PC_2019-1_AP2_GABARITO

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AP2 – 2019-1 – GABARITO Pré-Cálculo 
 
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CEDERJ 
Gabarito da Avaliação Presencial 2 
Pré-Cálculo 
 
Questão 1 [1,4 ponto] Resolva a equação 2 cos2 𝜃 − 2 sen2 𝜃 = 1, para 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋. Mostre 
os seus cálculos. 
RESOLUÇÃO 
Um método de resolver, usando a identidade trigonométrica fundamental. 
cos2 𝜃 + sen2 𝜃 = 1 ⟺ sen2 𝜃 = 1 − cos2 𝜃, substituindo na equação dada, 
2 cos2 𝜃 − 2 sen2 𝜃 = 1 ⟺ 2 cos2 𝜃 − 2(1 − cos2 𝜃) = 1 ⟺ 2 cos2 𝜃 − 2 + 2 cos2 𝜃 = 1 
⟺ 4cos2 𝜃 = 3 ⟺ cos2 𝜃 =
3
4
 ⟺ cos 𝜃 = ±
√3
2
 . 
Para resolver cada equação podemos usar o círculo trigonométrico ao lado. 
cos 𝜃 =
√3
2
, 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋 ⟺ 𝜃 =
𝜋
6
 
cos 𝜃 = −
√3
2
, 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋 ⟺ 𝜃 = 𝜋 −
𝜋
6
=
5𝜋
6
 . 
Portanto, a solução é 𝜃 =
𝜋
6
 ou 𝜃 =
5𝜋
6
 
Outro método de resolver, usando a identidade trigonométrica cos2 𝜃 − sen2 𝜃 = cos(2𝜃). 
2 cos2 𝜃 − 2 sen2 𝜃 = 1 ⟺ 2(cos2 𝜃 − sen2 𝜃) = 1 ⟺ 2 cos(2𝜃) = 1 ⟺ cos(2𝜃) =
1
2
. 
Dado que 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋, multiplicando por 2, temos que 0 ≤ 2𝜃 ≤ 2𝜋. 
Para resolver a equação podemos usar o círculo trigonométrico ao lado, para o 
ângulo 2𝜃, 0 ≤ 2𝜃 ≤ 2𝜋. 
cos(2𝜃) =
1
2
, 0 ≤ 2𝜃 ≤ 2𝜋 ⟺ 2𝜃 =
𝜋
3
 ou 2𝜃 = 2𝜋 −
𝜋
3
=
5𝜋
3
 ⟺ 
𝜃 =
𝜋
6
 ou 𝜃 =
5𝜋
6
. Portanto a solução é 𝜃 =
𝜋
6
 ou 𝜃 =
5𝜋
6
 
 
Questão 2 [1,4 ponto] Esboce o gráfico de 𝑓1(𝑥) = sen(𝑥) em um sistema de coordenadas e esboce o 
gráfico de 𝑓2(𝑥) = −
1
2
+ sen(𝑥), em outro sistema de coordenadas, justificando o gráfico da função 𝑓2 
através de transformações (translação, ou simetria, etc) no gráfico da função 𝑓1 . 
Ambos os gráficos devem ser desenhados apenas para 𝑥 ∈ [−2𝜋, 2𝜋]. Indique no gráfico de 𝑓1 e de 𝑓2 
as coordenadas das interseções com o eixo 𝑥 e com o eixo 𝑦. 
RESOLUÇÃO 
 
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Gráfico de 𝑓1(𝑥) = sen(𝑥) , 𝑥 ∈ [−2𝜋, 2𝜋] está desenhado a seguir. 
 
 
 
 
 
Transladando verticalmente o gráfico de 𝑓1(𝑥) = sen(𝑥) de 
1
2
 unidade para baixo obtém-se o gráfico da 
função 𝑓2(𝑥) = −
1
2
+ sen(𝑥). 
Para indicar a interseção do gráfico de 𝑓2 como o eixo 𝑦 é preciso calcular 𝑓2(0). 
𝑓2(0) = −
1
2
+ sen(0) = −
1
2
+ 0 = −
1
2
. 
Para indicar a interseção do gráfico de 𝑓2 como o eixo 𝑥 é preciso resolver 𝑓2(𝑥) = 0. 
−
1
2
+ sen(𝑥) = 0 ⟺ sen(𝑥) =
1
2
. Vamos determinar as soluções para 𝑥 ∈ [−2𝜋, 2𝜋]. 
No círculo ao lado, podemos encontrar as soluções de sen(𝑥) =
1
2
 para 𝑥 ∈ [0,2𝜋]. 
𝑥 =
𝜋
6
 ou 𝑥 = 𝜋 −
𝜋
6
=
5𝜋
6
 
As soluções de sen(𝑥) =
1
2
 para 𝑥 ∈ [−2𝜋, 0), podem ser determinadas pela 
periodicidade 2𝜋 da função seno. 
𝑥 =
𝜋
6
− 2𝜋 = −
11𝜋
6
 ou 𝑥 =
5𝜋
6
− 2𝜋 = −
7𝜋
6
. 
Gráfico de 𝑓2(𝑥) = −
1
2
+ sen(𝑥) , 𝑥 ∈ [−2𝜋, 2𝜋] está desenhado a seguir. 
 
 
 
 
 
 
Questão 3 [1,4 ponto] Calcule se possível, justificando todas as suas contas. 
(a) arccos (sen (
4π
3
)) (b) arcsen (sen (
3π
8
)) 
RESOLUÇÃO 
(a) Para calcular arccos (sen (
4π
3
)) , observemos que sen (
4π
3
) = sen (𝜋 +
𝜋
3
) = −sen (
π
3
) = −
√3
2
 . 
Assim, arccos (sen (
4π
3
)) = arccos (−
√3
2
) =
5𝜋
6
 , pois cos ( 
5𝜋
6
) = −
√3
2
 e 
5𝜋
6
 ∈ [0 , 𝜋], que é o 
intervalo de inversão da função cosseno. 
 
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(b) Para calcular arcsen (sen (
3π
8
)) , observemos que −
𝜋
2
<
3𝜋
8
< 
𝜋
2 
 e arcsen(sen 𝑦) = 𝑦 para 
 ∀ 𝑦 ∈ [−
𝜋
2
 ,
𝜋
2
] . Portanto, arcsen (sen (
3π
8
)) = 
3π
8
 . 
 
Questão 4 [0,8 ponto] Determine, justificando, o domínio da função 𝑟(𝑥) = (4 − 𝑥)− 
7
4. 
RESOLUÇÃO 
𝑟(𝑥) = (4 − 𝑥)− 
7
4 =
1
(4−𝑥)
7
4
=
1
√(4−𝑥)7
4 . O denominador não pode ser nulo e como o índice da raiz é par, 
o radicando (4 − 𝑥)7 deve ser positivo ou nulo. Resolvendo cada restrição, 
√(4 − 𝑥)7
4
= 0 ⟺ (4 − 𝑥)7 = 0 ⟺ 4 − 𝑥 = 0 ⟺ 𝑥 = 4. 
Logo, uma restrição do domínio é 𝑥 ≠ 4. 
(4 − 𝑥)7 ≥ 0 ⟺ 4 − 𝑥 ≥ 0 pois para expoentes ímpares o sinal da base é o mesmo sinal da base 
elevado ao expoente ímpar. 
4 − 𝑥 ≥ 0 ⟺ 4 ≥ 𝑥 ⟺ 𝑥 ≤ 4. 
Portanto, 𝐷𝑜𝑚 (𝑟) = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 < 4} = (−∞, 4). 
 
 
Questão 5 [1,3 ponto] Determine o domínio da função 𝑔(𝑥) = ln(3𝑥2 − 2𝑥). Mostre os cálculos com 
as devidas justificativas. 
RESOLUÇÃO 
Determinando o domínio de 𝑔(𝑥) = ln(3𝑥2 − 2𝑥) . 
É preciso impor a seguinte restrição: 3𝑥2 − 2𝑥 > 0 . 
Temos que: 3𝑥2 − 2𝑥 > 0 ⟺ 𝑥( 3𝑥 − 2) > 0 Resolvendo a equação 𝑥( 3𝑥 − 2) = 0. 
 𝑥( 3𝑥 − 2) = 0 ⟺ 𝑥 = 0 ou 3𝑥 − 2 = 0 ⟺ 𝑥 = 0 ou 𝑥 =
2
3
 . 
Portanto, 𝑥(3𝑥 − 2) > 0 ⟺ 𝑥 < 0 ou 𝑥 > 
2
3
 . 
Observe o gráfico da parábola 𝑦 = 3𝑥2 − 2𝑥 ao lado. 
 
Concluímos que 
𝑫𝒐𝒎 (𝒈) = {𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 < 0 ou 𝑥 > 
2
3
 } = (−∞ , 0) ∪ ( 
2
3
 , +∞). 
 
 
 
 
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Considere nas questões 6, 7 e 8, as funções 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 − 2 e ℎ(𝑥) = |𝑒𝑥 − 2|. 
Questão 6 [1,2 ponto] Partindo do gráfico de 𝑦 = 𝑒𝑥, aplique uma transformação nesse gráfico e 
esboce o gráfico da função 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 − 2. Descreva a transformação que usou. Se existirem, 
indique no gráfico, justificando, as interseções do gráfico da função 𝒇 com os eixos coordenados. 
RESOLUÇÃO 
 
 
 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 ,
2 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜
→ 
 
 
Interseção com o eixo 𝒙: fazendo 𝑦 = 0, 𝑒𝑥 − 2 = 0 ⟺ 𝑒𝑥 = 2 ⟺ ln( 𝑒𝑥) = ln(2 ) ⟺
 𝑥 = ln (2). Portanto o gráfico da função 𝑓 corta o eixo 𝑥 no ponto (ln(2) , 0). 
Interseção com o eixo 𝒚: fazendo 𝑥 = 0 , 𝑓(0) = 𝑒0 − 2 = 1 − 2 = −1, logo 𝑦 = −1. 
Portanto o gráfico da função 𝑓 corta o eixo 𝑦 no ponto (0, −1). 
 
Questão 7 [1,0 ponto] Resolva a equação ℎ(𝑥) = |𝑒𝑥 − 2| = 0 para encontrar o ponto de interseção 
da função ℎ com o eixo 𝑥. Mostre os cálculos com as devidas justificativas. 
RESOLUÇÃO 
|𝑒𝑥 − 2| = 0 ⟺ 𝑒𝑥 − 2 = 0 ⟺ 𝑒𝑥 = 2 ⟺ 
ln( 𝑒𝑥) = ln(2 ) ⟺ 𝑥 = ln (2). Portanto o gráfico da função ℎ toca o eixo 𝑥 no ponto (ln(2) , 0). 
 
Questão 8 [1,5 ponto] Partindo do gráfico de 𝑦 = 𝑓(𝑥), aplique uma transformação nesse gráfico 
(translação, ou simetria, ou modulação, ...) e esboce o gráfico da função 𝑦 = ℎ(𝑥). Descreva a 
transformação que usou. Se existirem, indique as interseções do gráfico da função 𝒉 com os eixos 
coordenados. Justifique a interseção com o eixo 𝑦! Esboce nesse mesmo par de eixos coordenados a 
reta de equação 𝑦 = 2 . Observando o gráfico esboçado, encontre a imagem da função 𝑦 = ℎ(𝑥). 
RESOLUÇÃO 
Interseção com o eixo 𝒙: pela solução da equação da questão 7, 𝑥 = ln (2). 
Interseção com o eixo 𝒚: fazendo 𝑥 = 0 , ℎ(0) = |𝑒0 − 2| = |1 − 2| = |−1| = 1, logo 𝑦 = 1. 
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𝑀𝑜𝑑𝑢𝑙𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑓
→ 
 
 
 
Lembremos que, quando modulamos uma função, para obter o gráfico da função modulada, mantemos 
o gráfico da função original na parte do gráfico em que 𝑦 ≥0 (parte acima do eixo 𝑥 ou sobre o eixo 𝑥) e 
fazemos uma reflexão em torno do eixo 𝑥, da parte do gráfico onde 𝑦 < 0 (parte abaixo do eixo 𝑥) 
Pelo gráfico da função, 𝑰𝒎(𝒉) = [𝟎,∞).