo da série de Taylor é uma representação fiel da função original que se deseja reescrever.
 
A seguir, assinale a alternativa correta.
Resposta:
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a asserção II é uma proposição falsa.
Resposta correta. A alternativa está correta, pois a asserção I é uma proposição verdadeira: ao se decompor uma função através da série de Taylor, é obtida uma representação aproximada da função original, portanto, o valor de uma função em determinado ponto também é aproximado. A asserção II, porém, é uma proposição falsa, pois frequentemente o resultado de uma aproximação em um ponto contém erro de aproximação, ou seja, uma diferença entre os valores calculados e esperados.