Estatística - Moda e Mediana

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Estatística
Moda e Mediana
Professor Fabrício Biazotto
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Estatística
MODA E MEDIANA
MODA (MO)
O valor de maior frequência da série, também chamado norma, valor dominante ou valor 
típico.
Exemplos:
1) Rol (dados não tabulados)
Determinar a moda nos conjuntos a seguir:
A = {2, 2, 3, 3, 3, 3, 5 ,5 ,5 ,5 ,5 ,5 ,6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 9, 9} Mo =
B = {2, 2, 3, 3, 3, 3, 5 ,5 ,5 ,5, 5, 5 ,5, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9} Mo =
C = {2, 3, 5, 7, 8, 9} Mo =
Dados Tabulados Não-Agrupados em Classes 
Exemplo: determinar o valor da moda na tabela a seguir.
xi fi
1 5
2 10
3 18
4 12
5 4
Dados Tabulados Agrupados em Classes 
Classe modal: é classe de maior frequência. 
 
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Determinação da Moda:
 • Moda Bruta: é o método mais rudimentar de cálculo da moda, que consiste em considerá-
lo como sendo o ponto médio da classe modal.
 • Método de King: baseia-se na influência das frequências das classes adjacentes à classe 
modal.
– Método de King: baseia-se na influência das frequências das classes adjacentes à
classe modal.
𝑴𝑴𝑴𝑴 = 𝑳𝑳𝑳𝑳 + 𝒉𝒉 𝒙𝒙
𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇
𝒇𝒇 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 + 𝒇𝒇 𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇
Li – limite inferior da classe modal
h (ou c) – amplitude do intervalo de classe
fpos – frequência da classe posterior à classe modal
fant – frequência da classe anterior à classe modal
– Método de Czuber: utiliza a frequência da classe modal e as das classes adjacentes.
𝑴𝑴𝑴𝑴 = 𝑳𝑳𝑳𝑳 + 𝒉𝒉 𝒙𝒙
∆𝟏𝟏
∆𝟏𝟏 + ∆𝟐𝟐
, 𝑴𝑴𝒂𝒂𝒐𝒐𝒐𝒐: ∆𝟏𝟏 = 𝒇𝒇𝒇𝒇𝑴𝑴 − 𝒇𝒇𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 𝒐𝒐 ∆𝟐𝟐 = 𝒇𝒇𝒇𝒇𝑴𝑴 − 𝒇𝒇𝒇𝒇𝑴𝑴𝒇𝒇
 • Li – limite inferior da classe modal
 • h (ou c) – amplitude do intervalo de classe
 • fpos – frequência da classe posterior à classe modal 
 • fant – frequência da classe anterior à classe modal
 • Método de Czuber: utiliza a frequência da classe modal e as das classes adjacentes.
– Método de King: baseia-se na influência das frequências das classes adjacentes à
classe modal.
𝑴𝑴𝑴𝑴 = 𝑳𝑳𝑳𝑳 + 𝒉𝒉 𝒙𝒙
𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇
𝒇𝒇 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 + 𝒇𝒇 𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇
Li – limite inferior da classe modal
h (ou c) – amplitude do intervalo de classe
fpos – frequência da classe posterior à classe modal
fant – frequência da classe anterior à classe modal
– Método de Czuber: utiliza a frequência da classe modal e as das classes adjacentes.
𝑴𝑴𝑴𝑴 = 𝑳𝑳𝑳𝑳 + 𝒉𝒉 𝒙𝒙
∆𝟏𝟏
∆𝟏𝟏 + ∆𝟐𝟐
, 𝑴𝑴𝒂𝒂𝒐𝒐𝒐𝒐: ∆𝟏𝟏 = 𝒇𝒇𝒇𝒇𝑴𝑴 − 𝒇𝒇𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 𝒐𝒐 ∆𝟐𝟐 = 𝒇𝒇𝒇𝒇𝑴𝑴 − 𝒇𝒇𝒇𝒇𝑴𝑴𝒇𝒇
MEDIANA (MD) 
O valor central de uma série ordenada.
A mediana é considerada uma separatriz, por ser um promédio que divide a série em partes 
iguais; e, pelo fato de ocupar uma determinada posição na série ordenada, o número que 
indica a sua posição é denominado elemento mediano (Em).
Determinação da mediana para dados não tabulados
Uma vez ordenados os valores da série (Rol), a mediana será:
 • O valor central da série, se o número de valores (n) for ímpar,
 • A média aritmética dos dois valores centrais da série, se o número de valores for par.
Exemplos: 
1) Rol (dados não tabulados)
Determinar a mediana nos conjuntos a seguir:
A = {2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 9, 9} Md =
B = {2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9} Md=
C = {2, 2, 3, 3, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9} Md =
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2) Dados Tabulados Não-Agrupados em classes
O procedimento a ser adotado é praticamente idêntico ao anterior.
Exemplo: 
Calcular a mediana na tabela a seguir.
xi fi
1 5
2 10
3 18
4 12
5 4
3) Dados Tabulados Agrupados em Classes3) Dados Tabulados Agrupados em classes
𝑴𝑴𝑴𝑴 = 𝑳𝑳𝑳𝑳 + 𝒉𝒉 𝒙𝒙
(𝒏𝒏𝟐𝟐 − 𝑭𝑭𝑭𝑭𝒏𝒏𝑭𝑭)
𝒇𝒇𝒇𝒇𝑴𝑴
n – frequência total
Fant – frequência acumulada da classe anterior à classe mediana
fmd - frequência da classe mediana
h - Amplitude da classe mediana
Li - Limite inferior da classe mediana
OBS: classe mediana ... é a classe onde se encontra o elemento de posição n/2.
n – frequência total
Fant – frequência acumulada da classe anterior à classe mediana 
fmd – frequência da classe mediana
h – Amplitude da classe mediana
Li – Limite inferior da classe mediana
OBS: classe mediana ... é a classe onde se encontra o elemento de posição n/2.
Exemplo: 
Determinar a moda e a mediana na tabela a seguir. 
Notas de uma prova de Estatística
xi fi Fi
0 I––– 20 10
20 I––– 40 30
40 I––– 60 40
60 I––– 80 15
80 I––– 100 5
 
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OUTRAS SEPARATRIZES
Quartil (Q) – divide a série em 4 partes iguais.
d) Outras separatrizes
Quartil (Q) – divide a série em 4 partes iguais.
𝑸𝑸 = 𝑳𝑳𝑳𝑳 + 𝒉𝒉 𝒙𝒙
(𝒏𝒏𝑸𝑸 𝒙𝒙 ∑𝒇𝒇𝑳𝑳𝟒𝟒 − 𝑭𝑭𝑭𝑭𝒏𝒏𝑭𝑭)
𝒇𝒇𝑸𝑸
Decil (D) – divide a série em 10 partes iguais.
𝑫𝑫 = 𝑳𝑳𝑳𝑳 + 𝒉𝒉 𝒙𝒙
(𝒏𝒏𝑫𝑫 𝒙𝒙 ∑𝒇𝒇𝑳𝑳𝟏𝟏𝟏𝟏 − 𝑭𝑭𝑭𝑭𝒏𝒏𝑭𝑭)
𝒇𝒇𝑫𝑫
Centil ou Percentil (P) – divide a série em 100 partes iguais.
𝑷𝑷 = 𝑳𝑳𝑳𝑳 + 𝒉𝒉 𝒙𝒙
(𝒏𝒏𝑷𝑷 𝒙𝒙 ∑𝒇𝒇𝑳𝑳𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 − 𝑭𝑭𝑭𝑭𝒏𝒏𝑭𝑭)
𝒇𝒇𝑷𝑷
Decil (D) – divide a série em 10 partes iguais.
d) Outras separatrizes
Quartil (Q) – divide a série em 4 partes iguais.
𝑸𝑸 = 𝑳𝑳𝑳𝑳 + 𝒉𝒉 𝒙𝒙
(𝒏𝒏𝑸𝑸 𝒙𝒙 ∑𝒇𝒇𝑳𝑳𝟒𝟒 − 𝑭𝑭𝑭𝑭𝒏𝒏𝑭𝑭)
𝒇𝒇𝑸𝑸
Decil (D) – divide a série em 10 partes iguais.
𝑫𝑫 = 𝑳𝑳𝑳𝑳 + 𝒉𝒉 𝒙𝒙
(𝒏𝒏𝑫𝑫 𝒙𝒙 ∑𝒇𝒇𝑳𝑳𝟏𝟏𝟏𝟏 − 𝑭𝑭𝑭𝑭𝒏𝒏𝑭𝑭)
𝒇𝒇𝑫𝑫
Centil ou Percentil (P) – divide a série em 100 partes iguais.
𝑷𝑷 = 𝑳𝑳𝑳𝑳 + 𝒉𝒉 𝒙𝒙
(𝒏𝒏𝑷𝑷 𝒙𝒙 ∑𝒇𝒇𝑳𝑳𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 − 𝑭𝑭𝑭𝑭𝒏𝒏𝑭𝑭)
𝒇𝒇𝑷𝑷
Centil ou Percentil (P) – divide a série em 100 partes iguais.
d) Outras separatrizes
Quartil (Q) – divide a série em 4 partes iguais.
𝑸𝑸 = 𝑳𝑳𝑳𝑳 + 𝒉𝒉 𝒙𝒙
(𝒏𝒏𝑸𝑸 𝒙𝒙 ∑𝒇𝒇𝑳𝑳𝟒𝟒 − 𝑭𝑭𝑭𝑭𝒏𝒏𝑭𝑭)
𝒇𝒇𝑸𝑸
Decil (D) – divide a série em 10 partes iguais.
𝑫𝑫 = 𝑳𝑳𝑳𝑳 + 𝒉𝒉 𝒙𝒙
(𝒏𝒏𝑫𝑫 𝒙𝒙 ∑𝒇𝒇𝑳𝑳𝟏𝟏𝟏𝟏 − 𝑭𝑭𝑭𝑭𝒏𝒏𝑭𝑭)
𝒇𝒇𝑫𝑫
Centil ou Percentil (P) – divide a série em 100 partes iguais.
𝑷𝑷 = 𝑳𝑳𝑳𝑳 + 𝒉𝒉 𝒙𝒙
(𝒏𝒏𝑷𝑷 𝒙𝒙 ∑𝒇𝒇𝑳𝑳𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 − 𝑭𝑭𝑭𝑭𝒏𝒏𝑭𝑭)
𝒇𝒇𝑷𝑷
Exemplo: 
Para a solução das questões de números 4 e 5 utilize o enunciado que segue.
O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa amostra de tamanho 100 
obtida de uma população de 1000 indivíduos, produziu a tabela de frequências seguinte:
Classes Frequência ( f )
29,5-39,5 4
39,5-49,5 8
49,5-59,5 14
59,5-69,5 20
69,5-79,5 26
79,5-89,5 18
89,5-99,5 10
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Assinale a opção que corresponde ao valor modal do atributo X no conceito de Czuber.
a) 69,50
b) 73,79
c) 71,20
d) 74,53
e) 80,10
Exemplo: 
Considerando a distribuição de frequência relativa ao salário, em milhares de reais, de 
professores de uma faculdade, os valores salariais do terceiro quartil e do nonagésimo percentil 
são respectivamente:
i Salários R$ fi
1 0 |-- 2 8
2 2 |-- 4 12
3 4 |-- 6 22
4 6 |-- 8 25
5 8 |-- 10 18
6 10 |-- 12 15
a) R$ 8.880 e R$10.660
b) R$ 6.650 e R$ 4.480
c) R$ 2.920 e R$ 6.560
d) R$ 6.650 e R$10.660
e) R$ 6.560 e R$ 8.880