APX2_PreCalculoEng_2021_1_gabarito

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APX2 - Pré-Cálculo para Engenharia - 2021-1
Orientações gerais
I
1. As respostas devem vir acompanhadas de justificativas. Caso contrário, serão desconsi-
deradas.
2. Preencha cada folha de resposta com NOME, MATŔICULA e POLO.
3. Escreva o total de folhas utilizadas.
4. Todas as respostas devem apresentar TODOS os cálculos.
5. Todas as respostas devem ser MANUSCRITAS. Questões digitadas receberão ZERO.
6. Use APENAS canetas AZUIS ou PRETAS.
7. Todos os arquivos devem estar no formato PDF.
8. É permitido o uso de folhas A4, folhas de caderno, ou qualquer tipo de papel que o
aluno ache conveniente.
9. Até 20 arquivos podem ser enviados, cada um com 2 Mb no máximo.
10. É permitido o uso de calculadora.
I
ATENCÃO: O descumprimento de quaisquer das orientações poderá implicar em prejúızo na sua
avaliação, o que será de sua inteira responsabilidade.
Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
APX2 – Pré-Cálculo para Engenharia – / /2021
Código da disciplina: EAD01073
Nome:
Matŕıcula:
Polo:
Atenção!
Questão 1 [2,0 pontos] A tabela abaixo apresenta o preço da bandeirada (taxa fixa paga pelo
passageiro) e do quilômetro rodado em 4 capitais brasileiras.
Capital Bandeirada(R$) km rodado(R$)
BoaV ista 2, 50 2, 86
V itória 3, 40 1, 85
Natal 3, 88 2, 02
RiodeJaneiro 4, 40 1, 60
A quantia gasta por um passageiro, em Boa Vista, ao percorrer 10km de táxi, permite pagar, no Rio
de Janeiro, uma corrida máxima de x quilômetros. Determine o valor máximo de x.
Solução:
Lembramos que o valor pago em uma corrida de taxi é dado por: um valor fixo (que é a bandeirada)
adicionado ao valor do quilômetro rodado multiplicado pela distância percorrida, então o valor pago
(em reais) em Boa Vista para se percorrer x quilômetros é dado por B(x) = 2, 50 + 2, 86x e
o valor pago pela corrida de taxi no Rio de Janeiro para se percorrer x quilômetros é dado por
R(x) = 4, 40 + 1, 60x.
Assim, se percorrermos x = 10 km em Boa Vista, o valor pago nesse local será:
B(10) = 2, 50 + 2, 86(10) = 31, 10.
Substituindo esse valor acima em R(x), obtemos que
31, 10 = 4, 40 + 1, 60x⇒ 31, 10− 4, 40 = 1, 60x⇒ 26, 70 = 1, 60x⇒ x = 26, 701, 60 = 16, 7km.
Logo, a quilometragem máxima de x solicitada é 16, 7km.
Questão 2 [2,0 pontos] Determine o doḿınio da função f(x) =
√√√√1− sen(3x + 1
x− 1
)
x4 − 3x2 + 2x .
Solução:
A expressão dentro da raiz quadrada deve ser maior ou igual a 0. Logo, devemos ter 1−sen
(
3x + 1
x− 1
)
≥
0, ou seja, sen
(
3x + 1
x− 1
)
≤ 1. Mas isto é obtido naturalmente para todo número real. Entretanto,
devemos atentar para a expressão racional
3x + 1
x− 1 , que só está bem definida se x 6= 1.
Pré-Cálculo para Engenharia AP2 3
O polinômio no denominador, por outro lado, deve ser diferente de zero. Assim, vamos fatorá-lo
para decobrir suas ráızes:
x4 − 3x2 + 2x = x(x3 − 3x + 2).
Substituindo os posśıveis divisores de 2 no polinômio de terceiro grau, verificamos que 1 é uma raiz
de x3− 3x + 2. Usando um algoritmo de divisão (por exemplo, Briot-Ruffini), e depois a Fórmula de
Báshkara sobre o polinômio de segundo grau resultante, conclúımos que x3−3x+2 = x(x−1)2(x+2).
Logo, o polinômio se anula em 0, 1 (de multiplicidade 2), e −2.
Conclúımos que o doḿınio da função é dado por
D = {x ∈ R; x 6= 0, 1,−2}.
Questão 3 [2,0 pontos] Segundo um modelo chamado Crescimento Loǵıstico, uma população, ou
doença, ou mesmo rumores (verdadeiros ou falsos, as hoje tão conhecidas fake news) podem crescer
ou se alastrar de acordo com a seguinte função:
N(t) = L1 + Ce−kLt .
Aqui, L é a população máxima que se pode alcançar, k > 0 uma constante que varia de acordo com
o problema modelado e t é o tempo em dada ordem de grandeza.
Vamos trabalhar com o modelo das fake news: suponha que, em um condoḿınio onde moram 300
pessoas, alguém espalhe um boato falso a respeito da reputação do śındico. N(t) é o número de
pessoas que ouviu o boato e t é contado em dias. Suponha que no primeiro dia 10 pessoas tenham
ouvido ou lido o boato, e após três dias, o boato já tinha chegado a 60 pessoas. Responda os itens
a seguir.
a. [0,5] Escreva a forma de N(t), substituindo o valor de L;
b. [0,5] Determine o valor de C;
c. [0,5] Encontre o valor de k;
d. [0,5] Quanto tempo levará para que 297 pessoas, ou seja, quase todos os habitantes do con-
doḿınio tenham ouvido o falso boato?
Solução:
a.
N(t) = 3001 + Ce−300kt .
b. 10 pessoas foram as primeiras a ouvir o boato. Assim,
N(0) = 10 = 3001 + Ce0 ,
ou seja, 30 = 1 + C, e assim C = 29.
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Pré-Cálculo para Engenharia AP2 4
c. Após 3 dias, o boato chegou a 60 pessoas. Substituindo todos os dados em N(t),
N(3) = 3001 + 29e−300·3k =
300
1 + 29e−900k = 60.
Assim, obtemos
5 = 1 + 29e−900k,
donde 4/29 = e−900k. Considerando o logaritmo nos dois membros,
ln(4/29) = −900k, e como ln(4/29) ≈ −1, 98, obtemos k ≈ 0, 002.
d. Temos que descobrir para qual valor de t atingiremos 297 pessoas segundo o modelo. Logo,
N(t) = 297 = 3001 + 29e−300·0,002t .
Assim,
99/100 = 11 + 29e−300·0,002t ,
ou ainda,
100/99− 1 = 29e−300·0,002t.
Dáı, 0, 00035 = e−0.6t. Temos ln(0, 00035) ≈ −7, 9, e assim, resolvendo ln(0, 00035) =
−0, 6t, conclúımos que t ≈ 13, 3 dias serão necessários para que quase todo o condoḿınio
fique sabendo do falso boato.
Questão 4 [2,0 pontos] Considere a função f(x) = log2
(
x− 1
2x + 1
)
. Encontre, se existir, x ∈ R
tal que f 3(x) = 4f(x), atentando para primeiro determinar o doḿınio da função.
Solução:
Note que f(x) = log2
(
x− 1
2x + 1
)
só está bem definida se
x− 1
2x + 1 > 0. Além disso, 2x + 1 neq0, o
que nos dá x 6= −1/2. A expressão racional só será positiva se x − 1 e 2x + 1 tiverem o mesmo
sinal. Vamos fazer um pequeno estudo de sinais para verificar isto (sabendo que x− 1 se anula em
1):
x < −1/2 −1/2 < x < 1 x > 1
x− 1 −−−− −−−− + + +
2x + 1 −−−− + + ++ + + ++
(x−1)
2x+1 + + ++ −−−− + + ++
Assim, o doḿınio de f é (−∞,−1/2) ∪ (1,∞).
Agora vamos encontrar as ráızes de y3 − 4y = 0, onde y = f(x).
Temos y3 − 4y = y(y2 − 4) = y(y − 2)(y + 2). Logo, 0, 2 e −2 são as ráızes deste polinômio d
egrau 3. Temos assim três casos:
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1. Caso 1: f(x) = 0.
Ou seja, f(x) = log2
(
x− 1
2x + 1
)
= 0. Isto significa que x− 12x + 1 = 1. Dáı, x − 1 = 2x + 1, o
que nos dá x = −2, que pertence ao doḿınio de f .
2. Caso 2: f(x) = −2.
Assim, log2
(
x− 1
2x + 1
)
= −2, e isto significa que
x− 1
2x + 1 = 1/4.
Dáı, 4x− 4 = 2x + 1, o que dá x = 5/2, que também pertence ao doḿınio de f .
3. Caso 3: f(x) = 2.
Então, log2
(
x− 1
2x + 1
)
= 2, ou ainda,
x− 1
2x + 1 = 4. Isso leva a x− 1 = 8x + 4, donde obtemos x = −5/7, que é aproximadamente
igual a −0, 714, que também pertence ao doḿınio de f .
Portanto, os três valores de x são admisśıveis e satisfazem a equação polinomial.
Questão 5 [2,0 pontos] Seja f : [−3, 3] → R uma função cujo gráfico está representado abaixo:
Considere a função g definida por g(x) = 2 f(x + 1)− 2, definida no maior doḿınio posśıvel.
a) [1,0 ] Determine o doḿınio da função g.
b) [1,0] Determine a imagem da função g e da função f .
Solução:
Como x+1 ∈ [−3, 3], temos que −3 ≤ x+1 ≤ 3. Logo, −4 ≤ x ≤ 2. Portanto, Dom(g) = [−4, 2].
Pelo gráfico da função f temos que Im(f) = [−2, 4].
Assim, −2 ≤ f(x + 1) ≤ 4. Logo, −6 ≤ 2 f(x + 1)− 2 ≤ 6. Portanto, Im(g) = [−6, 6].
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