Atividade 2 - CÁLCULO AVANÇADO COM NÚMEROS COMPLEXOS

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Leia o trecho a seguir:
“Para estudar a aplicação  em que  é uma constante complexa não nula e , escrevemos  e  em forma exponencial: 
Então, [...] A aplicação  em que  é uma constante complexa qualquer, é uma translação pelo vetor que representa .
Ou seja, se  então, a imagem de qualquer ponto  do plano  é o ponto  do plano ”.
 
BROWN, J. W.; CHURCHILL, R. V. Variáveis complexas e aplicações. Porto Alegre: AMGH, 2015. p. 300.
 
Considerando o trecho apresentado, sobre definição da transformação linear geral nos complexos, analise as afirmativas a seguir:
 
I. A transformação  é uma transformação linear.
II. A transformação linear  expande o módulo de um número complexo não nulo por um fator de  e rotaciona esse número complexo, no sentido anti-horário, em  radianos, em torno da origem.
III. Seja  uma transformação linear, com  e . Então,  se e somente se  e .
IV. A transformação , para  qualquer, é uma transformação linear.
 
Está correto o que se afirma em:
Leia o trecho a seguir:
“A noção de função complexa envolve naturalmente a consideração de 2 variáveis reais. De fato, em linguagem recorrente, uma função complexa da variável complexa é uma correspondência  que associa ao número  um único número complexo , chamado a imagem de  por , ”.
 
SOARES, M. G. Cálculo em uma variável complexa. 5. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2009. p. 34.
 
Considerando o trecho apresentado, sobre a noção de função complexa, analise as afirmativas a seguir:
 
I. A imagem da função , definida por , é o conjunto dos números reais 
II. Se  é um número complexo qualquer, então a função , definida por , é nula para todo eixo imaginário.
III. A função , definida por , também pode ser definida pela expressão 
IV. A imagem da função , definida por , é o próprio conjunto  
 
Está correto o que se afirma em:
Leia o excerto a seguir:
“[...] uma função potência complexa é uma função da forma  onde  é uma constante complexa. Se  for um inteiro, a função potência pode ser calculada com as operações algébricas sobre os números complexos [...]. Podemos, também, usar as fórmulas para raízes de números complexos [...] para definir funções potências com expoentes fracionários da forma ”.
 
ZILL, D. G.; SHANAHAN, P. D. Curso introdutório à análise complexa com aplicações. 2. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2011. p. 61.
 
Com base no trecho apresentado anteriormente, sobre as funções potência especiais, e considerando que  analise as afirmativas a seguir e assinale V
para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
 
I. (  ) Se  para , então 
II. (  ) O triângulo , cujos vértices são os complexos ,  e , é transformado, pela função potência , no triângulo , cujos vértices são os complexos  e 
III. (  ) Se  é um número complexo qualquer, então a transformação  leva  em 
IV. (  ) Para todo , a aplicação  é tal que .
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
A dilatação de um número complexo é uma mudança de escala deste número. Dada uma transformação de dilatação  e um número complexo qualquer , se  e , para  então existe um  tal que  e 
 
Com base nas informações apresentadas anteriormente, sobre as aplicações de dilatação no plano complexo, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
 
I. ( ) Se  é uma transformação de dilatação não nula, então se e somente se 
II. (  )  Se  é uma transformação de dilatação dada por , então 
III. (  ) Se  é uma transformação de dilatação qualquer dada por  então existe uma outra transformação de dilatação , dada por  tal que 
IV. (  ) Se  é uma transformação de dilatação não nula, restrita ao subconjunto dos complexos  então  pertence ao eixo real se e somente se .
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
Leia o trecho a seguir:
“[...] seja  um conjunto de números complexos e seja  uma lei que faz corresponder, a cada elemento  do conjunto , um único número complexo, que denotamos por . Nestas condições, diz-se que  é uma função com domínio . O conjunto  dos valores , correspondentes a todos os valores de  em , e chamado a imagem de D pela função ”.
 
ÁVILA, G. Variáveis complexas e aplicações. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008. p. 34.
 
Com base nessas informações e no conteúdo estudado, assinale a alternativa correta.
Leia o excerto a seguir:
“Termos como translação, rotação e reflexão são usados para transmitir as características geométricas dominantes de certas aplicações. [...] Por exemplo, a aplicação
,
em que , pode ser vista como uma translação de cada ponto  uma unidade para a direita”.
 
BROWN, J. W.; CHURCHILL, R. V. Variáveis complexas e aplicações. Porto Alegre: AMGH, 2015. p. 39.
 
Com base nas informações apresentadas anteriormente, sobre as translações no plano complexo, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
 
I. (   ) A aplicação , para todo , é uma translação de 4 unidades para a esquerda, no eixo real, e de 5 unidades para cima, no eixo imaginário.
II. (  ) Se  é uma translação qualquer no plano complexo, então existe uma aplicação, tal que .
III. (  ) A aplicação , para todo , é uma translação de 9 unidades para a esquerda, no eixo real, e de 5 unidades para cima, no eixo imaginário.
IV. (  ) Seja  reais quaisquer,  uma translação, definida por . Então,  se e somente se  
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
Leia o excerto a seguir:
“A trigonometria nos diz que  tem a propriedade aditiva conhecida da função exponencial do Cálculo
 
	
	
	
	 
	
	
	 
	 
	
Assim, se  e , então o produto  tem a forma exponencial
Além disso,
”.
 
BROWN, J. W.; CHURCHILL, R. V. Variáveis complexas e aplicações. Porto Alegre: AMGH, 2015. p. 20.
 
Com base no trecho apresentado anteriormente, sobre a propriedade de produto e a divisão de números complexos em sua forma exponencial, e considerando que , analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
 
I. ( ) Se  e , então .
II. (  ) Se , então 
III. (  ) 
IV. (  ) Para todo  e , 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
Leia o trecho a seguir:
“Uma função complexa linear é denominada rotação. [...] Tenhamos em mente que a constante  [...] é uma constante complexa. Se  for um número complexo não nulo qualquer,  é um número complexo com . Portanto, para qualquer número complexo não nulo ,  é uma rotação”.
 
ZILL, D. G.; SHANAHAN, P. D. Curso introdutório à análise complexa com aplicações. 2. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2011. p. 53.
 
Considerando o trecho apresentado, sobre a aplicação de rotação no plano complexo, analise as afirmativas a seguir:
 
I.  Se  são números complexos, com  e , então a função  é uma rotação e 
II. A transformação , definida por , leva o complexo  no complexo 
III. Se  é uma rotação qualquer no plano complexo, então 
IV. Se  é uma rotação no plano complexo, então 
 
Está correto apenas o que se afirma em:
Leia o trecho a seguir:
“A representação paramétrica  ordena os pontos  de acordo com os valores crescentes de  de forma que  é um conjunto ordenado ou orientado [...].
[...] chama-se [...] arco simples aquele em que cada ponto  corresponde a um único valor de . Quando o arco não é simples, ele contém ao menos um ponto múltiplo, assim designado todo ponto proveniente de dois ou mais valores distintos do parâmetro ”.
 
ÁVILA, G. Variáveis complexas e aplicações. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008. p. 75-76.
 
Considerando o trecho apresentado, sobre definição de arco, arco simples e arco não simples, analise as afirmativas a seguir:
 
I. O círculo unitário definido pela representação paramétrica  é um arco simples.
II. O número complexo  é um ponto múltiplo da curva definida pela parametrização .
III. O limaçon de Pascal, definido pela equação paramétrica  e é uma curva paramétrica não simples.
IV. Um círculo qualquer no plano complexo, de equação paramétrica ,  tem finitos pontos múltiplos.
 
Está correto o que se afirma em:
A figura mostra uma composição de rotação,dilatação e translação, aplicadas a um retângulo pertencente ao plano complexo. O retângulo  é o resultado da aplicação de uma rotação  (. O retângulo  é o resultado da aplicação de uma dilatação , no retângulo  ( Por fim, o retângulo  é a aplicação de uma translação , no retângulo  ( Note que, se definirmos uma função , obtém-se que 
 
Fonte: Elaborada pelo autor.
#PraCegoVer: a imagem mostra um gráfico, que representa o plano complexo, e quatro retângulos, definidos nesse plano. O retângulo é o retângulo em sua posição inicial, à esquerda do eixo imaginário e dividido ao meio pelo eixo real. O retângulo  está acima do eixo real e dividido ao meio pelo eixo imaginário, tendo o mesmo tamanho do retângulo inicial. O retângulo  está logo abaixo do retângulo  ainda acima do eixo real e dividido ao meio pelo eixo imaginário, porém, com uma escala menor do que o retângulo . O retângulo  está à direita do eixo imaginário e acima do eixo real e tem o mesmo tamanho do retângulo  Os retângulos estão com uma opacidade reduzida, enquanto o  está mais evidente.
 
Com base nessas informações e nos conteúdos estudados, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
 
I. ( ) A função complexa  é uma composição entre uma translação e uma rotação.
II. (  ) A função  é apenas uma translação.
III. (  ) A função  é uma composição entre uma dilatação e uma translação.
IV. (  )  Toda rotação em , seguida de uma translação por , leva todo número complexo do eixo real para um número complexo no eixo imaginário.
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: