PC_2020-1_APX3_GABARITO

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APX3-GABARITO – 2020-1 Pré-Cálculo 1 de 12 
 
DISCIPLINA PRÉ-CÁLCULO 2020-1 
 Profa. Maria Lúcia Campos 
Profa. Marlene Dieguez 
GABARITO DA APX3 
 
 
Questão 1 [1,5 ponto] 
Considere o polinômio 𝑝(𝑥) = 𝑎𝑥4 + (𝑎 + 𝑏)𝑥3 + (2𝑎 + 3𝑏)𝑥2 + 4𝑎𝑥 − 4 , onde 𝑎 e 𝑏 são 
constantes reais, 𝑎 ≠ 0 . 
Encontre os valores das constantes reais 𝑎 e 𝑏 sabendo que 𝑥 = 1 é raiz dupla desse polinômio. 
Encontre todas as raízes reais de 𝑝(𝑥) e fatore esse polinômio em ℝ . 
RESOLUÇÃO: 
Como 𝑥 = 1 é raiz desse polinômio então 𝑝(𝑥) é divisível por 𝑥 − 1 . Vamos dividir 𝑝(𝑥) por 
(𝑥 − 1), usando Briot-Ruffini. 
 
 𝑎 𝑎 + 𝑏 (2𝑎 + 3𝑏) 4𝑎 −4 
1 𝑎 
1 ∙ 𝑎 + (𝑎 + 𝑏) 
= 2𝑎 + 𝑏 
1 ∙ (2𝑎 + 𝑏) + (2𝑎 +
3𝑏) = 4𝑎 + 4𝑏 
1 ∙ (4𝑎 + 4𝑏) +
4𝑎 = 8𝑎 + 4𝑏 
1 ∙ (8𝑎 + 4𝑏) − 4 
 
Como 𝑝(𝑥) é divisível por 𝑥 − 1 então o resto dessa divisão é zero, assim, 
(8𝑎 + 4𝑏) − 4 = 0 , donde 8𝑎 + 4𝑏 = 4 e assim 𝟐𝒂 + 𝒃 = 𝟏. 
Do dispositivo Briot-Ruffini acima temos: 
𝑝(𝑥) = (𝑥 − 1) (𝑎𝑥3 + (2𝑎 + 𝑏)𝑥2 + (4𝑎 + 4𝑏)𝑥 + (8𝑎 + 4𝑏)). 
Chamemos de 𝑞(𝑥) o polinômio, 𝑞(𝑥) = (𝑎𝑥3 + (2𝑎 + 𝑏)𝑥2 + (4𝑎 + 4𝑏)𝑥 + (8𝑎 + 4𝑏)). 
Assim, 
𝑝(𝑥) = (𝑥 − 1) (𝑎𝑥3 + (2𝑎 + 𝑏)𝑥2 + (4𝑎 + 4𝑏)𝑥 + (8𝑎 + 4𝑏)) = (𝑥 − 1) ∙ 𝑞(𝑥). 
Como 𝑥 = 1 é raiz dupla de 𝑝(𝑥) , então, 
𝑞(𝑥) = 𝑎𝑥3 + (2𝑎 + 𝑏)𝑥2 + (4𝑎 + 4𝑏)𝑥 + (8𝑎 + 4𝑏) é divisível por 𝑥 − 1. 
Vamos dividir 𝑞(𝑥) por (𝑥 − 1), usando Briot-Ruffini. 
 
 𝑎 (2𝑎 + 𝑏) (4𝑎 + 4𝑏) (8𝑎 + 4𝑏) 
1 𝑎 
11 ∙ 𝑎 + (2𝑎 + 𝑏) =
3𝑎 + 𝑏 
1 ∙ (3𝑎 + 𝑏) + (4𝑎 + 4𝑏)
= 7𝑎 + 5𝑏 
1 ∙ (7𝑎 + 5𝑏) + (8𝑎 + 4𝑏)
= 15𝑎 + 9𝑏 
Como 𝑞(𝑥) é divisível por 𝑥 − 1 então o resto dessa divisão é zero, assim, 𝟏𝟓𝒂 + 𝟗𝒃 = 𝟎 e 
APX3-GABARITO – 2020-1 Pré-Cálculo 2 de 12 
𝒒(𝒙) = (𝒙 − 𝟏)(𝒂𝒙𝟐 + (𝟑𝒂 + 𝒃)𝒙 + (𝟕𝒂 + 𝟓𝒃)) 
Temos duas condições sobre 𝑎 e 𝑏 .: 𝟐𝒂 + 𝒃 = 𝟏 e 𝟏𝟓𝒂 + 𝟗𝒃 = 𝟓𝒂 + 𝟑𝒃 = 𝟎 . 
Resolvendo o sistema {
2𝑎 + 𝑏 = 1
5𝑎 + 3𝑏 = 0 
, encontramos 𝒂 = 𝟑 e 𝒃 = −𝟓 , 
Temos então que 
𝑝(𝑥) = (𝑥 − 1) ∙ 𝑞(𝑥) = (𝑥 − 1) (𝑥 − 1)(𝑎𝑥2 + (3𝑎 + 𝑏)𝑥 + (7𝑎 + 5𝑏)). 
Fazendo 𝒂 = 𝟑 e 𝒃 = −𝟓 na igualdade acima, encontramos, 
𝑝(𝑥) = (𝑥 − 1)(𝑥 − 1)(3𝑥2 + 4𝑥 − 4). 
Como queremos fatorar 𝑝(𝑥) em ℝ, basta buscar as raízes do trinômio de segundo grau, 
 𝑦 = 3𝑥2 + 4𝑥 − 4 que também serão raízes de 𝑝(𝑥), se existirem. 
3𝑥2 + 4𝑥 − 4 = 0 ⟺ 𝑥 =
−4±√42−4∙3∙(−4)
2∙3
=
−4±√64
6
=
−4±8
6
= {
−12
6
= −2
4
6
=
2
3
 
Portanto, as raízes de 𝑝(𝑥) são −2 ,
2
3
 , 1 , 1 e 
𝑝(𝑥) = (𝑥 − 1)(𝑥 − 1) ∙ 3 ∙ (𝑥 + 2) (𝑥 −
2
3
) ou , por exemplo, 
𝑝(𝑥) = (𝑥 + 2)(3𝑥 − 2)(𝑥 − 1)2. 
 
Questão 2 (1,8 ponto) 
Considere a função 𝑓(𝑥) =
1−4|𝑥|
 3−√2−7𝑥 
 . Para justificar suas respostas mostre todos os cálculos que 
foram feitos em cada item abaixo. 
(2.a) [0,5 ponto] Determine o domínio da função 𝑦 = 𝑓(𝑥). Dê a resposta na forma de 
intervalo e/ou de união de intervalos disjuntos (intervalos que não têm pontos em comum). 
(2.b) [1,0 ponto] Estude o sinal da função 𝑓, ou seja, encontre os valores de 𝑥 tais que 
𝑓(𝑥) = 0 , 𝑓(𝑥) > 0 𝑒 𝑓(𝑥) < 0. 
(2.c) [0,3 ponto] Considere a função 𝑔(𝑥) = √𝑥 . Considerando o que foi calculado no 
item (2.b), responda, justificando, se é possível calcular: 
 (i) (𝑔 ∘ 𝑓) (−
1
2
) (ii) (𝑔 ∘ 𝑓) (
1
7
). 
Quando você concluir que é possível calcular, faça os cálculos e dê o valor da composição. 
 
 
APX3-GABARITO – 2020-1 Pré-Cálculo 3 de 12 
RESOLUÇÃO: 
(2.a) Seja 𝑓(𝑥) =
1−4|𝑥|
 3−√2−7𝑥 
 
Para encontrar o domínio da função 𝑓 temos que impor duas restrições: 
• O radicando 2 − 7𝑥 ≥ 0; 
• O denominador 3 − √2 − 7𝑥 ≠ 0 
Resolvendo as restrições: 
• O radicando 2 − 7𝑥 ≥ 0. 
2 − 7𝑥 ≥ 0 ⟺ 2 ≥ 7𝑥 ⟺ 7𝑥 ≤ 2 ⟺ 𝑥 ≤ 
2
7
 
• O denominador 3 − √2 − 7𝑥 ≠ 0 
3 − √2 − 7𝑥 = 0 ⟺ √2 − 7𝑥 = 3 ⟺ ( √2 − 7𝑥 )
2
 = 32 ⟺ 
 2 − 7𝑥 = 9 ⟺ 7𝑥 = −7 ⟺ 𝑥 = −1 . 
Assim, 3 − √2 − 7𝑥 ≠ 0 ⟺ 𝑥 ≠ −1 
Logo, as restrições impõem que 𝑥 ≤ 
2
7
 𝑒 𝑥 ≠ −1 
Portanto, 𝑫𝒐𝒎(𝒇) = (− ∞ , −𝟏) ∪ (−𝟏 ,
𝟐
𝟕
] 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
(2.b) Seja 𝑓(𝑥) =
1−4|𝑥|
 3−√2−7𝑥 
 . 
Vamos encontrar os valores, 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓), para os quais 𝑓(𝑥) = 0. Temos que , 
𝑓(𝑥) =
1 − 4|𝑥|
 3 − √2 − 7𝑥 
= 0 ⟺ 1 − 4|𝑥| = 0 ⟺ 4|𝑥| = 1 ⟺ |𝑥| =
1
4
 ⟺ 
𝑥 = −
 1 
4
 ou 𝑥 =
 1 
4
 . 
Portanto, as duas soluções de 𝑓(𝑥) = 0 são 𝑥 = −
 1 
4
∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) e 𝑥 =
 1 
4
∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓). 
Vamos estudar o sinal do numerador e o sinal do denominador para fazer uma tabela de sinais e 
encontrar os valores, 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓), para os quais 𝑓(𝑥) > 0 𝑒 𝑓(𝑥) < 0. 
• 1 − 4|𝑥| > 0 ⟺ 1 > 4|𝑥| ⟺ 4|𝑥| < 1 ⟺ |𝑥| <
1
4
 ⟺ −
1
4
< 𝑥 <
1
4
 
• 3 − √2 − 7𝑥 > 0 ⟺ 3 > √2 − 7𝑥 ⟺ 32 > (√2 − 7𝑥 )
2
 ⇒ 
 9 > 2 − 7𝑥 ⟺ 7 > −7𝑥 ⟺ −7 < 7𝑥 ⟺ 𝑥 > −1 
Análise de sinal 
Vamos usar a tabela abaixo para auxiliar a análise de sinal. 
APX3-GABARITO – 2020-1 Pré-Cálculo 4 de 12 
 (−∞,−1) −1 (−1 , −
1
4
) −
1
4
 (−
1
4
 ,
1
4
) 
1
4
 (
1
4
 ,
2
7
] 
1 − 4|𝑥| − − − 0 + 0 − 
3 − √2 − 7𝑥 − 0 + + + + + 
1−4|𝑥|
 3−√2−7𝑥 
 + 𝑛𝑑 − 0 + 0 − 
Concluindo: 
𝑓(𝑥) =
1−4|𝑥|
 3−√2−7𝑥 
 = 0 ⟺ 𝑥 = −
1
4
 ou 𝑥 =
1
4
 
𝑓(𝑥) =
1−4|𝑥|
 3−√2−7𝑥 
 > 0 ⟺ 𝑥 < −1 𝑜𝑢 −
1
4
< 𝑥 <
1
4
 
𝑓(𝑥) =
1−4|𝑥|
 3−√2−7𝑥 
 < 0 ⟺ −1 < 𝑥 < −
1
4
 𝑜𝑢 
1
4
 < 𝑥 ≤
2
7
 
 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
(2.c) Seja 𝑔(𝑥) = √𝑥 
Vamos lembrar que, 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = [0 , +∞) 
(i) (𝑔 ∘ 𝑓) (−
1
2
) = 𝑔 (𝑓 (−
1
2
) ). Como −1 < −
1
2
< −
1
4
 , pelo item (2.b) temos que 
𝑓 (−
1
2
) < 0 e portanto 𝑔 (𝑓 (−
1
2
) ) = √𝑓 (−
1
2
) não pode ser calculado. 
(ii) (𝑔 ∘ 𝑓) (
1
7
) = 𝑔 (𝑓 (
1
7
) ) . Como −
1
4
<
1
7
<
1
4
 , pelo item (2.b) temos que 𝑓 (
1
7
) > 0 e 
portanto 𝑔 (𝑓 (
1
7
) ) = √𝑓 (
1
7
) pode ser calculado. 
Calculando 𝑔 (𝑓 (
1
7
) ): 
 𝑔 (𝑓 (
1
7
) ) = √𝑓 (
1
7
) = √ 
1−4|
1
7
|
 3−√2−7∙
1
7
 
 
 = √ 
1−
4
7
 3−√2−1
 
 = √ 
1−
4
7
 3−1
 
 = √ 
3
7
 2
 
 = √ 
3
 14
 
 
 
Questão 3 (2,7 pontos) Faça o que se pede em cada item. 
(3.a) [1,6 ponto] Considere a função ℎ(𝑥) = −2𝑥2 + 6𝑥 − 4 . Utilizando completamento 
de quadrados, escreva a função quadrática ℎ(𝑥) = −2𝑥2 + 6𝑥 − 4 na forma canônica. A partir 
dessa forma canônica encontre o vértice dessa parábola e as raízes dessa função, ou seja, 
encontre os valores de 𝑥 para os quais ℎ(𝑥) = 0. Justifique suas respostas apresentando as 
contas feitas para essa resolução. Dê a concavidade da parábola. Justifique. Encontre a interseção 
dessa parábola com o eixo 𝒚. 
 
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Atenção: a questão só será pontuada se o vértice e as raízes forem encontrados e justificados 
através da forma canônica. Lembre que a forma canônica de uma função quadrática é 
 ℎ(𝑥) = 𝑎(𝑥 − ℎ)2 + 𝑘 , onde 𝑎 , ℎ , 𝑘 são constantes reais. 
Explique, usando transformação em gráfico, como construir o gráfico da função 𝑠(𝑥) =
−ℎ(−𝑥) , a partir do gráfico da função 𝑦 = ℎ(𝑥). Esboce em um mesmo par de eixos os gráficos 
das funções 𝑦 = ℎ(𝑥) e 𝑦 = 𝑠(𝑥) = −ℎ(−𝑥).Marque nos gráficos as interseções com os 
eixos coordenados e o vértice de cada parábola. Dê a imagem de cada função. 
(3.b) [1,1 ponto] Considere a função 𝑟(𝑥) = √𝑥 + 1. 
Qual é o domínio da função 𝑟 ? Esboce o gráfico da função 𝑟 e explique a construção desse 
gráfico , usando transformação em gráfico a partir do gráfico da função 𝑦 = √𝑥. 
Observando o gráfico da função 𝑟 , responda qual é a imagem da função r e explique porque é 
possível garantir que a função 𝑟: 𝐷𝑜𝑚(𝑟) ⟶ 𝐼𝑚(𝑟), admite função inversa 𝑦 = 𝑟−1(𝑥). 
Encontre a expressão da função inversa 𝑟−1 . Responda qual é o domínio e a imagem de 𝑦 =
𝑟−1(𝑥). 
Esboce, agora, em um mesmo par de eixos coordenados o gráfico da função 𝑦 = 𝑟(𝑥), da função 
inversa 𝑦 = 𝑟−1(𝑥) e da reta 𝑦 = 𝑥 . Identifique nos gráficos de 𝑦 = 𝑟(𝑥) e de 𝑦 = 𝑟−1(𝑥) 
os pontos onde esses gráficos tocam ou cortam os eixos coordenados. 
RESOLUÇÃO: 
(3.a) 
Forma canônica 
Completando o quadrado: 
ℎ(𝑥) = −2𝑥2 + 6𝑥 − 4 = −2(𝑥2 − 3𝑥) − 4 = −2(𝑥2 − 2 ∙
3
2
∙ 𝑥 +
9
4
−
9
4
) − 4 
= −2(𝑥2 − 2 ∙
3
2
∙ 𝑥 +
9
4
) +
9
2
− 4 = −2(𝑥 −
3
2
)
2
+
1
2
. 
Vértice 
𝑉(𝑥𝑉, 𝑦𝑉) = (ℎ, 𝑘) e pela equação na forma canônica, ℎ =
3
2
 e 𝑘 =
1
2
 . Logo 𝑉 (
3
2
 ,
1
2
). 
Concavidade 
Como o coeficiente do termo 𝑥2 é 𝑎 = −2 < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo. 
Encontrando os valores de 𝒙 para os quais 𝒉(𝒙) = 𝟎, ou seja, os pontos de interseção com o eixo 
 𝒙 . 
ℎ(𝑥) = −2𝑥2 + 6𝑥 − 4 = −2 (𝑥 −
3
2
)
2
+
1
2
= 0 ⟺ (𝑥 −
3
2
)
2
=
1
4
 ⟺ 
 √ (𝑥 −
3
2
)
2
= √
1
4
 ⟺ |𝑥 −
3
2
| =
1
2
 ⟺ 𝑥 −
3
2
= −
1
2
 ou 𝑥 −
3
2
= +
1
2
 ⟺ 
 𝑥 =
3
2
−
1
2
= 1 ou 𝑥 =
3
2
+
1
2
= 2 
Portanto as raízes de 𝑦 = ℎ(𝑥) são 𝑥 = 1 e 𝑥 = 2 . 
Interseção com o eixo 𝒚 : 
Fazendo 𝑥 = 0 temos 𝑦 = −2 ∙ 02 + 6.0 − 4 = −4. Logo a interseção com o eixo 𝑦 é: (0 , −4). 
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Partindo do gráfico da função ℎ(𝑥) = −2𝑥2 + 6𝑥 − 4 : 
𝑦 = ℎ(𝑥) 
reflexão em torno
 do eixo 𝑥
⇒ 𝑦 = −ℎ(𝑥) 
reflexão em torno
 do eixo 𝑦
⇒ 𝑦 = 𝑠(𝑥) = −ℎ(−𝑥) 
Pelas transformações vemos que o vértice da parábola de equação 𝑦 = 𝑠(𝑥) = −ℎ(−𝑥) é o ponto 
(−
3
2
 , −
1
2
) e as raízes são 
𝑥 = −2 e 𝑥 = −1 . 
Observando os gráficos vemos que 
 𝐈𝐦(𝒔) = [−
𝟏
𝟐 
 , +∞) e que 𝐈𝐦(𝒉) = (−∞ ,
𝟏
𝟐
] . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
(3.b) Seja 𝑟(𝑥) = √𝑥 + 1 
Domínio da função 𝑦 = 𝑟(𝑥) = { 𝑥 ∈ ℝ ∶ 𝑥 ≥ 0 } . Logo, 𝑫𝒐𝒎(𝒓) = [𝟎 , + ∞). 
 
Partindo do gráfico da função 𝑦 = √𝑥, temos que 
𝑦 = √𝑥 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙
𝑑𝑒 1 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑖𝑚𝑎
⇒ 𝑟(𝑥) = √𝑥 + 1 
 
 
 
Observando o gráfico, temos que 𝐈𝐦(𝒓) = [𝟏 , + ∞) 
Portanto, 𝐃𝐨𝐦(𝒓) = [𝟎 , + ∞) 𝒆 𝐈𝐦(𝒓) = [𝟏 , + ∞) 
Do gráfico da função 𝑟 , observamos que a função 𝑟 é uma função crescente, logo injetora e, 
portanto, inversível. 
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Temos que: 𝐃𝐨𝐦(𝒓−𝟏) = 𝐈𝐦(𝒓) = [𝟏 , + ∞) e 𝐈𝐦(𝒓−𝟏) = 𝐃𝐨𝐦(𝒓) = [𝟎 , + ∞) 
Para encontrar a expressão da inversa, vamos resolver a equação, 𝑦 = √𝑥 + 1 na variável 𝑥 : 
𝑦 = √𝑥 + 1 ⟺ √𝑥 = 𝑦 − 1 ⟺ ( √𝑥 )
2
= (𝑦 − 1)2 , 𝑥 ≥ 0 , 𝑦 ≥ 1 ⟺ 
𝑥 = (𝑦 − 1)2 , 𝑥 ≥ 0 , 𝑦 ≥ 1. 
Trocando 𝑥 por 𝑦 temos: 
𝑦 = (𝑥 − 1)2 , 𝑥 ≥ 1 𝑒 𝑦 ≥ 0 
Portanto, 
 𝑟−1(𝑥) = (𝑥 − 1)2 , Dom(𝑟−1) = [1 , +∞ ) e Im(𝑟−1) = [0 , +∞ ). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 4 (1,8 ponto) Faça o que se pede em cada item. 
(4.a) [1,2 ponto] Considere a função 𝑓(𝑥) = (1 − tan(3𝑥))(1 − 4 sen2(2𝑥)). 
Determine o domínio da função 𝑓 e os valores de 𝑥 em que 𝑓(𝑥) = 0, para −
𝜋
3
≤ 𝑥 ≤
𝜋
3
 . Esses são 
pontos onde o gráfico corta o eixo 𝑥 . 
(4.b) [0,6 ponto] Se sec(𝜃) = 3 e 
15𝜋
2
< 𝜃 < 8𝜋, calcule sen(2𝜃). 
RESOLUÇÃO: 
(4.a) Domínio: única restrição: 3𝑥 ≠
𝜋
2
+ 𝑘𝜋 , 𝑘 ∈ ℤ. 
Como 3𝑥 ≠
𝜋
2
+ 𝑘𝜋 ⟺ 𝑥 ≠
𝜋
6
+
𝑘𝜋
3
 , temos 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 ≠
𝜋
6
+
𝑘𝜋
3
, 𝑘 ∈ ℤ}. 
Resolvendo 𝒇(𝒙) = 𝟎 e −
𝝅
𝟑
≤ 𝒙 ≤
𝝅
𝟑
. 
(1 − tan(3𝑥))(1 − 4 sen2(2𝑥)) = 0 e −
𝜋
3
≤ 𝑥 ≤
𝜋
3
 ⟺ . 
APX3-GABARITO – 2020-1 Pré-Cálculo 8 de 12 
{1 − tan(3𝑥) = 0 𝑒 −
𝜋
3
≤ 𝑥 ≤
𝜋
3
} ou {1 − 4 sen2(2𝑥) = 0 𝑒 −
𝜋
3
≤ 𝑥 ≤
𝜋
3
}. 
A solução será a união das soluções de de cada equação. 
Resolvendo cada equação para −
𝜋
3
≤ 𝑥 ≤
𝜋
3
. 
• 1 − tan(3𝑥) = 0 𝑒 −
𝜋
3
≤ 𝑥 ≤
𝜋
3
 ⟺ tan(3𝑥) = 1 𝑒 − 𝜋 ≤ 3𝑥 ≤ 𝜋. 
Mudando a variável, por exemplo, 3𝑥 = 𝑡, temos que resolver 
tan(𝑡) = 1 𝑒 − 𝜋 ≤ 𝑡 ≤ 𝜋. 
Observando o círculo trigonométrico na variável 𝑡, isto é ângulo 𝑡, 
obtemos a solução em 𝑡: 
𝑡 =
𝜋
4
 ou 𝑡 = −
3𝜋
4
 
Voltando à variável 𝑥, 
3𝑥 =
𝜋
4
 ou 3𝑥 = −
3𝜋
4
 ⟺ 𝑥 =
𝜋
12
 ou 𝑥 = −
𝜋
4
 
Logo, a solução de 1 − tan(3𝑥) = 0 𝑒 −
𝜋
3
≤ 𝑥 ≤
𝜋
3
 é 𝑆1 = {−
𝜋
4
,
𝜋
12
} 
• 1 − 4 sen2(2𝑥) = 0 𝑒 −
𝜋
3
≤ 𝑥 ≤
𝜋
3
 ⟺ 
4 sen2(2𝑥) = 1 𝑒 −
2𝜋
3
≤ 2𝑥 ≤
2𝜋
3
 ⟺ sen2(2𝑥) =
1
4
 𝑒 −
2𝜋
3
≤ 2𝑥 ≤
2𝜋
3
 ⟺ 
sen(2𝑥) = ±
1
2
 𝑒 −
2𝜋
3
≤ 2𝑥 ≤
2𝜋
3
 
Mudando de variável, por exemplo, 2𝑥 = 𝑡, temos que resolver duas 
equações em t. 
Observando o círculo trigonométrico na variável 𝑡, isto é ângulo 𝑡, 
obtemos a solução de cada equação em 𝑡. 
sen(𝑡) =
1
2
 e −
2𝜋
3
≤ 𝑡 ≤
2𝜋
3
 𝑡 =
𝜋
6
 
sen(𝑡) = −
1
2
 e −
2𝜋
3
≤ 𝑡 ≤
2𝜋
3
 𝑡 = −
𝜋
6
 
Voltando à variável 𝑥, 
2𝑥 =
𝜋
6
 ou 2𝑥 = −
𝜋
6
 ⟺ 𝑥 =
𝜋
12
 ou 𝑥 = −
𝜋
12
 
Logo, a solução de 1 − 4 sen2(2𝑥) = 0 𝑒 −
𝜋
3
≤ 𝑥 ≤
𝜋
3
 é 𝑆2 = {−
𝜋
12
,
𝜋
12
} 
Portanto, a solução pedida de 𝒇(𝒙) = 𝟎 e −
𝝅
𝟑
≤ 𝒙 ≤
𝝅
𝟑
: é: 
𝑆 = 𝑆1 ∪ 𝑆2 = {−
𝝅
𝟒
, −
𝝅
𝟏𝟐
,
𝝅
𝟏𝟐
}. 
 
 
APX3-GABARITO – 2020-1 Pré-Cálculo 9 de 12 
(4.b) sec(𝜃) = 3 e 
15𝜋
2
< 𝜃 < 8𝜋, calcule sen(2𝜃). 
Para usar a identidade sen(2𝜃) = 2 sen(𝜃) cos(𝜃) é preciso calcular sen(𝜃) e cos(𝜃). 
sec(𝜃) = 3 𝑒 sec(𝜃) =
1
cos(𝜃)
 ⟹ 
1
cos(𝜃)
= 3 ⟹ cos(𝜃) =
1
3
. 
Para calcular sen(𝜃), vamos usar a identidade trigonométrica fundamental. 
sen2(𝜃) + cos2(𝜃) = 1 ⟹ sen2(𝜃) = 1 − cos2(𝜃). 
Substituindo cos(𝜃) =
1
3
 na equação acima, 
sen2(𝜃) = 1 − (
1
3
)
2
= 1 −
1
9
=
8
9
 ⟹ sen(𝜃) = ±
√8
√9
= ±
2√2
3
 . 
Para decidir qual será o sinal de sen(𝜃) é preciso saber qual é o quadrante do ângulo 𝜃. 
Dado 
15𝜋
2
< 𝜃 < 8𝜋. Vamos verificar congruências, 8𝜋 = 2𝜋 + 6𝜋 e 
15𝜋
2
=
3𝜋+12𝜋
2
=
3𝜋
2
+ 6𝜋, 
Assim temos que 
3𝜋
2
+ 6𝜋 < 𝜃 < 2𝜋 + 6𝜋 ⟹ 
3𝜋
2
< 𝜃 − 6𝜋 < 2𝜋. 
Logo o ângulo 𝜃 − 6𝜋 é um ângulo do 4º. Quadrante. 
Como o ângulo 𝜃 − 6𝜋 é congruente com o ângulo 𝜃, concluímos que 𝜃 é um ângulo do 4º. 
Quadrante, portanto sen(𝜃) < 0. 
Assim, temos que cos(𝜃) =
1
3
 e sen(𝜃) = −
2√2
3
. 
Portanto, sen(2𝜃) = 2 ∙
1
3
∙ (−
2√2
3
) = −
4√2
9
. 
 
Questão 5 (2,2 pontos) Faça o que se pede em cada item. 
(5.a) [0,7 ponto] Determine o domínio da função F(x) = log3 4
𝑥. 
Usando propriedades de logaritmo e mudança de base, resolva a equação 
log3 4
𝑥 = ln 2. 
(5.b) [1,5ponto] Considere as funções 𝑚(𝑥) = 3𝑒2𝑥 − 4 e 𝑛(𝑥) = 4𝑒𝑥 − 5. 
Determine o domínio de cada função e esboce o gráfico das duas funções em um mesmo par de 
eixos. Explique a construção de cada gráfico, descrevendo as transformações usadas ou desenhando 
os gráficos das transformações usadas. 
Em quais pontos os gráficos se cortam? Para responder será preciso resolver a equação 𝑚(𝑥) =
𝑛(𝑥). 
Observe os gráficos e responda: qual é a imagem de cada função? 
RESOLUÇÃO: 
(5.a) Domínio: a única restrição é 4𝑥 > 0. 
Como para qualquer que seja o valor de 𝑥 ∈ ℝ, 4𝑥 > 0, concluímos que 𝐷𝑜𝑚(𝐹) = ℝ. 
Resolução da equação 
APX3-GABARITO – 2020-1 Pré-Cálculo 10 de 12 
log3 4
𝑥 = ln 2 
log𝑏 𝑎
𝑘=𝑘 log𝑏 𝑎
𝑎>0, 𝑏>0 , 𝑘 ∈ ℝ
⇔ 𝑥 log3 4 = ln 2 
mudança de base: log𝑏 𝑥=
log𝑒 𝑥
log𝑒 𝑏
=
ln𝑥
ln𝑏
⇔ 𝑥
ln 4
ln 3
= ln 2 
 ⟺ 𝑥 ln 22 = (ln 2)(ln 3) ⟺ 𝑥 ∙ 2 ∙ ln 2 = (ln 2)(ln 3) ⟺ 𝑥 =
ln 3
2
 
Portanto a solução da equação log3 4
𝑥 = ln2 é 𝑥 =
ln 3
2
 
 
(5.b) Domínios: 
Não há restrição para o domínio da função 𝑚 pois a função exponencial pode ser calculada para 
qualquer valor real. O mesmo para a função 𝑛. 
Portanto, 𝐷𝑜𝑚 (𝑚) = ℝ e 𝐷𝑜𝑚 (𝑛) = ℝ. 
Transformações para construir o gráfico da função 𝒎(𝒙) = 𝟑𝒆𝟐𝒙 − 𝟒: 
𝑦 = 𝑒𝑥 
𝑟𝑒𝑑𝑢çã𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙,
𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎çã𝑜:
1
2
→ 𝑦 = 𝑒2𝑥 
𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑎çã𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙,
𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎çã𝑜: 3
→ 𝑦 = 3𝑒2𝑥 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙
4 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜
→ 𝑚(𝑥) = 3𝑒2𝑥 − 4 
Gráficos transformados, a partir do gráfico de 𝒚 = 𝒆𝒙, para construir o gráfico de 
𝒎(𝒙) = 𝟑𝒆𝟐𝒙 − 𝟒. 
 
𝑟𝑒𝑑𝑢çã𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙,
𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎çã𝑜:
1
2
→ 
 
 
 
 
𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑎çã𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙,
𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 
𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎çã𝑜: 3
→ 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙
4 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜
→ 
 
 
 
OBSERVAÇÃO: as outras possíveis sequências de transformações são: 
𝑦 = 𝑒𝑥 
𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑎çã𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙
→ 𝑦 = 3𝑒𝑥 
𝑟𝑒𝑑𝑢çã𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙
→ 𝑦 = 3𝑒2𝑥
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙
→ 𝑚(𝑥) = 3𝑒2𝑥 − 4 
APX3-GABARITO – 2020-1 Pré-Cálculo 11 de 12 
𝑦 = 𝑒𝑥 
𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑎çã𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙
→ 𝑦 = 3𝑒𝑥 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙
→ 𝑦 = 3𝑒𝑥 − 4 
𝑟𝑒𝑑𝑢çã𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙
→ 𝑚(𝑥) = 3𝑒2𝑥 − 4 
É preciso respeitar que a translação vertical tem que vir depois da ampliação vertical. 
 
Transformações para construir o gráfico da função 𝒏(𝒙) = 𝟒𝒆𝒙 − 𝟓: 
𝑦 = 𝑒𝑥 
𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑎çã𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙,
𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎çã𝑜: 4
→ 𝑦 = 4𝑒𝑥 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙
5 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜
→ 𝑚(𝑥) = 4𝑒𝑥 − 5 
Gráficos transformados, a partir do gráfico de 𝒚 = 𝒆𝒙, para construir o gráfico de 
𝒏(𝒙) = 𝟒𝒆𝒙 − 𝟓. 
 
 
𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑎çã𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙,
𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 
𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎çã𝑜: 4
→ 
 
 
 
 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙
5 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜
→ 
 
 
 
 
 
Pontos de interseção dos gráficos: 
𝑚(𝑥) = 𝑛(𝑥) ⟺ 3𝑒2𝑥 − 4 = 4𝑒𝑥 − 5 ⟺ 3𝑒2𝑥 − 4𝑒𝑥 + 1 = 0 
Como 𝑒2𝑥 = (𝑒𝑥)2, a última equação pode ser escrita como 3(𝑒𝑥)2 − 4𝑒𝑥 + 1 = 0. 
Mudando a variável, por exemplo, 𝑒𝑥 = 𝑡, temos que 3𝑡2 − 4𝑡 + 1 = 0 
Resolvendo na variável 𝑡, 𝑡 =
4±√(−4)2−4∙3∙1
2∙3
=
4±√16−12
6
=
4±√4
6
=
4±2
6
= {
6
6
= 1
2
6
=
1
3
 
Logo, 𝑡 = 1 ou 𝑡 =
1
3
. 
Voltando à variável 𝑥, 𝑒𝑥 = 1 𝑜𝑢 𝑒𝑥 =
1
3
 ⟺ 
APX3-GABARITO – 2020-1 Pré-Cálculo 12 de 12 
𝑥 = 0 ou 𝑥 = ln (
1
3
) = − ln 3. 
Determinando as ordenadas dos pontos, 
𝑦 = 𝑚(0) = 𝑛(0) = 3𝑒0 − 4 = −1. 
𝑦 = 𝑚(− ln 3) = 𝑛(− ln 3) = 4𝑒− ln(3) − 5 = 4𝑒ln(3
−1) − 5 = 4 ∙ 3−1 − 5 =
4
3
− 5 = −
11
3
 . 
Portanto os gráficos se cortam nos pontos (− ln 3 ,−
11
3
) e (0, −1). 
Esboço dos gráficos no mesmo par de eixos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Imagens 
𝐼𝑚𝑎𝑔𝑒𝑚(𝑚) = (−4,∞) e 𝐼𝑚𝑎𝑔𝑒𝑚(𝑛) = (−5,∞)