2010 1-AP2-PC-Gabarito

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AP 02 – 2010-1 _ Pré-Cálculo 
 
CEDERJ 
Gabarito da Avaliação Presencial 2 
Pré-Cálculo 
_____________________________________________________________________________________________ 
1ª. Questão [3,5pontos]: Seja a função: 




<<−−
≥−≤−
=
111
11,
)(
2
xx
xouxxx
xf 
a) [0,8] Usando a definição de módulo, reescreva a função )(xfy = . A função f será escrita 
então, como uma “função partida” com várias leis. 
b) [2,0] Esboce o gráfico da função f . Justifique a construção desse gráfico. Se na construção do gráfico 
usar translação horizontal e/ou translação vertical de alguma função mais simples, explique as 
transformações ocorridas identificando a função que sofreu tais transformações. 
c) [0,7] A função no intervalo )1,0( é inversível. Justifique! Escreva a expressão dessa inversa 1−f . 
Calcule )(Im)( 11 −− fefDom . 
Solução: 
a) Como 



<−
≥
=
0,
0,
xsex
xsex
x 
Então, 
⇒







<<−
≤<−−−
≥−
−≤−−
=⇒




<<−−
≥−≤−
=
10,1
01,1
1,)(
1,)(
)(
11,1
11,
)(
2
2
2
xx
xx
xxx
xxx
xf
xx
xouxxx
xf 







<<−
≤<−−−
≥−
−≤+
=
10,1
01,1
1,
1,
)(
2
2
xx
xx
xxx
xxx
xf 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
b) )1(2 +=+= xxxxy é a equação de uma parábola de concavidade voltada para cima e raízes 
10 −== xex . Na construção do gráfico da função f , esta parábola contribui com os pontos de 
abscissa 1−≤x . 
 
 
 
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 xxy += 2 xxy += 2 , 1−≤x 
 
)1(2 −=−= xxxxy é a equação de uma parábola de concavidade voltada para cima e raízes 
10 == xex . Na construção do gráfico da função f , esta parábola contribui com os pontos de 
abscissa 1≥x . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 xxy −= 2 xxy −= 2 , 1−≥x 
 
 
 
1−−= xy é a translação vertical para baixo de uma unidade da função xy −= . Na 
construção do gráfico da função f , esta função contribui com os pontos de abscissa 
01, ≤<− xx . 
 
 
 
 
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 xy −= 1−−= xy 
 
 
 
 
 
 1−−= xy 
 01 ≤<− x 
 
 
1−= xy é a translação vertical para baixo de uma unidade da função xy = . Na 
construção do gráfico da função f , esta função contribui com os pontos de abscissa 10, << xx . 
 
 
xy = 
 
 
 
 
 1−= xy 
 
 
 1−= xy 
 10 << x 
 
 
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Portanto, o gráfico da função 




<<−−
≥−≤−
=
111
11,
)(
2
xx
xouxxx
xf é 
 
 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
c) No intervalo )1,0( a função f é definida por 1)( −= xxf e sua imagem é 
)0,1(Im −= . 
 
Seu gráfico é: 
 1−= xy 
 10 << x 
 01 <<− y 
 
Este gráfico mostra que a função é um-a-um, satisfaz o Teste da Reta Horizontal. 
Vamos resolver a equação 1−= xy para x : 
xyxy =+⇒−= 2)1(1 . 
Trocando x por y , temos 2)1( += xy . 
Assim, a inversa da função )( xfy = no intervalo )1,0( é: 21 )1()( +=− xxf e 
)0,1()( 1 −=−fDom e )1,0()(Im 1 =−f . 
 
 
Gráfico de f e de 1−f 
 
 
 
 
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2ª. Questão [3,0 pontos]: Seja 
33
23
)(
23
2
−+−
++
=
xxx
xx
xh . 
a) [1,5] Fatore os polinômios 33)( 23 −+−= xxxxp e 23)( 2 ++= xxxq e encontre o 
domínio da função )( xhy = . Responda na forma de intervalo. 
b) [1,5] Estude o sinal da função h , isto é responda para que valores de )(hDomx ∈ , tem-se 
0)(,0)(,0)( >=< xhxhxh . 
 
Solução: 
a) Vamos fatorar o polinômio 33)( 23 −+−= xxxxp . 
Os candidatos a raízes inteiras do polinômio 33)( 23 −+−= xxxxp são os divisores do termo 
independente 3− , que são: 3,3,1,1 −+− . 
Testando os valores, vemos que 1=x é raiz, pois 03311313)1()1( 23 =−+−=−⋅+− . 
Dividindo o polinômio 33)( 23 −+−= xxxxp por 1−x , obtemos 32 +x . Como 
0332 >≥+x , então 32 +x não possui raízes reais, não se fatora em IR . 
Assim, a fatoração do polinômio )( xp em IR é: 
)3()1(33)( 223 +−=−+−= xxxxxxp . 
A fatoração do polinômio )( xq é )1()2(23)( 2 ++=++= xxxxxq . 
Assim, 
)3()1(
)1()2(
33
23
)(
223
2
+−
++
=
−+−
++
=
xx
xx
xxx
xx
xh . 
Para que possamos calcular a função h num ponto x é preciso que: 
0)1()2( ≥++ xx , para que a raiz quadrada possa ser calculada e 01 ≠−x , para que o 
denominador não se anule. 
Mas, ),1[]2,(0)1()2( ∞−∪−∞−∈⇔≥++ xxx e 
101 ≠⇔≠− xx . 
Assim, ),1()1,1[]2,()( ∞∪−∪−∞−=hDom . 
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b) Analisando o sinal da fração 
)3()1(
)1()2(
2 +−
++
xx
xx
: 
 
 
 2−<<∞− x 2−=x 1−=x 11 <<− x ∞+<< x1 
)1()2( ++ xx ++++ 0 0 ++++ ++++ 
1−x −−−− − − −−−− ++++ 
32 +x ++++ + + ++++ ++++ 
)3()1(
)1()2(
)(
2 +−
++
=
xx
xx
xh −−−− 0 0 −−−− ++++ 
 
Daí concluímos que: 
 
10)( >⇔> xxh . 
120)( −=−=⇔= xouxxh . 
1120)( <<−−<<∞−⇔< xouxxh . 
_____________________________________________________________________________________ 
3ª. Questão [2,5 pontos]: Considere as funções 
x
exf =)( e 32)( −−= xxg . 
 
a) [1,8] Encontre a expressão da composta )()( xgfy o= . Calcule o seu domínio. Responda na 
forma de intervalo. 
b) [0,7] Resolva a equação 1)()( =xgf o . 
 
Solução: 
 
 
a) 
32
)32())(()()(
−−
=−−===
x
exfxgfxgfy o . 
Para que a raiz possa ser calculada é preciso que 032 ≥−− x . Mas, 
⇔≤−≤−⇔≤−⇔≥−− 23223032 xxx 
513232 ≤≤⇔+≤≤+− xx . 
Portanto, ]5,1[)( =gfDom o . 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
b) ⇒=−−⇒==⇒=
−−
03211)()( 0
32
xeexgf
x
o 
⇒−=−=−⇒=−⇒=−− 232323032 xouxxx 
15 == xoux . 
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4ª. Questão [1,0 ponto]: 
 Resolva a equação 0))(cos2(ln =x , para 





−∈
2
,
2
ππ
x . 
Solução: 
2
1
)(cos1)(cos20))(cos2(ln =⇒=⇒= xxx . 
Como 





−∈
2
,
2
ππ
x , então 
332
1
)(cos
ππ
=−=⇒= xouxx . 






−=
3
,
3
ππ
S é o conjunto solução dessa equação.