PC_2023-1_AP1_GABARITO (1)

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AP1 – 2023-1 GABARITO Pré-Cálculo Página 1 de 8 
 
DISCIPLINA PRÉ-CÁLCULO 2023-1 
 Profa. Maria Lúcia Campos 
Profa. Marlene Dieguez 
AP1 – GABARITO 
Código da disciplina EAD01002 – Cursos: Física, Química, Matemática ANTIGO 
Código da disciplina EAD01082 – Curso: Matemática NOVO 
 
Questão 1 [2,5 pontos] Considere 𝑥 ∈ ℝ , o polinômio 𝑝(𝑥) = 𝑥3 − 8𝑥2 − 23 𝑥 + 30 e as funções 
𝑚(𝑥) = 9 − |2𝑥 − 7| e 𝑓(𝑥) =
√𝑚(𝑥)
𝑝(𝑥)
. 
• Encontre as raízes reais de 𝑝(𝑥). Para justificar sua resposta, deixe escritas as suas contas. Fatore 
o polinômio 𝑝(𝑥) em ℝ. Explique como concluiu essa fatoração. 
• Resolva a inequação 𝑚(𝑥) ≥ 0. Justifique deixando escritas as contas para chegar na resposta! 
• Encontre o domínio da função 𝑓(𝑥). Responda o domínio na forma de intervalo ou união de 
intervalos disjuntos (intervalos disjuntos não têm nenhum ponto em comum). 
 
RESOLUÇÃO 
• As possíveis raízes inteiras de 𝑝(𝑥) são: ±1; ±2;±3:±5;±6;±10;±15;±30, pois são os 
divisores do termo independente, igual a 30. 
Testando se de fato são raízes, começando por 𝑥 = 1, 
𝑝(1) = 13 − 8 ∙ 12 − 23 ∙ 1 + 30 = 1 − 8 − 23 + 30 = 0 ⟹ 𝑥 = 1 é raiz de 𝑝(𝑥). 
Podemos dividir 𝑝(𝑥) por (𝑥 − 1) e encontrar um trinômio 𝑞(𝑥), tal que 𝑝(𝑥) = (𝑥 − 1) 𝑞(𝑥). 
Para dividir vamos usar o algoritmo de Briot-Ruffini. 
 1 −8 −23 30 
1 1 1 ∙ 1 − 8 = −7 −7 ∙ 1 − 23 = −30 −30 ∙ 1 + 30 = 0 
 
Assim, 𝑥3 − 8𝑥2 − 23 𝑥 + 30 = (𝑥 − 1)(𝑥2 − 7𝑥 − 30). 
Podemos determinar as outras raízes de 𝑝(𝑥) resolvendo a equação 𝑥2 − 7𝑥 − 30 = 0. 
𝑥 =
7±√72−4∙1∙(−30) 
2∙1
=
7±√49+120 
2
=
7±√169 
2
=
7±13 
2
 ⟺ 𝑥 = −
6
2
= −3 𝑜𝑢 𝑥 =
20
2
= 10 
Como as raízes de 𝑞(𝑥) são −3 e 10 podemos fatorar 𝑞(𝑥) e consequentemente 𝑝(𝑥), 
𝑞(𝑥) = (𝑥 − (−3))(𝑥 − 10) = (𝑥 + 3)(𝑥 − 10) e 
𝑝(𝑥) = 𝑥3 − 8𝑥2 − 23 𝑥 + 30 = (𝑥 − 1)(𝑥 + 3)(𝑥 − 10). 
• 𝑚(𝑥) ≥ 0 ⟺ 9 − |2𝑥 − 7| ≥ 0 ⟺ |2𝑥 − 7| ≤ 9 ⟺ 
AP1 – 2023-1 GABARITO Pré-Cálculo Página 2 de 8 
−9 ≤ 2𝑥 − 7 ≤ 9 ⟺ −9 + 7 ≤ 2𝑥 ≤ 9 + 7 ⟺ −2 ≤ 2𝑥 ≤ 16 ⟺ −1 ≤ 𝑥 ≤ 8. 
• As restrições do domínio são: radicando 𝑚(𝑥) ≥ 0 e denominador 𝑝(𝑥) ≠ 0. 
Como já resolvemos 𝑚(𝑥) ≥ 0 e encontramos as raízes de 𝑝(𝑥), temos que 
𝐷𝑜𝑚(𝑓) = {𝑥 ∈ ℝ; −1 ≤ 𝑥 ≤ 8, 𝑥 ≠ −3, 𝑥 ≠ 1 𝑒 𝑥 ≠ 10 }. 
Para escrever na forma de união de intervalos disjuntos, observe que −3 < −1 < 1 < 8 < 10. 
Portanto 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = [−1 , 1) ∪ (1 , 8]. 
 
Questão 2 [1,6 ponto] Considere as funções reais 𝑔(𝑥) = √𝑥 − 3
3
 e 
𝑓(𝑥) = {
2𝑥 − 1 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 2
2𝑥 − 1
𝑥 − 3
 𝑠𝑒 𝑥 > 2 e 𝑥 ≠ 𝑎
 
• Dê o domínio da função 𝑔. Dê o valor de 𝑎 e o domínio da função 𝑓. 
• Se possível, calcule: 
𝑓(−2); 𝑓(2); 𝑓(3); 𝑓(4); (𝑔 ∘ 𝑓)(−2); (𝑓 ∘ 𝑔)(2) e (𝑓 ∘ 𝑔)(30). 
Se não for possível calcular, explique por quê. Se for possível calcular, apresente as contas para justificar 
a resposta. 
RESOLUÇÃO 
• Na função 𝑔(𝑥) = √𝑥 − 3
3
 podemos calcular a raiz cúbica de qualquer número real, logo não há 
restrições para o domínio da função 𝑔 e concluímos que 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = ℝ. 
Para a função 𝑓(𝑥), 
se 𝑥 ≤ 2, não há restrição para a expressão 2𝑥 − 1 e 
se 𝑥 > 2 e 𝑥 ≠ 𝑎, na expressão 
2𝑥−1
𝑥−3
, há a restrição de denominador não nulo, ou seja, 𝑥 − 3 ≠ 0 ⟺
 𝑥 ≠ 3. 
Logo a única restrição para a função 𝑓(𝑥) é 𝑥 ≠ 3 . 
Portanto 𝑎 = 3 e 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = {𝑥 ∈ ℝ; x ≠ 3} = (−∞ , 3) ∪ (3,∞). 
• Cálculo dos valores pedidos: 
−2 < 2 e − 2 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) ⟹ 𝑓(−2) = 2(−2) − 1 = −4 − 1 = −5 ⟹ 𝑓(−2) = −5. 
2 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) e 𝑓(2) = 2(2) − 1 = 4 − 1 = 3 ⟹ 𝑓(2) = 3. 
3 > 2 e 3 ∉ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) ⟹ não é possível calcular 𝑓(3). 
4 > 2 e 4 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) ⟹ 𝑓(4) =
2(4)−1
4−3
=
7
1
= 7 ⟹ 𝑓(4) = 7. 
(𝑔 ∘ 𝑓)(−2) = 𝑔(𝑓(−2)). Acima foi calculado 𝑓(−2) = −5. Logo, 
(𝑔 ∘ 𝑓)(−2) = 𝑔(−5) = √−5 − 3
3
= √−8
3
= −2 ⟹ (𝑔 ∘ 𝑓)(−2) = −2. 
(𝑓 ∘ 𝑔)(2) = 𝑓(𝑔(2)) = 𝑓(√2 − 3
3
) = 𝑓(√−1
3
) = 𝑓(−1). 
−1 < 2 e − 1 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) ⟹ 𝑓(−1) = 2(−1) − 1 = −2 − 1 = −3 ⟹ (𝑓 ∘ 𝑔)(2) = −3. 
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(𝑓 ∘ 𝑔)(30) = 𝑓(𝑔(30)) = 𝑓(√30 − 3
3
) = 𝑓(√27
3
) = 𝑓(3). Acima vimos que não é possível calcular 
𝑓(3). Portanto não é possível calcular (𝑓 ∘ 𝑔)(30). 
 
USE O ENUNCIADO A SEGUIR PARA RESOLVER AS QUESTÕES Q3 a Q5. 
Considere as funções 𝒇(𝒙) = 𝑥2 − 4𝑥 + 7 , 𝑥 ∈ ℝ e 
𝒎(𝒙) = 2|𝑥 + 5| − 4 , 𝑥 ∈ ℝ 
 
Questão 3 [1,1 ponto] 
• O gráfico da função quadrática 𝑓 é uma parábola. Utilizando completamento de quadrados, escreva 
a função quadrática 𝑓 na forma canônica. A partir dessa forma encontre o vértice dessa parábola. 
Justifique suas respostas apresentando as contas feitas para essa resolução. Dê a concavidade da 
parábola. Justifique. Encontre a interseção dessa parábola com o eixo 𝒚. 
Lembre que a forma canônica de uma função quadrática é 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − ℎ)2 + 𝑘 , 
onde 𝑎 , ℎ , 𝑘 são constantes reais. Atenção: o vértice só será pontuado se for 
encontrado e justificado através da forma canônica. 
• Esboce o gráfico da função 𝑓. 
RESOLUÇÃO 
• Seja 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 4𝑥 + 7 , 𝑥 ∈ ℝ 
Completando o quadrado: 
𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 4𝑥 + 7 = 𝑥2 − 4𝑥 + 4 − 4 + 7 = (𝑥2 − 4𝑥 + 4) + 3 = (𝑥 − 2)2 + 3 . 
Dessa forma canônica concluímos que 𝑎 = 1 , ℎ = 2 , 𝑘 = 3 . 
O vértice dessa parábola é V(𝑥𝑉 , 𝑦𝑉) = (ℎ, 𝑘). Logo V(2 , 3). 
Concavidade: como 𝑎 = 1 > 0, a parábola tem concavidade para cima. 
Interseção com o eixo 𝒚 : 
Fazendo 𝑥 = 0 temos 𝑦 = 02 − 4 ∙ 0 + 7 = 7. Logo a interseção com o eixo 𝑦 é no ponto (0 ,7). 
 
 
Gráfico de 𝒇(𝒙) = 𝑥2 − 4𝑥 + 7 , 𝑥 ∈ ℝ 
 
 
 
 
 
 
 
AP1 – 2023-1 GABARITO Pré-Cálculo Página 4 de 8 
Questão 4 [1,2 ponto] Encontre, se existirem, as coordenadas das interseções do gráfico da função 𝑚 
com o eixo 𝑥 e com o eixo 𝑦. Esboce o gráfico da função 𝒎. Justifique a construção do gráfico da função 
𝑚. Indique no gráfico, se existirem, as coordenadas das interseções do gráfico da função 𝒎 com os eixos 
coordenados. 
RESOLUÇÃO 
Seja 𝑚(𝑥) = 2|𝑥 + 5| − 4 , 𝑥 ∈ ℝ 
✓ Determinando as coordenadas da interseção do gráfico da função 𝒎 com o eixo 𝒚: 
Fazendo 𝑥 = 0 , temos, 𝑚(0) = 2|0 + 5| − 4 = 2|5| − 4 = 2 ∙ 5 − 4 = 6 . Portanto o gráfico 
da função 𝑚 corta o eixo 𝒚 no ponto (𝟎 , 𝟔 ). 
✓ Determinando as coordenadas da interseção do gráfico da função 𝒎 com o eixo 𝒙: 
Fazendo 𝑦 = 0 , temos, 𝑚(𝑥) = 2|𝑥 + 5| − 4 = 0 . Resolvendo, 
2|𝑥 + 5| − 4 = 0 ⟺ 2|𝑥 + 5| = 4 ⟺ |𝑥 + 5| = 2 ⟺ 
 𝑥 + 5 = −2 ou 𝑥 + 5 = 2 ⟺ 𝑥 = −5 − 2 ou 𝑥 = −5 + 2 ⟺ 
𝑥 = −7 ou 𝑥 = −3 
Portanto o gráfico da função 𝑚 corta o eixo 𝒙 nos pontos (−𝟕 , 𝟎) 𝐞 (−𝟑 , 𝟎) . 
Para construir o gráfico da função 𝑚(𝑥) = 2|𝑥 + 5| − 4 , 𝑥 ∈ ℝ, vamos descrever uma possível 
sequência de transformações em gráficos a partir do gráfico da função 𝑦 = |𝑥| : 
𝑦 = |𝑥| 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 
𝑑𝑒 5 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎
→ 𝑦 = |𝑥 + 5| 
𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑎çã𝑜 
𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 
 𝑐𝑜𝑚 𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟 2 
→ 
𝑦 = 2|𝑥 + 5| 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙
𝑑𝑒 4 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜
→ 𝑚(𝑥) = 2|𝑥 + 5| − 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Também podemos construir o gráfico da função 𝑚(𝑥) = 2|𝑥 + 5| − 4 , 𝑥 ∈ ℝ , usando a definição de 
módulo. 
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𝑚(𝑥) = {
2(−(𝑥 + 5)) − 4, 𝑥 + 5 < 0
2(𝑥 + 5) − 4, 𝑥 + 5 ≥ 0
 = {
−2𝑥 − 14, 𝑥 < −5
2𝑥 + 6, 𝑥 ≥ −5
 
 
Devemos esboçar a reta de equação 𝑦 = −2𝑥 − 14 e considerar dessa retaos pontos com abscissa 𝑥, 
 𝑥 < −5. 
Para esboçar essa reta, podemos usar por exemplo, os pontos 
(−7 , 0) e (−6 ,−2) 
 
 
 
 
 
 
Devemos esboçar a reta de equação 𝑦 = 2𝑥 + 6 e considerar dessa reta os 
pontos com abscissa 𝑥, 𝑥 ≥ −5. 
Para esboçar essa reta, podemos usar por exemplo, os pontos 
(−4,−2) e (−3, 0) 
 
 
 
 
Questão 5 [1,4 ponto] 
Considere a função ℎ(𝑥) = {
𝑚(𝑥) 𝑠𝑒 − 11 ≤ 𝑥 ≤ 0
𝑓(𝑥) 𝑠𝑒 0 < 𝑥 ≤ 5
 
• Esboce o gráfico da função ℎ. 
• Observando o gráfico da função ℎ, encontre a imagem da função ℎ [Im(ℎ)]. 
• Observando o gráfico da função ℎ, dê os intervalos do domínio em que a função ℎ é 
simultaneamente decrescente e positiva. 
RESOLUÇÃO 
Para esboçar o gráfico da função ℎ(𝑥) = {
𝑚(𝑥) 𝑠𝑒 − 11 ≤ 𝑥 ≤ 0
𝑓(𝑥) 𝑠𝑒 0 < 𝑥 ≤ 5
 , 
vamos usar o gráfico da função 𝑚(𝑥) = 2|𝑥 + 5| − 4 e considerar os pontos com abscissa 𝑥, −11 ≤
 𝑥 ≤ 0 e vamos usar o gráfico da função 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 4𝑥 + 7 e considerar os pontos com abscissa 𝑥, 
 0 < 𝑥 ≤ 5. 
AP1 – 2023-1 GABARITO Pré-Cálculo Página 6 de 8 
Gráfico da função ℎ(𝑥) = {
𝑚(𝑥) 𝑠𝑒 − 11 ≤ 𝑥 ≤ 0
𝑓(𝑥) 𝑠𝑒 0 < 𝑥 ≤ 5
 , 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observando o gráfico da função ℎ, concluímos que Im(𝑔) = [−4 , 12] 
Intervalos do domínio em que a função ℎ é simultaneamente decrescente e positiva: 
[−11 , −7) e (0 , 2]. 
 
Questão 6 [2,2 pontos] 
Considere 𝑥 ∈ ℝ e a função 𝑔(𝑥) = 1 − √3 − 𝑥 . 
• Determine o domínio da função 𝑔. 
• Descreva as quatro transformações em gráficos a partir do gráfico da função 𝑦 = √𝑥 para se obter 
o gráfico da função 𝑔 . 
• Encontre, se existirem, as coordenadas das interseções do gráfico da função 𝑔 com o 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥, com o 
𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑦 e com a reta 𝑦 = 𝑥 . 
• Esboce o gráfico da função 𝑔 e indique no gráfico, se existirem, as coordenadas das interseções do 
gráfico da função com os eixos coordenados. 
• Observando o gráfico da função 𝑔, encontre a sua imagem [Im(𝑔)]. 
 
RESOLUÇÃO 
• A restrição para o domínio da função 𝑔(𝑥) = 1 − √3 − 𝑥 é: 3 − 𝑥 ≥ 0. 
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Resolvendo: 3 − 𝑥 ≥ 0 ⟺ 3 ≥ 𝑥 ⟺ 𝑥 ≤ 3 . 
Portanto, 𝑫𝒐𝒎(𝒈) = {𝒙 ∈ ℝ; 𝒙 ≤ 𝟑 } = (−∞ , 𝟑]. 
• Descrevendo uma possível sequência de transformações em gráficos a partir do gráfico da função 
𝑦 = √𝑥 para se obter o gráfico da função 𝑔: 
𝑦 = √𝑥 
𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜
 𝑒𝑚 𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜
 𝑑𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑦
→ 𝑦 = √−𝑥 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 
𝑑𝑒 3 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎
→ 
𝑦 = √−(𝑥 − 3) = √ 3 − 𝑥 
𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜
 𝑒𝑚 𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜
 𝑑𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥
→ 𝑦 = −√ 3 − 𝑥 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙
𝑑𝑒 1 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑖𝑚𝑎
→ 
𝑔(𝑥) = 1 − √3 − 𝑥 
Ilustrando com os gráficos intermediários: 
 
𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜 𝑒𝑚 𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜
 𝑑𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑦
→ 
 
 
 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 
𝑑𝑒 3 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎
→ 
𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜
 𝑒𝑚 𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜
 𝑑𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥
→ 
 
 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙
𝑑𝑒 1 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑖𝑚𝑎
→ 
 
 
 
 
 
 
 
AP1 – 2023-1 GABARITO Pré-Cálculo Página 8 de 8 
• Determinando as coordenadas das interseções do gráfico da função 𝑔 com o 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥, com o 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑦 
e com a reta 𝑦 = 𝑥 : 
✓ Determinando as coordenadas da interseção do gráfico de g com o eixo 𝒚: 
Fazendo 𝑥 = 0 , temos, 𝑔(0) = 1 − √3 − 0 = 1 − √3 . 
Portanto o gráfico da função 𝑔 corta o eixo 𝒚 no ponto (𝟎 , 𝟏 − √𝟑 ). 
✓ Determinando as coordenadas da interseção do gráfico de g com o eixo 𝒙: 
Fazendo 𝑦 = 0 , temos, 𝑔(𝑥) = 1 − √3 − 𝑥 = 0 . Resolvendo, 
1 − √3 − 𝑥 = 0 ⟺ √3 − 𝑥 = 1 
𝑒𝑙𝑒𝑣𝑎𝑛𝑑𝑜
𝑎𝑜 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 
⇔ 3 − 𝑥 = 1 ⟺ 𝑥 = 2 
Portanto o gráfico da função 𝑔 corta o eixo 𝒙 no ponto (𝟐 , 𝟎). 
✓ Determinando as coordenadas da interseção do gráfico de 𝑔 com a reta 𝑦 = 𝑥: 
Resolvendo a equação 1 − √3 − 𝑥 = 𝑥 ∶ 
1 − √3 − 𝑥 = 𝑥 ⟺ 1 − 𝑥 = √3 − 𝑥 
 𝑒𝑙𝑒𝑣𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎𝑜 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 
1−𝑥≥0, 𝑜𝑢 𝑠𝑒𝑗𝑎, 𝑥≤ 1
⇒ 
𝑒𝑥𝑡𝑟𝑎𝑖𝑛𝑑𝑜 𝑎 𝑟𝑎𝑖𝑧 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑎
3−𝑥≥0, 𝑜𝑢 𝑠𝑒𝑗𝑎, 𝑥≤3
⇔ 
 
(1 − 𝑥)2 = 3 − 𝑥 ⟺ 𝑥2 − 2𝑥 + 1 = 3 − 𝑥 ⟺ 𝑥2 − 𝑥 − 2 = 0 ⟺ 
𝑥 =
1±√(−1)2−4∙1∙(−2) 
2∙1
 = 
1±√1+8 
2
=
1±3 
2
 ⟺ 
 𝑥 = −1 ou 𝑥 = 2 Como 𝑥 ≤ 1 , então o único ponto de interseção do gráfico da função 𝑔 
com a reta 𝑦 = 𝑥 ∶ é o ponto (−𝟏 ,−𝟏). 
• Observando gráfico da função 𝑔 , concluímos que a imagem da função 𝑔 é: Im(𝑔) = (−∞ , 1].