CÁLCULO APLICADO VÁRIAS VARIÁVEIS - ATIVIDADE 2

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1- Considere a função de duas variáveis , tal que as variáveis  e  são funções das variáveis   e , isto é,  e . A derivada da função  com relação à variável  é obtida por meio da regra da cadeia expressa por . Já a derivada de  com relação à variável  é obtida por meio da expressão .
A partir dessa informação, assinale a alternativa que representa a derivada da função  com relação às variáveis  e , sabendo que  e .
2- O vetor gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais de uma função, isto é, dada a função  o vetor gradiente é o vetor . Dado um ponto , o vetor gradiente da função  no ponto P é obtido por meio da seguinte expressão .
 
Assinale a alternativa que corresponde ao vetor gradiente da função  no ponto .
 
3- De acordo com Leithold (1994, p. 975), “qualquer derivada direcional de uma função diferenciável pode ser obtida se multiplicarmos escalarmente o gradiente pelo vetor unitário na direção e sentido desejados”.
 
LEITHOLD, L. Cálculo com geometria analítica. Vol. 2. 3. ed. São Paulo: Harbra, 1994.
 
De acordo com essa definição e considerando a função  e o ponto P(0,1), assinale a alternativa correta.
4- A direção e o sentido de maior decrescimento de uma função em um dado ponto é dada pelo vetor oposto ao vetor gradiente, visto que esse representa a direção e o sentido de maior crescimento. Sabendo disso, suponha que a função  represente uma distribuição de temperatura no plano  (suponha  medida em graus Celsius,  e  medidos em ).
 
Dado o ponto , assinale a alternativa que corresponde à direção de maior decrescimento da temperatura e sua taxa de variação mínima.
5- O gráfico de uma função de duas variáveis é um conjunto do espaço , enquanto que o seu domínio é uma região do plano . Para determinar o domínio da função de duas variáveis , precisamos verificar se não há restrições para os valores que  e  podem assumir.
Com relação ao domínio de uma função de duas variáveis, analise as afirmativas a seguir.
 
I. O domínio da função  corresponde à região a seguir.
 
II. O domínio da função  corresponde à região a seguir.
 
III. O domínio da função  corresponde à região a seguir.
 
IV. O domínio da função  corresponde à região a seguir.
 
Assinale a alternativa que apresenta a(s) afirmativa(s) correta(s).
6- O domínio de uma função corresponde a todos os valores que, ao serem trocados no lugar da variável (ou variáveis), produzem um resultado válido. Alguns exemplos: em funções raízes, o domínio corresponde a todos os valores que não geram um valor negativo dentro da raiz, já no caso de funções quocientes, o domínio corresponde a todos os valores que não zeraram o denominador.
 
Com base nessas informações, analise as afirmativas a seguir.
 
I - O domínio da função  é o conjunto .
II - O domínio da função  é o conjunto .
III - O domínio da função  é o conjunto .
IV - O domínio da função  é o conjunto .
7- O domínio de uma função corresponde a todos os valores que, ao serem trocados no lugar da variável (ou variáveis), produzem um resultado válido. Alguns exemplos: em funções raízes, o domínio corresponde a todos os valores que não geram um valor negativo dentro da raiz, já no caso de funções quocientes, o domínio corresponde a todos os valores que não zeraram o denominador.
 
Com base nessas informações, analise as afirmativas a seguir.
8- Considere a função de duas variáveis , tal que as variáveis  e  são funções da variável , isto é,  e . A derivada da função  com relação à variável  é obtida por meio da regra da cadeia expressa por . Pela regra da cadeia, podemos notar que precisamos das derivadas parciais da função  com relação às variáveis  e  e precisamos das derivadas das funções  e  com relação à variável .
 
A partir dessa informação, assinale a alternativa que representa a derivada da função  com relação à variável , sabendo que  e .
 
9- Esboçar o gráfico de uma função de duas variáveis sem o auxílio de um software pode ser trabalhoso às vezes. Para contornar esse problema, outro recurso que podemos utilizar para visualizar geometricamente o comportamento da função é o conceito de curva de nível.
 
A respeito das curvas de nível, assinale a alternativa correta.
 
10- A derivada direcional é uma taxa de variação que nos diz qual é o valor de aumento ou decrescimento da função em uma dada direção a partir de um ponto. Considere, então, a seguinte situação: A temperatura em cada ponto de uma placa retangular é determinada por meio da função .
 
Assinale a alternativa que representa a taxa de variação da temperatura no ponto  na direção do vetor .