P A e P G - Completo-1

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<p>Progressão Aritmética (PA): Uma progressão aritmética é uma sequência numérica onde, a partir</p><p>do segundo termo é a soma do anterior com uma constante chamada de razão.</p><p>𝑎</p><p>1</p><p>= 𝑎</p><p>1</p><p>𝑎</p><p>2</p><p>= 𝑎</p><p>1</p><p>+ 𝑟</p><p>𝑎</p><p>3</p><p>= 𝑎</p><p>2</p><p>+ 𝑟</p><p>𝑎</p><p>4</p><p>= 𝑎</p><p>3</p><p>+ 𝑟</p><p>𝑟 = 𝑎</p><p>4</p><p>− 𝑎</p><p>3</p><p>= 𝑎</p><p>3</p><p>− 𝑎</p><p>2</p><p>= 𝑎</p><p>2</p><p>− 𝑎</p><p>1</p><p>Onde,</p><p>𝑟 é 𝑎 𝑟𝑎𝑧ã𝑜 𝑑𝑎 𝑃𝐴</p><p>𝑎</p><p>1</p><p>= 𝑃𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜 𝑑𝑎 𝑃𝐴</p><p>𝑎</p><p>2</p><p>= 𝑆𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜 𝑑𝑎 𝑃𝐴</p><p>𝑎</p><p>3</p><p>= 𝑇𝑒𝑟𝑐𝑒𝑖𝑟𝑜 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜 𝑑𝑎 𝑃𝐴</p><p>𝑎</p><p>4</p><p>= 𝑄𝑢𝑎𝑟𝑡𝑜 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜 𝑑𝑎 𝑃𝐴</p><p>Termo Geral da PA</p><p>𝑎</p><p>1</p><p>= 𝑎</p><p>1</p><p>𝑎</p><p>2</p><p>= 𝑎</p><p>1</p><p>+ 𝑟 ⇒ 𝑎</p><p>2</p><p>= 𝑎</p><p>1</p><p>+ 2 − 1( ) . 𝑟</p><p>𝑎</p><p>3</p><p>= 𝑎</p><p>2</p><p>+ 𝑟 ⇒ 𝑎</p><p>2</p><p>= 𝑎</p><p>1</p><p>+ 𝑟 + 𝑟 ⇒ 𝑎</p><p>3</p><p>= 𝑎</p><p>1</p><p>+ 2𝑟 ⇒ 𝑎</p><p>3</p><p>= 𝑎</p><p>1</p><p>+ 3 − 1( ) . 𝑟</p><p>a4 = a3 + r a4 = (a1 + 2r) + r a4 = a1 + 3 r a4 = a1 + (4 – 1) . r</p><p>𝑎</p><p>𝑛</p><p>= 𝑎</p><p>1</p><p>+ (𝑛 − 1). 𝑟</p><p>Sendo assim, os termos de uma progressão aritmética podem ser escritos da seguinte forma:</p><p>𝑃𝐴 = 𝑎</p><p>1</p><p>, 𝑎</p><p>1</p><p>+ 𝑟( ), 𝑎</p><p>1</p><p>+ 2𝑟( ), 𝑎</p><p>1</p><p>+ 3𝑟( ), . . . , 𝑎</p><p>1</p><p>+ 𝑛 − 1( )𝑟[ ]</p><p>Note que em uma PA de n termos a fórmula do termo geral (an) da sequência é:</p><p>Alguns casos particulares são: uma PA de 3 termos é representada por (x - r, x, x + r) e uma PA de 5</p><p>termos tem seus componentes representados por (x - 2r, x - r, x, x + r, x + 2r).</p><p>Tipos de PA:</p><p>De acordo com o valor da razão, as progressões aritméticas são classificadas em 3 tipos:</p><p>1. Constante: quando a razão for igual a zero e os termos da PA são iguais.</p><p>Exemplo: PA = (2, 2, 2, 2, 2, ...), onde r = 0</p><p>2. Crescente: quando a razão for maior que zero e um termo a partir do segundo é maior que o</p><p>anterior;</p><p>Exemplo: PA = (2, 4, 6, 8, 10, ...), onde r = 2</p><p>3. Decrescente: quando a razão for menor que zero e um termo a partir do segundo é menor que o</p><p>anterior.</p><p>Exemplo: PA = (4, 2, 0, - 2, - 4, ...), onde r = - 2</p><p>As progressões aritméticas ainda podem ser classificadas em finitas, quando possuem um</p><p>determinado número de termos, e infinitas, ou seja, com infinitos termos.</p><p>Soma dos termos de uma PA</p><p>A soma dos termos de uma progressão aritmética é calculada pela fórmula:</p><p>Onde, n é o número de termos da sequência, a1 é o primeiro termo e an é o enésimo termo. A</p><p>fórmula é útil para resolver questões em que é dado o primeiro e o último termo.</p><p>Quando um problema apresentar o primeiro termo e a razão da PA, você pode utilizar a fórmula:</p><p>Essas duas fórmulas são utilizadas para somar os termos de uma PA finita.</p><p>Termo médio da PA</p><p>Para determinar o termo médio ou central de uma PA com um número ímpar de termos calculamos</p><p>a média aritmética com o primeiro e último termo (a1 e an):</p><p>Já o termo médio entre três números consecutivos de uma PA corresponde a média aritmética do</p><p>antecessor e do sucessor.</p><p>Exemplos resolvidos:</p><p>1) Dada a PA (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14), determine a razão, o termo médio e a soma dos</p><p>termos.</p><p>1. Razão da PA</p><p>𝑟 = 𝑎</p><p>2</p><p>− 𝑎</p><p>1</p><p>= 4 − 2 = 2</p><p>2. Termo médio</p><p>𝑎</p><p>𝑚</p><p>=</p><p>𝑎</p><p>1</p><p>+𝑎</p><p>7</p><p>2 = 2+14</p><p>2 = 8</p><p>3. Soma dos termos</p><p>𝑆</p><p>𝑛</p><p>=</p><p>𝑎</p><p>1</p><p>+𝑎</p><p>𝑛( ) . 𝑛</p><p>2 ⇒ 𝑆</p><p>7</p><p>= 2+14( ) . 7</p><p>2 = 112</p><p>2 = 56</p><p>2) (UFRGS) Em uma progressão aritmética em que o primeiro termo é 23 e a razão é – 6, a</p><p>posição ocupada pelo elemento – 13 é:</p><p>a) 8ª b) 7ª c) 6ª d) 5ª e) 4ª</p><p>𝑎</p><p>𝑛</p><p>= 𝑎</p><p>1</p><p>+ (𝑛 − 1). 𝑟</p><p>𝑎</p><p>𝑛</p><p>= − 13</p><p>𝑛 = ?</p><p>𝑟 = 6</p><p>𝑎</p><p>1</p><p>= 23</p><p>Substituindo os valores dados no exercício na fórmula acima, teremos:</p><p>– 13 = 23 + (𝑛 – 1)·(– 6) ⇒ – 13 = 23 – 6𝑛 + 6 ⇒ 6𝑛 = 23 + 6 + 13</p><p>6𝑛 = 42 ⇒ 𝑛 = 42</p><p>6 ⇒ 𝑛 = 7</p><p>O número – 13 ocupa a 7ª posição.</p><p>3) Qual é o centésimo primeiro termo de uma PA cujo primeiro termo é 107 e a razão é 6?</p><p>a) 507 b) 607 c) 701 d) 707 e) 807</p><p>Considerando que o primeiro termo é 107, a razão é 6, e procuramos o centésimo primeiro termo,</p><p>podemos usar a fórmula do termo geral da PA para encontrá-lo.</p><p>𝑎</p><p>101</p><p>= 107 + (101 – 1)·6 ⇒ 𝑎</p><p>101</p><p>= 107 + 100 · 6 ⇒ 𝑎</p><p>101</p><p>= 707</p><p>4) Uma empresa faturou R$150.000 no primeiro ano, R$ 148.000 no segundo ano, R$146.000</p><p>no terceiro ano, e assim sucessivamente. Durante a primeira década de existência dessa</p><p>empresa, ela faturou um total de:</p><p>A) 1.500.000</p><p>B) 3.500.000</p><p>C) 3.780.000</p><p>D) 1.410.000</p><p>E) 1.280.000</p><p>É possível perceber que a sequência de faturamento comporta-se como uma P.A. de razão r igual a</p><p>-2.000 e que o primeiro termo a1 = 150.000. Para realizar a soma dos dez primeiros termos dessa</p><p>sequência, utilizaremos a fórmula da soma de uma P.A. finita, que é:</p><p>Para aplicar a fórmula, primeiro é necessário encontrarmos o termo a10.𝑆</p><p>𝑛</p><p>=</p><p>𝑎</p><p>1</p><p>+𝑎</p><p>𝑛( ) . 𝑛</p><p>2</p><p>𝑎</p><p>1</p><p>= 150000 𝑟 =− 2000 𝑛 = 10</p><p>𝑎</p><p>𝑛</p><p>= 𝑎</p><p>1</p><p>+ (𝑛 − 1). 𝑟 ⇒ 𝑎</p><p>10</p><p>= 150. 000 + 10 − 1( ) . (− 2000)</p><p>𝑎</p><p>10</p><p>= 150. 000 + 9 . (− 2000) ⇒ 𝑎</p><p>10</p><p>= 150. 000 − 18. 000 = 132. 000</p><p>Substituindo os valores conhecidos na fórmula da soma dos termos de uma P.A.:</p><p>𝑆</p><p>𝑛</p><p>=</p><p>𝑎</p><p>1</p><p>+𝑎</p><p>𝑛( ) . 𝑛</p><p>2 ⇒ 𝑆</p><p>10</p><p>= 132.000+150.000( ) . 10</p><p>2 ⇒ 𝑆</p><p>10</p><p>= 282.000 . 10( )</p><p>2</p><p>𝑆</p><p>10</p><p>= 2.820.000</p><p>2 = 1. 410. 000</p><p>https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/soma-dos-termos-uma-pa.htm</p><p>Exercícios:</p><p>1) Qual é a posição do termo 109 em uma PA de razão 3, cujo primeiro termo é igual a</p><p>10?</p><p>Dados: 𝑎</p><p>1</p><p>= 10 𝑎</p><p>𝑛</p><p>= 109 𝑟 = 3</p><p>𝑎</p><p>𝑛</p><p>= 𝑎</p><p>1</p><p>+ (𝑛 − 1). 𝑟 ⇒ 109 = 10 + 𝑛 − 1( ) . 3 ⇒ 109 = 10 + 3𝑛 − 3</p><p>109 − 10 + 3 = 3𝑛 ⇒ 3𝑛 = 102 ⇒ 𝑛 = 102</p><p>3 ⇒ 𝑛 = 34</p><p>2) Analise as sequências a seguir:</p><p>A – (1, 4, 7, 10, 13)</p><p>B – (1, 1, 1, 1, 1, 1)</p><p>C – (9, 3, -3, -9, -15...)</p><p>D – (1, 0, -1, 2, -2, 3, -3)</p><p>Sobre as sequências, podemos afirmar que:</p><p>A) Todas são progressões aritméticas.</p><p>B) Somente A e C são progressões aritméticas.</p><p>C) Somente D não é uma progressão aritmética.</p><p>D) Somente B e D são progressões aritméticas.</p><p>E) Nenhuma das sequências representa uma progressão aritmética.</p><p>A – (1, 4, 7, 10, 13) é uma progressão aritmética:</p><p>4 – 1 = 3 7 – 4 = 3 10 – 7 = 3 13 – 10 = 3</p><p>B – (1, 1, 1, 1, 1, 1) é uma progressão aritmética: 1 – 1 = 0</p><p>C – (9, 3, -3, -9, -15...) é uma progressão aritmética:</p><p>3 – 9 = -6 -3 – 3 = -6 -9 – (-3) = -9 + 3 = -6 -15 – (-9) = -15 + 9 = -6</p><p>D – (1, 0, -1, 2, -2, 3, -3) não é uma progressão aritmética:</p><p>0 – 1 = -1 -1 – 0 = -1 2 – (-1) = 2 + 1 = 3</p><p>3) Os ganhos de uma empresa, ao decorrer do ano, foram de R$800.000 no primeiro mês, e, a</p><p>cada mês, houve um aumento de R$15.000 em relação ao mês anterior. Caso essa tendência</p><p>seja mantida durante todos os meses, o lucro mensal dessa empresa, em dezembro, será de:</p><p>A) R$165.000 B) R$180.000 C) R$816.500 D) R$965.000 E)</p><p>R$980.000</p><p>Primeiro termo a1 = 800.000 e que a razão dessa progressão r = 15.000.</p><p>Utilizando a fórmula do termo geral de uma P.A., queremos encontrar os lucros no 12º mês</p><p>(dezembro), ou seja, o termo a12.</p><p>Sabemos que: an = a1+ (n – 1) r</p><p>Substituindo os valores conhecidos, temos que:</p><p>a12 = 800.000 + (12 – 1) 15.000</p><p>a12 = 800.000 + 11 · 15.000</p><p>a12 = 800.00 + 165.000</p><p>a12 = 965.000</p><p>4) Sobre progressões aritméticas, julgue como verdadeiro ou falso as afirmativas a seguir:</p><p>I – Uma progressão aritmética é crescente quando sua razão é positiva.</p><p>II – Uma progressão aritmética é constante quando sua razão é zero.</p><p>III – Uma progressão aritmética é decrescente quando sua razão é negativa.</p><p>Marque a alternativa correta:</p><p>A) Somente a afirmativa I é verdadeira.</p><p>B) Somente a afirmativa II é verdadeira.</p><p>C) Somente a afirmativa III é verdadeira.</p><p>D) Todas as afirmativas são verdadeiras.</p><p>E) Nenhuma das afirmativas é verdadeira.</p><p>Resposta:</p><p>O comportamento de uma progressão aritmética é dado de acordo com a sua razão, então temos três</p><p>casos:</p><p>Se r positivo → a P.A. é crescente.</p><p>Se r igual a zero → a P.A. é constante.</p><p>Se r negativo → a P.A. é decrescente.</p><p>Sendo assim, todas as afirmativas são verdadeiras.</p><p>I – Verdadeira</p><p>II – Verdadeira</p><p>III – Verdadeira</p><p>5) (Enem) O número mensal de passagens de uma determinada empresa aérea aumentou no</p><p>ano passado nas seguintes condições: em janeiro foram vendidas 33.000 passagens; em</p><p>fevereiro, 34.500; em março, 36.000. Esse padrão de crescimento manteve-se para os</p><p>meses</p><p>subsequentes. Quantas passagens foram vendidas por essa empresa em julho do ano</p><p>passado?</p><p>A) 38.000 B) 40.500 C) 41.000 D) 42.000 E) 48.000</p><p>De janeiro para fevereiro, houve um aumento de 1.500, e o mesmo aconteceu de fevereiro para</p><p>março. Dessa forma, se esse padrão for mantido, temos uma P.A. de razão 1.500 e primeiro termo</p><p>33.000. Queremos encontrar a quantidade de passagens vendidas em julho, que é o sétimo mês do</p><p>ano, ou seja, vamos calcular o a7.</p><p>an = a1+ (n – 1) r</p><p>a7 = 33.000 + (7 – 1) · 1.500</p><p>a7 = 33.000 + 6 · 1.500</p><p>a7 = 33.000 + 9.000</p><p>a7 = 42.000</p><p>6) (Unicamp - 2015). Se (a1, a2,..., a13) é uma progressão aritmética (PA) cuja soma dos</p><p>termos é igual a 78, então a7 é igual a</p><p>a) 6 b) 7 c) 8 d) 9</p><p>As únicas informações que temos é que a PA apresenta 13 termos e que a soma dos termos é igual a</p><p>78, ou seja: 𝑆</p><p>13</p><p>=</p><p>𝑎</p><p>1</p><p>+𝑎</p><p>13</p><p>2( ) . 13 = 78</p><p>Como não conhecemos o valor de , de , nem o valor da razão, não conseguimos, a princípio,𝑎</p><p>1</p><p>𝑎</p><p>13</p><p>encontrar esses valores.</p><p>Entretanto, observamos que o valor que queremos calcular é o termo central da PA.𝑎</p><p>7</p><p>Com isso, podemos usar a propriedade que diz que o termo central é igual a média aritmética dos</p><p>extremos, então:</p><p>Se cada termo de uma PA tivesse o mesmo valor da média, a soma daria o mesmo𝑎</p><p>7</p><p>=</p><p>𝑎</p><p>1</p><p>+𝑎</p><p>13</p><p>2</p><p>resultado. Como o é o termo médio, podemos fazer:𝑎</p><p>7</p><p>𝑎</p><p>7</p><p>. 13 = 78 ⇒ 𝑎</p><p>7</p><p>= 78</p><p>13 = 6</p><p>7) Encontre o 15º (décimo quinto) termo da PA (1, 4, 7, 10, 13, 16, …)</p><p>𝑎</p><p>1</p><p>= 1 𝑎</p><p>2</p><p>= 4 𝑟 = 𝑎</p><p>2</p><p>− 𝑎</p><p>1</p><p>= 4 − 1 = 3</p><p>𝑎</p><p>𝑛</p><p>= 𝑎</p><p>1</p><p>+ (𝑛 – 1) . 𝑟 ⇒ 𝑎</p><p>15</p><p>= 1 + 14 . 3 ⇒ 𝑎</p><p>15</p><p>= 43</p><p>8) Calcule a soma dos 15 primeiros termos da PA anterior:</p><p>𝑎</p><p>1</p><p>= 1 𝑎</p><p>15</p><p>= 43 𝑛 = 15</p><p>𝑆</p><p>𝑛</p><p>=</p><p>𝑎</p><p>1</p><p>+𝑎</p><p>𝑛</p><p>2( ) . 𝑛 ⇒ 𝑆</p><p>15</p><p>=</p><p>𝑎</p><p>1</p><p>+𝑎</p><p>15</p><p>2( ) . 15 ⇒ 𝑆</p><p>15</p><p>= 1+43</p><p>2( ) . 15</p><p>𝑆</p><p>15</p><p>= 44</p><p>2 . 15 ⇒ 𝑆</p><p>15</p><p>= 22 . 15 = 330</p><p>9) Calcule a soma dos 100 primeiros números naturais pares.</p><p>Os números pares formam uma PA de razão 2, observe:</p><p>(0,2,4,6,8,...) Primeiro vamos achar o último termo:</p><p>a1 = 0 r = 2 n = 100 an = ?</p><p>𝑎</p><p>𝑛</p><p>= 𝑎</p><p>1</p><p>+ (𝑛 – 1) . 𝑟 ⇒ 𝑎</p><p>100</p><p>= 0 + 99 . 2 ⇒ 𝑎</p><p>100</p><p>= 198</p><p>Agora vamos calcular a soma dos termos:</p><p>𝑆</p><p>𝑛</p><p>=</p><p>𝑎</p><p>1</p><p>+𝑎</p><p>𝑛</p><p>2( ) . 𝑛 ⇒ 𝑆</p><p>100</p><p>=</p><p>𝑎</p><p>1</p><p>+𝑎</p><p>100</p><p>2( ) . 100 ⇒ 𝑆</p><p>100</p><p>= 0+198</p><p>2( ) . 100</p><p>𝑆</p><p>100</p><p>= 9900</p><p>Progressão geométrica (PG):</p><p>Uma progressão geométrica é uma sequência numérica onde, a partir do segundo termo é o produto</p><p>do termo anterior com uma constante chamada razão. Na P. G. a razão é identificada pela letra q.</p><p>a1 = a1</p><p>a2 = a1 . q</p><p>Onde,</p><p>q é a razão da PG; a2 é o segundo termo; a1 é o primeiro termo.</p><p>Termo Geral de uma P. G.</p><p>a1 = a1</p><p>a2 = a1 . q</p><p>a3 = a2 . q a3 = a1 . q . q a3 = a1 . q² a3 = a1 . 𝑞3 − 1</p><p>a4 = a3 . q a4 = a3 = a1 . q² . q a4 = a1 . a4 = a1 .𝑞3 𝑞4 − 1</p><p>an = a1 . onde:𝑞𝑛 − 1</p><p>an = Termo Geral ou qualquer termo</p><p>a1 = primeiro termo</p><p>q = razão</p><p>n = posição do termo</p><p>Tipos de PG</p><p>De acordo com o valor da razão (q), podemos classificar as Progressões Geométricas em 4 tipos:</p><p>1. Crescente: com a razão q > 1 e termos positivos ou, 0 1 e termos negativos ou, 0</p><p>da progressão é igual a:</p><p>𝑎</p><p>1</p><p>= 16</p><p>𝑞³ ⇒ 𝑎</p><p>1</p><p>= 16</p><p>2³ ⇒ 𝑎</p><p>1</p><p>= 16</p><p>8 = 2</p><p>4) Qual é o décimo quinto termo da PG (1, 2, 4, 8, …)?</p><p>𝑎</p><p>1</p><p>= 1 𝑞 = 2</p><p>1 = 2 𝑑é𝑐𝑖𝑚𝑜 𝑞𝑢𝑖𝑛𝑡𝑜 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜 é 𝑜 𝑎</p><p>15</p><p>, 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑛 = 15</p><p>𝑎</p><p>𝑛</p><p>= 𝑎</p><p>1</p><p>. 𝑞𝑛 − 1 ⇒ 𝑎</p><p>15</p><p>= 𝑎</p><p>1</p><p>. 𝑞14 ⇒ 𝑎</p><p>15</p><p>= 1 . 214 ⇒ 𝑎</p><p>15</p><p>= 16384</p><p>5) Considerando a PA de razão 2 e primeiro termo igual a 2, e a PG que possui mesma</p><p>razão e mesmo primeiro termo, qual a diferença entre o décimo termo da PG e o</p><p>décimo termo da PA?</p><p>𝑞 = 𝑟 = 2 𝑎</p><p>1</p><p>= 2 𝑎</p><p>10</p><p>= ?</p><p>𝑃𝐺 ⇒ 𝑎</p><p>10</p><p>= 𝑎</p><p>1</p><p>. 𝑞9 ⇒ 𝑎</p><p>10</p><p>= 2 . 29 ⇒ 𝑎</p><p>10</p><p>= 2 . 512 = 1024</p><p>𝑃𝐴 ⇒ 𝑎</p><p>10</p><p>= 𝑎</p><p>1</p><p>+ 9 . 𝑟 ⇒ 𝑎</p><p>10</p><p>= 2 + 9 . 2 = 20</p><p>A diferença entre o décimo termo da PG e o décimo termo da PA é: 1024 – 20 = 1004</p><p>6) Sabendo que uma PG tem a1 = 4 e razão q = 2, determine a soma dos 10 primeiros</p><p>termos dessa progressão.</p><p>𝑎</p><p>1</p><p>= 4 𝑞 = 2 𝑆</p><p>𝑛</p><p>= 𝑆</p><p>10</p><p>𝑛 = 10</p><p>𝑆</p><p>𝑛</p><p>=</p><p>𝑎</p><p>1</p><p>. 𝑞𝑛−1( )</p><p>𝑞−1 ⇒ 𝑆</p><p>10</p><p>= 4 . 210−1( )</p><p>2−1 ⇒ 𝑆</p><p>10</p><p>= 4 . 1023</p><p>1 = 4092</p><p>7) A sequência seguinte é uma progressão geométrica, observe: (2, 6, 18, 54...). Determine</p><p>o 8º termo dessa progressão.</p><p>𝑎</p><p>1</p><p>= 2 𝑞 = 6</p><p>2 = 3 𝑎</p><p>8</p><p>= ?</p><p>𝑎</p><p>𝑛</p><p>= 𝑎</p><p>1</p><p>. 𝑞𝑛 − 1 ⇒ 𝑎</p><p>8</p><p>= 𝑎</p><p>1</p><p>. 𝑞7 ⇒ 𝑎</p><p>8</p><p>= 2 . 37 ⇒ 𝑎</p><p>8</p><p>= 2 . 2187 = 4374</p><p>8) Determine o 5º (quinto) termo de uma PG onde o primeiro termo é 3 e a razão é 7.</p><p>𝑎</p><p>1</p><p>= 3 𝑞 = 7 𝑎</p><p>5</p><p>= ?</p><p>𝑎</p><p>𝑛</p><p>= 𝑎</p><p>1</p><p>. 𝑞𝑛 − 1 ⇒ 𝑎</p><p>5</p><p>= 𝑎</p><p>1</p><p>. 𝑞4 ⇒ 𝑎</p><p>5</p><p>= 3 . 74 ⇒ 𝑎</p><p>5</p><p>= 3 . 2401 = 7203</p><p>9) Calcule o 10º (décimo) termo da PG: (1, 3, 9, 27, 81, …):</p><p>𝑎</p><p>1</p><p>= 1 𝑞 = 3</p><p>1 = 3 𝑎</p><p>10</p><p>= ?</p><p>𝑎</p><p>𝑛</p><p>= 𝑎</p><p>1</p><p>. 𝑞𝑛 − 1 ⇒ 𝑎</p><p>10</p><p>= 𝑎</p><p>1</p><p>. 𝑞9 ⇒ 𝑎</p><p>10</p><p>= 1 . 39 ⇒ 𝑎</p><p>10</p><p>= 19683</p><p>10)Determine o primeiro termo de uma PG decrescente onde a9 = 12 e a6 = 96.</p><p>𝑎</p><p>𝑛</p><p>= 𝑎</p><p>1</p><p>. 𝑞𝑛−1 ⇒ 𝑎</p><p>9</p><p>= 𝑎</p><p>6</p><p>. 𝑞9−6 ⇒ 12 = 96 . 𝑞³ ⇒ 12</p><p>96 = 𝑞³ ⇒ 𝑞 = 3 12</p><p>96</p><p>𝑞 = 3 1</p><p>8 ⇒ 𝑞 = 1</p><p>2</p><p>Agora que temos a razão podemos calcular o primeiro termo da PG. Assim:</p><p>𝑎</p><p>6</p><p>= 𝑎</p><p>1</p><p>. 𝑞5 ⇒ 96 = 𝑎</p><p>1</p><p>. 1</p><p>2( )5</p><p>⇒ 96 = 𝑎</p><p>1</p><p>. 1</p><p>32 ⇒ 96 . 32 = 𝑎</p><p>1</p><p>⇒ 𝑎</p><p>1</p><p>= 3072</p>