ATIVIDADE A4 - CÁLCULO APLICADO VÁRIAS VARIÁVEIS

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1 - Em um circuito elétrico, tem-se que o gerador fornece uma voltagem constante de um capacitor 
com capacitância de e um resistor com uma resistência de . Sabe-se que esse circuito pode ser 
modelado matematicamente por meio da seguinte equação diferencial: , onde é a carga, 
medida em coulombs. 
 
Dado que , assinale a alternativa correta. 
 
Resposta correta. A alternativa está correta. A função corrente é a derivada da função carga, isto é ,
. A EDO é uma equação linear de primeira ordem cuja solução pode ser expressa por
. Dada a EDO , temos que e
. Portanto, sua solução geral é
. Como , segue 
que e, assim, a função carga é expressa por . Por fim, concluímos que a função 
corrente é . 
 
2 - A lei de resfriamento de Newton nos permite calcular a taxa de variação da temperatura de um corpo em 
resfriamento. Considere a seguinte situação: Um cozinheiro fez um bolo de chocolate. Ao retirar do forno, o 
bolo apresentava uma temperatura de 150°C. Passados quatro minutos, essa temperatura caiu para 90 °C. 
Sabendo que a temperatura do ambiente é de 25°C, calcule quanto tempo levará para que o bolo esfrie até a 
temperatura de 30 °C. 
 
Assinale a alternativa correta. 
 
Resposta correta. A alternativa está correta. A equação de resfriamento do bolo pode ser descrita pela 
equação diferencial onde e são fornecidas as seguintes informações:
 e . Nosso problema consiste em determinar o tempo , em minutos, tal que
. Resolvendo a equação diferencial, temos
 
, onde . Das condições e vamos 
determinar as constantes e . De temos . De , temos . Portanto, a 
função temperatura do bolo é . Vamos determinar agora o tempo para o qual a 
temperatura é 30ºC. De , temos . 
 
3 - Uma equação diferencial pode ser classificada de acordo com a sua linearidade em equação diferencial 
linear e equação diferencial não linear. As equações diferenciais lineares são caracterizadas por duas 
propriedades: Considere que a variável independente é e a variável dependente é , temos que: (i) A variável 
dependente e todas as suas derivadas são do primeiro grau, isto é, possuem grau 1. (ii) Cada coeficiente 
depende apenas da variável independente . 
 
Considere a variável uma função da variável , isto é, . Analise as afirmativas a seguir. 
 
I. A equação diferencial é linear. 
II. A equação diferencial é linear. 
III. A equação diferencial é linear. 
IV. A equação diferencial é linear. 
 
Assinale a alternativa correta. 
 
Resposta correta. A alternativa está correta. De acordo com as condições de linearidade de uma equação 
diferencial, temos que as afirmativas I, III e IV estão corretas, pois em todas elas temos que a variável 
dependente e todas as suas derivadas possuem grau 1, e cada coeficiente depende apenas da variável 
independente . 
 
4 - De acordo com Sodré (2003, p. 5), “se são conhecidas condições adicionais, podemos obter soluções 
particulares para a equação diferencial e, se não são conhecidas condições adicionais, poderemos obter a 
solução geral”. Uma condição adicional que pode ser conhecida é o valor da função em um dado ponto. Assim, 
uma equação diferencial mais essa condição adicional é chamada de Problema de Valor Inicial (PVI). 
 
SODRÉ, U. Notas de aula. Equações diferenciais ordinárias,2003. Disponível em: 
http://www.uel.br/projetos/matessencial/superior/pdfs/edo.pdf. Acesso em: 20 dez. 2019. 
 
Assinale a alternativa que apresenta a solução do PVI: , . 
 
Resposta correta. A alternativa está correta. A equação dada é separável, assim, podemos resolvê-la 
separando as variáveis e , integrando ambos os lados da igualdade em seguida:
. 
Da condição inicial dada, temos que se então . Trocando esses valores na solução, obtemos:
. Portanto, a solução do PVI é . 
 
5 - As equações diferenciais lineares e homogêneas de segunda ordem podem ser expressas por meio da 
seguinte forma: , onde e são funções contínuas. Para resolvermos 
equações desse tipo, precisamos escrever uma equação auxiliar, a qual é uma equação de segundo grau. 
Com relação à solução de equações diferenciais lineares e homogêneas de segunda ordem, analise as 
afirmativas a seguir e assinale V para a(s) Verdadeira(s) e F para a(s) Falsa(s). 
 
I. ( ) A equação auxiliar pode apresentar duas raízes reais distintas. 
II. ( ) A equação auxiliar sempre apresenta raízes reais. 
III. ( ) A equação auxiliar da EDO homogênea de segunda ordem é expressa 
por . 
IV. ( ) A equação auxiliar de raízes complexas e apresenta como solução a função . 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
 
Resposta correta. A alternativa está correta. Com base na teoria das equações diferenciais lineares e 
homogêneas de segunda ordem, temos que, entre as afirmativas apresentadas, apenas a afirmativa I é 
verdadeira, sendo todas as outras falsas. Portanto, a sequência correta é V, F, F, F. 
 
6 - Uma função é considerada solução de uma equação diferencial se, ao trocarmos a função e suas derivadas 
na equação, o resultado obtido for uma igualdade verdadeira. Uma equação diferencial possui uma infinidade 
de funções como solução, caso nenhuma condição seja especificada. Por outro lado, dada uma condição, 
obtém-se uma solução particular para a equação diferencial. 
 
Considere a equação diferencial . Analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) Verdadeira(s) 
e F para a(s) Falsa(s). 
 
I. ( ) Para temos que é solução da equação diferencial dada. 
II. ( ) Para temos que é solução da equação diferencial dada. 
III. ( ) Para , temos que é solução da equação diferencial dada. 
IV. ( ) Para , temos que é solução da equação diferencial dada. 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
 
Resposta correta. A alternativa está correta. Resolvendo a equação diferencial, temos que sua solução geral 
é: . Assim: 
Afirmativa I: Verdadeira. Para , temos que . Portanto, é 
solução da equação diferencial dada. 
Afirmativa II: Verdadeira. Para , temos que . Portanto, é 
solução da equação diferencial dada. 
Afirmativa III: Verdadeira. Para temos que . Portanto,
 é solução da equação diferencial dada. 
 
7 - De acordo com Stewart (2016, p. 543), “a técnica para resolver as equações diferenciais separáveis foi 
primeiro usada por James Bernoulli (em 1690) para resolver um problema sobre pêndulos e por Leibniz (em 
uma carta para Huygens em 1691). John Bernoulli explicou o método geral em um artigo publicado em 1694”. 
 
STEWART, J. Cálculo. São Paulo: Cengage Learning, 2016. 2 v. 
 
Sabe-se que o método de resolução de uma equação diferencial separável é a integração de ambos os 
membros da igualdade, assim, assinale a alternativa que corresponde à solução da equação 
diferencial . 
 
Resposta correta. A alternativa está correta. A equação diferencial dada é uma equação separável. Separando 
as variáveis e , podemos reescrever a equação como . Integrando ambos os lados 
da igualdade, temos . 
 
8 - Uma equação diferencial de variáveis separáveis é toda equação diferencial de primeira ordem e primeiro 
grau que pode ser escrita na forma . O nome separável vem do fato de que a equação 
pode ser separada em uma função de e uma função de . A solução de tal equação é obtida ao integrarmos 
ambos os lados da igualdade. 
 
 
Dado que é uma constante real, assinale a alternativa abaixo que corresponde à solução da equação 
diferencial separável . 
 
Resposta correta. A alternativa está correta. A equação diferencial dada é uma equação separável. Separando 
as variáveis e , podemos reescrever a equação como . Integrando ambos 
os lados da igualdade, temos , onde . 
 
9 - “Uma equação diferencial linear de segunda ordem tem a forma , 
onde e são funções contínuas” (STEWART, 2016, p. 1028). Se , a equação é dita linear 
homogênea, caso contrário, se a equação é dita linear não homogênea. 
 
STEWART, J. Cálculo. 
 
São Paulo: Cengage Learning, 2016. 2 v. 
 
Com relação às equações homogêneas, assinale aalternativa correta: 
 
Resposta correta. A alternativa está correta. Dada a equação diferencial , escrevemos sua 
equação auxiliar . Resolvendo essa equação de segundo grau, obtemos os seguintes valores 
para . Como as raízes são distintas, podemos escrever a solução geral da equação diferencial dada 
como . 
 
10 - A oscilação de uma mola pode ser chamada de movimento harmônico simples, o qual pode ser descrito 
pela equação , onde é uma função do tempo que indica a posição da massa, é a massa da 
mola e é a constante elástica. Para uma mola de comprimento natural de 0,75 m e 5 kg de massa, é 
necessária uma força de 25 N para mantê-la esticada até um comprimento de 1 m. Se a mola for solta com 
velocidade nula ao ser esticada em um comprimento de 1,1 m, qual é a posição da massa após segundos? 
 
Assinale a alternativa correta. (Dica: Lei de Hooke: ). 
 
Resposta correta. A alternativa está correta. O enunciado fornece as seguintes condições: (a mola 
no tempo está esticada em 1,1 m sendo seu comprimento natural de 0,75 m; portanto, está deformada 
em 0,35 m) e (a velocidade inicial da mola é nula; lembre que a função velocidade é a derivada 
primeira da função posição). Pela lei de Hooke, temos que o valor da constante elástica é:
. Tomando e na EDO , obtemos a EDO
. Resolvendo o PVI: , e , temos que a solução geral da EDO 
é e, portanto, a solução do PVI é