Aula 4 - PROPORÇÃO-2021 com exercicios enem

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0+ Matemática I Aula 4 
 Profª. Liliam Benhame 
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PROPORCÃO é uma igualdade entre duas ou mais razões. 
 
 
𝟑
𝟒
 = 
𝟔
𝟖
 = 
𝟗
𝟏𝟐
 = 
𝟏𝟐
𝟏𝟔
 
 
Propriedade fundamental da proporção 
 
O produto dos extremos é igual ao produto dos meios. 
𝟑
𝟒
 = 
𝟔
𝟖
 = 
𝟗
𝟏𝟐
 (é proporção) 
 
 3.8 = 4.6 ou 3.12 = 4.9 ou 6.12 = 8.9 
 
𝟑
𝟒
 = 
𝟔
𝟏𝟐
 (não é proporção) 
 
 3.12 ≠ 4.6 
 
 
 
 
Grandezas direta e inversamente proporcionais 
 
Se duas grandezas y e x são diretamente proporcionais temos: 
 
 
𝒚
𝒙
= 𝒌 ( k é a constante de proporcionalidade) 
 
Ex: Em uma gráfica são feitas impressões de livros escolares. Em 
2 horas, são realizadas 40 impressões. Em 3 horas, a mesma 
máquina produz mais 60 impressões, em 4 horas, 80 
impressões, e, em 5 horas, 100 impressões. 
 
 
 
 
𝒚
𝒙
 
𝟏
𝟐𝟎
 
𝟏
𝟐𝟎
 
𝟏
𝟐𝟎
 
𝟏
𝟐𝟎
 
 
 
Assim, constante de proporcionalidade (k) = 
𝟏
𝟐𝟎
 
Se duas grandezas y e x são inversamente proporcionais temos: 
𝒚 . 𝒙 = 𝒌 ( k é a constante de proporcionalidade) 
 
Ex: João decidiu contar o tempo que levava indo de casa à escola 
de bicicleta com diferentes velocidades. Observe a sequência 
registrada. 
 
 𝒚 . 𝒙 = 𝟔𝟎 𝟔𝟎 𝟔𝟎 𝟔𝟎 
 
 
Assim, constante de proporcionalidade (k) =60 
 
 
 
1. (Enem 2010) A relação da resistência elétrica com as 
dimensões do condutor foi estudada por um grupo de cientistas 
por meio de vários experimentos de eletricidade. Eles 
verificaram que existe proporcionalidade entre: 
 
• resistência (R) e comprimento (ℓ), dada a mesma secção 
transversal (A); 
• resistência (R) e área da secção transversal (A), dado o mesmo 
comprimento (ℓ) e 
• comprimento (ℓ) e área da secção transversal (A), dada a 
mesma resistência (R). 
Considerando os resistores como fios, pode-se exemplificar o 
estudo das grandezas que influem na resistência elétrica 
utilizando as figuras seguintes: 
 
 
Y (Tempo) 2 3 4 5 
x (Impressões) 40 60 80 100 
y Tempo (min) 2 4 5 1 
x Velocidade (m/s) 30 15 12 60 
 ESTADO DO RIO DE JANEIRO 
 PREFEITURA MUNICIPAL DE MACAÉ 
 SECRETARIA MUNICIPAL DE EDUCAÇÃO 
 PRÉ-VESTIBULAR SOCIAL 
 
 
 
As figuras mostram que as proporcionalidades existentes entre 
resistência (R) e comprimento (ℓ), resistência (R) e área da 
secção transversal (A), e entre comprimento (ℓ) e área da secção 
transversal (A) são, respectivamente, 
a) direta, direta e direta. 
b) direta, direta e inversa. 
c) direta, inversa e direta. 
d) inversa, direta e direta. 
e) inversa, direta e inversa. 
 
2. (Enem PPL 2018) A resistência elétrica R de um condutor 
homogêneo é inversamente proporcional à área S de sua seção 
transversal. 
 
 
 
O gráfico que representa a variação da resistência R do 
condutor em função da área S de sua seção transversal é 
a) b) c) 
 
 
d) e) 
 
3. (Uerj 2011) 
 
 
 A definição apresentada pelo personagem não está correta, 
pois, de fato, duas grandezas são inversamente proporcionais 
quando, ao se multiplicar o valor de uma delas por um número 
positivo, o valor da outra é dividido por esse mesmo número. 
Admita que a nota em matemática e a altura do personagem da 
tirinha sejam duas grandezas, x e y, inversamente proporcionais. 
 
A relação entre x e y pode ser representada por: 
 
a) 
2
3
y
x
 b) 
5
y
x
 . 
c) 
2
y
x 1


 d) 
2x 4
y
3

 
4. (Enem 2011) A resistência das vigas de dado comprimento é 
diretamente proporcional à largura (b) e ao quadrado da altura 
(d), conforme a figura. A constante de proporcionalidade kvaria 
de acordo com o material utilizado na sua construção. 
 
Considerando-se S como a resistência, a representação algébrica 
que exprime essa relação é 
 
a) S k b d   b) 2S b d  c) 2S k b d   
d) 
2
k b
S
d

 e) 
2k d
S
b

 
 
5. (Enem 2012) A resistência mecânica S de uma viga de 
madeira, em forma de um paralelepípedo retângulo, é 
diretamente proporcional à sua largura (b) e ao quadrado de sua 
altura (d) e inversamente proporcional ao quadrado da distância 
entre os suportes da viga, que coincide com o seu comprimento 
(x), conforme ilustra a figura. A constante de proporcionalidade 
k é chamada de resistência da viga. 
 
 
A expressão que traduz a resistência S dessa viga de madeira é 
a) 
2
2
k.b.d
S
x
 b) 
2
k.b.d
S
x
 c) 
2k.b.d
S
x
 
d) 
2k.b .d
S
x
 e) 
k.b.2d
S
2x
 
 
6. (Enem 2013) Muitos processos fisiológicos e bioquímicos, tais 
como batimentos cardíacos e taxa de respiração, apresentam 
escalas construídas a partir da relação entre superfície e massa 
(ou volume) do animal. Uma dessas escalas, por exemplo, 
considera que ”o cubo da área S da superfície de um mamífero 
é proporcional ao quadrado de sua massa M“. 
Isso é equivalente a dizer que, para uma constante k >0, a área 
S pode ser escrita em função de M por meio da expressão: 
a) S k M  b) 
1
3S k M  c) 
1 1
3 3S k M  
d) 
1 2
3 3S k M  e) 
1
23S k M  
 
 
7. (Enem 2018) De acordo com a Lei Universal da Gravitação, 
proposta por Isaac Newton, a intensidade da força gravitacional 
F que a Terra exerce sobre um satélite em órbita circular é 
proporcional à massa m do satélite e inversamente 
proporcional ao quadrado do raio r da órbita, ou seja,
2
km
F
r
 
No plano cartesiano, três satélites, A, B e C, estão 
representados, cada um, por um ponto (m; r) cujas 
coordenadas são, respectivamente, a massa do satélite e o raio 
da sua órbita em torno da Terra. 
 
0 
 
Com base nas posições relativas dos pontos no gráfico, deseja-
se comparar as intensidades A BF , F e CF da força gravitacional 
que a Terra exerce sobre os satélites A, B e C,
respectivamente. As intensidades A BF , F e CF expressas no 
gráfico satisfazem a relação 
 
a) C A BF F F  
b) A B CF F F  
c) A B CF F F  
d) A C BF F F  
e) C A BF F F  
 
8. (Enem PPL 2015) Sabe-se que o valor cobrado na conta de 
energia elétrica correspondente ao uso de cada eletrodoméstico 
é diretamente proporcional à potência utilizada pelo aparelho, 
medida em watts (W), e também ao tempo que esse aparelho 
permanece ligado durante o mês. Certo consumidor possui um 
chuveiro elétrico com potência máxima de 3.600 W e um 
televisor com potência máxima de 100 W. Em certo mês, a 
família do consumidor utilizou esse chuveiro elétrico durante 
um tempo total de 5 horas e esse televisor durante um tempo 
total de 60 horas, ambos em suas potências máximas. 
 
Qual a razão entre o valor cobrado pelo uso do chuveiro e o valor 
cobrado pelo uso do televisor? 
a) 1:1.200 
b) 1:12 
c) 3 :1 
d) 36 :1 
e) 432 :1 
 
9. (Pucrj 2015) Os sócios de uma empresa decidem dividir o 
lucro de um determinado período, pelos seus três gerentes, de 
modo que cada um receba uma parte diretamente proporcional 
ao seu tempo de serviço. Sabendo que o lucro que será dividido 
é de R$ 18.500,00 e que o tempo de serviço de cada um deles 
é, respectivamente 5, 7 e 8 anos, podemos afirmar que o mais 
antigo na empresa receberá: 
 
a) R$ 4625,00 
b) R$ 5125,00c) R$ 6475,00 
d) R$ 7400,00 
e) R$ 9250,00 
10. (Enem 2013) Para se construir um contra piso, é comum, na 
constituição do concreto, se utilizar cimento, areia e brita, na 
seguinte proporção: 1 parte de cimento, 4 partes de areia e 2 
partes de brita. Para construir o contra piso de uma garagem, 
uma construtora encomendou um caminhão betoneira com 
14m3 de concreto. 
Qual é o volume de cimento, em m3, na carga de concreto 
trazido pela betoneira? 
 
a) 1,75 b) 2,00 c) 2,33 d) 4,00 e) 8,00 
 
 
11. (G1 - cftmg 2011) Uma herança de R$60.000,00 foi dividida 
entre três filhos A, B e C, de maneira inversamente proporcional 
às respectivas idades 10, 15 e 18 anos. A quantia, em reais, que 
o filho B recebeu foi 
 
a) 12.000,00 
b) 14.000,00 
c) 18.000,00 
d) 27.000,00 
 
12. (Enem 2019) Para contratar três máquinas que farão o 
reparo de vias rurais de um município, a prefeitura elaborou um 
edital que, entre outras cláusulas, previa: 
-Cada empresa interessada só pode cadastrar uma única máquina 
para concorrer ao edital; 
-O total de recursos destinados para contratar o conjunto das 
três máquinas é de R$ 31 000,00; 
-O valor a ser pago a cada empresa será inversamente 
proporcional à idade de uso da máquina cadastrada pela 
empresa para o presente edital. 
 
As três empresas vencedoras do edital cadastraram máquinas com 
2, 3 e 5 anos de idade de uso. 
Quanto receberá a empresa que cadastrou a máquina com 
maior idade de uso? 
 
a) R$ 3 100,00 
b) R$ 6 000,00 
c) R$ 6 200,00 
d) R$ 15 000,00 
e) R$ 15 500,00 
 
13. (Enem 2020) Antônio, Joaquim e José são sócios de uma 
empresa cujo capital é dividido, entre os três, em partes 
proporcionais a: 4, 6 e 6, respectivamente. Com a intenção de 
igualar a participação dos três sócios no capital da empresa, 
Antônio pretende adquirir uma fração do capital de cada um dos 
outros dois sócios. 
 
A fração do capital de cada sócio que Antônio deverá adquirir é 
a) 
1
2
 
b) 
1
3
 
c) 
1
9
 
d) 
2
3
 
e) 
4
3