2015

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AP 01 – 2015-2 GABARITO Pré-Cálculo 
 
CEDERJ 
GABARITO da Avaliação Presencial 1 
Pré-Cálculo 
 
1ª. Questão [3,5 pontos]: 
Considere a função 𝑓(𝑥) = { √
𝑥 + 2 + 1 , − 2 ≤ 𝑥 < 2
| 𝑥2 − 8𝑥 + 15 | , 2 ≤ 𝑥 ≤ 7
 
(a) [2,6] Esboce o gráfico da função 𝒇 . Para isso: 
A parte do gráfico relativa à função 𝑦 = √𝑥 + 2 + 1 deve ser explicada por transformações 
em gráficos, a partir da função mais elementar 𝒚 = √𝒙 . Esboce o gráfico de 𝒚 = √𝒙 . 
Descreva em palavras essas transformações ou esboce os gráficos transformados. Esboce o gráfico da 
função 𝑦 = √𝑥 + 2 + 1 
Para esboçar o gráfico correspondente à função 𝑦 = | 𝑥2 − 8𝑥 + 15 | , esboce primeiro o 
gráfico da função quadrática 𝑦 = 𝑥2 − 8𝑥 + 15. Justifique o esboço do seu gráfico. Descreva a 
transformação que precisa ser feita no gráfico dessa função quadrática para se obter o gráfico 
de 𝑦 = | 𝑥2 − 8𝑥 + 15 | . 
Encontre os pontos: 
 A(−2 , 𝑓(−2)) , B(0 , 𝑓(0)) , C(2 , 𝑓(2)) , D(𝑎, 0) , E(𝑏 , 0) , F(7, 𝑓(7)) 
Marque esses pontos no gráfico da função 𝑓, explicitando os valores de 𝑎 e 𝑏. 
(b) [0,9] Observe o gráfico da função f , que você encontrou no item (a) diga qual é a imagem 
da função 𝑓 e os intervalos do domínio onde a função é crescente e os intervalos onde é 
decrescente. 
 
RESOLUÇÃO: 
(a) Analisando a função 𝑦 = √𝑥 + 2 + 1 
 
Uma possível sequência de transformações no gráfico da 
função 𝑦 = √𝑥 é a seguinte: 
 
 
 
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𝑦 = √𝑥 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙
𝑑𝑒 2 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎
⇒ 𝑦 = √𝑥 + 2 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙
𝑑𝑒 1 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑖𝑚𝑎
⇒ 𝑦 = √𝑥 + 2 + 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Encontrando as raízes do trinômio de 2º grau 𝑦 = 𝑥2 − 8𝑥 + 15 , isto é, resolvendo a equação 
𝑥2 − 8𝑥 + 15 = 0: 
𝑥 = 
8±√(−8)2−4.1.15
2.1
 = 
8±√64−60
2
= 
8±√4 
2
=
8±2
2
 ⟹ 𝑥 = 3 ou 𝑥 = 5. 
Portanto, o gráfico da função 𝑦 = 𝑥2 − 8𝑥 + 15 cruza o eixo 𝒙 nos pontos (3 , 0) 𝑒 (5 , 0). 
O gráfico da função 𝑦 = 𝑥2 − 8𝑥 + 15 é uma parábola de concavidade voltada para cima, pois o 
coeficiente do termo 𝑥2 é 1 > 0 . Suas raízes são 𝑥 = 3 ou 𝑥 = 5 , como calculamos 
acima. 
A abscissa do vértice dessa parábola é 𝑥 = 
3+5
2
= 4 . A ordenada do vértice é 𝑦 = 42 − 8.4 + 15 =
16 − 32 + 15 = −1 . Portanto, o vértice dessa parábola é o ponto ( 4 , −1). 
Para 𝑥 = 2 , 𝑦 = |22 − 8.2 + 15| = |4 − 16 + 15| = 3 
Para 𝑥 = 7 , 𝑦 = |72 − 8.7 + 15| = |49 − 56 + 15| = 8 
 
 
 
 
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 𝑦 = 𝑥2 − 8𝑥 + 15 
𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑜 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜:
𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑡𝑖𝑟 𝑒𝑚 𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜 𝑑𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥 
𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑑𝑜 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜 𝑞𝑢𝑒
 𝑒𝑠𝑡á 𝑎𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜 𝑑𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥
⇒ 𝑦 = | 𝑥2 − 8𝑥 + 15 | 
 
 
 
 
𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑜 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜:
𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑡𝑖𝑟 𝑒𝑚 𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜 𝑑𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥 
𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑑𝑜 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜 𝑞𝑢𝑒
 𝑒𝑠𝑡á 𝑎𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜 𝑑𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥
⇒ 
 
 
 
 
 
Encontrando os pontos: 
(1) 𝑓(−2) = √−2 + 2 + 1 = 0 + 1 = 1 , logo A(−2 , 𝑓(−2)) = A(−2 , 1) 
(2) 𝑓(0) = √0 + 2 + 1 = √2 + 1 , logo B(0 , 𝑓(0)) = B(0 , √2 + 1 ) 
(3) 𝑓(2) = | 22 − 8.2 + 15 | = |4 − 16 + 15 | = 3 , logo C(2 , 𝑓(2)) = C(2 , 3) 
(4) 𝑓(𝑥) = 0 ⟹ √𝑥 + 2 + 1 = 0 ou | 𝑥2 − 8𝑥 + 15 | = 0 . Mas, 
√𝑥 + 2 + 1 = 0 ⟺ √𝑥 + 2 = −1, o que é impossível, pois √𝑥 + 2 ≥ 0. 
E | 𝑥2 − 8𝑥 + 15 | = 0 ⟺ 𝑥2 − 8𝑥 + 15 = 0 , mas como vimos acima 
 𝑥2 − 8𝑥 + 15 = 0 ⟺ 𝑥 = 3 ou 𝑥 = 5 . 
Portanto, 
D(𝑎, 0) = D(3,0) e E(𝑏 , 0) = E(5 , 0) 
(5) 𝑓(7) = |72 − 8.7 + 15| = |49 − 56 + 15| = 8 , logo F(7 , 𝑓(7)) = F(7, 8)) 
 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
 
AP 01 – 2015-2 GABARITO Pré-Cálculo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(b) Observando o gráfico da função da função 𝑓 vemos que, Im(𝑓) = [0 , 8] 
Para definirmos os intervalos onde a função 𝑓 é crescente e onde é decrescente, precisamos 
encontrar o vértice da parábola, que é o gráfico da função 𝑦 = 𝑥2 − 8𝑥 + 15 e este ponto foi 
encontrado no item (a) acima e é o ponto ( 4 , −1). Assim, 
A função 𝑓 é crescente em: [−2 , 2] ∪ [3 , 4] ∪ [5 , 7] . 
A função 𝑓 é decrescente em: [2 , 3] ∪ [4 , 5] . 
 
2ª. Questão [3,0 pontos]: 
Considere a função 𝑔(𝑥) = √
𝑥+3
𝑥3−𝑥2+𝑥−1 
 
(a) [1,1] Fatore em ℝ o polinômio 𝑝(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥2 + 𝑥 − 1 , isto é, escreva 𝑝(𝑥) com 
produto de fatores lineares (tipo 𝑎𝑥 + 𝑏) e/ou fatores quadráticos irredutíveis (tipo 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 +
𝑐, que não possui raízes reais). Justifique sua fatoração, mostrando como encontrou as raízes 
desse polinômio, apresente as contas que o levou à fatoração apresentada. Sem isso, a questão 
não será considerada. 
 
AP 01 – 2015-2 GABARITO Pré-Cálculo 
 
(b) [1,9] Analise o sinal da expressão 
𝐱+𝟑
𝐱𝟑−𝐱𝟐+𝐱−𝟏 
 . Encontre o domínio da função 
 𝑔(𝑥) = √
𝑥+3
𝑥3−𝑥2+𝑥−1 
 . Justifique! Responda o domínio na forma de união de pontos ou na 
forma de união de intervalos disjuntos (intervalos disjuntos não têm nenhum ponto em comum). 
 
RESOLUÇÃO: 
(a) Seja 𝑝(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥2 + 𝑥 − 1 . Vamos buscar inicialmente as possíveis raízes inteiras de 
𝑝(𝑥) , que estão entre os divisores do termo independente −1 . As possíveis raízes inteiras de 𝑝(𝑥) 
são: ±1 . 
Testando as possíveis raízes: 
𝑝(−1) = (−1)3 − (−1)2 + (−1) − 1 = −1 − 1 − 1 − 1 = −4 ≠ 0 , logo 𝑥 = −1 não é raiz 
de 𝑝(𝑥). 
𝑝(1) = 13 − 12 + 1 − 1 = 1 − 1 + 1 − 1 = 0 , logo 𝑥 = 1 é raiz de 𝑝(𝑥). 
Dividindo 𝑝(𝑥) por 𝑥 − 1. Usando Briot-Ruffini: 
 1 −1 1 −1 
1 1 1 − 1 = 0 0 + 1 = 1 1 − 1 = 0 
Portanto, 𝑝(𝑥) = (𝑥 − 1)(𝑥2 + 1). 
Vemos que o trinômio de 2º grau 𝑞(𝑥) = 𝑥2 + 1 não possui raízes reais, pois 𝑥2 + 1 > 0 , nunca 
se anula. 
Portanto, a fatoração do polinômio 𝑝(𝑥) é: 𝑝(𝑥) = (𝑥 − 1) ( 𝑥2 + 1) . 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
(b) Para analisar o sinal de 
𝑥+3
 𝑥3−𝑥2+𝑥−1 
 , vamos fazer uma tabela de sinal para a fração 
 
𝑥+3
𝑥3−𝑥2+𝑥−1 
=
𝑥+3
(𝑥−1)(𝑥2+1)
 
 
 (−∞,−3) −3 (−3, 1) 1 (1,+∞) 
𝑥 + 3 − − − 0 + + + + ++ + + 
𝑥 − 1 − − − − − − − 0 ++ + + 
𝑥2 + 1 ++ + + + + + + + ++ + + 
𝑥 + 3
𝑥3 − 𝑥2 + 𝑥 − 1 
 ++ + + 0 − − − 𝑛𝑑 ++ + + 
 
 
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Portanto, temos que a expressão 
𝑥+3
𝑥3−𝑥2+𝑥−1 
 : 
 Não está definida para 𝑥 = 1 , pois este é o único valor que anula o denominador, já que 
𝑥3 − 𝑥2 + 𝑥 − 1 = (𝑥 − 1) ( 𝑥2 + 1) e 𝑥2 + 1 é sempre positivo. 
 
𝑥+3
𝑥3−𝑥2+𝑥−1 
= 0 ⟺ 𝑥 = −3 
 
𝑥+3
𝑥3−𝑥2+𝑥−1 
> 0 ⟺ 𝑥 < −3 ou 𝑥 > 1 
 
𝑥+3
𝑥3−𝑥2+𝑥−1 
< 0 ⟺ −3 < 𝑥 < 1 
Domínio da função 𝑔(𝑥) = √
𝑥+3
𝑥3−𝑥2+𝑥−1 
 . 
Para que a função 𝑔(𝑥) = √
𝑥+3
𝑥3−𝑥2+𝑥−1 
 possa ser calculada é preciso que: 
 o radicando 
𝑥+3
𝑥3−𝑥2+𝑥−1 
 seja positivo ou nulo e 
 o denominador 𝑥3 − 𝑥2 + 𝑥 − 1 não se anule. 
Assim, analisando a tabela de sinais da expressão 
𝑥+3
𝑥3−𝑥2+𝑥−1 
 , concluímos que 
 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = ( −∞ , −3] ∪ (1, +∞). 
__________________________________________________________________________________ 
 
3ª. Questão [2,0 pontos]: 
Considere a função 𝑓(𝑥) =
12
𝑥2+3
. 
(a) [0,6] Qualé o domínio de 𝑓? Justifique sua resposta. 
Calcule 𝑓(0); 𝑓(−1); 𝑓(−3). 
(b) [0,4] A função 𝑓 é par? É ímpar? Nenhuma delas? 
Justifique sua resposta pela definição de paridade. 
(c) [0,4] Baseado na sua resposta ao item (b) e na parte do 
gráfico de 𝑓(𝑥), para 𝑥 ∈ [0,∞), esboçada ao lado, 
complete o gráfico de 𝑓. 
(d) [0,6] Considere a função 𝑔(𝑥) =
 1 
𝑥
. Encontre a expressão de 𝑔(𝑓(𝑥)) e resolva a equação 
𝑔(𝑓(𝑥)) = 1. 
 
RESOLUÇÃO 
AP 01 – 2015-2 GABARITO Pré-Cálculo 
 
(a) A única restrição é que o denominador não deve ser nulo, ou seja, 𝑥2 + 3 ≠ 0. 
𝑥2 + 3 = 0 ⇔ 𝑥2 = −3 , mas essa equação não tem solução para 𝑥 ∈ ℝ, ou seja 𝑥2 + 3 ≠ 0 
para 𝑥 ∈ ℝ. 
Portanto, 𝑑𝑜𝑚 (𝑓) = ℝ. 
𝑓(0) =
12
02+3
= 4; 𝑓(−1) =
12
(−1)2+3
=
12
4
= 3 𝑓(−3) =
12
(−3)2+3
=
12
12
= 1 
 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
(b) O domínio é simétrico em relação à origem da reta numérica, portanto está satisfeita a primeira 
condição da definição de função par e também da definição de função ímpar. 
𝑓(−𝑥) =
12
(−𝑥)2+3
=
12
𝑥2+3
= 𝑓(𝑥). Logo, 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥) para ∀ 𝑥 ∈ ℝ e, portanto, a função é par. 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
(c) Como a função é par, sabemos que seu gráfico é simétrico em 
relação ao eixo 𝑦. 
 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
(d) 𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑔 (
12
𝑥2+3
) =
1
12
𝑥2+3
=
𝑥2+3
12
. 
𝑔(𝑓(𝑥)) = 1 ⟺ 
𝑥2+3
12
= 1 ⟺ 𝑥2 + 3 = 12 ⟺ 𝑥2 = 9 ⟺ 𝑥 = 3 ou 𝑥 = −3 
Solução 𝑆 = {−3, 3}. 
________________________________________________________________________________ 
4ª. Questão [1,5 ponto]: 
Sabe-se que: cos 𝜃 =
2
3
 e sen 𝜃 < 0. 
(a) [0,3] Em qual quadrante do círculo trigonométrico se encontra o ângulo 𝜃? Justifique sua 
resposta. 
(b) [1,2] Calcule: sen 𝜃 e sen 2𝜃. 
RESOLUÇÃO 
(a) No quarto quadrante porque é o único em que cos 𝜃 > 0 e sen 𝜃 < 0. 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
(b) Da identidade sen2 𝜃 + cos2 𝜃 = 1 e cos 𝜃 =
2
3
, temos sen2 𝜃 +
4
9
= 1. Resolvendo: 
AP 01 – 2015-2 GABARITO Pré-Cálculo 
 
sen2 𝜃 +
4
9
= 1 ⟺ sen2 𝜃 = 1 −
4
9
 ⟺ sen2 𝜃 =
5
9
 ⟺ sen 𝜃 = ±
√5
3
 
Como foi dado que sen 𝜃 < 0, concluímos que sen 𝜃 = −
√5
3
. 
Da identidade sen 2𝜃 = 2 sen 𝜃 cos 𝜃, de cos 𝜃 =
2
3
 e de sen 𝜃 = −
√5
3
 , temos 
sen 2𝜃 = 2 ∙
2
3
 ∙ (−
√5
3
) , . Portanto sen 2𝜃 = −
4√5
9
.