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FACULDADE ÚNICA DE IPATINGA Felipe Júnio de Souza Oliveira Doutorando em Educação. Mestre em Educação e Docência, na linha de Educação Matemática, pela Universidade Federal de Minas Gerais. Especialista em Matemática Financeira e Estatística e especialista em Metodologia do Ensino de Matemática e Física. Graduado em Matemática pela Universidade de Uberaba. É membro do Grupo de Pesquisa Estudos sobre Numeramento da Universidade Federal de Minas Gerais e do Grupo Interinstitucional de Pesquisa em Educação Matemática e Sociedade pela Unisinos. Atua como professor de Matemática na Educação Básica e professor universitário na Universidade do Estado de Minas Gerais. Atualmente, desenvolve trabalhos e pesquisas sobre letramento estatístico, numeramento, uso pedagógico de pesquisas de opinião, teoria histórico-cultural da atividade e Educação de Jovens e Adultos. GEOMETRIA: FUNDAMENTOS E MÉTODOS DE ENSINO E PRÁTICAS PEDAGÓGICAS 1ª edição Ipatinga – MG 2021 FACULDADE ÚNICA EDITORIAL Diretor Geral: Valdir Henrique Valério Diretor Executivo: William José Ferreira Ger. do Núcleo de Educação a Distância: Cristiane Lelis dos Santos Coord. Pedag. da Equipe Multidisciplinar: Gilvânia Barcelos Dias Teixeira Revisão Gramatical e Ortográfica: Bruna Carolina de Almeida Salles Revisão/Diagramação/Estruturação: Bárbara Carla Amorim O. Silva Bruna Luiza Mendes Leite Carla Jordânia G. de Souza Guilherme Prado Salles Rubens Henrique L. de Oliveira Design: Brayan Lazarino Santos Élen Cristina Teixeira Oliveira Maria Luiza Filgueiras Taisser Gustavo de Soares Duarte © 2021, Faculdade Única. Este livro ou parte dele não podem ser reproduzidos por qualquer meio sem Autorização escrita do Editor. Ficha catalográfica elaborada pela bibliotecária Melina Lacerda Vaz CRB – 6/2920. NEaD – Núcleo de Educação a Distância FACULDADE ÚNICA Rua Salermo, 299 Anexo 03 – Bairro Bethânia – CEP: 35164-779 – Ipatinga/MG Tel (31) 2109 -2300 – 0800 724 2300 www.faculdadeunica.com.br http://www.faculdadeunica.com.br/ 4 Menu de Ícones Com o intuito de facilitar o seu estudo e uma melhor compreensão do conteúdo aplicado ao longo do livro didático, você irá encontrar ícones ao lado dos textos. Eles são para chamar a sua atenção para determinado trecho do conteúdo, cada um com uma função específica, mostradas a seguir: São sugestões de links para vídeos, documentos científi- co (artigos, monografias, dissertações e teses), sites ou links das Bibliotecas Virtuais (Minha Biblioteca e Biblioteca Pearson) relacionados com o conteúdo abordado. Trata-se dos conceitos, definições ou afirmações importantes nas quais você deve ter um maior grau de atenção! São exercícios de fixação do conteúdo abordado em cada unidade do livro. São para o esclarecimento do significado de determinados termos/palavras mostradas ao longo do livro. Este espaço é destinado para a reflexão sobre questões citadas em cada unidade, associando-o a suas ações, seja no ambiente profissional ou em seu cotidiano. 5 SUMÁRIO GEOMETRIA PLANA: HISTÓRIA, CIÊNCIA DEDUTIVA E CONCEITOS BASILARES ............................................................................................................... 8 1.1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................. 8 1.2 A GEOMETRIA PLANA COMO CONSTRUÇÃO HUMANA .................................... 9 1.3 DO SENSO COMUM À CIÊNCIA DEDUTIVA ......................................................... 13 1.4 CONCEITOS FUNDAMENTAIS E POSTULARES ....................................................... 18 22 GEOMETRIA PLANA BÁSICA DA RETA E DO DESENHO GEOMÉTRICO . 28 2.1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................... 28 2.2 ESTUDO DAS RETAS ............................................................................................. 29 2.3 INSTRUMENTOS E TÉCNICAS DE DESENHO ........................................................ 34 2.4 CONSTRUÇÕES ELEMENTARES ........................................................................... 36 FIXANDO O CONTEÚDO ............................................................................................... 41 TÓPICOS DE GEOMETRIA PLANA BÁSICA ESTRUTURAL E ALGUMAS CONSTRUÇÕES ESPECIAIS ...................................................................... 46 3.1 INTRODUÇÃO ........................................................................................................... 46 3.2 ESTUDO DE ÂNGULOS E REGIÕES ANGULARES ................................................... 46 3.3 OS POLÍGONOS E ALGUMAS PARTICULARIDADES ............................................. 50 3.2.1 Triângulos ou triláteros ........................................................................ 53 3.2.2 Quadriláteros ou quadrângulos ........................................................ 56 3.4 AS CIRCUNFERÊNCIAS, OS CÍRCULOS E SEUS ELEMENTOS ............................... 59 3.5 CONSTRUÇÕES ESPECIAIS ...................................................................................... 63 FIXANDO O CONTEÚDO .................................................................................................... 71 TÓPICOS ESPECIAIS E APLICADOS À GEOMETRIA PLANA .................... 76 4.1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................... 76 4.2 SEMELHANÇAS ENTRE REGIÕES PLANAS........................................................... 76 4.3 REGULARIDADES POLIGONAIS, INSCRIÇÕES E CIRCUNSCRIÇÕES ................. 79 4.4 ÁREAS DE FIGURAS PLANAS .............................................................................. 82 4.5 A SIMETRIA E OS SEUS FENÔMENOS .................................................................. 84 FIXANDO O CONTEÚDO ............................................................................................... 87 GEOMETRIA ESCALAR, HOMOTETIA E OUTRAS CONSTRUÇÕES ESPECIAIS ................................................................................................................. 92 5.1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................... 92 5.2 ESCALAS .............................................................................................................. 92 5.3 A HOMOTETIA E AS TRANSFORMAÇÕES GEOMÉTRICAS ................................. 94 5.4 CONSTRUÇÕES ESPECIAIS COM TANGRAM E ORIGAMI ................................. 97 FIXANDO O CONTEÚDO ............................................................................................. 102 UNIDADE 01 UNIDADE 02 UNIDADE 03 UNIDADE 04 UNIDADE 05 6 AS CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS NO MUNDO CONTEMPORÂNEO . 108 6.1 INTRODUÇÃO ................................................................................................... 108 6.2 ENSINO-APRENDIZAGEM DE GEOMETRIA PLANA .......................................... 108 6.3 PROJETOS DE GEOMETRIA PLANA COM O USO DE SOFTWARES ................... 110 6.4 APLICAÇÕES ARQUITETÔNICAS A PARTIR DA GEOMETRIA PLANA .............. 113 FIXANDO O CONTEÚDO ............................................................................................. 117 VETORES NO PLANO E NO ESPAÇO ..................................................... 122 7.1 INTRODUÇÃO ................................................................................................... 122 7.1.1 Vetores no plano .................................................................................. 122 7.2 NORMA DEUM VETOR NO PLANO .................................................................. 123 7.3 OPERAÇÕES BÁSICAS COM VETORES NO PLANO ......................................... 124 7.1.2 Multiplicação de um vetor por um escalar ..................................... 124 7.1.3 Adição de vetores ................................................................................ 124 7.4 VETORES NO ESPAÇO ℝ𝟑................................................................................. 127 7.5 VETORES NO ℝ𝒏................................................................................................ 128 FIXANDO OCONTEÚDO .............................................................................................. 129 COMBINAÇÃO LINEAR......................................................................... 133 8.1 INTRODUÇÃO ................................................................................................... 133 8.2 DISTÂNCIA ENTRE DOIS VETORES .................................................................... 133 8.3 ÂNGULO ENTRE DOIS VETORES ........................................................................ 134 8.4 PRODUTO VETORIAL ......................................................................................... 136 FIXANDO O CONTEÚDO ............................................................................................. 138 SISTEMAS LINEARES ............................................................................... 143 9.1 EQUAÇÕES LINEARES ....................................................................................... 143 9.2 SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO LINEAR ........................................................... 143 9.3 SISTEMA LINEAR ................................................................................................ 144 9.4 SOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR .................................................................. 145 FIXANDO O CONTEÚDO ............................................................................................. 150 ESPAÇO VETORIAL ................................................................................ 154 10.1 DEFINIÇÃO ........................................................................................................ 154 10.2 PROPRIEDADES DE UM ESPAÇO VETORIAL ..................................................... 155 10.3 SUBESPAÇOS VETORIAIS .................................................................................. 156 10.4 COMBINAÇÃO LINEAR .................................................................................... 157 10.5 DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR ...................................................... 157 10.6 BASE DE UM ESPAÇO VETORIAL ...................................................................... 159 FIXANDO O CONTEÚDO ............................................................................................. 161 TRANSFORMAÇÕES LINEARES .............................................................. 166 11.1 DEFINIÇÃO ........................................................................................................ 166 11.2 PROPRIEDADES DAS TRANSFORMAÇÕES LINEARES ....................................... 167 11.3 AUTOVALORES E AUTOVETORES ...................................................................... 169 FIXANDO O CONTEÚDO ............................................................................................. 170 UNIDADE 06 UNIDADE 07 UNIDADE 08 5 UNIDADE 09 5 UNIDADE 10 5 UNIDADE 11 5 7 GEOMETRIA ANALÍTICA ........................................................................ 175 12.1 PLANO CARTESIANO E PONTOS ...................................................................... 175 12.1.1 Ponto no plano cartesiano ......................................................... 175 12.2 NOÇÕES DA RETA NO PLANO ......................................................................... 180 12.3 DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA .................................................................... 184 12.4 ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA......................................................................... 185 12.5 ESTUDO DAS CÔNICAS – ELIPSE ...................................................................... 187 12.6 ESTUDO DAS CÔNICAS – HIPÉRBOLE .............................................................. 189 .1 ESTUDO DAS CÔNICAS – PARÁBOLA .............................................................. 193 12.7 PLANOS NO ESPAÇO E QUÁDRICAS NO ℝ𝟑 .................................................. 196 FIXANDO O CONTEÚDO ............................................................................................. 200 UNIDADE 12 5 8 GEOMETRIA PLANA: HISTÓRIA, CIÊNCIA DEDUTIVA E CONCEITOS BASILARES INTRODUÇÃO “Linha curva: o caminho mais agradável entre dois pontos”. ― Mário Quintana Quanta inspiração nesse lindo verso do poeta brasileiro Mário Quintana. De forma agradável, ele nos propõe uma reflexão sobre um dos princípios mais básicos da Geometria Euclidiana: uma única reta passa por dois pontos distintos, mas infinitas linhas curvas, coplanares ou não, também passam por esses mesmos pontos. Para além da poesia e da beleza estética, a Geometria é uma das áreas da Matemática responsável por sistematizar conhecimentos relacionados às formas, posições, relações e propriedades de (e entre os) objetos concretos ou abstratos no espaço. É uma palavra de origem grega, em que “geo” significaria terra e “metria”, variante de “métron”, seria medida, ou seja, medida da terra em tradução mais corrente. Essa informação já nos fornece pistas sobre as origens e formas de desenvolvimento desse campo. Apesar de existirem diferentes geometrias (formais e não formais) que surgiram de forma independente em várias culturas e épocas distintas, neste texto, focalizaremos a Geometria Plana e algumas construções geométricas decorrentes dela. Para tal, iniciaremos, na próxima seção, um estudo sobre a Geometria Plana na perspectiva de que ela é uma construção humana e cultural. UNIDADE 01 9 A GEOMETRIA PLANA COMO CONSTRUÇÃO HUMANA Observe as figuras a seguir e tente perceber alguma semelhança entre elas. Sabe o que elas têm em comum? Analise-as com bastante atenção e leia as notas. Figura 1: Placas de barro com mapas da cidade babilônica de Nippur (~1300 a. C.) Fonte: Weiss (2019) https://bit.ly/2Vdpm3A https://bit.ly/3717GLn https://bit.ly/3kWXZ95 10 Figura 2: Parede do palácio de Nínive, antiga região Assíria no norte da Mesopotâmia (~700 anos a.C) Fonte: Silva (2021) Figura 3: Quadro Mona Cat (2004) do pintor brasileiro Romero Britto Fonte: Fuks (2019) Figura 4: Exemplo de planta baixa de um apartamento Fonte: Disponível em: https://bit.ly/3iNjRAU. Acesso em: 14 fev. 2021. Conseguiu identificar semelhanças? Acreditamos que sim! Todas utilizaram e mobilizaram alguns conhecimentos de Geometria Plana para a sua construção. Claro que esses conhecimentos foram obtidos de diferentes formas, em épocas e lugares diferentes e esses objetos foram feitos com instrumentos bem distintos, mas é possível identificar semelhanças. Na Figura 1, por exemplo, observamos dois fragmentos de barro, frutos de escavações, datados de há mais de 1300 anos a.C, em que estudiosos indicam conhecimentos de Geometria Plana sendo utilizados para mapear áreas https://bit.ly/3iNjRAU 11 administrativas na Babilônia. Sobre a primeira placa, Weiss (2019) afirma que “esta placa, que mapeia uma área próxima à cidade, apresenta uma complexa rede de irrigação de valas e canais, representada por linhas, juntamente com uma série de cidades e propriedades agrícolas, representadaspor círculos”. Os traços grossos representariam rios e canais de irrigação, sendo o principal deles em forma de “U”. Na segunda placa, os principais templos seriam os quadrados margeados, algumas áreas agrícolas e jardins estariam em forma de retângulo e trapézio, respectivamente, e os traços mais finos ao redor seriam muralhas da cidade. Já na Figura 2, é possível perceber que os Assírios já construíam rodas com raios diametralmente opostos e ângulos centrais de mesma medida. Segundo Giovanni, Giovanni Júnior e Castrucci (2015, p. 172), “tal fato nos leva a concluir que os povos que viviam na Mesopotâmia, naquela época, já dominavam um processo de divisão da circunferência em partes iguais”. Ainda de acordo com esses autores, esse pode ser um dos problemas matemáticos mais antigos conhecidos na história da civilização, pois, entre 4000 e 3000 anos a.C. Na mesma região mesopotâmica há indícios de que, para registrar e contar o tempo, iniciou-se um processo de divisão do movimento orbital circular do Sol em torno da Terra (assim como eles acreditavam que acontecia naquela época) em 360 partes, supondo que 1 360 representaria um dia dessa órbita circular. É de se admirar que, mais de três milênios depois, assim como representado pelas Figuras 3 e 4, utilizemos noções semelhantes de Geometria Plana, assim como os povos que viveram naquela época. Os traços do Cubismo e da chamada Pop Art pintados por Romero Britto, assim como os desenhos técnicos dos projetos de planta baixa de construções, feitos, muitas vezes, com o apoio de um computador, também são inspirados por representações, sistematizadas ou não, da Geometria Plana. 12 Antes mesmo dos gregos darem origem à palavra Geometria, os conceitos, as ideias e propriedades dela já eram utilizados em muitas culturas com diferentes aprofundamentos e a partir de demandas distintas. Os egípcios, por exemplo, entre os anos 4000 e 3000 a.C., por meio da emergência de comunidades que já possuíam certa densidade populacional e em que práticas agrícolas e as edificações eram comuns nas proximidades dos rios Nilo, Eufrates e Tigre, já utilizam noções de Geometria de forma prática para medir e dividir terrenos, além de capitalizarem essas terras para pagamento de impostos ao faraó proporcionais às áreas cultivadas. As engenhosas e enigmáticas pirâmides de Gizé, construídas entre 3000 e 2000 anos a.C, são uma demonstração do quão desenvolvidos poderiam ser os conhecimentos de agrimensura e Geometria dos egípcios. A notabilidade desses conhecimentos percorreu muitas regiões do mediterrâneo e despertou a atenção de alguns gregos que buscaram, no Antigo Egito, novas aplicações da Geometria. Nesse contexto, além de conhecerem e adquirirem um acervo significativo sobre noções de Geometria que eram utilizadas no Egito, os gregos deram um passo à frente dando ênfase às primeiras sistematizações das teorias da Geometria e ao raciocínio dedutivo (COSTA, 2010). De acordo com Giovanni, Bonjorno e Giovanni Júnior (1994, p. 408), “por volta de 600 a. C., filósofos e matemáticos gregos, entre os quais podemos incluir Tales de Mileto e Pitágoras, passaram a sistematizar os conhecimentos geométricos da época”. A Geometria, até então, era puramente experimental, com muitas informações, saberes e aplicações dispersos e sem compromisso com alguns fundamentos matemáticos que já eram conhecidos na época e que se ligavam, de certa forma, à 13 Geometria. Nessa perspectiva, um matemático grego estava na atmosfera para se tornar um dos maiores expoentes da Geometria de todos os tempos, organizando logicamente e conectando os conhecimentos matemáticos apropriados para dar origem à Geometria Euclidiana. Euclides de Alexandria, conhecido como o “pai da Geometria”, foi o responsável por conferir um embasamento teórico robusto e axiomático aos conhecimentos matemáticos relacionados à Geometria conhecida na época e sistematizada, principalmente, por ele. A Geometria Euclidiana que ensinamos em sala de aula atualmente é praticamente a mesma de Euclides! Na próxima seção, nos aprofundaremos mais nesse percurso que levou à sistematização da Geometria e lhe conferiu um caráter de ciência dedutiva graças aos estudos e conexões realizados por Euclides, além de destacarmos uma das ramificações dessa sistematização: a Geometria Euclidiana Plana. DO SENSO COMUM À CIÊNCIA DEDUTIVA É consenso que, antes dos gregos, por volta do século VI a.C, grande parte dos conhecimentos sobre Geometria era espalhada, muitas vezes sem suportes matemáticos seguros e lógicos e carecia de registros que acumulariam e transmitiriam os saberes socioculturais para as próximas gerações. Como já vimos anteriormente, as geometrias egípcia e mesopotâmica eram, fundamentalmente, marcadas pelo https://bit.ly/3xc5X0A 14 uso de artefatos empíricos e da observação para formularem ideias e aplicações diretas para os trabalhos agrícolas e de edificação estrutural. Logo, a lógica do pensamento era, metodologicamente, indutiva; ou seja, pela quantidade e padronização de eventos, pelo senso comum e pelo uso comum de certas técnicas socialmente repetidas e/ou testadas, argumentava-se, algumas vezes de forma até mesmo autoritária, que casos particulares indicariam leis gerais que deveriam ser aceitas como verdadeiras. Claro que estamos analisando esse fato histórico de uma perspectiva Ocidental. No entanto, a influência e o predomínio das produções gregas acerca da Geometria, e Matemática em geral, se destacavam até mesmo no Oriente, em especial, por dois fatores: os registros documentais e o método científico dedutivo. De acordo com Giovanni, Bonjorno e Giovanni Júnior (1994, p. 408), “os gregos foram os primeiros a introduzir o raciocínio dedutivo”, o que ampliou e impulsionou todos os conhecimentos sistematizados, a partir de então, para outro patamar do determinismo axiomático característico da Matemática como ciência. 15 Outro motivo para o poder sistematizador e difusor do conhecimento dos gregos, especialmente no Ocidente, demonstrando forte hegemonia das escolas gregas, é o caráter documental ao se registrar tudo o que se sabia de Geometria até então, produzida por meio do senso comum, por agrícolas, construtores ou por estudiosos. Textos, esboços, artefatos de desenho, protótipos e outros objetos eram produzidos, estudados, analisados e interpretados seguindo uma lógica dedutiva. Nesse bojo foi que, segundo Giovanni, Bonjorno e Giovanni Júnior (1994), o matemático grego Euclides fez da cidade egípcia Alexandria, onde vivia, o centro mundial da Geometria por volta de 300 anos a.C. Num processo rigoroso e coordenado de sistematização dos conhecimentos de outros povos antigos e das propriedades dos objetos geométricos, Euclides concebia a Geometria como “uma ciência dedutiva cujo desenvolvimento partia de certas hipóteses básicas: os axiomas ou postulados” (GIOVANNI; BONJORNO; GIOVANNI JÚNIOR, 1994, p. 408, grifos nossos). Estudioso da Academia de Platão e partícipe do polo cultural que se constituiu em torno da Biblioteca de Alexandria ao reunir vários sábios da época de diferentes áreas (COSTA, 2010), Euclides “produziu uma extensa obra, tendo como sustentação os axiomas e o método dedutivo. Sua obra maior, Os Elementos, representou a primeira axiomatização da história da Matemática” (SANTOS; 16 NACARATO, 2014, p. 13, grifos das autoras). Composto por 13 volumes, Os Elementos reuniram boa parte do que se sabia de Geometria naquele tempo. Essa obra tornou-se tão importante após a sua divulgação que toda a sistematização feita por Euclides passou a ser conhecida como Geometria Euclidiana e, no decorrer da história,passou a ser categorizada como Geometria Euclidiana Plana (estudos sobre os espaços uni e bidimensional), Geometria Euclidiana Espacial (estudos sobre o espaço tridimensional) e Geometria Euclidiana Analítica (também chamada de Geometria Cartesiana, abrange os estudos sobre a Geometria Algébrica com base num sistema de coordenadas). Uma imagem de duas versões de Os Elementos está na Figura 5. Figura 5: Fragmentos de versões da obra Os Elementos, de Euclides de Alexandria (à esquerda, primeira edição impressa em 1482. À direita, papiro encontrado no século XIX, mas datado de cerca de 100 anos d. C.) Fonte: Biblioteca Digital Mundial. Disponível em: https://bit.ly/3rCFHLj. Acesso em: 22 de fev. 2021. Destarte, utilizando-se o raciocínio lógico-dedutivo num processo de análise a partir da avaliação de premissas verdadeiras que, consequentemente, geravam conclusões verdadeiras, Euclides precisou considerar proposições que deveriam ser aceitas, eximindo-as de demonstrações ou provas (os axiomas) e outras que poderiam ser demonstradas de alguma forma, mas não o fez (os postulados ou noções comuns). São conceitos matemáticos muito relevantes que não necessitam de demonstração para serem verdadeiros, pois fazem parte de um consenso da comunidade que os utiliza. Os axiomas e os postulados são a base lógica e metodológica que reflete https://bit.ly/3rCFHLj 17 algumas das propriedades observáveis dos objetos e conceitos matemáticos. Eles são a essência das cadeias dedutivas sobre as quais coisas mais complexas são construídas (ou descobertas) a partir de outras mais simples. Inclusive, a negação ou a modificação de algum dos axiomas e postulados propostos por Euclides deu origem às chamadas geometrias não euclidianas, especialmente, a partir do Renascimento, no século XV, e por toda a Idade Moderna (COSTA, 2010). Machado e Ferraz (2019, p. 16-17) apresentam um compilado dos principais axiomas e postulados que se constituíram como um dos alicerces para a sistematização dos conhecimentos sobre Geometria: Axiomas Axioma I: pode-se traçar uma única reta ligando quaisquer dois pontos; Axioma II: pode-se continuar (de uma maneira única) qualquer reta finita continuamente em uma reta; Axioma III: pode-se traçar um círculo com qualquer centro e qualquer raio; Axioma IV: todos os ângulos retos são iguais; Axioma V: se uma reta, ao cortar outras duas, forma ângulos internos, no mesmo lado, cuja soma é menor do que dois ângulos retos, então essas duas retas encontrar-se-ão no lado onde estão os ângulos cuja soma é menor do que dois ângulos retos. Postulados Postulado I: dados dois pontos distintos, há um único segmento de reta que os une; Postulado II: um segmento de reta pode ser prolongado indefinidamente para construir uma reta; Postulado III: dados um ponto e uma distância quaisquer, pode-se construir uma circunferência de centro naquele ponto e com raio igual à distância dada; Postulado IV: todos os ângulos retos são congruentes (semelhantes); Postulado V: se duas linhas intersectam uma terceira linha, de tal forma que a soma dos ângulos internos em um lado é menor que dois ângulos retos, então as duas linhas devem intersectar-se nesse lado, se forem estendidas indefinidamente (MACHADO; FERRAZ, 2019, p. 16-17). De acordo com Santos e Viglioni (2011, p. 15), “o trabalho de Euclides destaca- se pelo fato de que, com apenas 5 postulados, ele foi capaz de deduzir 465 proposições, muitas complicadas e não intuitivas”. Apesar das lacunas existentes, sanadas por outros matemáticos como David Hilbert, esses autores acrescentam que, a partir dos axiomas acima enunciados, foi possível desenvolver quase toda a Geometria Plana com a qual temos contato desde a Educação Básica. Marconi e Lakatos (2017, p. 90), ao considerarem que os argumentos matemáticos, por sua vez, são dedutivos, salientam que “na geometria euclidiana do plano, os teoremas são 18 todos demonstrados com base em axiomas e postulados. Não obstante o conteúdo dos teoremas já esteja fixado neles, esse conteúdo está longe de ser óbvio”. Nesse sentido, tendo em vista que, se não pudéssemos definir noções sem demonstrá-las, ficaríamos num processo infinito de definições (SANTOS; VIGLIONI, 2011), Euclides precisou estabelecer alguns conceitos e relações primitivos sem os quais não seria possível avançar na construção da Geometria Plana e dos espaços uni e bidimensional. Na sequência, abordaremos algumas dessas peças primitivas, justificando-as como sendo essenciais para o que desejamos discutir neste livro: a própria Geometria Euclidiana Plana e as construções geométricas decorrentes dela. CONCEITOS FUNDAMENTAIS E POSTULARES Como já dissemos, Euclides precisou definir algumas noções primitivas que satisfizessem os axiomas e postulados para, então, propor outras definições, teoremas e demonstrações capazes de darem corpo ao que chamamos hoje de Geometria Euclidiana Plana que, segundo Santos e Viglioni (2011), tem como objeto de estudo o plano e as proposições decorrentes dele. Para tal, algumas ideias intuitivas foram propostas e aceitas sem, necessariamente, serem provadas: I. Ponto é o que não tem partes, ou o que não tem grandeza alguma; II. Linha é o que tem comprimento, porém não tem largura; III. As extremidades da linha são pontos; IV. Linha reta é aquela que está posta igualmente entre as suas extremidades; V. Superfície é o que tem comprimento e largura; VI. As extremidades da superfície são linhas; VII. Superfície plana é aquela sobre a qual assenta toda uma linha reta entre dois pontos quaisquer que estiverem na mesma superfície (MACHADO; FERRAZ, 2019, p. 17). Também existem outras ideias lançadas por Euclides, mas destacamos aqui as 19 noções elementares de ponto (Figura 6), reta (Figura 7) e plano (Figura 8): Figura 6: Ponto Fonte: Elaborado pelo Autor (2021). Figura 7: Reta Fonte: Elaborado pelo Autor (2021). Figura 8: Plano Fonte: Elaborado pelo Autor (2021) 20 Dessas definições axiomáticas, postulares e primitivas até então discutidas aqui, decorrem as seguintes proposições: toda reta possui pelo menos dois pontos (Figura 9); não existe uma reta contendo todos os pontos (Figura 10); e existem pelo menos três pontos no plano (Figura 11) (MACHADO; FERRAZ, 2019). Observe: Figura 9: Pontos na reta Reta s (ou AD ⃡ ) e reta t (ou AC ⃡ ). Fonte: Elaborado pelo Autor (2021) Figura 10: Pontos fora da reta Plano 𝛿 (delta) Fonte: Elaborado pelo Autor (2021) Figura 11: Existência do plano Plano 𝛾 (gama) 21 Fonte: Elaborado pelo Autor (2021) Com efeito, o método lógico-dedutivo que Euclides utilizou, aliado a essas definições, fez com que todo o pensamento matemático posterior fosse influenciado por esse jogo de premissas, conexões e demonstrações. Esses conceitos fundamentais perduram até os dias de hoje em virtude da robustez com que foram concebidos e modelados e suas aplicações no universo. A partir da próxima unidade nos aprofundaremos no estudo de tópicos básicos e especiais da Geometria Euclidiana Plana que foram difundidos, inicialmente, por Euclides e seus discípulos, mas foram aprimorados e organizados de tal maneira que matemáticos e não matemáticos pudessem se apropriar de tais conhecimentos, seja na Educação Básica, seja em áreas como Arquitetura, Design, Engenharia, Biologia, Química, dentre outras tantas que se utilizam desses conhecimentos. Mas, antes, vamos testar os seus conhecimentos e revisar aspectos importantes na seção “Fixando o conteúdo”. 221. No preâmbulo da Unidade 1 apresentamos o seguinte verso do poeta brasileiro Mário Quintana: “Linha curva: o caminho mais agradável entre dois pontos”. De forma afetuosa, o poeta quis, possivelmente, se inspirar em um dos princípios mais básicos da Geometria para propor uma espécie de paródia romântica. Em qual princípio geométrico Mário Quintana se inspirou para sugerir que há mais de um caminho entre dois pontos, dentre os quais uma linha curva seria o mais agradável, porém, não o único? a) Ao processo de divisão da circunferência em partes iguais de acordo com o movimento do Sol e da Terra, na região mesopotâmica. b) Ao procedimento de medir e dividir terrenos em que os egípcios já utilizam noções de Geometria de forma prática, inclusive, para capitalizarem suas terras. c) Ao axioma proposto por Euclides em que se pode traçar uma única reta ligando quaisquer dois pontos. d) Ao postulado euclidiano que propõe que um segmento de reta pode ser prolongado indefinidamente para construir uma reta. e) À ideia primitiva de que as extremidades da superfície são linhas. 2. Os egípcios e os mesopotâmicos já detinham muito conhecimento sobre vários aspectos da Geometria, antes mesmo da palavra ser criada, mas foram os gregos que deram um passo à frente na sistematização desses conhecimentos, acrescentando outros conceitos, definições e métodos expressivamente rigorosos de demonstração e validação. Nesse sentido, analise as seguintes afirmações: I. A Geometria experimental dos povos mediterrâneos (povos ligados à região do mar Mediterrâneo), apesar de diversificada, carecia de organização, de registros e demonstrações sobre os fundamentos matemáticos subjacentes a cada ideia. II. Os gregos não conseguiram avançar muito na sistematização dos conhecimentos geométricos acumulados por egípcios e mesopotâmicos, pois as técnicas agrícolas 23 e as que eram empregadas nas construções não eram apoiadas em nenhuma metodologia lógico-matemática. III. Euclides, a partir do método dedutivo axiomático, pôde criar, demonstrar, provar e sistematizar grande parte dos conhecimentos e das técnicas geométricas dos povos antigos, especialmente os mediterrâneos. Podemos concluir que as afirmações verdadeiras sobre esses aspectos da Geometria na Antiguidade estão em: a) I. b) I e III. c) I, II e III. d) Apenas III. e) II e III. 3. Em relação às geometrias que se desenvolveram nas regiões egípcia e mesopotâmica na Antiguidade, analise cada uma das seguintes afirmativas e sinalize-as com V para as que forem verdadeiras e F para as que forem falsas. ( ) Possuíam aspectos baseados, essencialmente, em métodos seguros e lógicos da Matemática que lhe conferiam um caráter puramente científico. ( ) Caracterizavam-se pelo uso de técnicas, artefatos e observação empírica que, fundamentalmente, embasavam boa parte dos conhecimentos. ( ) Havia um predomínio do pensamento metodológico indutivo, caracterizado pela quantidade, repetição, padronização de eventos, técnicas e pelo uso do senso comum em que casos particulares indicariam leis gerais. De acordo com a sinalização dos parênteses acima, a sequência que define o preenchimento correto é: a) V-V-V. b) V-F-V. c) F-F-V. d) F-V-F. 24 e) F-V-V. 4. Tendo em vista os conceitos de dedução e indução discutidos na Unidade 1, os exemplos estabelecidos, os contextos históricos em que foram empregados na Geometria e os seus conhecimentos sobre o assunto, associe a primeira coluna com a segunda. Primeira coluna (1) Dedução (2) Indução Segunda coluna ( ) Um quadrado tem 4 lados. Um quadrado tem 4 ângulos internos. Figuras de 4 lados tem 4 ângulos internos. ( ) Um ângulo é formado pelo encontro de duas retas. Há chance de retas se encontrarem num mesmo plano. Duas retas quaisquer de um plano formam um ângulo entre si. ( ) Um quadrilátero possui 4 lados. O paralelogramo possui 4 lados. O paralelogramo é um quadrilátero. De cima para baixo, a sequência correta da segunda coluna preenchida é: a) 1 - 1 – 2. b) 1 - 2 – 2. c) 1 - 2 – 1. d) 2 - 2 – 1. e) 2 - 1 – 1. 5. As escolas gregas de Artes, Filosofia e Matemática, por volta do século VI a. C., demonstravam certa hegemonia e expansão na produção, sistematização e divulgação de conhecimentos matemáticos, em especial, os relacionados à Geometria. Euclides, sem dúvida, foi um expoente e se destacou com a obra Os Elementos. Composto por 13 volumes, Os Elementos reuniram boa parte do que se sabia de Geometria naquele tempo, deu um salto significativo em aspectos metodológicos e contribui, até os dias de hoje, para o desenvolvimento de pesquisas e práticas de ensino e aprendizagem nesse vasto campo. Considere as seguintes afirmativas em relação às contribuições de Euclides e seus predecessores gregos em relação à Geometria: 25 I. Adotavam um caráter documental de registrar, sistematizar e divulgar os conhecimentos gregos e de outros povos. II. Concebiam e utilizavam o método lógico-dedutivo em suas análises, demonstrações e provas. III. A proposição de axiomas e postulados como geradores de cadeias dedutivas era a essência e a base para a construção (ou descoberta) de propriedades e conceitos mais complexos a partir de noções mais simples. As afirmativas que condizem que as características da Geometria produzida ou sistematizada por Euclides, seus predecessores e contemporâneos são: a) I, II e III. b) Apenas I. c) I e II. d) Apenas III. e) II e III. 6. A chamada Geometria Euclidiana (e também as suas ramificações – Plana, Espacial e Analítica) considera e está baseada em proposições que devem ser aceitas, assim como "dogmas", sem, necessariamente, serem provadas, mas apenas enunciadas: são os axiomas e os postulados. São conceitos matemáticos que não necessitam de demonstração para serem verdadeiros, pois fazem parte de um consenso da comunidade que os utiliza. Em relação aos axiomas e postulados propostos por Euclides e seus discípulos, podemos afirmar que: a) Limitam-se ao espaço bidimensional e não podem ser considerados nos espaços uni e tridimensional. b) Foram obtidos a partir de experiências e observações. c) Trazem uma definição matemática sobre figuras e conceitos não euclidianos. d) Representam a realidade concreta e, por isso, podem ser representados no mundo material. e) Dão suporte ao método lógico-dedutivo para os conceitos, demonstrações e provas da Geometria Euclidiana. 26 7. Ponto, reta e plano são noções primitivas sobre as quais Euclides lançou mão para, junto com os axiomas e postulados, propor definições, teoremas e demonstrações capazes de darem corpo ao que chamamos hoje de Geometria Euclidiana Plana. No âmbito dessas noções, algumas ideias decorrem de suas propriedades, apesar de não receberem definições exatas de suas existências e, quase sempre, não serem demonstradas ou provadas. Assim, em relação a essas noções primitivas, analise as seguintes afirmativas e registre V para as verdadeiras e F para as falsas: ( ) O ponto é definido como sendo a menor unidade da Geometria, unidimensional e, portanto, a base de outras figuras como as retas e os planos. ( ) Apesar de não ser definida, a noção de reta é unidimensional, possui infinitos pontos e pode ser nomeada por uma letra minúscula do nosso alfabeto. ( ) Bidimensional, o plano contém todos os pontos e retas do espaço. A sequência correta de V e F que preenche os parênteses acima é: a) V – V – V. b) F – V – F. c) V – F – V. d) F – F – F. e) V – F – F. 8. A partir das proposições axiomáticas, postulares e primitivas foi possível estabelecer (por Euclides e por outras pessoas depoisdele) relações diretas da aplicação das noções de ponto, reta, plano e espaço na própria Geometria geral e em outras áreas da Matemática. Analise a Figura 12 a seguir: 27 Sobre essa figura, podemos destacar como verdadeira a seguinte relação direta e aplicada: a) Partindo-se de dados particulares, suficientemente constatados, infere-se uma verdade geral ou universal. b) A condição de existência de um plano é possuir, pelo menos, três pontos com um ponto não colinear. c) Pode-se traçar um círculo com qualquer centro e qualquer raio. d) Todos os ângulos retos são iguais. e) Todos os ângulos retos são diferentes. 28 GEOMETRIA PLANA BÁSICA DA RETA E DO DESENHO GEOMÉTRICO INTRODUÇÃO “Um dos meus anseios de chegar ao infinito é a esperança de que, ao menos lá, as paralelas se encontrem” ― Helder Câmara. É importante salientar que, apesar de não definirmos formalmente os conceitos de ponto, reta e plano, nem provarmos ou demonstrarmos os axiomas e postulados, a Geometria Euclidiana Plana teve o seu desenvolvimento e suas aplicações baseados nessas premissas que não foram propostas de forma despretensiosa, mas, a partir de um método axiomático-dedutivo que deu sentido e robustez às teorias subjacentes a essas noções. Assim, por meio de algumas áreas científicas como a própria Geometria, a Topologia, a Álgebra e até mesmo a Didática, um conjunto de conhecimentos foi sendo agrupado em tópicos com a finalidade de se avançar na pesquisa, no ensino e na aprendizagem dessas noções. Segundo Costa (2010, p. 03, grifo da autora), “uma das primeiras noções UNIDADE 02 https://bit.ly/3BHb6kw 29 matemáticas desenvolvidas pelo homem desde a pré-história foi a ideia de dimensão, advinda de formas, tamanhos, distâncias, necessidade de delimitação de terras, construções de moradias e objetos da natureza”. De acordo com Eves (1992), inicialmente, essa ideia de dimensão estava ligada à chamada geometria subconsciente em que os problemas que envolviam a Geometria eram concretos e tinham pouca ou nenhuma ligação entre si e estavam vinculados aos potenciais humanos de reconhecer, comparar e estabelecer configurações, formas e tamanhos. Mas, a partir da capacidade de abstração de algumas características e propriedades, leis foram concebidas e a Geometria ganhou o status de ciência (COSTA, 2010). Nesse sentido, no âmbito das noções uni e bidimensionais, abordaremos tópicos da Geometria Euclidiana Plana que são básicos e estruturais para as construções que são decorrentes dessas noções. Para tal, inicialmente, faremos algumas discussões sobre as retas e introduziremos alguns instrumentos e técnicas de desenho buscando aplicá-los em algumas construções elementares. ESTUDO DAS RETAS Dos postulados que estudamos anteriormente, há dois que se classificam como postulados de determinação: dois pontos distintos determinam uma única reta que passa por eles (Figura 9) e três pontos distintos e não colineares determinam um único plano que os contém (ou seja, uma reta e um ponto fora dela) (Figura 11). Desses postulados, de acordo com Santos e Viglioni (2011), decorre uma consequência importante: por um ponto passam infinitas retas (Figura 13). Figura 13: Infintas retas por um ponto Fonte: Elaborado pelo Autor (2021) Nesta figura, percebemos: 1. A representação de que infinitas retas passam por A; 2. Que os pontos A e B determinam a reta t; 3. Que os pontos A, B e C, com C não colinear a B, determinam um plano θ; 4. A, M, N e O são pontos colineares em que a reta s passa por todos eles ao mesmo tempo, pois estão estritamente alinhados. 30 Ao pensarmos nas possibilidades de localizarmos duas ou mais retas num mesmo plano (Figura 14), existem três cenários para que elas sejam: Paralelas entre si: nesse caso, elas não se encontram no plano e, por isso, não há pontos comuns. Usa-se o símbolo // para indicar que r // s (r é paralela à s). Concorrentes, ou seja, elas se encontram em apenas um ponto. Usa-se o símbolo X para indicar que s X t (reta s é concorrente à reta t). Coincidentes. Isso significa que todos os pontos de uma são pontos da outra também. Usa-se o símbolo ≡ para indicar que m ≡ t (retas m e t são coincidentes). Figura 14: Retas paralelas, concorrentes e coincidentes Fonte: Elaborado pelo Autor (2021) Ainda sobre as retas concorrentes, como o encontro de duas delas determinam quatro regiões no plano, elas podem ser classificadas (Figura 15) em perpendiculares (regiões de mesma abertura angular, cada uma medindo 90º) ou oblíquas entre si (regiões de aberturas angulares diferentes de 90º). Baseando-se nisso, segundo Santos e Viglioni (2011, p. 41), decorre um teorema que explicita que “por qualquer ponto de uma reta passa uma única perpendicular a esta reta”. Figura 15: Retas concorrentes perpendiculares e oblíquas Usa-se o símbolo ⊥ para indicar que r ⊥ s (Leia: a reta r é perpendicular à reta s) Usa-se o símbolo ∠ para indicar que m ∠ n (Leia: a reta m é oblíqua à reta n) Fonte: o autor. 31 É estrategicamente importante que, na Matemática, haja a definição de noções de partes e divisões de uma reta. Aliás, nunca conseguiremos desenhar uma reta de verdade por ela estar associada à ideia de um conjunto infinito de pontos sem origem ou fim, mas, parte dela sim. Existem muitas construções que são concebidas tomando-se a ideia das partes de uma reta. Assim, em Geometria, considerando-se um ponto A qualquer pertencente a uma reta r qualquer, denominam-se semirretas as duas partes da reta cuja origem está em A. Logo, uma semirreta terá uma origem, mas não terá um fim. Representamos uma semirreta por sua origem, um ponto pertencente a ela e uma seta acima das letras que representam esses pontos (Figura 16). Figura 16: Semirreta Fonte: Elaborado pelo Autor (2021) Para identificar qual semirreta está sendo considerada, basta definir mais um ponto em cada parte, distinto da origem A. Assim, tem-se a semirreta AB (AB ) e a semirreta AC (AC ), ambas com origem no ponto A e passando pelos pontos B e C, respectivamente. A reta r é a reta de suporte para essas duas semirretas Outra subdivisão muito importante da reta é o segmento de reta. A partir de uma reta de suporte, ao marcarem-se dois pontos distintos, determina-se um conjunto infinito de pontos entre esses dois pontos iniciais (denominados de extremidades). A esse conjunto (pontos da extremidade e pontos internos entre essas extremidades) dá-se o nome de segmento de reta. Identifica-se essa figura geométrica ao indicar as suas extremidades com um traço sobre elas (Figura 17). 32 Figura 17: Segmentos de reta Fonte: Elaborado pelo Autor (2021) Sobre a reta suporte r, tem-se os segmentos de reta BD̅̅ ̅̅ , DE̅̅ ̅̅ , EF̅̅̅̅ , BE̅̅̅̅ , BF̅̅̅̅ e DF̅̅̅̅ . Sobre a reta suporte s, tem-se os segmentos de reta AB̅̅ ̅̅ , BC̅̅̅̅ e AC̅̅̅̅ . As retas r e s são coplanares (estão no mesmo plano) e são concorrentes oblíquas entre si no ponto B. Ao considerarmos os exemplos de segmentos de reta determinados na Figura 17, podemos estabelecer as seguintes relações entre eles: Os segmentos AB̅̅ ̅̅ e BC̅̅̅̅ ; AB̅̅ ̅̅ e BD̅̅ ̅̅ ; BD̅̅ ̅̅ e DE̅̅ ̅̅ ; DE̅̅ ̅̅ e EF̅̅̅̅ ; BE̅̅̅̅ e BF̅̅̅̅ ; BD̅̅ ̅̅ e DF̅̅̅̅ ; BE̅̅̅̅ e EF̅̅̅̅ são segmentos consecutivos, pois possuem uma extremidade comum. No caso de BD̅̅ ̅̅ e DE̅̅ ̅̅ , D é extremidade comum; AB̅̅ ̅̅ e BC̅̅̅̅ , assim como BD̅̅ ̅̅ e DE̅̅ ̅̅ ; DE̅̅ ̅̅ e EF̅̅̅̅ ; BE̅̅̅̅ e BF̅̅̅̅ ; BD̅̅ ̅̅ e DF̅̅̅̅ ; BE̅̅̅̅ e EF̅̅̅̅ são chamados de segmentos colineares, pois estão na mesma retasuporte s e r, respectivamente; É importante notar que dois segmentos consecutivos podem ser, ao mesmo tempo, colineares (como BD̅̅ ̅̅ e DE̅̅ ̅̅ ) ou não (como AB̅̅ ̅̅ e BD̅̅ ̅̅ ); Um segmento pode estar contido (⊂) em outro quando todos os pontos de um são pontos contidos no outro também. O segmento DE̅̅ ̅̅ , por exemplo, está contido em BE̅̅̅̅ , BF̅̅̅̅ e DF̅̅̅̅ (DE̅̅ ̅̅ ⊂BE̅̅̅̅ , DE̅̅ ̅̅ ⊂BF̅̅̅̅ ou DE̅̅ ̅̅ ⊂DF̅̅̅̅ / ⊂ é “está contido”) ou equivale dizer que BE̅̅̅̅ ⊃DE̅̅ ̅̅ (BE̅̅̅̅ contém DE̅̅ ̅̅ ). Ao se tomar um segmento de reta como parte limitada contida numa reta suporte, é possível estabelecer noções referentes a um sistema de medidas que utilize como padrão a comparação com sistemas já conhecidos, como o métrico. Nesse sentido, os axiomas de medição de segmentos possibilitam deduzir algumas regras e propriedades que são importantes para as construções geométricas. Dois desses axiomas interessam-nos. O primeiro, de acordo com Santos e Viglioni (2011, p. 34-35), diz que “a todo segmento corresponde um número maior ou igual a zero. Este número é zero se, e somente se, as extremidades coincidem”, ou seja, declara-se, implicitamente, a escolha de uma unidade de medida e um número que corresponde ao comprimento ou distância entre os pontos que definem um segmento de reta. O segundo axioma expressa que “os pontos de uma reta podem 33 ser sempre colocados em correspondência biunívoca com os números reais, de modo que o módulo da diferença entre estes números meça a distância entre os pontos correspondentes” (VIGLIONI, 2011, p. 34-35). Dito de outra forma, existe uma correspondência fixada entre os números reais e os pontos de uma reta (que podemos chamar de coordenadas) que permite a seguinte dedução, segundo Santos e Viglioni (2011, p. 35): “se a e b são as coordenadas dos pontos A e B, respectivamente, então o comprimento do segmento AB, denotado por 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , é igual a AB = |a − b|, ou seja, o módulo (valor positivo) da diferença entre coordenadas de dois pontos (extremos). Observe os seguintes exemplos ilustrativos desses dois axiomas: Para finalizarmos essa seção, decorre ainda desses axiomas de medição de segmentos a definição de que “o ponto médio C de um segmento AB é um ponto deste segmento tal que 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ ≅ 𝐶𝐵̅̅ ̅̅ ” e o teorema de que “um segmento tem exatamente um ponto médio” (SANTOS; VIGLIONI, 2011, p. 37). A demonstração dessas decorrências é bem simples, no entanto, desejamos chamar a atenção para o fato de que a relação de congruência (representada pelo símbolo ≅ que quer dizer “congruente”) é uma relação de equivalência, ou seja, o ponto médio de um segmento de reta o divide em duas partes de mesmo tamanho, dito de outra forma, em dois segmentos congruentes. O ponto médio é sempre interno ao segmento. 34 INSTRUMENTOS E TÉCNICAS DE DESENHO As tecnologias digitais presentes em vários momentos do cotidiano, inclusive na escrita deste livro, impelem-nos ao questionamento sobre o ensino, a aprendizagem e a aplicabilidade do desenho geométrico nos dias de hoje, com seus instrumentos, técnicas e regras, muitas das quais axiomáticas. Sem dúvida, arrastar o dedo numa tela para desenhar um quadrado parece algo, razoavelmente, fácil. No entanto, esse movimento em si é originário de uma construção anterior, física e material, que levou em conta vários conceitos e leis matemáticas, sem os quais não existiriam quase todas as engenharias, por exemplo. Como discutiremos o ensino-aprendizagem de Geometria na última unidade, não delongaremos muito em dizer que vários problemas do mundo dependem do raciocínio geométrico e de suas construções para serem resolvidos ou, ao menos, aprimorados. Por trás de cada estratégia, de cada tecnologia, de cada desenho, existe um humano que é responsável por mobilizar conhecimentos relacionados às Então, se C é o ponto médio de AB̅̅ ̅̅ , a distância de C em relação aos pontos A e B é: |5 − 11| 2 = |− 6| 2 = 6 2 = 3 unidades. Isso significa que a coordenada x = 5+3 = 8 e que 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ ≅ 𝐶𝐵̅̅ ̅̅ (segmento AC é congruente ao CB). https://bit.ly/3eZTre5 35 construções geométricas para propor soluções em diversas áreas. Portanto, nesta seção, alguns instrumentos e técnicas de desenho geométrico serão apresentados para que, a partir deles, possamos propor algumas construções e discussões. Assim, o desenho geométrico caracteriza-se por um conjunto de aspectos e processos nos quais várias construções geométricas são concebidas para representar, resolver problemas ou desenvolver novos e aplicados problemas. As técnicas estão ligadas, exatamente, aos objetivos propostos e problemas que precisam ser resolvidos. Por exemplo: se quero desenhar um sorvete, poderia optar pela sobreposição ou encaixe de um triângulo e um círculo. O encaixe de um trapézio e algumas elipses pode se tornar, por exemplo, um vaso de cactos, como na Fig. 20. Figura 20: Sorvete, folha e vaso com cactos a partir da sobreposição de desenhos geométricos Fonte: Disponível em https://bit.ly/3rztl6R. Acesso em: 24 de abr. de 2021. Dentre várias técnicas, a da Figura 20 seria a artística. Outra técnica é a utilizada para elaborar muitos dos desenhos que estão presentes neste livro: a computacional ou algoritmizada. Por fim, expressamos que utilizaremos a técnica axiomática ou lógico-dedutiva da Geometria para propor algumas construções baseadas nos postulados ou axiomas, especialmente propostos em Os elementos. Os instrumentos mais usados para o desenho geométrico são (Figura 21): Régua: geralmente, graduada em milímetros (modelo mais comum de régua escolar), é usada para apoiar o deslizar de outros instrumentos, medir ou traçar linhas retas; Transferidor: geralmente, graduado em graus, é utilizado na construção, medição e transporte de ângulos. Costuma ser de volta inteira (360º) ou de meia volta (180º); Par de esquadros: são duas peças em formato de triângulos retângulos, sendo https://bit.ly/3rztl6R 36 um isósceles (um ângulo de 90º e dois de 45º) e o outro escaleno (um ângulo de 90º, um de 30º e o outro de 60º). Os esquadros são usados, principalmente, no traçado de retas perpendiculares e paralelas ou no desenho de alguns ângulos com a combinação ou não das duas peças; Compasso: instrumento articulado que liga duas hastes, cada uma com uma ponta, serve para traçar pontos equidistantes de um ponto central (circunferência), arcos de circunferência e transportar ângulos e outras medidas. O modelo atual do compasso que utilizamos na escola, por exemplo, foi criado por Leonardo Da Vinci (1452-1519). Figura 21: Régua, transferidores de 180º e 360º, par de esquadros e compasso Fonte: Adaptado de https://bit.ly/3i55KYF. Acesso em: 24 de abr. de 2021. Além desses instrumentos, outros artefatos são usados para os desenhos geométricos e podem variar de acordo com os objetivos como o lápis, canetas, borrachas, papéis, gabaritos (espécie de molde), pranchetas e outros suportes. CONSTRUÇÕES ELEMENTARES Mão na massa! Com o apoio de alguns instrumentos estudados na seção https://bit.ly/3i55KYF 37 anterior, esboçaremos algumas construções elementares utilizando, para tal, a técnica axiomática que permitirá que os desenhos fiquem, adequadamente, de acordo com o que preconizam as leis da Geometria Euclidiana Plana. Assumimos as propriedades dos instrumentos que utilizaremos como os ângulos dos esquadros, a linearidade da régua ou a circularidade da volta do compasso, por exemplo. Construção de retas paralelas e uma paralela que passa por um ponto: Quadro 1: Desenho de retas paralelas Construção de paralelas Passos: 1. Comuma régua e um esquadro ou com o par de esquadros, é possível construir retas paralelas entre si. 2. Para isso, basta posicioná-los como a figura ao lado e deslizá-los, sendo que o escaleno (esquerda) é fixo e o isósceles (direita) é móvel, conforme indicação das setas. 3. O esquadro escaleno fixo pode ser substituído por uma régua. Construção de paralela que passe pelo ponto P Passos: 1. Dados a reta t e o ponto P, deseja-se traçar uma paralela a t que passe por P. Posicione um esquadro isósceles sobre t e uma régua de apoio, como na 1ª figura. 2. Com a régua fixa e o esquadro móvel, movimente-o sobre a régua até alcançar o ponto P, conforme indica a seta. 3. Solte a régua e trace a reta paralela que passe por P. Fonte: Elaborado pelo Autor (2021). 38 Construção de retas perpendiculares e perpendicular que passa por ponto: Quadro 2: Desenho de retas perpendiculares Construção de perpendiculares Passos: 1. Com uma régua e um esquadro ou com o par de esquadros, é possível construir retas perpendiculares entre si. 2. Para isso, basta posicioná-los como a figura abaixo, sendo que o esquadro escaleno (esquerda) é fixo e o isósceles (direita) é móvel, conforme indicação das setas. 3. O esquadro isósceles deve ser posicionado sobre a reta na qual se deseja traçar a perpendicular (1ª figura). 4. O escaleno deve ser posicionado na lateral do isósceles, pois aquele servirá como suporte ao movimento deste. 5. Deve-se, então, movimentar o ângulo reto do isósceles (marca x) sobre o apoio do escaleno, fazendo-se um giro de 180º e deixando a marca x na parte mais superior do apoio do escaleno. 6. A partir disso, o isósceles já ficará posicionado perpendicularmente sobre a reta inicial, permitindo, portanto, o traçado de retas perpendiculares com a reta inicial ao se deslizar o esquadro isósceles sobre o escaleno, conforme indicam as setas da 2ª figura. 7. O esquadro escaleno fixo pode ser substituído por uma régua. Construção de perpendicular que passe pelo ponto B Passos: 1. Dada a reta s e o ponto B, deseja-se traçar uma perpendicular a s que passe por B. 2. Repetem-se os passos anteriores de 2 a 6. Aqui, substituímos o esquadro escaleno por uma régua de apoio que permanecerá fixa. 39 3. Após a repetição dos passos de 2 a 6, desliza-se o esquadro isósceles sobre a régua fixa, conforme indicação das setas, para posicionar o esquadro retilineamente ao ponto B visando que a reta perpendicular a s, que passe por B, seja desenhada. Fonte: Elaborado pelo Autor (2021). Determinação do ponto médio de um segmento de reta: Quadro 3: Ponto médio de um segmento de reta por meio de construções geométricas Ponto médio M de um segmento 𝐀𝐁̅̅ ̅̅ Passos: 1. Utilizando um compasso, com a ponta seca em A e abertura maior que a metade do segmento dado, traça-se uma circunferência (ou apenas um arco entre os pontos A e B). 2. Com a ponta seca em B, repetimos o primeiro passo de forma a fazer a interseção das circunferências (ou arcos) em dois pontos. 3. Com uma régua, tracejamos ou traçamos uma linha que una os pontos de interseção. O cruzamento dessa linha com o segmento determinará o ponto médio M de AB̅̅ ̅̅ . Fonte: Elaborado pelo Autor (2021) Divisão de um segmento de reta em partes congruentes: Quadro 4: Divisão em segmentos congruentes Divisão de um segmento em segmentos congruentes entre si Passos: 1. A demanda inicial é dividir o segmento AB̅̅ ̅̅ em quatro partes (segmentos) congruentes entre si. 2. Usando-se os passos para determinação de ponto médio, obtém-se M, ponto médio de AB̅̅ ̅̅ . 3. Considerando-se os novos segmentos AM̅̅̅̅̅ e MB̅̅̅̅̅, obtêm-se os pontos médios M’ e M’’, respectivamente, da mesma forma que o passo 2. 4. Logo, divide-se AB̅̅ ̅̅ em quatro segmentos congruentes: AM′̅̅ ̅̅ ̅ ≅ M′M̅̅ ̅̅ ̅̅ ≅ MM′′̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ ≅ M′′B̅̅ ̅̅ ̅̅ , como desejávamos. 40 Fonte: Elaborado pelo Autor (2021) https://bit.ly/3i2oOXw 41 FIXANDO O CONTEÚDO 1. (VUNESP/2021/Engenheiro - adaptada) O segmento de reta da figura representa um trecho de uma estrada. Os pontos destacados dividem o segmento de reta em intervalos congruentes. Esses pontos são os marcos quilométricos onde serão colocadas algumas placas. O ponto P representa o marco 5 e o ponto Q, o marco 89. Nessa representação, o marco correspondente ao ponto X é: a) 139,4. b) 131,0. c) 127,5. d) 125,0. e) 123,9. 2. (UNESC/2017/Desenhista - adaptada) As linhas são classificadas também quanto à DEFINIÇÃO. Conforme esta classificação, a linha reta não possui início e fim conhecidos, podendo ser percorrida nos dois sentidos pelo ponto P gerador; percorrendo à esquerda, sentido negativo e à direita sentido positivo. Assinale V para verdadeiro e F para falso nas alternativas abaixo, conforme as demais classificações da linha e as suas definições. Após, marque a sequência correta de V e F: ( ) A linha é semirreta quando estiver definida apenas por uma extremidade, à esquerda ou à direita da mesma, e a outra indo ao infinito. ( ) A linha é segmento de reta quando a reta estiver definida nas duas extremidades. ( ) Segmentos adjacentes são segmentos que têm a mesma medida. ( ) Chama-se reta suporte aquela que contém o segmento ou os segmentos de reta. a) V, V, F, V. b) V, F, F, V. 42 c) F, V, F, V. d) V, V, V, F. e) F, V, V, F. 3. Na Geometria, os pontos e as retas assumem posições relativas entre si que podem ter como consequência algumas propriedades e cenários pertinentes ao plano. Assim, relacione a seguinte sequência com os seus enunciados correspondentes para, então, eleger a sequência correta de correspondência. (1) Pontos colineares // (3) Retas concorrentes (2) Retas paralelas // (4) Retas coincidentes ( ) Todos os pontos de uma são pontos da outra também. ( ) Não se interceptam no plano e, por isso, não há pontos em comum. ( ) Uma reta passa, estritamente, por todos eles de forma alinhada. ( ) Encontram-se em apenas um ponto. A sequência correta da correspondência é: a) 2 – 3 – 4 – 1. b) 4 – 1 – 2 – 3. c) 1 – 2 – 4 – 3. d) 1 – 2 – 3 – 4. e) 4 – 2 – 1 – 3. 4. Analise a seguinte figura. Nela, representamos alguns segmentos de reta. Considerando-se esses segmentos de reta representados e as relações existentes entre eles, pode-se afirmar que: a) AB̅̅ ̅̅ e BE̅̅̅̅ são segmentos consecutivos. b) AB̅̅ ̅̅ e BF̅̅̅̅ são segmentos colineares. 43 c) BE̅̅̅̅ e BC̅̅̅̅ são segmentos consecutivos e colineares. d) BC̅̅̅̅ ⊂ AB̅̅ ̅̅ , pois são segmentos consecutivos. e) BE̅̅̅̅ ⊃ BF̅̅̅̅ , pois são segmentos consecutivos. 5. Considere os axiomas de medição de segmentos. Tendo em vista que a todo segmento de reta corresponde um número maior ou igual a zero (ou seja, um número que corresponde ao comprimento ou à distância entre os pontos que definem um segmento de reta) e que os extremos que definem um segmento possuem correspondência biunívoca com os números reais, podemos afirmar que: a) Se dois pontos pertencentes a um segmento coincidem, eles têm coordenadas distintas. b) Se os extremos de um segmento são distintos, o módulo entre eles sempre será negativo, especialmente se considerarmos a diferença da coordenada menor pela maior. c) Conhecendo-se os dois extremos de um segmento, obtém-se o comprimento por meio do módulo da diferença entre as coordenadas desses pontos. d) Com quaisquer pontos de um segmento de reta é possível obter a distância entre os extremos desse segmento considerado originalmente.e) Se dois pontos pertencentes a um segmento coincidem, eles têm coordenadas desconhecidas ou indeterminadas. 6. Decorre dos axiomas de medição de segmentos a definição de que “o ponto médio C de um segmento AB é um ponto deste segmento tal que 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ ≅ 𝐶𝐵̅̅ ̅̅ ” e o teorema de que “um segmento tem exatamente um ponto médio”. Logo, é possível determinar, de forma única, a coordenada ou o número real que corresponde ao ponto médio de um determinado segmento de reta. Considere a seguinte figura: 44 Sabendo que A e B são os pontos extremos desse segmento, a coordenada x do ponto médio C (ou número real associado) de AB̅̅ ̅̅ é: a) 12. b) 16. c) 24. d) 26. e) 31. 7. Não há dúvidas que os instrumentos e as técnicas utilizados nas construções geométricas são essenciais para que os axiomas e postulados da Geometria Euclidiana Plana sejam preservados e os objetos desenhados sejam, de fato, representativos das ideias abstratas e lógico-dedutivas subjacentes. Considere as seguintes afirmativas e julgue-as como verdadeiras (V) ou falsas (F): ( ) Com os ângulos disponíveis no par de esquadros é possível substituir um transferidor na medição de qualquer ângulo. ( ) Por usarem medidas internacionalmente aceitas, os instrumentos de desenho geométrico são adequados para construções mais simples em que a técnica axiomática precisa ser utilizada. ( ) Apenas uma régua graduada é suficiente para construir retas perpendiculares. Um compasso não é um instrumento adequado para fornecer a leitura direta de medidas, apesar de ser um instrumento utilizado para transportá-las. A sequência correta que preenche as lacunas é: a) F – F – F – V. b) V – V – F – V. c) F – V – V – V. d) V – V – V – V. e) F – V – F – V. 8. (CESGRANRIO/2016/Petrobras - adaptada) Considere a construção geométrica 45 descrita a seguir. Com alguma inclinação sobre o segmento de reta AB dado, traça-se uma semirreta auxiliar s, com origem num dos extremos A ou B. Sobre esse segmento auxiliar, e a partir da origem escolhida, marcam-se comprimentos iguais, com uma abertura qualquer de compasso, de acordo com o número (n) de divisões desejadas, achando-se os pontos 1, 2, 3, ... , n. Une-se o último ponto marcado com o outro extremo do segmento de reta AB e traçam-se paralelas a essa linha que passam pelos pontos marcados na semirreta auxiliar s. Após realizar esse procedimento descrito, obtém-se a construção geométrica denominada de: a) Paralela à reta AB. b) Perpendicular à reta AB. c) Divisão do segmento AB. d) Hexágono de lado igual a AB. e) Triângulo equilátero com lado igual a AB. 46 TÓPICOS DE GEOMETRIA PLANA BÁSICA ESTRUTURAL E ALGUMAS CONSTRUÇÕES ESPECIAIS INTRODUÇÃO “A lei de ouro do comportamento é a tolerância mútua, já que nunca pensaremos todos da mesma maneira, já que nunca veremos senão uma parte da verdade e sob ângulos diversos”. ― Mahatma Gandhi Nesta unidade, avançaremos em alguns tópicos estruturantes da Geometria Euclidiana Plana para, então, propormos a análise e algumas construções geométricas mais avançadas do ponto de vista do processo axiomático. Nesse sentido, propusemos o estudo de alguns conceitos e propriedades sobre regiões angulares, polígonos, circunferências e círculos. Ao final, o propósito é utilizar alguns dos instrumentos de desenho para, por meio da técnica lógico-dedutiva, consolidar e ampliar esses tópicos com algumas construções especiais. ESTUDO DE ÂNGULOS E REGIÕES ANGULARES Em Os Elementos, Euclides axiomatizou a ideia de ângulo sem, no entanto, defini-lo em termos de medidas. Costa (2010, p. 19) diz que a palavra “ângulo” foi encontrada, pela primeira vez, em materiais gregos que envolviam elementos de círculo em estudos sobre arcos e cordas, mas que “não podemos estimar quando o homem começou a medir ângulos, porém sabe-se que eles eram medidos na Mesopotâmia e muito bem conhecidos quando Stonehenge – monumento pré- histórico – foi construída” há mais de 3.000 anos a.C na atual Inglaterra. Ângulo é uma região formada por duas semirretas coplanares que compartilham a mesma origem e limitam regiões do plano. Observe a Figura 22. UNIDADE 03 47 Figura 22: Ângulo e alguns elementos Fonte: Elaborado pelo Autor (2021) Pode-se indicar esse ângulo das seguintes formas: AÔB (lê-se ângulo AOB) ou BÔA (lê-se ângulo BOA). A medida desse ângulo pode ter três representações: med (AÔB) = xº ou o = xº ou β = xº, x é um número real. (usamos letras minúsculas gregas ou do nosso alfabeto) São elementos do ângulo AÔB: Vértice: O (origem) | Lados: semirretas OA e OB . Em relação ao ângulo AÔB, duas regiões são delimitadas: região convexa (lilás) em que dois pontos quaisquer determinam um segmento de reta que estará contido nessa região e região não convexa (amarela) em que haverá dois pontos que determinarão segmentos que não estarão totalmente nesta região. Assim, diz-se que AÔB é uma região convexa (ou ângulo convexo). Isso é regra geral. O grau (º), uma criação dos babilônios antes da era cristã, é a unidade de medida que utilizaremos neste material para indicar a abertura (ou medida) dos ângulos. O transferidor é um dos instrumentos de medida de ângulos mais utilizados em virtude da leitura fácil e direta. Na unidade 2, apresentamos esse importante instrumento como suporte para algumas construções e medições geométricas. Ao se avançar para os chamados axiomas de medição de ângulos, é importante esclarecer algumas nomenclaturas e classificações que são dadas aos ângulos em relação à medida de diferentes aberturas e à localização de seus pontos. Santos e Viglioni (2011) afirmam que, para se avançar no conceito de medida de ângulo, os seguintes axiomas são fundamentais nesse processo de sistematização e definição. O primeiro deles, segundo esses autores, estabelece que “a todo ângulo corresponde um único número real maior ou igual ao zero. Este número é zero se, e 48 somente se, os lados do ângulo coincidem” (p. 39). Disso decorre que um semiplano (metade de um plano) é dividido por uma semirreta se essa semirreta pertence a esse semiplano e se sua origem (um ponto de interseção) pertence à reta que determinou o semiplano. Um segundo axioma propõe que “existe uma bijeção entre as semirretas de mesma origem que dividem um dado semiplano e os números entre zero e 180, de modo que a diferença entre os números é a medida do ângulo formado pelas semirretas correspondentes” (SANTOS; VIGLIONI, 2011, p. 40). Pareceu um pouco confuso? Observe a Figura 23, pois nela esclareceremos, de forma prática e ilustrativa, esses axiomas: Figura 23: Axiomas de medição de ângulo Fonte: Elaborado pelo Autor (2021) Sobre o primeiro axioma de medição de ângulo, temos que: 1. A medida dos ângulos condiz a um número real, em (º); 2. med (AÔB) = 0º, pois os lados desse ângulo coincidem. Em relação ao segundo axioma, percebemos que: 3. A reta suporte de 𝐸𝐴 define dois semiplanos no plano; 4. As semirretas 𝑂𝐴 , 𝑂𝐶 , 𝑂𝐷 , e 𝑂𝐸 têm mesma origem; 5. A relação bijetora entre as semirretas e os ângulos que elas determinam origina os ângulos AÔC = 35 – 0 = 35º, CÔD = 120 – 35 = 85º e DÔE = 180 – 120 = 60º, ou seja, a diferença entre os números vinculados a cada semirreta. Em decorrência desses axiomas, têm-se as seguintes definições (quadro 5): Quadro 5: Definições, nomenclaturas e classificações de ângulos Ângulo nulo med (AÔB) = 0º Ângulo de meia volta ou raso med (AÔB) = 180º Ângulo de uma volta med (AÔB) = 360º Ângulo reto med (AÔB)= 90º Ângulo agudo 0º < med (AÔB) < 90º Ângulo obtuso 90º < med (AÔB) < 180º 49 Ângulos consecutivos Ângulos adjacentes Bissetriz de um ângulo Partilham um lado (semirretas coincidentes) e podem possuir pontos internos comuns. AÔB e BÔC, AÔB e AÔC, AÔC e BÔC são consecutivos. Lados comuns: 𝑂𝐵 , 𝑂𝐴 , e 𝑂𝐶 , respectivamente. São ângulos consecutivos que não têm pontos internos comuns. AÔB e BÔC são adjacentes e possuem OB como lado comum. Com origem no vértice de um ângulo, é a semirreta que o divide em dois ângulos adjacentes congruentes (ângulos de mesma medida). OB é a bissetriz de AÔC, pois AÔB ≅ BÔC (são adjacentes) Ângulos complementares Ângulos suplementares São dois ângulos cuja soma de suas medidas é 90º. Um será o complemento do outro. São dois ângulos cuja soma de suas medidas é 180º. Um será o suplemento do outro. Fonte: Adaptado de Barreto Filho e Silva (2000); Costa (2010) e Giovanni, Giovanni Júnior e Castrucci (2015). Observe que se uma semirreta, com origem no vértice, divide um ângulo em dois outros ângulos, então a soma da medida dos novos ângulos é igual ao ângulo original (SANTOS; VIGLIONI, 2011). Esse terceiro axioma de medição de ângulo é importante, pois permite algumas deduções relevantes quando relacionamos pares ou conjuntos de ângulos. Partindo-se da Figura 24, analisaremos novas conclusões. Figura 24: Terceiro axioma de medição de ângulo Fonte: Elaborado pelo Autor (2021) Tendo em vista o terceiro axioma de medição de ângulo: I. AÔC = AÔB + BÔC = a + b = 180º (são suplementares); II. BÔD = AÔB+ AÔD = a + d = 180º (suplementares); De I e II: a + b = a + d => b = d (cancela-se o “a”). De forma semelhante, encontra-se que a = c. Assim, as medidas “b” e “d”, “a” e “c” são congruentes (têm a mesma abertura). 50 Sob a ótica do vértice O, na Figura 24, as retas r e s determinam ângulos opostos pelo vértice (usa-se a abreviação “o.p.v.”) que são sempre congruentes. Segundo Santos e Viglioni (2011, p. 86), o axioma das paralelas é enunciado da seguinte forma: “por um ponto fora de uma reta dada, pode-se traçar uma única reta paralela a esta reta”. Considerando esse axioma, que equivale ao quinto postulado do primeiro livro de Os Elementos, e a conclusão dos ângulos o.p.v., ao considerarmos duas retas distintas r e s (com r // s) cortadas por outra reta t que dividirá o plano em dois semiplanos (por isso, a chamaremos de reta transversal t), obtêm-se “pares de ângulos importantes nos estudos da Geometria” (BARRETO FILHO; SILVA, 2000, p. 413). Esses ângulos formados pela reta transversal t são denominados de forma específica de acordo com a posição que ocupam e detêm algumas propriedades que são evidenciadas, mas não demonstradas, na Figura 25. Intuitivamente, é simples compreendê-las ao considerarmos o que foi discutido aqui. Figura 25: Ângulos formados por paralelas e uma transversal Fonte: Elaborado pelo Autor (2021) - Têm-se ângulos internos (região verde) e externos (região laranja); - Colateral significa “mesmo lado ou mesmo semiplano” e alterno “lado diferente ou semiplano diferente”; - Se r // s, ambas estão cortadas pela reta transversal t e se todas são coplanares, então os ângulos: �̂� ≅ �̂�, �̂� ≅ 𝑓, �̂� ≅ �̂� 𝑒 �̂� ≅ ℎ̂ são correspondentes e congruentes; �̂� ≅ 𝑓 e �̂� ≅ �̂� são alternos internos e congruentes; �̂� ≅ �̂� e �̂� ≅ ℎ̂ são alternos externos e congruentes; �̂� 𝑒 �̂�, �̂� 𝑒 𝑓 são colaterais internos e suplementares (soma=180º); �̂� 𝑒 ℎ̂, �̂� 𝑒 �̂� são colaterais externos e suplementares (soma=180º); Assim, encerramos os estudos propostos sobre ângulos e regiões angulares para discutirmos figuras geométricas fechadas cuja existência depende da relação entre ângulos e segmentos de reta de um mesmo plano. Boa leitura! OS POLÍGONOS E ALGUMAS PARTICULARIDADES O nosso objetivo nesta seção é o de explorar os polígonos sob uma perspectiva 51 construtivista, sem nos ater à Álgebra ou à Aritmética subjacentes a alguns atributos. No entanto, destacaremos alguns conceitos e propriedades que são importantes para as construções e desenhos geométricos fazendo o uso, caso seja necessário, de fórmulas, expressões ou cálculos, além de algumas demonstrações, para endossar o conceito ou propriedade tratados. Saber o que é um polígono é mais simples que defini-lo e entender a definição, pois ela foi construída com um conjunto de argumentos fundamentais sob os quais precisamos mobilizá-los e empregá-los para que as propriedades sejam válidas. De origem grega, a palavra significaria “muitos/vários ângulos”. Giovanni, Giovanni Júnior e Castrucci (2015, p. 214) definem polígono como sendo a “reunião de uma linha fechada simples, formada apenas por segmentos de reta de um mesmo plano com a sua região interna”. Já Dolce e Pompeo (2005, p. 132) afirmam que, “dada uma sequência de pontos de um plano (A1, A2, ..., An), com n ≥ 3, todos distintos, onde três pontos consecutivos não são colineares, chama-se polígono a reunião dos segmentos A1A2̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅, A2A3̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅, ..., A𝑛−1A𝑛̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ , A𝑛A1̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅”. Para entendermos os conceitos, também é importante esclarecer que linha fechada simples é o contorno no qual a linha não se intersecta (não há pontos de interseção) cujo ponto inicial coincide com o ponto final. No caso dos polígonos, o contorno é uma linha poligonal formada apenas por segmentos de reta. Além disso, vale destacar que o nosso foco são os polígonos convexos e, por isso, na Figura 26, diferenciaremos um polígono convexo de um polígono não convexo. Figura 26: Diferença entre polígono convexo e não convexo 52 Fonte: Elaborado pelo Autor (2021) Neste polígono, a reta r contém um dos lado Qualquer reta que suporte dos lados do Como a figura está contida nos dois semiplanos polígano (como t e w) determina determinados por r e AB̅̅ ̅̅ não está totalmente semiplanos que contém, totalmente, contida na região interna, este polígono é a região interna. Além disso, qualquer não-convexo. segmento cujos extremos sejam pontos internos estará contido nesse polígono que é convexo. Dentre os elementos de um polígono, vamos destacar os seguintes: Figura 27: Elementos de um polígono Fonte: Elaborado pelo Autor (2021). - Os vértices são os pontos de encontro dos segmentos que formam os lados. Nesse caso, os pontos A, B, C, D, E e F; - Os lados do polígono são os segmentos de reta que delimitam a região interna: AB̅̅ ̅̅ , BC̅̅̅̅ , CD̅̅ ̅̅ , DE̅̅ ̅̅ , EF̅̅̅̅ e FA̅̅̅̅ ; - Dois lados consecutivos formam os ângulos internos desse polígono (destacados com a cor amarela) cujo vértice é o ponto de encontro desses segmentos; - Os chamados ângulos externos (em laranja) são formados pelo prolongamento de cada lado com o lado consecutivo; - As diagonais são segmentos de reta que ligam um vértice a outro não consecutivo: AC̅̅̅̅ , AD̅̅ ̅̅ , AE̅̅̅̅ , BD̅̅ ̅̅ , BE̅̅̅̅ , BF̅̅̅̅ , CF̅̅̅̅ , CE̅̅̅̅ , DF̅̅̅̅ . Observa-se que a soma de cada ângulo interno com o seu externo correspondente (que é adjacente e suplementar, ou seja, juntos medem 180º) equivale ao ângulo raso (ângulo amarelo + ângulo laranja = 180º). Além disso, cabe destacar que é uma característica dos polígonos convexos que a quantidade de vértices, de lados, ângulos internos e externos seja sempre igual. Em relação
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