calculo avançado numeros complexos e equações diferenciais av-2

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1Considere uma função complexa f(z) = f(x, y) = u(x, y) + i v(x, y) com z a variável complexa dada por z = x + iy, u(x, y) a parte real da função f e v(x, y) a parte imaginária de f. Sobre o exposto, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas: ( ) A função f é derivável se existe as derivadas parciais de u e v e vale as equações de Cauchy-Riemann. ( ) Se f satisfazer as equações de Cauchy-Riemann, então f não é derivável. ( ) Se f e g são analíticas então nem a divisão nem a multiplicação de f por g é analítica. ( ) A função f é analítica no ponto z se ela é derivável em todos os pontos de alguma bola aberta centrada em z. ( ) A função f é dita inteira se seu domínio é todo o conjunto dos números complexos e f é derivável em todos do domínio. Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A
V - F - F - V - V.
B
F - F - V - F - V.
C
F - V - V - F - F.
D
V - V - F - V - F.
2Usando as propriedades de funções harmônicas, podemos encontrar a parte imaginária de uma função analítica sabendo sua parte real. A parte imaginária da função analítica que tem como parte real
A
Somente a opção I está correta.
B
Somente a opção II está correta.
C
Somente a opção III está correta.
D
Somente a opção IV está correta.
3Sabemos que encontrar a solução particular de uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes depende da natureza das raízes da equação característica associada a essa equação diferencial e também das condições iniciais. Qual das alternativas é a solução particular do PVI:
A
Somente a opção I está correta.
B
Somente a opção II está correta.
C
Somente a opção III está correta.
D
Somente a opção IV está correta.
4Algumas propriedades como ordem e linearidade são essenciais para definirmos qual método é mais adequado na resolução da equação diferencial. Determine se a equação diferencial a seguir é parcial ou ordinária, qual a sua ordem e se ela é linear ou não:
A
A Equação Diferencial é parcial, linear e sua ordem é 3.
B
A Equação Diferencial é parcial, não linear e sua ordem é 2.
C
A Equação Diferencial é ordinária, não linear e sua ordem é 3.
D
A Equação Diferencial é ordinária, linear e sua ordem é 2.
5Sabendo a forma algébrica de um número complexo, podemos reescrevê-lo também na forma trigonométrica. A forma trigonométrica do número complexos
A
Somente a opção IV está correta.
B
Somente a opção I está correta.
C
Somente a opção III está correta.
D
Somente a opção II está correta.
6A regra de L'Hospital é uma regra utilizada para calcular de forma mais simples limites que são indeterminações do tipo 0 divido por 0 ou infinito dividido por infinito; essa regra consiste em derivar o numerador e denominador de uma fração separadamente até que o limite seja possível de calcular. Utilizando a Regra de L'Hospital, temos que
A
Somente a opção II está correta.
B
Somente a opção III está correta.
C
Somente a opção IV está correta.
D
Somente a opção I está correta.
7O número complexo i é definido como sendo a raiz quadrada de - 1, sabemos que no conjunto dos números reais essa raiz quadrada não tem solução, por isso a necessidade de aumentarmos o conjunto dos números reais. Determine as raízes da equação do segundo grau x² - 4x + 5 = 0 e assinale a alternativa CORRETA:
A
As raízes são - 2 + i e - 2 - i.
B
As raízes são 2 + i e 2 - i.
C
As raízes são 1 e 3.
D
As raízes são - 1 e - 3.
8Toda série de potência pode convergir ou não, a sua convergência pode ser determinada por alguns métodos, esses métodos fornecem um raio de convergência. Sobre o raio de convergência de uma série de potência centrada em 0, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas: ( ) Se o raio de convergência é igual a zero então a série de potência converge apenas no ponto 0. ( ) Se o raio de convergência é infinito, dizemos que a série não converge em nenhum ponto. ( ) Se o raio de convergência é R, então a série converge para todo x maior que R. ( ) Se o raio de convergência é R, então a série converge para - R < x < R. Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A
V - F - V - F.
B
V - F - F - V.
C
F - V - F - V
D
F - V - V - F.
9A fórmula de Euler permite reescrever as funções trigonométricas e trigonométricas hiperbólicas como soma de funções exponenciais. Utilizando a representação na forma exponencial, podemos afirmar que
A
Somente a opção III está correta.
B
Somente a opção I está correta.
C
Somente a opção IV está correta.
D
Somente a opção II está correta.
10É muito comum no estudo de Equações Diferenciais aparecer constantes que dependam do material, no caso da Equação Diferencial do calor o material interfere na condução do calor, por isso faz-se necessário o estudo para verificar quais constantes retornam uma solução não nula. Faça a análise do problema de valor de contorno:
A
Somente a opção IV está correta.
B
Somente a opção III está correta.
C
Somente a opção II está correta.
D
Somente a opção I está correta.
11(ENADE, 2011) O conjunto dos números complexos pode ser representado geometricamente no plano cartesiano de coordenadas xOy por meio da seguinte identificação:
A
II e III, apenas.
B
II, apenas.
C
I, apenas.
D
I e III, apenas.
12(ENADE, 2014) Os números complexos possuem diferentes representações, tais como: algébrica, geométrica e trigonométrica, conforme ilustra o quadro anexo. Considerando as diferentes representações dos números complexos e o seu ensino, avalie as afirmações a seguir: I- A forma algébrica dos números complexos é a única representação presente nos livros didáticos do ensino médio. II- Historicamente, os números complexos surgiram da tentativa de resolução de equações polinomiais do 2º grau com discriminante negativo. III- O ensino da forma trigonométrica dos números complexos facilita a compreensão do significado geométrico da operação de multiplicação de complexos: rotação de pontos (ou vetores) no plano. IV- A cada número real corresponde um número complexo z = rho (cos(theta) + i sen(theta)), com theta = 0°. É correto o que se afirma em:
A
I, apenas.
B
I, II e IV apenas.
C
II, III e IV apenas.
D
III, apenas