PC_2023-1_AD1-Parte1_GABARITO

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AD1-Parte 1 – 2023-1 GABARITO Pré-Cálculo Página 1 de 11 
 
DISCIPLINA PRÉ-CÁLCULO 2023-1 
 Profa. Maria Lúcia Campos 
Profa. Marlene Dieguez 
Parte 1 da Primeira Avaliação a Distância (AD1-Parte 1) 
IMPORTANTE!!! 
Em todas as questões não serão consideradas as respostas se não estiverem acompanhadas dos cálculos ou das 
justificativas para encontrar as respostas. 
Cálculos, justificativas e respostas devem ser MANUSCRITOS. Questões digitadas receberão ZERO. 
Os gráficos devem ser feitos à mão, não será aceito gráfico feito com aplicativo ou com programa computacional. 
Questão 1 [1,0 ponto] 
 Considere 𝑥 ∈ ℝ e a expressão 𝐸(𝑥) =
√(𝑥−1)2−𝑥
𝑥−2
. 
Q1(a) Determine o domínio de 𝐸(𝑥). Simplifique a expressão 𝐸(𝑥) de forma que não apareça raiz 
quadrada na expressão. 
Escreva a expressão em uma das seguintes formas: 
𝐸(𝑥) = {
𝐴(𝑥)
𝑥−2
 𝑠𝑒 𝑥 < 𝑎 𝑒 𝑥 ≠ 2
𝐵(𝑥)
𝑥−2
 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 𝑎
 ou 𝐸(𝑥) = {
𝐴(𝑥)
𝑥−2
 𝑠𝑒 𝑥 < 𝑎
𝐵(𝑥)
𝑥−2
 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 𝑎 𝑒 𝑥 ≠ 2
 
 Qual é o valor de 𝒂? Encontre as expressões 𝑨(𝒙) 𝒆 𝑩(𝒙). 
Q1(b) Resolva a equação 𝐸(𝑥) = 0. 
Q1(c) Analise o sinal de 𝐸(𝑥). 
RESOLUÇÃO: 
Q1(a) Seja 𝐸(𝑥) =
√(𝑥−1)2−𝑥
𝑥−2
 
As restrições do domínio de 𝐸(𝑥) são: radicando (𝑥 − 1)2 ≥ 0 e o denominador 𝑥 − 2 ≠ 0. 
Como (𝑥 − 1)2 ≥ 0 para todo 𝑥 ∈ ℝ e 𝑥 − 2 ≠ 0 ⟺ 𝑥 ≠ 2 , então 
domínio 𝐸(𝑥) = ℝ − {2}. 
Escrevendo a expressão 𝐸(𝑥) de forma que não apareça raiz quadrada na expressão: 
𝐸(𝑥) = 
√(𝑥−1)2−𝑥
𝑥−2
=
|𝑥−1|−𝑥
𝑥−2
= {
−𝑥+1−𝑥
𝑥−2
=
1−2𝑥
𝑥−2
 𝑠𝑒 𝑥 < 1
𝑥−1−𝑥
𝑥−2
=
−1
𝑥−2
 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 1 𝑒 𝑥 ≠ 2
 
√(𝑥−1)2−𝑥
𝑥−2
= {
1−2𝑥
𝑥−2
 𝑠𝑒 𝑥 < 1
−1
𝑥−2
 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 1 𝑒 𝑥 ≠ 2
 Logo, 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
AD1-Parte 1 – 2023-1 GABARITO Pré-Cálculo Página 2 de 11 
𝐸(𝑥) = {
1 − 2𝑥
𝑥 − 2
 𝑠𝑒 𝑥 < 1
−1
𝑥 − 2
 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 1 𝑒 𝑥 ≠ 2
 
Portanto, 𝑎 = 2 , 𝐴(𝑥) = 1 − 2𝑥 𝑒 𝐵(𝑥) = −1. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Q1(b) Resolva a equação 𝐸(𝑥) = 0. 
▪ Se 𝑥 < 1 
√(𝑥−1)2−𝑥
𝑥−2
=
1−2𝑥
𝑥−2
= 0, 𝑠𝑒 𝑥 < 1 ⟺ 1 − 2𝑥 = 0 , 𝑠𝑒 𝑥 < 1 ⟺ 𝑥 =
1
2
, 𝑠𝑒 𝑥 < 1 ⟺ 𝑥 =
1
2
 
Como 
1
2
< 1 , então 𝑥 =
1
2
 é solução de 𝐸(𝑥) = 0. 
▪ Se 𝑥 ≥ 1 
√(𝑥−1)2−𝑥
𝑥−2
=
−1
𝑥−2
= 0, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 1 𝑒 𝑥 ≠ 2 ⟺ −1 = 0 , 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 1 𝑒 𝑥 ≠ 2 
Não tem solução, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 1 𝑒 𝑥 ≠ 2. 
Logo, 𝐸(𝑥) = 0 ⟺ 𝑥 =
1
2
 . 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Q1(c) Analisando o sinal de 𝐸(𝑥). 
Se 𝑥 < 1, 
√(𝑥−1)2−𝑥
𝑥−2
=
1−2𝑥
𝑥−2
, 
Se 𝑥 < 1, tabela de sinais 
Valores de 𝑥 (−∞ ,
1
2
) 
1
2
 (
1
2
 , 1) 
1 − 2𝑥 + + + 0 − − − 
𝑥 − 2 − − − − − − − − − 
𝐸(𝑥) =
1 − 2𝑥
𝑥 − 2
 
− − − 0 + + + 
Se 𝑥 ≥ 1 𝑒 𝑥 ≠ 2, 
√(𝑥−1)2−𝑥
𝑥−2
=
−1
𝑥−2
 
 
Se 𝑥 ≥ 1 𝑒 𝑥 ≠ 2, tabela de sinais 
AD1-Parte 1 – 2023-1 GABARITO Pré-Cálculo Página 3 de 11 
Valores de 𝑥 [1 , 2) 2 (2 , ∞) 
−1 − − − − − − − − − 
𝑥 − 2 − − − 0 + + + 
𝐸(𝑥) =
−1
𝑥 − 2
 
+ + + 𝑛𝑑 − − − 
Conclusão 
𝐸(𝑥) = 0 ⟺ 𝑥 =
1
2
 
𝐸(𝑥) > 0 ⟺ 
1
2
< 𝑥 < 1 ou 1 ≤ 𝑥 < 2 ⟺ 
1
2
< 𝑥 < 2 ⟺ 𝑥 ∈ (
1
2
, 2) 
𝐸(𝑥) < 0 ⟺ −∞ < 𝑥 <
1
2
 ou 2 < 𝑥 < ∞ ⟺ 𝑥 ∈ (−∞ ,
1
2
) ∪ (2 , ∞) 
_____________________________________________________________________________________ 
Questão 2 [1,5 ponto] 
Considere as funções 𝑚(𝑥) = 8 − 2|𝑥 − 4| e 𝑡(𝑥) =
2
5
(𝑥2 − 6𝑥 + 10) , 𝑥 ∈ ℝ. 
Q2(a) Se possível, obtenha as coordenadas dos pontos de interseção do gráfico de 𝑦 = 𝑚(𝑥) com o 
eixo 𝑥 e com o eixo 𝑦. Usando a definição de módulo, esboce o gráfico da função 𝑦 = 𝑚(𝑥). 
Explique como usou a definição. Indique no gráfico as coordenadas dos pontos de interseção do 
gráfico de 𝑦 = 𝑚(𝑥) com os eixos coordenados, quando existirem. 
Q2(b) O gráfico de 𝑦 = 𝑡(𝑥) é uma parábola. Descreva como é possível determinar o vértice. 
Determine o vértice da parábola. Se possível, obtenha as coordenadas dos pontos de interseção do 
gráfico com o eixo 𝒙 e com o eixo 𝒚. Esboce o gráfico de 𝑦 = 𝑡(𝑥). Indique no gráfico as 
coordenadas do vértice e outros dois pontos da parábola, escolhidos por você. 
Q2(c) Esboce o gráfico de 𝒚 = 𝒎(𝒙) e o gráfico de 𝒕(𝒙) no mesmo par de eixos coordenados. 
Obtenha e indique os pontos de interseção dos dois gráficos. 
Q2(d) Observando os gráficos do item anterior, resolva a inequação 𝑚(𝑥) ≥ 𝑡(𝑥). 
RESOLUÇÃO: 
Q2(a) 
Seja 𝑚(𝑥) = 8 − 2|𝑥 − 4| , 𝑥 ∈ ℝ 
✓ Determinando as coordenadas da interseção do gráfico da função 𝒎 com o eixo 𝒚: 
Fazendo 𝑥 = 0 , temos, 𝑚(0) = 8 − 2|0 − 4| = 8 − 2|−4| = 8 − 2 ∙ 4 = 0 
 
Portanto o gráfico da função 𝑚 corta o eixo 𝒚 no ponto (𝟎 , 𝟎 ). 
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✓ Determinando as coordenadas da interseção do gráfico da função 𝒎 com o eixo 𝒙: 
Fazendo 𝑦 = 0 , temos, 𝑚(𝑥) = 8 − 2|𝑥 − 4| = 0 . Resolvendo, 
8 − 2|𝑥 − 4| = 0 ⟺ 2|𝑥 − 4| = 8 ⟺ |𝑥 − 4| = 4 ⟺ 
 𝑥 − 4 = −4 ou 𝑥 − 4 = 4 ⟺ 𝑥 = −4 + 4 ou 𝑥 = 4 + 4 ⟺ 
𝑥 = 0 ou 𝑥 = 8 
Portanto o gráfico da função 𝑚 corta o eixo 𝒙 nos pontos (𝟎 , 𝟎) 𝐞 (𝟖 , 𝟎) . 
Usando a definição de módulo para construir o gráfico da função 𝑚(𝑥) = 8 − 2|𝑥 − 4| , 𝑥 ∈ ℝ . 
𝑚(𝑥) = {
8 − 2(−𝑥 + 4), 𝑥 − 4 < 0
8 − 2(𝑥 − 4), 𝑥 − 4 ≥ 0
 = {
2𝑥, 𝑥 < 4
−2𝑥 + 16, 𝑥 ≥ 4
 
 
Devemos esboçar a reta de equação 𝑦 = 2𝑥 e considerar dessa reta os 
pontos com abscissa 𝑥, 𝑥 < 4. 
Para esboçar essa reta, podemos usar por exemplo, os pontos 
(0 , 0) e (3 , 6) 
 
 
 
Devemos esboçar a reta de equação 𝑦 = −2𝑥 + 16 e considerar dessa reta 
os pontos com abscissa 𝑥, 𝑥 ≥ 4. 
Para esboçar essa reta, podemos usar por exemplo, os pontos 
(4,8) e (8, 0) 
 
O gráfico de 𝑚(𝑥) = 8 − 2|𝑥 − 4| , 𝑥 ∈ ℝ. 
 
 
 
 
 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
AD1-Parte 1 – 2023-1 GABARITO Pré-Cálculo Página 5 de 11 
Q2(b) O gráfico de 𝑦 = 𝑡(𝑥) =
2
5
(𝑥2 − 6𝑥 + 10) é uma parábola. Lembramos que 𝑡(𝑥) =
2
5
(𝑥2 − 6𝑥 + 10) está definida para 𝑥 ∈ ℝ . 
Vamos completar o quadrado para encontrar a forma canônica dessa parábola: e deduzir qual é o 
vértice dessa parábola. 
 𝑡(𝑥) =
2
5
(𝑥2 − 6𝑥 + 10) =
2
5
(𝑥2 − 6𝑥 + 9 − 9 + 10) =
2
5
(𝑥2 − 6𝑥 + 9) +
2
5
(−9 + 10) = 
2
5
(𝑥 − 3)2 +
2
5
∙ 1 =
2
5
(𝑥 − 3)2 +
2
5
 . Logo, 𝑡(𝑥) =
2
5
(𝑥2 − 6𝑥 + 10) =
2
5
(𝑥 − 3)2 +
2
5
 . 
Dessa forma canônica concluímos que 𝑎 =
2
5
 , ℎ = 3 , 𝑘 =
2
5
 . 
O vértice dessa parábola é V(𝑥𝑉 , 𝑦𝑉) = (ℎ, 𝑘). Logo V (3 ,
2
5
). 
Concavidade: como 𝑎 =
2
5
> 0, a parábola tem concavidade para cima. 
Interseção com o eixo 𝒚 : 
Fazendo 𝑥 = 0 temos 𝑦 =
2
5
(02 − 6 ∙ 0 + 10) =
2
5
∙ 10 = 4. Logo a interseção com o eixo 𝒚 é no 
ponto (0 ,4). 
Interseção com o eixo 𝒙 : 
Fazendo 𝑦 = 0 temos 𝑡(𝑥) =
2
5
(𝑥2 − 6𝑥 + 10) =
2
5
(𝑥 − 3)2 +
2
5
= 0. Assim, 
2
5
(𝑥 − 3)2 +
2
5
= 0 ⟺ 
2
5
(𝑥 − 3)2 = −
2
5
 ⟺ (𝑥 − 3)2 = −1. 
Como (𝑥 − 3)2 ≥ 0 para todo 𝑥 ∈ ℝ , então 𝑡(𝑥) =
2
5
(𝑥 − 3)2 +
2
5
= 0 não tem solução e assim o 
gráfico de 𝑦 = 𝑡(𝑥)não corta e nem toca o eixo 𝑥 . 
 
 
 
Gráfico de 
𝑡(𝑥) =
2
5
(𝑥2 − 6𝑥 + 10) =
2
5
(𝑥 − 3)2 +
2
5
 , 𝑥 ∈ ℝ 
 
 
 
 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
Q2(c) Obtendo os pontos de interseção dos dois gráficos, 𝑦 = 𝑚(𝑥) 𝑒 𝑦 = 𝑡(𝑥) . 
Seja 𝑥 ≥ 4. 
Para 𝒙 ≥ 𝟒, 𝒎(𝒙) = −𝟐𝒙 + 𝟏𝟔. Assim, 
AD1-Parte 1 – 2023-1 GABARITO Pré-Cálculo Página 6 de 11 
16 − 2𝑥 =
2
5
(𝑥2 − 6𝑥 + 10) ⟺ 80 − 10𝑥 = 2𝑥2 − 12𝑥 + 20 ⟺ 
2𝑥2 − 2𝑥 − 60 = 0 ⟺ 𝑥2 − 𝑥 − 30 = 0 ⟺ 𝑥 =
−(−1) ± √(−1)2 − 4 ∙ 1 ∙ (−30)
2 ∙ 1
 
= 
1±√1+120
2
=
1±11
2
 ⟺ 𝑥 = 6 > 4 ou 𝑥 = −5 < 4 
Logo, para 𝑥 ≥ 4 os gráficos se encontram no ponto 𝑥 = 6 e 𝑦 = 16 − 2(6) = 4, ou seja no ponto 
(6 , 4). 
Para 𝒙 < 𝟒, 𝒎(𝒙) = 𝟐𝒙. Assim, 
2𝑥 =
2
5
(𝑥2 − 6𝑥 + 10) ⟺ 10𝑥 = 2𝑥2 − 12𝑥 + 20 ⟺ 2𝑥2 − 22𝑥 + 20 = 0 ⟺ 
𝑥2 − 11𝑥 + 10 = 0 ⟺ 𝑥 =
−(−11) ± √(−11)2 − 4 ∙ 1 ∙ 10
2 ∙ 1
=
11 ± √121 − 40
2
=
11 ± 9
2
 
⟺ 𝑥 = 10 > 4 ou 𝑥 = 1 < 4 
Logo, para 𝑥 < 4 os gráficos se encontram no ponto 𝑥 = 1 e 𝑦 = 2 ∙ 1 = 2, ou seja no ponto 
(1 , 2). 
 
 
 
 
 
 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
Q2(d) Observando os gráficos do item anterior, concluímos que 
𝑚(𝑥) ≥ 𝑡(𝑥) ⟺ 1 ≤ 𝑥 ≤ 6 . 
_____________________________________________________________________________________ 
 
AD1-Parte 1 – 2023-1 GABARITO Pré-Cálculo Página 7 de 11 
Questão 3 [1,6 ponto] 
Considere 𝑥 ∈ ℝ, o polinômio 𝑝(𝑥) = 2𝑥4 − 𝑥3 + 𝑥2 − 11𝑥 − 6 e 𝑓(𝑥) =
𝑝(𝑥)
(3𝑥+1)2(8−𝑥)
. 
Q3(a) Sabendo que 𝑝(𝑥) = (𝑥 − 𝑎) 𝑞(𝑥) e que 𝑥 = 2 é raiz de 𝑝(𝑥), dê os valor de 𝒂 e encontre o 
polinômio 𝒒(𝒙). Se possível, encontre as raízes racionais de 𝒒(𝒙). 
Encontre todas as raízes reais de 𝒑(𝒙) e fatore 𝒑(𝒙) em ℝ. 
Q3(b) Usando a fatoração de 𝑝(𝑥), determine o domínio e analise o sinal de 𝒇(𝒙). 
Q3(c) Determine o domínio da função 𝒈(𝒙) = √𝒇(𝒙). 
RESOLUÇÃO: 
Q3(a) Sendo 𝑥 = 2 raiz de 𝑝(𝑥), então 𝑝(𝑥) é divisível por 𝑥 − 2. 
Dividindo 𝑝(𝑥) por 𝑥 − 2 encontramos um polinômio 𝑞(𝑥), tal que 𝑝(𝑥) = (𝑥 − 2) 𝑞(𝑥). 
Para dividir vamos usar o algoritmo de Briot-Ruffini. 
 2 −1 1 −11 −6 
2 2 2 ∙ 2 − 1 = 3 2 ∙ 3 + 1 = 7 2 ∙ 7 − 11 = 3 2 ∙ 3 − 6 = 0 
 
Assim, 𝑝(𝑥) = 2𝑥4 − 𝑥3 + 𝑥2 − 11𝑥 − 6 = (𝑥 − 2)(2𝑥3 + 3𝑥2 + 7𝑥 + 3). 
Encontramos 𝑞(𝑥) = 2𝑥3 + 3𝑥2 + 7𝑥 + 3 e 𝑎 = 2. 
As possíveis raízes racionais de 𝑞(𝑥) não inteiras, são do tipo 
𝑚
𝑛
 , 𝑚 e 𝑛 números inteiros, 𝑛 ≠ 0,
𝑛 ≠ 1, que são os resultados da divisão de ± 3(divisores de +3, o termo independente) por ± 2 
(divisores de 2 , coeficiente do termo de maior grau). As possíveis raízes são: {−
1
2
 ,
1
2
 , −
3
2
 ,
3
2
 } 
Verificando se −
 1 
2
, é raiz de 𝑞(𝑥):. 
𝑞 (−
1
2
) = 2 (−
1
2
)
3
+ 3 (−
1
2
)
2
+ 7 (−
1
2
) + 3 = −
2
8
+
3
4
−
7
2
+ 3 == −
2
8
+
6
8
−
28
8
+ 3 = 
−
24
8
+ 3 = −3 + 3 = 0 . Logo −
1
2
 é uma raiz de 𝑞(𝑥). 
Vamos dividir 𝑞(𝑥) por (𝑥 − (−
1
2
)) = (𝑥 +
1
2
) e para isso vamos usar o algoritmo de Briot-Ruffini. 
 2 3 7 3 
−
1
2
 
2 
−
1
2
∙ 2 + 3 = 2 −
1
2
∙ 2 + 7 = 6 −
1
2
∙ 6 + 3 = 0 
 
Portanto, 
𝑞(𝑥) = 2𝑥3 + 3𝑥2 + 7𝑥 + 3 = (𝑥 +
1
2
) (2𝑥2 + 2𝑥 + 6) = 2 (𝑥 +
1
2
) (𝑥2 + 𝑥 + 3) = 
AD1-Parte 1 – 2023-1 GABARITO Pré-Cálculo Página 8 de 11 
(2𝑥 + 1)(𝑥2 + 𝑥 + 3) 
Para fatorar o trinômio 𝑥2 + 𝑥 + 3 , vamos verificando se 𝑥2 + 𝑥 + 3 possui raízes reais. Temos que 
Δ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 12 − 4 ∙ 1 ∙ 3 = 1 − 12 = −11 < 0, logo 𝑥2 + 𝑥 + 3 = 0 não possui raízes reais e 
 𝑥2 + 𝑥 + 3 é irredutível em ℝ. 
Assim a única raiz racional de 𝑞(𝑥) é 𝑥 = −
 1 
2
. 
Todas as raízes de 𝑞(𝑥) já foram encontradas e, portanto, a fatoração de 𝑝(𝑥) em ℝ é: 𝑝(𝑥) = 2𝑥4 −
𝑥3 + 𝑥2 − 11𝑥 − 6 = (𝑥 − 2) (𝑥 +
1
2
) (2𝑥2 + 2𝑥 + 6) = 
2(𝑥 − 2) (𝑥 +
1
2
) (𝑥2 + 𝑥 + 3) = (𝑥 − 2)(2𝑥 + 1)(𝑥2 + 𝑥 + 3) 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
Q3(b) 
Seja 𝑓(𝑥) =
𝑝(𝑥)
(3𝑥+1)2(8−𝑥)
=
 (𝑥−2)(2𝑥+1)(𝑥2+𝑥+3) 
(3𝑥+1)2(8−𝑥)
 
A única restrição para se calcular 𝑦 = 𝑓(𝑥) é o denominador diferente de zero. Logo, é preciso que 
(3𝑥 + 1)2 ≠ 0 e 8 − 𝑥 ≠ 0 
Como (3𝑥 + 1)2 = 0 ⟺ 3𝑥 + 1 = 0 ⟺ 𝑥 = −
1
3
 e 
8 − 𝑥 = 0 ⟺ 𝑥 = 8 , então 
 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = { 𝑥 ∈ ℝ ∶ 𝑥 ≠ −
1
3 
 e 𝑥 ≠ 8 } = (−∞, −
1
3
) ∪ (−
1
3
, 8) ∪ (8, ∞) 
Vamos analisar o sinal de 𝑓(𝑥) =
𝑝(𝑥)
(3𝑥+1)2(8−𝑥)
=
 (𝑥−2)(2𝑥+1)(𝑥2+𝑥+3) 
(3𝑥+1)2(8−𝑥)
 
Estudando o sinal de cada expressão envolvida na função 𝑦 = 𝑓(𝑥). 
• 𝑥 − 2 = 0 ⟺ 𝑥 = 2 
• 𝑥 − 2 > 0 ⟺ 𝑥 > 2 
• 𝑥 − 2 < 0 ⟺ 𝑥 < 2 
 
• 2𝑥 + 1 = 0 ⟺ 𝑥 = −
1
2
 
• 2𝑥 + 1 > 0 ⟺ 𝑥 > −
1
2
 
• 2𝑥 + 1 < 0 ⟺ 𝑥 < −
1
2
 
• Como em 𝑥2 + 𝑥 + 3 o coeficiente de 𝑥2 é 𝑎 = 1 > 0 e o discriminante desse trinômio é negativo, 
então 𝑥2 + 𝑥 + 3 > 0 para todo 𝑥 real. 
• (3𝑥 + 1)2 = 0 ⟺ 3𝑥 + 1 = 0 ⟺ 𝑥 = −
1
3
 
• (3𝑥 + 1)2 > 0 ⟺ 𝑥 ≠ −
1
3
 
• Não existe 𝑥 real, tal que (3𝑥 + 1)2 < 0 
AD1-Parte 1 – 2023-1 GABARITO Pré-Cálculo Página 9 de 11 
 
• 8 − 𝑥 = 0 ⟺ 𝑥 = 8 
• 8 − 𝑥 > 0 ⟺ 𝑥 < 8 
• 8 − 𝑥 < 0 ⟺ 𝑥 > 8 
Fazendo a tabela de sinais da função 𝑓(𝑥) =
𝑝(𝑥)
(3𝑥+1)2(8−𝑥)
=
 (𝑥−2)(2𝑥+1)(𝑥2+𝑥+3) 
(3𝑥+1)2(8−𝑥)
 
 (−∞, −
1
2
) −
1
2
 (−
1
2
 , −
1
3
 ) −
1
3
 (−
1
3
, 2) 2 (2 , 8) 8 (8, ∞) 
𝑥 − 2 − − − − − − − − − − 0 + + + + + + 
2𝑥 + 1 − − 0 + + + + + + + + + + + + + + 
𝑥2 + 𝑥 + 3 + + + + + + + + + + + + + + + + + + 
(3𝑥 + 1)2 + + + + + + 0 + + + + + + + + + + 
8 − 𝑥 + + + + + + + + + + + + + + 0 − − − 
𝑓(𝑥) + + 0 − − 𝑛𝑑 − − 0 + + 𝑛𝑑 − − 
Logo, 
𝑓(𝑥) = 0 ⟺ 𝑥 = −
1
2
 e 𝑥 = 2 
𝑓(𝑥) > 0 ⟺ (−∞, −
1
2
) ∪ (2 , 8) 
𝑓(𝑥) < 0 ⟺ (−
1
2
 , −
1
3
 ) ∪ (−
1
3
, 2) ∪ (8, ∞) 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
Q3(d) Determinando o domínio da função 𝑔(𝑥) = √𝑓(𝑥). 
Para que 𝑔(𝑥) = √𝑓(𝑥) possa ser calculada é preciso que 𝑓(𝑥) ≥ 0. 
Pelo item anterior temos que 𝑓(𝑥) ≥ 0 ⟺ (−∞, −
1
2
 ] ∪ [2 , 8). 
_____________________________________________________________________________________ 
Questão 4 [0,9 ponto] 
A função 𝐹 é dada por 𝐹(𝑥) = {
2𝑥 + 8 𝑠𝑒 − 6 ≤ 𝑥 ≤ −2
−2𝑥 𝑠𝑒 − 2 < 𝑥 < 1
9 − 3𝑥 𝑠𝑒 1 < 𝑥 < 3
 
Q4(a) Dê o domínio de 𝐹 e, se possível, encontre os seguintes valores: 
𝐹(−6); 𝐹(−5); 𝐹(−4); 𝐹(−2); 𝐹(0); 𝐹(1); 𝐹(2); 𝐹(3). 
Para cada valor que não é possível encontrar, explique por quê. 
Q4(b) Esboce o gráfico de 𝐹 e observando o gráfico, dê a imagem da função 𝐹. 
RESOLUÇÃO: 
Q4(a) As funções 𝑦 = 2𝑥 + 8 , 𝑦 = −𝑥 𝑒 𝑦 = 9 − 3𝑥 não apresentam restrições, podem ser 
calculadas para todo 𝑥 ∈ ℝ . Logo, 
𝐷𝑜𝑚(𝐹) = [−6, −2] ∪ (−2 , 1) ∪ (1 , 3) = [−6 , 1) ∪ (1 , 3) . 
• 𝐹(−6) = 2 ∙ (−6) + 8 = −12 + 8 = −4 , pois para 𝑥 = −6 , 𝐹(𝑥) = 2𝑥 + 8 . 
AD1-Parte 1 – 2023-1 GABARITO Pré-Cálculo Página 10 de 11 
• 𝐹(−5) = 2 ∙ (−5) + 8 = −10 + 8 = −2 , pois para 𝑥 = −5 , 𝐹(𝑥) = 2𝑥 + 8 . 
• 𝐹(−4) = 2 ∙ (−4) + 8 = −8 + 8 = 0 , pois para 𝑥 = −4 , 𝐹(𝑥) = 2𝑥 + 8 . 
•𝐹(−2) = 2 ∙ (−2) + 8 = −4 + 8 = 4 , pois para 𝑥 = −2 , 𝐹(𝑥) = 2𝑥 + 8 . 
• 𝐹(0) = −2 ∙ 0 = 0 , pois para 𝑥 = 0 , 𝐹(𝑥) = −2𝑥 . 
• 𝐹(1) não pode ser calculado pois 1 ∉ 𝐷𝑜𝑚(𝐹) . 
• 𝐹(2) = 9 − 3 ∙ 2 = 9 − 6 = 3 , pois para 𝑥 = 2 , 𝐹(𝑥) = 9 − 3𝑥 . 
• 𝐹(3) não pode ser calculado pois 3 ∉ 𝐷𝑜𝑚(𝐹) . 
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Q4(b) Vamos esboçar o gráfico de 𝐹(𝑥) = {
2𝑥 + 8 𝑠𝑒 − 6 ≤ 𝑥 ≤ −2
−2𝑥 𝑠𝑒 − 2 < 𝑥 < 1
9 − 3𝑥 𝑠𝑒 1 < 𝑥 < 3
. 
▪ Devemos esboçar a reta de equação 𝑦 = 2𝑥 + 8 e considerar dessa reta os pontos com abscissa 
𝑥, −6 ≤ 𝑥 ≤ −2. 
Para esboçar essa reta, podemos usar por exemplo, os pontos de abscissa 𝑥 = −6 e 𝑥 = −2 
Para 𝑥 = −6, 𝐹(−6) = 2 ∙ (−6) + 8 = −4 e assim um ponto dessa reta é (−6 , −4). 
Para 𝑥 = −2, 𝐹(−2) = 2 ∙ (−2) + 8 = 4 e assim um ponto dessa reta é (−2 , 4) 
▪ Devemos esboçar a reta de equação 𝑦 = −2𝑥 e considerar dessa reta os pontos com abscissa 𝑥, 
 −2 < 𝑥 < 1 . 
Para esboçar essa reta, podemos usar por exemplo, os pontos de abscissa 𝑥 = −1 e 𝑥 = 0 
Para 𝑥 = −1, 𝐹(−1) = −2(−1) = 1 e assim um ponto dessa reta é (−1 , 2). 
Para 𝑥 = 0, 𝐹(0) = −2(0) = 0 e assim um ponto dessa reta é (0 ,0) 
▪ Devemos esboçar a reta de equação 𝑦 = 9 − 3𝑥 e considerar dessa reta os pontos com abscissa 𝑥, 
 1 < 𝑥 < 3. 
Para esboçar essa reta, podemos usar por exemplo, os pontos de abscissa 𝑥 =
4
3
 e 𝑥 = 2 
Para 𝑥 =
4
3
, 𝐹 (
4
3
) = 9 − 3 ∙
4
3
 = 9 − 4 = 5 e assim um ponto dessa reta é ( 
 4 
3
 , 5). 
Para 𝑥 = 2, 𝐹(2) = 9 − 3 ∙ 2 = 9 − 6 = 3 e assim um ponto dessa reta é ( 2 , 2). 
Analisando o gráfico concluímos que 
Im(𝐹) = [−4 , 6) 
 
 
AD1-Parte 1 – 2023-1 GABARITO Pré-Cálculo Página 11 de 11