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Raciocínio Lógico
Equivalência Lógica e Negação de Proposições
Professor Fabrício Biazotto
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Raciocínio Lógico
EQUIVALÊNCIAS LÓGICAS
1 – EQUIVALÊNCIA LÓGICA
Por tudo que foi visto até agora, fica claro que existe uma infinidade de possibilidades de 
sentenças lógicas e com isso uma infinidade de sentenças lógicas que possuem a mesma 
tabela-verdade.
Como é impossível decorar as infinitas tabelas-verdade iguais que existem, é necessária uma 
teoria que agrupe todas estas igualdades, logo:
EQUIVALÊNCIA LÓGICA – Independentemente dos valores lógicos de cada proposição simples 
que compõem as diferentes sentenças lógicas, estas sempre serão iguais.
Na prática: “As últimas colunas são iguais linha a linha”.
Exemplo: ∼ (P∧ ∼Q)=P→Q
1º – Fazer a tabela-verdade para ∼ (P∧ ∼Q) :
P Q ∼Q (p∧ ∼Q) ∼ (p∧ ∼Q)
V V F F V
V F V V F
F V F F V
F F V F V
2º – Fazer a tabela-verdade para P→Q :
P Q P→Q
V V V
V F F
F V V
F F V
 
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3º – Comparar as últimas colunas:
Como se pode ver as últimas colunas destacadas nas duas tabelas-verdade, percebe-se que os 
valores de cima para baixo, linha a linha são exatamente iguais:
V, F, V, V.
Assim pode-se dizer que são equivalentes.
Para que se saiba então se duas ou mais proposições são equivalentes, basta montar a tabela-
verdade de cada sentença e comparar a última coluna. Caso sejam iguais linha a linha são 
equivalentes, caso contrário, não são equivalentes e isto é válido para todas as equivalências 
que existem, sem exceção.
Porém, existem algumas equivalências bem usuais, onde é importante o seu conhecimento, 
para que se ganhe tempo e evite a confecção de tabelas-verdade a torto e a direito, sabendo 
que caso não lembre, a única saída é a tabela-verdade e também, caso apareça algo diferente 
das equivalências usuais listadas abaixo:
A) Equivalências Recíprocas:
 • P∧Q =Q∧P
 • P∨Q =Q∨P
 • P v Q = Q v P
 • P ↔ Q = Q ↔ P
B) Equivalência de Negação Simples:
 • ∼ (∼P)=P
 • ~ (P v Q) = P ↔ Q
C) Equivalências de Negação, ou Leis de De Morgan:
 • ∼ (P∧Q)=∼P∨ ∼Q
 • ∼ (P∨Q)=∼P∧ ∼Q
 • ∼ (P→Q)=∼P∧ ∼Q
 • ∼ (P↔Q)= (P∧ ∼Q)∨ (∼P∧Q)= P v Q
D)	Equivalências	de	Afirmação	Condicional	e	Bicondicional:
 • P→Q =∼Q→∼P (também é conhecida como contrapositiva)
 • P→Q =∼P∨Q
Raciocínio Lógico – Equivalência Lógica e Negação de Proposições – Prof. Fabrício Biazotto
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ATENÇÃO!!! A CONDICIONAL NÃO É EQUIVALENTE À SUA INVERSA NEM A SUA OPOSTA!!!
 • P→Q ≠Q→P (INVERSA)
 • P→Q ≠∼P→∼Q (OPOSTA)
 • P↔Q = (P→Q)∧ (Q→P)
 • P↔Q = (∼Q↔∼P) (contrapositiva)
 • P↔Q = (∼P↔∼Q) (oposta)
1.1 – TÉCNICA DE RESOLUÇÃO DE EQUIVALÊNCIA
Para equivalências quaisquer, não existe uma técnica simples, somente fazer a tabela-verdade 
para cada uma e comparar a última coluna, ou seja, para toda e qualquer sentença lógica que 
não esteja contemplada nas equivalências usuais e as equivalências usuais.
Como já foi dito, é necessário vontade e paciência, pois sabe-se que é longo e toma tempo para 
realizar equivalências lógicas. Imagine uma equivalência com três proposições por exemplo, 
nas usuais não há nenhuma com três proposições, todas são com duas, logo somente a tabela-
verdade é possível para compará-las.
Porém as equivalências usuais, como o próprio nome sugere, são as mais cobradas e assim 
existe um passo-a-passo bem simples que deve ser seguido:
1º – Escrever a sentença conforme o texto;
2º – Simbolizar a sentença;
3º – Resolver (lembrar a qual das equivalências usuais conhecidas ela pertence);
4º – Traduzir (escrever de volta para a linguagem usual);
5º – Comparar com as opções e marcar a certa! (Caso não tenha nas opções, verificar as 
variações da escrita da sentença).
Exemplo: Dada a sentença: “Milão é capital da Itália ou Paris é capital da Inglaterra”, é 
necessariamente falsa, então é necessariamente verdadeiro que:
Perceba que o exemplo está trocando uma sentença falsa por verdadeiro, logo ele pede a 
negação da sentença, assim:
1º – Escrever: negação de “Milão é capital da Itália ou Paris é capital da Inglaterra.”
           
2º – Simbolizar: ~     (P    v    Q	)
3º – Resolver: Quer dizer lembrar das equivalências usuais, então: 
∼ (P∨Q)=∼P∧ ∼Q
Então fica: ∼p∧ ∼Q
 
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4º – Traduzir: “Milão não é capital da Itália e Paris não é capital da Inglaterra.”
      
           ~	P      ^      ~	Q	
5º – Variações (caso necessário):
 • Paris não é capital da Inglaterra e Milão não é capital da Itália (recíproca);
 • Milão não é capital da Itália nem Paris da Inglaterra (E + NÃO = NEM);
 • Paris não é capital da Inglaterra nem Milão da Itália (recíproca e e + não = nem).
Assim, qualquer uma das quatro são equivalentes e são possíveis respostas.
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Questões
2 – EXERCÍCIOS:
1. (2004 – ESAF – MPU) 
Sabe-se que João estar feliz é condição ne-
cessária para Maria sorrir e condição sufi-
ciente para Daniela abraçar Paulo. Sabe-se, 
também, que Daniela abraçar Paulo é con-
dição necessária e suficiente para a Sandra 
abraçar Sérgio. Assim, quando Sandra não 
abraça Sérgio,
a) João está feliz, e Maria não sorri, e Da-
niela abraça Paulo.
b) João não está feliz, e Maria sorri, e Da-
niela não abraça Paulo
c) João está feliz, e Maria sorri, e Daniela 
não abraça Paulo.
d) João não está feliz, e Maria não sorri, e 
Daniela não abraça Paulo.
e) João não está feliz, e Maria sorri, e Da-
niela abraça Paulo. 
2. (2015 – CESPE – TCE/RN) 
Em campanha de incentivo à regularização 
da documentação de imóveis, um cartório 
estampou um cartaz com os seguintes dize-
res: “O comprador que não escritura e não 
registra o imóvel não se torna dono desse 
imóvel”.
A partir dessa situação hipotética e consi-
derando que a proposição P: “Se o compra-
dor não escritura o imóvel, então ele não o 
registra” seja verdadeira, julgue o item se-
guinte. Um comprador que tiver registrado 
o imóvel, necessariamente, o escriturou.
( ) Certo   ( ) Errado
3. (2018 – Autoral)
A negação da proposição “Maria não foi 
aprovada ou Paulo foi aprovado” é:
a) “Maria foi reprovada e Paulo não foi re-
provado.”
b) “Maria foi aprovada ou Paulo não foi 
aprovado.”
c) “Paulo foi reprovado nem Maria foi re-
provada.”
d) “Maria foi aprovada e Paulo foi aprova-
do.”
e) “Maria não foi reprovada e Paulo foi 
aprovado.”
4. (2006 – UFPR – TCE/PR – Oficial de Controle)
A negação da sentença “se você estudou ló-
gica, então você acertará esta questão” é:
a) se você não acertar esta questão, então 
você não estudou lógica.
b) você não estudou lógica e acertará esta 
questão.
c) se você estudou lógica, então não acer-
tará esta questão.
d) você estudou lógica e não acertará esta 
questão.
e) você não estudou lógica e não acertará 
esta questão. 
 
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5. (2012 – ESAF – RF – AFRF)
A afirmação “A menina tem olhos azuis ou o 
menino é loiro” tem como sentença logica-
mente equivalente:
a) se o menino é loiro, então a menina 
tem olhos azuis.
b) se a menina tem olhos azuis, então o 
menino é loiro.
c) se a menina não tem olhos azuis, então 
o menino é loiro.
d) não é verdade que se a menina tem 
olhos azuis, então o menino é loiro.
e) não é verdade que se o menino é loiro, 
então a menina tem olhos azuis.
Gabarito: 1. D 2. E 3. C 4. D 5. C