3_Projeto_Estatico_2020 2021_11exs

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Apontamentos Teóricos 
de 
Elementos de Máquinas I: 
Projeto Estático 
 
 
Redigido, adaptado e adoptado para a disciplina por: 
Rosa Marat-Mendes 
(Departamento de Engenharia Mecânica, DEM-MMS) 
 
 
 
2018 
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Índice 
 Projeto Estático ............................................................................................................................. 2 
3.1. Introdução .............................................................................................................................................. 2 
3.2. Concentração de Tensões ................................................................................................................. 3 
3.3. Fator de concentração de tensões ................................................................................................. 4 
3.3.1. Algumas tabelas para o cálculo do fator de concentração de tensões ..................................... 5 
3.4. Exercícios de Aplicação Propostos .............................................................................................. 11 
 
 
 
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 Projeto Estático 
3.1. Introdução 
Carga estática é uma força estacionária ou momento aplicado a um membro. Para ser estática, a força 
ou momento não pode variar em magnitude, ponto ou pontos de aplicação e direção. Uma carga estática 
pode produzir tração, compressão, flexão, torção ou a combinação de qualquer uma delas. Para ser 
considerada estática, a carga não pode variar de forma alguma. 
Neste capítulo consideram-se as relações entre a resistência (tensão de cedência, rotura) e o carregamento 
estático, de modo a que se consiga tomar decisões em relação ao material, fabrico e geometria de modo a 
satisfazer os requisitos de funcionalidade, segurança, fiabilidade, competitividade, usabilidade, fabrico e de 
mercado. 
A falha pode significar que uma peça se tenha separado em duas ou mais; tenha ficado permanentemente 
deformada, arruinado assim a sua geometria. As fotografias da Figura 3.1 representam várias peças que 
falharam, o que mostra que o projetista deverá estudar bem a prevenção de falhas. 
 
 
Figura 3.1 – Peças fraturadas. 
 
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3.2. Concentração de Tensões 
As expressões básicas da “Mecânica dos materiais” que dão a distribuição de tensões numa peça 
assumem que as secções retas se mantêm constantes, não existindo irregularidades na peça ao se passar 
de uma secção para outra. Na verdade, na prática, as peças têm sempre algumas irregularidades. 
Irregularidades comuns são por exemplo: 
• veio com transições bruscas de secção para prover encostos de peças montadas sobre ele 
(p.ex. rolamentos); 
• veios com escatéis para fixação de outras peças (p.ex. rodas dentadas); 
• parafuso com transição brusca de secção na arreigada (p.ex. entre a espiga e a cabeça; parte lisa 
para a parte roscada); 
• furos em peças; 
• entalhes (p.ex. riscos de maquinagem, picadas, corrosão). 
Todos os acidentes geométricos das peças alteram a distribuição de tensões de tal forma que as 
expressões básicas já não se descrevem corretamente. Estes acidentes geométricos provocam uma 
concentração de tensões (Figura 3.2). No primeiro caso, a distribuição de tensões é uniforme ao longo da 
largura do provete, pois não existe qualquer acidente geométrico na peça. Nos dois outros casos, observa-
se que há uma concentração de tensões (tensões máximas 𝜎𝑚𝑎𝑥) junto aos acidentes geométricos, isto pois 
quando as linhas são desviadas por um entalhe (acidente geométrico), é como se este as empurrasse umas 
contra as outras. O resultado é um aumento da densidade de linhas na vizinhança do acidente geométrico, 
i.e., aumentando a tensão local. 
 
Figura 3.2 – Exemplos de concentração de tensões. 
Na Figura 3.3 podem-se visualizar as tensões locais na zona de um furo, de onde se depreende que há 
medida que se aproxima do furo, as tensões aumentam, atingindo um máximo junto ao furo. 
 
Figura 3.3 – Tensões locais na zona do furo (zona de maiores concentrações de tensões) 
É importante que o projetista desenvolva uma sensibilidade de visualização intuitiva da concentração de 
tensões. Para tal é utilizada a analogia do fluxo de força, em que cada linha representa uma parcela igual da 
força total. Quando as linhas são desviadas por um entalhe, é como se este as “empurrasse” umas contra as 
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outras. O resultado é um aumento da densidade de linhas na vizinhança do acidente geométrico, i.e., aumento 
da tensão local. 
A severidade da concentração de tensões é proporcional à “quantidade de brusquidão” na deformação do 
fluxo e a concentração de tensões é tanto maior quanto menor for o raio de fundo do entalhe e/ou quanto 
menor for a distribuição da brusquidão do entalhe (Figura 3.4). 
 
 
Figura 3.4 – Analogia do fluxo em dois entalhes com raios distintos: (a) raio menor com concentração de 
tensões maior; (b) raio maior com concentração de tensões menor. 
3.3. Fator de concentração de tensões 
A concentração de tensões é então função da geometria do entalhe presente na peça e quantifica-se 
através do fator de concentração de tensões estático, definido pela equação ( 3.1 ) para tensões normais e 
pela equação ( 3.2 ) para tensões de corte: 
𝐾𝑡 =
𝜎𝑚𝑎𝑥
𝜎𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙
 
 
⇔ 𝜎𝑚𝑎𝑥 = 𝐾𝑡𝜎𝑛𝑜𝑚 ( 3.1 ) 
𝐾𝑡𝑠 =
𝜏𝑚𝑎𝑥
𝜏𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙
 
 
⇔ 𝜏𝑚𝑎𝑥 = 𝐾𝑡𝑠𝜏𝑛𝑜𝑚 ( 3.2 ) 
O fator de concentrações de tensões pode ser determinado analiticamente (através do método de elementos 
finitos) ou experimentalmente (através de técnicas de análise experimental de tensões: extensometria, 
fotoelasticidade e vernizes frágeis). 
Para um grande número de aplicações práticas, o projetista já tem soluções para 𝐾𝑡 e 𝐾𝑡𝑠 publicadas na 
literatura. Desta forma, depreende-se que 𝐾𝑡 varia com o tipo de carga aplicada e com a geometria da peça 
sendo independente do tipo de material. 
A concentração de tensões não é igualmente prejudicial na resistência de um material dúctil ou num frágil. 
Num material dúctil, assim que a tensão num ponto atingir a tensão de cedência, o material deforma-se 
plasticamente nessa zona, de concentração de tensões. Num material frágil, a tensão num ponto atinge o 
valor da tensão de rotura, deve-se deste modo aplicar sempre o fator de concentração de tensões nestes 
materiais. 
(a) 
(b) 
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Qualquer que seja o material, é ponto assente que o projetista deve sempre e na medida possível evitar as 
concentrações de tensões. 
3.3.1. Algumas tabelas para o cálculo do fator de concentração de tensões 
 
 
 
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MT MT
3.4. Exercícios de Aplicação Propostos 
 
PE.1. Uma chapa de aço AISI 1018HR encastrada numa extremidade está submetida a uma força 
vertical F = 500N na outra extremidade. Sabendo que o coeficiente de segurança pretendido é de 
2, verifique a zona de concentração de tensões. A espessura da chapa é de 10mm. 
 
 
 
 
 
PE.2. Um veio de aço AISI 1018HR está submetido a um esforço axial pela aplicação de uma força 
F = 25kN. Sabendo que o coeficiente de segurança pretendido é de 2, verifique a zona de 
concentração de tensões. 
 
 
 
 
 
PE.3. Um veio de aço AISI 1018HR está sujeito a um momento torsor Mt = 20Nm. Sabendo que o 
coeficiente de segurança pretendido é de 2, verifique a zona de concentração de tensões. 
 
 
 
 
PE.4. Um veio de aço AISI 1018HR está submetido a um esforço axial pela aplicação de uma força 
F = 60kN. Sabendo que o coeficiente de segurança pretendido é de 1,5, calcule o raio do entalhe, 
r, sabendo que 
D
d
= 1,5 e d = 30mm 
 
 
 
 
 
 
F
F
𝐹 𝐹 
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PE.5. Um veio de aço AISI 1018HR está submetido a um esforço axial pela aplicação de uma força 
F. Sabendo que o coeficiente de segurança pretendido é de 2 e que D = 30mm, d = 20mm. Qual a 
força F máxima que pode ser aplicada e em que entalhe ocorre? 
 
 
 
 
 
PE.6. Um veio de aço AISI 1018HR, está sujeito a um momento torsor Mt = T = 20Nm. Verifique 
qual a zona de concentração de tensões onde irá ocorrer o máximo constrangimento e qual o 
coeficiente de segurança que deverá ser usado. 
D = 30mm e d = 20mm. 
 
 
 
 
PE.7. Um veio de aço AISI 1018HR, está sujeito a um momento torsor Mt = 3kNm e a uma força 
axial F = 12kN. Sabendo que o coeficiente de segurança pretendido é de 2, verifique a zona de 
concentração de tensões. Despreze a região do encastramento. 
 
 
 
 
 
 
PE.8. Uma chapa de aço AISI 1018HR (com duas zonas de concentrações de tenções) está 
submetida a um momento flector Mf = 25Nm e a uma força axial F = 2,5kN. Determinar o local e o 
valor do constrangimento máximo. A espessura da chapa é de 5mm. 
 
 
 
 
 
 
MT
F
F
M f
𝐹 𝐹 
𝑟 = 1,5𝑚𝑚 
𝑟 = 2𝑚𝑚 
𝑟2 = 2𝑚𝑚 𝑟1 = 3𝑚𝑚 
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F
PE.9. Um veio de aço AISI 1050HR apoiado por chumaceiras de rolamentos nos pontos A e E está 
sujeito a uma força F = 1000N. Determine o local (B, C ou D) e o valor do constrangimento máximo. 
 
 
 
 
 
 
 
PE.10. Um veio de aço AISI 1050HR apoiado por chumaceiras de rolamentos nos pontos A e 𝐹 e 
está sujeito a uma força F = 1000N. Determine o local (B,C,D ou E) e o valor do constrangimento 
máximo. 
 
 
 
 
 
 
PE.11. Um veio de aço AISI 1050HR apoiado por chumaceiras de rolamentos nos pontos A e E está 
sujeito a uma força F𝑦 = 100 N, F𝑧 = 200 N e M𝑧 = 10 N. m. Determine o local (B ou D) e o valor do 
constrangimento máximo. 
 
 
 
 
 
 
F
𝐵 𝐶 
𝐷 
𝐴 𝐸 
𝐷 
𝐵 
𝐶 𝐴 
𝐸 
𝐺 
F
𝐵 𝐷 
𝐴 𝐸 
𝐹𝑦 
𝐵 𝐷 𝐴 𝐸 𝑥 
𝑦 
𝑧 
𝐹𝑦 
𝐹𝑧 
𝑀𝑧 
𝑥 
𝑦 
𝐹𝑧 
𝑀𝑧 
X