ATIVIDADE 4 - CÁLCULO AVANÇADO COM NÚMEROS COMPLEXOS

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1) O módulo e o conjugado de um número complexo têm uma relação direta. Para todo número complexo  é possível definir o seu módulo como . Para a função exponencial complexa, essa relação é dada da seguinte maneira: para todo 
Como  obtém-se:
Por fim, como , tem-se que:
.
 
Com base nessas informações e nos conteúdos estudados, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) eFpara a(s) falsa(s).
 
I. ( ) Para quaisquer complexos , 
II. (  ) Se  são tais que  e , .
III. (  ) Para quaisquer complexos , 
IV. (  ) Para quaisquer complexos , 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
2) Leia o excerto a seguir:
“As funções hiperbólicas, seno e cosseno, são definidas, como no caso de variáveis reais, pelas seguintes expressões:
Como se vê, seus valores são reais para valores reais de . Elas surgem naturalmente quando se procura separar as partes real e imaginária das funções e .”
 
ÁVILA, G. Variáveis complexas e aplicações. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008. p. 64.
 
Com base nessas informações, sobre as funções trigonométricas complexas, assinale a alternativa correta:
3) Leia o excerto a seguir:
“Usando as equações de Cauchy-Riemann na forma polar, é fácil verificar que qualquer ramo do logaritmo é uma função analítica em seu domínio (do qual se exclui o raio que produz o corte, para que seu domínio seja um conjunto aberto). Vamos calcular sua derivada:
Substituindo os valores  e  [...], efetuando os cálculos e simplificando, obtemos:
”
 
 
ÁVILA, G. Variáveis complexas e aplicações. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008. p. 67.
 
Com base no trecho apresentado anteriormente, sobre analiticidade da função logarítmica complexa e considerando  como a função logarítmica complexa em seu ramo principal, ou seja, , analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) eFpara a(s) falsa(s).
 
I. (  ) A função  é analítica em toda parte, exceto no conjunto .
II. (  ) A função  é analítica em toda parte.
III. (  ) A função  é analítica no conjunto .
IV. (  ) A função  é analítica em qualquer aberto  do plano complexo tal que .
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
4) O valor absoluto (ou módulo) de uma aplicação exponencial complexa determina o tamanho do vetor resultante dessa transformação. Note que a função que determina o módulo de um número complexo tem sua imagem nos reais; e, por isso, é possível obter uma relação de ordem entre seus elementos.
 
Considerando o trecho apresentado, sobre o módulo da função exponencial, analise as afirmativas a seguir:
 
I. Para todo número complexo , .
II. Se  e , .
III. Para  , .
IV. Para a sequência  definida por , .
 
Está correto apenas o que se afirma em:
5) Leia o excerto a seguir:
“As derivadas de  de  podem ser usadas para mostrar que as derivadas de todas as funções trigonométricas complexas têm as mesmas expressões que as das correspondentes funções trigonométricas reais. [...] As funções seno e cosseno são inteiras, mas as funções tangente, cotangente, secante e cossecante são analíticas apenas nos pontos em que o denominador é não nulo.”
 
ZILL, D. G.; SHANAHAN, P. D. Curso introdutório à análise complexa com aplicações. 2. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2011. p. 154.
 
Com base no trecho apresentado anteriormente, sobre derivadas e analiticidade de funções trigonométricas complexas, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) eFpara a(s) falsa(s).
 
I. ( ) .
II. (  ) .
III. (  ) .
IV. (  ) .
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
6) Leia o excerto a seguir:
“Seja  aberto, uma função complexa.  é holomorfa
em  se  existe para todo ponto .
[...]
Observe que, [...] dizer que  é holomorfa em  é o mesmo que dizer que  em todos os pontos de . Isso ‘esclarece’ a afirmativa [...] de que uma função é holomorfa quando não depende da variável .”
 
SOARES, M. G. Cálculo em uma variável complexa. 5. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2009. p. 46-47.
 
Considerando o trecho apresentado, sobre a analiticidade da função exponencial complexa, analise as afirmativas a seguir:
 
I. Se  é uma função analítica,  também o é.
II. As funções  e  são analíticas.
III. A função  é analítica, mas não satisfaz uma das condições de Cauchy-Riemann em seu domínio.
IV. A função  não é holomorfa.
 
Está correto o que se afirma em:
7) Leia o excerto a seguir:
“[...] as propriedades da exponencial complexa coincidiram com as da exponencial real. As diferenças começam na extração de raízes [...], pois se  é um inteiro positivo então, para cada  existem  números complexos  satisfazendo .”
 
SOARES, M. G. Cálculo em uma variável complexa. 5. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2009. p. 49.
 
Considerando o trecho apresentado, sobre as propriedades algébricas da função exponencial, analise as afirmativas a seguir:
 
I.  e para .
II. 
III. 
IV.  existe um complexo  tal que 
 
Está correto apenas o que se afirma em:
8) Leia o excerto a seguir:
 “Existem outras propriedades importantes de  que são esperadas. [...] por exemplo,
em cada ponto  do plano complexo. Observe que a derivabilidade de  em cada  nos diz que  é uma função inteira.
Por outro lado, algumas propriedades de  não são
esperadas. Por exemplo, como
  e 
vemos que  é periódica, com um período puramente imaginário 
”
 
BROWN, J. W.; CHURCHILL, R. V. Variáveis complexas e aplicações. Porto Alegre: AMGH, 2015. p. 88.
 
Com base no trecho apresentado anteriormente, sobre as propriedades da função exponencial complexa, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) eFpara a(s) falsa(s).
 
I. ( ) A função exponencial complexa não pode resultar em número negativo.
II. (  ) A imagem da função exponencial complexa é o plano complexo ℂ.
III. (  ) Para todo é correto afirmar que 
IV. ( ) Para todo número complexo ,  se e somente se .
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
9) Leia o excerto a seguir:
“Pela fórmula de Euler [...], temos que
 e 
com qualquer número real . Segue que
 e 
ou então
 e 
 
Dessa forma, é natural definir as funções seno e cosseno de uma variável complexa por
  e .”
 
BROWN, J. W.; CHURCHILL, R. V. Variáveis complexas e aplicações. Porto Alegre: AMGH, 2015. p. 104.
 
Considerando o trecho apresentado, sobre a definição de funções trigonométricas complexas, analise as afirmativas a seguir:
 
I. Se  são complexos quaisquer, tais que , ao menos um dos números  e  é um múltiplo inteiro de 
II. Se  é um polinômio complexo, para qualquer  .
III. As raízes da equação  são os números complexos  e , para todo .
IV.  se e somente se  pertencer ao conjunto . Ainda,  em todo plano complexo.
 
Está correto o que se afirma em:
10) Considere dois números complexos  e , o primeiro escrito na forma polar complexa, e o segundo, na forma usual. A motivação da definição da função logaritmo é a resolução da equação
Da igualdade de dois números complexos, obtém-se:
 e  
obtendo-se, assim, ; e, reescrevendo w, tem-se que 
Portanto, aplicando a função  em ambos os lados da igualdade  obtém-se:
 
Com base nessas informações e no conteúdo estudado, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) eFpara a(s) falsa(s).
 
I. (   ) Se  e .
II. (  ) Se  é um número complexo, .
III. (  ) Para qualquer número inteiro , .
IV. (  ) Para todo número complexo , .
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: