2022 2-AP2-PCEng-Gabarito

Prévia do material em texto

AP2 – Pré-Cálculo para Engenharia – GABARITO - 2/2022
Código da disciplina: EAD01073
Considere a função g : R → R, definida por g(x) = x2 + 1 e o gráfico da função f como segue
abaixo. Faça o que se pede nas questões 1 e 2:
Questão 1 [1,0 pts] Determine (f ◦ g)(0).
Solução:
Temos (f ◦ g)(0) = f(g(0)) = f(1) = 1.
Questão 2 [1,0 pts] Determine (g ◦ f)(0).
Solução:
Temos (g ◦ f)(0) = g(f(0)) = g(3) = 32 + 1 = 10.
Questão 3 [2,0 pts] Considere a função descrita por f(x) = tan
(
(1− x)π
3x− 2
)
. Determine o
doḿınio da função f .
Solução:
Note que a expressão
(1− x)π
3x− 2 exige que 3x−2 6= 0. Portanto, temos a necessidade de que x 6= 2/3.
Além disso, a tangente não está definida em π/2 + kπ, com k ∈ Z. Logo se
(1− x)π
3x− 2 = π/2 + kπ,
cancelando π, obtemos
(1− x)
3x− 2 = 1/2 + k e, assim, obtemos a equação
2(1− x) = (3x− 2)(1 + 2k), donde 2− 2x = 3x− 2 + 6kx− 4k,
Pré-Cálculo para Engenharia AP2 2
cujas soluções são da forma x = 4 + 4k5 + 6k , com k ∈ Z.
Obtemos então que o doḿınio de f é
D = {x ∈ R : x 6= 2/3, x 6= 4 + 4k5 + 6k , com k ∈ Z}.
Segundo um modelo chamado Crescimento Loǵıstico, uma população, ou doença, ou mesmo rumores
(verdadeiros ou falsos, as hoje tão conhecidas fake news) podem crescer ou se alastrar de acordo
com a seguinte função:
N(t) = L1 + Ce−kLt .
Aqui, L é a população máxima que se pode alcançar, k > 0 uma constante que varia de acordo com
o problema modelado, assim como C ∈ R, e t é o tempo em dada ordem de grandeza.
Vamos trabalhar com o modelo das fake news: suponha que, em um condoḿınio onde moram 100
pessoas, alguém espalhe um boato falso a respeito da reputação do śındico. N(t) é o número de
pessoas que ouviu o boato e t é contado em dias. Suponha que no momento inicial, 10 pessoas
tenham ouvido ou lido o boato. Após 5 dias, o boato já tinha chegado a 50 pessoas.
Responda as questões 4 e 5 a seguir.
Questão 4 [1,5 ponto] Escreva a forma de N(t), substituindo o valor de L, e determine os valores
de C e k.
Solução: L é a população máxima a ser atingida, isto é, o número de pessoas que vivem no
condoḿınio. Logo, L = 100. O momento inicial equivale a t = 0. Assim, substituindo t = 0 em
N(t) = 1001 + Ce−100kt ,
obtemos
N(0) = 10 = 1001 + C ,
e assim 1 + C = 10⇒ C = 9.
Após 5 dias, o boato atingiu 50 pessoas. Assim,
N(5) = 50 = 1001 + 9e−500k ,
e dáı 1 + 9e−500k = 2, donde e−500k = 1/9. Tomando ln em ambos os membros,
−500k = ln(1/9) = − ln(9),
e assim, k = ln(9)/500.
Questão 5 [1,0 ponto] Quanto tempo levará para que 90 pessoas, ou seja, quase todos os habi-
tantes do condoḿınio, tenham ouvido o falso boato?
Solução: Temos
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ
Pré-Cálculo para Engenharia AP2 3
N(t) = 90 = 1001 + 9e−100kt ;
assim, 1 + 9e−100kt = 10/9. Dáı,
e−100kt = 1/81.
Tomando novamente o logaritmo em ambos os membros,
−100kt = − ln(81) = − ln(92) = −2 ln(9).
Mas k = ln(9)/500. Substituindo na equação acima,
−100(ln(9)/500)t = −2 ln(9).
Finalmente, obtemos t = 10 dias.
Considere a função f : [−2, 8]→ R definida da seguinte maneira:
i. um arco de parábola no intervalo [−2, 4) cujo vértice é o ponto (1,−4) e −1 é um zero da
função neste intervalo.
ii. uma semi-reta no intervalo [4, 8] tal que 223 é zero da função f neste intervalo, |f(6)| = 2 e a
função f é decrescente neste intervalo.
Faça o que se pede nas questões 6 e 7.
Questão 6 [2,5 pts] Determine a lei da função em [−2, 8].
Solução:
Por (i), f(−1) = 0 e o vértice da parábola é V = (1,−4) , assim, xv = − b2a = 1, logo, b = −2a.
Por outro lado, yv = −∆4a = −4, assim, 4a
2− 4ac = 16a,como a 6= 0 temos que , 4a− 4c− 16 = 0,
ou seja, c = a − 4. Utilizando o fato de que f(−1) = 0, b = −2a e c = a − 4, temos que a = 1.
Dáı, f(x) = x2 − 2x− 3 no intervalo [−2, 4).
Por (ii), f é uma função decrescente , f
(
22
3
)
= 0 e |f(6)| = 2. Como 223 > 6, temos que f(6) > 0:
logo, f(6) = 2. Dessa forma, temos que determinar a equação da reta que passa pelos pontos(
22
3 , 0
)
e (6, 2). A inclinação da reta que passa por estes pontos é mr =
2− 0
6− (223 )
= −32 . Logo,
y − 0 = −32(x− (
22
3 )) = −
3x
2 + 11 é a equação da semi-reta no intervalo [4,8].
Portanto, a lei da função f é dada por
f(x) =
{
x2 − 2x− 3, −2 ≤ x < 4
−3x2 + 11, 4 ≤ x ≤ 8
Questão 7 [1,0 pts] Determine o doḿınio da função g(x) = f(x− 2) + 3.
Solução:
Como x− 2 ∈ [−2, 8], temos que −2 ≤ x− 2 ≤ 8. Logo, 0 ≤ x ≤ 10. Portanto, Dom(g) = [0, 10].
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ
RASCUNHO
Nome: Matŕıcula:
Atenção!
• Resoluções feitas nesta folha não serão corrigidas. • Devolver esta folha ao aplicador.