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AP2 – 2019-1 – GABARITO Pré-Cálculo Página 1 de 5 CEDERJ Gabarito da Avaliação Presencial 2 Pré-Cálculo Questão 1 [1,4 ponto] Resolva a equação 2 cos2 𝜃 − 2 sen2 𝜃 = 1, para 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋. Mostre os seus cálculos. RESOLUÇÃO Um método de resolver, usando a identidade trigonométrica fundamental. cos2 𝜃 + sen2 𝜃 = 1 ⟺ sen2 𝜃 = 1 − cos2 𝜃, substituindo na equação dada, 2 cos2 𝜃 − 2 sen2 𝜃 = 1 ⟺ 2 cos2 𝜃 − 2(1 − cos2 𝜃) = 1 ⟺ 2 cos2 𝜃 − 2 + 2 cos2 𝜃 = 1 ⟺ 4cos2 𝜃 = 3 ⟺ cos2 𝜃 = 3 4 ⟺ cos 𝜃 = ± √3 2 . Para resolver cada equação podemos usar o círculo trigonométrico ao lado. cos 𝜃 = √3 2 , 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋 ⟺ 𝜃 = 𝜋 6 cos 𝜃 = − √3 2 , 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋 ⟺ 𝜃 = 𝜋 − 𝜋 6 = 5𝜋 6 . Portanto, a solução é 𝜃 = 𝜋 6 ou 𝜃 = 5𝜋 6 Outro método de resolver, usando a identidade trigonométrica cos2 𝜃 − sen2 𝜃 = cos(2𝜃). 2 cos2 𝜃 − 2 sen2 𝜃 = 1 ⟺ 2(cos2 𝜃 − sen2 𝜃) = 1 ⟺ 2 cos(2𝜃) = 1 ⟺ cos(2𝜃) = 1 2 . Dado que 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋, multiplicando por 2, temos que 0 ≤ 2𝜃 ≤ 2𝜋. Para resolver a equação podemos usar o círculo trigonométrico ao lado, para o ângulo 2𝜃, 0 ≤ 2𝜃 ≤ 2𝜋. cos(2𝜃) = 1 2 , 0 ≤ 2𝜃 ≤ 2𝜋 ⟺ 2𝜃 = 𝜋 3 ou 2𝜃 = 2𝜋 − 𝜋 3 = 5𝜋 3 ⟺ 𝜃 = 𝜋 6 ou 𝜃 = 5𝜋 6 . Portanto a solução é 𝜃 = 𝜋 6 ou 𝜃 = 5𝜋 6 Questão 2 [1,4 ponto] Esboce o gráfico de 𝑓1(𝑥) = sen(𝑥) em um sistema de coordenadas e esboce o gráfico de 𝑓2(𝑥) = − 1 2 + sen(𝑥), em outro sistema de coordenadas, justificando o gráfico da função 𝑓2 através de transformações (translação, ou simetria, etc) no gráfico da função 𝑓1 . Ambos os gráficos devem ser desenhados apenas para 𝑥 ∈ [−2𝜋, 2𝜋]. Indique no gráfico de 𝑓1 e de 𝑓2 as coordenadas das interseções com o eixo 𝑥 e com o eixo 𝑦. RESOLUÇÃO AP2 – 2019-1 – GABARITO Pré-Cálculo Página 2 de 5 Gráfico de 𝑓1(𝑥) = sen(𝑥) , 𝑥 ∈ [−2𝜋, 2𝜋] está desenhado a seguir. Transladando verticalmente o gráfico de 𝑓1(𝑥) = sen(𝑥) de 1 2 unidade para baixo obtém-se o gráfico da função 𝑓2(𝑥) = − 1 2 + sen(𝑥). Para indicar a interseção do gráfico de 𝑓2 como o eixo 𝑦 é preciso calcular 𝑓2(0). 𝑓2(0) = − 1 2 + sen(0) = − 1 2 + 0 = − 1 2 . Para indicar a interseção do gráfico de 𝑓2 como o eixo 𝑥 é preciso resolver 𝑓2(𝑥) = 0. − 1 2 + sen(𝑥) = 0 ⟺ sen(𝑥) = 1 2 . Vamos determinar as soluções para 𝑥 ∈ [−2𝜋, 2𝜋]. No círculo ao lado, podemos encontrar as soluções de sen(𝑥) = 1 2 para 𝑥 ∈ [0,2𝜋]. 𝑥 = 𝜋 6 ou 𝑥 = 𝜋 − 𝜋 6 = 5𝜋 6 As soluções de sen(𝑥) = 1 2 para 𝑥 ∈ [−2𝜋, 0), podem ser determinadas pela periodicidade 2𝜋 da função seno. 𝑥 = 𝜋 6 − 2𝜋 = − 11𝜋 6 ou 𝑥 = 5𝜋 6 − 2𝜋 = − 7𝜋 6 . Gráfico de 𝑓2(𝑥) = − 1 2 + sen(𝑥) , 𝑥 ∈ [−2𝜋, 2𝜋] está desenhado a seguir. Questão 3 [1,4 ponto] Calcule se possível, justificando todas as suas contas. (a) arccos (sen ( 4π 3 )) (b) arcsen (sen ( 3π 8 )) RESOLUÇÃO (a) Para calcular arccos (sen ( 4π 3 )) , observemos que sen ( 4π 3 ) = sen (𝜋 + 𝜋 3 ) = −sen ( π 3 ) = − √3 2 . Assim, arccos (sen ( 4π 3 )) = arccos (− √3 2 ) = 5𝜋 6 , pois cos ( 5𝜋 6 ) = − √3 2 e 5𝜋 6 ∈ [0 , 𝜋], que é o intervalo de inversão da função cosseno. AP2 – 2019-1 – GABARITO Pré-Cálculo Página 3 de 5 (b) Para calcular arcsen (sen ( 3π 8 )) , observemos que − 𝜋 2 < 3𝜋 8 < 𝜋 2 e arcsen(sen 𝑦) = 𝑦 para ∀ 𝑦 ∈ [− 𝜋 2 , 𝜋 2 ] . Portanto, arcsen (sen ( 3π 8 )) = 3π 8 . Questão 4 [0,8 ponto] Determine, justificando, o domínio da função 𝑟(𝑥) = (4 − 𝑥)− 7 4. RESOLUÇÃO 𝑟(𝑥) = (4 − 𝑥)− 7 4 = 1 (4−𝑥) 7 4 = 1 √(4−𝑥)7 4 . O denominador não pode ser nulo e como o índice da raiz é par, o radicando (4 − 𝑥)7 deve ser positivo ou nulo. Resolvendo cada restrição, √(4 − 𝑥)7 4 = 0 ⟺ (4 − 𝑥)7 = 0 ⟺ 4 − 𝑥 = 0 ⟺ 𝑥 = 4. Logo, uma restrição do domínio é 𝑥 ≠ 4. (4 − 𝑥)7 ≥ 0 ⟺ 4 − 𝑥 ≥ 0 pois para expoentes ímpares o sinal da base é o mesmo sinal da base elevado ao expoente ímpar. 4 − 𝑥 ≥ 0 ⟺ 4 ≥ 𝑥 ⟺ 𝑥 ≤ 4. Portanto, 𝐷𝑜𝑚 (𝑟) = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 < 4} = (−∞, 4). Questão 5 [1,3 ponto] Determine o domínio da função 𝑔(𝑥) = ln(3𝑥2 − 2𝑥). Mostre os cálculos com as devidas justificativas. RESOLUÇÃO Determinando o domínio de 𝑔(𝑥) = ln(3𝑥2 − 2𝑥) . É preciso impor a seguinte restrição: 3𝑥2 − 2𝑥 > 0 . Temos que: 3𝑥2 − 2𝑥 > 0 ⟺ 𝑥( 3𝑥 − 2) > 0 Resolvendo a equação 𝑥( 3𝑥 − 2) = 0. 𝑥( 3𝑥 − 2) = 0 ⟺ 𝑥 = 0 ou 3𝑥 − 2 = 0 ⟺ 𝑥 = 0 ou 𝑥 = 2 3 . Portanto, 𝑥(3𝑥 − 2) > 0 ⟺ 𝑥 < 0 ou 𝑥 > 2 3 . Observe o gráfico da parábola 𝑦 = 3𝑥2 − 2𝑥 ao lado. Concluímos que 𝑫𝒐𝒎 (𝒈) = {𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 < 0 ou 𝑥 > 2 3 } = (−∞ , 0) ∪ ( 2 3 , +∞). AP2 – 2019-1 – GABARITO Pré-Cálculo Página 4 de 5 Considere nas questões 6, 7 e 8, as funções 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 − 2 e ℎ(𝑥) = |𝑒𝑥 − 2|. Questão 6 [1,2 ponto] Partindo do gráfico de 𝑦 = 𝑒𝑥, aplique uma transformação nesse gráfico e esboce o gráfico da função 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 − 2. Descreva a transformação que usou. Se existirem, indique no gráfico, justificando, as interseções do gráfico da função 𝒇 com os eixos coordenados. RESOLUÇÃO 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 , 2 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜 → Interseção com o eixo 𝒙: fazendo 𝑦 = 0, 𝑒𝑥 − 2 = 0 ⟺ 𝑒𝑥 = 2 ⟺ ln( 𝑒𝑥) = ln(2 ) ⟺ 𝑥 = ln (2). Portanto o gráfico da função 𝑓 corta o eixo 𝑥 no ponto (ln(2) , 0). Interseção com o eixo 𝒚: fazendo 𝑥 = 0 , 𝑓(0) = 𝑒0 − 2 = 1 − 2 = −1, logo 𝑦 = −1. Portanto o gráfico da função 𝑓 corta o eixo 𝑦 no ponto (0, −1). Questão 7 [1,0 ponto] Resolva a equação ℎ(𝑥) = |𝑒𝑥 − 2| = 0 para encontrar o ponto de interseção da função ℎ com o eixo 𝑥. Mostre os cálculos com as devidas justificativas. RESOLUÇÃO |𝑒𝑥 − 2| = 0 ⟺ 𝑒𝑥 − 2 = 0 ⟺ 𝑒𝑥 = 2 ⟺ ln( 𝑒𝑥) = ln(2 ) ⟺ 𝑥 = ln (2). Portanto o gráfico da função ℎ toca o eixo 𝑥 no ponto (ln(2) , 0). Questão 8 [1,5 ponto] Partindo do gráfico de 𝑦 = 𝑓(𝑥), aplique uma transformação nesse gráfico (translação, ou simetria, ou modulação, ...) e esboce o gráfico da função 𝑦 = ℎ(𝑥). Descreva a transformação que usou. Se existirem, indique as interseções do gráfico da função 𝒉 com os eixos coordenados. Justifique a interseção com o eixo 𝑦! Esboce nesse mesmo par de eixos coordenados a reta de equação 𝑦 = 2 . Observando o gráfico esboçado, encontre a imagem da função 𝑦 = ℎ(𝑥). RESOLUÇÃO Interseção com o eixo 𝒙: pela solução da equação da questão 7, 𝑥 = ln (2). Interseção com o eixo 𝒚: fazendo 𝑥 = 0 , ℎ(0) = |𝑒0 − 2| = |1 − 2| = |−1| = 1, logo 𝑦 = 1. AP2 – 2019-1 – GABARITO Pré-Cálculo Página 5 de 5 𝑀𝑜𝑑𝑢𝑙𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑓 → Lembremos que, quando modulamos uma função, para obter o gráfico da função modulada, mantemos o gráfico da função original na parte do gráfico em que 𝑦 ≥0 (parte acima do eixo 𝑥 ou sobre o eixo 𝑥) e fazemos uma reflexão em torno do eixo 𝑥, da parte do gráfico onde 𝑦 < 0 (parte abaixo do eixo 𝑥) Pelo gráfico da função, 𝑰𝒎(𝒉) = [𝟎,∞).
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