MATEMÁTICA ESSENCIAL

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CONJUNTOS NUMÉRICOS 
– NÚMEROS NATURAIS E 
INTEIROS: OPERAÇÕES
2
CONJUNTOS NUMÉRICOS
Os números são divididos em Naturais (N), Inteiros (Z), racionais (Q), irracionais (I) e Reais (R).
Os números naturais são: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., +∞}
Os números inteiros são: Z = {-∞, ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ..., +∞}
OPERAÇÕES COM NÚMEROS
As operações com números são: Soma, Subtração, Multiplicação, Divisão e Potenciação.
SOMAS (+) E SUBTRAÇÕES ( - ) SÃO OPERAÇÕES “IRMÃS”:
2 + 7 = 9
2 – 7 = -5
-2 + 7 = 5
-2 – 7 = -9
(veja que com sinais iguais basta somar os valores e conservar o sinal, já com sinais diferentes 
faz-se uma subtração e coloca o sinal do maior numero em valor absoluto)
Obs.:
par + par = par
par + impar = impar
impar + par = impar
impar + impar = par
Ex.:
269 + 782
MULTIPLICAÇÃO ( ∙ ) E DIVISÃO (÷) SÃO OPERAÇÕES “IRMÃS”.
NA MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO TEM QUE FAZER O JOGO DE SINAIS:
Jogo de sinais:
+ + +
+ – –
– + –
– – +
4 x 6 = 24
2 x -6 = -24
-2 x 6 = -24
-2 x -6 = 24
 3
39 ÷ 13 = 3
39 ÷ -13 = -3
-39 ÷ 13 = -3
-39 ÷ -13 = 3
Obs.:
par ∙ par = par
par ∙ impar = par
impar ∙ par = par
impar ∙ impar = impar
Ex.:
27 x 73
396/18
A POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO (POTENCIAÇÃO COM EXPOENTE 
FRACIONÁRIO) FICAM:
an = a∙a∙a∙a∙...∙a (multiplica o “a” tantas vezes quanto for o valor de n; em que a = base e n = 
expoente)
25 = 2∙2∙2∙2∙2 = 32
É importante conhecer algumas propriedades das potencias:
a0 = 1 (com a ≠ 0)
a1 = a
am ∙ an = am+n
am ÷ an = am-n
(am)n = am∙n
=
a-m = (1/a)m
-am = negativo
(-a)m = positivo de “m” par e negativo se “m” impar
am/n =
1/√a = (1/√a)∙(√a/√a) = √a/a
4
EXPRESSÕES NUMÉRICAS:
Para resolver as expressões numéricas:
- primeiro resolve o que está dentro dos parênteses, depois o que está dentro dos colchetes 
e por fim o que estiver dentro das chaves
- após isso, a prioridade entre as operações são: primeiros as potências, depois as multiplica-
ções e divisões e por fim as somas e subtrações.
Obs.: se tiver uma soma dentro de um parêntese e uma potência fora do parêntese primeiro 
você faz a soma, já que primeiro resolve os parênteses, só após resolver os parênteses resolve 
a potência (o mesmo vale para os colchetes e chaves)
Ex.:
72 + {40 ÷ 8 – [4 ∙ 5 – (17 – 19)]} =
NA PRÁTICA
1. (VUNESP - 2022)
O número inteiro pode também ser representado como
a) 9.
b) 8.
c) 7.
d) 5.
e) 6.
2. (FUNDATEC - 2022)
O resultado de -32 -22 +33 +2/(-3 +5)2 é:
a) 16.
b) 10,5.
c) -4.
d) 4.
e) -16.
3. (Instituto UniFil - 2022)
Assinale a alternativa que corresponde ao resultado de X + Y, considerando que X e Y foram 
usados para substituir números nas equações apresentadas.
a) 7
b) 8
c) 9
d) 10
 5
4. (Avança SP - 2022)
Resolva a expressão matemática abaixo:
E assinale a alternativa correta com seu valor.
a) 10.
b) 11.
c) 12.
d) 13.
e) 14.
CONJUNTOS NUMÉRICOS – 
MÚLTIPLOS, DIVISORES E 
DIVISIBILIDADE
2
MÚLTIPLOS E DIVISORES
MÚLTIPLOS
Múltiplos de um número é o resultado da multiplicação de um número por todos os números 
naturais.
Os múltiplos de 4 são, por exemplo:
0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, ...
DIVISORES
Divisores de um número são os números que dão resultados exatos ao dividir um número 
qualquer por eles.
Os divisores de 36 são:
1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
DIVISIBILIDADE
Divisibilidade é saber se um número é divisível por outro ou não.
Os múltiplos de um número são divisíveis por esse número, e esse número é divisor de seus 
múltiplos.
As regras de divisibilidade são:
POR 2:
Um número é divisível por 2 quando ele é par.
Ex.:
22 é divisível por 2, pois 22 é par
POR 3:
Um número é divisível por 3 quando a soma dos seus algarismos for divisível por 3 (múltiplo 
de 3).
Ex.:
231 é divisível por 3, pois 2+3+1=6 e 6 é múltiplo de 3, logo divisível por 3.
POR 4:
Um número é divisível por 4 quando seus dois últimos algarismos são 00 ou são múltiplos de 4.
Ex.:
316 é divisível por 4, pois 16 é múltiplo de 4.
 3
POR 5:
Um número é divisível por 5 quando ele termina em 0 ou em 5.
Ex.:
225 é divisível por 5, pois termina em 5.
POR 6:
Um número é divisível por 6 quando ele é divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo.
Ex.:
84 é divisível por 6, pois é par e 8 + 4=9.
POR 8:
Um número é divisível por 8 quando seus três últimos algarismos são 000 ou são múltiplos de 8.
Ex.:
3000 é divisível por 8, pois termina em 000.
POR 9:
Um número é divisível por 9 quando a soma dos seus algarismos for divisível por 9 (múltiplo 
de 9).
Ex.:
693 é divisível por 9, pois 6+9+3=18 e 18 é múltiplo de 9, logo divisível por 9.
POR 10:
Um número é divisível por 10 quando ele termina em 0.
Ex.:
650 é divisível por 10, pois termina em 10.
POR 12:
Um número é divisível por 12 quando ele é divisível por 3 e por 4 ao mesmo tempo.
Ex.:
4128 é divisível por 12, pois 4+1+2+8=15 e 28 é múltiplo de 4 (4128/12 = 344).
POR 7:
Um número é divisível por 7 quando multiplicando seu último algarismo por 2 e diminuindo 
esse resultado do restante do número sem o ultimo algarismo o resultado for múltiplo de 7.
Ex.:
4
665 é divisível por 7, pois 5∙2 = 10 e 66 – 10 = 56 (665/7 = 52).
POR 11:
Um número é divisível por 11 quando a soma dos algarismos de ordem par “menos” a soma 
dos algarismos de ordem impar for múltiplo de 11.
Ex.:
2849 é divisível por 11, pois 8+9=17; 2+4=6; e 17 – 6 = 11 (2849/11 = 259).
NA PRÁTICA
(QUADRIX - 2022)
Na matemática, um número inteiro positivo n é dito deficiente se a soma de todos os seus 
divisores positivos for menor que o seu dobro. A partir dessa informação, assinale a alternativa 
que apresenta um número deficiente.
a) 36
b) 30
c) 24
d) 21
e) 18
(QUADRIX - 2022)
Entre os números inteiros de 42 a 2.022, são divisíveis por 9
a) 220 números.
b) 219 números.
c) 218 números.
d) 217 números.
e) 216 números.
(Quadrix - 2022)
Julgue o item.
2.022 possui 8 divisores positivos.
CONJUNTOS NUMÉRICOS 
– NÚMEROS PRIMOS, 
FATORAÇÃO, MMC E MDC
2
NÚMEROS PRIMOS
Os números primos são números naturais que tem apenas 2 divisores, o 1 e ele mesmo:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, ...
NÚMEROS COMPOSTOS
São os números resultados da multiplicação dos números primos (ou seja, os números que 
não são primos, logo têm mais de dois divisores).
FATORES PRIMOS (FATORAÇÃO)
Todo número pode ser expresso em fatores primos, para tanto é preciso fatorar esse número. 
Fatorar é dividir um número pelos números primos com divisões exatas até o resultado das 
divisões chegar em 1.
Ex.: 54
MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC)
MMC entre dois ou mais números é o menor número que é múltiplo ao mesmo tempo desses 
números. Para determinar o MMC basta fazer a fatoração – simultânea – desses números e 
multiplicar todos os fatores primos.
Ex:
MMC de 24 e 36
MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC)
MDC entre dois ou mais números é o maior número que divide ao mesmo tempo esses núme-
ros. Para determinar o MDC basta fazer a fatoração – simultânea – desses números e multiplicar 
os fatores primos que dividiram ao mesmo tempo os números.
Ex:
MDC de 24 e 36
Obs.: o produto do MMC e do MDC de dois números é igual a multiplicação desses números.
QUANTIDADE DE DIVISORES DE UM NÚMERO
Para determinar a quantidade de divisores de um numero basta fazer a sua fatoração, olhar 
para os expoentes dos fatores primos e seguir a seguinte regra:
Ex.: 54
Para determinar esses divisores:
 3
NA PRÁTICA
(FUNDATEC - 2022)
A fatoração de um número em fatores primos é muito usada e possui inúmeras aplicações em 
computação. Dentre as alternativas abaixo, a única que possui um número com fator primo 
diferente de 2, 3 ou 7 é a de:
a) 42.
b) 70.
c) 84.
d) 126.
e) 294.
(UPENET/IAUPE - 2022)
O MDC dos números 120, 280 e 252 é
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 7
(QUADRIX - 2022)
Por definição, todo número primo possui quantos divisores?
a) Nenhum divisor.
b) 1 divisor.
c) 2 divisores.
d) 3 divisores.
e) 4 divisores.
(FGV - 2022)
Considere um número N, inteiro epositivo, tal que 36 e 54 são ambos divisíveis por N.
A soma dos possíveis valores de N é
a) 27.
b) 32.
c) 36.
d) 39.
e) 54.
CONJUNTOS NUMÉRICOS
2
NÚMEROS RACIONAIS - OPERAÇÕES E DECIMAIS
Os números são divididos em Naturais (N), Inteiros (Z), racionais (Q), irracionais (I) e Reais (R).
Os números racionais são as frações: Q = {a/b; com a e b ∈ Z e b ≠ 0; a = numerador e b = 
denominador}.
Compõem também o conjunto dos números racionais os números decimais (aqueles escritos 
com a vírgula e cujo denominador são as potências de 10) e as dizimas periódicas (números 
em que a parte decimal de repete infinitamente)
FRAÇÕES
Fração é a parte de um todo que foi dividido.
Por exemplo: 3/7 quer dizer que um todo foi dividido em 7 partes e dessas 7 partes foram 
“pegas” 3 partes.
As frações podem ser próprias (numerador menor que o denominador), improprias (numerador 
maior que o denominador), aparentes (numerador múltiplo do denominador), mistas (tem 
uma parte inteiras e uma parte própria) e equivalentes (frações que podem ser simplificadas).
4/13 = própria
7/2 = impropria
30/6 = aparente
5 = mista
45/75 (simplificando por 3) = 15/25 (simplificando por 5) = 3/5 (irredutível) = equivalentes
OPERAÇÕES COM FRAÇÕES
Para somar ou subtrair frações com denominadores iguais basta repetir o denominador e somar 
ou subtrair os numeradores. Para somar ou subtrair frações com denominadores diferentes 
tem que fazer o MMC dos denominadores, fazer as frações equivalentes e somar ou subtrair 
os numeradores.
4/18 + 11/18 =
3/4 – 5/7 (MMC de 4 e 7 = 28) =
Para multiplicar frações basta multiplicar numeradores com numeradores e denominadores 
com denominadores.
4/11 ∙ 7/8 =
Para dividir frações a regra é “conservar” a primeira fração e multiplicar pelo “inverso” da 
segunda fração.
14/23 / 6/26 =
NÚMEROS RACIONAIS - OPERAÇÕES E DECIMAIS 3
NÚMEROS DECIMAIS
Números decimais são os números “com virgula”.
OPERAÇÕES COM NÚMEROS DECIMAIS
Para somar ou subtrair os números decimais basta igualar as casas decimais dos números e 
fazer a soma ou subtração.
2,71 + 13,4 =
30,8 – 22,56 =
Para dividir os números decimais basta igualar as casas decimais dos números, retirar as vir-
gulas e fazer a divisão.
141,7/44,18 =
Para multiplicar os números decimais basta multiplicar os números e ao final da multiplicação 
contar quantas casas decimais tem ao todo depois das virgulas e aplicar essa quantidade de 
casas no resultado.
18,4 ∙ 22,28 =
NA PRÁTICA
1. (UNIOESTE - 2022)
Os números racionais são os números que podem ser escritos na forma de fração. Sabendo 
disso, qual das opções a seguir não representa o número racional 45?
a) 135/3.
b) 90/2.
c) -90/-2.
d) 45/-1.
2. (IBADE - 2022)
Analise as afirmativas abaixo.
I. (-3/4) + (-1/4) = -1
II. (2/3)3 = 4/9
III. 0,8 ∙ 0,65 = 0,52
Está(ão) correta(s) a(s) afirmativa(s):
a) I, apenas.
b) II, apenas.
c) III, apenas.
d) I e II, apenas.
e) I e III, apenas.
4
3. (MetroCapital Soluções - 2022)
Assinale a alternativa que apresenta o resultado para a seguinte operação matemática com 
números decimais:
109,8 x 1,3 + 11,7
a) 154,44
b) 152,03.
c) 152,40.
d) 153, 89
e) 153,90
CONJUNTOS NUMÉRICOS 
2
NÚMEROS RACIONAIS - DIZIMAS PERIÓDICAS
DIZIMAS PERIÓDICAS
São números decimais que tem na sua parte decimal (após a virgula) uma repetição infinita.
Ex.: 7,228282828... é uma dizima periódica pois tem na sua parte decimal o 28 repetido 
infinitamente.
OPERAÇÕES COM DÍZIMAS
Com as dizimas periódicas a ideia é transformar as dizimas em fração para poder “operar” 
com elas.
Para transformar dizimas em frações as regras são:
ͫ	 Olhando para a parte decimal ver quantas “casas” tem a parte da dizima e quantas forem 
essas casas serão a quantidade de 9 no denominador; ainda na parte decimal se tiver 
casas não periódicas essas serão 0 no denominador.
ͫ	 Para o numerador basta escrever todo o número até a primeira “casa” da dizima e subtrair 
do que não for dizima.
Ex.:
0,777777... =
0,27272727... =
0,144144144144... =
0,14444... =
9,303030... =
8,288888... =
7,1813131313... =
NA PRÁTICA
1.	 (Quadrix - 2022)
Julgue o item.
20,4242… = 674/33
2.	 (FGV - 2022)
Ao prestar suporte na manutenção de um computador um agente censitário verificou que era 
necessário realizar a soma entre os números x = 0,222... e y = 0,666..., pois o dispositivo só 
admitia números na forma fracionária. Nessas condições, a fração correta a ser transmitida é:
a) 8/11
b) 8/10
NÚMEROS RACIONAIS - DIZIMAS PERIÓDICAS 3
c) 7/8
d) 8/9
e) 7/12
3.	 (FGV - 2022)
Ao transmitir dados num computador, um supervisor verificou que era necessário realizar o 
produto entre os números x = 0,333... e y = 0,777..., pois o dispositivo só admitia números na 
forma fracionária. Nessas condições, a fração correta a ser transmitida é:
a) 7/30
b) 7/18
c) 5/17
d) 5/13
e) 7/27
4.	 (CESGRANRIO - 2022)
M = 6,6666... é uma dízima periódica de período 6; N = 2,3333... é uma dízima periódica de 
período 3.
Dividindo M por N, encontra-se o mesmo resultado que dividindo
a) 20 por 7
b) 65 por 23
c) 29 por 9
d) 66 por 23
e) 37 por 13
CONJUNTOS NUMÉRICOS
2
NÚMEROS IRRACIONAIS E NÚMEROS REAIS E 
NOTAÇÃO CIENTIFICA
CONJUNTOS NUMÉRICOS
Os números são divididos em Naturais (N), Inteiros (Z), racionais (Q), irracionais (I) e Reais (R).
Os números naturais são: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., +∞}
Os números inteiros são: Z = {-∞, ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ..., +∞}
Os números racionais são as frações: Q = {a/b; com a e b ∈ Z e b ≠ 0; a = numerador e b = 
denominador}.
Obs.: Compõem também o conjunto dos números racionais os números decimais (aqueles 
escritos com a vírgula e cujo denominador são as potências de 10) e as dizimas periódicas 
(números em que a parte decimal de repete infinitamente)
Os números irracionais são as dizimas não periódicas e as raízes não exatas, ou seja, são 
números decimais, não-periódicos e que não podem ser representados por frações.
Os números reais é a união dos números racionais e irracionais.
NÚMEROS IRRACIONAIS
Ex.:
π = 3.14159265359...
√2 = 1.41421356237...
NOTAÇÃO CIENTIFICA
Todos os números podem ser expressos em função das potências de 10, ou seja, em notação 
cientifica, veja:
220000 = 2,2∙105
0,039 = 3,9∙10-2
0,0013 = 1,3∙10-3
58 = 5,8∙101
Note que quando a virgula “anda casas” para trás – para a esquerda – o valor do expoente 
do 10 aumenta de acordo com a quantidade de casas que essa virgula “anda”; já quando a 
virgula “anda casas” para frente – para a direita – o expoente do 10 diminui de acordo com a 
quantidade de casas que essa virgula “anda”.
Obs.: algarismos significativos são os algarismos que importam em um número. Em 0,000800 
os zeros antes do 8 não são significativos e os zeros após o 8 são significativos.
NÚMEROS IRRACIONAIS E NÚMEROS REAIS E NOTAÇÃO CIENTIFICA 3
OPERAÇÕES COM NOTAÇÕES CIENTIFICAS
Para somar e subtrair as notações cientificas é necessário que as potencias do 10 apresentem 
o mesmo expoente.
Ex.:
0,039 + 0,0013
0,039 – 0,0013
Para multiplicar as notações cientificas basta multiplicar a parte decimal e somar os expoentes
Ex.:
220000 × 0,039
Para dividir as notações cientificas basta dividir a parte decimal e subtrair os expoentes
Ex.:
58 ÷ 0,0013
NA PRÁTICA
1. (CESGRANRIO - 2022)
Usando somente os algarismos significativos, o registro 0,007500 m é equivalente a
a) 0,7500 x 10-2m
b) 0,75 x 10-2m
c) 7,500 x 10-3m
d) 7,5 x 10-3m
e) 75 x 10-4m
2. (CESPE/CEBRASPE - 2021)
Acerca das operações com números reais e suas propriedades, julgue o item a seguir.
A soma de dois números irracionais positivos é sempre um número irracional.
Certo ( ) Errado ( )
3. (Avança SP – 2021)
Analise as afirmações a seguir:
I. Todo número negativo é um número inteiro.
II. Todo número natural é um número real.
III. Um número real pode ser racional ou irracional.
4
Dentre as afirmações apresentadas, indique a resposta correta:
a) Somente a I é falsa.b) Somente a II é falsa.
c) Somente a III é falsa.
d) Somente a II é verdadeira.
e) Somente a III é verdadeira.
4. (Quadrix – 2021)
Conhecendo os conjuntos numéricos N (números naturais), Z (números inteiros), Q (números 
racionais) e Q’ (números irracionais) e considerando as proposições acima, julgue o item.
Sabendo-se que 5 dividido por 17 é igual a 0,2941176470..., é correto afirmar que 5/17 é um 
número irracional.
5. (CETREDE – 2021)
Calcular:
Marque a opção CORRETA.
a) 5.250.
b) 52,50.
c) 5,250.
d) 0,525.
e) 1.
SISTEMA LEGAL DE 
MEDIDAS
2
COMPRIMENTO, MASSA E VOLUME/CAPACIDADE
UNIDADES DE MEDIDA
Unidades de medidas são os padrões que se usa para entender os valores do que se mede, 
pesa ou quantifica.
No SI (sistema internacional) os padrões são o metro, metro quadrado, metro cubico, grama, 
litro, segundo, grau ou radiano e para o brasil o dinheiro é o real.
COMPRIMENTO (DISTÂNCIA)
Medido em metro e seus múltiplos e submúltiplos.
km 
(quilomet-
ro)
hm 
(hectômet-
ro)
dam 
(decâmetro) m (metro)
dm 
(decímetro)
cm 
(centímet-
ro)
mm 
(milímetro)
Multiplica por 10 a cada casa a direita
Divide por 10 a cada casa a esquerda
ÁREA (M2)
Medido em metro e seus múltiplos e submúltiplos.
km2
(quilomet-
ro 
quadrado)
hm2
(hectômet-
ro 
quadrado)
dam2
(decâmet-
ro 
quadrado)
m2
(metro 
quadrado)
dm2
(decímet-
ro 
quadrado)
cm2
(centímet-
ro 
quadrado)
mm2
(milímet-
ro 
quadrado)
Multiplica por 100 a cada casa a direita
Divide por 100 a cada casa a esquerda
MASSA (PESO)
Medido em grama e seus múltiplos e submúltiplos.
kg (quilo-
grama)
hg (hecto-
grama)
dag (deca-
grama) g (grama)
dm 
(decigrama)
cm (centi-
grama)
mm 
(miligrama)
Multiplica por 10 a cada casa a direita
Divide por 10 a cada casa a esquerda
COMPRIMENTO, MASSA E VOLUME/CAPACIDADE 3
VOLUME OU CAPACIDADE
Medido em litro ou em metros cúbicos e seus múltiplos e submúltiplos.
kl 
(quilolitro)
hl 
(hectolitro)
dal 
(decalitro) l (litro)
dl 
(decilitro)
cl 
(centilitro)
ml 
(mililitro)
Multiplica por 10 a cada casa a direita
Divide por 10 a cada casa a esquerda
km3
(quilomet-
ro cubico)
hm3
(hectômet-
ro cubico)
dam3
(decâmet-
ro cubico)
m3
(metro 
cubico)
dm3
(decímet-
ro cubico)
cm3
(centímet-
ro cubico)
mm3
(milímet-
ro cubico)
Multiplica por 1000 a cada casa a direita
Divide por 1000 a cada casa a esquerda
Obs.: existe uma relação entre o litro e o metro cubico que é: 1m3 = 1000 litros.
NA PRÁTICA
1. (IBFC – 2022)
Ao realizar o censo numa região, o agente verificou que percorreu, em um dia, a distância de 
4,8 quilômetros, e no dia seguinte, percorreu 1,2 quilômetros a menos que o dia anterior. Nes-
sas condições, a soma entre as distâncias percorridas nesses dois dias por esse agente foi de:
a) 8.400 decímetros
b) 84 decâmetros
c) 6 centímetros
d) 60 metros
e) 840.000 centímetros
2. (IBFC – 2022)
Uma garrafa de água tem capacidade para 1.500 mL (mililitros). Assinale a alternativa que 
apresenta quantos litros (L) de água equivalem a 30 garrafas iguais a essa.
a) 30 L
b) 45 L
c) 30.000 L
d) 45.000 L
4
3. (VUNESP – 2022)
Considere as seguintes igualdades:
15 m = ______mm.
2,5 km = _______dm.
0,2 cm2 = ______m2.
0,01 m3 = _______cm3.
Assinale a alternativa que contém os valores que preenchem, correta e respectivamente, as 
lacunas.
a) 1500 ... 2500 ... 0,002 ... 100
b) 15000 ... 25000 ... 0,002 ... 100
c) 1500 ... 2500 ... 0,00002 ... 10000
d) 15000 ... 25000 ... 0,00002 ... 10000
e) 15000 ... 25000 ... 0,002 ... 1
4. (Avança SP – 2022)
Calcule a soma a seguir e assinale a alternativa correta em centímetros.
0,0350 Km + 0,05 hm + 1,7 dam + 2m + 4dm + 90cm + 3000 mm =
a) 3180
b) 4800
c) 6240
d) 6330
e) 9030
SISTEMA LEGAL DE 
MEDIDAS
2
ÂNGULOS E TEMPO
UNIDADES DE MEDIDA
Unidades de medidas são os padrões que se usa para entender os valores do que se mede, 
pesa ou quantifica.
No SI (sistema internacional) os padrões são o metro, metro quadrado, metro cubico, grama, 
litro, segundo, grau ou radiano e para o brasil o dinheiro é o real.
TEMPO
O tempo é medido em segundo e seus múltiplos (minutos, horas, dias, ...), mas não varia de 
10 em 10, nem de 100 em 100, e sim de 60 em 60 e depois segue outras variações.
1 segundo
1 minuto = 60 segundos
1 hora = 60 minutos = 3600 segundos
12 horas = meio dia
24 horas = 1 dia
7 dias = 1 semana
15 dias = 1 quinzena
30 dias = 1 mês
2 meses = 1 bimestre
3 meses = 1 trimestre
6 meses = 1 semestre
12 meses = 1 ano
10 anos = 1 década
100 anos = 1 século
1000 anos = 1 milênio
0,1 segundo = 1 decimo de segundos
0,01 segundo = 1 centésimo de segundos
0,001 segundo = 1 milésimo de segundos
ÂNGULOS E TEMPO 3
ÂNGULOS
Os ângulos são medidos em graus ou radianos.
360° = 2π radianos (ângulo completo ou de 1 volta)
180° = π radianos (ângulo raso)
90° = π/2 radianos (ângulo reto)
60° = π/3 radianos
45° = π/4 radianos
30° = π/6 radianos
120° = 2π/3 radianos
270° = 3π/2 radianos
Ângulos agudos são aqueles cuja medida são maiores que 0° e são menores que 90°
Ângulos obtusos são aqueles cuja medida são maiores que 90° e menores que 180°
Ângulos côncavos são aqueles cuja medida são maiores que 180° e menores que 360°
Dois ângulos são complementares quando a soma desses ângulos da 90°.
Dois ângulos são suplementares quando a soma desses ângulos da 180°.
Dois ângulos são replementares quando a soma desses ângulos da 360°.
NA PRÁTICA
1. (UNIOESTE – 2022)
Um ângulo α é suplementar a um ângulo de 160º e complementar a um ângulo β. Então, a 
medida do ângulo β é de:
a) 20°.
b) 70°.
c) 37°.
d) 67°.
e) 58°.
2. (AGIRH – 2022)
Durante uma competição, André completou a prova de natação nadando 50 metros em 21,320 
segundos. Qual a posição ocupada pelo algarismo 3 nesse registro de tempo?
a) unidades de segundos.
b) décimos de segundos.
c) centésimos de segundos.
d) milésimos de segundos.
4
3. (Avança SP – 2022)
Sobre ângulos, assinale aquilo que for correto.
a) É chamado de raso o ângulo que possui medida igual a 90°
b) É chamado de reto o ângulo que possui medida igual 180°
c) Dois ângulos são complementares quando a sua soma for igual a 360º°
d) Dois ângulos são replementares quando a sua soma for igual a 180º
e) Um ângulo é classificado como agudo quando a sua medida for menor do que 90º
4. (MetroCapital Soluções – 2022)
Assinale a alternativa que apresenta a correta quantidade de minutos presentes em 22 horas 
e 20 minutos:
a) 780.
b) 890.
c) 1100.
d) 1210.
e) 1340.
5. (Avança SP – 2022)
Na escola de Eduarda, as aulas começam às 13 horas. Em um dia são ministradas 6 aulas, cada 
uma com 50 minutos de duração. Se há um intervalo de 25 minutos entre a terceira e a quarta 
aula, a que horas do dia Eduarda voltará para casa?
a) 15h55min
b) 16h45min
c) 17h35min
d) 18h25min
e) 18h35min
SISTEMA LEGAL DE 
MEDIDAS
2
SISTEMA MONETÁRIO
UNIDADES DE MEDIDA
Unidades de medidas são os padrões que se usa para entender os valores do que se mede, 
pesa ou quantifica.
No SI (sistema internacional) os padrões são o metro, metro quadrado, metro cubico, grama, 
litro, segundo, grau ou radiano e para o brasil o dinheiro é o real.
SISTEMA MONETÁRIO
O sistema monetário brasileiro é o Real (R$).
O sistema monetário internacional é balizado pelo dólar (US$).
Outras moedas existem no mundo e a ideia é a conversão de uma moeda em outra, o que 
depende dos valores de cada moeda no momento da conversão.
Ex.:
Se hoje 1 dólar vale 5,50 reais, então 200 dólares valem 1100 reais (200∙5,50 = 1100).
Os dinheiros (cédulas ou moedas) existentes hoje no Brasil são:
Moedas:
0,05 centavos
0,10 centavos
0,25 centavos
0,50 centavos
1,00 real
Cédulas:
2,00 reais
5,00 reais
10,00 reais
20,00 reais
50,00 reais
100,00 reais
200,00 reais
SISTEMA MONETÁRIO 3
NA PRÁTICA
1. (Avança SP – 2022)
Gabriel é um colecionador de moedas. Sua coleção possui 80 moedas de 5 centavos, 65 moe-
das de 10 centavos, 40 moedas de 25 centavos, 35 moedas de 50 centavos e 22 moedasde 1 
real. Quantos reais Gabriel possui ao todo em sua coleção?
a) R$ 54,00
b) R$ 60,00
c) R$ 96,00
d) R$ 118,50
e) R$ 150,00
2. (OBJETIVA – 2022)
Avião militar com design insólito, o bombardeiro estratégico Northrop Grumman B-2 Spirit é 
de longe a aeronave mais cara já construída. A Força Aérea dos Estados Unidos adquiriu 21 
unidades do B-2, cada um deles avaliado em US$ 2,1 bilhões (R$ 11,55 bilhões na cotação 
atual). (Fonte: CNN Brasil)
Considerando-se as informações dadas, a cotação do real frente ao dólar, empregada na con-
versão de moedas, é de, aproximadamente:
a) R$ 5,50 = 1 US$
b) R$ 5,00 = 1 US$
c) R$ 5,75 = 1 US$
d) R$ 5,25 = 1 US$
3. (OBJETIVA - 2022)
Uma marca de shampoo fez a seguinte promoção:
VALOR ORIGINAL: Shampoo 325mL por R$ 8,67.
PROMOÇÃO: Na compra de 4 unidades, pague R$ 26,00.
O valor unitário da promoção tem um custo de:
a) R$ 0,64 superior ao preço unitário original.
b) R$ 0,98 inferior ao preço unitário original.
c) R$ 2,17 inferior ao preço unitário original.
d) R$ 3,21 inferior ao preço unitário original.
e) R$ 8,67 e não sofreu alteração.
4
4. (FGV - 2022)
Doze amigos foram a um restaurante e resolveram dividir a conta igualmente entre eles. Como 
um deles estava sem dinheiro, cada um dos outros onze amigos teve que pagar um adicional 
de R$ 5,40.
O valor total da conta foi de
a) R$ 724,80.
b) R$ 712,80.
c) R$ 684,00.
d) R$ 674,40.
e) R$ 653,40.
5. (CONTEMAX - 2022)
Na livraria Ouse Criar, comprando 2 lápis e 1 caderno você paga R$ 22,50. Se comprar 1 lápis e 2 
cadernos o valor passa para R$ 33,00. A soma dos valores de aquisição de 1 lápis e 1 caderno é:
a) R$ 10,50
b) R$ 14,50
c) R$ 16,00
d) R$ 17,80
e) R$ 21,00
6. (CESPE/CEBRASPE – 2022)
Na compra de dois coletes e três caixas de munições, um policial pagou R$ 340; outro policial 
comprou três coletes e duas caixas de munições por R$ 360. Considerando-se que os preços 
unitários dos referidos produtos tenham sido os mesmos nas duas compras, é correto afirmar 
que um policial que compre um colete e uma caixa de munições pagará
a) R$ 60.
b) R$ 70.
c) R$ 80.
d) R$ 140.
e) R$ 700.
PROPORCIONALIDADE
2
GRANDEZAS, RAZÃO E PROPORÇÃO
Proporcionalidade é grandezas.
GRANDEZAS
Grandeza é tudo que pode ser medido, contado ou quantificado. As grandezas podem ser de 
mesma “espécie” ou de espécies diferentes.
As grandezas podem ser diretamente ou inversamente proporcionais.
RAZÃO
Razão é uma comparação entre grandezas.
É uma fração a/b com b ≠ 0, em que a = antecedente e b = consequente.
As razões podem ser de grandezas de mesma espécie ou de grandezas de espécie diferentes.
PROPORÇÃO
Proporção é uma igualdade de razões.
a/b = c/d
As proporções geralmente são utilizadas para determinar o valor de alguma grandeza pela 
variação das outras grandezas que estão sendo comparadas.
PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DAS PROPORÇÕES
A propriedade fundamental das proporções é: o produto dos meios é igual ao produto dos 
extremos (multiplicação cruzada = “cruz credo”).
a/b = c/d
(b e c são os meios, veja que na igualdade eles estão no meio; já a e d são os extremos)
b∙c = a∙d
Ex.:
ͫ	 As proporções têm algumas outras propriedades bem comuns:
1ª PROPRIEDADE
A soma do antecedente e do consequente de uma razão está para o seu antecedente ou o 
seu consequente assim como a soma do antecedente com o consequente da outra razão está 
para o seu antecedente ou consequente.
a+b/a = c+d/c
a+b/b = c+d/d
GRANDEZAS, RAZÃO E PROPORÇÃO 3
EX.:
2ª PROPRIEDADE
A diferença do antecedente e do consequente de uma razão está para o seu antecedente ou o 
seu consequente assim como a diferença do antecedente com o consequente da outra razão 
está para o seu antecedente ou consequente.
a – b/a = c – d/c
a – b/b = c – d/d
Ex.:
3ª PROPRIEDADE
A soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes assim como cada antecedente 
está para o seu consequente.
a+c/b+d = a/b
a+c/b+d = c/d
Ex.:
4ª PROPRIEDADE
A diferença dos antecedentes está para a diferença dos consequentes assim como cada ante-
cedente está para o seu consequente.
a – c/b – d = a/b
a – c/b – d = c/d
Ex.:
5ª PROPRIEDADE
O produto dos antecedentes está para o produto dos consequentes assim como o quadrado 
de cada antecedente está para o quadrado do seu consequente.
a∙c/b∙d = a2/b2
a∙c/b∙d = c2/d2
Ex.:
4
NA PRÁTICA
1. (OBJETIVA – 2022)
Na disciplina de Matemática Discreta, estão matriculados 80 acadêmicos. No final do semestre, 
o professor observou que 64 alunos foram aprovados. Nessas condições, a razão entre o número 
de acadêmicos reprovados e o número de acadêmicos aprovados, nessa ordem, é igual a:
a) 1/3
b) 1/4
c) 1/5
d) 3/5
2. (VUNESP – 2022)
A razão entre o número de servidores recém-contratados e o número de servidores que já 
atuavam em certo órgão público é 1/5. Se, contando todos esses servidores, tem-se, ao todo, 
168 funcionários, então a diferença entre o número de servidores que já atuavam no órgão e 
o número de servidores recém-contratados é
a) 112.
b) 118.
c) 114.
d) 120.
e) 116.
3. (Quadrix - 2022)
Joaquim demora 42 minutos para organizar e arquivar 24 documentos.
A partir dessa situação hipotética, julgue o item, considerando que Joaquim sempre organiza 
e arquiva documentos no mesmo ritmo.
A quantidade de tempo necessária para Joaquim organizar e arquivar os documentos é dire-
tamente proporcional à quantidade de documentos que se deseja organizar e arquivar.
4. (Prefeitura de Cândido de Abreu-PR - 2022)
O médico receitou um remédio, mas orientou ao paciente para tomar 8 gotas para cada 12 kg 
de sua massa. Se o paciente tem 72 kg, ele deve tomar:
a) 96 gotas.
b) 48 gotas.
c) 78 gotas.
d) 36 gotas.
PROPORCIONALIDADE
2
DIVISÃO PROPORCIONAL
DIVISÃO EM PARTES PROPORCIONAIS
Dividir em partes proporcionais pode ser tanto em partes diretamente proporcionais – em 
que quem tem mais fica com mais e quem tem menos fica com menos, como em partes 
inversamente proporcionais – em que quem tem mais fica com menos e quem tem menos 
fica com mais.
Para dividir em partes proporcionais é importante conhecer a constante proporcional (k), que 
será usada nos cálculos.
EM PARTES DIRETAMENTE PROPORCIONAIS
Certa carga de 500kg será distribuída em três partes de maneira proporcional aos números 2, 
3 e 5. Sendo assim, qual a quantidade de carga correspondente a cada parte?
EM PARTES INVERSAMENTE PROPORCIONAIS
Uma obra está orçada em, aproximadamente, R$ 146.400,00, o valor orçado será dividido 
entre 3 construtoras de forma inversamente proporcional a 10, 2 e 5, respectivamente. O valor 
correspondente a cada construtora é igual a?
REGRA DAS TORNEIRAS
É um caso especifico de divisão proporcional aplicado quando determinada situação é feita 
em tempos diferentes quando feitas separadas e por outro tempo quando feitas juntas.
1/tT = 1/t1 + 1/t2
tT = t1∙t2/(t1 + t2)
Ex.:
Uma torneira enche um balde em 6 min. Outra torneira enche o mesmo balde em 4 min. Em 
quanto tempo as duas torneiras juntas encherão o balde?
NA PRÁTICA
1. (FCC – 2022)
Em um processo de partilha de herança entre Ana, Beatriz e Clara, ficou decidido que os valores 
recebidos serão diretamente proporcionais às suas respectivas idades. Sabe-se que Ana tem 
o triplo da idade de Clara que, por sua vez, tem a metade da idade de Beatriz. Clara receberá 
100 mil reais. O valor total da herança é de:
a) R$ 700.000,00
b) R$ 400.000,00
c) R$ 600.000,00
d) R$ 900.000,00
e) R$ 500.000,00
DIVISÃO PROPORCIONAL 3
2. (FAUEL – 2022)
Ao dividir 180 em partes proporcionais a 1, 3 e 5, a maior parte é igual a:
a) 100.
b) 60.
c) 20.
d) 10.
e) 5.
3. (IBFC - 2022)
Ao analisar os pagamentos realizados aos recenseadores, um coordenador verificou que o 
valor pago a três deles foi um total de R$ 8.100,00. Se o tempo de trabalho de cada um foi 
de 2, 3 e 4 meses e o total pago foi diretamente proporcional ao tempo trabalhado, então o 
menor valor recebido por um dos recenseadores foi de:
a) R$ 2.700,00b) R$ 1.800,00
c) R$ 3.600,00
d) R$ 900,00
e) R$ 2.100,00
4. (UFES - 2021)
Uma certa quantia de dinheiro, em reais, foi dividida entre João, Marcos e Mateus, em partes 
inversamente proporcionais a 3, 2 e 5, respectivamente. Marcos recebeu 10000 reais a mais 
do que João. O valor total da quantia, em reais, que foi dividida é igual a
a) 62000
b) 62250
c) 62500
d) 63000
e) 63500
5. (CETREDE - 2021)
Uma caixa-d’água suporta 360 litros. Há dois motores conectados a ela. Um enche em 15 horas 
e o outro a esvazia em 20 horas. Ligando os dois motores simultaneamente, em quantas horas 
a caixa-d’água ficará cheia?
a) 10.
b) 15.
c) 20.
d) 30.
e) 60.
PROPORCIONALIDADE
2
REGRA DE TRÊS
REGRA DE TRÊS
Regra de três é um dispositivo ou mecanismo prático para calcular proporções.
REGRA DE TRÊS SIMPLES
A regra de 3 é simples quando compara apenas 2 grandezas.
O ”segredo” é descobrir se as grandezas comparadas são direta ou inversamente proporcionais 
e fazer o cálculo pedido.
Ex.1:
Uma máquina produz 25 brinquedos por dia. O número de brinquedos que essa máquina 
produzirá em 12 dias será?
Ex.2:
A reforma de uma casa será realizada em 30 dias por 3 funcionários. Em quantos dias 5 fun-
cionários fariam a mesma reforma?
REGRA DE TRÊS COMPOSTA
A regra de 3 é composta quando compara mais de 2 grandezas.
Determinando quais grandezas são direta e inversamente proporcionais é só fazer o cálculo 
pedido (a comparação das grandezas é feita sempre com a grandeza que se quer descobrir o 
valor).
Ex.:
8 máquinas iguais, de mesmo rendimento, trabalhando simultaneamente durante 9 horas 
por dia, produzem 100 unidades de peças em 10 dias. Nas mesmas condições, o número de 
máquinas necessárias para produzir 50 unidades dessa peça em 9 dias, trabalhando 8 horas 
por dia, será igual a?
NA PRÁTICA
1. (FGV – 2022)
18 advogados devem examinar 400 contas bancárias dos envolvidos em um processo de fraude. 
Em 14 dias esses advogados examinaram 150 contas e, nesse momento, 4 advogados foram 
transferidos para outro trabalho.
Os advogados restantes terminaram de examinar as contas em
a) 20 dias.
b) 24 dias.
c) 28 dias.
d) 30 dias.
e) 35 dias.
REGRA DE TRÊS 3
2. (VUNESP – 2022)
Para a fabricação de 100 peças de determinado produto em 4 horas, são necessárias três 
impressoras 3D, idênticas, trabalhando juntas e ininterruptamente, com igual capacidade 
de produção. Se a mesma quantidade de peças for fabricada por 5 dessas impressoras, nas 
mesmas condições anteriormente identificadas, a redução do tempo será de
a) 2 horas e 00 minutos.
b) 1 hora e 54 minutos.
c) 2 horas e 12 minutos.
d) 1 hora e 36 minutos.
e) 1 hora e 45 minutos.
3. (Quadrix - 2022)
Com 20 funcionários, a empresa de festas de Mariana demora 5 horas para preparar uma 
festa para 80 convidados.
A partir dessa situação hipotética, julgue o item, considerando que todos os funcionários 
trabalham em um mesmo ritmo e que o número de convidados e o tempo necessário para 
preparar a festa são grandezas diretamente proporcionais.
Em 28 horas e 30 minutos de trabalho, a empresa de Mariana prepara uma festa para 460 
convidados.
4. (FUNDATEC - 2022)
O cachorro de Ana pesa 11 kg. Para tratar uma infecção, o veterinário receitou um antibiótico 
cuja dosagem é de 3,6 ml para cada 4 kg de peso corporal. Quantos ml de antibiótico Ana 
deve dar ao seu cachorro?
a) 11 ml.
b) 9,9 ml.
c) 9,7 ml.
d) 9 ml.
e) 7 ml.
5. (MPE-GO - 2022)
Dois atendentes atendem 32 clientes em 2 horas e 40 minutos. Com a mesma eficiência, três 
atendentes atenderão 60 (sessenta) clientes em:
a) 2 horas e 40 minutos.
b) 2 horas e 48 minutos.
c) 3 horas e 10 minutos.
d) 3 horas e 20 minutos.
PROPORCIONALIDADE
2
PORCENTAGEM - ACRÉSCIMOS E DESCONTOS
PORCENTAGEM
É uma razão/fração cujo denominador é igual a 100.
TAXA PERCENTUAL
É o valor que vem acompanhado do símbolo da porcentagem %.
Ex.:
7% = 7/100
28% = 28/100
CALCULO DE PORCENTAGEM
É a aplicação da taxa percentual a determinado valor.
Essa aplicação da taxa percentual é feita por regra de 3 (sempre de forma diretamente 
proporcional)
Ex.:
30% de 1400
PORCENTAGENS SUCESSIVAS
Quando aplicamos a porcentagem sucessivas vezes devemos ficar atentos para incidir a taxa 
percentual sobre os valores corretos, principalmente após alguma taxa já ter incidido sobre 
os valores.
Ex.:
Dois aumentos seguidos de 20%
Dois descontos seguidos de 20%
Um aumento de 20% seguido de um desconto de 20%
Um desconto de 20% seguido de um aumento de 20%
NA PRÁTICA
1. (FCC – 2022)
Carlos tem uma caixa com bolinhas de gude. O primo de Carlos perdeu quatro bolinhas de 
gude que estavam na caixa. Carlos verificou que o total de bolinhas da caixa se reduziu a 90% 
do que ele tinha na caixa. Nessas condições, é correto afirmar que o número de bolinhas na 
caixa antes da perda era
a) 40
PORCENTAGEM - ACRÉSCIMOS E DESCONTOS 3
b) 60
c) 80
d) 32
e) 44
2. (FGV – 2022)
Considere que X representa 40% de Y.
A porcentagem que Y representa de X é
a) 25%.
b) 60%.
c) 75%.
d) 150%.
e) 250%.
3. (Quadrix - 2022)
José pretende ganhar massa muscular. Para isso, o nutricionista recomendou que ele ingerisse, 
diariamente, 160 gramas de proteína.
Com base nessa situação hipotética, julgue o item.
Uma refeição contendo 22 gramas de proteína equivale a 13,75% da quantidade de proteína 
diária recomendada pelo nutricionista.
4. (UNICENTRO - 2022)
Uma pesquisa revelou que o brasileiro permanece em média conectado à internet 5,4 horas 
do seu dia, seja para utilização do trabalho ou lazer. Qual é o valor percentual corresponde do 
dia que o brasileiro passa conectado à internet?
a) 18,50%.
b) 22,50%.
c) 24,75%.
d) 26,45%.
e) 28,20%.
5. (MPE-GO - 2022)
Um tênis custa R$400,00 e é vendido com descontos sucessivos de 10% e 7%. Qual é o preço 
de venda do tênis após esses descontos?
a) R$332,00
b) R$334,80
c) R$468,00
d) R$360,00
PROPORCIONALIDADE
2
PORCENTAGEM - LUCRO E PREJUÍZO
PORCENTAGEM
É uma fração cujo denominador é igual a 100.
TAXA PERCENTUAL
É o valor que vem acompanhado do símbolo da porcentagem %.
Ex.:
2% = 2/100
31% = 31/100
CALCULO DA PORCENTAGEM
É a aplicação da taxa percentual a determinado valor.
(para fins de cálculo, usa-se a taxa percentual em forma de fração com denominador 100 ou 
em número decimal)
Ex.:
7% de 1300
45% de 220
LUCRO E PREJUÍZO (NA COMPRA OU NA VENDA)
Lucro (ou ganho) e prejuízo (ou perda) são os resultados das operações financeiras envolvendo 
compras e vendas.
Conceitos importantes:
Custo (C): é o quanto é “gasto” para comprar algo.
Venda (V): é o quanto se “ganha” pela venda de algo.
Lucro (L): Quando o “ganho” é maior do que o “gasto”.
Prejuízo (P): Quando o “gasto” é maior do que o “ganho”.
Fórmulas do Lucro e do Prejuízo:
L = V – C
P = C – V
Obs.: para calcular o lucro ou o prejuízo, na venda ou no custo, basta substituir na formula do 
lucro ou do prejuízo a porcentagem do custo ou da venda.
Ex.1.:
Uma bicicleta foi comprada por R$ 3600,00 e revendida com lucro de 30% sobre a venda. Qual 
o preço de venda?
PORCENTAGEM - LUCRO E PREJUÍZO 3
Ex.2:
Um celular foi vendido por R$ 4500,00 com prejuízo de 12% sobre a venda. Por qual valor 
esse celular foi comprado?
NA PRÁTICA
1. (IESES – 2022)
Uma mercadoria é vendida com margem de lucro de 25%. Qual seria o custo da mercadoria 
vendida sabendo-se que o preço de venda é de $ 160,00?
a) $ 132,00
b) $ 128,00
c) $ 125,00
d) $ 120,00
2. (Avança SP – 2022)
Em uma loja, uma bolsa é vendida por R$ 200,00. A dona da loja paga uma comissão de 7% 
sobre o preço de venda, para a funcionária que vende a bolsa, e ganha 50% sobre o seu valor 
de custo. Desse modo, qual é o valor de custo da bolsa?
a) R$ 119,00.
b) R$ 124,00.
c) R$ 128,00.
d) R$ 184,00.
e) R$ 279,00.
3. (CETREDE - 2021)
Na venda de uma camiseta, um comerciante teve um lucro de R$ 30,00, correspondente a 25% 
do preço de venda. O preço de custo desse produtopara o comerciante foi
a) R$ 90,00.
b) R$ 45,00.
c) R$ 60,00.
d) R$ 75,00.
e) R$ 120,00.
4. (AEVSF/FACAPE - 2021)
Um aparelho celular foi comprado por um determinado valor. Em seguida o comprador reven-
deu esse aparelho por R$ 492,80. Sabendo que ao revender por esse preço ele está lucrando 
12% sobre o valor pelo qual comprou, então, o valor que ele pagou ao comprar o aparelho 
celular foi:
a) R$ 433,66
4
b) R$ 420,00
c) R$ 440,00
d) R$ 480,80
e) R$ 480,00
5. (CETREDE - 2021)
Sabendo que eu quero lucrar 26% sobre o preço de venda dos meus produtos, de quanto, 
aproximadamente, deve ser o acréscimo sobre o preço de compra?
a) 15%.
b) 19%.
c) 27%.
d) 35%.
e) 41%.
EQUAÇÕES
2
EQUAÇÕES
EQUAÇÕES DO 1° GRAU
EQUAÇÕES DE PRIMEIRO GRAU:
É a equação que tem a incógnita – valor desconhecido (o “x”) – no 1º grau. 
Escrita na forma genérica por:
ax + b = 0
Obs.: A ideia é achar o valor de x, somando, subtraindo, multiplicando ou dividindo os 
valores. Geralmente as equações do 1º grau são obtidas pelos problemas matemáticos 
mais simples.
Ex.:
O triplo da idade de Maria somado mais 2 anos da a idade de Luiza. Se Luiza tem 11 anos, 
qual a idade de Maria?
NA PRÁTICA
1. (FAUEL – 2022)
Assinale a equação que tem x = 9 como solução.
a) x – 16 = 2x + 8 
b) 5x + 5 = 59 – x
c) 3x + 7 = -x – 29
d) 9x + 1 = 10
e) 4x – 9 = 9x – 9
EQUAÇÕES DO 1° GRAU 3
2. (VUNESP – 2022)
Qual o valor da incógnita x que torna a igualdade 2x + 8 = 3x – 25 verdadeira? 
a) 6
b) 17
c) 23
d) 29
e) 33
3. (Prefeitura de Cândido de Abreu-PR - 2022)
A quantidade de parafusos na caixa de ferramentas de certo mecânico corresponde ao 
valor de x, que satisfaz a equação abaixo. Sendo assim, ao todo, quantos parafusos esse 
mecânico possui em sua caixa de ferramentas:
2x + 369 = 531 – x 
a) 48 
b) 50
c) 52
d) 54
4. (FGV - 2022) 
Na equação
5x − 1 = 2x + 71
o valor de x é
a) 23.
b) 24.
c) 25.
d) 26.
e) 27.
5. (FGV - 2022) 
O valor de x que satisfaz a equação 
é tal que 
4
a) x > 10.
b) 0 < x < 10. 
c) −10 < x < 0. 
d) −20 < x < −10.
e) x < −20.
6. (VUNESP - 2022) 
A distância entre as cidades A e B é 154 km. Entre elas, há um posto da polícia rodoviária 
(PR) e um posto de combustíveis (PC), conforme mostra a figura.
Sabendo que a distância entre o posto de combustíveis e a cidade B é 5 vezes a distância 
entre o posto da polícia rodoviária e o posto de combustíveis, então a distância entre o 
posto de combustíveis e a cidade B é igual a 
a) 12 km.
b) 24 km.
c) 36 km.
d) 48 km.
e) 60 km.
EQUAÇÕES
2
EQUAÇÕES
SISTEMA DE EQUAÇÕES COM 2 VARIÁVEIS
SISTEMA DE EQUAÇÕES (DO 1º GRAU)
Nos sistemas de equações temos duas incógnitas (variáveis) a serem descobertas. 
Escrito na forma genérica fica:
 
Os métodos para resolver o sistema de equação são o método da adição e o método da 
substituição.
Obs.: Os sistemas de equações são obtidos por problemas matemáticos.
Ex.:
Em uma fazenda tem 25 animais entre galinhas e porcos. Ao todo os amimais tem 64 patas. 
Quantas são as galinhas e os porcos?
RESOLVENDO O SISTEMA PELO MÉTODO DA ADIÇÃO:
RESOLVENDO O SISTEMA PELO MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO:
SISTEMA DE EQUAÇÕES COM 2 VARIÁVEIS 3
NA PRÁTICA
1. (OBJETIVA – 2022)
Dado que  . Nessa condição, é correto afirmar que:
a) x – y = – 1
b) y – x = – 1
c) x = 3
d) y = 4
2. (IESES – 2022)
Considere dois números inteiros p, q tais que p + q = 12 e p – q = 20. Nesse caso, assinale 
a alternativa correta:
a) p é negativo. 
b) Ambos p e q são divisí�veis por 4. 
c) q é maior do que p.
d) p e q são positivos.
3. (FAUEL - 2022)
Sejam x e y números que resolvem CORRETAMENTE o sistema
Assinale a alternativa que apresenta x/y.
a) -1,5.
b) 1,5.
c) -2,5. 
d) 2,5.
4. (FGV - 2022) 
x e y são tais que 4x + 5y = 80 e 6x + 7y = 116.
O valor de 2x + 3y é
a) 38.
b) 40.
c) 42.
d) 44.
e) 46.
4
5. (FGV - 2022) 
Rafael possui no bolso exatamente 16 notas, umas de 2 reais, as outras de 5 reais, totali-
zando a quantia de 53 reais.
O número de notas de 2 reais que Rafael tem no bolso é
a) 5. 
b) 6.
c) 7. 
d) 8.
e) 9.
EQUAÇÕES
2
EQUAÇÃO DO 2° GRAU
EQUAÇÃO DE SEGUNDO GRAU
É a equação que tem a incógnita – valor desconhecido (o “x”) – no 2º grau (x2). 
Escrita na forma genérica por:
ax2 + bx + c = 0
Obs.: Como a incógnita está no 2º grau ele pode assumir até 2 valores no conjunto dos 
números reais.
FORMULA DE BHASKARA 
Para achar os valores de “x” usa-se a formula de Bhaskara e calcula-se em duas etapas:
1º calcula o discriminante (vulgo delta “Δ”)
Δ = b2 – 4∙a∙c
Depois calcula as raízes:
x = (-b ±√Δ)/2∙a
x’ = (-b + √Δ)/2a
x” = (-b – √Δ)/2a
Ex.:
Quais os valores de “x” na equação x2 – 7x + 5 = -7?
Obs.: 
quando Δ > 0 a equação tem duas raízes reais diferentes; 
quando Δ = 0 a equação tem duas raízes reais iguais; 
EQUAÇÃO DO 2° GRAU 3
quando Δ < 0 a equação tem suas raízes no conjunto dos números complexos.
RELAÇÃO ENTRE A SOMA E PRODUTO DAS RAÍZES 
Existe uma relação entre as raízes da equação de 2º grau com a equação do 2º grau, que é:
Relação entre a soma e produto das raízes:
ax2 + bx + c = 0
Soma = S = x’ + x” = -b/a
Produto = P = x’ ∙ x” = c/a
x2 – Sx + P = 0
Ex.: x2 – 7x + 5 = -7
NA PRÁTICA
1. (UECE-CEV – 2022)
Considerando a sequência dos seis primeiros múltiplos positivos do número 5, assinale a 
opção que corresponde à equação do 2º grau que tem raízes, o primeiro e o último termo 
dessa sequência.
a) x2 – 35x + 150 = 0.
b) x2 – 35x – 150 = 0.
c) x2 + 35x + 150 = 0.
d) x2 + 35x – 150 = 0.
2. (Quadrix – 2022)
Considerando a equação, na incógnita x, x2 + 5x + m = 0, julgue o item.
Se uma das raízes é igual a −4, então m = 4.
4
3. (Quadrix – 2022)
Considerando a equação, na incógnita x, x2 + 5x + m = 0, julgue o item.
Se m = -14, então a equação admite raízes iguais a -2 e 7.
4. (CESGRANRIO - 2022) 
Para b ∈ ℝ, considere a equação 2x + b = x2 - 2x - 4.
A equação dada possui 2 raízes reais distintas quando, e apenas quando,
a) b < 8
b) b > -8 
c) b = -8 
d) b < 0 
e) b ≠ -4.
5. (VUNESP - 2021) 
Considere a equação do 2º grau:
2x2 – 3x – 2 = 0
Se x1 e x2 são as raízes dessa equação e x1 > x2, então é verdadeiro que x1/x2 é igual a
a) –4
b) –3
c) 3/2
d) 2/3
e) 3/4
EQUAÇÕES
2
EQUAÇÕES
EQUAÇÕES EXPONENCIAIS, LOGARÍTMICAS E 
BIQUADRADAS
EQUAÇÕES EXPONENCIAIS
Equações exponenciais são as equações em que as incógnitas – valor desconhecido (o 
“x”) – estão nos expoentes.
Obs.: Para resolver questões com essas equações usa-se as propriedades das potencias.
Ex.: 
1252x – 1 = 3125x+1
EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS
Para falar de equações logarítmicas é preciso primeiro conhecer os logaritmos.
Logaritmo está relacionado com as equações exponenciais. 
Por definição logaritmo é expresso por:
Logab = x
ax = b
em que a = base, b = logaritmando, e a > 0 e a ≠ 1 e b > 0
As propriedades dos logaritmos são:
Loga1 = 0
Logaa = 1
EQUAÇÕES EXPONENCIAIS, LOGARÍTMICAS E BIQUADRADAS 3
Loga(b∙c) = Logab + Logac
Loga(b/c) = Logab – Logac
 = n∙Loga
b 
 = 1/n ∙ Loga
b 
 = b
Logab = Logcb / Logca
Logab ∙ Logba = 1
Obs.: sempre que a base não aparece no logaritmo, essa base é o 10 (log2 = log102). Dito 
isto, os logaritmos de 10 e das potencias de 10 serão os números inteiros, veja:
log10 = 1
log100 = = 2;
log0,001 = = -3.
As equações logarítmicas são aquelas que tem a incógnita – valor desconhecido (o “x”) – 
no logaritmando.
Ex.: 
 = 2
EQUAÇÕES BIQUADRADAS
São as equações escritas na forma: ax4 + bx2 + c = 0. 
A ideia é transformar a equação biquadrada em uma equação do 2º grau e resolver a 
partir daí.
Trocando x2 por y, a equação fica:
ay2 + by + c = 0
4
Resolve a equação do 2º grau (acha os valores de y) e após encontrar os valores de y iguala 
a x2 para chegar na solução definitiva da equação.
Ex.: 
x4 – 13x2 + 36 = 0
NA PRÁTICA
1. (CESPE – 2021)
A quantidade de soluções reais da equação log3(x³) + log3(1/2) = log3(4) éigual a
a) 4.
b) 0.
c) 1.
d) 2.
e) 3.
2. (CPCON – 2021)
Resolvendo a equação é CORRETO afirmar que o seu conjunto solução 
S é igual a:
a) S = {-4,3}
b) S = {5,-2}
c) S = {-2,-5}
d) S = {-5,2}
e) S = {4,-3}
EQUAÇÕES EXPONENCIAIS, LOGARÍTMICAS E BIQUADRADAS 5
3. (CESPE – 2017) 
Se X1 e X2, em que X1 < X2, são as raízes positivas da equação x4 – 164x2 + 6.400 = 0, então 
a diferença X2 – X1 é igual a
a) 2.
b) 1.
c) 36.
d) 18.
e) 4.
FUNÇÕES
2
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CONCEITOS, PLANO CARTESIANO, GRÁFICOS, 
DOMÍNIO, IMAGEM, CONTRADOMÍNIO
Funções são relações entre valores, mais explicitamente, são relações entre “x” e “y” (para 
cada valor de x existe um único valor de y).
As funções são as mais diversas possíveis e as relações entre “x” e “y” vão depender da forma 
como foi estabelecida a função.
Obs.: f(x) = y
Ex.:
f(x) = 2x + 7
PLANO CARTESIANO E GRÁFICOS DAS FUNÇÕES
O plano cartesiano é um sistema usado para localizar pontos através de suas coordenadas (x, y).
Esse sistema é formado por duas retas perpendiculares, chamadas de eixos cartesianos e 
divididos em quatro quadrantes.
O eixo do “x” é chamado de eixo das abscissas (eixo horizontal), já o eixo do “y” é chamado 
de eixo das ordenadas (eixo vertical).
As relações entre os valores de “x” e o “y” num plano cartesiano formando um gráfico.
Para cada valor de x existe um valor de y correspondente, formando o par (x, y).
Ex.:
f(x) = 2x + 7
DOMÍNIO, IMAGEM E CONTRADOMÍNIO
Nas funções o domínio são os valores de “x”, a imagem são os valores de “y” e o contradomínio 
são todos os possíveis valores de “y”.
Obs.1: não confunda contradomínio com imagem. O contradomínio são todos os valores pos-
síveis para y na relação com x, já a imagem são os valores de y relação com x.
Obs.2: f: A→B (A = domínio; B = contradomínio)
Ex.:
f(x) = 2x + 7
NA PRÁTICA
1. (FUNDATEC – 2022)
O domínio da função f(x) = √(2𝑥 – 1) é dado pelos valores de 𝑥 tais que:
a) 𝑥 ≥ 0
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CONCEITOS, PLANO CARTESIANO, GRÁFICOS, DOMÍNIO, IMAGEM, CONTRADOMÍNIO 3
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b) √𝑥 > 1
c) 𝑥 ≥ √1/2
d) 𝑥 > 1/2
e) 𝑥 ≥ 1/2.
2. (FUNDATEC – 2022)
Seja f: ℝ → ℝ a função real definida por f(x) = 3x − 18. Para qual valor do domínio a imagem 
de f é nula?
a) 6.
b) 3.
c) 9.
d) 0.
e) –3.
3. (COPESE-UFPI – 2022)
O plano cartesiano abaixo mostra os gráficos das equações de duas retas. O par ordenado que 
representa a solução do sistema definido por essas duas equações é:
a) (1,3)
b) (2,3)
c) (1,-3)
d) (-1,-3)
e) (-1,3)
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4
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4. (Prefeitura de Bombinhas-SC – 2021)
Dada a função f(x) = 2x+4, o domínio {2, 3, 4}, o contradomínio composto por números inteiros 
entre -2 e 20, o conjunto imagem será:
a) {8, 10, 12}
b) {2, 3, 4}
c) {-2, 0, 2, 20}
d) {-2, -1, 0 ,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}
5. (Aeronáutica – 2021)
Seja uma função f: A → B tal que A = {0, 1, 2, 3, 4} e B = ℝ. A alternativa que apresenta todos 
os pontos de um possível gráfico de f é
a) (0, 0); (0, 1); (0, 2); (0, 3) e (0, 4)
b) (0, 0); (1, 0); (2, 0); (3, 0) e (4, 0)
c) (0, 0); (1, −1); (2, −2) e (3, −3)
d) (0, 1); (2, 3); (4, 5) e (5, 6)
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FUNÇÕES
2
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FUNÇÃO INJETORA, SOBREJETORA, BIJETORA, 
CRESCENTE, DECRESCENTE, PARES, IMPARES
FUNÇÃO INJETORA, SOBREJETORA E BIJETORA
Uma função é injetora quando cada elemento distinto do domínio x tem um único elemento 
distinto no contradomínio.
Ex.:
f: (0,1,2,3,4)→(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)
f(x) = x+4
Uma função é sobrejetora quando a imagem é igual ao contradomínio.
Ex.:
f: (-2,-1,0,1,2)→(0,1,4)
f(x) = x2
Uma função é bijetora quando ela é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo.
Ex.:
f: (1,2,3,4)→(2,4,6,8)
f(x) = 2x
FUNÇÃO CONSTANTE, CRESCENTE, DECRESCENTE
Uma função f(x) é constante quando f(x1) = f(x2) = f(x3) = f(x4) e assim por diante, ou seja, para 
qualquer valor de x o valor de y é sempre o mesmo.
No gráfico a função constante é uma linha paralela ao eixo Y.
Ex.:
f(x) = x/x
Uma função f(x) é crescente quando f(x1) < f(x2) < f(x3) < f(x4) para x1 < x2 < x3 < x4, ou seja, a 
medida que x aumenta, y também aumenta.
No gráfico a função crescente é uma linha inclinada para cima em relação ao eixo Y.
Ex.:
f(x) = x+4
Uma função f(x) é crescente quando f(x1) > f(x2) > f(x3) > f(x4) para x1 < x2 < x3 < x4, ou seja, a 
medida que x aumenta, y diminui.
No gráfico a função decrescente é uma linha inclinada para baixo em relação ao eixo Y.
Ex.:
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FUNÇÃO INJETORA, SOBREJETORA, BIJETORA, CRESCENTE, DECRESCENTE, PARES, IMPARES 3
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f(x) = -2x+6
FUNÇÕES PARES E IMPARES
Função par é a função que f(-x) = f(x).
Função ímpar é a função que f(-x) = -f(x).
Os clássicos das funções pares e impares são:
f(x) = x2 (função par)
f(x) = 2x (função ímpar)
NA PRÁTICA
1. (Instituto Access - 2022)
Seja f(x) = –x2 – 6x uma relação definida de A em B, sendo A = {−6, −1, 0, 1, 6} e B = {−72, −7, 0, 5}.
De acordo com o diagrama de flechas, podemos dizer que essa função é
a) injetora.
b) sobrejetora.
c) bijetora.
d) subjetora.
2. (FAUEL - 2021)
Uma função ƒ real é denominada crescente quando, ao tomar x1 > x2, tem-se ƒ(x1) > ƒ(x2). 
Dentre as funções reais abaixo, qual não é crescente?
a) ƒ(x) = 2x
b) ƒ(x) = 2x + 1
c) ƒ(x) = -2x + 1
d) ƒ(x) = 2x - 1
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3. (CESPE/CEBRASPE - 2019)
Tendo como referência as funções f(x) = x2 – 5x + 4 e g(x) = x2 – 3, em que –∞ < x < +∞, julgue 
o item que se segue.
A função g(x) é ímpar.
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FUNÇÕES
2
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FUNÇÃO DO 1° GRAU (AFIM)
FUNÇÃO DE PRIMEIRO GRAU (FUNÇÃO AFIM):
Função do 1º grau – função afim – é a função escrita na forma f(x) = ax + b em que x está 
“elevado” a 1 e a ≠ 0.
O gráfico da função do 1º grau é:
uma reta inclinada para cima (função crescente, a > 0),
uma reta inclinada para baixo (função decrescente, a < 0).
Ex.:
f(x) = 2x + 1
f(x) = -4x + 7
Na função do 1º grau cada elemento de “x” tem um único elemento em ”y” (função injetora)
Obs.1: uma reta para paralela ao eixo x podemos dizer que é uma função constante (a = 0 e 
não é uma função do 1º grau) e 1/x não é função do primeiro grau também, pois x-1.
Obs.2: a raiz da função é o valor de x que determina quando y = 0.
NA PRÁTICA
1. (UNICENTRO - 2022)
A função f(x) = 20x – 50 é igual a 300 quando x assume o valor de:
a) 15,00.
b) 16,75.
c) 17,25.
d) 17,50.
e) 18,50.
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FUNÇÃO DO 1° GRAU (AFIM) 3
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2. (FAFIPA - 2022)
A função afim é do tipo polinomial do primeiro grau definida como: f : R → R tal que f(x) = 
ax + b ou y = ax + b, com a e b números reais e a ≠ 0. Em relação a esta função, classifique 
cada afirmação como verdadeira (V) ou falsa (F) e, em seguida, assinale a alternativa com a 
sequência CORRETA:
( ) A representação da função, por meio de um gráfico, é uma reta.
( ) A representação da função, por meio de um gráfico, é uma parábola.
( ) Se o valor de b for zero a equação continua sendo definida de primeiro grau.
( ) O valor de b na função afim determina sua classificação em: crescente, decrescente e 
constante.
( ) A raiz, ou seja, o valor de x desta função é dada por x= -b/a.
a) V - F - V - F - V.
b) V - F - V - V -V.
c) V - V - F - F - V.
d) V - V - V - V - V.
e) V - F - V - V - F.
3. (FGV - 2022)
Em uma função do 1º grau y = ƒ(x) , sabe-se que ƒ(0) = 4 e ƒ(-1) = -3.
O valor de ƒ(1) é
a) 3.
b) 5.
c) 7.
d) 9.
e) 11.
4. (Quadrix - 2021)
Com relação às funções ƒ(x) = ax + b e g(x) = x + c, definidas em ℝ com a ≠ 0 e b ≠ c , julgue o 
item.
Se ƒ(0) = 5, ƒ(3) = g(3) e g(1) = 0, então a + b + c = 3.
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4
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5. (IBFC - 2021)
As funções do primeiro grau possuem o formato definido por f(x) = ax+ b, com a, b ∈ ℝ e com 
a ≠ 0. Sabe-se que f(−1) = 2 e f(2) = 1. Assinale a alternativa que apresenta o valor de f(1).
a) -1
b) 2
c) 1/3
d) 4/3
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FUNÇÕES 
2
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FUNÇÃO DO 2° GRAU (QUADRÁTICA) E MÁXIMOS E 
MÍNIMOS
FUNÇÃO DE SEGUNDO GRAU (FUNÇÃO QUADRÁTICA):
Função do 2º grau – função quadrática – é a função escrita na forma f(x) = ax2 + bx + c em 
que x está “elevado” a 2 e a ≠ 0.
O gráfico da função do 2º grau é uma parábola:
com sua abertura (concavidade) voltada para cima (a > 0) 
com sua abertura (concavidade) voltada para baixo (a < 0).
MÁXIMOS E MÍNIMOS
Ponto de máximo ou de mínimo e Valor de máximo e mínimo são os Xv e Yv.
Quando a > 0 tem-se o ponto de mínimo e o valor de mínimo. 
Quando a < 0 tem-se o ponto de máximo e o valor de máximo. 
Para calcular o Xv e o Yv:
Xv = -b/2a
e
Yv = -Δ/4a
Outra forma de calcular o Yv é substituir o valor do Xv na função f(x) = ax2 + bx + c.
Ex.: qual o mínimo valor assumido pela função y = 2x2 + 12x + 14?
Calculando Xv:
Calculando Yv:
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FUNÇÃO DO 2° GRAU (QUADRÁTICA) E MÁXIMOS E MÍNIMOS 3
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Obs.1: as raízes da função do 2º grau são os valores de x que determina quando y = 0.
Obs.2: ao resolver a função do 2º grau para encontrar suas raízes:
se ∆ > 0 tem duas raízes reais distintas
se ∆ = 0 tem duas raízes reais iguais
se ∆ < 0 tem suas raízes no conjunto dos números complexos.
NA PRÁTICA
1. (FAU - 2022)
As funções buscam modelar uma situação real e com elas podemos entender, prever, simu-
lar determinadas situações um exemplo de função do 2º grau é f(x)= x2 – 8x + 10, qual é 
o valor da imagem desta função quando x é igual a 10? 
a) 20.
b) 25.
c) 30.
d) 40.
e) 50.
2. (Quadrix - 2021)
O número de óbitos por uma doença infecciosa no n-ésimo dia de um certo mês é dado 
pela função f(n) = −4n2 + 120n.
Com base nesse caso hipotético, julgue o item.
O maior número de óbitos por essa doença registrado, em um dia desse mês, é igual a 900.
3. (Quadrix - 2021)
Uma função f: R → R, do 2° grau, é tal que f(3) = 0, f(8) – f(6) = 11 e f(10) = 35. Conside-
rando essas informações, julgue o item.
O gráfico de f(x) é uma parábola com a concavidade voltada para baixo.
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MINISSIMULADO
2
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FUNÇÕES 
FUNÇÃO EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA
FUNÇÃO EXPONENCIAL:
Função exponencial é a função escrita na forma f(x) = ax com a > 0 e a ≠ 1.
O gráfico da função exponencial é crescente quando a > 1 e decrescente quando 0 < a < 1. 
FUNÇÃO LOGARÍTMICA:
Função logarítmica é a função escrita na forma f(x) = logax com a > 0 e a ≠ 1, e x > 0.
O gráfico da função logarítmica é crescente quando a > 1 e decrescente quando 0 < a < 1. 
NA PRÁTICA
1. (FAU - 2022)
Uma maneira de modelar fenômenos que tem crescimento muito rápidos é utilizando 
funções exponenciais. Qual é o valor da função f(x) = 100∙2x quando x assume o valor 15?
a) 2.240.320.
b) 2.480.640.
c) 2.960.560.
d) 3.080.240.
e) 3.276.800.
2. (OMNI - 2022)
Das alternativas abaixo, qual apresenta uma função exponencial decrescente? 
a) ƒ(x) = 0,63x.
b) ƒ(x) = 2,1x.
c) ƒ(x) = 0,42.
d) ƒ(x) = 1,53.
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FUNÇÃO EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA 3
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3. (OMINI - 2021)
As funções exponenciais e logarítmicas, são funções consideradas funções inversas, e seus 
gráficos são simétricos em relação a reta y = x. Analise as afirmações abaixo, em relação 
as funções exponenciais e logarítmicas.
I. - As funções f(x) = ax e g(x) = logax sempre se intersectam em um único ponto, indepen-
dente do valor de a. 
II. - Se a > 1, o gráfico da a função f(x) = logax é crescente. 
III. - Se a < 1, o gráfico da função g(x) = ax é decrescente.
Assinale a opção CORRETA acerca da afirmações acima:
a) Apenas a afirmação I está correta.
b)Apenas a afirmação II está correta.
c) Apenas as afirmações II e III estão corretas.
d)Todas as afirmações estão corretas.
4. (FADESP - 2021)
A função exponencial y = ax+1 é tal que a imagem de 2 é 27. A imagem de 4 será
a) 64.
b) 81.
c) 243.
d) 256.
e) 729.
(GUALIMP - 2020)
Considere a função f: R → R cujo o gráfico está esboçado abaixo.
Qual é a lei de formação da função f?
a) y = log2(x+1)
b) y = log2x
c) y = logx
d) y = logx+1
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FUNÇÕES 
2
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FUNÇÃO COMPOSTA E INVERSA
FUNÇÃO COMPOSTA:
Função composta é a função que combina “duas ou mais variáveis” em funções distintas 
para uma mesma função. 
Em outras palavras é quando se coloca uma função “dentro” da outra.
Para determinar a função composta basta substituir a variável pela função determinada.
Ex.:
f(x) = x + 4
g(x) = 2x – 7
f ∘ g = f(g(x)) = 
g ∘ f = g(f(x)) = 
FUNÇÃO INVERSA:
Função inversa é a função em que trocamos o “x” pelo “y” e determinamos a nova função.
A função inversa é representada por f–1. 
Ex.:
f (x) = 6x – 8
f–1 = 
Obs.: a função inversa é uma função bijetora.
NA PRÁTICA
1. (FAFIPA - 2022)
Sejam as funções reais f e g definidas por
f(x) = x2 − 2x + 2 e g(x) = x – 1 assinale a alternativa que apresenta a função ƒ ∘ g
a) ƒ ∘ g =x2 − 4x + 5
b) ƒ ∘ g =x2 – x + 1
c) ƒ ∘ g = x2 −2x
d) ƒ ∘ g =x2 − 2x + 3
e) ƒ ∘ g =x2 −1
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FUNÇÃO COMPOSTA E INVERSA 3
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2. (FEPESE - 2021)
Sejam f(x) = x2 – 16 e g(x) = x – 4 funções reais. Tome y como o maior número real tal que 
a função composta h = f ∘ g se anula, isto é, y é o maior número real tal que h(y) = 0.
Então, o logaritmo na base 2 de y, log₂y, é igual a:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
3. (CONSULPLAN - 2014)
Sejam as funções f(x) = 2x – 4 e g(x) = x + 5. A raiz da função composta f(g(x)) é igual a
a) –3.
b) –1.
c) 2
d) 4
4. (FAPEC-AL - 2013)
A função inversa para f(x) = 2 – 6x é equivalente a:
a) f–1(x) = 6 / 2 – x
b) f–1(x) = – (2 – x / 6)
c) f–1(x) = 2 – x / 6
d) f–1(x) = –x/6
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GEOMETRIA PLANA
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PONTO, RETA, PLANO, PARALELISMO, 
PERPENDICULAR ISMO E TEOREMA DE TALES
PONTO, RETA E PLANO
São elementos básicos da geometria, servem de base para tudo o que trata a geometria.
Ponto é uma posição no espaço, que não possui comprimento, área ou volume.
Reta é a união de vários pontos que formam uma linha infinita.
Plano é a união de infinitas retas, sem espaço entre elas, formando uma superfície plana sem 
curvas.
PARALELISMO E PERPENDICULARIDADE
Paralelismo e perpendicularidade são posições relativas entre retas.
Duas ou mais retas são paralelas quando estão no mesmo plano, não possuem pontos em 
comum e todos os pontos de cada reta mantêm a mesma distância para os pontos das outras 
retas.
Duas retas são perpendiculares quando no ponto em que elas se cruzam o ângulo formado 
entre elas é de 90°.
Quando as retas se cruzam em um ponto, mas o ângulo formado entre as retas não é de 90°, 
são chamadas de concorrentes ou transversais.
TEOREMA DE TALES
O Teorema de Tales, aplicado na geometria, diz que o cruzamento de retas paralelas com retas 
transversais forma segmentos proporcionais.
Obs.: Esse teorema é muito importante, pois com ele pode-se calcular (ou determinar) as 
semelhanças de figuras geométricas.
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PONTO, RETA, PLANO, PARALELISMO, PERPENDICULAR ISMO E TEOREMA DE TALES 3
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NA PRÁTICA
1. (COPESE-UFPI - 2022)
Paulo marcou três pontos em uma folha de papel, de forma que eles não estavam todos con-
tidos em uma mesma reta, ou seja, eram não colineares. Em seguida, Paulo pediu a André 
que traçasse todas as retas que fossem equidistantes aos três pontos. A quantidade de retas 
que André traçou foi:
a) 1 reta
b) 2 retas
c) 3 retas
d) 4 retas
e) Não é possível traçar uma reta equidistante aos três pontos.
2. (OBJETIVA - 2021)
Considerando-se que as retas r, s e t são paralelas, assinalar a alternativa que apresenta o valor 
de x que satisfaz a figura abaixo:
a) 10
b) 11
c) 12
d) 13
e) 14
3. (FUNDATEC - 2021)
Na figura a seguir, temos que a ∕∕ b ∕∕ c e as medidas são dadas em unidades de comprimento. 
Com os dados informados, qual o valor de x?
a) 40.
b) 60.
c) 80.
d) 100.
e) 120.
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4. (Instituto Consulplan - 2021)
Sobre um rio de margens paralelas foi construída uma ponte PA, cujo comprimento é 32 
metros. Devido a problemas estruturais nessa ponte, foi necessário construir uma segunda 
ponte PB, conforme a figura:
Levando em consideração que o problema em PA foi identificado a 8 metros, medidos ao 
longo da ponte e que o ponto correspondente na outra ponte está a 10 metros, qual será o 
comprimento da ponte PB sobre esse rio?
a) 34 m
b) 36 m
c) 38 m
d) 40 m
5. (FGV - 2021)
Considere a figura:
Sabe-se que a razão a/b é igual a 3/2.
A razão x/y é igual a
a) 3/2.
b) 2/3.
c) 2/5.
d) 3/5.
e) 5/3.
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PONTO, RETA, PLANO, PARALELISMO, PERPENDICULAR ISMO E TEOREMA DE TALES 5
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6. (VUNESP - 2020)
A figura a seguir é uma representação aproximada da região de Ilhabela em que as ruas Prof. 
Malaquias e Rondônia se encontram na Rio Grande do Sul:
Considerando que na representação aproximada a Rua Maranhão e a Rua Pará são paralelas, 
o trecho da Rua Rondônia entre elas medirá
a) 88 m.
b) 106 m.
c) 248 m.
d) 290 m.
e) 346 m.
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GEOMETRIA PLANA
2
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ÂNGULOS - CONCEITOS, DEFINIÇÕES E CÁLCULOS
ÂNGULOS
Ângulo é a área entre duas semirretas com a mesma origem (vértice).
Os ângulos são medidos em graus (°) ou radianos (rad).
RELAÇÃO ENTRE GRAU E RADIANO
360° = 2π rad
180° = π rad
90° = π/2 rad
60° = π/3 rad
45° = π/4 rad
30° = π/6 rad
CLASSIFICAÇÃO DOS ÂNGULOS
Nulos (iguais a 0°)
Agudos (menores que 90°)
Retos (iguais a 90°)
Obtusos (maiores que 90°)
Rasos (iguais a 180°)
Côncavos (maiores que 180° e menores que 360°)
Inteiro ou completo (iguais a 360°).
Ângulos complementares: a soma de dois ângulos dá 90°.
Ângulos suplementares: a soma de dois ângulos dá 180°.
Ângulos replementares: a soma de dois ângulos dá 360°.
ÂNGULOS FORMADOS POR RETAS PARALELAS E TRANSVERSAIS
Ângulos opostos pelo vértice – AOPV (ângulos iguais):
Ângulos correspondentes (ângulos iguais):
Ângulos alternos internos (ângulos iguais):
Ângulos alternos externos (ângulos iguais):
Ângulos colaterais internos (ângulos suplementares):
Ângulos colaterais externos (ângulos suplementares):
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ÂNGULOS - CONCEITOS, DEFINIÇÕES E CÁLCULOS 3
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NA PRÁTICA
1. (Avança SP - 2022)
Considere as retas paralelas cortadas por uma transversal abaixo:
Os valores de x e y, respectivamente, são:
a) 20º e 72º
b) 12º e 60º
c) 52º e 20º
d) 72º e 20º
e) 60º e 52º.
2. (MetroCapital Soluções - 2022)
A figura abaixo representa os ângulos formados por duas retas m e n paralelas cortadas por 
uma reta transversal t.
Os valores de a e b são, respectivamente:
a) 5º e 42º
b) 30º e 42º
c) 15º e 12º
d) 42º e 30º
e) 18º e 5º
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4
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3. (UNIOESTE - 2022)
Um ângulo α é suplementar a um ângulo de 160º e complementar a um ângulo β. Então, a 
medida do ângulo β é de:
a) 20°.
b) 70°.
c) 37°.
d) 67°.
e) 58°.
4. (Avança SP - 2022)
Sobre ângulos, assinale aquilo que for correto.
a) É chamado de raso o ângulo que possui medida igual a 90°
b) É chamado de reto o ângulo que possui medida igual 180°
c) Dois ângulos são complementares quando a sua soma for igual a 360º°
d) Dois ângulos são replementares quando a sua soma for igual a 180º
e) Um ângulo é classificado como agudo quando a sua medida for menor do que 90º
5. (Fenaz do Pará - 2022)
Três semi-retas partem de um mesmo ponto P, formando três ângulos que envolvem todo o 
plano e são proporcionais aos números 11, 12, e 13. O suplemento do menor dos três núme-
ros é:
a) 60º.
b) 75º.
c) 65º.
d) 68º.
e) 70º.
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TRIÂNGULOS
CLASSIFICAÇÃO, SEMELHANÇA, SOMA DOS ÂNGULOS
TRIÂNGULOS
CONCEITO, ELEMENTOS E CLASSIFICAÇÃO
Triângulo é o polígono com 3 lados, 3 ângulos e 3 vértices.
Obs.1: o triângulo tem também uma base e uma altura.
Obs.2: condição de existência de um triangulo: qualquer lado é maior que a diferença dos 
outros dois e menor do que a soma dos outros dois.
De acordo com OS LADOS, o triângulo pode ser classificado em:
 » escaleno (todos os lados diferentes)
 » isósceles (2 lados iguais)
 » equilátero (os 3 lados iguais).
De acordo com OS ÂNGULOS, o triângulo pode ser classificado em:
 » acutângulo (os 3 ângulos agudos – menores que 90°)
 » retângulo (um ângulo de 90°)
 » obtusângulo (um ângulo maior que 90°).
SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS DO TRIÂNGULO
A soma dos ângulos do triângulo é 180°.
Si = 180°
CONGRUÊNCIA E SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
Dois ou mais triângulos são congruentes quando são iguais, tanto os lados como os ângulos.
Dois ou mais triângulos são semelhantes quando seus lados são proporcionais.
Os casos de semelhanças de triângulos são:
 » LLL = lado, lado, lado.
 » LAL = lado, ângulo, lado.
 » ALA = ângulo, lado, ângulo.
 » LAAo = lado, ângulo, ângulo oposto.
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CLASSIFICAÇÃO, SEMELHANÇA, SOMA DOS ÂNGULOS 3
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NA PRÁTICA
1. (CESPE - 2022)
Julgue o item que se segue, relacionados a geometria plana e espacial.
Considere que um triângulo ABC tenha lados com as seguintes medidas: 3 cm, 5 cm e 7 cm. Se 
o triângulo DEF é semelhante ao triângulo ABC e tem perímetro 25 cm, então o menor lado 
do triângulo DEF é 5 cm.
(Avança SP - 2022)
Os ângulos internos de um determinado triângulo são proporcionais aos números 4, 5 e 6. 
Considerando que a soma de todos esses ângulos seja igual a 180ᵒ, é correto afirmar que o 
maior ângulo mede:
a) 50º
b) 68º
c) 72º
d) 75º
e) 80º
2. (OMNI - 2021)
Se a figura abaixo representa um triângulo isósceles, qual é a medida (X) dos ângulos da base?
a) X = 55°
b) X = 60°
c) X = 45°
d) X = 70°
3. (FGV - 2021)
Euclides dispõe de 20 varetas cujos comprimentos, em centímetros, são, respectivamente, 
os números inteiros de 1 a 20. Ele pega as varetas de comprimentos 6 cm e 13 cm e deseja 
formar um triângulo em que essas varetas sejam dois dos lados. Entre as varetas restantes, o 
número de escolhas que Euclides tem para o terceiro lado do triângulo é
a) 18.
b) 12.
c) 11.
d) 10.
e) 9.
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4. (OMNI - 2021)
Se os triângulos ABC e DEF possuem os mesmos ângulos, mas tamanhos diferentes significa que:
a) Eles não são semelhantes, mas possuem lados proporcionais.
b) Eles são congruentes e não são semelhantes.
c) 1Eles são semelhantes e seus lados proporcionais
d) Nenhuma das alternativas.
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GEOMETRIA PLANA
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GEOMETRIA PLANA
TRIÂNGULOS
PERÍMETRO E ÁREA E FORMULA DE HEBRON
Área e perímetro do triângulo
Perímetro
Perímetro é a soma dos lados de um polí�gono, logo, no triângulo, é a soma dos seus 3 lados.
2p = a + b + c
Área
Área é o espaço ocupado pelo polígono no plano. 
A área do triângulo é: base “vezes” altura, “dividido” por 2.
Obs.1: no triângulo retângulo, a área pode ser calculada multiplicando um cateto pelo outro 
e dividindo o resultado da multiplicação por 2.
Obs.2: no triângulo equilátero, a área do triângulo será determinada por: A = l2√3/4. (a altura 
do triângulo equilátero também pode ser determinada por: h = l√3/2).
 
Outra forma de determinar a área de qualquer triângulo é pela fórmula de Heron:
A = √p∙(p – a)∙(p – b)∙(p – c)
Na prática
1. (UNIOESTE - 2022)
Em um triângulo equilátero de altura 9, qual a medida do seu lado?
a) 3
b) 9
c) 3√3
d) 6√3
2. (UNESPAR - 2022)
Na figura abaixo, med(AC) = 10 cm, med(BC) = 12 cm e med(DE) = 6 cm. Qual é a área do 
quadrilátero DBCE? 
a) 15
b) 20
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 3
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c) 30
d) 45
e) 60
3. (FAU - 2022)
Uma área que vai ser destinada a construção de uma praça na cidade de Marimar, tem 
forma de um triângulo equilátero, com 30 metros de comprimento cada lado. Conhecendo 
estas informações foi calculada a área total que a praça vai ocupar que é aproximadamente 
igual a: (use 31/2 = 1,732) 
a) 368,4 m2.
b) 379,5 m2. 
c) 389,7 m2.
d) 398,9 m2. 
e) 406,2 m2.
4. (FGV - 2021)
Dado um triângulo equilátero ABC, prolonga-se o lado AB, no sentido de A para B, até um 
ponto D, tal que a medida de BD seja igual à medida do lado do triângulo ABC.
A razão entre a área do triângulo ACD e a área do triângulo BCD é
a) 4.
b) 3.
c) 2.
d) √3
e) √2.
5. (FCC - 2019)
Os seis triângulos que aparecem na figura são equiláteros, com bases no segmento AB 
que mede 36 cm.
A soma dos perí�metros dos triângulos, em cm, é:
a) 36
b) 54
c) 72
d) 90
e) 108
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GEOMETRIA PLANA
2
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GEOMETRIA PLANA
TRIÂNGULOS
TEOREMA DE PITÁGORAS E RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIANGU-
LO RETÂNGULO
TEOREMA DE PITÁGORAS 
A principal relação no triângulo retângulo é o famoso Teorema de Pitágoras que diz: a hipote-
nusa (a) ao quadrado é igual à soma dos quadrados dos catetos (b e c).
Obs.: triângulos pitagóricos famosos
cateto, cateto, hipotenusa
3, 4, 5 (e seus múltiplos)
5, 12, 13 (e seus múltiplos)
8, 15, 17 (e seus múltiplos)
Outras relações métricas no triângulo retângulo 
No triângulo retângulo existem algumas relações bem conhecidas e que ajudam a 
resolver as questões que abordam esse assunto.
Essas relações são:
a∙h = b∙c
h2 = m∙n
b2 = a∙m
c2 = a∙n
Na prática
1. (FUNDATEC - 2022)
No triângulo retângulo ABC, apresentado na imagem abaixo, temos que a medida do seg-
mento AB é igual a c, a medida do segmento BC é a, AD é igual a 3,6, a medida do segmento 
CD é 6,4 e a medida do segmento BD é igual a 4,8. Podemos dizer então que (a + c)2 é igual a:
a) 36.
b) 64.
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GEOMETRIA PLANA 3
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c) 100.
d) 144.
e) 196.
2. (Avança SP - 2022)
Deseja-se subir em um muro com 32 metros de altura. Para isso apoia-se uma escada, a 
24 metros de distância desse muro, como pode ser observado na figura abaixo.
Desse modo, a altura dessa escada, em metros, é de:
a) 28 m.
b) 30 m.
c) 40 m.
d) 45 m.
e) 56 m.
3. (CESPE - 2021)
Julgue o item a seguir, relativo à trigonometria do triângulo retângulo.
A distância entre os pontos A e B na figura seguinte é maior que 10 cm.
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4
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4. (VUNESP - 2021)
Para ir do ponto A até o ponto D, seguindo o trajetoindicado em negrito na figura, em que 
as distâncias são dadas em metros, Gonçalo percorre um total de 300 m. 
É� correto afirmar que, se Gonçalo caminhasse do ponto A até o ponto B, e do ponto B 
diretamente ao ponto D pelo trajeto indicado na figura pela linha pontilhada, ele iria 
percorrer um total de
a) 210 m.
b) 240 m. 
c) 250 m.
d) 260 m.
e) 280 m.
5. (FUNDEP - 2021)
A figura a seguir apresenta quatro triângulos e as respectivas medidas dos seus lados. 
Sabe-se que três desses triângulos possuem uma caracterí�stica em comum, enquanto um 
dos triângulos não tem essa caracterí�stica.
O triângulo que não possui essa caracterí�stica é o:
a) I
b) II
c) III
d) IV
6. (FADESP - 2021)
Em um triângulo retângulo em que os catetos medem 6m e 4,5m a altura relativa à hipo-
tenusa medirá
a) 5,4m.
b) 5,2m.
c) 4,8m.
d) 4,2m.
e) 3,6m.
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GEOMETRIA PLANA 5
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7. (IDIB - 2021)
Seja o triângulo ABC, dado na imagem abaixo. Com base nas relações métricas do triângulo 
retângulo, assinale o item que corresponde à altura h.
a) h = √m. n
b) h = c2 + b2
c) h = m∙a2
d) h = a∙b
8. (FAUEL - 2021)
No triângulo ABC abaixo, os ângulos BAC e ADC medem 90° e as medidas dos segmentos 
estão em centí�metros (cm).
 
Determine a medida do segmento AB. 
a) 3 cm
b) 5 cm
c) 5,76 cm
d) 9 cm
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GEOMETRIA PLANA
QUADRILÁTEROS
2
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GEOMETRIA PLANA - CARACTERÍSTICAS, 
ELEMENTOS, SOMA DOS ÂNGULOS, CLASSIFICAÇÃO
QUADRILÁTEROS
Quadriláteros são os polígonos com 4 lados, 4 ângulos, 4 vértices e 2 diagonais.
SOMA DOS ÂNGULOS
A soma dos ângulos dos quadriláteros é 360°.
Si = 360°.
CLASSIFICAÇÃO
Os quadriláteros podem ser classificados como paralelogramos (lados opostos paralelos) ou 
como trapézios (apenas as bases são paralelas).
Obs.: quando nenhum dos lados for paralelo, os quadriláteros podem ser classificados como 
trapezoides.
Os paralelogramos se dividem em:
ͫ	 Quadrados
	» Quatro lados igual
	» Quatro ângulos iguais
	» Diagonais iguais, perpendiculares e se cortam ao meio
ͫ	 Retângulos
	» Lados paralelos igual
	» Quatro ângulos iguais
	» Diagonais iguais e se cortam ao meio
ͫ	 Losangos
	» Quatro lados igual
	» Ângulos opostos iguais
	» Diagonais perpendiculares e se cortam ao meio
ͫ	 Paralelogramos - propriamente ditos.
	» Lados paralelos igual
	» Ângulos opostos iguais
	» Diagonais se cortam ao meio
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GEOMETRIA PLANA - CARACTERÍSTICAS, ELEMENTOS, SOMA DOS ÂNGULOS, CLASSIFICAÇÃO 3
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Os	trapézios	podem	ser:
ͫ	 Isósceles
ͫ	 Retângulos
ͫ	 Escalenos.
NA PRÁTICA
(FAUEL - 2022)
Assinale a alternativa que apresenta CORRETAMENTE uma propriedade dos retângulos.
a) Em todo retângulo, as diagonais são perpendiculares.
b) Em todo retângulo, as diagonais têm a mesma medida.
c) Em todo retângulo, dois lados consecutivos têm a mesma medida.
d) Em todo retângulo, as diagonais têm medidas diferentes.
(Quadrix - 2022)
Poliana, uma amante da matemática, traçou 2 segmentos de reta, paralelos, na areia da praia 
de Boa Viagem. Depois, ela marcou 5 pontos distintos em cada um dos segmentos.
Com base nessa situação hipotética, julgue o item.
Com vértices nos pontos marcados na areia, Poliana pode construir 210 quadriláteros.
(OMNI - 2021)
Qual é a característica comum a todas as três figuras geométricas dadas abaixo?
a) São três quadrados.
b) São três retângulos.
c) São três losangos.
d) São três quadriláteros.
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4
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(Prefeitura de Bombinhas-SC - 2021)
Um quadrado é:
a) Um retângulo;
b) Um paralelogramo;
c) Um Polígono
d) Todas as alternativas estão corretas.
(CETREDE - 2021)
Analise a figura a seguir.
Assinale a alternativa que mostra corretamente a medida do ângulo X desenhado na figura.
a) 45°.
b) 60°.
c) 90°.
d) 120°.
e) 180°.
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GEOMETRIA PLANA - CARACTERÍSTICAS, ELEMENTOS, SOMA DOS ÂNGULOS, CLASSIFICAÇÃO 5
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(IBADE - 2020)
A professora levou o desenho da bandeira do município para os estudantes colorirem. O dese-
nho apresenta um retângulo decomposto em um triângulo e mais duas figuras geométricas.
Sobre essas figuras geométricas, é correto afirmar que são:
a) losangos.
b) paralelogramos.
c) pentágonos.
d) retângulos.
e) trapézios.
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GEOMETRIA PLANA
QUADRILÁTEROS
2
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GEOMETRIA PLANA
QUADRILÁTEROS NOTÁVEIS, PERÍMETROS E ÁREAS
QUADRILÁTEROS NOTÁVEIS
Os quadriláteros notáveis são o quadrado (quadrilátero perfeito), o retângulo, o losango, o 
paralelogramo e o trapézio.
PERÍMETRO E ÁREA
Perímetro (2p) é a soma dos lados de um polígono, então no quadrilátero é a soma dos quatro 
lados.
ͫ	 Se quadrado e losango:
2p = 4L
ͫ	 Se retângulo e paralelogramo:
2p = 2a + 2b
ͫ	 Se trapézio:
2p = B + b + a + c
A área é o espaço ocupado pelo polígono no plano, logo as áreas dos quadriláteros são:
ͫ	 Se quadrado:
A = L2
	» A diagonal do quadrado é dada por:
D = L√2
ͫ	 Se retângulo:
A = b∙h ou a∙b
	» A diagonal do retângulo é dada por:
D = √a2 + b2
ͫ	 Se losango:
A = D∙d/2
ͫ	 Se paralelogramo:
A = b∙h
ͫ	 Se trapézio:
A = (B+b)∙h / 2
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QUADRILÁTEROS NOTÁVEIS, PERÍMETROS E ÁREAS 3
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NA PRÁTICA
(VUNESP - 2022)
Em um terreno, no formato de quadrado, será reservada uma área retangular de 5600 m2 
para a construção de um imóvel, com todos os seus anexos, conforme representado na figura.
Sabendo-se que o restante do terreno será destinado para área verde, essa área será de:
a) 5425 m2
b) 6500 m2
c) 7625 m2
d) 8800 m2
e) 9925 m2
(Quadrix - 2022)
A razão entre as medidas da altura e do comprimento de uma bandeira é igual a 0,6. Se o 
perímetro dessa bandeira é igual a 4,8 metros, então a sua altura é igual a
a) 9 decímetros.
b) 12 decímetros.
c) 15 decímetros.
d) 18 decímetros.
e) 21 decímetros.
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(FGV - 2022)
Um quadrado foi cortado em 4 retângulos iguais como mostra a figura.
A soma dos perímetros dos retângulos é maior que o perímetro do quadrado em
a) 50%.
b) 100%.
c) 150%.
d) 180%.
e) 200%.
(FGV - 2022)
A figura abaixo mostra um polígono sombreado desenhado sobre um quadriculado (papel 
coberto com linhas horizontais e verticais formando pequenos quadrados iguais).
O perímetro do polígono é de 132 cm.
A área desse polígono,em cm2, é igual a
a) 468.
b) 504.
c) 540.
d) 576.
e) 612.
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QUADRILÁTEROS NOTÁVEIS, PERÍMETROS E ÁREAS 5
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(COPESE-UFPI - 2022)
Flávio possui uma fazenda cujo terreno tem a forma de um trapézio. Porém, devido a alguns 
ajustes da prefeitura, cada base do trapézio que compõe o terreno da fazenda teve uma redu-
ção de 25%. Para compensar, a prefeitura aumentou a altura do trapézio em 100%. Acerca da 
área do terreno, pode-se afirmar que:
a) A área da fazenda não mudou.
b) A área da fazenda duplicou.
c) A área da fazenda diminuiu em 50%.
d) A área da fazenda aumentou em 25%.
e) A área da fazenda aumentou em 50%.
(VUNESP - 2021)
Um jardim com a forma de um losango ABCD, cuja diagonal menor mede 10 m, foi dividido 
em 4 canteiros (I, II, III e IV) congruentes, conforme mostra a figura.
Se o jardim tem perímetro igual a 52 m, então a área de cada canteiro é igual a
a) 30 m².
b) 32 m².
c) 34 m².
d) 36 m².
e) 40 m².
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GEOMETRIA PLANA
CIRCUNFERÊNCIA E 
CÍRCULO
2
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GEOMETRIA PLANA
CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO
Circunferência é a figura geométrica que reúne todos os pontos que estão a uma mesma 
distância de “outro” ponto.
Esse “outro” ponto é chamado de centro da circunferência e a distância aos outros pontos é 
denominada raio (r).
Círculo é a área dentro da circunferência.
Quando dois pontos da circunferência são ligados por um segmento de reta, esse segmento 
é chamado de corda.
Obs.: Uma corda que passa pelo centro da circunferência é chamada de diâmetro. A medida 
do diâmetro é o dobro do raio.
SETOR E COROA CIRCULAR
O setor circular é a área delimitada entre dois raios da circunferência.
A coroa circular é a área determinada entre duas circunferências de mesmo centro e raios de 
tamanhos diferentes.
COMPRIMENTO DA CIRCUNFERÊNCIA E DO ARCO DE CIRCUNFERÊNCIA
O comprimento da circunferência é dado por:
C = 2πr
O comprimento do arco da circunferência é proporcional ao ângulo determinado pelos raios 
que limitam o arco.
ÁREA DO CÍRCULO, DO SETOR CIRCULAR E DA COROA CIRCULAR
A área do círculo é dada por:
A = πr2
A área do setor circular é proporcional ao ângulo – central – determinado pelos raios que 
determinam o setor.
A área da coroa circular é calculada pela diferença entre o círculo de raio maior e o círculo de 
raio menor.
A = π∙(R2 – r2)
ÂNGULOS CENTRAL E INSCRITO
Um ângulo é central quando seu vértice (sua origem) está no centro da circunferência.
Um ângulo é inscrito quando seu vértice está na circunferência.
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GEOMETRIA PLANA 3
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Quando dois ângulos, um central e um inscrito, têm o mesmo arco, pode-se afirmar que a 
medida do ângulo inscrito é metade da medida do ângulo central (ou que o ângulo central é 
o dobro do ângulo inscrito).
NA PRÁTICA
(UNIOESTE - 2022)
Um teatro de Arena na cidade de “Risolândia” tem a forma de uma circunferência. Sabendo 
que essa circunferência tem o diâmetro de 54 metros e considerando π = 3,14, qual é o raio 
da circunferência e a sua respectiva área?
a) Raio = 54 m e Área = 2.222,07 m2.
b) Raio = 27 m e Área = 2.289,06 m2.
c) Raio = 54 m e Área = 2.543,07 m2.
d) Raio = 27 m e Área = 2.212,06 m2.
(FUNDATEC - 2022)
Considere que o quadrado ABCD da imagem abaixo tenha um perímetro de 36 unidades de 
medida. Observação: Use π = 3,14.
Então, a área da circunferência inscrita nesse quadrado é igual a:
a) 50,24 unidades de área.
b) 63,585 unidades de área.
c) 78,5 unidades de área.
d) 113,04 unidades de área.
e) 254,34 unidades de área.
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4
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(Unilavras - 2022)
A união dos infinitos pontos no plano equidistantes de um ponto referencial (origem), gera 
um(a):
a) reta.
b) semirreta.
c) plano.
d) circunferência.
(Instituto Access - 2022)
Uma antena foi instalada no ponto A em um terreno retangular conforme figura abaixo:
A cobertura desta antena descreve uma trajetória circular, conforme representação hachurada 
(cinza) da figura.
É correto afirmar que a área aproximada (em m²) do terreno que não terá cobertura da antena 
é de
a) 10.
b) 21.
c) 26.
d) 31.
(Prefeitura de Bataguassu–MS - 2021)
Se um arco de 120º de um dado círculo tem comprimento de 8π cm, o seu raio tem 
comprimento.
a) 2π cm
b) 12 cm
c) 2 cm
d) 32 cm
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GEOMETRIA PLANA
POLÍGONOS
2
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GEOMETRIA PLANA
POLÍGONOS
Polígono é uma figura geométrica – fechada – com muitos lados ou ângulos.
Os polígonos podem ser côncavos ou convexos; regulares ou irregulares.
De acordo com a quantidade de lados o polígono tem um nome:
3 lados → Triângulo
4 lados → Quadrilátero
Pentágono → 5 lados
Hexágono → 6 lados
Heptágono → 7 lados
Octágono → 8 lados
Eneágono → 9 lados
Decágono → 10 lados
Undecágono (ou hendecágono) → 11 lados
Dodecágono → 12 lados
...
Icoságono → polígono de 20 lados”
NÚMERO DE DIAGONAIS DE UM POLÍGONO QUALQUER
Diagonal de um polígono é o segmento de reta que une um vértice ao outro, desde que esses 
vértices não sejam adjacentes.
O número de diagonais de um polígono depende do número de lados do polígono e é definido 
pela fórmula:
d = n ∙ (n – 3)/2
SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS (E EXTERNOS) DE UM POLÍGONO 
QUALQUER
A soma dos ângulos internos de um polígono também depende do número de lados do 
polígono.
É definida pela fórmula: Si = (n – 2) ∙ 180ᵒ
O ângulo interno do polígono é definido pela divisão da soma dos ângulos internos pela quan-
tidade de lados desse polígono: ai = Si/n
A soma dos ângulos externos de um polígono não depende do número de lados do polígono, 
ela é sempre igual a 360°.
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GEOMETRIA PLANA 3
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NA PRÁTICA
(OBJETIVA - 2022)
Conforme as figuras geométricas a seguir, assinalar a alternativa que apresenta, na ordem em 
que aparecem, o nome de cada uma:
a) Pentágono, triângulo, retângulo e hexágono.
b) Pentágono, retângulo, triângulo e hexágono
c) Hexágono, retângulo, triângulo e pentágono.
d) Hexágono, triângulo, retângulo e pentágono.
(IVIN - 2022)
Qual polígono possui o número de diagonais igual ao número de lados somado a metade do 
próprio número de lados?
a) Pentágono.
b) Hexágono.
c) Octógono.
d) Decágono.
e) Dodecágono.
(Quadrix - 2022)
O tetracontacaidígono é um polígono com 42 lados e 42 vértices. Considerando essa infor-
mação, julgue o item.
O tetracontacaidígono possui 819 diagonais.
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4
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(FGV - 2021)
A figura a seguir mostra dois polígonos regulares com um lado comum.
O ângulo ABC, assinalado na figuramede
a) 16º.
b) 18º.
c) 20º.
d) 22º.
e) 24º.
(IBFC - 2021)
Um polígono convexo de p lados possui o número de diagonais calculado pela equação D(p) 
= p2−3p/2. Este polígono contém 9 diagonais, então seu número de lados é:
a) 6
b) 4
c) 9
d) 8
(FAUEL - 2021)
Sobre polígonos convexos, é CORRETO afirmar que:
a) O perímetro de qualquer polígono convexo é determinado pela soma de todos os seus 
vértices.
b) Um polígono convexo é aquele que possui ângulos internos maiores que 180°.
c) Um pentágono regular pode ser dividido em cinco triângulos equiláteros.
d) O número de diagonais de um polígono convexo pode ser maior ou menor que a quantidade 
de lados que possui.
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GEOMETRIA PLANA
POLÍGONOS
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GEOMETRIA PLANA
POLÍGONOS
PERÍMETROS E ÁREAS
Perímetro é a soma dos lados, então no polígono é a soma de todos os seus lados.
Para calcular as áreas, trataremos apenas dos polígonos regulares.
Lembrando: polígonos regulares são os que têm todos os lados iguais e todos os ângulos iguais 
(os principais polígonos regulares são: triângulo equilátero, quadrado, hexágono regular).
Para calcular a área de um polígono regular, basta multiplicar o semiperímetro (p) pelo apó-
tema (a).
A = p∙a
Obs.: Apótema de um polígono é a distância do centro desse polígono a qualquer dos seus 
lados, formando um ângulo de 90° com esse lado.
HEXÁGONO – REGULAR
Polígono de 6 lados, formado pela junção de 6 triângulos equiláteros num mesmo vértice.
O perímetro do hexágono é: 2p = 6 ∙ L
A área do hexágono é 6 “vezes” a área do triangulo equilátero que lhe forma: A = 6 ∙ L2 ∙ √3 / 4
NA PRÁTICA
(CESPE - 2022)
A figura a seguir apresenta um hexágono regular, que ilustra parte do mapa de uma cidade. 
Cada lado desse hexágono corresponde a uma rua com 100 metros de comprimento, enquanto 
cada diagonal corresponde a uma rua com 200 metros de comprimento.
Durante uma perseguição a pé, policial e suspeito corriam pela rua AB. O suspeito decidiu 
seguir pelas ruas BC, CD e DE, enquanto o policial, que estava alguns metros atrás, seguiu 
pelas ruas BO e OD. No ponto D, percebendo que o suspeito já havia passado por lá, o policial 
correu em direção ao ponto E, onde prendeu o suspeito.
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GEOMETRIA PLANA 3
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Considerando-se essa situação hipotética, é correto afirmar que, desde o ponto B até o ponto 
em que ocorreu a prisão, o policial percorreu
a) a mesma distância que o suspeito.
b) 100 m a mais que o suspeito.
c) 200 m a mais que o suspeito.
d) 600 m a mais que o suspeito.
e) 300 m a mais que o suspeito.
(Prefeitura de Cândido de Abreu-PR - 2022)
As lutas de MMA (Mixed Martial Arts) têm sido cada vez mais adoradas no mundo todo. O UFC 
(Ultimate Fighter Championship) é o maior dos campeonatos desse esporte e cada vez ele é 
mais visto em todas as regiões do planeta. O octógono de MMA é o palco dos gladiadores do 
mundo moderno e com a popularização desse esporte, muitas pessoas começaram a praticar 
esse tipo de luta e tornar-se um profissional é um sonho bastante comum entre os jovens. 
Essas lutas ocorrem dentro de um octógono que é um polígono regular com oito lados de 
mesma medida como a representação a seguir:
Se cada lado do octógono é cercado por uma tela de aproximadamente 3,9 metros de com-
primento e 2,0 metros de altura, a medida do perímetro do octógono é:
a) 31,2 metros.
b) 16 metros.
c) 23,4 metros.
d) 5,9 metros.
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4
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(FUNDATEC - 2021)
Um hexágono regular de perímetro 18 tem a área de:
a) 9√3
b) 18√3
c) 23√3/2
d) 25√3/2
e) 27√3/2
(SELECON - 2021)
A superfície de uma peça de metal plana tem a forma de um hexágono regular ABCDEF e está 
representada na figura abaixo.
Se a distância entre os vértices A e D mede 60 cm, a área, em cm², desse hexágono é igual a:
a) 1200√3
b) 1350√3
c) 1400√3
d) 1550√3
(FUNDATEC - 2020)
Considere o hexágono regular de vértices ABCDEF representado na figura abaixo.
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GEOMETRIA PLANA 5
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Se a área do hexágono é 24 √3, então a medida do segmento EB é:
a) 4.
b) 5.
c) 6.
d) 7.
e) 8.
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GEOMETRIA ESPACIAL
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POLIEDROS CONVEXOS, REGULARES, DE PLATÃO E 
RELAÇÃO DE EULER
POLIEDROS CONVEXOS
Poliedros são figuras geométricas tridimensionais formadas pela união de polígonos regulares, 
compostas por vértices, arestas e faces – unidas entre si.
https://www.infoescola.com/geometria-espacial/poliedros/
Os vértices são as “pontas”, as arestas são as “linhas” e as faces são os planos (os polígonos).
Obs.: um poliedro é convexo quando qualquer segmento de reta dentro do poliedro está todo 
contido no poliedro.
https://www.preparaenem.com/matematica/poliedros.htm
POLIEDROS REGULARES
Um poliedro é regular quando tanto suas arestas quanto suas faces são iguais, é também 
chamado de poliedro de Platão.
Os poliedros de Platão são:
ͫ	 Tetraedro: 4 faces triangulares;
ͫ	 Hexaedro: 6 faces quadrangulares;
ͫ	 Octaedro: 8 faces triangulares;
ͫ	 Dodecaedro: 12 faces pentagonais;
ͫ	 Icosaedro: 20 faces triangulares.
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POLIEDROS CONVEXOS, REGULARES, DE PLATÃO E RELAÇÃO DE EULER 3
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https://www.estudopratico.com.br/poliedros-platao-euler-e-outros-poliedros/
RELAÇÃO DE EULER
Nos poliedros convexos é possível determinar a quantidade de suas faces, arestas e vértices 
pela Relação de Euler.
Na Relação de Euler, o número de faces somado ao número de vértices é igual ao número de 
arestas “mais” 2.
V + F = A + 2
em que:
V = quantidade de vértices;
F = quantidade de faces;
A = quantidade de arestas.
Obs.: cada aresta do poliedro pertence a duas faces desse poliedro, logo o número de arestas 
do poliedro é a metade no número de arestas dos polígonos que formam esse poliedro.
NÚMERO DE DIAGONAIS DE UM POLIEDRO
Para determinar o número de diagonais de um poliedro, usaremos a formula:
D = [V∙(V–1)/2] – A – S
em que:
D = quantidade de diagonais do poliedro;
V = quantidade de vértices;
A = quantidade de arestas;
S = soma das diagonais das faces do poliedro.
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4
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NA PRÁTICA
1.	 (Prefeitura de Bombinhas-SC - 2022)
Tetraedro não é:
a)	 Um poliedro regular;
b)	 Composto por 4 faces;
c)	 Composto de 6 arestas;
d)	 Composto por 6 vértices.
2.	 (AGIRH - 2021)
Podemos afirmar que só existem ___________ tipos de sólidos geométricos que podem ser 
classificados como poliedros de Platão. O número que completa a lacuna corretamente é:
a)	 dois
b)	 quatro
c)	 cinco
d)	 sete
3.(AGIRH - 2021)
A relação de Euler é usada para relacionar o número de faces, vértices e arestas de poliedros 
convexos. Das alternativas abaixo, qual representa corretamente essa relação?
a)	 F + V = A + 2
b)	 F – V = A – 2
c)	 F + V + A = 2
d)	 F + V = A – 2
4.	 (CETREDE - 2021)
Quantas arestas possui o poliedro regular a seguir?
a)	 4.
b)	 8.
c)	 10.
d)	 12.
e)	 14.
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POLIEDROS CONVEXOS, REGULARES, DE PLATÃO E RELAÇÃO DE EULER 5
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5.	 (CONTEMAX - 2021)
Os sólidos platônicos, ou poliedros regulares, são conhecidos desde a antiguidade. O filosofo 
Platão os relacionou aos elementos clássicos: Terra, Fogo, Água e Ar.
Fonte: https://pt.wikipedia.org/wiki/S%C3%B3lido_plat%C3%B3nico.
O astrônomo Johannes Kepler, no século XVI, tentou associá-los aos seis planetas conhecidos 
até então. A relação entre vértices (V), faces (F) e arestas (A) dos sólidos platônicos pode ser 
verificada pela fórmula de Euler:
V + F – A = 2
Considere as seguintes afirmações sobre os poliedros regulares:
I – O octaedro possui 6 vértices, 12 arestas e 8 faces;
II – O dodecaedro possui 20 vértices, 30 arestas e 12 faces;
III – O icosaedro possui 12 vértices, 30 arestas e 20 faces.
A respeito das afirmações, pode-se é correto declarar que:
a)	 Apenas I e II são verdadeiras
b)	 Apenas I e III são verdadeiras
c)	 Apenas II e III são verdadeiras
d)	 Todas são verdadeiras
e)	 Nenhuma é verdadeira
6.	 (Quadrix - 2021)
Um cuboctaedro é um poliedro convexo composto por oito faces triangulares regulares e seis 
faces quadradas. Considerando essa informação, julgue o item.
O cuboctaedro possui 24 arestas.
Certo ( ) Errado ( )
7.	 (Quadrix - 2021)
Um cuboctaedro é um poliedro convexo composto por oito faces triangulares regulares e seis 
faces quadradas. Considerando essa informação, julgue o item.
O número de vértices do cuboctaedro é igual a 12.
Certo ( ) Errado ( )
8.	 (Quadrix - 2021)
Um cuboctaedro é um poliedro convexo composto por oito faces triangulares regulares e seis 
faces quadradas. Considerando essa informação, julgue o item.
Esse poliedro tem quarenta e duas diagonais.
Certo ( ) Errado ( ) 
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GEOMETRIA ESPACIAL
2
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PRISMAS
PRIMAS
Prisma é um poliedro convexo, com duas bases iguais e paralelas e faces laterais que são 
paralelogramos.
https://www.maisbolsas.com.br/enem/matematica/elementos-e-classificacao-do-prisma
Alguns prismas são bem conhecidos, como o cubo (dado) e o paralelepípedo (tijolo).
ELEMENTOS
Os elementos dos prismas são as faces (bases e faces laterais), arestas (da base e laterais) e 
vértices.
Outros elementos do prisma são sua altura com relação às bases (distância entre as bases).
CLASSIFICAÇÃO
Prismas retos: as faces laterais são perpendiculares às bases
Prisma oblíquo: os ângulos entre as bases e as faces laterais não são de 90°.
https://www.todamateria.com.br/prisma/
Prismas regulares são aqueles em que suas bases são polígonos regulares, são prismas retos.
Um prisma também será classificado de acordo com sua base:
 » se a base for um triângulo, então o prisma será triangular;
 » se a base for um quadrado, será um prisma quadrangular;
 » se a base for um pentágono, será um prisma pentagonal;
 » e assim por diante.
ÁREAS E VOLUMES (E DIAGONAIS DO CUBO E DO PARALELEPÍPEDO)
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PRISMAS 3
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As áreas dos prismas são as áreas da base, as áreas laterais e a área total.
ͫ	 As áreas das bases (duas bases) dependem da figura geométrica da base;
ͫ	 As áreas laterais são áreas retangulares (ou quadrangulares) na quantidade da figura 
geométrica da base.
ͫ	 A área total do prisma será a soma das duas áreas da base mais a soma das áreas laterais.
O volume do prisma será um produto da área da base pela altura – em relação a base – do 
prisma.
As áreas, o volume e as diagonais do cubo e do paralelepípedo são definidas pela relação com 
suas arestas.
ͫ	 No cubo:
ͫ	
http://enemex-matematica.com.br/estudos/geometria/geometria-espacial/aula-2-prisma
 » Área lateral:
 » Diagonal da face:
 » Área total:
 » Diagonal do cubo:
 » Volume:
ͫ	 No paralelepípedo:
ͫ	
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/paralelepipedos.htm
 » Área total
 » Diagonal
 » Volume
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4
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NA PRÁTICA
1. (IBADE - 2022)
Observe a figura geométrica abaixo.
É correto afirmar que:
a) possui 5 faces.
b) apresenta 10 arestas.
c) tem 15 vértices.
d) é um prisma de base pentagonal.
e) é um prisma de base hexagonal.
2. (VUNESP - 2022)
Uma caixa de papelão, na forma de um prisma reto de base retangular, tem suas medidas 
indicadas na figura.
Essa caixa está com 3/5 de sua capacidade total preenchida com sabão em pó. Se todo esse 
sabão for dividido em porções de 125 cm3 cada uma, o número de porções obtidas será
a) 8.
b) 12.
c) 15.
d) 18.
e) 20.
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PRISMAS 5
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3. (VUNESP - 2022)
Uma peça de madeira, no formato de um prisma reto de base retangular, tem 20 cm de altura. 
Dessa peça foi cortada uma “fatia” paralela à base, conforme mostra figura.
Após o corte, o volume que restou da peça foi 1728 cm3. A altura h, da “fatia” cortada era de
a) 2,5 cm.
b) 2,0 cm.
c) 1,5 cm.
d) 1,0 cm.
e) 0,5 cm.
4. (Prefeitura de Bauru-SP - 2022)
Na casa de Paulo há uma caixa d´água, na forma de bloco retangular, que possui 3,5 m de 
comprimento e 2,5 m de largura. Para que a caixa d´água tenha capacidade total para 48.125 
litros, qual deverá ser a altura dessa caixa d´água? Assinale a alternativa CORRETA.
a) 5,5 m
b) 6 m
c) 6,25 m
d) 4,12 m
5. (IESES - 2022)
Suponha que uma caixa de papelão sem tampa tenha formato de paralelepípedo com base 
quadrangular. Supondo que a base tenha área 81 cm2 e que a caixa tenha de 12 cm de altura, 
a área total da superfície da caixa será de:
a) 594 cm2.
b) 405 cm2.
c) 432 cm2.
d) 513 cm2.
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GEOMETRIA ESPACIAL
2
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PIRÂMIDES
PIRÂMIDES
Pirâmide é um poliedro convexo, com uma base poligonal e faces triangulares unidas em um 
ponto a certa altura da base – chamado de vértice da pirâmide.
https://www.infoescola.com/geometria-espacial/piramide/
ELEMENTOS
Os elementos das pirâmides são a base, as faces laterais, arestas (da base e laterais), vértices 
da base, vértice da pirâmide e altura da pirâmide em relação à base.
CLASSIFICAÇÃO
Pirâmides retas: a projeção do seu vértice na base coincide com o ponto central da base
Prisma oblíquo: a projeção do seu vértice na base não coincide com o ponto central da base.
Uma pirâmide também será classificada de acordo com sua base:
SE A BASE FOR UM TRIÂNGULO, ENTÃO A PIRÂMIDE SERÁ 
TRIANGULAR;
SE A BASE FOR UM QUADRADO,SERÁ UMA PIRÂMIDE QUA-
DRANGULAR;
SE A BASE FOR UM PENTÁGONO, SERÁ UMA PIRÂMIDE PENTA-
GONAL;
E ASSIM POR DIANTE.
ÁREAS E VOLUMES
As áreas da pirâmide são a área da base, as áreas laterais e a área total.
ͫ	 A área da base depende da figura geométrica da base;
ͫ	 As áreas laterais são áreas triangulares na quantidade da figura geométrica da base;
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PIRÂMIDES 3
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	» Obs.: para determinar a área lateral é necessário calcular a altura do triângulo da 
face lateral (geratriz da pirâmide ou apótema da pirâmide), e essa altura será obtida 
por uma relação pitagórica entre o apótema da base e a altura da pirâmide.
	»
https://cursoenemgratuito.com.br/area-da-piramide/
ͫ	 A área total da pirâmide será a soma da área da base mais a soma das áreas laterais.
ͫ	 At	=	Ab	+	n∙Al
O volume da pirâmide será o produto de 1/3 da área da base pela altura da pirâmide.
V	=	Ab∙h/3
TRONCO DE PIRÂMIDES
Tronco de pirâmide é o sólido geométrico resultante quando na pirâmide é realizada uma 
secção transversal, paralela a base, a qualquer altura.
https://www.somatematica.com.br/emedio/espacial/espacial22.php
ÁREAS E VOLUMES DO TRONCO DE PIRÂMIDE
As áreas do tronco de pirâmide são a área da base maior, a área da base menor, as áreas 
laterais e a área total.
ͫ	 As áreas das bases dependem da figura geométrica das bases;
ͫ	 As áreas laterais são as áreas dos trapézios resultantes, na quantidade da figura geométrica 
da base;
ͫ	 A área total do tronco pirâmide será a soma das áreas das bases mais a soma das áreas 
laterais.
ͫ	 At = AB + Ab + n∙Al
O volume do tronco de pirâmide será determinado pela diferença entre o volume da pirâmide 
maior e da pirâmide menor – determinada pela secção transversal.
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4
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NA PRÁTICA
1.	 (Avança SP - 2022)
A figura abaixo representa a planificação de um sólido geométrico.
Sobre esse sólido, é possível afirmar que:
a)	 É um prisma de base triangular
b)	 Possui 15 arestas
c)	 É formado por 6 triângulos
d)	 Possui 10 vértices
e)	 É uma pirâmide de base pentagonal
2.	 (CESPE - 2022)
Julgue o item que se segue, relacionados a geometria plana e espacial.
Uma pirâmide de altura h= 2√3 cm com base dada por um hexágono regular de lado ℓ = 3 cm 
tem volume V = √3 cm3.4
Certo ( ) Errado ( )
3.	 (ADVISE - 2022)
Um objeto deverá ser construído em isopor como molde para uma peça de ferro fundido no 
formato de uma pirâmide com base quadrada. Se o lado da base desta pirâmide é de 5 cm e 
sua altura de 15 cm, qual o volume necessário de isopor a ser utilizado?
a)	 125 cm3
b)	 375 cm3
c)	 250 cm3
d)	 225 cm3
e)	 75 cm3
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PIRÂMIDES 5
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4.	 (AGIRH - 2022)
Um engenheiro de tráfego solicita ao setor de planejamento e obras da Prefeitura onde tra-
balha, que seja construído uma sapata em forma de um tronco de pirâmide regular com as 
seguintes dimensões:
• aresta da base menor com 1m;
• aresta da base maior com 2m; e
• altura igual a 2m.
Sobre a sapata será colocado um tótem de sinalização de trânsito. O volume da sapata será:
a)	 7/5 m3
b)	 12/5 m3
c)	 14/3 m3
d)	 15/2 m3
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GEOMETRIA ESPACIAL
2
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CILINDROS
CILINDRO
Cilindro é uma figura geométrica tridimensional, de formato circular (um corpo redondo), que 
possui o mesmo diâmetro ao longo de todo o seu comprimento/altura.
https://www.infoescola.com/geometria-espacial/cilindro/
ELEMENTOS E CLASSIFICAÇÃO
Os elementos do cilindro são as bases, o raio das bases, a altura e a área lateral, além da 
geratriz (quando o cilindro é reto a geratriz coincide com a altura, quando o cilindro é obliquo 
a geratriz é a lateral do cilindro).
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/cilindro.htm
ÁREAS E VOLUMES
As áreas do cilindro são as áreas das bases, a área lateral e a área total.
ͫ	 As áreas das bases são as áreas dos círculos que formam a base.
ͫ	 A área lateral é a área do retângulo constituído pelo comprimento da circunferência que 
forma a base e pela altura do cilindro.
ͫ	 A área total do cilindro será a soma das áreas das bases mais a área lateral.
https://www.somatematica.com.br/emedio/espacial/espacial16.php
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CILINDROS 3
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Ab = πr2
Al = 2πr∙h
At = 2Ab + Al
O volume do cilindro será o produto da área da base pela altura do cilindro.
V = Ab∙h
V = πr2∙h
NA PRÁTICA
1.	 (FUNDATEC - 2022)
Um cilindro circular reto possui altura igual a 0,05 m e diâmetro igual a 4 cm. Considerando π 
= 3,14, o volume, em cm3, desse cilindro é:
a)	 0,628 cm3.
b)	 6,28 cm3.
c)	 31,4 cm3.
d)	 62,8 cm3.
e)	 628 cm3.
2.	 (Quadrix - 2022)
A moeda de chocolate é um doce cilíndrico muito popular entre as crianças. Uma confeitaria 
produz moedas de chocolate de 3 cm de diâmetro e 5 mm de espessura. Quando derretida, 
uma tonelada desse chocolate ocupa um volume de 1 m3.
Com base nesse caso hipotético, julgue o item.
O volume de cada moeda de chocolate é menor que 63/16 cm3.
3.	 (Quadrix - 2022)
Dados dois cilindros de volumes iguais, sabendo-se que o raio da base do primeiro é quatro 
vezes maior que o raio da base do segundo, é correto afirmar que a razão entre as alturas do 
primeiro e do segundo cilindro é igual a
a)	 16.
b)	 4.
c)	 0,25.
d)	 0,15.
e)	 0,0625.
4.	 (FADCT - 2022)
Um cilindro tem seu raio quadruplicado e sua altura reduzida a quarta parte. O novo volume, 
em relação ao volume inicial é:
a)	 Aumenta 4 vezes
b)	 Aumenta 2 vezes
c)	 Diminui 2 vezes
d)	 Equivalente
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4
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5.	 (Quadrix - 2022)
Antônio trabalha com desenhos computacionais de aparelhos cirúrgicos. Para fazer o modelo 
de um sólido, ele fez a revolução completa de um retângulo em torno do eixo que passa pelo 
seu maior lado, de 10 centímetros. O outro lado do retângulo mede 0,25 centímetros.
Com base nesse caso hipotético, assinale a alternativa que corresponde ao valor numérico do 
volume do sólido de revolução gerado em centímetros cúbicos.
a)	 0,625π
b)	 1,25π
c)	 2,5π
d)	 3
e)	 5
6.	 (Quadrix - 2022)
Uma garrafa térmica é construída a partir de dois frascos cilíndricos de mesma altura e raios 
diferentes, colocados um dentro do outro. Na parte de dentro do cilindro interno, fica o líquido 
cuja temperatura se deseja manter; durante o processo de fabricação da garrafa, o espaço 
entre os dois frascos é evacuado de ar e lacrado.
Com base nessa situação hipotética, considerando que essa garrafa térmica seja formada por 
dois reservatórios cilíndricos perfeitos e concêntricos, de altura igual a 30 cm e raios iguais a 
45/π2 cm e 50/π2 cm, julgue o item.
Dobrando-se a altura de ambos os reservatórios que formam a garrafa térmica, o volume da 
região entre os reservatórios dobrará.https://blog.alfaconcursos.com.br/?utm_source=pdf-interativo-editora&utm_medium=link_pdf&utm_campaign=link_pdf&utm_term=home-blogutm_content=pdf-interativo-editora
GEOMETRIA ESPACIAL
2
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CONES
CONES
Cone é uma figura geométrica tridimensional (um corpo redondo), de base circular, que se 
assemelha a uma pirâmide, mas sua área lateral é apenas de “UM triângulo” (setor circular) 
que faz uma rotação sobre essa base.
https://www.infoescola.com/geometria-espacial/cone/
ELEMENTOS
Os elementos do cone são a base, o raio da base, o vértice do cone, a altura com relação à 
base (distância entre a base e o vértice do cone) e a geratriz do cone (segmento de reta que 
une o vértice a qualquer ponto da circunferência da base).
https://matematicahistoria.wordpress.com/2017/12/15/cone-geometria-espacial/
CLASSIFICAÇÃO
O cone pode ser reto, quando seu vértice está alinhado com o centro da circunferência da 
base, ou oblíquo, quando o vértice não está alinhado com o centro da circunferência.
O cone também pode ser equilátero, quando ele é reto e a geratriz é igual ao diâmetro da base.
https://www.algosobre.com.br/matematica/geometria-espacial-cone.html
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CONES 3
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ÁREAS E VOLUMES
As áreas do cone são a área da base, a área lateral e a área total.
ͫ	 A área da base é a área do círculo da base.
Ab = πr2
ͫ	 A área lateral do cone é a área determinada pelo produto da geratriz do cone com o raio 
da base, além de pi (π).
Al = πrg
ͫ	 A área total do cone será a soma da área da base mais a soma da área lateral.
At = Ab + Al
O volume do cone será o produto de da área da base pela altura do cone.
V = Ab∙h/3
V = πr2∙h/3
TRONCO DE CONES
Tronco de cone é o sólido resultante quando no cone é realizada uma secção transversal, 
paralela à base, a qualquer altura.
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/tronco-de-cone.htm
ÁREAS E VOLUMES DO TRONCO DE PIRÂMIDE
As áreas do tronco de cone são a área da base maior, a área da base menor, as áreas laterais 
e a área total.
ͫ	 As áreas das bases maior e menor são as áreas de dois círculos, cada um com seu raio;
ͫ	 A área lateral resulta da planificação do tronco (sem as bases), e usa a geratriz do cone;
	» Geratriz do tronco de cone:
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4
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	»
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/tronco-de-cone.htm
	» Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo, temos que:
	» g² = h² + (R – r)²
	» Área Lateral do Tronco de Cone:
	» Al = πg∙(R + r)
ͫ	 A área total do tronco de cone será a soma das áreas das bases mais a soma da área lateral.
ͫ	 At = AB + Ab + Al
O volume do tronco de cone será determinado pela diferença entre o volume cone maior e 
do cone menor – determinada pela secção transversal.
NA PRÁTICA
1.	 (UPENET/IAUPE - 2022)
Um cone reto tem 4,0 cm de altura e diâmetro da base igual a 6,0 cm. Logo a geratriz deste 
cone mede
a)	 7,0 cm
b)	 6,0 cm
c)	 5,0 cm
d)	 4,0 cm
e)	 3,0 cm
2.	 (Quadrix - 2022)
A Catedral Basílica de Maringá é considerada a mais alta catedral da América Latina. O corpo 
principal da catedral é um cone de 114 m de altura e 50 m de diâmetro de base. A partir dessas 
informações, julgue o item, considerando π = 3.
O volume total do corpo principal é igual a 71,25 dam3.
3.	 (Quadrix - 2022)
A Catedral Basílica de Maringá é considerada a mais alta catedral da América Latina. O corpo 
principal da catedral é um cone de 114 m de altura e 50 m de diâmetro de base. A partir dessas 
informações, julgue o item, considerando π = 3.
Se o diâmetro da base da catedral fosse duas vezes maior, o volume do monumento também 
seria dobrado.
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CONES 5
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4.	 (AGIRH - 2022)
Um cone circular é considerado reto quando a projeção ortogonal do vértice sobre o plano da 
base é o ponto central da base. Ele pode ser chamado de também de cone de revolução, por 
ser formado pela rotação de um triângulo retângulo em volta de um de seus catetos.
Sabendo que neste cone, r = 3m e g = 5m, então, o seu volume é:
a)	 3π m3
b)	 5π m3
c)	 9π m3
d)	 12π m3
5.	 (FGV - 2022)
Um reservatório tem o formato de um cone reto. Ele está invertido, com o vértice para baixo 
e a base para cima. Um líquido é despejado no reservatório a uma vazão constante. Após uma 
hora, o líquido atinge uma altura igual à metade da altura do reservatório.
O número de horas adicionais necessárias para encher todo o reservatório é igual a
a)	 1.
b)	 3.
c)	 5.
d)	 7.
e)	 8.
6.	 (Quadrix - 2022)
Assinale a alternativa que apresenta a área da base de um cone que tem 33,7 cm de altura e 
2.022 cm3 de volume.
a)	 20 cm2
b)	 60 cm2
c)	 180 cm2
d)	 270 cm2
e)	 540 cm2
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GEOMETRIA ESPACIAL
2
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ESFERAS
ESFERAS
Esfera é uma figura geométrica tridimensional (corpo redondo), resultado da rotação de semi-
círculo pelo eixo do seu diâmetro.
https://matematicabasica.net/esfera/
ELEMENTOS E PARTES DA ESFERA
Os elementos da esfera são o centro, o raio, os meridianos e os paralelos, os polos e o equador.
https://escolakids.uol.com.br/matematica/esfera.htm
As partes da esfera são a cunha (faz parte da esfera) e o fuso esférico (faz parte da superfície 
da esfera, relacionada com a cunha).
Temos, ainda, a seção da esfera (corte transversal feito na esfera por um plano) e a calota 
esférica determinada por essa seção.
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ESFERAS 3
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https://conhecimentocientifico.com/esfera/
ÁREAS E VOLUMES
As áreas e os volumes da esfera são determinados pelo raio da esfera.
https://calculareconverter.com.br/area-da-esfera/
A = 4πr2
V = 4πr3/3
A área do fuso e a área e o volume da cunha são determinados pelo ângulo de rotação do 
semicírculo em torno de seu eixo.
NA PRÁTICA
1. (Quadrix - 2022)
Considerando uma esfera com 36 π metros cúbicos de volume, julgue o item.
O raio dessa esfera é igual a 3 metros.
2. (Quadrix - 2022)
Considerando uma esfera com 36 π metros cúbicos de volume, julgue o item.
Se se duplicar o raio dessa esfera, o seu volume aumentará em 700%.
3. (Quadrix - 2022)
Considerando uma semiesfera cujo volume é igual a 16/3π m3, julgue o item.
O raio dessa semiesfera é igual a 2 m.
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4
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4. (UPENET/IAUPE - 2022)
O volume de uma esfera é 32π/3cm3. Logo o raio e a área da superfície esférica são, 
respectivamente,
a) 1,0 cm e 8,0 π cm2
b) 2,0 cm e 16,0 π cm2
c) 3,0 cm e 24,0 π cm2
d) 4,0 cm e 32,0 π cm2
e) 5,0 cm e 40,0 π cm2
5. (OMNI - 2021)
Um artesão vai fazer uma bola de couro com 20cm de diâmetro. Qual será a área (A) da super-
fície desta bola? (Faça π = 3,14)
a) A = 1230cm².
b) A = 950,7cm².
c) A = 1000,5cm².
d) A = 1256cm².
6.(FUNDATEC - 2021)
Sejam duas esferas concêntricas em que a maior possui raio R e a menor possui raio 7/8 R. 
Podemos afirmar que o volume da “casca” (volume compreendido fora da menor e dentro 
na maior) é dado por:
a) 7/8 πR3
b) 343/512 πR3
c) 7/16 πR3
d) 15/64 πR3
e) 169/384 πR3
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ESTATÍSTICA
CONCEITOS, 
TABELAS E 
GRÁFICOS
2
ESTATÍSTICA - CONCEITOS, TABELAS E GRÁFICOS
CONCEITOS
A estatística é o ramo da matemática que ‘trabalha’ com a coleta de dados e sua organização, 
interpretação, análise, registro e representação.
POPULAÇÃO
Conjunto de TODOS os elementos que serão analisados ou estudados, e que têm alguma 
característica em comum.
AMOSTRA
Um subconjunto da população, uma parte que deve representar a população.
VARIÁVEL
Caraterística a ser estudada ou analisada da população ou amostra.
As variáveis podem ser quantitativas (discreta ou contínua) ou qualitativas (nominal ou ordinal).
ͫ	 Quantitativa	discreta: assume uma quantidade limitada de valores.
ͫ	 Ex.: número de filhos, número de alunos.
ͫ	 Quantitativa	contínua: assume uma quantidade infinita de valores.
ͫ	 Ex.: pesos, comprimentos, áreas, volumes.
ͫ	 Qualitativa	nominal: apenas identifica as categorias das amostras (ou populações).
ͫ	 Ex.: sexo, estado civil, cor da pele.
ͫ	 Qualitativa	ordinal: existe uma ordem entre as categorias da amostra (ou população).
ͫ	 Ex.: grau de instrução, classe social.
DADOS
Dados são os resultados obtidos a partir da observação da variável estudada sobre os elemen-
tos da amostra ou população.
TABELAS E GRÁFICOS
TABELAS
As tabelas são usadas para apresentar os dados coletados de forma mais organizada e melhorar 
assim sua interpretação.
Obs.: Os dados obtidos também podem ser organizados em ROL.
ESTATÍSTICA - CONCEITOS, TABELAS E GRÁFICOS 3
Ex.: número de funcionários por setor, na empresa A
Tabela	1
Número	de	funcionários	por	setor,	na	empresa	A
Setor Nº	de	funcionários
Vendas 27
Atendimento 8
Produto 24
Propaganda 17
Tecnologia 14
Financeiro 7
RH 7
ROL: 7, 7, 8, 14, 17, 24, 37
Nas tabelas	de	frequência, os dados podem ser apresentados em frequência absoluta (valor 
do dado), frequência relativa (% do dado em relação à amostra) e frequência acumulada (soma 
do dado com os dados anteriores).
Ex.:
Peso dos funcionários do setor de Atendimento da empresa A.
ROL: 50, 52, 55, 55, 55, 56, 60, 60.
Tabela	2
Peso	dos	funcionários	do	setor	de	Atendimento	da	empresa	A
Peso Frequência	absoluta	(fi)
Frequência	relativa	
(%)	(fri)
Frequência	acumula-
da	(Fi)
50 1 12,5 1
52 1 12,5 2
55 3 37,5 5
56 1 12,5 6
60 2 25 8
Total 8 100% 8
GRÁFICOS
Os gráficos servem para apresentar os dados coletados, eles são – usualmente – do tipo: barra, 
coluna, pizza (setores circulares), linha, dentre outros.
Ex.: os gráficos da tabela 1.
4
Barra:
Coluna:
ESTATÍSTICA - CONCEITOS, TABELAS E GRÁFICOS 5
Pizza:
Linha:
6
NA PRÁTICA
(CESPE - 2022)
Com relação ao gráfico precedente, que apresenta o resultado de uma pesquisa realizada com 
o objetivo de identificar os esportes preferidos dos estudantes de uma escola, julgue o seguinte 
item, assumindo que os números apresentados no gráfico correspondem à quantidade de 
votantes para cada modalidade esportiva indicada.
O gráfico revela relativo equilíbrio entre as preferências dos votantes, pois o número de votos 
do esporte mais votado é inferior à soma dos votos dos dois menos votados.
(Prefeitura de Itambaracá-PR - 2020)
Estatística é a parte da ciência responsável pela coleta, organização e pela extrapolação dos 
resultados da amostra para a população. Informe se é verdadeiro (V) ou falso (F) para o que 
se afirma e assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
( ) A população ou universo estatístico é o conjunto formado por todos elementos que par-
ticipam de um determinado tema pesquisado.
( ) Variável é o objeto de estudo, o tema que a pesquisa pretende estudar, o conceito de 
variável depende do contexto da pesquisa.
( ) Dado estatístico é um elemento que pertence ao conjunto da população, obviamente 
esse dado deve estar envolvido com o tema da pesquisa.
( ) Amostra é o subconjunto formado com base no universo estatístico, é utilizada quando 
a população é muito grande ou infinita.
a) F – V – F – V.
b) F – F – V – V.
c) V – F – V – F.
d) V – V – V – V.
ESTATÍSTICA - CONCEITOS, TABELAS E GRÁFICOS 7
`(Instituto UniFil - 2020)
Assinale a alternativa correta sobre alguns conceitos básicos englobados pela Estatística.
a) População é um conjunto especifico, necessariamente de pessoas, que constituam 
informações.
b) Amostra é correspondente a um grupo não representativo da população.
c) Estatística é a parte da ciência responsável pela coleta, organização e interpretação de dados 
experimentais e pela extrapolação dos resultados da amostra para a população.
d) No estudo da Estatística, existem dois tipos de variáveis, as quantitativas: que estudam a 
qualidade dos indivíduos e as qualitativas: que verifica a quantidade
(Instituto UniFil - 2019)
Estatística é um conjunto de métodos e processos quantitativos, que serve para estudar e 
medir os fenômenos coletivos. Assinale a alternativa correta sobre alguns conceitos básicos 
englobados pela Estatística.
a) Amostragem é a coleta de informações de parte da população, chamada de amostra, 
mediante métodos inadequados de seleção destas unidades.
b) População é o conjunto de indivíduos, objetos ou informações que não apresentam carac-
terísticas em comum, cujo comportamento interessa a ser analisado.
c) Amostra é um subconjunto finito de uma população selecionada segundo métodos ade-
quados, cujo objetivo é tirar conclusões sobre populações com base no resultado da amostra.
d) Censo é o exame parcial de parte da população, apresentando os resultados mais perfeitos 
da Estatística.
ESTATÍSTICA - 
MEDIDAS DE 
TENDÊNCIA CENTRAL
2
ESTATÍSTICA - MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
MEDIDAS DESCRITIVAS
Na estatística, as medidas descritivas são usadas para analisar e interpretar os dados coletados 
da população ou da amostra.
Essas medidas são separadas em medidas de tendência central e medidas de dispersão.
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL (OU MEDIDAS DE POSIÇÃO)
As medidas de tendência central giram em torno de um valor que melhor representa o que 
está sendo analisado.
São medidas de tendência central a média, mediana e moda.
A média se divide em média aritmética simples, média aritmética ponderada, média geomé-
trica e média harmônica.
MÉDIA
É o valor – único – que “mais representa” de todos os valores envolvidos no estudo, é também 
‘dito’ o ponto de “equilíbrio” dos dados analisados.
ͫ	 Média aritmética simples (ou apenas: média)
É calculada pela soma de todos os valores disponíveis “dividido” pela quantidade de valores.
Ex.:
Qual a média do peso dos funcionários do setor de Atendimento da empresa A?
(Dados: no ROL: 50, 52, 55, 55, 55, 56, 60, 60)
ͫ	 Média aritmética ponderada
É calculada pela soma das multiplicações entre os valores e suas frequências “dividido” pela 
quantidade ‘total’ de valores.
ESTATÍSTICA - MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 3
Ex.:
Qual a média – ponderada – do peso dos funcionários do setor de Atendimento da empresa A?
(Dados: no ROL: 50, 52, 55, 55, 55, 56, 60, 60)
ͫ	 Média geométrica
É calculada pela “raiz” n-ésima do produto dos “n” termos.
Ex.:
Qual a média geométrica de 2, 4, 8, 16, 32?
ͫ	 Média harmônica
É calculada dividindo a quantidade de termos pela soma do inverso de cada um desses termos.
Exemplo:
Qual a média harmônica de 40 e 60?
Obs.:
A média aritmética é a que apresenta o maior valor dentre as três médias, a média harmônica 
é a que apresenta o menor valor e a média geométrica tem um valor intermediário.
4
MEDIANA
É o valor que ocupa a posição central nos dados analisados. É o valor do “meio” dos dados 
analisados.Obs.:
Quando a sequência tem uma quantidade ímpar de dados a mediana é o valor do “meio”, 
já quando a sequência tem uma quantidade par de dados a mediana será a média dos dois 
valores do “meio”.
Ex.:
Qual a mediana do peso dos funcionários do setor de Atendimento da empresa A?
(Dados: no ROL: 50, 52, 55, 55, 55, 56, 60, 60)
Md = (55+55)/2
Md = 55.
MODA
É o valor que mais aparece nos dados analisados, o valor mais comum dos dados.
Obs.:
Se dois valores aparecem com a mesma e maior frequência no conjunto de dados analisados, 
diz-se que os dados são bimodais.
Se são três ou mais os valores mais frequentes, então os dados são multimodais.
Caso os dados não tenham um valor que mais apareça dentre eles, então esses dados são 
amodais.
Ex.:
Qual a moda do peso dos funcionários do setor de Atendimento da empresa A?
(Dados: no ROL: 50, 52, 55, 55, 55, 56, 60, 60)
Mo = 55.
ESTATÍSTICA - MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 5
NA PRÁTICA
(FGV - 2022) Considere a lista de números:
7, 8, 6, 7, 3, 10, 7, 6, N
Sabendo que a média é igual à única moda, o valor de N é
a) 6.
b) 7.
c) 8.
d) 9.
e) 10.
(Quadrix - 2022) A tabela a seguir apresenta a temperatura máxima em determinada cidade, 
durante um período de 10 dias.
Com base nessa situação hipotética, julgue o item.
Não há moda nessa distribuição.
6
(Quadrix - 2022) A tabela a seguir apresenta a temperatura máxima em determinada cidade, 
durante um período de 10 dias.
Com base nessa situação hipotética, julgue o item.
A mediana desse conjunto de dados é igual a 27,5 ˚C.
(FGV - 2022)
Considere a seguinte lista de números:
9, 16, 13, 7, 9, 9, 20, 13
A soma da média com a mediana e com a moda é igual a
a) 28.
b) 29.
c) 30.
d) 31
e) 32.
ESTATÍSTICA - 
MEDIDAS DE 
DISPERSÃO
2
ESTATÍSTICA - MEDIDAS DE DISPERSÃO
MEDIDAS DESCRITIVAS
Na estatística, as medidas descritivas são usadas para analisar e interpretar os dados coletados 
da população ou da amostra.
Essas medidas são separadas em medidas de tendência central e medidas de dispersão.
MEDIDAS DE DISPERSÃO
As medidas de dispersão são usadas para observar a variação dos dados com relação à média 
desses dados, e mostram quais dados estão mais perto ou mais longe uns dos outros.
AMPLITUDE
É a diferença entre o valor do maior dado e o valor do menor dado estudados.
At = Xmaior – Xmenor
Ex.:
Qual a amplitude do peso dos funcionários do setor de Atendimento da empresa A?
(Dados: no ROL: 50, 52, 55, 55, 55, 56, 60, 60)
At = 60 – 50
At = 10.
VARIÂNCIA
Falar de variância é falar de desvio.
Desvio é a diferença entre os valores dos dados e a média dos dados. Logo, a variância é a 
média do quadrado dos desvios.
Quanto menor a variância, mais perto estão os dados uns dos outros, e quanto maior a variân-
cia, mais longe estão os dados uns dos outros.
Variância populacional calcula-se da seguinte forma:
Variância amostral calcula-se da seguinte forma:
ESTATÍSTICA - MEDIDAS DE DISPERSÃO 3
Ex.:
Qual a variância das idades dos alunos da pré-escola Anjos.
ROL: 3, 4, 5, 5, 6.
Media = (3+4+5+5+6)/5
Media = 23/5
Media = 4,6
Obs.:
Se forem somados K valores aos valores dos dados, a variância não se altera, em contrapartida, 
se forem multiplicados por K os valores dos dados, a variância fica multiplicada por K2.
DESVIO-PADRÃO
É a medida que determina o quanto os dados são próximos (uniformes). Quanto mais próximo 
do zero o desvio, mais os dados são parecidos (homogêneos).
O desvio-padrão é determinado pela raiz quadrada da variância.
Para a variância populacional:
Para a variância amostral:
Ex.:
Qual a desvio padrão das idades dos alunos da pré-escola Anjos.
ROL: 3, 4, 5, 5, 6.
Pela variância:
4
Obs.:
Se forem somados K valores aos valores dos dados, o desvio padrão não se altera, contudo, 
se forem multiplicados por K os valores dos dados, o desvio padrão fica multiplicada por K.
COEFICIENTE DE VARIAÇÃO
Chamado também de desvio-padrão relativo, é a razão entre o desvio-padrão e a média, e 
expresso em porcentagem (%).
Para dados populacionais:
CV = σ/x
Para dados amostrais:
CV = S/x
Ex.:
Qual o coeficiente de variação das idades dos alunos da pré-escola Anjos.
ROL: 3, 4, 5, 5, 6.
Media = x = 4,6
σ = 1,0198
CV = 1,0198/4,6
CV = 0,2217
CV = 22,17%
NA PRÁTICA
(FGV - 2022) A tabela abaixo apresenta as quantidades de funcionários de cinco confecções 
de roupas de uma determinada cidade.
Nesse sentido, é correto afirmar que a variância da quantidade de funcionários dessas con-
fecções é igual a:
a) 2.
b) 2,5.
c) 5.
d) 6.
e) 7.
ESTATÍSTICA - MEDIDAS DE DISPERSÃO 5
(Quadrix - 2022) A tabela a seguir apresenta a temperatura máxima em determinada cidade, 
durante um período de 10 dias.
Com base nessa situação hipotética, julgue o item.
O desvio-padrão desse conjunto de dados é superior a 4° C.
(CESPE - 2021) Com base em estatística, julgue o item a seguir.
Para um conjunto de dados x1, x2, …, xn quaisquer, a variância será sempre um número positivo.
(IESES - 2021) São Medidas de variabilidade ou dispersão, EXCETO:
a) Variância.
b) Percentil.
c) Amplitude.
d) Desvio Padrão.
Versão Condensada
RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO
Análise Combinatória - 
Definições, Fatorial e P.F.C
   2
A L F A C O N
Sumário
Análise Combinatória - Definições, Fatorial e P.F.C ..................................................... 3
1. Fatorial (!) ................................................................................................................................................................ 3
2. P.F.C (Princípio Fundamental da Contagem) ......................................................................................................... 3
3. Na prática ................................................................................................................................................................ 4
Análise Combinatória - Definições, Fatorial e P.F.C  3
A L F A C O N
Análise Combinatória - Definições, Fatorial e 
P.F.C
Análise combinatória é a disciplina dentro do RLM usada para “contar” ou “quantificar” de quantas maneiras deter-
minado evento pode acontecer sem que seja necessário demonstrar todas essas maneiras.
Ex.: Placas de automóveis
1. Fatorial (!)
Fatorial de um número – natural – é a multiplicação desse número por todos os seus antecessores em ordem até 
o número 1.
Ex.: 0! = 1
1! = 1
2! = 2∙1 = 2
3! = 3∙2∙1 = 6
4! = 4∙3∙2∙1 = 24
5! = 5∙4! = 5∙24 = 120
Outros exemplos:
2. P.F.C (Princípio Fundamental da Contagem)
O P.F.C é a técnica mais antiga da análise combinatória. Consiste basicamente na disposição dos dados, em quan-
tidade, e suas multiplicações ou somas, dependendo se esses dados estão ligados por E ou por OU.
Ex.:
Quantas números impares de 4 algarismos podemos formar?
Um executivo dispõe no seu guarda roupa de 5 ternos completos, 4 pares de sapatos, 8 camisas sociais e 6 calcas 
sociais. De quantas maneiras diferentes esse executivo pode se vestir?
Análise Combinatória - Definições, Fatorial e P.F.C  4
A L F A C O N
3. Na prática
1. (COPESE-UFPI - 2022) Uma pequena loja de roupas possui disponíveis três tipos de blusa, três tipos de bermuda 
e três tipos de calçados; os modelos de calçados disponíveis são tênis, sandália e alpargata. Lucas chegou à loja 
para comprar uma blusa, uma bermuda e um calçado, sabendo que em relação ao calçado, Lucas vai comprar uma 
alpargata ou um tênis. De quantas maneiras distintas Lucas pode realizar a sua compra?
a) 3
b) 6
c) 9
d) 12
e) 18
2. (QUADRIX - 2022) O cardápio de um restaurante apresenta quatro tipos de entrada, seis tipos de prato principal e 
três tipos de sobremesa. Para participar de determinada promoção nesse restaurante, cada cliente deverá escolher 
um item de cada uma dessas três categorias.
Com base nesse caso hipotético, julgue o item.
Há menos de setenta formas de um cliente participante da promoção escolher seus pratos.
3. (IBFC - 2022) A senha de um banco é formada por três consoantes distintas, considerandoo alfabeto de 26 letras. 
Nessas condições, o total de senhas possíveis de serem formadas é igual a:
a) 1330
b) 7980
c) 3990
d) 15600
Análise Combinatória - Definições, Fatorial e P.F.C  5
A L F A C O N
4. (QUADRIX - 2022) O número que permanece igual quando lido de trás para a frente é chamado de palíndromo. 
Considerando essa informação, é correto afirmar que existem
a) 72 números naturais palíndromos de 3 dígitos.
b) 81 números naturais palíndromos de 3 dígitos.
c) 90 números naturais palíndromos de 3 dígitos.
d) 100 números naturais palíndromos de 3 dígitos.
5. (AGIRH - 2022) Considere o sistema de placas veiculares formadas por 3 letras entre as 26 do alfabeto, seguidas 
de 4 algarismos entre os 10 algarismos de 0 a 9. Quantas placas palíndromo distintas poderão ser construídas 
seguindo esse modelo?
a) 58.500 placas
b) 66.700 placas
c) 172.600 placas
d) 110.600 placas
6. (UFES - 2021) A quantidade de números inteiros positivos de 4 algarismos distintos, sendo que os 4 algarismos não 
são todos pares e nem são todos ímpares, é igual a
a) 3840
b) 4130
c) 4320
d) 4410
e) 4480
Versão Condensada
RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO
Análise Combinatória - 
Arranjos, Combinações e 
Permutações
   2
A L F A C O N
Sumário
Análise Combinatória - Arranjos, Combinações e Permutações ��������������������������������� 3
1� Arranjo ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 3
2� Combinação ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 3
3� Permutação ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 3
4� Na prática ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 4
Análise Combinatória - Arranjos, Combinações e Permutações  3
A L F A C O N
Análise Combinatória - Arranjos, 
Combinações e Permutações
As técnicas que veremos agora são usadas quando os elementos não se repetem, importando saber se a ordem 
desses elementos gera resultados diferentes ou não.
1. Arranjo
É a técnica de contagem usada quando a ordem dos elementos envolvidos no cálculo gera resultados diferentes 
(ordem FAZ diferença).
Calculamos o arranjo pela formula:
An,p = n!/(n – p)!
Em que n = todos os elementos disponíveis para serem usados, p = elementos utilizados.
Exemplo: classificação de 1º, 2º, e 3º lugares.
Obs�: as questões de Arranjo podem ser resolvidas por P.F.C
2. Combinação
É a técnica de contagem usada quando a ordem dos elementos envolvidos no cálculo não gera resultados diferentes 
(ordem NÃO FAZ diferença).
Calculamos a combinação pela formula:
Cn,p = n!/p!∙(n – p)!
Em que n = todos os elementos disponíveis para serem usados, p = elementos utilizados.
Exemplo: grupos ou comissões sem cargos ou funções definidas.
3. Permutação
É a técnica de contagem usada quando são ORGANIZADOS TODOS os elementos, logo a ordem dos elementos 
gera resultados diferentes. A diferença da permutação para o arranjo é que no arranjo não são usados todos os 
elementos, já na permutação são usados e “organizados” todos os elementos.
Calculamos a permutação pela formula:
Pn = n!
Em que n = todos os elementos disponíveis para serem usados.
Exemplo: anagramas de palavras (anagrama = reorganização de todas as letras de uma palavra para formar novas 
palavras).
Obs.: a permutação é um arranjo, mas com a especificidade de utilizar TODOS os elementos.
Análise Combinatória - Arranjos, Combinações e Permutações  4
A L F A C O N
4. Na prática
(AMAUC - 2022)
Uma turma de 10 amigas vai brincar de pular corda, então precisam formar trios para ordenar as jogadas, pois duas 
batem a corda enquanto uma pula. De quantas maneiras diferentes esses trios podem ser formados?
a) Esses trios podem ser formados de 219 maneiras diferentes.
b) Esses trios podem ser formados de 120 maneiras diferentes.
c) Esses trios podem ser formados de 237 maneiras diferentes.
d) Esses trios podem ser formados de 480 maneiras diferentes.
e) Esses trios podem ser formados de 351 maneiras diferentes.
(UPENET/IAUPE - 2022)
Para compor a Comissão de Ética em um setor de hospital, é necessário escolher três médicos, um representante 
da administração e dois representantes dos servidores. Existem, nesse setor do hospital, cinco médicos, dois 
administradores e dez servidores.
De quantas formas distintas podemos, nestas condições, compor a Comissão de Ética?
a) 6
b) 100
c) 900
d) 1.800
e) 3.600
(Instituto Access - 2022)
Seis amigos se posicionam, um ao lado do outro, para tirar uma foto.
Entre eles, estão Adão e Eva. O fotógrafo pediu para que os seis amigos se posicionassem para a foto de modo 
que Adão ficasse separado de Eva.
O número de maneiras de isso ocorrer é
a) 600.
b) 560.
c) 540.
d) 480.
Análise Combinatória - Arranjos, Combinações e Permutações  5
A L F A C O N
(AMEOSC - 2022)
Na eleição para a mesa diretora de um clube, doze pessoas se candidataram para as vagas de presidente, vice-
-presidente, primeiro secretário, segundo secretário e tesoureiro. De quantas maneiras distintas essa mesa pode 
ser formada?
a) Essa mesa pode ser formada de 95.040 maneiras distintas.
b) Essa mesa pode ser formada de 79.413 maneiras distintas.
c) Essa mesa pode ser formada de 48.298 maneiras distintas.
d) Essa mesa pode ser formada de 82.370 maneiras distintas.
(QUADRIX - 2022)
Quanto aos anagramas da palavra EUFORIA, julgue o item.
Podem ser formados 5.040 anagramas.
(QUADRIX - 2022)
Para a realização de uma dinâmica de grupo, deseja-se selecionar 6 pessoas de um conjunto de 10 pessoas (entre 
elas Anderson e Bárbara).
Com base nessa situação hipotética, julgue o item.
Se Anderson e Bárbara são um casal inseparável, essa dinâmica de grupo pode ser realizada de 98 maneiras distintas.
Versão Condensada
RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO
Análise Combinatória - 
Casos Especiais
   2
A L F A C O N
Sumário
Análise Combinatória - Casos Especiais ����������������������������������������������������������������������3
1� Combinação com Repetição ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 3
2� Permutação com Repetição ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 3
3� Permutação Circular ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 3
4� Na prática ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 4
Análise Combinatória - Casos Especiais  3
A L F A C O N
Análise Combinatória - Casos Especiais
1. Combinação com Repetição
É a técnica de contagem usada quando a ordem dos elementos envolvidos no cálculo não gera resultados diferentes 
(ordem NÃO FAZ diferença), mas temos elementos repetidos.
Calculamos a combinação com repetição pela formula:
Cr(n,p) = (n+p-1)!/p!∙(n – 1)!
Em que n = todos os elementos disponíveis para serem usados, p = elementos utilizados.
Exemplo: montar uma banana split.
2. Permutação com Repetição
É a técnica de contagem usada quando são ORGANIZADOS TODOS os elementos, logo a ordem dos elementos gera 
resultados diferentes, e temos repetição dos elementos.
Calculamos a permutação com repetição pela formula:
Pn
a,b,c,��� = n!/a!∙b!∙c!...
Em que n = todos os elementos disponíveis para serem usados, a e b e c são as quantidades de elementos que se 
repetem
Exemplo: anagramas de palavras (anagrama = reorganização de todas as letras de uma palavrapara formar novas 
palavras).
3. Permutação Circular
É a técnica de contagem usada quando são ORGANIZADOS TODOS os elementos “ao redor de” ou “em torno de”. A 
ideia presente na permutação circular é de que os elementos giram, mas não necessariamente munda de posição.
Na permutação circular o que interessa é a mudança de posição, não a mudança de lugar.
Calculamos permutação circular pela formula:
Pc(n) = (n – 1)!
Em que n = todos os elementos disponíveis para serem usados.
Exemplo: mesa do bar.
Análise Combinatória - Casos Especiais  4
A L F A C O N
4. Na prática
(UFRJ - 2022)
Um grupo composto por seis Assistentes em Administração estava em uma sala de reunião mobiliada com uma 
mesa para analisar diversos Termos de Compromisso de Estágio de alunos de graduação de uma unidade acadê-
mica da UFRJ, a fim de verificar se esses documentos atendiam a todos os requisitos previstos nas normas legais 
que regulamentam e autorizam a realização do estágio. Nesse cenário em que todos dispunham de uma cadeira, o 
número de maneiras que esses servidores podem se sentar em torno dessa mesa é:
a) 480
b) 720
c) 120
d) 60
e) 360
(FGV - 2022)
O número de anagramas da palavra ASSADO que não têm as 2 letras S juntas é:
OBS.: Anagramas de uma palavra são as permutações das letras dessa palavra.
a) 720;
b) 360;
c) 120;
d) 84;
e) 72.
Análise Combinatória - Casos Especiais  5
A L F A C O N
(QUADRIX - 2022)
Uma família composta de 6 pessoas, que são os pais e seus quatro filhos, visitou uma feira gastronômica realizada 
na cidade de Tijucas do Sul. Lá chegando, eles ocuparam uma mesa redonda de 6 lugares, sendo que os pais 
informados juntos, lado a lado.
Com base nesse caso hipotético, é correto afirmar que os membros da família podem se sentar em torno da mesa, 
de modo que o pai e a mãe sempre ficassem juntos, de
a) 24 modos diferentes.
b) 48 modos diferentes.
c) 72 modos diferentes.
d) 120 modos diferentes.
e) 720 modos diferentes.
(CESPE/CEBRASPE - 2022)
Julgue os itens que se seguem, a respeito de contagem, probabilidade e estatística.
Considere que três amigos farão uma dinâmica de grupos e precisarão se sentar em uma roda com outras 5 pessoas. 
Considere ainda que os três amigos fazem questão de ficarem juntos. Nessa situação, a roda poderá ser formada 
de 720 maneiras distintas, sem haver repetição das posições.
(QUADRIX - 2022)
Bárbara quer comprar 10 croissants em uma padaria onde há 3 tipos de croissant (presunto e queijo, pera com 
gorgonzola e chocolate).
Com base nessa situação hipotética, é correto afirmar que ela poderá fazer isso de
a) 44 maneiras distintas.
b) 55 maneiras distintas.
c) 66 maneiras distintas.
d) 77 maneiras distintas.
e) 88 maneiras distintas.
Análise Combinatória - Casos Especiais  6
A L F A C O N
(QUADRIX - 2022)
Gustavo está perdidamente apaixonado por Rafaela e, para demonstrar o seu amor, escreveu, sequencialmente, o 
nome dela 2.022 vezes em uma folha de cartolina.
Com base nessa situação hipotética, julgue os itens.
O número de anagramas da palavra RAFAELA é igual a 840.
Versão Condensada
RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO
Probabilidade - Conceitos 
e Cálculos
   2
A L F A C O N
Sumário
Probabilidade - Conceitos e Cálculos ���������������������������������������������������������������������������3
1. conceitos ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 3
1.1 Experimento Aleatório ........................................................................................................................................................ 3
1.2 Espaço Amostral (Ω) ou (U) .............................................................................................................................................. 3
1.3 Evento .................................................................................................................................................................................. 3
2. Calculo da Probabilidade ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 3
2.1 Probabilidade Complementar ........................................................................................................................................... 3
3. Na prática ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 4
Probabilidade - Conceitos e Cálculos  3
A L F A C O N
Probabilidade - Conceitos e Cálculos
Probabilidade é a CHANCE de algo acontecer.
1. conceitos
1.1 Experimento Aleatório
É o experimento que pode ser feito repetidas vezes sob as mesmas condições e ainda assim o resultado não tem 
como garantir.
Ex.: moeda, dado e baralho
Obs.: pode-se ate acertar o resultado, mas nunca garantir o resultado
1.2 Espaço Amostral (Ω) ou (U)
São todos os resultados possíveis para o experimento aleatório.
1.3 Evento
Parte do espaço amostral que se quer determinar a chance de acontecer.
2. Calculo da Probabilidade
A probabilidade é calculada pela razão (divisão) entre o evento e o espaço amostral, em outras palavras, o que se 
QUER dividido por TUDO que se TEM.
Ex.: chance de retirar uma “letra” do baralho.
Obs.1: os resultados da probabilidade são expressos em fração, decimal ou porcentagem.
Obs.2: os resultados da probabilidade variam de 0 a 1 (ou de 0% a 100%). Quando a probabilidade é 0 (0%) diz-se 
que o evento é impossível (a chance de ter um número no alfabeto). Quando a probabilidade é 1 (100%) diz-se que 
o evento é certo ou garantido (a chance de ter uma letra no alfabeto)
2.1 Probabilidade Complementar
A chance de um evento ACONTECER somado a chance desse evento NÃO ACONTECER é sempre igual a 1 ou a 100%.
PA + PA’ = 1 (100%)
Ex.: chance de retirar um “número” do baralho.
Probabilidade - Conceitos e Cálculos  4
A L F A C O N
Obs.: a probabilidade complementar é bem importante em questões que os dados disponíveis são para calcular a 
chance de algo acontecer, mas o pedido da questão é desse algo não acontecer.
3. Na prática
(Instituto UniFil - 2022)
Considerando que dois dados, não viciados, foram lançados ao mesmo tempo, assinale a alternativa que representa 
a probabilidade de dois números iguais ficarem voltados para cima.
a) 10,30%
b) 12,56%
c) 16,67%
d) 18,10%
(OBJETIVA - 2022)
Em uma urna, há 7 bolas azuis, 8 bolas amarelas, 6 bolas verdes e 9 bolas brancas. Sorteando-se, ao acaso, uma 
das bolas dessa urna, a probabilidade de, na primeira retirada, ela sair verde é de:
a) 1/6
b) 1/5
c) 1/4
d) 1/2
Probabilidade - Conceitos e Cálculos  5
A L F A C O N
(COPESE-UFPI - 2022)
Em uma pesquisa, 847 professores de Matemática e 597 professores de Física especificaram qual sua atividade 
favorita: Pesquisa ou Ensino. O resultado pode ser visto na tabela abaixo. Com base nessa tabela, pode-se afirmar 
que a probabilidade de escolher, aleatoriamente, dentre todos os professores, um professor de Física cuja atividade 
favorita seja ensinar é, aproximadamente:
a) 0,26
b) 0,53
c) 0,62
d) 0,89
e) 1
(QUADRIX - 2022)
Uma loja de doces decidiu fazer uma grande liquidação e, para isso, estabeleceu que seria possível comprar duas 
jujubas pelo preço de uma e 3 pirulitos pelo preço de 1, mas o chiclete não entraria na promoção. O preço original 
de cada doce era de R$ 1,00 e Léo foi para a loja com R$ 5,00. Sabe-se que a chance de ele escolher cada um dos 
doces é igual, que doces iguais são indistinguíveis e que ele saiu com pelo menos 1 doce.
Com base nesse caso hipotético, julgue o item.
Se Léo tiver levado para casa 1 chiclete, duas jujubas e 3 pirulitos, então a probabilidade de ele retirar aleatoriamente 
uma jujuba de sua mochila é de 1/3.
(IBFC - 2022)
Considere as letras da palavra “COMBINATÓRIA”, então se tivesse que se escolher uma única letra, a probabilidadede ela ser a letra A é, aproximadamente igual a:
a) 23%
b) 32%
c) 17%
d) 13%
Probabilidade - Conceitos e Cálculos  6
A L F A C O N
(UNIOESTE - 2022)
Você comprou 6 rifas de um sorteio com 200 números. Será sorteado apenas 1 número. Qual é a sua chance de 
ser sorteado?
a) 0%
b) 1%
c) 2%
d) 3%
e) 10%
(AGIRH - 2022)
Uma sala de aula tem 8 meninos e 12 meninas. Ao escolher um aluno ao acaso para ser o representante, qual é a 
probabilidade desse aluno ser um menino?
a) 2/3
b) 3/2
c) 2/5
d) 3/5
(AMEOSC - 2022)
Um sorteio será feito na empresa onde Heitor, sua esposa e seus dois filhos trabalham. Se, contando com eles, 250 
funcionários participaram do sorteio, qual é a probabilidade deste prêmio ir para a casa deles?
a) A probabilidade é de 2,3%.
b) A probabilidade é de 7%.
c) A probabilidade é de 1,6%.
d) A probabilidade é de 4,5%.
Versão Condensada
RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO
Probabilidade - Casos 
Especiais
   2
A L F A C O N
Sumário
Probabilidade - Casos Especiais �����������������������������������������������������������������������������������3
1. Eventos Independentes e Eventos Sucessivos ������������������������������������������������������������������������������������������������������ 3
2. Probabilidade Condicional �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 3
3. Probabilidade da União de Eventos ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 3
4� Probabilidade Binomial ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 4
5. Na prática ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 4
Probabilidade - Casos Especiais  3
A L F A C O N
Probabilidade - Casos Especiais
1. Eventos Independentes e Eventos Sucessivos
Em muitas questões acontece de serem calculadas mais de uma probabilidade pelos eventos pedidos.
Quando os eventos estiverem ligados por E devemos MULTIPLICAR essas probabilidades, já quando os eventos 
estiverem ligados por OU devemos SOMAR as probabilidades.
Os eventos, quando se calcula mais de uma probabilidade, em regra, são sucessivos ou independentes, e nisso o 
que pode implicar é uma variação dos valores de eventos e espaços amostrais.
Quando os eventos são independentes e sucessivos em regra o espaço amostral não muda. Já quando os eventos 
sucessivos não são independentes há que se vislumbrar uma diminuição do espaço amostral.
Ex.1: ao jogar um dado e retirar uma carta do baralho, qual a probabilidade de ser um número primo e uma letra?
Ex.2: ao retirar duas cartas do baralho, qual a probabilidade das duas cartas serem letras?
Obs.: pode acontecer dos eventos serem mutuamente excludentes, e quando for assim, ao acontecer um dos 
eventos o outro não poderá acontecer.
2. Probabilidade Condicional
Probabilidade condicional é a probabilidade de um evento acontecer sabendo que a aconteceu outro evento antes.
Em termos práticos o que ocorre é uma redução do espaço amostral devido a “condição” imposta.
A fórmula para o cálculo da probabilidade condicional é:
PA/B = PA∩B/PB
Em que PA/B = probabilidade de acontecer o evento A sabendo que aconteceu o evento B; PA∩B = probabilidade dos 
eventos A e B; PB = probabilidade do evento B.
Obs.: não se prenda a fórmula, lembre-se da redução do espaço amostral.
Ex.: qual a probabilidade de ao retirar uma carta do baralho e ela ser uma letra sabendo que é uma carta vermelha?
3. Probabilidade da União de Eventos
Também chamada da probabilidade do “OU”.
É a probabilidade de acontecer um evento, OU outro evento, OU os dois eventos.
A fórmula do cálculo dessa probabilidade é:
P(A ou B) = PA + PB – P(A e B)
Em que P(A ou B) = probabilidade de acontecer o evento A OU o evento B; P(A e B) = probabilidade de acontecer o evento 
A E o evento B; PA = probabilidade do evento A; PB = probabilidade do evento B.
Ex.: qual a probabilidade de escolher um algarismo e esse ser impar ou primo?
Probabilidade - Casos Especiais  4
A L F A C O N
4. Probabilidade Binomial
Também chamada da probabilidade do “sucesso”.
É a probabilidade de um determinado evento especifico acontecer, uma quantidade determinada de vezes, como 
sucesso, dentre todas as vezes que o evento acontece.
A fórmula do cálculo dessa probabilidade é:
P = Cn,s ∙ PsS ∙ PfF
Em que C = combinação; n = número de repetições do evento; S = quantidade de sucessos do evento; F = quanti-
dade de insucessos do evento; Ps = probabilidade do sucesso do evento; Pf = probabilidade do insucesso do evento.
Ex.: ao lançar uma moeda 7 vezes, qual a probabilidade dos resultados apresentar 3 caras?
5. Na prática
(FUNDATEC - 2022)
Um cliente chega em uma padaria onde tem 20 pães, sendo 6 deles do dia anterior e 10 sucos, sendo 2 deles ven-
cidos. A probabilidade desse cliente comprar um pão do dia e um suco dentro da validade é de:
a) 1/2.
b) 12/20.
c) 14/25.
d) 3/2.
e) 6/8.
(FGV - 2022)
ALESSANDRA escreveu em 10 cartões diferentes cada uma das 10 letras do seu nome e colocou esses cartões em 
uma urna. A seguir, ela retirou, aleatoriamente e em sequência, 3 cartões da urna.
A probabilidade de que ALESSANDRA tenha retirado os 3 cartões com a letra “A” é:
a) 1/120;
b) 7/120;
c) 1/40;
d) 3/10;
e) 3/7.
Probabilidade - Casos Especiais  5
A L F A C O N
(QUADRIX - 2022)
Em uma equipe de competição de jiu-jitsu, há 6 faixas brancas, 1 faixa azul, 4 faixas roxa, 2 faixas marrons e 1 faixa 
preta.
Com base nessa situação hipotética, julgue o item.
Suponha-se que um competidor tenha sido selecionado ao acaso. Nesse caso, sabendo-se que ele não é faixa 
branca, a probabilidade de ele ser faixa preta é de 6,25%.
(QUADRIX - 2022)
A probabilidade de o canal Math4ever publicar um novo vídeo é de 0,1, todo dia.
Com base nesse caso hipotético, é correto afirmar que, em um período de quatro dias, a probabilidade de apenas 
um vídeo ter sido lançado é de
a) 7,29%.
b) 20%.
c) 29,16%.
d) 34,39%.
e) 65,61%.
(CESPE - 2022)
Julgue os itens que se seguem, a respeito de contagem, probabilidade e estatística.
Considere que seja preciso comprar duas peças p1 e p2 para um projeto de satélite. Considere ainda que a probabi-
lidade de ter a peça p1 no estoque na distribuidora é de 1/3 e a probabilidade de ter a peça p2 no estoque na mesma 
distribuidora é de 3/5. Nesse caso, a probabilidade de que pelo menos uma das peças esteja no estoque é de 11/15.
Versão Condensada
RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO
Sequências Numéricas 
- Conceitos, Leis de 
Formação e Curiosidades
   2
A L F A C O N
Sumário
Sequências Numéricas - Conceitos, Leis de Formação e Curiosidades ���������������������� 3
1. Conceitos ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 3
1.1 Sequência............................................................................................................................................................................. 3
1.2 Sequências Numéricas ...................................................................................................................................................... 3
2. Lei de Formação de uma Sequência ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 3
3. Curiosidades das SequÊncias �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 4
4. Na prática ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 4
Sequências Numéricas - Conceitos, Leis de Formaçãoe Curiosidades  3
A L F A C O N
Sequências Numéricas - Conceitos, Leis de 
Formação e Curiosidades
1. Conceitos
1.1 Sequência
Sequência é continuação, a partir de algo que já teve um início, seguindo o padrão estabelecido.
1.2 Sequências Numéricas
São as sequências em que os elementos são números, definidos e organizados por uma lei de formação.
Ex.: 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, ...
Nas sequências numéricas os termos são representados por:
a1 = 1º termo;
a2 = 2º termo;
an = Último termo (ou termo geral).
(a1, a2, a3, a4, ..., an) Sequência finita.
(a1, a2, a3, a4, ..., an, ...) Sequência infinita.
2. Lei de Formação de uma Sequência
As leis de formação de uma sequência é o que define como será a sequência. As leis de formação pode ser as mais 
diversas possíveis.
Ex.: a sequência definida pela lei an = 2∙an-1 + 1, com “n” ϵ N, “n” ≥ 2 e a1 = 1, cujo an é o termo que ocupa a n-ésima 
posição na sequência é:
a1 = 1
Para n = 2: a2 = 3,
Para n = 3: a3 = 7,
Para n = 4: a4 = 15,
Para n = 5: a5 = 31,
E assim sucessivamente.
Sequências Numéricas - Conceitos, Leis de Formação e Curiosidades  4
A L F A C O N
3. Curiosidades das SequÊncias
Algumas sequências são bem famosas e bastante conhecidas.
A sequência de Fibonacci é uma sequência que a partir do 3º termo seus termos são a soma dos dois termos 
antecessores, logo, o 3º termo é a soma do 1º com o 2º, o 4º termo é a soma do 2º com o 3º, o 5º termo é a soma 
do 3º com o 4º, e assim por diante.
Ex.:
1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...
2, 2, 4, 6, 10, 16, 26, 42, 68, 110, ...
As progressões, aritméticas e geométricas, também são sequencias com características bem especificas. Nas P.A 
(progressões aritméticas) os termos são obtidos por somas ou subtrações de uma parcela fixa. Já nas P.G (pro-
gressões geométricas) os termos são obtidos por multiplicações ou divisões.
Ex.:
P.A: 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, ...
P.G: 5, 15, 45, 135, 405, ...
P.A e P.G ao mesmo tempo: 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...
4. Na prática
(VUNESP - 2022)
Considere a sequência de infinitos termos (8, 10, 70, 74, 690, 696, 6890, 6898, …), que segue um padrão definido pela 
posição em que cada elemento, do segundo em diante, se encontra. O décimo segundo elemento dessa sequência é
a) 688902.
b) 68992.
c) 69700.
d) 690700.
e) 689762.
(OBJETIVA - 2022)
A sequência abaixo foi criada seguindo certo padrão. Sendo assim, assinalar a alternativa que apresenta o próximo 
termo dessa sequência, de modo que o padrão seja mantido:
3, 9, 12, 36, 39, 117, 120, 360, ?
a) 361
b) 363
c) 930
d) 1.080
Sequências Numéricas - Conceitos, Leis de Formação e Curiosidades  5
A L F A C O N
(VUNESP - 2022)
A sequência numérica: 1000, 900, 801, 703, 606, 510, …, foi criada com um padrão. O número 92 não faz parte dessa 
sequência. O número da sequência que é mais próximo do número 92 ocupa, na sequência, a posição de número
a) 8.
b) 11.
c) 9.
d) 12.
e) 10.
(VUNESP - 2022)
A sequência a seguir foi criada com um padrão lógico e é ilimitada.
1, 3, 5, 7, 10, 11, 13, 15, 17, 20, 21, 23, 25, 27, 30, 31, 33, 35, 37, 40, 41, …
Identifique os seguintes números que pertencem a esta sequência:
•  O número que antecede o 90.
•  O número que é o sucessor do 127.
•  O número que antecede o 503.
A soma desses três números identificados apresenta como algarismo da unidade, o algarismo
a) 9.
b) 6.
c) 3.
d) 1.
e) 8.
(IBADE - 2022)
A sequência numérica a seguir segue um padrão lógico matemático.
O próximo elemento da sequência é:
1 - 4 - 27 - 256 - …
a) 512.
b) 3.125.
c) 1.024.
d) 625.
e) 2.048.
Sequências Numéricas - Conceitos, Leis de Formação e Curiosidades  6
A L F A C O N
(Avança SP - 2022)
Observe a sequência de números abaixo:
Qual será o próximo número dessa sequência?
a) 65.
b) 68.
c) 72.
d) 79.
e) 81.
Versão Condensada
RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO
Sequências Numéricas 
- P.A (Progressão 
Aritmética)
   2
A L F A C O N
Sumário
Sequências Numéricas - P.A (Progressão Aritmética) ................................................. 3
1. Definição .................................................................................................................................................................. 3
1.1 representação de uma P.a genérica ................................................................................................................................. 3
2. Termo Geral da P.A .................................................................................................................................................. 3
3. Soma dos termos da P.A ......................................................................................................................................... 4
4. Propriedades das P.A .............................................................................................................................................. 4
4.1 Termos equidistantes ......................................................................................................................................................... 4
4.2 média aritmética ................................................................................................................................................................ 4
5. Interpolação Aritmética .......................................................................................................................................... 4
6. Na prática ................................................................................................................................................................ 5
Sequências Numéricas - P.A (Progressão Aritmética)  3
A L F A C O N
Sequências Numéricas - P.A (Progressão 
Aritmética)
1. Definição
Progressão aritmética é toda sequência numérica em que de um termo para outro ocorre uma soma (ou subtração) 
por uma parcela fixa e constante chamada de razão (r).
Ex.:
3, 7, 11, 15, 19, 23, ...
28, 24, 20, 16, 12, 8, ...
4, 4, 4, 4, 4, 4, ...
As P.A podem ser crescentes, decrescentes ou constantes.
Obs.: para achar a razão basta subtrair um termo – a partir do segundo – pelo seu antecessor.
1.1 representação de uma P.a genérica
Com 3 termos:
a – r , a , a + r
Com 4 termos:
a – 3r , a – r, a + r, a + 3r
Com 5 termos:
a – 2r , a – r, a, a + r, a + 2r
2. Termo Geral da P.A
Para achar o termo geral – qualquer termo – da P.A, conhecendo algum termo e a razão da P.A, basta utilizar a 
formula do termo geral da P.A.
an = a1 + (n – 1)∙r
Em que:
an = termo que se quer determinar (ou termo dado na questão)
a1 = primeiro termo da P.A
n = posição do termo a ser determinado (ou dado na questão)
r = razão da P.A
Ex.: qual o 8º termo da P.A em que o 3º termo é 10 e a razão é 3?
Sequências Numéricas - P.A (Progressão Aritmética)  4
A L F A C O N
3. Soma dos termos da P.A
Para somar os termos da P.A devemos conhecer o primeiro termo o ultimo termo e a quantidade de termos. Com 
essas informações usa-se a formula:
Sn = (a1 + an)∙n/2
Em que:
Sn = soma dos “n” termos de uma P.A
an = último termo da P.A
a1 = primeiro termo da P.A
n = quantidade de termos da P.A
Ex.: qual a soma dos 8 primeiros termos da P.A em que o 3º termo é 10 e a razão é 3?
4. Propriedades das P.A
4.1 Termos equidistantes
A soma de termos equidistantes (mesma distância do referencial) é sempre igual.
Ex.: 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32, 35, ...
4.2 média aritmética
Qualquer termo – a partir do segundo – é a média aritmética do seu antecessor e seu sucessor.
Ex.: 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32, 35, ...
5. Interpolação Aritmética
Interpolar significa “colocar entre”.
Interpolação aritmética é colocar termos entre termos já conhecidos, de modo que a sequência formada pelos 
números seja uma P.A.
Para fazer a interpolação é necessário o uso da fórmula do termo geral da P.A.
Ex.: interpolar 4 termos entre o 5 e o 25 de modo que a sequência formada seja uma P.A.
Sequências Numéricas - P.A (Progressão Aritmética)5
A L F A C O N
6. Na prática
(OBJETIVA - 2022)
Dada a PA (11, 14, 17, 20, ...), assinalar a alternativa que apresenta a soma dos 15 primeiros termos:
a) 180
b) 280
c) 380
e) 480
(VUNESP - 2022)
Os elementos de uma sequência são tais que, do segundo elemento em diante, cada um é igual ao anterior somado 
a uma constante positiva r. Sabendo que essa sequência tem 100 números e que os dois menores elementos são 
iguais a –21 e –16, o valor da soma de r com o maior termo dessa sequência é igual a
a) 479.
b) 464.
c) 469.
d) 484.
e) 474.
(UFPR - 2022)
Uma pessoa montou uma sequência de figuras, de modo que os 3 passos iniciais são:
A cada passo, ela sempre acrescenta a mesma quantidade de bolinhas à figura seguinte. Então, no passo 11, a figura 
terá quantas bolinhas?
Sequências Numéricas - P.A (Progressão Aritmética)  6
A L F A C O N
a) 31.
b) 33.
c) 34.
d) 36.
e) 37.
(AMEOSC - 2022)
Em uma dinâmica utilizada para ensinar progressão aritmética, a professora Joana formou uma fila com 4 de seus 
33 alunos e deu a cada um, do primeiro para o quarto, uma plaquinha com os números (2, 5, 8, 11, ...). Desta forma, 
se ela colocar todos os alunos nessa fila, qual será o número da plaquinha do último deles?
a) O número da plaquinha do último deles será 76.
b) O número da plaquinha do último deles será 53.
c) O número da plaquinha do último deles será 109.
d) O número da plaquinha do último deles será 98.
(OBJETIVA - 2022)
Três números formam uma PA de razão 3 cuja soma é igual a 18. Nessas condições, o termo central é igual a:
a) 12
b) 9
c) 6
d) 3
Versão Condensada
RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO
Sequências Numéricas 
- P.G (Progressão 
Geométrica)
   2
A L F A C O N
Sumário
Sequências Numéricas - P.G (Progressão Geométrica) ............................................... 3
1. Definição .................................................................................................................................................................. 3
1.1 representação de uma P.G genérica................................................................................................................................. 3
2. Termo Geral da P.G .................................................................................................................................................. 3
3. Soma dos termos da P.G Finita ............................................................................................................................... 4
4. Soma dos termos da P.G inFinita ............................................................................................................................ 4
5. Propriedades das P.G .............................................................................................................................................. 4
5.1 Termos equidistantes ......................................................................................................................................................... 4
5.2 média geométrica .............................................................................................................................................................. 4
6. Interpolação Geométrica ........................................................................................................................................ 5
7. Produto dos termos da P.G ...................................................................................................................................... 5
8. Na prática ................................................................................................................................................................ 5
Sequências Numéricas - P.G (Progressão Geométrica)  3
A L F A C O N
Sequências Numéricas - P.G (Progressão 
Geométrica)
1. Definição
Progressão geométrica é toda sequência numérica em que de um termo para outro ocorre uma multiplicação (ou 
divisão) por uma parcela fixa e constante chamada de razão (q).
Ex.:
3, 12, 48, 192, ...
27, 9, 3, 1/3, 1/9, ...
7, 7, 7, 7, 7, 7, ...
4, -12, 36, -108, 324, ...
As P.G podem ser crescentes, decrescentes, constantes ou oscilante.
Obs.: para achar a razão basta dividir um termo – a partir do segundo – pelo seu antecessor.
1.1 representação de uma P.G genérica
Com 3 termos:
a/q , a , a∙q
2. Termo Geral da P.G
Para achar o termo geral – qualquer termo – da P.G, conhecendo algum termo e a razão da P.G, basta utilizar a 
formula do termo geral da P.G.
an = a1∙q(n – 1)
Em que:
an = termo que se quer determinar (ou termo dado na questão)
a1 = primeiro termo da P.G
n = posição do termo a ser determinado (ou dado na questão)
q = razão da P.G
Ex.: qual o 7º termo da P.G em que o 2º termo é 12 e a razão é 2?
Sequências Numéricas - P.G (Progressão Geométrica)  4
A L F A C O N
3. Soma dos termos da P.G Finita
Para somar os termos da P.G finita devemos conhecer o primeiro termo, a quantidade de termos e a razão da P.G. 
Com essas informações usa-se a formula:
Sn = a1∙(qn – 1)/(q – 1)
Em que:
Sn = soma dos “n” termos de uma P.G
a1 = primeiro termo da P.G
n = quantidade de termos da P.G
q = razão da P.G
Se for conhecido ou determinado o ultimo termo da P.G pode-se usar a seguinte formula também:
Sn = (an∙q – a1)/(q – 1)
Em que:
an = último termo da P.G
Ex.: qual a soma dos 7 primeiros termos da P.G em que o 2º termo é 10 e a razão é 2?
4. Soma dos termos da P.G inFinita
Uma P.G é infinita quando a razão está entre 0 e 1 (0 < q < 1)
Para somar os termos da P.G infinita devemos conhecer o primeiro termo e a razão da P.G. Com essas informações 
usa-se a formula:
Sn = a1/(1 – q)
Em que:
Sn = soma dos termos da P.G
a1 = primeiro termo da P.G
q = razão da P.G
Ex.: qual a soma dos termos da P.G: 25, 5, 1, 1/5, 1/25, ...?
5. Propriedades das P.G
5.1 Termos equidistantes
O produto de termos equidistantes (mesma distância do referencial) é sempre igual.
Ex.: 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, ...
5.2 média geométrica
Qualquer termo – a partir do segundo – é a média geométrica do seu antecessor e seu sucessor.
Ex.: 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, ...
Sequências Numéricas - P.G (Progressão Geométrica)  5
A L F A C O N
6. Interpolação Geométrica
Interpolar significa “colocar entre”.
Interpolação geométrica é colocar termos entre termos já conhecidos, de modo que a sequência formada pelos 
números seja uma P.G.
Para fazer a interpolação é necessário o uso da fórmula do termo geral da P.G.
Ex.: interpolar 3 termos entre o 6 e o 486 de modo que a sequência formada seja uma P.G.
7. Produto dos termos da P.G
Para calcular o produto dos termos de uma P.G usa-se a formula:
Pn = ±√(a1∙an)n
Em que:
Pn = produto dos “n” termos de uma P.G
a1 = primeiro termo da P.G
an = último termo da P.G
n = quantidade de termos da P.G
Ex.: qual o produto dos termos da P.G: 5, 10, 20, 40?
8. Na prática
(MetroCapital Soluções - 2022)
Considere a sequência numérica presente na seguinte figura:
É correto afirmar que os valores numéricos que preencheram a 3º e a 6º posição, respectivamente, são:
a) 120 e 600
b) 400 e 50
c) 600 e 50
d) 120 e 400
e) 400 e 600
Sequências Numéricas - P.G (Progressão Geométrica)  6
A L F A C O N
(Avança SP - 2022)
Observe a sequência de números abaixo.
4, 8, 16, 32, 64 …
Nesse sentido, é correto afirmar que o 12º item dessa sequência é:
a) 1024
b) 2048
c) 3072
d) 4096
e) 8192
(OBJETIVA - 2021)
Considerando-se uma progressão geométrica, em que o primeiro termo é igual a 3 e que a sua razão é igual a 7, 
assinalar a alternativa que apresenta o 6º termo dessa progressão:
a) 352.947
b) 50.421
c) 7.203
d) 1.029
e) 12.357
(Instituto Consulplan - 2021)
Uma determinada progressão geométrica de razão 2 possui 10 termos e o último termo é igual a 1.536. Dessa forma, 
é correto afirmar que a soma dos oito primeiros termos desta progressão é:
a) 384
b) 765
c) 1.533
d) 3.069
	1.1 - CONJUNTOS NUMÉRICOS
	1.2 - CONJUNTOS NUMÉRICOS
	1.3 - CONJUNTOSNUMÉRICOS
	1.4 - CONJUNTOS NUMÉRICOS
	1.5 - CONJUNTOS NUMÉRICOS
	2.1 - CONJUNTOS NUMÉRICOS
	2.2 - SISTEMA LEGAL DE MEDIDAS
	2.3 - SISTEMA LEGAL DE MEDIDAS
	2.4 - SISTEMA LEGAL DE MEDIDAS
	2.5 - PROPORCIONALIDADE
	3.1 - PROPORCIONALIDADE
	3.2 - PROPORCIONALIDADE
	3.3 - PROPORCIONALIDADE
	3.4 - PROPORCIONALIDADE
	3.5 - EQUAÇÕES
	4.1 - EQUAÇÕES
	4.2 - EQUAÇÕES
	4.3 - EQUAÇÕES
	4.4 - FUNÇÕES
	4.5 - FUNÇÕES
	5.1 - FUNÇÕES
	5.2 - FUNÇÕES
	5.3 - FUNÇÕES
	5.4 - FUNÇÕES
	5.5 - GEOMETRIA PLANA
	6.1 - GEOMETRIA PLANA
	6.2 - GEOMETRIA PLANA
	6.3 - GEOMETRIA PLANA
	6.4 - GEOMETRIA PLANA
	6.5 - GEOMETRIA PLANA
	7.1 - GEOMETRIA PLANA
	7.2 - GEOMETRIA PLANA
	7.3 - GEOMETRIA PLANA
	7.4 - GEOMETRIA PLANA
	7.5 - GEOMETRIA ESPACIAL
	8.1 - GEOMETRIA ESPACIAL
	8.2 - GEOMETRIA ESPACIAL
	8.3 - GEOMETRIA ESPACIAL
	8.4 - GEOMETRIA ESPACIAL
	8.5 - GEOMETRIA ESPACIAL
	9.1 - ESTATÍSTICA
	9.2 - ESTATÍSTICA
	9.3 - ESTATÍSTICA
	9.4 - ANÁLISE COMBINATÓRIA
	Análise Combinatória - Definições, Fatorial e P.F.C
	1. Fatorial (!)
	2. P.F.C (Princípio Fundamental da Contagem)
	3. Na prática
	9.5 - ANÁLISE COMBINATÓRIA
	Análise Combinatória - Arranjos, Combinações e Permutações
	1. Arranjo
	2. Combinação
	3. Permutação
	4. Na prática
	10.1 - ANÁLISE COMBINATÓRIA
	Análise Combinatória - Casos Especiais
	1. Combinação com Repetição
	2. Permutação com Repetição
	3. Permutação Circular
	4. Na prática
	10.2 - PROBABILIDADE
	Probabilidade - Conceitos e Cálculos
	1. conceitos
	1.1 Experimento Aleatório
	1.2 Espaço Amostral (Ω) ou (U)
	1.3 Evento
	2. Calculo da Probabilidade
	2.1 Probabilidade Complementar
	3. Na prática
	10.3 - PROBABILIDADE
	Probabilidade - Casos Especiais
	1. Eventos Independentes e Eventos Sucessivos
	2. Probabilidade Condicional
	3. Probabilidade da União de Eventos
	4. Probabilidade Binomial
	5. Na prática
	10.4 - SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS
	Sequências Numéricas - Conceitos, Leis de Formação e Curiosidades
	1. Conceitos
	1.1 Sequência
	1.2 Sequências Numéricas
	2. Lei de Formação de uma Sequência
	3. Curiosidades das SequÊncias
	4. Na prática
	10.5 - SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS
	Sequências Numéricas - P.A (Progressão Aritmética)
	1. Definição
	1.1 representação de uma P.a genérica
	2. Termo Geral da P.A
	3. Soma dos termos da P.A
	4. Propriedades das P.A
	4.1 Termos equidistantes
	4.2 média aritmética
	5. Interpolação Aritmética
	6. Na prática
	11.1 - SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS
	Sequências Numéricas - P.G (Progressão Geométrica)
	1. Definição
	1.1 representação de uma P.G genérica
	2. Termo Geral da P.G
	3. Soma dos termos da P.G Finita
	4. Soma dos termos da P.G inFinita
	5. Propriedades das P.G
	5.1 Termos equidistantes
	5.2 média geométrica
	6. Interpolação Geométrica
	7. Produto dos termos da P.G
	8. Na prática
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