Atividade 2 - CÁLCULO APLICADO VÁRIAS VARIÁVEIS

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Usuário FERNANDO IRINEU DOS SANTOS
Curso GRA1594 CÁLCULO APLICADO VÁRIAS VARIÁVEIS GR0551211 -
202110.ead-29779045.06
Teste ATIVIDADE 2 (A2)
Iniciado 10/02/21 18:02
Enviado 15/02/21 19:06
Status Completada
Resultado da
tentativa
10 em 10 pontos  
Tempo decorrido 121 horas, 3 minutos
Resultados
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Respostas enviadas, Respostas corretas, Comentários
Pergunta 1
Resposta
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da
resposta:
A lei dos gases ideais é uma função que relaciona as grandezas de temperatura (T),
pressão (P) e volume (V) de um gás ideal. Expressando essa lei como a função
 , onde  é uma constante dada, considere um gás com o volume de 
 sob uma pressão de . O volume está aumentando a uma taxa de  e a
pressão está decrescendo a uma taxa de  por segundo. 
  
Assinale a alternativa que representa a taxa de variação da temperatura considerando
as informações anteriores. (Use ). 
  
  
A temperatura está diminuindo a uma taxa de  por segundo no instante
dado.
A temperatura está diminuindo a uma taxa de  por segundo no
instante dado.
Resposta correta. A alternativa está correta. Pela lei dos gases ideais ,
onde , temos . Pelas informações do enunciado, temos
, ,  e . Derivando a função  com
relação ao tempo , pela regra da cadeia, temos: , onde 
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 e . Assim, .
Portanto, a temperatura está diminuindo a uma taxa de  por segundo no
instante dado.
Pergunta 2
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Comentário
da
resposta:
Para determinar a equação de um plano, precisamos conhecer um vetor normal a ele e
um ponto pertencente a ele. Dado que o vetor gradiente é perpendicular à curva de
nível  que passa por um P, para determinar a equação de um plano tangente
à função  no ponto P, precisamos conhecer o vetor gradiente da função nesse
ponto. Dessa forma, a equação do plano tangente pode ser escrita como
 . 
A partir dessas considerações, assinale a alternativa que representa a equação do
plano tangente à função  no ponto P(1,-1). 
  
  
Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da função  são:
 e .  Calculando o valor da função e suas derivadas
parciais no ponto P(1,-1) temos: ,  e .
Assim, trocando essas informações na equação do plano
 obtemos 
.
Pergunta 3
O vetor gradiente nos informa a direção na qual a função cresce mais rapidamente em
um dado ponto, sendo que a taxa máxima de aumento é definida como a norma do
vetor gradiente nesse ponto. Considerando a densidade , medida em ,
em todos os pontos de uma placa retangular no plano  dada por ,
assinale a alternativa que corresponde à taxa máxima de aumento da densidade  no
ponto . 
  
  
1 em 1 pontos
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Resposta Correta: 
Comentário
da
resposta:
A taxa máxima de aumento da densidade é .
A taxa máxima de aumento da densidade é .
Resposta correta. A alternativa está correta. A taxa máxima de aumento da
densidade, conforme o enunciado nos traz, é a norma do vetor gradiente no ponto
considerado. Dado que o vetor gradiente no ponto P(1,2) é  e sua
norma é , concluímos que a taxa máxima de
aumento da densidade é .
Pergunta 4
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Comentário da
resposta:
O domínio de uma função corresponde a todos os valores que, ao serem trocados no
lugar da variável (ou variáveis), produzem um resultado válido. Alguns exemplos: em
funções raízes, o domínio corresponde a todos os valores que não geram um valor
negativo dentro da raiz, já no caso de funções quocientes, o domínio corresponde a
todos os valores que não zeraram o denominador. 
  
Com base nessas informações, analise as afirmativas a seguir. 
  
I - O domínio da função  é o conjunto
 . 
II - O domínio da função  é o conjunto
 . 
III - O domínio da função  é o conjunto . 
IV - O domínio da função  é o conjunto . 
  
  
  
I, IV
I, IV
Resposta correta. A alternativa está correta. Avaliando as restrições de cada
função, concluímos que: 
A�rmativa I: Correta. O domínio da função  é o
conjunto . 
A�rmativa IV: Correta. O domínio da função  é o conjunto
.
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Pergunta 5
Resposta
Selecionada:
Resposta Correta:
Comentário da
resposta:
Toda função possui uma característica particular. No caso das funções de duas
variáveis  temos que o domínio desse tipo de função pode ser dado como o
conjunto de pares ordenados  pertencentes ao plano  que satisfazem a lei de
formação da função . Assim, para determinar o domínio da função 
 precisamos verificar se não há restrições para os valores que  e  podem assumir. 
  
Com relação ao domínio de funções, assinale a alternativa correta. 
  
  
O domínio da função  é o conjunto
.
O domínio da função  é o conjunto 
.
Resposta correta. A alternativa está correta. Temos as seguintes restrições
para os valores de  e : 
(I) A expressão dentro da raiz deve ser não negativa, isto é,
 
(II) A expressão do denominador deve ser não nula, isto é,
 
Portanto, a interseção dos conjuntos (I) e (II) resulta em . Logo,
.
Pergunta 6
As derivadas parciais com relação a  e a  fornecem em cada uma delas a inclinação
da reta tangente a uma função de duas variáveis  quando fixadas as direções
que correspondem a cada um desses eixos. No entanto, é possível, também,
determinar a derivada da função  com relação a qualquer direção diferente das
direções paralelas aos eixos coordenados, desde que essa direção seja fornecida por
um vetor unitário. 
  
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Comentário
da
resposta:
Com base nisso, conceituamos a ideia de derivada direcional que pode ser expressa
por . Assinale a alternativa que corresponde à derivada
direcional da função  no ponto  na direção do vetor . 
  
  
Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da função  são:
 e , que implicam que o vetor gradiente seja
. Calculando o vetor gradiente no ponto P, temos que
. Para calcular a derivada direcional, necessitamos de um vetor
unitário, assim, tome . Logo, a derivada direcional
procurada é .
Pergunta 7
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Comentário
da
resposta:
A direção e o sentido de maior decrescimento de uma função em um dado ponto é dada pelo vetor
oposto ao vetor gradiente, visto que esse representa a direção e o sentido de maior crescimento.
Sabendo disso, suponha que a função  represente uma distribuição de
temperatura no plano  (suponha  medida em graus Celsius,  e  medidos em ). 
  
Dado o ponto , assinale a alternativa que corresponde à direção de maior decrescimento da
temperatura e sua taxa de variação mínima. 
  
 
Direção  e taxa mínima de .
Direção  e taxa mínima de .
Resposta correta. A alternativa está correta. A direção de maior decrescimento é
oposta ao vetor gradiente no ponto considerado, isto é . Já a
variação de temperatura é mínima em . (O
sinal negativo apenas indica que a temperatura é mínima).
Pergunta 8
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Resposta Selecionada:
 
Resposta Correta:
 
Comentário
da
resposta:
A derivada direcional é máxima quando o vetor unitário tomado e o vetor gradiente da
função estiverem na mesma direção e sentido, isto é, quando o ângulo entre os dois
vetores é nulo. Essa afirmação nos leva a concluir que a derivada direcional é máxima
para o vetor unitário do vetor gradiente. 
  
A partir do exposto, assinale a alternativa que apresente a direção de máximo
crescimento da função  no ponto P(-1,1). 
  
  
Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da função e o
vetor gradiente são: ,  e
. Logo, . Como a direção de
máximo crescimento se dá no vetor unitário com mesma direção e sentido do vetor
gradiente, temos que o vetor procurado é
.
Pergunta 9
Resposta Selecionada:
 
Resposta Correta:
 
Comentário
da
resposta:
Suponha que  seja uma função diferenciável de  e , tal que . No
entanto,  e  são funções de  expressas por  e . Para se obter
a derivada de  com relação a variável  devemos fazer uso da regra da cadeia. 
Aplicando essa regra corretamente, assinale a alternativa que corresponde à derivada
de  em relação a , isto é, , para quando . 
  
  
Resposta correta. A alternativa está correta. Pela regra da cadeia, temos que
, onde . Assim,
. Dado que , temos
.
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Pergunta 10
O gráfico de uma função de duas variáveis é um conjunto do espaço , enquanto
que o seu domínio é uma região do plano . Para determinar o domínio da função de
duas variáveis , precisamos verificar se não há restrições para os valores que 
 e  podem assumir. 
Com relação ao domínio de uma função de duas variáveis, analise as afirmativas a
seguir. 
  
I. O domínio da função  corresponde à região a seguir. 
 
  
II. O domínio da função  corresponde à região a seguir. 
 
  
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Segunda-feira, 22 de Fevereiro de 2021 19h51min14s BRT
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Resposta Correta: 
Comentário
da
resposta:
III. O domínio da função  corresponde à região a seguir. 
 
  
IV. O domínio da função  corresponde à região a seguir. 
 
  
Assinale a alternativa que apresenta a(s) afirmativa(s) correta(s). 
  
  
I, apenas.
I, apenas.
Resposta correta. A alternativa está correta. Veri�cando as restrições para a função,
temos que apenas a a�rmativa I é verdadeira, pois: 
A�rmativa I: Correta. A função  tem as seguintes restrições
 e , portanto, o domínio da função é o conjunto
, que corresponde à região dada na
a�rmativa.
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