APOSTILA EI MATH-1

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APOSTILA DO APROVADO
DE MATEMÁTICA ENEM
EI MATH
+ de 1000 questões
modelo Enem
Gabaritos
Comentados
300 páginas de
conteúdo
Sobre a apostila:
O objetivo desta apostila é servir como revisão
para os principais conteúdos de matemática que
são cobrados no Enem.
Esta apostila NÃO tem como objetivo entrar em
detalhe sobre os fundamentos da matemática, e
muito menos ensinar tudo que se aprende no
Ensino Médio.
AVISO:
COMO FUNCIONA:
Esta apostila é dividida em 11 módulos,
contendo explicações, exercícios e correções.
Além disso, nesta pasta do Google Drive, se
encontram os PDFs de diversos simulados e
correções, que totalizam mais de 1000 exercícios.
Sobre a apostila:
Durante a criação desta apostila, foram
reescritos, adaptados, e reutilizados conteúdos
oriundos de diversas plataformas e apostilas.
Foram estas:
Coleção Anglo
Coleção Bernoulli
Coleção Fundamentos da Matemática
Descomplica
Stoodi
TodaMatéria
Brasil Escola
Guia do Estudante
Info Escola
Só Matemática
Blog do Enem
Mundo Educação 
Sobre a apostila:
POR FIM:
Esta apostila levou mais de 600 horas totais de
trabalho para ser finalizada, então esperamos
que tenha valido a pena. 
Se você, aluno, gostar dela, vai estar nos
ajudando enormemente se compartilhar a nossa
conta no Instagram (@ei__math) com colegas,
amigos e família. 
Assim, poderemos ajudar muito mais pessoas a
finalmente ir bem em matemática no Enem.
Com sinceros agradecimentos, Equipe Ei Math
Índice
Módulo 1: Matemática básica
Módulo 2: Estatística: gráficos e tabelas
Módulo 3: Geometria plana
Módulo 4: Geometria espacial 
Módulo 5: Funções
Módulo 6: Probabilidade
Módulo 7: Sequências numéricas 
Módulo 8: Trigonometria
Módulo 9: Logaritmo
Módulo 10: Geometria analítica
Módulo 11: Dicas para o ENEM
pg. 1
pg. 72
pg. 88
pg. 157
pg. 191
pg. 224
pg. 247
pg. 265
pg. 279
pg. 287
pg. 299
1
I - Conjuntos Numéricos
1. Definição
Os conjuntos numéricos reúnem diversos conjuntos cujos
elementos são números. Eles são formados pelos números
naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais. O ramo da
matemática que estuda os conjuntos numéricos é a Teoria
dos conjuntos.
2. Conjunto dos Números Naturais ( )
Os números naturais são usados para indicar uma
contagem, uma ordem ou um código. A sequência dos
números naturais é: 0, 1, 2, 3, ..., e o conjunto que
representa esta sequência de números é denotado por:
= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}
0 1 2 3 4 5 6 
2
3. Conjunto dos Números Inteiros ( )
Com o passar dos tempos os números naturais tornaram-se
insuficientes para a resolução de todos os problemas 
matemáticos e, na busca de suprir essas necessidades, foi
criado o conjunto dos números inteiros, que é composto
pelos números naturais (inteiros positivos e o zero) 
e os números inteiros negativos. 
O conjunto dos números naturais é denotado por:
= {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
-3 -2 -1 0 1 2 3
Módulo, ou valor absoluto de um número 
inteiro 
 
Podemos determinar na reta numérica, a distância de qualquer 
 ponto em relação à origem (representada pelo zero). Assim, a 
 distância entre qualquer ponto e a origem da reta numérica é
chamanda de valor absoluto ou módulo de um número associado a
esse ponto. 
3
Exemplos: 1 , -5 , 19 
 2 9 100
Por exemplo: o valor absoluto do número +4 é 4 (a distância do ponto
4 à origem é 4). Da mesma forma, o módulo de -3 é 3 (a 
distância do ponto -3 à origem é 3) 
Notação de módulo: |-a| = a 
4. Conjunto dos Números Racionais ( )
Os números racionais são todos os números que podem ser colocados
na forma de fração, com o numerador e denominador pertencentes a ,
ou seja, o conjunto dos números racionais é a união do conjunto dos
números inteiros com as frações positivas e negativas. 
5. Conjunto dos Números Irracionais ( )
Os números irracionais são decimais infinitas não periódicas, ou seja,
são números que não podem ser escrito na forma de fração. 
Exemplos: Os números abaixo têm uma representação decimal não
periódica com infinitas ordens decimais. 
√2 = 1,41421356... √3 = 1,73205080...
√π = 3,14155926...
4
6. Conjunto dos Números Reais ( )
O conjunto dos números reais é a união entre o
conjunto dos números racionais com o conjunto dos
números irracionais.
7. Diagrama Geral
Em que N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R e I ⊂ R
5
II - Cálculos de expressões
numéricas
Para calcular corretamente qualquer expressão numérica, é
necessário obedecer algumas prioridades. Então, devemos
ter em mente que devemos fazer os cálculos na 
seguinte ordem:
1 parênteses ( ), colchetes [ ] e chaves{ } 
 
2 potência e raiz 
 
3 multiplicação e divisão 
 
4 soma e subtração 
1. Ordem do cálculo
2. Regra de sinais
Adição e subtração
Quando os dois números têm sinais iguais, devemos
somar os números e conservar o sinal.
6
Exemplos:
+ 16 + 20 = + 36
 
– 16 – 20 = – 36
Quando os dois números têm sinais diferentes, devemos
subtrair os números e conservar o sinal do maior número.
Exemplos:
+ 16 – 20 = – 4
 
– 16 + 20 = + 4
E quando houver parênteses nessas operações?
Se o sinal antes e depois dos parênteses forem iguais, o
resultado é sempre +.
+ (+) = +
– (–) = +
Exemplos:
+ 16 + ( + 20) = + 16 + 20
 
+ 16 – (– 20) = + 16 + 20
7
Se os sinais forem diferentes, o resultado é –, veja:
+ (–) = –
– (+) = –
 
Exemplos:
– 16 + (– 20) = -16 – 20
 
– 16 – (+ 20) = -16 – 20
Multiplicação e divisão
Quando os dois números têm sinais iguais, o resultado
tem sinal positivo (+).
Exemplos:
(+ 7) . (+ 3) = + 21
 
(– 7) . (– 3) = + 21
 
(+ 30) : (+ 5) = + 6
 
(– 30) : (– 5) = + 6
8
Quando os dois números têm sinais diferentes, o resultado
tem sinal negativo (-).
(+ 7) . (– 3) = – 21
(– 7) . (+ 3) = – 21
(+ 30) : (– 5) = – 6
(– 30) / (+ 5) = – 6
 
 
 
Exemplos:
Resumo
Adição e subtração
 Sinais iguais ⇒ soma e conserva o sinal;
 Sinais diferentes ⇒ subtrai e conserva o sinal do maior.
Multiplicação e divisão
 Sinais iguais ⇒ o resultado tem sinal positivo (+);
 Sinais diferentes ⇒ o resultado tem sinal negativo (-).
Ou seja:
(+)(+) = + (-)(-) = +
 (+)(-) = – (-)(+) = –
9
3. Fatoração
O que é? Um número pode ser decomposto em fatores
primos, sendo utilizado o método das divisões sucessivas. 
Exemplo:
630 = 2 . 3² . 5 . 7
Basta então reescrever estes números multiplicados:
Para que serve? Serve para poder reescrever raízes (ver
unidade IV - radiciação), ou então encontrar o m.m.c e m.d.c
de dois números (próximas páginas)
10
4. Mínimo Múltiplo Comum (M.M.C.)
O mínimo múltiplo comum (M.M.C.) de dois ou mais números
naturais é igual ao menor valor que dois números naturais
distintos, ao serem multiplicados, podem ser iguais. 
Uma forma de se utilizar a fatoração de números primos para
descobrir o mínimo múltiplo comum aos dois ou mais
números desejados. 
18, 25, 30 2
9, 25, 15
3, 25, 5
1, 25, 5
1, 5, 1
1, 1, 1
3
3
5
5
= 450
5. Máximo Divisor Comum (M.D.C)
Exemplo:
O máximo divisor comum (M.D.C.) de dois ou mais números
naturais é outra forma importante de se utilizar a fatoração de
números primos. Ela tem o intuito de descobrir o maior
número que consegue dividir os números desejados deixando
de resto “0”.
11
Exemplo:
3
3 é o M.D.C, já que é o maior valor que consegue dividir os
três números ao mesmo tempo.
12
6. Propriedade distributiva
A propriedade distributiva, ou também conhecida como
“chuveirinho”, é uma propriedade da multiplicação que
possibilita multiplicar números de fora de parênteses com
todos os números de dentro do parênteses.
Também permite multiplicar operações entre parênteses por
operações entre parênteses. 
Observe nas expressões a seguir:
a . (b + c) = ab + ac
(a + b) . (c + d) = ac + ad + bc + bd
Esta propriedade pode ser representada por setas, que
parecem um "chuveirinho",da seguinte maneira:
a . (b + c) = ab + ac
Ou então:
(a + b) . (c + d) = ac + ad + bc + bd
Quando se conhece todos os valores, a propriedade não é
muito prática, porém quando se tem uma incógnita, torna-se
muito útil. Pode ser muito utilizada em equações do primeiro e
segundo grau (ver páginas )
Pode ocorrer com parênteses com somas e subtrações de
mais de 3 ou mais valores também.
13
III - Potenciação
Potenciação é a operação matemática que resulta da
multiplicação de um mesmo número n vezes.
Exemplo:
3⁴ = 3 × 3 × 3 × 3 = 81 
Em que 3 é a base e 4 o expoente. 
A potência é um produto de fatores idênticos. 
Observe a leitura: "três elevado à quarta potência".
(quando o expoente for 2, lê-se: "x número elevado ao quadrado", e quando o
expoente for 3, lê-se: "x número elevado ao cubo)
1. Definição 
2. Propriedades
Multiplicação de potências de mesma base:
Repete-se a base e somam-se os expoentes: b . b = b m n m + n
Exemplo:
2³. 2⁴ = 2³ ⁴ = 2⁷+
14
Divisão de potências de mesma base:
Repete-se a base e subtraem-se os expoentes: b / b = b m n m - n
Exemplo:
4⁶ / 4³ = 4⁶ ³ = 4³-
Multiplicação de potências com o mesmo expoente:
 Multiplicam-se apenas as bases e conserva-se o expoente, ou
seja, o expoente permanece o mesmo - Não muda.
Exemplo:
2⁷. 3⁷ = (2.3)⁷ = 6⁷
Multiplicação de potências com o mesmo expoente:
 Dividem-se apenas as bases e conserva-se o expoente. É o
oposto da multiplicação de expoentes iguais.
8⁷ / 2⁷ = (8 / 2)⁷ = 4⁷
Exemplo:
15
Potência com expoente zero:
 Toda potência com expoente zero tem como resultado o
número UM (1).
Exemplo:
5 = 10
Potência com expoente 1:
 Todo número elevado a 1 é igual a ele mesmo. Ou seja,
qualquer potência com expoente 1 é igual ao valor da base:
b¹ = b
54¹ = 54
Exemplo:
Potência de uma potência:
 Repete-se a base e multiplicam-se os expoentes: (b ) = bm
n m . n
Exemplo:
(3²)⁵ = 3 = 32 . 5 10
16
Potência com base 10 (usado na notação científica)
 
É igual ao número 1 seguido de n número de zeros. Os zeros
são determinados pelas unidades do expoente: 10 = 10...000,
em que m define o numero de zeros.
m
Exemplos:
10⁵ = 100000
10⁸ = 100000000
Potência com expoente negativo
Inverte-se a base e o expoente fica positivo: b = ( ) -m 1b
m
Exemplo:
3 = ( )-2
1
3
2
Potência de uma fração
Tanto o numerador quanto o denominador são elevados ao
valor do expoente.
1
3
( ) =3 1
81
Exemplo:
17
IV - Radiciação
1. Definição 
A radiciação é a operação inversa a potenciação. De um modo
geral podemos escrevê-la:
√n a = b
Legenda: n = índice; a = radicando; b = raiz
A designação do nome da raiz é dada segundo o número “n”. 
 Exemplos:
 √ →raiz quarta 
 √ →raiz quinta 
 √ →raiz sexta
4
5
6
18
2. Casos Particulares
Quando n = 1
Quando n = 2
São dois casos em que há a necessidade de destaque.
Não existe a necessidade de indicar a radiciação, pois a raiz do
número será o próprio número.
Não existe a necessidade de indicar o índice do radical. Assim,
quando você se deparar com alguma raiz sem o índice do
radical, pode ter certeza que ela é uma raiz quadrada (ou seja,
n = 2)
3. Propriedades
Propriedade 1:
Raiz em que o expoente do radicando é igual ao índice:
√n an = a
19
Exemplo: ⁵√9⁵ = 9
Exemplo:
Propriedade 2:
am = a
m
n
n
A propriedade 2, na verdade, é uma propriedade de
potenciação em que o expoente é uma fração. O
numerador da fração passa a ser o expoente do radicando,
e o denominador passa a ser o índice da raiz. 
Exemplo:
5 = ³√5² = ³√25
2
3
Propriedade 3:
Produto de raízes de índices iguais:
√a . √b = √a . bn n n
A propriedade 3 afirma que o produto entre duas raízes com
índices iguais é igual à raiz de mesmo índice do produto dos
radicandos.
20
Exemplo:
³√3 . ³√3 = ³√9 
Propriedade 4:
Propriedade 5:
Divisão de raízes de índices iguais:
√a
√b
= √ a / b
n
n
n
De maneira análoga à propriedade 3, a propriedade 4 afirma
que a divisão entre duas raízes de índices iguais é igual à raiz
de mesmo índice da divisão dos quocientes
Exemplo:
 ⁶√24
⁶√6
= ⁶√ 24 / 6 = ⁶√4
Potência de uma raiz:
( √a)n m = √an
21
m
Propriedade 6:
A propriedade 5 nos diz que uma raiz n-ésima elevada a um
determinado expoente m é igual à raiz n-ésima do radicando
elevado ao expoente.
Exemplo:
(⁴√5)² = ⁴√5² = ⁴√25
Raiz de outra raiz:
√n √m a = √
n . m a
Quando nos depararmos com uma raiz de outra raiz, basta
conservar o radicando e multiplicar os índices das raízes. 
Exemplo:
³√ ³√1 = ⁹√1
Propriedade 7:
Simplificação de raízes:
√a n m = √a n . p m . p
A propriedade 7 afirma que, em uma raiz n-ésima de uma
potência, podemos multiplicar o índice e o expoente do
radicando por qualquer número desde que seja diferente de 0.
22
4. Fatoração na Raiz
Basta usar o método de fatoração por números primos
mencionada anteriormente. 
Exemplo:
√1000 = ?
1000 2
500 2
250
125
25
5
1
2
5
5
5
} 2² . 2 . 5² . 5√ 2² . 2 . 5² . 5√Estes 2 números saem da raiz, já que seus expoentes a anulam
10 . √10
23
5. Racionalização
Na matemática, não se deve ter resultados que contenham
uma raiz no denominador de uma fração, pois estes
representam números irracionais. Para isso, é necessário
substituí-lo por um numero racional. Nos cálculos em que isto
ocorre, é necessário fazer um processo chamado
Racionalização. 
Trata-se de multiplicar ambos o numerador e denominador
pela mesma raiz que se deseja retirar do denominador. Isso é
possível apenas porque qualquer numero dividido por si
mesmo é igual a 1. Assim, não se está fazendo uma alteração
da equação, e sim reescrevendo-a de outra forma.
Exemplo:
5
√3
5
√3
. √3
√3
5 . √3
√9
5 . √3
3
Além disso, quando se multiplica uma raiz por outra igual,
têm-se o valor do radicando. Isso ocorre por causa da
propriedade 3.
24
É uma forma mais conveniente de escrever um número muito
grande ou muito pequeno, usando potência de 10.
Apresenta o formato:
Exemplos: 5,4 . 10 = 54 000 000
 1,6 . 10 ¹¹ = 0,000000000016
7
V - Notação Científica
N . 10n
Legenda : N = número real maior ou igual a 1 e menor que 10; n = um número inteiro
-
Transformando um número em notação científica
 Escrever o número na forma decimal, com apenas um algarismo 
 diferente de 0 antes da vírgula;
 Colocar no expoente da potência de 10 o número de casas 
 decimais
 que tivemos que "andar" com a vírgula. Se ao andar com a vírgula o 
 valor do número diminuiu, o expoente ficará positivo, se aumentou 
 o expoente ficará negativo;
 Escrever o produto do número pela potência de 10.
1
2
3
25
Deslocamento da vírgula
Toda vez que um número é multiplicado por 10, sua vírgula é deslocada
uma casa para a direita. Isso significa que, na notação científica, o
expoente do 10 representa o número de deslocamentos da vírgula para
a direita.
Exemplo:
1,32 . 10⁷ = 13 200 000
O oposto ocorre para expoentes negativos, veja:
7,8 . 10 = 0,000078-5
Exemplo:
Para transformar o número 382 000 em notação científica deve-se:
1 - "Andar" com a vírgula até a primeira casa decimal -> 3,82
2 - Adicionar o número de casas andadas ao expoente de 10 ->10⁵
3 - Escrever o produto do número pela potência de 10 -> 3,82 . 10⁵
26
A barra é dividida em 10 partes iguais. Imagine agora que foi
retirada apenas uma parte dessa barra.
Suponha que tenhamos uma barra de chocolate com 10
pedaços.
VI - Frações
1. Definição
A fração é uma maneira de representar algo dividido em partes 
 iguais.
27
Pode ser usada uma fração para representar a parcela de
chocolate retirada. Corresponde a um pedaço de dez. 
1
10
numerador
denominador
Lemos a fração acima da seguinte maneira: um décimo ou um
sobre dez. 
Podemos dizer que cada parte da barra corresponde a um
décimo. 
Observe também que retirar 5 partes da barra é o mesmo que
retirar a metade da barra, ou seja, é equivalente.
2. Simplificação de fraçõesÉ uma forma de escrever uma fração grande de maneira mais
simples, dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo
valor (deve ser um número natural maior que 1).
28
Exemplo:
Na fração 4/12, o numerador e denominador possuem um
máximo divisor comum: 4.
Assim, dividindo o numerador e o denominador por 4,
obtém se a fração 1/3. 
1/3 = 4/12 (ambas possuem o mesmo valor), mas a
primeira fração é reduzida, e mais fácil de compreender .
Logo, quatro sobre doze é igual a um terço.
3. Operações
Soma e Subtração
Para somar frações é necessário identificar se os
denominadores são iguais ou diferentes. 
1) Denominadores iguais: Se forem iguais, basta repetir o
denominador e somar os numeradores.
Exemplos:
4 9
+7 7 =
13
 7
13 13- = 13
6 2 4
29
2) Denominadores diferentes: Deve-se calcular o mínimo
múltiplo comum (m.m.c) entre os valores dos denominadores.
Na maioria dos casos (no Enem), são calculáveis de cabeça.
Após encontrar o m.m.c, deve-se multiplicar o numerador da
fração pelo mesmo valor que se multiplicou o denominador
(para manter a proporção).
Agora que os denominadores são iguais, basta seguir as regras
de antes.
Exemplo:
1 2
5 3
+ =
15
3 . 1 2 . 5
+
15
=
13
15
Multiplicação:
A multiplicação de frações é feita multiplicando os
numeradores entre si, bem como seus denominadores.
Exemplo:
3 8.
4 9
= 24
36
30
Divisão:
Basta multiplicar a fração numeradora pelo inverso da fração
denominadora.
Exemplo:
7
6
3
4
= 7
6
4
3
. = 28
18
= 14
9
4. Propriedade das frações
Qualquer número sem denominador aparente possui um
denominador igual a 1
4 =
4
 1 
Exemplo:
31
VII - Equações do Primeiro Grau
1. Definições
32
Equação: Sempre que houver alguma igualdade presente em
expressões, tem-se que a expressão apresentada é uma
equação.
Incógnita: é a parte desconhecida da equação que deve
satisfazer a igualdade, geralmente representada pela letra x.
Exemplo:
3 + 2 = 5
Exemplo:
3 + x = 5
Perceba que o valor que torna a expressão verdadeira é 2,
logo, x=2.
Tipos de equações: Em Matemática, equações e funções
podem ser classificadas de acordo com o grau do expoente de
sua incógnita, ou seja, quando a incógnita for elevada a
primeira potência, a equação é do primeiro grau. 
Quando for elevada a segunda potência é do segundo grau e
assim sucessivamente. 
A equação 3x + 1 = 10, por exemplo, é uma equação do 1º
grau.
2. Fórmula Geral
ax + b = 0
Os itens "a" e "b" são valores reais, onde a ≠ 0, e x é a
incógnita.
33
3. Resolvendo equações do primeiro grau
Para solucionar uma equação do 1º grau, basta isolar a sua
incógnita por meio da aplicação de operações em ambos os
lados da igualdade, com o propósito de isolar a incógnita. Isso
deve ser feito assim:
Soma e subtração: 
Quando houver uma soma que envolva a incógnita em
quaisquer um dos lados da operação, deve-se “passar” este
valor subtraindo para o outro lado da equação, assim isolando
o x.
Exemplo:
x + 5 = 7 x = 7 - 5 x = 2
O mesmo vale para subtrações que envolvam a incógnita:
x - 5 = 7 x = 7 + 5 x = 12
34
Multiplicação e divisão: 
Assim como no caso da soma e subtração, a multiplicação e
divisão seguem o mesmo padrão. Quando o número estiver
multiplicando a incógnita, ele “passará” para o outro lado
realizando a divisão e o mesmo acontece no sentido inverso,
caso a incógnita esteja envolvida em uma divisão.
Exemplos:
4 . x = 16 x = 164 x = 41
2 x
3 = 9 x = 9 . 3 x = 27
Potência e raiz: 
Seguindo o padrão apresentado, as potências e raízes
funcionam da mesma forma. Quando a incógnita estiver
elevada por um expoente qualquer, a potência “passará” para
o outro lado em forma de raiz de mesmo índice. Vale para os
dois sentidos.
35
x² = 64 x = √64 x = 8
Exemplos:
1
2 ³√x = 3 x = 3³ x = 27
Entretanto:
Em equações que misturam esses cálculos, tem-se uma ordem
de aplicação das operações. É a seguinte:
1
2
3
Soma e subtração
Multiplicação e divisão
Potencia e raiz
36
Exemplo:
4 . x² + 3 . 7 = 121 4x² + 21= 121
Agora que realizamos as operações separadas pelo sinal de +,
basta aplicar as propriedades em sua devida prioridade:
4x² + 21= 121 4x² = 100 x² = 100
4
x² = 25 x = √25 x = 5 
37
4. Equações com mais de uma incógnita
Existem equações de 1º grau com mais de uma incógnita, ou
seja, é preciso determinar dois ou mais números
desconhecidos que tornem a sentença verdadeira. 
Exemplo:
4x + 3y = 38
Percebe-se que existem duas incógnitas nesta equação: "x" e
"y".
Não é possível encontrar o valor de nenhuma das incógnitas
do exemplo anterior seguindo o método de resolução para
uma incógnita.
Isso ocorre pois não é possível "isolar" uma incógnita de um
lado, sem ficar com uma incógnita do outro.
5. Sistemas de equações com mais de uma
incógnita
38
Aqui entra o sistema de equações. 
Trata-se de isolar uma incógnita de uma equação “a” e
substituir em uma equação “b”. 
Isto quer dizer que são necessárias 2 ou mais equações
(dependendo do número de incógnitas) para descobrir os
valores dos números desconhecidos.
Exemplo:
4x + 3y = 38 -> 4x = 38 - 3y -> x = 38 - 3y
4
Exemplo Resolvido:
{ x + y = 123x - y = 20
39
Primeiro, deve-se isolar uma das incógnitas de qualquer
uma das equações:
1
x + y = 12 x = 12 - y
2 Agora basta substituir este valor na outra equação:
3x - y = 20 3 . (12 - y) - y = 20
Desenvolvendo esta equação pela propriedade distributiva,
encontra-se:
36 - 3y - y = 20 36 - 20 = + 3y + y
Assim:
16 = 4y 16/4 = y y = 4
40
3 Agora que se sabe o valor de y, basta substituir esse
valor de volta em qualquer uma das equações para
encontrar o x:
x + y = 12 x + 4 = 12 x = 12 - 4
x = 8
41
Porcentagem
VIII - Porcentagens
1. Definição
São definidas pela razão entre um número qualquer e o
denominador 100, e é utilizada para comparar uma parte
com o todo. Este todo é representado pelo número 100.
É caracterizada pelo símbolo "%", que designa a
porcentagem.
Pode ser escrita tanto pelo símbolo de porcentagem, quanto
como uma fração de denominador 100 (em que 100
representa o todo), ou então como número decimal:
72% =
72
 100 
Exemplo:
= 0,72 
Outra propriedade das porcentagens é que estas podem ser
maiores do que 100. 
Por exemplo, após um reajuste de preços de uma loja, um
produto agora custa 150% do seu valor original. Isto
representa o valor original (100%) mais um aumento de 50%,
ou metade de seu valor original.
42
2. Como calcular porcentagens
Para calcular o valor de uma porcentagem, podem ser feitas
algumas coisas:
Regra de Três:
(Para saber como usar a regra de três, consulte a página )
Exemplo:
Para calcular 40% de 60, deve-se considerar 60 como o todo, ou o 100%,
enquanto o valor a ser descoberto corresponde aos 40%. Assim:
Valor Porcentagem
60 100
 x 40 } 60 . 40 = 100 . x2400 = 100 . x= x2400
 100
} x = 24
Frações:
Exemplo:
Usando o mesmo exemplo de antes (40% de 60), é calculado assim:
40% de 60 = 40
100
. 60
Deve-se multiplicar a fração que representa a porcentagem
pelo valor total.
= x2400
 100
= 24
43
Números Decimais:
Assim como com as frações, deve-se multiplicar o número
decimal que representa a porcentagem pelo todo.
Em geral, é o método mais rápido.
Exemplo:
Usando novamente o mesmo exemplo (40% de 60), calcula-se dessa
forma:
40% de 60 = 0,4 . 60 0,4 . 60 = 4 . 6 = 24
44
Diretamente proporcional; 
Inversamente proporcional.
Grandeza é tudo aquilo que pode ser mensurado. Como
exemplos de grandezas poderíamos citar: velocidade,
distância, tempo, altura, potência… Em outras palavas, tudo
que pode ser medido.
Ao comparar duas grandezas, a relação entre elas pode ser de
dois tipos:
A proporcionalidade entre grandezas
Encontrar a razão entre duas grandezas é uma tarefa simples,
que serve para que seja possível avaliá-las de um ponto de
vista comparativo, extraindo ainda dados e mesmo outras
grandezas em seu resultado.IX - Grandezas Proporcionais
1. Definição
45
Quando encontramos uma igualdade entre duas diferentes
razões, resultado da divisão de duas grandezas, a chamamos
de proporção. Dessa forma, consideramos a relação entre as
grandezas como proporcional. Para os cálculos que utilizam a
regra de três (ver página 53), é esse o raciocínio lógico
utilizado.
Esse tipo de relação significa que, à medida que uma
grandeza varia, a outra também irá variar na mesma taxa. Ou
seja, se um automóvel se move em uma distância X a uma
velocidade Y, significa que, quando a velocidade é dobrada, a
distância percorrida mudará na mesma proporção,
igualmente dobrada.
2. Proporcionalidade direta
Podemos dizer que duas grandezas são diretamente
proporcionais quando ambas aumentam ou diminuem ao mesmo
tempo.
46
Exemplo:
Tempo e distância são grandezas diretamente proporcionais:
Quanto mais tempo se dirige em uma estrada, maior distância é
percorrida.
Há, então, uma relação diretamente proporcional entre o
espaço percorrido e o tempo que passou.
Esse tipo de relação significa que, à medida que uma
grandeza varia, a outra também irá variar na mesma taxa. Ou
seja, se um automóvel se move em uma distância X a uma
velocidade Y, significa que, quando a velocidade é dobrada, a
distância percorrida mudará na mesma proporção.
Pode se usar então a regra de três (ver página 53) para
calcular qualquer valor da proporcionalidade, uma vez que se
sabe a razão.
Tempo
Distância
1 hr
60km
3 hrs
180km
1/2 hr
30km
47
272 x
 32 50
13 600
32
Exemplo:
Um automóvel percorreu 272 km e consumiu um total de 32 litros de etanol.
Supondo que esse consumo se mantenha o mesmo, e que o tanque do carro tem
capacidade máxima de 50 litros, então, a quantidade de quilômetros que esse
automóvel percorre quando está de tanque cheio é igual a:
A) 280 km
B) 298 km
C) 350 km
D) 375 km
E) 425 km
Solução:
Alternativa E
Sabemos que o consumo e a distância são grandezas diretamente proporcionais.
Seja x a quantidade de quilômetros que o veículo faz com 50 litros, então, temos
que:
=
32x = 272 . 50
32x = 13 600
x =
x = 425
48
Gráfico da Proporcionalidade Direta
3. Proporcionalidade Inversa
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando o
aumento de uma causa a redução da outra. Ou seja, quando
uma grandeza dobra, a outra é dividida por dois. Quando uma
grandeza triplica, a outra é dividida por 3.
No plano cartesiano, a variação diretamente proporcional de
uma grandeza em relação à outra gera uma reta crescente
que passa pela origem. Sabe-se que esta passa pela origem, já
que a equação da reta é y = k.x, sendo k uma constante.
49
Digamos que um automóvel vai precisar percorrer 400
km em uma viagem, na velocidade de 60 km/h. Pode-se
dizer que quanto maior for a velocidade deste
automóvel, menos tempo ele levará na viagem. Se sua
velocidade for dobrada, seu tempo de viagem é dividido
por 2. Logo, a velocidade e o tempo são grandezas
inversamente proporcionais.
Exemplos:
1
2 Considere uma fábrica de chocolates que produz X
barras de doce em 10 horas, com 20 funcionários. Se o
número de funcionários dobrar, a mesma quantidade X
de barras de chocolate será produzida na metade do
tempo, ou seja, 5 horas.
Gráfico da Proporcionalidade Inversa
Graficamente a variação inversamente proporcional de uma
grandeza em relação à outra forma uma hipérbole, pois
temos y = k/x, sendo k uma constante.
50
Exercícios corrigidos:
1. Um automóvel gasta 2 horas para realizar um determinado percurso.
Sabendo que outro automóvel fez o mesmo percurso a uma velocidade
média de 60 km/h e levou 3 horas, qual foi a velocidade do primeiro
automóvel?
A) 50 km/h
B) 65 km/h
C) 70 km/h
D) 80 km/h
E) 90 km/h
Solução:
Alternativa E
Sabemos que essas grandezas se relacionam de forma inversamente
proporcional, pois à medida que a velocidade aumentar, o tempo
diminuirá. Então, temos que:
51
Como as grandezas são inversamente proporcionais não, por meio da
regra de 3, temos que:
60 · 3 = 2x
180 = 2x
x = 180 : 2
x = 90 km/h
 
 
2. Analisando as alternativas abaixo, marque aquela em que as grandezas
se relacionam de forma inversamente proporcional.
A) A distância percorrida por um veículo e o tempo de percurso em uma
velocidade constante.
B) A idade da pessoa e o seu salário mensal.
C) A vazão da água de uma mangueira e o tempo que ela leva para preencher
um reservatório.
D) A quantidade de concreto produzido e a quantidade de cimento necessária.
E) O número de acertos em uma prova e a nota obtida pelo candidato.
Solução:
Alternativa C
Sabemos que, quanto maior a vazão da água, menor o tempo que a
mangueira levará para encher o reservatório.
Velocidade Tempo
60 km/h 3 horas
2 horasx
52
Na prova de Matemática do Enem, uma das habilidades mais
exploradas pelo concurso é o raciocínio lógico. E é muito
recorrente que sejam cobradas questões que envolvam, por
exemplo, a aplicação da regra de três para se descobrir uma
das grandezas de uma proporção.
A regra de três é o cálculo utilizado para descobrir uma dada
grandeza em uma relação de proporcionalidade.
Quando as grandezas possuem uma relação diretamente
proporcional, a montagem do cálculo é feita de maneira direta. 
Por exemplo, se um carro percorre 100 km a uma velocidade
de 50 km/h, qual seria a distância percorrida por ele se
estivesse a 75 km/h?
50 — 100
75 — x
 
4. E no Enem?
5. Regra de 3
Regra de 3 com proporcionalidades diretas:
53
Para obter o valor de x, basta criar uma equivalência entre as
multiplicações cruzadas. Veja:
Agora, basta resolver esta equação.
 
 
 
Temos então que, se esse veículo aumentar sua velocidade
para 75 km/h, percorrerá, nessa relação, 150 km.
Com as grandezas inversas, é um processo muito semelhante.
Entretanto, as grandezas de um dos lados deverá ser invertida:
50 — 100
75 — x
a — c
b — d
50 . x = 75 . 100
50 . x = 75 . 100 x = 7500
50
x = 150
Regra de 3 com proporcionalidades inversas
a — d
b — c
54
Agora basta fazer uma equivalência entre as multiplicações
cruzadas, como anteriormente.
a — d
b — c a . c = b . d
Exemplo:
Um veículo a 50 km/h gasta 2 horas para chegar ao seu destino. Se ele aumentar a
velocidade para 75 km/h, em quantas horas completará o mesmo percurso?
50 — 2
75 — x
 
Invertendo uma das frações, temos:
50 — x
75 — 2
 
Assim, a resolução do cálculo é:
75x = 50 . 2
x = 100 ÷ 75
x = 1,33 h
Isso significa que, para percorrer o mesmo percurso a 75 km/h, o veículo gastará 1 hora e
20 minutos. Lembre-se de que, quando realizamos esse tipo de cálculo, dados de tempo
devem ser transformados da base decimal para horas. Ou seja, 0,33 h é igual a um terço
de hora, que corresponde a 20 minutos.
55
X - Equação do Segundo Grau
Equação do Segundo Grau é uma equação polinomial onde o
termo de maior grau está elevado ao quadrado, ou seja,
elevado a 2 → (x²). 
Normalmente ela é representada como:
a . x² + b . x + c = 0
Onde temos que:
X → Também chamado de raiz da equação, é a incógnita que
representa algum valor desconhecido; Pode ser 2 valores
diferentes: X' e X''.
"a", "b" e "c" → são os coeficientes da equação.
O coeficiente a sempre precisa ser um número diferente de 0,
pois, caso ele seja igual a zero, o x² é anulado e vira uma
Equação do Primeiro Grau.
1. Definição
56
2. Tipos de equação do segundo grau
Completa:
São aquelas que apresentam todos os coeficientes ≠ 0, ou
seja, não nulos.
Exemplo:
5x² + 2x + 2 = 0
Em que os coeficientes: a = 5, b = 2, e c = 2
Incompleta:
Ocorre quando b = 0, c = 0, ou então quando b = c = 0. Caso
a = 0, não é uma equação do segundo grau, já que a incógnita
x é zerada.
Exemplos:
3x² + 2 = 0 2x² + 4x = 0
a = 3; b = 0; c = 2 a = 2; b = 4; c = 0
57
3. Fórmula de Bhaskara
O que é a Fórmula de Bhaskara?
A Fórmula de Bháskara é um método usado para resolver
equações do segundo grau. Com ela, encontram-se as raízes
reais por meio dos coeficientes ("a". "b", e "c"). Seu nome é
uma homenagem ao indiano que a inventou,o matemático
Bhaskara Akaria (1114 – 1185).
A Fórmula de Bhaskara é descrita pela seguinte expressão:
-b ± √∆
x = 2 . a
Em que ∆ (Pronunciado "Delta"), o discriminante da equação,
é calculado por:
∆ =b² - 4 . a . c
58
Passo a Passo da fórmula de Bhaskara:
Vamos mostrar como resolver uma equação do segundo grau
a partir da fórmula de Bhaskara com um exemplo:
2x² - 3x - 5 = 0
1 Devemos primeiro identificar os coeficientes da equação. Neste
caso, percebe-se que a = 2, b = -3, e c = -5
2 Agora é preciso calcular o valor do discriminante ∆. Usando a
fórmula, temos que:
∆ = b² - 4 . a . c ∆ = (-3)² - 4 . 2 . (-5) ∆ = 9 - (-40)
∆ = 49
3 Substitui-se então o valor da discriminante e os coeficientes na
fórmula geral:
-b ± √∆
x = 2 . a
x =
- (-3) ± √49
2 . 2
x =
3 ± 7
4
Como mencionado anteriormente, uma equação do segundo grau possui
2 raízes. Perceba o símbolo ± na fórmula. Isto significa que para uma das
raízes, deve-se somar o valor da raiz do discriminante, e na outra, deve-se
subtrair o valor.
59
Agora que se sabe disto, basta encontrar as duas raízes diferentes:
x' =
3 + 7
4
x' =
10
4
x' =
5
2
x'' =
3 - 7
4
x'' =
-4
4
x'' = -1
4
Propriedades do discriminante Δ:
Quando Δ > 0, existem duas raízes reais da equação;
Quando Δ = 0, existe apenas uma raiz real da equação;
Quando Δ < 0, a equação não possui raízes reais.
 
60
Exemplo:
4. Soma e Produto
Soma e Produto é um método rápido de encontrar as raízes de
uma equação quadrática, servindo para evitar fazer Bhaskara
(um processo bem mais demorado). Baseia-se nas seguintes
relações entre os coeficientes da equação e as raízes:
x' + x'' = -ba
Relação de soma
x' . x'' = ca
Relação de produto
Este método envolve encontrar de cabeça dois valores
inteiros (as raízes) que satisfaçam as condições acima. Caso os
números não sejam inteiros, deverá ser utilizado outro
método.
x² - 7x + 12 = 0 
a = 1; b = -7; c = 12
x' . x'' = 
c
a x' . x'' = 
12
11 x' . x'' = 12
x' + x'' =
-b
a x' + x'' =
-(-7)
1 x' + x'' = 7
61
2 Agora que se conhece o valor da soma e multiplicação das raízes (7
e 12, respectivamente), deve-se pensar em que valores que
somados são igual a 7, e que multiplicados são igual a 12.
Nesse caso, os valores que se encaixam são 3 e 4. Logo:
x' = 3 x'' = 4;
62
XI - Produtos Notáveis e Fatoração
Os produtos notáveis são multiplicações em que os fatores
são polinômios.
Para evitar ter que calculá-los por distributiva na prova, é
prático decorar as propriedades dos principais produtos
notáveis.
São denominados notáveis por sua importância, e os que mais
caem no Enem são os seguintes:
1. Definição de Produtos Notaãveis
2. Tipos de Produtos Notáveis
Quadrado da soma de dois termos:
Esse produto notável se dará pela soma do primeiro termo ao
quadrado mais 2 vezes o primeiro termo vezes o segundo
termo mais o segundo termo ao quadrado.
(a + b)² = (a + b) . (a + b) = a² + 2ab + b²
63
Quadrado da diferença:
Esse produto notável é muito parecido com o quadrado da
soma, com a diferença de que a primeira operação será uma
subtração.
 (a - b)² = (a - b) . (a - b) = a² - 2ab + b²
Produto da soma pela diferença:
(a + b) . (a - b) = a² - b²
3. Definição de Fatoração
A fatoração é um processo matemático que é utilizado para
decompor um número a uma expressão. 
Para Enem e vestibulares, os mais importantes tipos são o fator
comum em evidência, trinômio quadrado perfeito, diferença
entre dois quadrados.
64
Fator comum em evidência:
Essa fatoração é o caminho inverso da propriedade
distributiva da multiplicação. Ela consiste em dividir uma
soma ou subtração por um fator comum.
Exemplo:
32x + 16y + 48 16 . (2x + y + 3)
Percebe-se que um fator comum entre os números 32x, 16y e 48 é o
número 16: ao ser multiplicado por 2x, y, e 3, respectivamente, é
equivalente à expressão desenvolvida.
Quadrados Perfeitos
ax + bx = x (a + b)
Essa forma de fatoração é o caminho inverso do quadrado da
soma e quadrado da diferença. 
a² + 2ab + b² = (a + b)²
a² - 2ab + b² = (a - b)²
65
Diferença de quadrados:
Essa fatoração, assim como o trinômio quadrado perfeito, é o
caminho inverso de um produto notável. Ela consiste em
decompor a diferença entre dois quadrados em uma
multiplicação.
a² - b² = (a + b) . (a - b)
66
XII - Matemática Financeira
1. Definição
É a área da matemática dedicada a estudar fenômenos
relacionados ao mundo financeiro. É também muito utilizada
no dia-a-dia, além de ser bastante cobrada no Enem.
Requer um conhecimento prévio sobre porcentagem (ver
página 42).
No Enem, envolve calcular Juros Simples e Juros Compostos.
2. Juros Simples
Juros Simples consistem num acréscimo calculado a partir
de um capital inicial, aplicação financeira, ou então uma
compra feita a crédito, por exemplo.
São caracterizados por um aumento ao longo do tempo,
relativos ao capital inicial (C), e não nas futuras mudanças do
valor.
67
Exemplo:
Um cliente de uma loja pretende comprar uma caixinha de som, que
custa 500 reais à vista, em 10 parcelas iguais. A taxa de juros simples
dessa loja é de 10% ao mês.
Assim, o cliente pagará o valor de cada parcela (R$ 50,00), MAIS a
taxa de juros. Como esta taxa é de 10% ao mês, e o capital inicial é de
R$ 500, deve-se fazer a seguinte multiplicação:
500 . 1,1 = 550
Assim, é obtido o valor a ser pago pelo cliente COM a taxa de juros.
Fórmulas dos Juros Simples
J = C . i . t
J = Juros; C = Capital Inicial; 
i = taxa de juros (em número decimal); 
t = tempo
Montante = C + J
J = Juros; C = Capital Inicial; 
68
J = 1000 ⋅ 0,06 ⋅ 12 J = R$ 720
Exemplo:
Empréstimo de R$ 1000,00 a uma taxa de juros de 6%, com 12 meses
de prazo.
M = 1000 + 720 = R$ 1720
3. Juros Compostos
Os Juros Compostos são calculados levando em conta a
atualização do capital, ou seja, o juro incide não apenas no
valor inicial, mas também sobre os juros acumulados (juros
sobre juros).
Esse tipo de juros, chamado também de “capitalização
acumulada”, é muito utilizado nas transações comerciais e
financeiras (sejam dívidas, empréstimos ou investimentos).
69
800
500
Fórmulas dos Juros Complexos
Para calcular os juros compostos, utilizam-se as fórmulas:
M = C (1+i)t
M = Montante; C = Capital; 
i = taxa de juros (em
número decimal); 
t = tempo 
J = M - C
M = Montante; C = Capital; 
i = taxa de juros (em número
decimal); t = tempo 
Exemplo:
Se um capital de R$500 é aplicado durante 4 meses no sistema de juros
compostos sob uma taxa mensal fixa que produz um montante de R$800,
qual será o valor da taxa mensal de juros?
M = C (1+i)t 800 = 500 (1+i)⁴ = (1+i)⁴
1,6 = (1+i)⁴ ⁴√1,6 = 1+i 1,125 = 1+i
i = 1,125 - 1 i = 0,125
Como a taxa de juros é em porcentagem, e não sua representação
decimal, basta multiplicar o resultado por 100. Assim, obtém-se o
resultado de uma taxa de juros de 12,5%.
70
71
Todos os módulos da apostila, exceto este, incluem uma seção
de exercícios com correção comentada.
Não incluiremos exercícios neste módulo, pois o mesmo
abrange uma grande variedade de conceitos básicos, que
geralmente não são cobrados individualmente, e sim em
questões que misturam estes conceitos com o que será
ensinado no resto da apostila.
72
Estatística é uma área da Matemática que se ocupa da coleta,
organização e análise de dados. Os dados podem ser
quantitativos ou qualitativos, e no Enem organização deles é
feita por meio de tabelas e gráficos. Já a análise dos dados nos
níveis mais básicos da Estatística é feita por meio de medidas
de centralidade (moda, média e mediana), observações de
gráficos e tabelas, porcentagens e também proporcionalidade. 
I - Conceitos e Fundamentos
População: ou universo estatístico é o conjunto de
entes portadores de, pelo menos, uma característica
em comum. É a totalidade de pessoas, animais,
plantas ou objetos, da qual se podem recolher
dados. É um grupo de interesse que se deseja
descrever ou acerca do qual se deseja tirar
conclusões.
Amostra: parte representativa de uma populaçãoVariável: depende da abordagem da pesquisa, da
pergunta que será feita. Exemplo: Qual sua marca de
carro favorita? Ford, Volks, Fiat, Peugeot, Nissan são
alguns exemplos de resposta.
73
Variável: depende da abordagem da pesquisa, da pergunta
que será feita. Exemplo: Qual sua marca de carro favorita?
Ford, Volks, Fiat, Peugeot, Nissan são alguns exemplos de
resposta.
Frequência absoluta: valor exato, número de vezes que o
valor da variável é citado.
Frequência relativa: valor representado através de
porcentagem, divisão entre a frequência absoluta de cada
variável e o somatório das frequências absolutas.
74
(ENEM – 2009) Os planos de controle e erradicação de doenças em animais
envolvem ações de profilaxia e dependem em grande medida da correta
utilização e interpretação de testes diagnósticos. O quadro abaixo mostra
um exemplo hipotético de aplicação de um teste diagnóstico
Considerando que, no teste diagnostico, a sensibilidade é a probabilidade de
um animal infectado ser classificado como positivo e a especificidade é a
probabilidade de um animal não ser infectado e ter resultado negativo, a
interpretação do quadro permite inferir que
a) A especificidade aponta um número de 5 falsos positivos.
b) O teste, a cada 100 indivíduos infectados, classificaria 90 como positivos.
c) O teste classificaria 96 como positivos em cada 100 indivíduos não
infectados.
d) Ações de profilaxia são medidas adotadas para o tratamento de falsos
positivos.
e) Testes de alta sensibilidade resultam em maior número de falsos
negativos comparado a um teste de baixa sensibilidade.
II - Tabelas
Observe o exemplo:
75
Solução:
Não existe outra maneira de solucionar esse exercício senão procurar
os dados que comprovem ou refutem as alternativas na tabela e no
texto ao redor dela. 
ATENÇÃO: o texto que o exercício traz é tão importante quanto os
dados da tabela. Prova disso é a alternativa A, pois a especificidade é
definida no texto, e não na tabela, como a probabilidade de um animal
não ser infectado e ter um resultado negativo. Observando a tabela, a
especificidade é de 912 animais. Portanto, a alternativa está incorreta.
A alternativa correta é a letra B. Para verificar isso, observe que o texto
da alternativa menciona apenas o número de indivíduos infectados. Há
uma coluna somente para isso na tabela. São 45 indivíduos com teste
positivo para cada 50 infectados. Por regra de 3, a cada 100 infectados,
90 terão resultado positivo no teste.
III - Gráficos
Gráficos são a representação gráfica dos dados contidos em
uma tabela. Existem diversos tipos de gráficos usados em
Estatística e cada um destes é indicado para uma situações
específicas. O gráfico que melhor se enquadra na
representação da tabela acima é o gráfico de curva:
76
Mas também existem gráficos de barras:
Gráfico de colunas:
77
(ENEM) Nos últimos anos, ocorreu redução gradativa da taxa de crescimento
populacional em quase todos os continentes. A seguir, são apresentados dados
relativos aos países mais populosos em 2000 e também as projeções para 2050.
Com base nas informações dos gráficos mostrados, suponha que, no período 2050-
2100, a taxa de crescimento populacional da Índia seja a mesma projetada para o
período 2000-2050. Sendo assim, no início do século XXII, a população da Índia, em
bilhões de habitantes, será:
a) inferior a 2,0
b) superior a 2,0 e inferior a 2,1
c) superior a 2,1 e inferior a 2,2
d) superior a 2,2 e inferior a 2,3
e) superior a 2,3
Os gráficos citados são os mais comuns e mais frequentes em
provas de vestibular e no Enem.
78
Solução:
A taxa de crescimento populacional da Índia, em 2050, é de:
1572 – 1008 = 564 = 0,559 = 55,9%
1008 1008 
Dessa maneira, a população em 2100 será de:
1572·(1 + 0,559) = 1572·1,559 = 2450
A Índia terá 2450 milhões de habitantes aproximadamente, o que é um número
superior a 2,3 bilhões de habitantes.
Gabarito: Letra E.
IV - Medidas de centralidade
 
Todas as informações de gráficos e tabelas possuem algum
elemento que pode servir para representar todos os outros.
Esse elemento é conhecido como medida de centralidade. As
medidas mais importantes para a estatística básica são:
Moda: Entre todos os dados de uma lista, tabela ou
gráfico, existe um que é mais frequente. Esse dado é
chamado de moda. Para encontrá-la, encontre o dado que
mais aparece em uma lista e ele será a moda. Existem, é
claro, listas que possuem duas ou mais modas;
79
Mediana: Escrevendo em ordem crescente os dados de
uma lista, tabela ou gráfico, a mediana é o valor que fica
exatamente no meio de todos os outros. Se a lista tiver um
número par de dados, não existirá um valor que ficará
exatamente no centro, então, basta fazer a média
aritmética dos dois valores centrais;
Média aritmética: é a soma de todos os dados dividida pela
quantidade de dados que foram somados. 
Se liguem no exemplo abaixo:
UPE) Segundo matéria do Caderno Cidades do Jornal do Comércio, publicada em 8 de
maio de 2016, um relatório oficial de assaltos a coletivos entre janeiro e abril de 2016
apontou os locais e as linhas de ônibus que mais sofreram esse tipo de violência no
período citado. Com base nessas informações, analise o gráfico publicado na referida
matéria. 
 
80
De acordo com o gráfico, a média, a mediana e a moda do número de assaltos por local
são respectivamente: 
 
(A). 19; 20 e 12. 
(B). 23; 19,5 e 12. 
(C). 19; 12 e 46. 
(D). 23; 12 e 19. 
(E). 19,5; 12 e 18.
Gabarito: Letra B
V - Como fazer a média 
ponderada?
Esta é uma extensão da média aritmética simples, e leva em
consideração o peso para analisar as informações obtidas. Isso
acontece quando um valor possui mais importância e acaba
sendo multiplicado por um número que recebe o nome de
peso.
Nas universidades, por exemplo, é comum que as primeiras
provas tenham pesos menores que as últimas na média final
do aluno. Na média aritmética ponderada, é feito algo
parecido com a média simples: somam-se todos os valores
multiplicados pelos seus respectivos pesos e divide-se o
resultado pela soma dos pesos.
81
Veja como é a sua fórmula:
Mp: média aritmética ponderada;
p1, p2,…, pn: pesos;
x1, x2,…,xn: valores dos dados.
Onde:
Conseguiu relembrar o conceito e a fórmula da média
ponderada? Agora, vamos ver um exemplo de como ela pode
ser aplicada!
82
1. Joaquim participou de um concurso público, onde foram realizadas
provas de Português, Matemática, Ciências e História. Essas provas
tinham os pesos: 3, 3, 2 e 2; respectivamente. Sabendo que Joaquim tirou
9,0 em Português; 8,0 em Matemática; 6,0 em Ciências e 5,0 em História,
qual foi a média que ele obteve?
2. (BB – Fundação Carlos Chagas). O supervisor de uma agência bancária
obteve dois gráficos que mostravam o número de atendimentos
realizados por funcionários. O Gráfico I mostra o número de
atendimentos realizados pelos funcionários A e B, durante 2 horas e
meia, e o Gráfico II mostra o número de atendimentos realizados pelos
funcionários C, D e E, durante 3 horas e meia.
83
Observando os dois gráficos, o supervisor desses funcionários calculou
o número de atendimentos, por hora, que cada um deles executou. O
número de atendimentos, por hora, que o funcionário B realizou a mais
que o funcionário C é:
(A) 4.
(B) 3.
(C) 10.
(D) 5.
(E) 6.
3. (Sejus ES – Vunesp). Observe os gráficos e analise as afirmações I, II e
III.
84
I. Em 2010, o aumento percentual de matrículas em cursos tecnológicos,
comparado com 2001, foi maior que 1000%.
II. Em 2010, houve 100,9 mil matrículas a mais em cursos tecnológicos
que no ano anterior.
III. Em 2010, a razão entre a distribuição de matrículas no curso
tecnológico presencial e à distância foi de 2 para 5.
É correto o que se afirma em
(A) I e II, apenas.
(B) II, apenas.
(C) I, apenas.
(D) II e III, apenas.
(E) I, II e III.
85
A média que Joaquim obteve foi 7,3.
Mp = 7,3
2. Funcionário B:
25 atendimentos / 2,5 horas = 10 clientes por hora
 
Funcionário C:
21 atendimentos / 3,5 horas =6 clientes por hora
 
Diferença: 10 – 6 = 4
Resposta: A
1.
86
3.
I. CERTO
Matrículas em 2001: 69800;
Matrículas em 2010: 781600;
Crescimento: 781600 – 69800 = 711800
Crescimento em porcentagem: 711800/69800 = 10,19 ou 1019%
II. CERTO
Matrículas em 2010: 781600
Matrículas em 2009: 680700
Crescimento: 781600 – 680700 = 100900
III. CERTO
Em 2010 tivemos 10 matrículas presenciais e 25 à distância:
10/25 = 2/5
Resposta: E
87
88
I - Noções e proposições
primitivas
1. Existem três noções geométricas essenciais:
ponto, reta e plano.
O ponto é representado por letras maiúsculas, a reta por
letras minúsculas e o plano por letras gregas.
Também deve-se mencionar:
Segmento de reta: Um segmento é uma reta que encontra-
se no meio de dois pontos.
Ponto médio: é o ponto que se encontra na metade do
segmento de reta
89
2. Congruência
A congruência é um conceito geométrico. Em geometria, duas
figuras são congruentes se elas possuem a mesma forma e
tamanho. Mais formalmente, dois conjuntos de pontos
geométricos são ditos “congruentes” se, e somente se, um
pode ser transformado no outro por isometria, ou seja, uma
combinação de translações, rotações e reflexões. O conceito
associado de similaridade admite uma mudança no tamanho
entre duas figuras similares.
Dois ângulos são congruentes se, sobrepostos um sobre o
outro, todos os seus elementos coincidem. Nos
paralelogramos, os lados paralelos são congruentes, e os dois
ângulos opostos pelo vértice são sempre congruentes. Num
triângulo equilátero, todos os lados e ângulos são
congruentes; nos triângulos isósceles, apenas os lados iguais e
os ângulos da base são congruentes.
90
II - Ângulos
1. Definição
Chama-se ângulo a reunião de duas semirretas de mesma
origem, não contidas numa mesma reta (não colineares).
2. Ângulos opostos pelo vértice
Se dois ângulos são opostos pelo vértice, eles serão
congruentes. Ou seja, terão a mesma medida.
α = θ
 
β = λ}
91
3. Bissetriz
É uma semirreta que corta um ângulo na metade e,
consequentemente, divide-o em duas medidas iguais.
4. Tipos de ângulos:
Ângulo reto é todo ângulo congruente a seu
suplementar adjacente. Ângulo de 90 graus.
Ângulo agudo é um ângulo menor que um ângulo
reto.
Ângulo obtuso é um ângulo maior que um ângulo
reto.
1
2
3
92
São usados, comumente, a notação de ângulo em graus e
radianos. Contudo, para a geometria plana, é mais comum o
uso dos graus.
4. Tipos de ângulos:
5. ângulos complementares e suplementares:
Dois ângulos são complementares se, e somente se, a soma
de suas medidas é 90°. Um deles é o complemento do outro.
93
Dois ângulos são suplementares se, e somente se, a soma de
suas medidas é 180°. Um deles é o suplemento do outro.
94
III - Paralelismo e
retas concorrentes
As retas paralelas, como o próprio nome já diz, são retas que
nunca irão se cruzar. 
Já as retas concorrentes são retas que cruzam-se e formam
um ângulo alfa. 
Por fim, as retas perpendiculares são retas que cruzam-se e
formam entre si um ângulo 90°.
1. Definição 
95
2. Ângulos alternos internos e
ângulos externos
Se duas retas paralelas distintas interceptam uma
transversal, então os ângulos alternos (ou os ângulos
correspondentes) são idênticos (congruentes). Assim, divide-
se em ângulos alternos internos e externos.
Ângulos alternos internos:
Ângulos alternos externos:
96
3. Teorema de Tales
Definição: Se duas retas são transversais de um feixe de retas
paralelas, então a razão entre dois segmentos quaisquer de
uma delas é igual à razão entre os respectivos
segmentos correspondentes da outra.
Exemplo:
Sabendo que as retas r, s e t são paralelas, determine o valor de x na
imagem a seguir.
97
Correção:
Resposta correta: 3,2
Pelo teorema de Tales, temos que:
Utilizando a propriedade fundamental das proporções e multiplicando
meios pelos extremos, encontramos o valor de x.
Portanto, o valor de x é 3,2.
20 16
4 x=
20x = 64
x = 64 / 20
x = 3,2
98
IV - Polígonos Convexos
1. Definição
Polígonos são figuras planas e fechadas, constituídas por
segmentos de reta.
Neste módulo, serão estudadas apenas os polígonos simples
convexos, pois é o tipo que é cobrado no Enem e vestibulares.
2. Polígonos Regulares
Quando um polígono apresenta todos os lados congruentes
entre si, ou seja, possuem a mesma medida, ele é chamado de
equilátero. Quando todos os ângulos têm mesma medida, ele é
chamado de equiângulo.
Os polígonos convexos são regulares quando apresentam os
lados e os ângulos congruentes, ou seja, são ao mesmo tempo
equiláteros e equiângulos. Por exemplo, o quadrado é um
polígono regular.
99
3. Elementos do Polígono
Vértice: são os extremos dos segmentos de retas que
formam um polígono.
Lado: corresponde a cada segmentos de reta que une
vértices consecutivos.
Ângulos: os ângulos internos correspondem aos ângulos
formados por dois lados consecutivos. Por outro lado, os
ângulos externos são os ângulos formados por um lado e
pelo prolongamento do lado sucessivo a ele.
100
Diagonal: corresponde ao segmento de reta que liga dois
vértices não consecutivos, ou seja, um segmento de reta
que passa pelo interior da figura.
4. Ângulos dos polígonos
A soma dos ângulos externos de qualquer polígono é
SEMPRE igual a 360°.
Já a soma dos ângulos internos depende de cada polígono.
Por isso, usa-se a seguinte fórmula para calcular este valor:
S = (n - 2) . 180° 
Legenda: S = soma dos ângulos internos; n = número de lados
i
i
Ângulo Interno
Ângulo Externo
Diagonal
Vértice
Lado
101
Caso não queira ter que decorar ainda outra fórmula, aqui
vai um macete para calcular o ângulo interno de um
polígono, e que pode ser usado em poucos segundos. É,
porém, recomendado apenas para polígonos de poucos
lados. É o seguinte:
1. Desenhe todas as diagonais de um vértice qualquer do polígono.
Serão formados múltiplos triângulos dessa maneira. 
1
3
4
2
2. Contam-se 4 triângulos no polígono. É uma regra, que todo
triângulo possui, por natureza, a soma de seus ângulos internos igual
a 180º . Assim, basta multiplicar o número de triângulos formados por
180º. Neste caso, 180º . 4 = 720º.
V
102
5. Número de diagonais
Diversas questões de polígonos requerem saber o numero
de diagonais de um polígono de dezenas de lados. Assim, é
importante conhecer a fórmula do número de diagonais. É a
seguinte:
d = 
n . (n - 3)
2
Exemplo:
Determine o número de diagonais de um decágono (10 lados)
Legenda: d = número de diagonais; n = número de lados
Solução:
d = 
10 . (10 - 3)
2
d = 
10 . 7
2
d = 
70
2
1 2
3 d = 354
103
7. Perímetro de um polígono
O perímetro de uma forma geométrica é sempre o valor do
comprimento de todos seus lados, e os polígonos não são
exceção dessa regra. Assim, basta somar todos os lados para
encontrar os perímetro de um polígono.
8. Área dos polígonos regulares
Um polígono é regular quando, como o nome indica, todos
os seus lados e ângulos internos possuem a mesma medida. 
Nos polígonos regulares, a área é definida por:
A = P . a
2
Legenda: A = Área do polígono; P = Perímetro; a = apótema
Para calcular esta fórmula, no entanto, precisa-se conhecer o
perímetro do polígono, assim como o valor de seu apótema. 
104
Para se calcular o apótema, deve-se saber o centro do círculo
do qual o polígono é inscrito. 
Nesse sentido, o apótema é a medida que parte do centro
deste círculo e forma um ângulo de 90º com um dos lados do
polígono. 
Este encontro sempre ocorre no ponto médio de qualquer
um dos lados do polígono regular
a
O
Legenda: a = apótema; O = centro
105
V - Triângulos
Dados três pontos, A, B e C, não colineares, a reunião dos
segmentos AB, AC e BC chama-se triângulo ABC.
Vértices: os pontos A, B e C são os vértices do ABC.
Lados: os segmentos AB, AC e BC são os lados do triângulo.
Ângulos: os ângulos BAC, ABC e ACB são os ângulos do
triângulo ABC (ou ângulos internos do ABC).
Diz-se que os lados BC, AC e AB e os ângulos A ,B e C são,
respectivamente, opostos.
^^ ^
^ ^ ^
1.Definição e Propriedades
106
Ângulo externo: Em todo triângulo, qualquer ângulo externo
é igual à soma dos dois ângulos internos não adjacentes a ele.
Soma dos ângulos de um triângulo: A soma dos ângulos
internos de qualquer triângulo é SEMPRE igual a 180 graus.
Isto é especialmente útil para a resolução de diversos
exercícios no Enem.
2. Classificação dos triângulos
Quanto aos lados, os triângulos se classificam em:
• equiláteros se, e somente se, têm os três lados congruentes;
• isósceles se, e somente se, têm dois lados congruentes;
• escalenos se, e somente se, dois quaisquer lados não são
congruentes.
Quanto aos ângulos, os triângulos se classificam em:
• retângulos se, e somente se, têm um ângulo reto;
• acutângulos se, e somente se, têm os três ângulos agudos;
• obtusângulos se, e somente se, têm um ângulo obtuso;
 
107
3. Casos de congruência entre triângulos
Conhecemos dois triângulos como triângulos congruentes
quando eles possuem todas as medidas iguais, tanto para os
ângulos quanto para os lados. Para identificar se dois
triângulos são congruentes, analisamos o que conhecemos
como casos de congruência de triângulo. São conhecidos
quatro casos de congruência de triângulo:
Lado, Lado, Lado (L, L, L);1
2
3
4
Lado, Ângulo, Lado (LAL);
Ângulo, Lado, Ângulo (ALA);
Lado, Ângulo, Ângulo oposto (LAAo).
108
4. Semelhança de triângulos
Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, possuem
os três ângulos ordenadamente congruentes e os lados
homólogos proporcionais.
Casos de semelhança:
Dois triângulos são semelhantes se dois ângulos de um
são congruentes a dois do outro. Critério AA (Ângulo,
Ângulo).
1
2 Dois triângulos são semelhantes se os três lados de um
são proporcionais aos três lados do outro. Critério LLL
(Lado, Lado, Lado).
3 Dois triângulos são semelhantes se possuem um ângulo
congruente compreendido entre lados proporcionais.
Critério LAL (Lado, Ângulo, Lado).
109
Teorema fundamental:
Dado o triângulo ABC e a reta r. Se a reta r intersecta os
lados AB e AC, nos pontos D e E desse triângulo,
paralelamente ao lado BC, então os triângulos ABC e ADE
são semelhantes.
Esses dois triângulos são semelhantes porque é possível
mostrar que o caso “Lado ângulo lado” de semelhança se
configura neles. Para isso, basta observar:
1 O ângulo do vértice A é comum aos dois triângulos;
2 Os seguimentos AD e AB são proporcionais aos
segmentos AE e AC, devido ao teorema de Tales.
110
5. Triângulo retângulo
O triângulo retângulo é uma figura geométrica formada
por três lados. Ele possui um ângulo reto, cuja medida é
de 90º, e dois ângulos agudos, menores que 90º.
6. Características do triângulo retângulo
Lados:
O lado oposto ao ângulo de 90º é chamado de hipotenusa.
Esse é o maior dos três lados da figura.
Os demais lados são denominados de cateto adjacente e
cateto oposto.
Note que a hipotenusa é representada como (a) e os catetos
como (b) e (c).
111
Relações métricas:
112
Teorema de Pitágoras:
O Teorema de Pitágoras é, talvez, um dos mais importantes do
Enem. Esse teorema afirma que para qualquer triângulo
retângulo, o quadrado da hipotenusa equivale à soma dos
quadrados dos catetos. É representado da seguinte forma:
a = b + c2 22
Legenda: a = hipotenusa; b = cateto, c = cateto
Exemplo:
(IFRS - 2016) Na figura abaixo, o valor de x e y, respectivamente, é
a) 4 √2 e √97 b) 2√2 e 97 c) 2√2 e 2√27
d) 4√2 e 2√27 e) 4√2 e 97 
113
https://www.todamateria.com.br/teorema-de-pitagoras/
Correção:
Alternativa correta: a) 4√2 e √97.
Para encontrar o valor do x, vamos aplicar o teorema de Pitágoras para o
triângulo retângulo que possui catetos iguais a 4 cm.
x = 4 + 4
x = 16 + 16
x = √32
x = 4√2 cm
Para encontrar o valor de y, também usaremos o teorema de Pitágoras,
agora considerando que um cateto mede 4 cm e o outro 9 cm (4 + 5 = 9).
y = 4 + 9
y = 16 + 81
y = √97 cm
Portanto, o valor de x e y, respectivamente, é 4√2 e √97.
2 22
2
2 22
114
7. Ao maior lado opõe-se o maior ângulo
Se dois lados de um triângulo não são congruentes, então os 
ângulos opostos a eles não são congruentes e o maior deles
está oposto ao maior lado.
Similarmente, ao maior ângulo opõe-se o maior lado:
Se dois ângulos de um triângulo não são congruentes, então os
lados opostos a eles não são congruentes e o maior deles está
oposto ao maior lado.
8. Altura do triângulo
Altura de um triângulo é o segmento de reta perpendicular à
reta suporte de um lado do triângulo com extremidades nesta
reta e no vértice oposto ao lado considerado.
115
Meio Abseno: 
Serve para calcular a área de qualquer triângulo, conhecendo
apenas 2 lados ('a' e 'b') e o seno do ângulo θ entre eles.
Área = 1
2
· a · b · sen θ 
(Falamos mais sobre senos no módulo 8 - Trigonometria) .
9. Fórmulas
Área de um triângulo: 
Área = Base · Altura
2
116
a b
θ
Área do triângulo equilátero:
Área = L · 3
2
√
4
L
L
L
117
VI - Quadriláteros
1. Definição
Sejam A, B, C e D quatro pontos de um mesmo plano, todos
distintos e três não colineares (que fazem parte da mesma
reta). Se os segmentos AB, BC, CD, e DA interceptam-se
apenas nas extremidades, a reunião desses quatro segmentos
é um quadrilátero.
Exemplo:
118
2. Quadriláteros notáveis:
Trapézio
Um quadrilátero plano é um trapézio se, e somente se, possui
dois lados paralelos e dois não paralelos.
A soma dos ângulos internos de um trapézio é igual a 360°.
Área:
Área = 
(B + b) · h
2
119
Paralelogramo
Um quadrilátero plano convexo é um paralelogramo se, e
somente se, possui os lados opostos paralelos.
Em todo paralelogramo dois ângulos opostos quaisquer têm
mesma medida. Assim, todo quadrilátero que tiver ângulos
opostos congruentes é um paralelogramo.
A soma de seus ângulos internos é 360º
b
b
h
Área:
Área = base · altura 
120
Retângulo
Um quadrilátero plano é um retângulo se, e somente se, possui
os quatro ângulos internos congruentes.
Em todo retângulo as diagonais são congruentes.
Todo paralelogramo que tem diagonais congruentes é um
retângulo.
A soma de seus ângulos internos é 360º.
Área = base · altura 
a
a
bb d
Área:
Diagonal:
Basta aplicar Pitágoras:
d = a + b 2 22
121
Losango
 Um quadrilátero plano convexo é um losango se, e somente
se, possui os quatro lados congruentes.
Todo losango é um paralelogramo.
Todo losango tem diagonais perpendiculares.
L
L
L
L
Área = D · d
2
Área:
122
Quadrado
Um quadrilátero plano é um quadrado se, e somente se, possui
os quatro ângulos congruentes e os quatro lados congruentes.
Todo quadrado é um retângulo e também é um losango.
L
L
L
L d
Área:
Área = L 2
Diagonal:
Diagonal = L · √2 
(Pode ser extremamente útil e muitas vezes necessário para resolver um exercício)
123
VII - Circunferência e círculo
1. Definição
Circunferência é um conjunto dos pontos de um plano cuja
distância a um ponto dado desse plano é igual a uma distância
(não nula) dada. O ponto dado é o centro, e a distância dada é
o raio da circunferência.
Já o diâmetro (D), é igual a duas vezes o raio. É a distância de
um ponto do círculo ao outro, passando pelo centro.
D
Circunferência:
124
Já o círculo se define pela área plana delimitada pelos pontos
de uma circunferência.
O
Pr
Realiza-se o cálculo de uma circunferência, também conhecida
como o perímetro de um círculo, por meio da seguinte fórmula:
Circunferência = 2 · π · r
O número π (lê-se "pi") é uma constante de qualquer
circunferência, resultante da divisão do perímetro pelo
diâmetro. Geralmente, é arredondado para 3,14, entretanto,
alguns exercícios especificam o valor π, que deverá ser
substituído (exemplo: "Considere que π = 3").
Círculo:
125
Área = π · r2
2. Propriedades
Corda:
Corda de uma circunferência é um segmento
cujas extremidades pertencem à circunferência
126
Reta tangente:
Diâmetro:
Diâmetro de uma circunferência é uma corda que passa pelo
centro.
Uma reta tangente, por definição, é uma reta que tangencia,
ou seja, que passa por um só ponto de uma circunferência.
Toda reta perpendicular a um raio na sua extremidade da
circunferência é tangente à circunferência.
Toda tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio
no ponto de tangência.
127
Propriedade do quadrilátero:
Se um quadrilátero convexo é circunscrito a uma
circunferência, a soma de dois lados opostos é igual à soma
dos outros dois.
AB + CD = AD + BC
128
2. Ângulos inscritos na circunferência
Um ângulo inscrito (que faz parte da circunferência) é metade
do ângulo central correspondente ou a medida de um ângulo
inscrito é metade da medida do arco correspondente.
Esta propriedade é muito importante, pois é bastante
cobrada no Enem e vestibulares.
Exemplo:
Sendo a medida do arco ABC igual a 110º , determine o valor dos
ângulos x e y, conforme a figura abaixo:
129
Solução:
Observe que a medida do arco é 110º e que o ângulo y representa a medida
do ângulo central, ou seja, y = arco = 110º.
O ângulo x da figura representa o ângulo inscrito na circunferência
proveniente do mesmo arco que y, logo x vale a metade de y, ou seja, 55º.
Resposta: x = 55º e y = 110º
130
1. Analise se afirmativas são verdadeiras (V) ou falsas (F) e marque a
opção que classifica a sequência corretamente.
I - Triângulo equilátero é aquele com as medidas de todos seus lados
iguais.
II - Escaleno é o nome de um triângulo que possui as medidas de dois
lados iguais.
III - Obtusângulo é o triângulo que possui ângulo reto.
IV - Chama-se acutângulo o triângulo com seus três ângulos internos
agudos.
a) V, F, V, V
b) F, F, F, V
c) V, F, F, V
d) V, F, F, F
e) V, V, V, V
2. Joana irá construir triângulos utilizando varetas de madeira. Ela
preparou as varetas e as separou em trios para montar seus triângulos.
Em qual alternativa Joana NÃO irá conseguir montar seu triângulo?
a) 2 cm, 3 cm e 4 cm.
b) 3 cm, 5 cm e 7 cm.
c) 3 cm, 6 cm e 11 cm.
131
d) 3 cm, 4 cm e 6 cm.
e) 8 cm, 4 cm e 7 cm.
3. Analise o seguinte polígono e determine o valor do ângulo alpha
a) 74° 
b) 64°
c) 54°
d) 84°
e) 94°
4. No jogo de sinuca, muitas vezes é preciso realizar jogadas chamadas
de tabela para conseguir atingir a bola que precisa. Isso porque, para se
proteger, o adversário coloca uma bola na frente do alvo do oponente,
entre a bola que ele pretende encaçapar, e a bola que ele deve bater.
Na imagem é possível observar que um jogador pretende atingir a bola
5, mesmo com a bola 9 no caminho. Para isso, pretende “contornar” a
bola 9 através de uma tabela. As setas indicam a direção da bola preta.
132
Como o ângulo de chegada na lateral da mesa é igual ao ângulo de saída,
calcule qual deve ser o ângulo de chegada para ele conseguir realizar a
jogada.
a) 38°
b) 48°
c) 54°
d) 66°
e) 78°
5. Qual é o polígono cuja soma de todos seus ângulos internos é 1260°.
a) hexágono
b) octógono
c) eneágono
d) decágono
e) dodecágono
133
6. O número total de diagonais de três polígonos convexos com 7, 9 e 11
lados respectivamente, é:
a) 85
b) 170
c) 120
d) 105
e) 75
7. Uma construtora foi contratada para realizar as obras de um salão de
festas e eventos. Para o piso, o arquiteto projetou um mosaico feito com
um arranjo de peças de revestimento na forma de algum polígono
regular. O nome desta técnica é ladrilhamento. O dono do futuro salão
disse que está pensando nos seguintes 5 polígonos como opções para
ladrilhar o piso:
No entanto, o arquiteto lhe disse ao observar as formas, que ele possui
três opções apenas, uma vez que com duas delas será impossível realizar
o serviço, pois, estas opções não se encaixam perfeitamente, havendo
sobreposição das peças.
134
8. ENEM 2020 - Digital. Considere o guindaste mostrado nas figuras, em
duas posições (1 e 2). Na posição 1, o braço de movimentação forma um
ângulo reto com o cabo de aço CB, que sustenta uma esfera metálica na
sua extremidade inferior.
Na posição 2, o guindaste elevou seu braço de movimentação e o novo
ângulo formado entre o braço e o cabo de aço ED, que sustenta a bola
metálica, é agora igual a 60°.
No entanto, o arquiteto lhe disse ao observar as formas, que ele possui
três opções apenas, uma vez que com duas delas será impossível realizar
o serviço, pois, estas opções não se encaixam perfeitamente, havendo
sobreposição das peças.
Marque as opções que foram descartadas pelo arquiteto.
a) triângulo e hexágono
b) quadrado e pentágono
c) heptágono e triângulo
d) heptágono e pentágono
e) quadrado e triângulo
135
Assuma que os pontos A, B e C, na posição 1, formam o triângulo T1 e que
os pontos A, D e E, na posição 2, formam o triângulo T2, os quais podem
ser classificados em obtusângulo, retângulo ou acutângulo, e também
em equilátero, isósceles ou escaleno.
Segundo as classificações citadas, os triângulos T1 e T2 são identificados,
respectivamente, como:
a) retângulo escaleno e retângulo isósceles.
b) acutângulo escaleno e retângulo isósceles.
c) retângulo escaleno e acutângulo escaleno.
d) acutângulo escaleno e acutângulo equilátero.
e) retângulo escaleno e acutângulo equilátero.
9. ENEM (2019).No trapézio isósceles mostrado na figura a seguir, M é o
ponto médio do segmento BC, e os pontos P e Q são obtidos dividindo o
segmento AD em três partes iguais.
136
Pelos pontos B, M, C, P e Q são traçados segmentos de reta,
determinando cinco triângulos internos ao trapézio, conforme a figura.
A razão entre BC e AD que determina áreas iguais para os cinco
triângulos mostrados na figura é
a) 1/3
b) 2/3
c) 2/5
d) 3/5
e) 5/6
10. (FUVEST - 2021).Três triângulos equiláteros e dois quadrados formam
uma figura plana, como ilustrado. Seus centros são os vértices de um
pentágono irregular, que está destacado na figura. Se T é a área de cada
um dos triângulos e Q a área de cada um dos quadrados, a área desse
pentágono é
a) T + Q.
b) 1/2 T + 1/2 Q.
c) T + 1/2 Q.
b) 1/3 T + 1/4 Q.
e) 1/3 T + 1/2 Q.
137
11. (UECE) Se, em um polígono convexo, o número de lados n é um terço
do número de diagonais, então o valor de n é:
a) 9.
b) 11.
c) 13.
d) 15.
12. (Aprendiz de Marinheiro - 2017) Observe a figura a seguir.
Na figura acima, tem-se um triângulo isósceles ACD, no qual o segmento
AB mede 3 cm, o lado desigual AD mede 10√2 cm e os segmentos AC e
CD são perpendiculares. Sendo assim, é correto afirmar que o segmento
BD mede:
138
a) √53 cm
b) √97 cm
c) √111 cm
d) √149 cm
e) √161 cm
13. (IFRJ - 2013) O pátio de esportes do Campus Arrozal de um Instituto
Federal é retangular, com 100 m de comprimento e 50 m de largura,
representado pelo retângulo ABCD desta figura.
Alberto e Bruno são dois alunos, que estão praticando esportes no pátio.
Alberto caminha do ponto A ao ponto C pela diagonal do retângulo e
volta ao ponto de partida pelo mesmo caminho. Bruno parte do ponto B,
dá uma volta completa no pátio, andando pelas linhas laterais, e volta ao
ponto de partida. Assim, considerando √5 = 2,24 , afirma-se que Bruno
andou mais que Alberto
a) 38 m.
b) 64 m.
c) 76 m.
d) 82 m.
139
14. (Enem - 2017) Para decorar uma mesa de festa infantil, um chefe de
cozinha usará um melão esférico com diâmetro medindo 10 cm, o qual
servirá de suporte para espetar diversos doces. Ele irá retirar uma calota
esférica do melão, conforme ilustra a figura, e, para garantir a
estabilidade deste suporte, dificultando que o melão role sobre a mesa, o
chefe fará o corte de modo que o raio r da seção circular de corte seja de
pelo menos 3 cm. Por outro lado, o chefe desejará dispor da maior área
possível da região em que serão fixados os doces.
Para atingir todos os seus objetivos, o chefe deverá cortar a calota do
melão numa altura h, em centímetro, igual a
140
a) 5 - (√91)/2 c) 1 e) 5
b) 10 - √91 d) 4
15. (Enem - 2016 - 2ª aplicação) A bocha é um esporte jogado em canchas,
que são terrenos planos e nivelados, limitados por tablados perimétricos
de madeira. O objetivo desse esporte é lançar bochas, que são bolas
feitas de um material sintético, de maneira a situá-las o mais perto
possíveldo bolim, que é uma bola menor feita, preferencialmente, de
aço, previamente lançada. A Figura 1 ilustra uma bocha e um bolim que
foram jogados em uma cancha. Suponha que um jogador tenha lançado
uma bocha, de raio 5 cm, que tenha ficado encostada no bolim, de raio 2
cm, conforme ilustra a figura 2.
Considere o ponto C como o centro da bocha, e o ponto O como o centro
do bolim. Sabe-se que A e B são os pontos em que a bocha e o bolim,
respectivamente, tocam o chão da cancha, e que a distância entre A e B é
igual a d. Nessas condições, qual a razão entre d e o raio do bolim?
141
a) 1 c) 1 e) √10
b) (2√10)/2 d) 2
1. Resposta correta: c) V, F, F, V
Na afirmativa II: O triângulo escaleno possui os três lados com medidas
diferentes.
Na afirmativa III: Obtusângulo é o triângulo que possui um de seus
ângulos obtuso, ou seja, com mais de 90°.
2. Resposta correta: c) 3 cm, 6 cm e 11 cm
A condição de existência de um triângulo é que a medida de um lado,
deve ser menor que a soma dos outros.
3 < 6 + 11
6 < 3 + 11
11 > 3 + 6 (condição NÃO satisfeita)
3. Resposta correta: b) 64°
Ideia 1: Encontrar o valor desconhecido do ângulo interno em D.
A soma das medidas internas de um quadrilátero é 360°. Como dois
ângulos são de 90° e um de 64°, temos:
64° + 90° + 90° = 244
360 - 244 = 116º
142
Ideia 2: Determinar alpha
Outra maneira de resolver:
Os segmentos AB e DC são suportes de retas paralelas e, o segmento AD,
de uma reta transversal, que secciona as retas paralelas nos pontos A e
D.
Em A, o ângulo interno 64° e, no ponto D, o ângulo externo alpha, são
ângulos alternos externos, por isso, possuem a mesma medida,
determinados por uma reta transversal que corta duas retas paralelas.
4. Resposta correta: b) 48°
O ângulo da caçapa onde a bola 5 deve entrar faz como indicado, 48°
entre a borda de baixo e a linha pontilhada. Estes 48° mais um angulo
desconhecido x, entre a linha pontilhada e a lateral esquerda da mesa,
formam 90°
x + 48° = 90°
x = 90° - 48°
x = 42°
A linha pontilhada que passa pela bola 5 forma um triângulo retângulo,
com 90° na caçapa de cima. Sendo 180° a soma dos ângulos internos de
um triângulo, podemos determinar o ângulo de saída S.
143
42° + 90° + S = 180°
132 + S = 180°
S = 180° - 132°
S = 48°
Como o ângulo de chagada na lateral superior da mesa é igual ao de
saída, temos que o ângulo de saída é igual a 48°.
5. Resposta correta: c) eneágono
Para o cálculo da soma dos ângulos internos de um polígono convexo,
utilizamos a seguinte fórmula:
S = (n-2) . 180°
Sendo S, o resultado da soma e n o número de lados do polígono.
Assim, vamos substituir S pelo valor fornecido pelo problema, 1260°.
1260 = (n-2) . 180
1260 = 180n - 360
1260 + 360 = 180n
1620 = 180n
1620 / 180 = n
9 = n
O polígono que possuí nove lados é o eneágono.
144
6. Resposta correta: a) 85
Para determinar o número de diagonais em um polígono convexo,
utilizamos a seguinte fórmula:
Sendo d o número de diagonais e n o número de lados do polígono
convexo.
Para um polígono com 7 lados
Para um polígono de 9 lados
Para um polígono 11 lados
145
Somando os valores, temos:
Portanto, a soma do número de diagonais destes três polígonos é de 85
diagonais ao total.
7. Resposta correta: d) heptágono e pentágono
O ladrilhamento só é possível com polígonos que formam 360° ao redor
de um vértice de união entre os polígonos.
Exemplos:
Para o pentágono
Cada ângulo interno é de 108°. Portanto, na união de três pentágonos
temos:
108° + 108° + 108° = 324°
146
Se acaso tentarmos colocar mais um pentágono serão 324° + 108° = 432°
Por isso, não é possível ladrilhar pentágonos regulares.
Para o hexágono
Cada ângulo interno do hexágono regular é igual a 120°. Por isso, para a
união entre três hexágonos temos:
120° + 120° + 120° = 360°
Portanto, é possível ladrilhar hexágonos regulares.
Para o quadrado
Como cada ângulo interno é igual a 90°, para quatro quadrados temos
90° x 4 = 360°. É possível ladrilhar quadrados.
Para o triângulo equilátero
Como cada ângulo é igual a 60°, para a união de seis triângulos temos
60° x 6 = 360°. É possível ladrilhar.
Para o heptágono
Cada ângulo interno vale 128,57°. Como 360° não é divisível por 128,57,
não é possível ladrilhar utilizando os heptágonos regulares.
Das opções propostas pelo dono do salão de festas, o arquiteto descartou
os heptágonos e pentágonos.
147
8. Resposta correta: e) retângulo escaleno e acutângulo equilátero.
Em T1 (posição 1)
O enunciado nos fornece que o cabo forma um ângulo reto com o braço,
daí temos um triângulo retângulo.
Como o cabo tem 16 m e o braço 12 m, o segmento que falta para fechar o
triângulo é a hipotenusa, que não pode ser igual aos catetos. Temos três
lados com medidas diferentes, por isso um triângulo escaleno.
Dessa forma, T1 é retângulo e escaleno.
Em T2 (posição 2)
O cabo está com 12 m, mesma medida do braço e forma um ângulo de
60°. Temos dois lados com mesma medida e um ângulo de 60º, o que nos
leva obrigatoriamente a outros dois ângulos iguais. Como a soma dos
ângulos internos de um triângulo é igual a 180°, e já temos a indicação
de 60°, sobram 120° para os outros dois ângulos, 60° para cada um.
Dessa forma, T2 possui três lados e ângulos iguais, por isso, é um
triângulo equilátero e acutângulo.
9. Resposta correta: letra b) 2/3
Algumas pistas que o enunciado fornece:
148
A figura forma um trapézio.
Os cinco triângulos devem possuir áreas iguais.
Ideia 1: Um trapézio possui bases paralelas, por isso a distância entre as
duas bases é igual em qualquer ponto. Por isso, as alturas de todos os
triângulos são iguais.
Ideia 2: A área de um triângulo
Sendo
A, a área
b, a base
h, a altura
Se a área dos cinco triângulos devem ser iguais e a altura é igual para
todos os triângulos, logo, a base b deve ser igual para todos.
De fato, se isolarmos b
Se A e h são iguais para todos triângulos, b também é igual.
149
Logo,
BC = 2b
AD = 3b
Por isso a razão será:
Resposta correta: c) T + 1/2 Q.
10. Ideia 1: Nos quadrados, a parte vermelha equivale a que fração?
Em cada quadrado maior (Q), a parte vermelha é igual a 1/4. Como há
duas parte vermelhas, em relação a Q, teremos:
Ideia 2: Nos triângulos, a parte vermelha representa que fração?
Em cada triângulo, a parte vermelha é igual a 1/3 de sua área. Como há
três triângulos, teremos:
Portanto, a área do pentágono é igual a área de um triângulo, mais, a
metade da área de um quadrado.
150
11. Resposta correta: a) 9.
O número de diagonais em um polígono convexo é dado pela fórmula:
O enunciado nos diz que n é um terço de d, dessa forma, d = 3n.
Substituindo na fórmula e isolando n
Por isso, o valor de n é igual a 9.
12. Alternativa correta: d) √149 cm
Considerando as informações apresentadas no problema, construímos a
figura abaixo:
151
De acordo com a figura, identificamos que para encontrar o valor de x,
será necessário encontrar a medida do lado que chamamos de a.
Como o triângulo ACD é retângulo, aplicaremos o teorema de Pitágoras
para encontrar o valor do cateto a.
Agora que já conhecemos o valor do a, podemos encontrar o valor do x,
considerando para isso o triângulo retângulo BCD.
Note que o cateto BC é igual a medida do cateto menos 3 cm, ou seja, 10 -
3 = 7 cm. Aplicando o teorema de Pitágoras para esse triângulo, temos:
152
Portanto, é correto afirmar que o segmento BD mede √149 cm.
13. Alternativa correta: c) 76 m.
A diagonal do retângulo o divide em dois triângulos retângulos, sendo a
hipotenusa igual a diagonal e os catetos iguais aos lados do retângulo.
Desta forma, para calcular a medida da diagonal, vamos aplicar o
teorema de Pitágoras:
Considerando que Alberto foi e voltou, percorreu 224 m.
Já Bruno percorreu uma distância igual ao perímetro do retângulo, ou
seja:
p = 100 + 50 + 100 + 50
p = 300 m
Portanto, Bruno andou 76 m a mais que Alberto (300 - 112 = 76 m).
153
x² = 10² + 7²
x² = 100 + 49
x = √149
d² = 100² + 50² -> d² = 10 000+ 2 500 -> d2 = 12 500 ->
d = √12 500 -> d = 2 . 5² . √5 -> d = 50√5
Substituindo √5 = 2,24, temos:
d = 50 . 2,24 -> d = 112m
14. Alternativa correta: c) 1
Observando a figura apresentada na questão, identificamos que a altura
h pode ser encontrada diminuindo-se a medida do segmento OA da
medida do raio da esfera (R).
O raio da esfera (R) é igual a metade do seu diâmetro, que neste caso é
igual a 5 cm (10 : 2 = 5).
Portanto, precisamos encontrar o valor do segmento OA. Para isso,
iremos considerar o triângulo OAB representado na figura abaixo e
aplicar o teorema de Pitágoras.
52 = 32 + x2
x2 = 25 - 9
x = √16
x = 4 cm
154
Poderíamos também encontrar o valor de x diretamente, observando
que se trata do triângulo pitagórico 3,4 e 5.
Assim, o valor de h será igual a:
h = R - x
h = 5 - 4
h = 1 cm
Portanto, o chefe deverá cortar a calota do melão numa altura de 1 cm.
15. Alternativa correta: e) √10
Para calcular o valor da distância d entre os pontos A e B, vamos
construir uma figura unindo os centros das duas esferas, conforme
mostrado abaixo:
Note que a figura pontilhada em azul tem a forma de um trapézio.
Vamos dividir esse trapézio, conforme figura abaixo:
155
Ao dividir o trapézio, obtemos um retângulo e um triângulo retângulo. A
hipotenusa do triângulo é igual a soma do raio da bocha com o raio do
bolim, ou seja, 5 + 2 = 7 cm.
A medida de um dos catetos é igual a d e a medida do outro cateto é
igual a medida do segmento CA, que é o raio da bocha, menos o raio do
bolim (5 - 2 = 3).
Desta forma, podemos encontrar a medida de d, aplicando o teorema de
Pitágoras a esse triângulo, ou seja:
72 = 32 - d2
d2 = 49 - 9
d = √40
d = 2 √10
Portanto, a razão entre a distância d e o bolim será dada por:
156
157
A Geometria Espacial corresponde à analise de objetos
tridimensionais (ou sólidos): objetos que possuem largura,
comprimento e altura, ou então largura, comprimento, e
profundide.
É baseada na geometria plana, e com base nestes conceitos
primitivos, são desenvolvidos os sólidos, dentre os principais
os Poliedros (paralelepípedo, cubo, e demais prismas), os
Sólidos Redondos (esfera, cone e cilindro), e os Sólidos de
Platão.
A Geometria Espacial estuda desde o entendimento básico
dos sólidos até conceitos mais avançados, incluindo cálculo de
volume, ou então área da superfície.
I - Definição
158
Convexos: um poliedro é convexo quando dois pontos 
 quaisquer da superfície formam um segmento de reta que
está inteiramente contido no poliedro;
Não-convexos (côncavos): Um poliedro é côncavo quando
dois pontos formam um segmento de reta nas
extremidades e parte deste segmento de reta não
pertença ao poliedro.
Sólidos fechados que possuem faces poligonais, compostos
por vértices, arestas e faces, são eles: os prismas, as pirâmides
e os sólidos de Platão (tetraedro, cubo, dodecaedro, icosaedro,
cubo, dodecaedro). São classificados em:
II - Poliedros
159
Neste módulo, entretanto, serão estudados apenas os
poliedros convexos, que são os cobrados pelo Enem.
III - Prismas
1. Definição
É caracterizado por ser um poliedro convexo com duas bases
(polígonos iguais) congruentes e paralelas. É também
caracterizado por faces planas laterais (paralelogramos).
Existem inúmeros prismas de bases diferentes. umas das
outras. Dentre elas estão:
 Prisma Triangular: base formada por triângulo.
 Prisma Quadrangular: base formada por quadrado.
 Prisma Pentagonal: base formada por pentágono.
 Prisma Hexagonal: base formada por hexágono.
 Prisma Heptagonal: base formada por heptágono.
 Prisma Octogonal: base formada por octógono.
160
2. Tipos
Existem 2 classificações para os prismas: Prismas Retos e
Prismas Oblíquos
Prismas Retos: Suas arestas são perpendiculares (formam
um ângulo de 90º) à base, e suas faces laterais são sempre
retângulos;
Prismas Oblíquos: Suas arestas são oblíquas (diferentes de
90º) à base, e suas faces laterais são sempre paralelogramos.
161
3. Fórmulas
Área
Lateral = n . a
Legenda: 
n = número de faces
a = área da face lateral
Área
Total S + SL B
Legenda: 
S = Soma das áreas das faces laterais; 
S = Soma das áreas das bases
Volume = A . hB
Legenda: 
A = Área da base
h = altura
L
B
=
162
IV - Paralelepípedo
É um tipo de prisma que possui base e faces em formato
de paralelogramos (polígono de quatro lados).
 6 faces (paralelogramos)
 8 vértices
 12 arestas
O paralelepípedo possui:
ab
c
1. Definição 
163
2. Fórmulas
Área
Total = 2ac + 2ab + 2bc
Em que 2ac, 2ab, e 2bc representam as somas das áreas dos lados opostos.
Lembre-se que Base x Altura é a fórmula para calcular a área de um
paralelogramo.
Volume = a . b . c
Em outras palavras, é a área da base (a . b) vezes a altura (= c)
164
V - Cubo
É caracterizado como um poliedro (hexaedro) regular ou
ainda, um paralelepípedo retângulo com todas as faces e
arestas congruentes e perpendiculares (a = b = c). 
Logo, todas as suas arestas possuem medida a, e todas suas
faces possuem área = a².
a
a
a
 6 faces (paralelogramos)
 8 vértices
 12 arestas
Como o cubo é um tipo de paralelepípedo, também possui:
1. Definição 
165
2. Fórmulas
Área
Total = 6 . a²
Como o cubo é um paralelepípedo, esta é simplesmente a fórmula adaptada da área
total do paralelepípedo, já que a área de todas as faces são iguais (quadrados) 
Como um cubo possui 6 faces, basta multiplicar a área de uma face por 6. 
Volume = a³
Assim como com a área total, esta fórmula é uma forma reescrita da fórmula do
volume de um paralelepípedo. a = b = c, logo a . b . c = a³
166
VI - Pirâmide
Também um poliedro, a pirâmide é constituída por uma base
e um vértice. Sua base pode ser não só triangular, como
também quadrada, pentagonal, ou então ter o formato de
qualquer polígono.
1. Definição 
 1 base
 n faces laterais (igual ao número de lados do polígono da base
 1 vértice
A pirâmide possui:
167
3. Fórmulas
Área
Total = A + AB L
Legenda: A = área da base; A = área lateral
2. Altura da pirâmide
Equivale à distância do vértice da pirâmide ao plano da base,
sempre formando um ângulo de 90º.
a
b
h
Volume A . h= B
Legenda: A = área da base; h = altura
B L
B
3
168
VII - Corpos redondos
Chamados também de não poliedros, os corpos redondos se
diferem dos poliedros pelo fato de possuírem pelo menos uma
superfície curva, que os permitem girar ou rolar.
Existe uma grande diversidade de corpos redondos, mas no
Enem e vestibulares, são cobrados apenas alguns dos
principais representantes dessa classe de sólidos.
São eles o cilindro, o cone, e a esfera.
169
VIII - Cilindro
É um corpo redondo que possui duas bases circulares
paralelas e congruentes.
r
h
Sua altura equivale à distância entre as duas bases, e é
representada pela letra h.
1. Definição 
170
2. Fórmulas
Área da superfície
do cilindro = 2 . π . r² + 2 . π . r . h
Mas por quê essa fórmula?
Na primeira metade da soma nesta fórmula (2 . π . r²), ocorre uma
multiplicação por 2 da área da base do cilindro. Como visto no módulo 3
(Geometria Plana), a área de um círculo é calculada pela fórmula π . r². 
Já na segunda metade, multiplica-se valor da circunferência (que é igual a
2 . π . r) pela altura h.
Isso ocorre pois a circunferência é igual ao comprimento da área lateral, e
a altura do cilindro corresponde à altura da área lateral. Multiplicando-os,
encontra-se a área lateral.
Legenda: r = raio, h = altura
Somando as duas partes, obtém-se o valor da área total de superfície de
um cilindro.
171
r
Área Lateral
base
base
Confira a planificação a seguir para entender melhor:
2 . π . r (comprimento)
h (altura)=
Volume = π . r² . h 
Trata-se novamente da multiplicação da área da base pela
altura. Neste caso, a área da base é igual a π . r² (círculo) 
172
IX - Cone
O cone é um corpo redondo que possui apenas um vértice e
uma base plana circular. 
Sua altura h é definida como a distância entre a base e seu
vértice. 
A linha g é a geratriz do cone, e édefinida pela distância entre
um ponto qualquer da circunferência da base ao vértice.
Forma um triângulo retângulo imaginário com o raio e a altura.
1. Definição 
g
r
h
173
2. Fórmulas 
Área da superfície 
do cone = π . r . g + π . r²
Legenda: r = raio; g = geratriz; π . r . g = área lateral;
π . r² = área da base (círculo)
Volume = 
π . r² . h
3
Legenda: r = raio; h = altura
Trata-se da área da base vezes a altura sobre 3, assim como a pirâmide.
174
X - Esfera
1. Definição 
A esfera é um corpo redondo em que todos os pontos da
superfície estão à mesma distância do centro. Essa distância é
a medida do raio r.
175
2. Fórmulas 
Área de
 superfície = 4 . π . r²
Volume = 4 . π . r³3
Legenda: r = raio; h = altura
176
XI - Sólidos Platônicos
São poliedros regulares, em que todas suas faces são formadas
por polígonos regulares e congruentes.
Exemplos:
177
 1. Uma pirâmide reta de base quadrada foi soldada sobre um prisma
reto de bases congruentes à base da pirâmide, formando um sólido
geométrico parecido com o da figura.
Sabendo que a aresta da base do prisma mede 6 cm e que sua altura e a
altura da pirâmide medem o dobro da aresta da base do prisma, qual o
volume do sólido geométrico formado nessa construção?
a) 144 cm3
b) 256 cm3
c) 288 cm3
d) 432 cm3
e) 576 cm3
178
2. Um piscicultor cria uma espécie de peixe em um tanque cilíndrico.
Devido às características dessa espécie, o tanque deve ter, exatamente,2
metros de profundidade e ser dimensionado de forma a comportar 5
peixes para cada metro cúbico de água. Atualmente, o tanque comporta
um total de 750 peixes. O piscicultor deseja aumentar a capacidade do
tanque para que ele comporte 900 peixes, mas sem alterar a sua
profundidade. Considere 3 como aproximação para π.
O aumento da medida do raio do tanque, em metro, deve ser de:
3. Um clube deseja produzir miniaturas em escala do troféu que ganhou
no último campeonato. O troféu está representado na Figura 1 e é
composto por uma base em formato de um paralelepípedo reto-
retângulo de madeira, sobre a qual estão fixadas três hastes verticais
que sustentam uma esfera de 30 cm de diâmetro, que fica centralizada
sobre a base de madeira. O troféu tem 100 cm de altura, incluída sua
base.
179
A miniatura desse troféu deverá ser instalada no interior de uma caixa
de vidro, em formato de paralelepípedo reto-retângulo, cujas dimensões
internas de sua base estão indicadas na Figura 2, de modo que a base do
troféu seja colada na base da caixa e distante das paredes laterais da
caixa de vidro em pelo menos 1 cm. Deve ainda haver uma distância de
exatos 2 cm entre o topo da esfera e a tampa dessa caixa de vidro. Nessas
condições deseja-se fazer a maior miniatura possível.
A medida da altura, em centímetro, dessa caixa de vidro deverá ser igual
a:
A)12 
B)14
C)16
D)18
E)20
180
4. Num recipiente com a forma de paralelepípedo reto-retângulo,
colocou-se água até a altura de 8 cm e um objeto, que ficou flutuando na
superfície da água. Para retirar o objeto de dentro do recipiente, a altura
da coluna de água deve ser de, pelo menos, 15 cm. Para a coluna de água
chegar até essa altura, é necessário colocar dentro do recipiente
bolinhas de volume igual a 6 cm3 cada, que ficarão totalmente
submersas.
O número mínimo de bolinhas necessárias para que se possa retirar o
objeto que flutua na água, seguindo as instruções dadas, é de:
A)14 
B)16
C)18
D)30
E)34
181
5. Calcule a área da base, a área lateral e a área total de um prisma reto
que apresenta 20 cm de altura, cuja base é um triângulo retângulo com
catetos que medem 8 cm e 15 cm.
6. (Enem-2012) Maria quer inovar sua loja de embalagens e decidiu
vender caixas com diferentes formatos. Nas imagens apresentadas estão
as planificações dessas caixas.
Quais serão os sólidos geométricos que Maria obterá a partir dessas
planificações?
a) Cilindro, prisma de base pentagonal e pirâmide
b) Cone, prisma de base pentagonal e pirâmide
c) Cone, tronco de pirâmide e prisma
d) Cilindro, tronco de pirâmide e prisma
e) Cilindro, prisma e tronco de cone
182
7. Qual a área da esfera de raio √3 m?
8. Qual o volume da esfera de raio ³√3 cm?
183
 1. O volume desse sólido geométrico é dado pela soma do volume da
pirâmide (V1) e do volume do prisma (V2). Em outras palavras, o volume
total (V) é dado por:
V = V1 + V2
Todas as arestas da base do prisma mede 6 cm, pois sua base é quadrada.
Além disso, sua altura mede o dobro da aresta da base, portanto, 12 cm.
O mesmo vale para a pirâmide: as arestas da base medem 6 cm, e a
altura mede 12 cm. Isso ocorre porque as bases dos dois sólidos são
congruentes.
O volume de uma pirâmide qualquer é determinado por:
V = Ab·h
 3
Como a base da pirâmide é quadrada e possui aresta de 6 cm, teremos:
Ab = l2
Ab = 62
Ab = 36
184
O volume dessa pirâmide será:
V1 = Ab·h/3
V1 = 36·12/3
V1 = 432/3 
V1 = 144 cm3
Como as bases do prisma e da pirâmide são congruentes, suas áreas são
iguais. A fórmula do volume do prisma é:
V2 = Ab·h
V2 = 36·12
V2 = 432 cm3
Para finalizar o exercício, basta calcular a área total do sólido
geométrico:
V = V1 + V2
V = 144 + 432
V = 576 cm3
Alternativa correta: letra E
2. Inicialmente, o tanque está comportando 750 peixes, então podemos
descobrir o seu volume usando uma regra de três simples:
5 peixes - 1 m³
750 peixes = x m³
185
5 . x = 750 . 1
x = 750/5
x = 150 m³
O volume inicial do tanque é de 150 m³, como a altura vale 2m, então
podemos encontrar seu raio.
Vc = π . R² . h
150 = 3 . R² . 2
R² = 150/6
R² = 25
R = 5 m
Num segundo momento, o piscicultor decide aumentar o raio desse
tanque e manter sua altura (2m), de modo que ele comporte 900 peixes,
novamente podemos obter este volume usando uma regra de três
simples.
5 peixes - 1 m³
900 peixes = x m³
5 . x = 900 . 1
x = 900/5
x = 180 m³
Hora de calcular o tamanho do raio do novo tanque.
186
Vc = π . R² . h
180 = 3 . R². 2
R² = 30
R = √30 m
Para encontrarmos o aumento que deve ser feito no raio do tanque,
basta calcular (Raio Maior - Raio Menor). Sendo assim, o aumento da
medida do raio do tanque, em metro, deve ser de ( √30 - 5 ) m.
Alternativa correta: letra a.
3. O troféu original tem medidas 50 cm x 50 cm x 100 cm, ou seja, sua
base é quadrada. Também podemos dizer que ele proporcionalmente
tem medidas X, X e 2X. Então, qualquer miniatura deste troféu terá
também base quadrada e essas mesmas proporções entre suas medidas.
Iremos criar a maior miniatura possível cuja base possa ser inserida
numa caixa de vidro que tem área da base com as seguintes seguintes
medidas: 8 cm x 10 cm. Além disso, a base da miniatura do troféu deverá
estar distanciada de 1 cm (no mínimo) das paredes laterais da caixa de
vidro. Como queremos a maior miniatura possível, então vamos deixar a
distância entre as bases exatamente no valor mínimo de 1 cm. Assim,
nos sobra uma área de 6 cm x 8 cm para a miniatura do troféu. Veja a
seguir uma representação da base máxima possível para a miniatura do
troféu.
187
Como a base do troféu original tem o formato de um quadrado, então o
quadrado máximo que podemos inserir no espaço 6 cm x 8 cm é o
quadrado de lado igual a 6 cm.
 
Logo, as dimensões da miniatura do troféu serão: 6 cm, 6 cm e 12 cm
(respeitando a proporção X, X, 2X). A altura da miniatura do troféu vale
12 cm, ainda temos que somar 2 cm para que haja uma distância entre o
topo da esfera e a tampa da caixa de vidro. Finalmente, a medida da
altura, em centímetro, dessa caixa de vidro deverá ser igual a 12 + 2 = 14
cm. 
Alternativa correta: letra b.
4. Como o recipiente está cheio até a altura de 8 cm. De acordo com o
enunciado, deve-se acrescentar água até o volume atingir 15 cm. O
restante de água que precisa ser acrescido corresponde a forma de um
prisma de base 3 cm por 4 cm e altura 7 cm. Logo, o volume a ser
acrescido é de 84 cm3. Após essa etapa, basta fazer uma regra de três,
onde uma bolinha corresponde a 6 cm3 e x bolinhas corresponde a 84
cm3. Após os devidos cálculos, x=14.
Alternativacorreta: letra A
188
5. Resposta correta: Ab = 60 cm2; Al = 800 cm2 e At = 920 cm2.
Antes de mais nada, para descobrirmos a área da base, devemos lembrar
a fórmula para encontrar a área do triângulo
Logo,
Ab= 8.15/2
Ab=60 cm2
Por conseguinte, para encontrar a área lateral e a área da base devemos
lembrar do Teorema de Pitágoras, donde a soma dos quadrados de seus
catetos corresponde ao quadrado de sua hipotenusa.
Ele é representado pela fórmula: a2=b2+c2. Assim, por meio da fórmula
devemos encontrar a medida da hipotenusa da base:
Logo,
a2=82+152
a2=64+225
a2= 289
a=√289
a2=17 cm
Área Lateral (soma das áreas dos três triângulos que formam o prisma)
Al= 8.20+15.20+17.20
Al= 160+300+340
Al=800 cm2
Área Total (soma da área lateral com o dobro da área da base)
189
At=800+2.60
At=800+120
At=920 cm2
Assim, as respostas do exercício são:
Área da Base: Ab = 60 cm2
Área Lateral: Al = 800 cm2
Área Total: At = 920 cm2
6. Resposta correta: a) Cilindro, prisma de base pentagonal e pirâmide.
7. Para calcular a área da superfície esférica, utiliza-se a expressão:
Ae=4.п.r2
Ae = 4. п. (√3)2
Ae = 12п
8. Para calcular o volume da esfera, utiliza-se a expressão:
Ve = 4/3.п.r3
Ve = 4/3.п.(³√3)3
Ve = 4п.cm3
Portanto, o volume da esfera de raio ³√3 cm é de 4п.cm3.
Logo, a área da esfera de raio √3 m, é de 12 п.
190
191
I - Definição
Podemos definir uma função, de uma forma simples, como
sendo a relação entre duas grandezas variáveis. Mas,
conforme houve uma evolução na matemática, podemos
também definir uma função como na imagem a seguir e na
definição formal de uma função: 
Dados os conjuntos X e Y, uma função f: X → Y (lê-se: uma função
de X em Y) é uma regra que determina como associar a cada
elemento x um único y = f(x). 
1. O que são funções?
192
2. Pares Ordenados
Chama-se par todo conjunto formado por dois elementos.
Assim {1, 2}, {3, 1}, {x, y} indicam pares. Tomemos o par
ordenado (2, 1), subentende-se que o primeiro elemento
corresponde à incógnita x e o segundo à incógnita y no plano
cartesiano.
Exemplo:
Em um gráfico de uma função, encontram-se diversos pares
ordenados. Pode se traçar então uma linha conectando estes
pontos. 
193
Como será visto adiante, as noções sobre plano cartesiano são
fundamentais para a elaboração do gráfico de uma função. Assim,
dê as coordenadas dos seguintes pontos:
Exercício:
194
II - Função Afim
Também chamada de Função do Primeiro Grau, a Função
Afim é definida como y = ax + b. "y" é uma imagem que varia
em função pode ser representado por "f(x)", logo f(x) = ax + b.
Exemplos de função afim são:
 1 y = 2x + 3 em que a = 2 e b = 3
 2 y = -12x em que a = -12 e b = 0
1. Lei de Formação
f(x) = ax + b
195
2. Coeficiente Angular 
Dada uma função f(x)= ax + b, o termo a é denominado de
taxa de variação ou de coeficiente angular (em caso de
gráfico), porque é ele que determina o quanto a função cresce
ou decresce.
Exemplo:
Um táxi cobra um valor fixo de bandeirada no valor de R$ 4,50 e a
cada quilômetro rodado cobra um valor adicional de R$ 2,00. 
Caso uma pessoa entre no táxi e não ande, o preço da corrida será
de R$ 4,50.
Ao andar 1 quilômetro, o preço subirá para R$ 6,50.
Ao andar 2 quilômetros, o preço será de R$ 8,50.
Repare que a taxa de crescimento a cada quilômetro é de R$ 2,00. 
Logo, a taxa de crescimento da função é 2 e a lei de formação será
f(x) = 2x + 4,50, onde x é a quantidade de quilômetros rodados.
Há ainda como calcular o coeficiente angular por meio da
fórmula m = ∆y / ∆x. Falaremos mais sobre isso no módulo
de geometria analítica.
196
3. Coeficiente Linear
Dada uma função afim f(x) = ax + b, b é o coeficiente linear da
função. A partir do coeficiente linear, é possível determinar
onde o gráfico da função afim intersecta o eixo das ordenadas
e isso acontece com o x=0.
Exemplo:
Na função f(x) = 3x + 2
A função irá intersectar a o eixo das ordenadas no ponto (0,2). Para
provar este fato, basta zerar o valor de x. Fazendo isso, substitui-se
o valor de x pelo número 0. Assim, pode-se resolver a equação,
como a seguir, em que f(0), ou y quando x = 0, é uma incógnita:
 f(0) = 3 · 0 + 2 = 2
Isto pode ser observado na unidade a seguir:
gráfico da Função Afim
197
4. Gráfico 
O gráfico de uma função do 1º grau é representada no Plano
Cartesiano, e é formada por uma reta oblíqua aos eixos X
(horizontal) e Y (vertical). Desta forma, para construirmos seu
gráfico basta encontrarmos pontos que satisfaçam a função.
Exemplo do gráfico de uma função afim:
198
5. Função Crescente e Descrescente
Quando o coeficiente angular é maior que 0 (positivo), a
função será crescente. Isso significa que conforme o valor de
x aumenta, o valor de y também aumenta. Quando o
coeficiente angular é menor que 0 (negativo), a função será
decrescente. Isto significa que conforme x aumenta, y diminui.
Exemplo:
Percebe-se que quando o valor do coeficiente angular é
positivo, a função é crescente, e o oposto quando o
coeficiente é negativo.
199
6. Zero da Função Afim
O zero da função afim trata-se do valor da raiz da função. Em
outras palavras, trata-se do valor de x em que a reta da função
f(x) intersecciona com o eixo X (horizontal). Para funções
constantes com y ≠ 0, não há raíz da função (ou zero da
função)
Representação gráfica:
y = 0 quando x = 2
200
Mas como se encontra o 0 da função sem o uso de um
gráfico?
Para determinarmos o zero ou a raiz de uma função basta
considerarmos f(x) (ou y) = 0. Substituímos este valor na
fórmula da função, assim resolvendo-a. Confira no exemplo a
seguir:
Exemplo:
f(x) = 3x - 9 0 = 3x - 9 3x = 9 x = 3
201
III - Função Quadrática
Esta função é definida como sendo uma equação do 2° grau
na forma: ax + bx + c. Com “a” diferente de 0.
1. Lei de Formação
2
f(x) = ax + bx + c2
Alguns exemplos de função quadrática são:
 1 f(x) = 2x² + 5x + 7, em que 'a' = 2, 'b' = 5 e 'c' = 7
 2 f(x) = -x², em que 'a' = -1, 'b' = 0 e 'c' = 0.
 3 f(x) = x² + x + 1, em que 'a' = 1, 'b' = 1 e 'c' = 1.
 4 f(x) = 6x² + 5, em que 'a' = 6, 'b' = 0 e 'c' = 5.
202
2. Gráfico da Função Quadrática
Funções quadráticas são representadas como parábolas
no plano cartesiano. 
xx
yy
O coeficiente a: Se o valor de a na equação for positivo (a >
0), a parábola tem sua concavidade virada para cima. Se o
valor de a for negativo (a < 0), a parábola tem sua
concavidade virada para baixo. Confira nas figuras a seguir:
203
O coeficiente c: A letra c também nos dá uma informação
muito importante. Com ela sabemos onde a parábola corta o
eixo y. Veja:
Isso ocorre pois quando x = 0, o fator "a" e "b" da função são
zerados, sobrando apenas o fator independente c.
f(x) = ax + bx + c 2 f(0) = a.0 + b.0 + c 2
f(0) = c 
204
3. Zeros da Função Quadrática
Os zeros da função quadráticas tratam-se das raízes da
equação do segundo grau. É o momento em que a função
passa por dois pontos no eixo x. São escritos como x e x
Para encontrá-las, é preciso substituir y por 0 na função, pois
o encontro com o eixo x só ocorre quando y = 0.
Agora, basta resolver a equação do segundo grau com
Bhaskara ou Soma e Produto (Para mais informações, leia o 
 módulo 1), assim encontrando as raízes da função.
1 2
Os pontos x e x são os momentos em que a função
intersecta com o eixo x.
1 2
205
4. Forma fatorada da função quadrática
Agora que sabemos como calcular as raízes da função,pode-
se também escrever a função de forma fatorada. Sua
fórmula é:
y = a (x - x ) (x - x )1 2
Pode ser muito útil quando se tem as raízes mas não a
equação da função. 
Exemplo:
[Resolução na próxima página]
206
Resolução: 
De acordo com o gráfico, as raízes dessa função do segundo grau são
1 e 5.
Portanto, a função que representa a parábola é da forma:
y = a(x - 1)(x - 5)
Observe que a parábola passa pelo ponto (0,5). Então, substituindo
esse ponto na função acima:
5 = a . (0 - 1) . (0 - 5)
5 = 5a
a = 1
y = 1 . (x - 1) . (x - 5) = x² - 6x + 5Substituindo o valor de a na equação, temos:
Agora substituindo o valor de x de cada alternativa na equação,
apenas a opção b (3, - 4) possui ambas coordenadas que
correspondem:
3² - 6.3 + 5 = -4
 
Logo, o ponto (3,-4) pertence. Alternativa correta = b
207
4. O Discriminante ∆
Como vimos no módulo 1, para calcular uma equação do
segundo grau por meio de Bhaskara (Fórmula da Quadrática),
deve se utilizar o discriminante ∆ (b - 4.a.c)
Há algumas condições relacionadas ao Discriminante ∆ nas
equações polinomiais do segundo grau que são idênticas para
as funções quadráticas:
2
Primeira condição: Quando Δ > 0, a função possui duas raízes
reais diferentes. A parábola interceptará o eixo x em dois
pontos distintos.
Segunda condição: Quando Δ = 0, a função possui uma única
raiz real. A parábola tem somente um ponto em comum, que
tangencia o eixo x.
Terceira condição: Quando Δ < 0, a função não possui raiz
real; logo, a parábola não intercepta o eixo x.
208
Para ∆ > 0:
a > 0 a < 0
Para ∆ = 0:
a > 0 a < 0
Para ∆ < 0:
a > 0 a < 0
209
5. O vértice da Parábola
Já descobrimos o formato do gráfico de uma função
quadrática, onde esse gráfico corta os eixos x e y, basta agora
descobrirmos as coordenadas x e y do vértice (escritos x
vértice, ou x , e y vértice, ou y ) ou seja, o ponto de valor
máximo, quando a < 0, ou o ponto mínimo, quando a > 0. Veja:
v v
210
Para calcular o x vértice e y vértice de uma função quadrática,
têm-se 2 fórmulas, que envolvem os fatores a, b, e c, além do
discriminante ∆: 
x = v -b2 . a 
y = v -∆4 . a 
e:
Além disso, como funções quadráticas são simétricas, o x
vértice é equidistante das duas raízes. Por isso, o x vértice
também pode ser calculado como a média aritmética das duas
raízes da função.
211
V - Função Trigonométrica
Devido a ser um tópico que cai pouquíssimo no Enem, não
fizemos este resumo, mas deixaremos alguns links abaixo e
PDFs na pasta do Drive caso te interesse em ler sobre:
- TodaMatéria:
https://www.todamateria.com.br/funcoes-trigonometricas/
- Brasil Escola:
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcoes-
trigonometricas-1.htm
212
1.
213
2.
3.
214
4.
5.
215
6.
(Enem - 2017) A igreja de São Francisco de Assis, obra arquitetônica
modernista de Oscar Niemeyer, localizada na Lagoa da Pampulha, em
Belo Horizonte, possui abóbadas parabólicas. A seta na Figura 1 ilustra
uma das abóbadas na entrada principal da capela. A figura 2 fornece
uma vista frontal desta abóbada, com medidas hipotéticas para
simplificar os cálculos.
Qual a medida da altura H, em metro, indicada na Figura 2?
a) 16/3
 b) 31/5
 c) 25/4
 d) 25/3
 e) 75/2
216
7.
(UNESP - 2017) Uma função quadrática f é dada por f(x) = x2 + bx + c,
com b e c reais. Se f(1) = –1 e f(2) – f(3) = 1, o menor valor que f(x) pode
assumir, quando x varia no conjunto dos números reais, é igual a
a) –12.
b) –6.
c) –10.
d) –5.
e) –9.
217
1.
 Ao analisar o gráfico, vemos que a opção B tem a história que mais se
adequa ao caso. Pois, tal história conta a parte de afastar-se de casa, de
voltar e, por fim, partir.
2.
O gráfico que melhor representa a variação da quantidade da droga no
organismo é a letra E.
3.
Como os pontos estão alinhados, podemos concluir que: 
 
 O coeficiente angular dado pelo 3º e 4º pontos é igual ao coeficiente
angular dado pelo 1º e 3º. 
Portanto:, por regra de 3:
k - 14 14 - 5
7 - 6 6 - 0= => k = 15,5 
218
O coeficiente angular dado pelo 2º e 3º pontos é igual ao coeficiente
angular dado pelo 1º e 3º. Logo, por regra de três:
14 - 8 14 - 5
6 - m 6 - 0= => m = 2
Portanto, m + k = 15,5 + 2 = 17,5
Opção C
4.
Vamos analisar cada afirmação:
I. FALSA
f(x) é uma função decrescente, o que significa que quando maior o x,
menor o valor de f(x). Então x2 > x1, por ser decrescente, f(x2) < f(x1)
II. VERDADEIRA
A função cruza o eixo x no valor de x = 1. Portanto, podemos perceber
pelo gráfico que se x > 1, f(x) está abaixo do eixo x, portanto, f(x) < 0.
III. FALSA
O ponto (-1, 1) pertence ao gráfico, mas o ponto (0, 0) não, o que
significa que o coeficiente angular da reta é diferente de -1. Portanto, o
ponto (-2, 2) não pertence ao gráfico.
219
IV. VERDADEIRA
Para achar a lei de formação, basta encontrar os coeficientes a e b da
função. O coeficiente b é encontrado igualando x = 0 e observando o
valor de f(x). Quando x = 0, f(x) = 1/2, então b = 1/2.
Tendo o valor de b, basta escolher de x e f(x) e achar o valor de a.
Utilizando o ponto (-1, 1):
1 = -a + 1/2
a = 1/2 - 1
a = - 1/2.
A lei de formação é:
f(x) = -1/2x + 1/2 = -1/2 (x-1)
Resposta: E
5.
Basta usar a lei de formação da função afim, substituindo os valores
para obter a resposta:
Y = quantidade de trabalhadores
X= número de meses a partir de janeiro
y = (880 605 – 4 300) + 4300 . (x – 1) => y = 872 005 + 4300x
Como a pergunta quer saber a quantidade de trabalhadores por mês
A PARTIR DE JANEIRO, deve-se remover 1 mês de x, e 4300
trabalhadores (para descobrir o número inicial de trabalhadores em
janeiro).
Resposta: C
220
6.
Como funções quadráticas são simétricas, sabe-se que que as raízes
são -5 e 5. Percebe-se também que o ponto (4,3), pertence à parábola.
Com base em todas essas informações, vamos utilizar a forma fatorada da
equação do 2º grau, ou seja:
y = a . (x - x1) . (x - x2)
 
Para o ponto x = 4 e y = 3, temos:
3 = a . (4 - (-5) ) . (4 + 5)
3 = -9 . a
a = -1/3
221
Conhecendo o valor de a, podemos calcular o valor da altura (y ) usando
novamente a forma fatorada da equação do 2º grau. Para isso,
consideramos x = 0, conforme indicado no gráfico acima:
H
y = -1/3 . (0 - 5) . (0 + 5)
y = 25 / 3
 
Resposta = D
7.
O gráfico da função apresentada é uma parábola com a concavidade
voltada para cima, pois a = 1 (positivo). Sendo assim, o menor valor da
f(x) será a coordenada y do seu vértice.
Agora temos que calcular o y vértice usando sua fórmula:
y = -∆/ 4 . a
Assim, para encontrar o vértice é necessário conhecer os valores de b e
c. Para tal, iremos utilizar as informações, substituindo os valores de x e
y na função. Ou seja:
v
Expressão I : f(1) = - 1 ⇒ 1 + 1 . b + c = - 1 ⇒ b + c = - 22
Expressão II : f(2) - f(3) = 1 ⇒ 22+ 2 . b + c - (32 + 3 . b + c) = 1 
 ⇒ 4 + 2b +c - 9 - 3b - c = 1 
 ⇒ - 5 - b = 1⇒ b = - 6
222
Substituindo o valor encontrado de b, na expressão I, temos:
- 6 + c = - 2 ⇒ c = - 2 + 6 ⇒ c = 4
Assim, podemos escrever a função em sua forma geral:
f(x) = x - 6x + 4
Agora basta calcular o y vértice por sua fórmula: 
2
y = -∆ / 4 . av
y = - (b - 4 . a . c) / 4 . a
y = - (-6 - 4 . 1 . 4) / 4 . 1
v
v
2
2
y = - (36 - 16) / 4 v
y = -5v
Solução = d
223
224
Parte 1 -
Probabilidade
225
I - Definições: 
Probabilidade: É a área da matemática que vai realizar o
estudo de possíveis resultados de um experimento aleatório e
quais as chances de um evento acontecer. Obs: a
probabilidade de um evento ocorrer só varia entre os números
maiores ou iguais a 0 e menores ou iguais a 1.
Evento: Resultado esperado na realização de um experimento
aleatório - geralmente representado pela letra (E).
Experimento aleatório: Os resultados podem se diferenciar
conforme o experimento é repetido (ex.: Qual face cairá para
cima no lançamento de um ou mais dados honestos?).
Experimento não - aleatório: O resultado sempre é previsto e
acertado (ex.: No lançamento de uma caneta do topo de um
edifício com direção para o chão, o que acontecerá com a
caneta?).
Espaço Amostral: conjuntos de possíveis resultados -
geralmente representado pela letra (U).
226
Probabilidade geral:
Probabilidade da união de dois eventos:
Essa probabilidade está relacionada ao conectivo “ou”, ou seja,
ela consistirá na soma de duas probabilidades menos a
intersecção delas (para evitar contar os mesmos elementos
duas vezes). Ex.: No lançamento de um dado qual a
probabilidade de cair um númeropar ou um número primo? 
II - Fórmulas: 
P = 
n(E)
n(U)
P = P(A) + P(B) - P(A∩B) 
227
5 3 3 1
6 6 6 6
_ _ _ _+= -
Obs: O ⅙ faz referência ao número “2” que é primo e par ao
mesmo tempo.
Probabilidade da intersecção de dois eventos
dependentes:
P(A∩B) = P(A/B) . PB
Essa probabilidade também está relacionada ao conectivo “e”,
ou seja, ela consistirá na multiplicação de duas probabilidades,
contudo o primeiro evento dependerá do segundo. Ex.: Em
uma determinada urna, existem 10 bolas brancas e 10 bolas
pretas. Ao retirar 2 bolas dessa urna, qual a probabilidade de
se pegar duas bolas pretas, sabendo que não ocorrerá
reposição de bolas na urna?
228
 10 9 90
 20 19 380
 __ __ ___. =
Obs: Note que no segundo evento ocorreu uma diminuição no
espaço amostral devido ao fato da ocorrência da não
reposição de bolas.
229
1. Um dado é viciado, de modo que a probabilidade de observarmos um
número na face de cima é proporcional a esse número. Calcule a
probabilidade de:
a) ocorrer número par;
b) ocorrer número maior ou igual a 5.
2. Uma urna contém 30 bolas numeradas de 1 a 30. Uma bolinha é
escolhida e é observado seu número. Seja Ω = {1, 2, 3, ..., 29, 30}. Descreva
as possibilidades de cada evento:
a) o número obtido é par
b) o número obtido é ímpar
c) o número obtido é primo
d) o número obtido é maior que 16
e) o número é múltiplo de 2 e de 5
f) o número é múltiplo de 3 ou de 8
g) o número não é múltiplo de 6
230
3. (Enem - 2013) Numa escola com 1 200 alunos foi realizada uma
pesquisa sobre o conhecimento desses em duas línguas estrangeiras,
inglês e espanhol. Nessa pesquisa constatou-se que 600 alunos falam
inglês, 500 falam espanhol e 300 não falam qualquer um desses idiomas.
Escolhendo-se um aluno dessa escola ao acaso e sabendo-se que ele não
fala inglês, qual a probabilidade de que esse aluno fale espanhol?
a)1/2
b)5/8
c)1/4
d)5/6
e)5/14
231
1)
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
P2 = 2p1
P3 = 3p1
P4 = 4p1
P5 = 5p1
P6 = 6p1
1= p + 2p + 3p + 4p + 5p +6p ==>1 = 21p ==> p = 1/21
a)
par {2,4,6} ==>P=2/21 +4/21+6/21 =12/21
b)
2,4,6,5 ==>P=12/21 +5/21 =17/21
2)
a) {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30}
b) {1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,13,25,27,29}
c) {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29}
d) {17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30}
e) {10,20,30}
f) {3,6,8,9,12,15,16,18,21,24,27,30}
g) Basta fazer a diferença entre Ω e o conjunto dos múltiplos de 6, isto é,
G = Ω - {6, 12, 18, 24, 30}.
232
3)
A partir do Diagrama, temos:
(600-x) + x + (500-x) + 300 = 1200
-x = 1200 - 600 - 500 - 300
x= 200
Os alunos que não falam inglês somam: 300+300=600
A probabilidade de um aluno que não fala inglês falar espanhol é:
300/600 = ½
Alternativa correta A
233
Parte 2 - Análise
Combinatória
234
I - Definições: 
Com repetição: São arranjos em que o número de
possibilidades não diminui ao serem utilizadas. Ex.:
Possibilidades de letras da placa de um carro. 
Sem repetição: São arranjos cujas possibilidades diminuem
conforme elas são usadas. Ex.: Possibilidades de países
ganharem a copa do mundo.
É o ramo da matemática que está presente em probabilidade
que vai estudar as possíveis combinações.
Princípio fundamental da contagem (PFC): Afirma que o
número de possibilidades de mais de uma decisão é tida pelo
produto delas.
Arranjos: Arranjos são a aplicação do princípio fundamental
contagem e são divididos em “com repetição” e “sem
repetição”.
Fatorial: essa ferramenta da matemática é usada para indicar
uma multiplicação de um número por seus antecessores
naturais até o 1 e ela é representada pelo símbolo “!”. 
235
Permutação: Consiste na troca de posições dos elementos.
Sua fórmula é o “fatorial” do número de possibilidades, ou seja,
é o número vezes todos seus antecessores naturais e ela é
representada pelo símbolo “!”. Esse ramo da combinatória
pode ser dividido em “com repetição” e “sem repetição”.
7! = 7.6.5.4.3.2.1
236
Exemplo:
n!
Com repetição: São permutações que existem elementos
repetidos dentro das possibilidades. Em casos de permutação
com repetição, o número total de possibilidades deve ser
dividido pela quantidade de elementos repetidos. Ex.: Número
de anagramas da palavra Mississipi.
Sem repetição: São permutações nas quais não existe
elemento repetido em nenhuma das possibilidades, logo sua
fórmula é a fórmula da permutação. Ex.: Número de
anagramas da palavra “Roma”.
4!
4! . 4!
10!
II - Fórmulas da permutação: 
237
Permutação circular: Esse tipo de permutação envolve uma
troca de posições em torno de uma circunferência. Ex.:
Número de possibilidades que se pode organizar 4 amigos em
torno de um círculo. Sua fórmula é: 
Combinação: A combinação é o ramo da análise combinatória
que vai estudar a formação de conjuntos de elementos.
Perceba que a principal diferença da combinação para a
permutação é que na permutação a ordem importa, já na
combinação não. Sua fórmula é:
(n - 1)!
(n - p)! p!
n!
Onde “n” representa o número de possíveis escolhas e “p” o
que você deve escolher para resolver a questão.
238
Combinação com repetição: Esse tipo de questão, geralmente,
vai exigir que você desenvolva uma etapa antes de partir para
a combinação usual. Sua fórmula continua sendo a da
combinação simples, contudo antes de realizar a combinação,
faça a seguinte fórmula: 
Onde “n” é o número de opções que podem ser escolhidas e
“p” é o número de elementos que você vai escolher. Feito a
primeira etapa, o número encontrado será o “n” da
combinação simples, ou seja, será o número de opções
disponíveis à escolha que será feita na segunda etapa, já o “p”
não mudará.
n + p - 1
239
Arranjos 
1. Um homem vai a um restaurante disposto a comer um só prato de
carne e uma só sobremesa. O cardápio oferece oito pratos distintos de
carne e cinco pratos diferentes de sobremesa. De quantas formas pode o
homem fazer sua refeição?
2. Numa festa existem 80 homens e 90 mulheres. Quantos casais
diferentes podem ser formados?
3. Num concurso com 12 participantes, se nenhum puder ganhar mais
que um prêmio, de quantas maneiras poderão ser distribuídos um
primeiro e um segundo prêmios?
4. Um homem possui 10 ternos, 12 camisas e 5 pares de sapatos. De
quantas formas poderá ele vestir um terno, uma camisa e um par de
sapatos?
5. Um automóvel é oferecido pelo fabricante em 7 cores diferentes,
podendo o comprador optar entre os motores 2000 cc e 4000 cc.
Sabendo-se que os automóveis são fabricados nas versões “standard”,
“luxo” e “superluxo”, quais são as alternativas do comprador?
er divididos e colocados em 3 salas, sendo 4 na primeira, 5 na segunda e
3 na terceira?
240
Permutação
1. Quantos anagramas existem para a palavra “anagrama”?
2. Quantas palavras distintas podemos formar com a palavra
PERNAMBUCO? Quantas começam com a sílaba PER?
3. Dispomos de seis cores diferentes. Cada face de um cubo será pintada
com uma cor diferente, de forma que as seis cores sejam utilizadas. De
quantas maneiras diferentes isso pode ser feito, se uma maneira é
considerada idêntica a outra, desde que possa ser obtida a partir desta
por rotação do cubo?
4. Uma peça para ser fabricada deve passar por 7 máquinas, sendo que a
operação de cada máquina independe das outras. De quantas formas as
máquinas podem ser dispostas para montar a peça?
5. De quantas formas 12 crianças podem formar uma roda?
Combinação
1. Dez clubes de futebol disputaram um campeonato em dois turnos. No
final, dois clubes empataram na primeira colocação, havendo mais um
jogo de desempate. Quantos jogos foram disputados?
2. De quantas formas 12 estudantes podem ser divididos e colocados em
3 salas, sendo 4 na primeira, 5 na segunda e 3 na terceira?
241
3. Uma mercearia tem em seu estoque pacotes de café de 6 marcas
diferentes. Uma pessoa deseja comprar 8 pacotes de café. De quantas
formas pode fazê-lo?
9!
4!5!
2 . 4!5!
9!/2
4!5!/2
Questões - Enem 
1- Nos livros Harry Potter, um anagrama do nome dopersonagem “TOM
MARVOLO RIDDLE” gerou a frase “I AM LORD VOLDEMORT”. Suponha
que Harry quisesse formar todos os anagramas da frase “I AM POTTER”,
de tal forma que as vogais e consoantes aparecessem sempre
intercaladas, e sem considerar o espaçamento entre as letras. Nessas
condições, o número de anagramas formados é dado por:
1.
2.
3.
4.
5.
2- Três amigos, André, Bernardo e Carlos, moram em um condomínio
fechado de uma cidade. O quadriculado representa a localização das
ruas paralelas e perpendiculares, delimitando quadras de mesmo
tamanho nesse condomínio, em que nos pontos A, B e C estão
localizadas as casas de André, Bernardo e Carlos, respectivamente.
André deseja deslocar-se da sua casa até a casa de Bernardo, sem passar
pela casa de Carlos, seguindo ao longo das ruas do condomínio, fazendo
sempre deslocamentos para a direita ( → ) ou para cima ( ↑ ), segundo o
esquema da figura. O número de diferentes caminhos que André poderá
utilizar para realizar o deslocamento nas condições propostas é:
242
4
14
17
35
48
24
31
32
88
89
1.
2.
3.
4.
5.
 3- O setor de recursos humanos de uma empresa vai realizar uma
entrevista com 120 candidatos a uma vaga de contador. Por sorteio, eles
pretendem atribuir a cada candidato um número, colocar a lista de
números em ordem numérica crescente e usá-la para convocar os
interessados. Acontece que, por um defeito do computador, foram
gerados números com 5 algarismos distintos e, em nenhum deles,
apareceram dígitos pares. Em razão disso, a ordem de chamada do
candidato que tiver recebido o número 75 913 é:
1.
2.
3.
4.
5.
243
Arranjos
1. Cada refeição consta de um par ordenado (a, b), em que a representa o
tipo de carne e b a sobremesa. Logo, há 8 ⋅ 5 = 40 refeições possíveis.
2. Cada casal consiste em um par (a, b), em que a representa o homem e
b a mulher. O número de casais é, portanto, 80 ⋅ 90 = 7200.
3. Qualquer premiação possível consta de um par (a, b), com a ≠ b, em
que a e b representam, respectivamente, 1o e 2o colocados. Logo, há 12 ⋅
11 = 132 possibilidades.
4. Uma forma de se vestir pode ser indicada por uma tripla ordenada (a,
b, c), em que a representa o terno, b a camisa e c o par de sapatos.
Temos, portanto, 10 ⋅ 12 ⋅ 5 = 600 formas de se vestir.
5. Cada escolha é uma terna ordenada (a, b, c), em que a representa a cor
do automóvel, b o motor e c a versão. Assim, há 7 ⋅ 2 ⋅ 3 = 42 alternativas
de compra.
 
244
Permutação
1. Como são oito letras e quatro delas se repetem (letra a), temos: 8!/4! =
1680
2. Cada palavra é uma permutação das letras: P, E, R, N, A, M, B, U, C, O.
Logo, há 10! anagramas. Começando com a sílaba PER, devemos apenas
permutar as letras: N, A, M, B, U, C, O. Logo, há P7 = 7! anagramas.
3. O número de maneiras de pintar um cubo com 6 cores é 6!. Contudo,
imaginemos um observador de frente para uma determinada face,
digamos a vermelha. Girando o cubo ao redor do eixo perpendicular a
essa face, podemos obter 4 posições do cubo, mantendo inalterada a face
vermelha. Como isso pode ser feito com todas as 6 faces do cubo, resulta
que o número de possibilidades é: 6!/4.6= 30 maneiras.
4. Cada forma de dispor as máquinas para montar a peça é uma
permutação das 7 máquinas disponíveis. Assim, o resultado procurado é:
P7 = 7! = 5040
5. Utilizando o resultado do exercício anterior, há (12 – 1)! = 11!
permutações circulares das 12 crianças.
Combinação
Combinação
1. Como cada jogo é uma combinação dos 10 times tomados 2 a 2, o
número de jogos no primeiro turno é C10, 2. Como o torneio é disputado
em 2 turnos e houve um jogo extra, o total de jogos é: 2 ⋅ C10, 2 + 1 = 91.
245
2. Cada modo de distribuir os 12 estudantes corresponde a uma partição
ordenada do tipo: ({__, __, __, __}; {__, __, __, __, __}; {__, __, __})
alunos na 1a classe 2a classe 3a classe
Assim, temos:
(12 4) - (8 5) - (3 3) = 27720 possibilidades
3. Sejam m1, m2, ..., m6 as marcas de café. 0 problema consiste em
determinar o número de soluções inteiras não negativas da equação: m1
+ m2 + m3 + m4 + m5 + m6 = 8, que é, então, (6 + 8 – 1)!/8! (6 – 1)! =13!/8! 5!
= 1287.
246
247
I - Sequências Numéricas
 O que são?1.
Tratam-se de sucessões de números organizados por uma lei
de formação, como a sequência de números pares, múltiplos
de 3, ou mesmo números primos. Podem ou não ter um fim
definido.
Exemplo: (3, 6, 9, 12, 15, 18...) ou (0, 2, 4, 6, ..., 24)
2. Quais tipos caem no Enem e Vestibulares?
Progressão Aritmética (P.A.)
Progressão Geométrica (P.G.)
246
II - Progressão Aritmética
Trata-se de uma sequência numérica em que os números se
diferenciam por um valor constante (denominado razão).
r = a - an n-1
Legenda: r = razão; a = enésimo termo; a = termo anterior
n n-1
Exemplo: P.A. = (1, 3, 5, 7...)
r = 3 - 1; ou r = 5 - 3, ou ....
r = 2
1. Definição
247
Logo, uma progressão aritmética pode ser
representada por:
P.A. = a , (a + r), (a + 2r), (a + 3r)...
1 1 1 1
2. Termo geral de uma P.A.
ex: P.A. = (4, 4 + 3, 4 + 6, 4+9, ...)
ou seja, P.A. = (4, 7, 10, 13, ...)
onde r = 3
O termo geral de uma progressão aritmética (P.A.) é uma
fórmula usada para encontrar um termo qualquer de uma
P.A., indicado por a , quando seu primeiro termo (a ), a razão
(r) e o número de termos (n) que essa PA possui são
conhecidos.
A fórmula do termo geral da progressão aritmética é a
seguinte:
1n
a = a + (n – 1) · r1n
248
Essa fórmula pode ser obtida a partir de uma análise dos
termos da PA. Pode ser usada para resolver diversos
exercícios nos vestibulares, como no exemplo a seguir:
O preço de uma máquina nova é R$ 150 000,00. Com o uso, seu valor
sofre uma redução de R$ 2 500,00 por ano. Sendo assim, por qual
valor o proprietário da máquina poderá vendê-la daqui a 10 anos?
Solução:
O problema indica que a cada ano o valor da máquina sofre uma
redução de R$ 2500,00. Logo, no primeiro ano de uso, seu valor cairá
para R$ 147 500,00. No ano seguinte será R$ 145 000,00, e assim por
diante.
Percebemos então, que essa sequência forma uma PA de razão igual a -
2 500. Usando a fórmula do termo geral da PA, podemos encontrar o
valor pedido.
a = a + (n – 1) · r1n
Substituindo os valores, temos:
a = 150 000 + (10 - 1) . (- 2 500)
a = 150 000 - 22 500
a = 127 500
10
10
10
Portanto, ao final de 10 anos o valor da máquina será de R$ 127 500,00
249
Constante: Quando r = 0, e os termos se repetem toda vez.
ex: P.A. = (3, 3, 3, 3...)
onde r = 0
Crescente: Quando r > 0, qualquer termo a partir do
segundo é maior do que o seu antecessor.
ex: P.A. = (2, 6, 10, 14...)
onde r = 4
 Decrescente: Quando r < 0, qualquer termo a partir do
segundo é menor do que seu antecessor.
ex: P.A. = (2, -1, -4, -7, -10 ...)
onde r = -3
3. Existem ainda diferentes tipos de P.A.
250
1
3
2
4. Soma dos termos de uma P.A.
A soma de todos os termos, ou então do primeiro ao enésimo
termo de uma P.A. é calculada pela seguinte fórmula:
S = (a + a ) · n 
2
1 n
n
Legenda: S = Soma dos termos; a = Enésimo fator da P.A.; n = Número de fatores nn
Alternativamente, quando um problema apresentar apenas o
primeiro termo e a razão da PA , pode-se utilizar essa fórmula:
 n . [2 · a + (n-1) · r]
1
2
S = n
5. Termo médio da P.A.
Para determinar o termo médio (a ) de uma PA com
termos ímpares, basta somar o primeiro e último termo, e
dividí-los por 2
a = a + a
2m
Legenda: a = termo médio
m
1 n
m
251
III - Progressão Geométrica
 O que é?1.
Trata se de uma sequência numérica com um fator
multiplicador entre cada termo, denominado razão comum (q).
q = aa
n
n - 1
Logo, uma Progressão Geométrica pode ser representada por:
PG = (a , a · q, a · q , a · q , ..., a · q )
1 1 1 1 1
2 3 n-1
Exemplo: P.G. = (2, 6, 18, ... , 486),
onde q = 3, a = 2, n = 6
1
252
2. Termo Geral da P.G.
Assim como a P.A., a P.G. também possui um termo geral. Este
é representado por:
a = a · qn
n - k
k
Também como a P.A., essa fórmula pode ser obtida a partir de
uma análise dos termos da P.g. Pode e deve ser usada para
resolver diversosexercícios nos vestibulares, como no exemplo
a seguir:
Calcule o oitavo termo da PG (3, 6, 12, …).
Solução:
Para o cálculo da razão:
q = a
a2
1
 = 3
6
 = 2
Legenda: a = enésimo termo, a = termo qualquer da P.G. n k
Temos que a = 12, então usando a fórmula do termo geral:
a = a · qn
n - k
k a = a · q8
8 - 3
3
3
a = 12 · 2 
8
5
a = 384 
8
253
1. Crescente: q > 0, e os termos são crescentes (a é positivo)
1
Exemplo: P.G. = (2, 6, 18, 54, ...) onde q = 3
2. Decrescente: q > 0, e os termos são decrescentes (a é negativo)
1
Exemplo: P.G. = (-5, -10, -20, -40, ... ), onde q = 2
3. Oscilante: q < 0, e os termos alternam entre positivos e 
 negativos.
Exemplo: P.G. = (5, -15, 45, -135...), onde q = -3
4. Constante: q = 1, e os termos são fixos.
Exemplo: P.G. = (3, 3, 3, 3...), em que q = 1
4. Soma dos termos de uma P.G.
A soma de todos os termos, ou então do primeiro ao enésimo
termo de uma P.G. é calculada pela seguinte fórmula:
S =
a (q - 1)
q - 1
n
n
1
3. Existem ainda diferentes tipos de P.A.
254
a (1 - q )1
a 1
√a · a
Quando a razão for menor que 1:
S =
n
n
1 - q
Quando a PG é infinita, há uma última fórmula:
S =
n 1 - q
5. Termo médio da P.G.
Para calcular o termo médio (a ) de uma P.G. com um número
ímpar de termos, basta calcular a média geométrica com o
primeiro e último termo (a e a ) :
m
n1
a =
m 1 n
255
1. Um ciclista percorre 15 km na primeira hora de uma corrida. Na segunda
hora de corrida, seu rendimento cai e ele só consegue percorrer 13 km, e na
hora seguinte 11 km. Continuando nesta sequência, quantos quilômetros ele
conseguirá percorrer nas 6 horas de prova?
2. (Unicamp 2015) - Se (a1, a2,..., a13) é uma progressão aritmética (PA) cuja
soma dos termos é igual a 78, então a7 é igual a
a) 6
 b) 7
 c) 8
 d) 9
256
3. (Enem 2013) - As projeções para a produção de arroz no período de 2012 -
2021, em uma determinada região produtora, apontam para uma perspectiva
de crescimento constante da produção anual. O quadro apresenta a
quantidade de arroz, em toneladas, que será produzida nos primeiros anos
desse período, de acordo com essa projeção. 
a) 497,25
 b) 500,85
 c) 502,87
d) 558,75
e) 563,25
A quantidade total de arroz, em toneladas, que deverá ser produzida no
período de 2012 a 2021 será de
257
3. (Enem 2016) Sob a orientação de um mestre de obras, João e Pedro
trabalharam na reforma de um edifício. João efetuou reparos na parte
hidráulica nos andares 1, 3, 5, 7, e assim sucessivamente, de dois em dois
andares. Pedro trabalhou na parte elétrica nos andares 1, 4, 7, 10, e assim
sucessivamente, de três em três andares. Coincidentemente, terminaram
seus trabalhos no último andar. Na conclusão da reforma, o mestre de obras
informou, em seu relatório, o número de andares do edifício. Sabe-se que, ao
longo da execução da obra, em exatamente 20 andares, foram realizados
reparos nas partes hidráulica e elétrica por João e Pedro. Qual é o número de
andares desse edifício?
a) 40
b) 60
c) 100
d) 115
e) 120
258
4. (PUC/RJ - 2017) - Os termos da soma S = 4 + 8 + 16 + ... + 2048 estão em
progressão geométrica. Assinale o valor de S.
 a) 4092
 b) 4100
c) 8192
 d) 65536
 e) 196883
5. Qual é o número que deve ser somado a 1, 9 e 15 para termos, nessa ordem,
três números em P.G.?
6. (UERJ - 2012) Uma das consequências do acidente nuclear ocorrido no
Japão em março de 2011 foi o vazamento de isótopos radioativos que podem
aumentar a incidência de certos tumores glandulares. Para minimizar essa
probabilidade, foram prescritas pastilhas de iodeto de potássio à população
mais atingida pela radiação.
A meia-vida é o parâmetro que indica o tempo necessário para que a massa
de uma certa quantidade de radioisótopos se reduza à metade de seu valor.
 Considere uma amostra de 53I133, produzido no acidente nuclear, com
massa igual a 2 g e meia-vida de 20 h.
Após 100 horas, a massa dessa amostra, em miligramas, será cerca de:
a) 62,5 b) 125 c) 250 d) 500
259
1.
260
2.
261
3.
262
4.
263
5.
6.
264
265
I - Trigonometria do triangulo
retângulo
O que é um triângulo retângulo? É aquele no qual o encontro
de dois de seus lados forma um ângulo de 90 graus.
O Triângulo retângulo tem certas características que permitem
um cálculo de seus lados baseado em seus ângulos, ou vice-
versa.
b = cateto
c = cateto
a = hipotenusa (será sempre o lado mais longo, oposto ao
ângulo de 90 graus).
} Catetos - São os lados mais curtos queformam o ângulo de 90 graus.
266
1. Princípios Básicos
2. Relações Trigonométricas
Ela sempre vai ocorrer no triangulo retângulo quando você
tiver o valor de um ângulo, além do ângulo reto, e o valor de
um dos lados, sendo o objetivo descobri outro. Ou, o valor dos
lados querendo descobrir o do ângulo (mas esse caso é menos
comum).
ab
c
a = hipotenusa
b = é o cateto oposto ao ângulo α
c = é o cateto adjacente ao ângulo
α, isso quer dizer que ele está ao
lado, é um dos lados que formam
o ângulo(α
267
Seno:
Uma relação entre Cateto oposto (CO) e a hipotenusa (HIP),
chamamos de Senodo ângulo α:
sen α = COHIP
Uma relação entre o Cateto oposto e o cateto adjacente
chamamos de tangente de α:
268
Cosseno:
Uma relação entre o Cateto adjacente (CA) e a hipotenusa
(HIP) chamamos de Cosseno do ângulo α:
cos α = CAHIP
Tangente:
tg α = COCA
A melhor maneira de decorar estas fórmulas é pelo macete do
SOH CAH TOA. 
2. Ângulo notáveis
Nesta tabela se encontram os valores correspondentes aos
ângulos notáveis (30º, 45º, e 60º):
269
Por exemplo, sempre que você tiver que tiver de usar a
propriedade do seno de α, sendo α = 30º , basta lembrar da
tabela, e que Seno de 30º = 1/2.
Essas leis servem para os triângulos que não tem ângulo de 90
Sendo a,b,c os lados dos triângulos temos:
Lei dos cossenos:
(
(
(
(
A
C
a
bc a
β Φ
a² = b² + c² - 2 . b . c . cos a
Lados: a = ?, b = 10, c = 15 e ângulo: 60º.
a² = 10² + 15² - 2 . 10 . 15 . Cos 60º -> a² = 100 + 225 – 300 . 1/2 ->
 a² = 325 -150 -> a² = 175 -> a = √175 = 5√7
II - Trigonometria geral (Lei dos
senos e dos cossenos)
270
Exemplo:
B
 a b c
Sen α sen β sen
Lei do Seno:
(
(
(
A
B C
a
bc a
β Φ
A razão entre um lado e o seno de seu ângulo oposto é
sempre a mesma.
(
(
(
A
B C
a
bc a
β Φ
Φ
271
= =
III - Círculo trigonométrico
Devido a ser um tópico que cai pouquíssimo no Enem, não
fizemos este resumo, mas deixaremos alguns links abaixo e
PDFs nesta pasta do Drive caso te interesse em ler sobre:
- Toda Matéria:
https://www.todamateria.com.br/circulo-trigonometrico/
- MUNDOEDUCAÇÃO:
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/circulo-
trigonometrico.htm
272
1. (ENEM 2011) Para determinar a distância de um barco até a praia, um
navegante utilizou o seguinte procedimento: a partir de um ponto A,
mediu o ângulo visual a fazendo mira em um ponto fixo P da praia.
Mantendo o barco no mesmo sentido, ele seguiu até um ponto B de
modo que fosse possível ver o mesmo ponto P da praia, no entanto sob
um ângulo visual 2α . A figura ilustra essa situação:
Suponha que o navegante tenha medido o ângulo α=30 e, ao chegar ao
ponto B, verificou que o barco havia percorrido a distância AB=2000m .
Com base nesses dados e mantendo a mesma trajetória, a menor
distância do barco até o ponto fixo P será:
A) 1 000 m.
B) 1 000 √3 m.
C) 2 000 √3/3 m.
D) 2 000 m
E) 2 000 √3 m
o
273
2. (UFS) Sobre uma rampa plana de 3,5m de comprimento e inclinação 
α, como mostra a figura, será construída uma escada com 7 degraus,
todos de mesma altura.
Se sin α = , então a altura de cada degrau, em cm, é:4
5
_
A - 20
B - 25
C - 30
D - 35
E - 40
3. (Enem - 2009) Ao morrer, o pai de João, Pedro e José deixou como
herança um terreno retangular de 3 km x 2 km que contém uma área de
extração de ouro delimitada por um quarto de círculo de raio 1 km a
partir do canto inferior esquerdo da propriedade. Dado o maior valor daárea de extração de ouro, os irmãos acordaram em repartir a
propriedade de modo que cada um ficasse com a terça parte da área de
extração, conforme mostra a figura.
274
Em relação à partilha proposta, constata-se que a porcentagem da área
do terreno que coube a João corresponde, aproximadamente, a
(Considere = 0,58)
a) 50%
b) 43%
c) 37%
d) 33%
e) 19%
275
Portanto:
Como a escada tem 7 degraus, então a altura de cada um é, em metros:
O que equivale a 40cm.
Opção E
1. A menor distância do barco até o ponto P é, em metros:
d = 2 000.cos 30° = 2 000.√3/2 = 1 000.√3
Opção B
2. Sendo x a altura da escada em relação ao solo, segue que:
276
3. A área total de extração do terreno corresponde a um quarto de
círculo de raio de 1 km, cujo ângulo central é de 90°. Se os irmãos
pretendem dividir a área de extração de forma igualitária, então o
ângulo central do terreno de cada herdeiro deverá ser de 30°, uma vez
que 90 dividido por três 3 é igual a 30. Vamos então analisar a figura que
representa o terreno de João:
Nós conhecemos apenas um dos lados do terreno de João, o cateto
adjacente ao ângulo de 30°. Para que possamos calcular a área desse
triângulo, é importante encontrar a medida do cateto oposto ao ângulo
de 30°. Para tanto, vamos utilizar a fórmula para o cálculo da tangente:
tg 30° = cateto oposto
 cateto adjacente
 
tg 30° =x
 2
 
√3 = x
 3 2
277
Utilizando a informação cedida pelo exercício, substituiremos por
0,58:
0,58 = x
 2
 
x = 0,58 . 2
 
x = 1,16 km
Agora podemos calcular a área do terreno de João. Para isso, considere 2
km como a altura do triângulo e 1,16 km como sua base:
A = base . altura
 2
 
A = 2 . 1,16
 2
 
A = 1,16 km²
Para encontrar a área total do terreno deixado de herança pelo pai,
basta multiplicar a base pela altura do retângulo da primeira imagem,
isto é, 3 . 2 = 6 km². Para calcular a porcentagem correspondente a João,
devemos encontrar o quociente entre as áreas do terreno dele e do
terreno total, isto é:
 P = 1,16 = 0,19333... = 19,3%
6 
Opção E
278
279
O logaritmo possui algumas propriedades que são pontos
chave para se resolver a maioria das questões, que são:
O produto de dois logaritmandos (a e b): é igual à soma de
dois logaritmos de bases iguais à do logaritmo inicial.
I - Definição
Sendo os números reais e positivos a e b, com a ≠ 1,
logaritmo de b na base a é o expoente que se deve dar à
base a de modo que a potência obtida seja igual a b.
log b = X <--> a = b
 
 
log (a.b)= log a + log b
a
x
x
x x
280
II - Propriedades
O quociente de dois logaritmandos (a e b): é igual à subtração
do logaritmo de a e do logaritmo de b, ambos com a mesma
base do logaritmo inicial.
Potência do logaritmando: Quando o logaritmando estiver
sendo elevado a algum número, esse número pode ir para
frente do logaritmo realizando a operação de multiplicação.
Potência na base: Já quando a base está elevada a algum
número, o expoente da base realiza a operação de
multiplicação, contudo ele é invertido no processo.
log a = . log a
b
bx
log a = b . log ax x
b
_log = log a - log bxx x
a
b
_1
x
281
Inversão da base e logaritmando: Quando é conveniente, para
mudar a base e o logaritmando de lugar, é só inverter o
logaritmo, o transformando em uma fração com numerador 1.
Mudança da base do logaritmo: Uma das propriedades mais
relevantes, a mudança de base é uma propriedade que
proporciona a possibilidade de mudar a base do logaritmo ao
realizar a divisão do logaritmando (em uma nova base c) pela
antiga base em um logaritmo de base igual ao logaritmando.
log a = b log b
log a = b log b
1
a
log a
c
c
282
1. Calcule pela definição os seguintes logaritimos:
A)Log
B)Log 4
C)Log 32
2. O logaritmo de um número na base 16 é . Calcule o logaritmo desse
número na base .
3. Determine o número cujo logaritmo na base a é 4 e na base é 8.
4. Calcule o logaritmo de 144 no sistema de base 2√3.
5. Determine a base do sistema de logaritmos no qual o logaritmo de √2
vale -1.
2 
1_
8
8
0,25
_2
31_
4
a
3
_
283
6. (ENEM 2019) A Hydrangea macrophylla é uma planta com flor azul ou
cor-de-rosa, dependendo do pH do solo no qual está plantada. Em solo
ácido (ou seja, com pH < 7) a flor é azul, enquanto que em solo alcalino
(ou seja, com pH > 7) a flor é rosa. Considere que a Hydrangeo cor-de-
rosa mais valorizada comercialmente numa determinada região seja
aquela produzida em solo com pH inferior a 8. Sabe-se que pH = –
log10x, em que x é a concentração de íon hidrogênio (H+).
Para produzir a Hydrangea cor-de-rosa de maior valor comercial, deve-
se preparar o solo de modo que x assuma:
A) qualquer valor acima de 10-8.
B) qualquer valor positivo inferior a 10-7.
C) valores maiores que 7 e menores que 8.
D) valores maiores que 70 e menores que 80.
E) valores maiores que 10-8 e menores que 10-7.
284
1.
2.
3.
4.
5.
285
6.
286
287
I - Definição
Geometria Analítica:
É o ramo da matemática que busca representar pontos, retas,
quadriláteros e outras formas geométricas por meio de
expressões algébricas no plano cartesiano. 
Plano Cartesiano: 
Chama-se sistema de Coordenadas no plano cartesiano ou
espaço cartesiano um esquema reticulado necessário para
especificar pontos num determinado "espaço" com dimensões.
II - Conceitos importantes:
Pode ser calculada por uma subtração quando algum dos
números dos pares ordenados for igual ao seus respectivos
números do eixo “x” ou do eixo “y” do par comparado.
1. Distância entre dois pontos
288
No caso acima, a distância entre esses dois pontos é de 3
unidades.
Fórmula da distância de dois pontos no plano cartesiano:
Onde Δx significa a variação de x (Sempre o segundo menos o
primeiro: 6 -3, nesse caso) Δy significa a variação de y (6 - 6).
O ponto médio é um ponto que vai se localizar no meio de
uma determinada reta. Sua fórmula é dada pela média
aritmética das abscissas e ordenadas dos pontos das
extremidades.
2. Ponto médio de uma reta
289
É um importante ponto para a geometria analítica, onde se
busca localizar a reta no plano cartesiano. Suas equações
podem ser divididas em:
Equação Geral: 
 Onde “a”, “b” e “c” serão números reais e “x” e “y” serão as
coordenadas do ponto.
Equação reduzida:
Onde “m” será o coeficiente angular da reta e “n” o coeficiente
linear, ou seja, “m” será a tangente ângulo formado entre a
reta e o eixo das abscissas e “n” será a intersecção com o eixo
das ordenadas.
3. Equação da reta
ax + by + c = 0
y = mx + b
290
Há uma outra forma importante para calcular o “m”
(coeficiente angular), que é:
Contudo, essa fórmula só poderá ser aplicada se a questão lhe
der dois pontos em que a reta intercepta. 
4. Coeficiente Angular
Esta fórmula pode, no entanto, ser reescrita multiplicando
ambos os lados pelo valor do denominador, para assim
encontrar a equação reduzida da reta a partir da coordenada
de um só ponto:
Considere que uma reta r que passa por um ponto Q (x , y ) e sejam (x, y)
as coordenadas de um ponto qualquer dessa reta (distinto de Q). O
coeficiente angular dessa reta é tal que:
m = 
y - y 
x - x
0
0
y - y 0 = m . (x - x )0
0 0
291
Exemplo:
Que passa por P(3, 1);
Cujo coeficiente angular vale 2.
Obtenha a equação da reta:
Substituindo estes valores na equação, temos:
y - 1 = 2 . (x - 3)
y - 1 = 2x - 6
y = 2x - 5
292
1. Demonstre que o triângulo de vértices A(8 , 2), B(3 , 7) e C(2 , 1) é
isósceles. Em seguida, calcule seu perímetro.
2. Determine o valor de x para que o ponto M(2 , 3) seja o ponto médio do
segmento de extremos A(x , 5) e B(3 , x).
3. No período de fim de ano, o síndico de um condomínio resolveu
colocar, em um poste, uma iluminação natalina em formato de cone,
lembrando uma árvore de Natal, conforme as figuras 1 e 2.
293
A árvore deverá ser feita colocando-se mangueiras de iluminação,
consideradassegmentos de reta de mesmo comprimento, a partir de um
ponto situado a 3 m de altura no poste até um ponto de uma
circunferência de fixação, no chão, de tal forma que esta fique dividida
em 20 arcos iguais. O poste está fixado no ponto C (centro da
circunferência) perpendicularmente ao plano do chão.
Para economizar, ele utilizará mangueiras de iluminação aproveitadas
de anos anteriores, que juntas totalizaram pouco mais de 100 m de
comprimento, dos quais ele decidiu usar exatamente 100 m e deixar o
restante como reserva.
Para que ele atinja seu objetivo, o raio, em metro, da circunferência
deverá ser de:
A)4,0
B)4,87
C)5,0
D)5,83
E)6,26
294
4. A quantidade x de peças, em milhar, produzidas e o faturamento y, em
milhar de reais, de uma empresa estão representados nos gráficos,
ambos em função do número t de horas trabalhadas por seus
funcionários. 
O número de peças que devem ser produzidas para se obter um
faturamento de R$ 10 000,00 é:
A)2000
B)2500
C)40000
D)50000
E)200000
295
5. Para criar um logotipo, um profissional da área de design gráfico
deseja construí-lo utilizando o conjunto de pontos do plano na forma de
um triângulo, exatamente como mostra a imagem.
Para construir tal imagem utilizando uma ferramenta gráfica, será
necessário escrever algebricamente o conjunto que representa os
pontos desse gráfico. Esse conjunto é dado pelos pares ordenados (x;y)
∈ ℕ x ℕ , tais que:
A)0xy10 
B)0yx10
C)0x10, 0y10
D)0x+y10
E)0x+y10
296
1. Para demonstrar que o triângulo ABC é isósceles se faz necessário
mostrar que ele possui dois lados com a mesma medida. Assim, vamos
calcular a distância entres seus vértices, que será a medida de cada lado.
Como demonstrado, o triângulo possui dois lados iguais, logo ele é
isósceles.
Para realizar a segunda parte da questão, basta somar todos os lados.
2. Para que o ponto M (2,3) seja o ponto médio do segmento de
extremidades A (x, 5) e B (3,x), a equação precisa ser verdadeira: 
Solucionando a equação, temos que x=1.
297
3. Se a circunferência está dividida em 20 arcos iguais, então existem 20
mangueiras na circunferência. Cada mangueira medirá 5m, pois 100/20
= 5m. Logo, o raio da circunferência pode ser calculado pelo teorema de
Pitágoras ou pela distância de 2 pontos, x2 + 32 = 52 , onde x=4 . 
Alternativa correta: Letra a 
 
4. A resolução poderá ser feita por um regra de 3, onde 20000 peças
corresponderá a 4000 de faturamento e x peças corresponderão a 10000
de faturamento. Na resolução, x é igual a 50000 peças.
Alternativa correta: Letra d 
5. Todos os pontos estão contidos ou abaixo da reta y=x. Logo, todos os
valores de y são menores ou iguais que os valores de x, ou seja 0yx. Além
disso, pela imagem, pode-se afirmar que x é menor ou igual a 10. Ou
seja, 0yx10.
Alternativa correta: Letra b
298
299
I - Dicas para a resolução de
questões de matemática no Enem
1. Leia SEMPRE o comando da questão primeiro e entenda o
que ele está pedindo (se quiser escrever na frente da questão
para não cair em detratores também é uma ótima estratégia).
2. Transcreva todos os dados importantes de cada questão
para não perder tempo voltando no texto.
3. Assim que receber a prova, lembre que o tempo é seu pior
inimigo, logo procure resolver questões mais fáceis primeiro
(regra de três, razão/proporção, estatística e escalas).
4. Questões como geometria plana, cálculo de volume ou
qualquer outra questão que envolva um pouco mais de tempo
para resolver são consideradas médias, então as deixe para
realizar depois das questões fáceis.
300
5. Questões de análise combinatória, probabilidade e
logaritmo são considerados questões difíceis pelo tempo gasto
com o raciocínio delas e pela alta taxa de erro, portanto as
deixe por último (elas poderão fazer uma diferença gigantesca
na sua nota).
6. Não se esqueça de intercalar entre a prova de natureza e
matemática, você cansará menos ao realizar as questões de
cálculo (tente “fugir” das questões de física ou química que
envolvam cálculos ou raciocínio muito intenso, assim você se
preservará para continuar realizando matemática).
7. Em questões de gráficos, tabelas e infográficos, preste
muitas atenção nos eixos e nas escalas (centímetro, milímetro,
, etc), isso evitará possíveis erros por falta de atenção.
8. Caso ocorra de não saber resolver alguma questão e já
estiver no final da prova, chute a questão de forma inteligente,
fugindo dos extremos e procurando números próximos nas
alternativas (aumentará suas chances de acerto).
301
9. Outra técnica importante de chute para a prova do Enem é
o de testar alternativas; ela consiste em testar quais
alternativas se encaixam no valor pedido da questão. Contudo
ela possui um defeito: gastar muito tempo realizando os
testes, mas você pode encurtar esse tempo ao misturar com a
outra técnica já mostrada, testando as alternativas mais
prováveis de ser a resposta certa.
10. Estatisticamente, as alternativas B e C são as alternativas
com mais chances de serem as certas, logo olhe as com
cuidado antes de marcar quaisquer outras, principalmente
caso você vá chutar alguma questão.
302