PC_2023-2_AP2_GABARITO

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AP2 – 2023-2 GABARITO Pré-Cálculo Página 1 de 6 
 
DISCIPLINA PRÉ-CÁLCULO 2023-2 
 Profa. Maria Lúcia Campos 
AP2 – GABARITO 
Código da disciplina EAD01002 – Cursos: Física, Química, Matemática ANTIGO 
Código da disciplina EAD01082 – Curso: Matemática NOVO 
 
Nas questões (1) e (2), considere as funções 𝑓(𝑥) = −√ 4 − 𝑥2 e 𝑟(𝑥) = √ 4 − (𝑥 − 4)2 + 1 
Questão 1 [2,3] 
• Considere a função 𝑓 . Calcule o domínio da função 𝑓, mostrando as contas necessárias para isso. 
Faça cálculos e encontre os pontos em que o gráfico da função 𝑦 = 𝑓(𝑥) corta ou toca os eixos 
coordenados. 
• Esboce o gráfico da função 𝑦 = 𝑓(𝑥) , sabendo que o gráfico da função 𝑓 é parte de uma curva 
conhecida. Explique a construção do gráfico da função 𝑓 identificando a curva que dá origem a 
ele, explicitando a equação dessa curva e a sua descrição. 
RESOLUÇÃO: 
• Calculando o domínio da função 𝒇(𝒙) = −√ 𝟒 − 𝒙𝟐 . 
A restrição que devemos fazer é impor radicando positivo ou nulo, ou seja, 4 − 𝑥2 ≥ 0. 
Temos que, 
4 − 𝑥2 ≥ 0 ⟺ 4 ≥ 𝑥2 ⟺ 𝑥2 ≤ 4 
⇒:𝑒𝑥𝑡𝑟𝑎𝑖𝑛𝑑𝑜 𝑎
𝑟𝑎𝑖𝑧 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑎
"⇐":𝑒𝑙𝑒𝑣𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎𝑜 
𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜
⇔ √𝑥2 ≤ √4 ⟺ |𝑥| ≤ 2 ⟺ −2 ≤ 𝑥 ≤ 2 . 
Portanto, Dom(𝑟) = {𝑥 ∈ ℝ ∶ −2 ≤ 𝑥 ≤ 2] = [−2 , 2] . 
Interseção com o eixo 𝒙: 
Fazendo 𝑦 = 0 : 
−√ 4 − 𝑥2 = 0 ⟺ 4 − 𝑥2 = 0 ⟺ 𝑥2 = 4 ⟺ 𝑥 = −2 ou 𝑥 = 2 . 
O gráfico da função 𝑦 = 𝑓(𝑥) toca o eixo 𝒙 nos pontos (−2 , 0) e (2 , 0) . 
Interseção com o eixo 𝒚: 
Fazendo 𝑥 = 0 : 
𝑓(0) = −√4 − 02 = −√4 = −2. O gráfico da função 𝑦 = 𝑓(𝑥) corta o eixo 𝒚 no ponto (0 , −2 ). 
• Esboçando o gráfico de 𝒇(𝒙) = −√ 𝟒 − 𝒙𝟐 . 
Temos que: 
𝑦 = −√ 4 − 𝑥2 
𝐸𝑙𝑒𝑣𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎𝑜
 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜
⇒ 𝑦2 = (−√ 4 − 𝑥2 )
2
= 4 − 𝑥2 ⟺ 
 
𝑥2 + 𝑦2 = 4 . 
AP2 – 2023-2 GABARITO Pré-Cálculo Página 2 de 6 
A equação 𝑥2 + 𝑦2 = 4 define um círculo centrado na origem 𝐶(0,0) e raio 𝑟 = 2. 
Como −√ 4 − 𝑥2 ≤ 0 para todo 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = [−2,2], o 
gráfico da função 𝑓(𝑥) = −√ 4 − 𝑥2 é o semicírculo inferior 
do círculo centrado na origem e raio 𝑟 = 2. 
 
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Questão 2 [1,9] 
• Considere a função 𝑟 . Descreva as três transformações que precisam ser feitas no gráfico da 
função 𝑓 para se obter o gráfico da função 𝑟. 
• Levando em consideração as transformações do item acima, esboce o gráfico da função 𝒓 , a 
partir do gráfico da função 𝑓 . Responda qual é o domínio da função 𝑟. Você pode encontrar o 
domínio da função 𝑟 , fazendo cálculos para isso ou observando o gráfico da função 𝑟 . Responda 
qual é a Imagem da função 𝑟 . 
RESOLUÇÃO: 
• Descrevendo as três transformações que precisam ser feitas no gráfico da função 
 𝑓(𝑥) = −√ 4 − 𝑥2 para se obter o gráfico da função 𝑟(𝑥) = √ 4 − (𝑥 − 4)2 + 1. 
 
𝑓(𝑥) = −√ 4 − 𝑥2 
𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜
ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙
𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎
4 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
⇒ 𝑦 = −√ 4 − (𝑥 − 4)2 
𝑅𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜 
𝑒𝑚 𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜 𝑑𝑜 
𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥
⇒ 
𝑦 = −(−√ 4 − (𝑥 − 4)2 ) = √ 4 − (𝑥 − 4)2 
𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜
𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑖𝑚𝑎
1 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
⇒ 𝑟(𝑥) = √ 4 − (𝑥 − 4)2 + 1 
Existe uma outra possibilidade de transformações: 
𝑓(𝑥) = −√ 4 − 𝑥2 
𝑅𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜 
𝑒𝑚 𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜 𝑑𝑜 
𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥
⇒ 𝑦 = −(−√ 4 − 𝑥2 ) = √ 4 − 𝑥2 
𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜
ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙
𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎
4 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
⇒ 𝑦 = √ 4 − (𝑥 − 4)2 
𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜
𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑖𝑚𝑎
1 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
⇒ 𝑟(𝑥) = √ 4 − (𝑥 − 4)2 + 1 
 
• Esboçando o gráfico da função 𝒓 , usando a primeira possibilidade de transformações. 
Para ilustrar vamos esboçar também os gráficos intermediários. 
AP2 – 2023-2 GABARITO Pré-Cálculo Página 3 de 6 
 
 
 
𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜
ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙
𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎
4 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
⇒ 
 
 
 
 
 
 
𝑅𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜 
𝑒𝑚 𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜 𝑑𝑜 
𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥
⇒ 
𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜
𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑖𝑚𝑎
1 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
⇒ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Calculando o domínio da função 𝑟(𝑥) = √ 4 − (𝑥 − 4)2 + 1. 
A restrição que devemos fazer é impor radicando positivo ou nulo, ou seja, 4 − (𝑥 − 4)2 ≥ 0. 
Temos que, 
4 − (𝑥 − 4)2 ≥ 0 ⟺ 4 ≥ (𝑥 − 4)2 ⟺ (𝑥 − 4)2 ≤ 4 
⇒:𝑒𝑥𝑡𝑟𝑎𝑖𝑛𝑑𝑜 𝑎
𝑟𝑎𝑖𝑧 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑎
"⇐":𝑒𝑙𝑒𝑣𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎𝑜 
𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜
⇔ √(𝑥 − 4)2 ≤ √4 
 ⟺ |𝑥 − 4| ≤ 2 ⟺ −2 ≤ 𝑥 − 4 ≤ 2 ⟺ −2 + 4 ≤ 𝑥 ≤ 2 + 4 ⟺ 2 ≤ 𝑥 ≤ 6 
Portanto, Dom(𝑟) = {𝑥 ∈ ℝ ∶ 2 ≤ 𝑥 ≤ 6] = [2 , 6] . 
Observando o gráfico da função 𝑟 , confirmamos que Dom(𝑟) = [2 , 6] 
Observando o gráfico da função 𝑟 temos que Im(𝑟) = [1 , 3]. 
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Questão 3 [2,2] 
Considere que 𝜃 é um ângulo do 3º. Quadrante e sen(𝜃) = −
 4 
5
. 
Calcule: cos(𝜃) , sen (𝜃 +
𝜋
3
) , tan(−𝜃) , sec(2𝜃). 
RESOLUÇÃO: 
• A identidade trigonométrica fundamental é sen2( 𝜃) + cos2(𝜃) = 1. 
Substituindo sen(𝜃) = −
 4 
5
 nessa equação, obtemos (−
 4 
5
)
2
+ cos2(𝜃) = 1. 
Resolvendo, 
(−
 4 
5
)
2
+ cos2(𝜃) = 1 ⟺ cos2(𝜃) = 1 −
16
25
 ⟺ cos(𝜃) = ±√1 −
16
25
= ±√
25−16
25
 = ±√
9
25
= ±
3
5
 . 
Considerando que 𝜃 é um ângulo do 3º. quadrante, temos que cos(𝜃) < 0. 
Portanto, cos(𝜃) = −
3
5
. 
• Temos que sen(𝜃 + 𝜋/3) = sen(𝜃) cos (
𝜋
3
) + cos(𝜃) sen (
𝜋
3
). 
Sabemos que sen (
𝜋
3
) =
√3
2
 , cos (
𝜋
3
) =
1
2
 e cos(𝜃) = −
3
5
 , logo 
sen (𝜃 +
𝜋
3
) = sen(𝜃) cos (
𝜋
3
) + cos(𝜃) sen (
𝜋
3
) = (−
 4 
5
) ∙
1
2
 + (−
3
5
) ∙
√3
2
= −
 2 
5
−
3√3
10
 
Logo, sen (𝜃 +
𝜋
3
) = −(
4+3√3
10
). 
• Sabemos que tan(𝜃) =
sen(𝜃)
cos(𝜃)
 . Substituindo 𝜃 por −𝜃 , obtemos 
tan(−𝜃) =
sen(−𝜃)
cos(−𝜃)
 =⏞
(∗)
−sen(𝜃)
cos(𝜃)
=
− (−
 4 
5
)
− 
3
5
= −
4
3
 
Em (*) foram usadas as propriedades: 
sen(−𝜃) = −sen(𝜃) (a função seno é ímpar) e cos(−𝜃) = cos(𝜃) (a função cosseno é par). 
• Sabemos que sec(𝜃) =
1
cos(𝜃)
. Substituindo 𝜃 por 2𝜃, obtemos sec(2𝜃) =
1
cos(2𝜃)
. 
Usando a identidade trigonométrica cos(2𝜃) = cos2(𝜃) − sen2(𝜃), temos que 
sec(2𝜃) =
1
cos(2𝜃)
=
1
cos2(𝜃)−sen2(𝜃)
=
1
(−
3
5
)
2
−(−
4
5
)
2 =
1
9
25
 − 
16
25
= −
25
7
. 
 
_____________________________________________________________________________________ 
Questão 4 [1,6] 
Resolva as equações sen(𝑥) = −
√3
2
 e sen(𝑥) =
√3
2
 para 𝑥 ∈ [0,
3𝜋
2
]. 
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RESOLUÇÃO: 
Resolvendo as equações: 
• sen(𝑥) = −
√3
2
 , para 𝑥 ∈ [0,
3𝜋
2
] 
Observando as simetrias no círculo trigonométrico ao lado, 
vemos que: 
uma solução é 𝜃1 = 𝜋 +
𝜋
3
= 
4𝜋
3
 , 
outra solução é 𝜃2 = 2𝜋 −
𝜋
3
= 
5𝜋
3
 . 
Como 𝑥 ∈ [0,
3𝜋
2
] e 
4𝜋
3
<
3𝜋
2
 , então 𝜃1 =
4𝜋
3
 é solução da 
equação sen(𝑥) = −
√3
2
 , para 𝑥 ∈ [0,
3𝜋
2
]. 
Como 𝑥 ∈ [0,
3𝜋
2
] e 
5𝜋
3
>
3𝜋
2
 , então 𝜃2 =
5𝜋
3
 não é solução da equação sen(𝑥) = −
√3
2
 , para 𝑥 ∈
[0,
3𝜋
2
]. 
Portanto a única solução dessa equação é: 𝑆1 = { 
4𝜋
3
 }. 
• sen(𝑥) =
√3
2
 , para 𝑥 ∈ [0,
3𝜋
2
] 
Observando as simetrias no círculo trigonométrico acima, vemos que: 
uma solução é 𝜃1 =
𝜋
3
 , 
outra solução é 𝜃2 = 𝜋 −
𝜋
3
 =
2𝜋
3
. 
Como 𝑥 ∈ [0,
3𝜋
2
] e 
𝜋
3
<
3𝜋
2
 , então 𝜃1 =
𝜋
3
 é solução da equação sen(𝑥) =
√3
2
 , para 𝑥 ∈ [0,
3𝜋
2
]. 
Como𝑥 ∈ [0,
3𝜋
2
] e 
2𝜋
3
<
3𝜋
2
 , então 𝜃2 =
2𝜋
3
 é solução da equação sen(𝑥) =
√3
2
 , para 𝑥 ∈
[0,
3𝜋
2
]. 
Portanto a solução dessa equação é: 𝑆2 = {
𝜋
3
,
2𝜋
3
 }. 
_____________________________________________________________________________________ 
Questão 5 [2,0] 
Considere a função 𝑘(𝑥) = ln (
 2𝑥−1 
 6 
 ) e o seu gráfico 
(FIGURA ao lado). 
 
 
 
 
 
 FIGURA 
• Determine o domínio da função 𝑘 . Mostre os cálculos. Dê as devidas justificativas. Ao 
encontrar o domínio, responda quais as coordenadas do ponto 𝐴 indicado na FIGURA acima. 
Observando o gráfico da função 𝑘 , responda qual é a Imagem da função 𝑘 . 
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• Resolva a equação 𝑘(𝑥) = 0 para encontrar o ponto de interseção da função 𝒌 com o eixo 𝑥. 
Mostre os cálculos. Dê as devidas justificativas. Agora você pode responder quais as coordenadas 
do ponto 𝐵 indicado na FIGURA acima. 
RESOLUÇÃO: 
Determinando o domínio de 𝑘(𝑥) = ln ( 
 2𝑥−1 
6
 ) . 
É preciso impor a seguinte restrição: 
 2𝑥−1 
6
 > 0. 
Temos que: 
 2𝑥−1 
6
 > 0 ⟺ 2𝑥 − 1 > 0 , pois o denominador 6 > 0 ⟺ 2𝑥 > 1 ⟺ 𝑥 >
1
2
 
Portanto, 
 2𝑥−1 
6
 > 0 ⟺ 𝑥 >
1
2
 
Concluímos que 
𝑫𝒐𝒎 (𝒌) = {𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 >
1
2
 } = (
1
2
 , +∞). 
 A partir do domínio e observando o gráfico dado, concluímos que 𝐴 (
1
2
 , 0) 
Observando o gráfico temos que, 𝑰𝒎 (𝒌) = ℝ. 
• Resolvendo a equação 𝑘(𝑥) = ln (
 2𝑥−1 
 6 
 ) = 0. 
ln (
 2𝑥 − 1 
 6 
 ) = 0 ⟺ 
 2𝑥 − 1 
 6 
= 1 ⟺ 2𝑥 − 1 = 6 ⟺ 2𝑥 = 7 ⟺ 𝑥 =
7
2
 
Logo, a função 
 𝑘(𝑥) = ln (
 2𝑥−1 
 6 
 ) corta o eixo 𝑥 em 𝑥 =
7
2
 
Observando o gráfico dado, concluímos que 𝐵 (
7
2
 , 0).