Medidas de Tendência Central Dados agrupados

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Medidas de Tendência Central –Dados agrupados
Curso de Sistemas
Fórmula:
X = Σ xifi
 Σ fi
MÉDIA ARITMÉTICA
Dados Agrupados: Com intervalo de classes
	i	Estaturas
(cm)	fi	xi
	fi.xi
	1
2
3
4
5
6	150 ⌐ 154
154 ⌐ 158
158 ⌐ 162
162 ⌐ 166
166 ⌐ 170
170 ⌐ 174	4
9
11
8
5
3	152
156
160
164
168
172	608
1404
1760
1312
840
516
			Σ = 40		Σ fi.xi = 6440
X = 161
Exercícios: Média Aritmética
1- O salário de 40 funcionários de um escritório está distribuído segundo o quadro ao lado. Calcule o salário médio destes funcionários.
	i	Salários
(R$)	fi
	1
2
3
4
5
6	400 ⌐ 500
500 ⌐ 600
600 ⌐ 700
700 ⌐ 800
800 ⌐ 900
900 ⌐ 1000	12
15
8
3
1
1
			Σ = 40
Exercícios: Média Aritmética
1- O salário de 40 funcionários de um escritório está distribuído segundo o quadro ao lado. Calcule o salário médio destes funcionários.
	i	Salários
(R$)	fi
	1
2
3
4
5
6	400 ⌐ 500
500 ⌐ 600
600 ⌐ 700
700 ⌐ 800
800 ⌐ 900
900 ⌐ 1000	12
15
8
3
1
1
			Σ = 40
	 Xi	Xi . fi
	450	450 . 12=5400
	550	550 . 15=8250
	650	650 . 8=5200
	750	750 . 3=2250
	850	850 . 1=850
	950	950 . 1=950
		Total=22 900
Média=22 900 = 572,5
 40 
Exercícios: Média Aritmética
2- Uma imobiliária gerencia o aluguel de residências particulares, seguindo o quadro ao lado. Calcule o aluguel médio para estas residências
	i	Aluguel
(R$)	fi
	1
2
3
4
5	0 ⌐ 200
200 ⌐ 400
400 ⌐ 600
600 ⌐ 800
800 ⌐ 1000	30
52
28
7
3
			Σ = 120
Exercícios: Média Aritmética
2- Uma imobiliária gerencia o aluguel de residências particulares, seguindo o quadro ao lado. Calcule o aluguel médio para estas residências
	i	Aluguel
(R$)	fi
	1
2
3
4
5	0 ⌐ 200
200 ⌐ 400
400 ⌐ 600
600 ⌐ 800
800 ⌐ 1000	30
52
28
7
3
			Σ = 120
	 Xi	Xi . fi
	100	100 . 30= 3000
	300	300 . 52=15600
	500	500 . 28= 14000
	700	700 . 7 = 4900
	900	900 . 3= 27 000
		Total= 40 200
Média=40200 = 335
 120 
MODA - Dados agrupados: Com intervalos de classe
	
A classe com maior freqüência é denominada classe modal. Pela definição, podemos afirmar que a moda, neste caso, é o valor dominante que está compreendido entre os limites da classe modal.
	O método mais simples para o cálculo da moda consiste em tomar o ponto médio da classe modal.
	Damos a esse valor a denominação de moda bruta.
				Mo = l* + L*		
	 			 2		
Onde:	l* - Limite inferior da classe modal
	L*- Limite superior da classe modal
	i	Estaturas
(cm)	fi
	1
2
3
4
5
6	150 ⌐ 154
154 ⌐ 158
158 ⌐ 162
162 ⌐ 166
166 ⌐ 170
170 ⌐ 174	4
9
11
8
5
3
			Σ = 40
	Classe modal
MODA - Dados agrupados: Com intervalos de classe
Mo = l + L
	2
Mo = 158 + 162 
	 2	
Mo = 160
Existe, para o cálculo da moda, outros métodos mais elaborados, como, por exemplo, o que faz uso da fórmula de Czuber:
	Mo = l* + D1 x h*
		 D1 + D2
	onde:
	l* - Limite inferior da classe modal
	h*- É a amplitude da classe modal
	D1 = f* - f (ant)
	D2 = f* - f (post)
	f* - freqüência da classe modal
	f (ant) – freqüência simples da classe anterior à classe modal
	f (post) - freqüência simples da classe posterior à classe modal
MODA - Dados agrupados: Com intervalos de classe
Usaremos este método
MODA - Dados agrupados: Com intervalos de classe
	i	Estaturas
(cm)	fi
	1
2
3
4
5
6	150 ⌐ 154
154 ⌐ 158
158 ⌐ 162
162 ⌐ 166
166 ⌐ 170
170 ⌐ 174	4
9
11
8
5
3
			Σ = 40
	Classe modal
Mo = l* + D1 x h*
	 D1 + D2
D1 = 11 – 9 = 2
D2 = 11 – 8 = 3
h* = 162 – 158 = 4
Mo = 158 + 2 x 4
	 3 + 2
Mo = 159,6
l* - Limite inferior da classe modal
	h*- É a amplitude da classe modal
	D1 = f* - f (ant)
	D2 = f* - f (post)
	f* - freqüência da classe modal
	f (ant) – freqüência simples da classe anterior à classe modal
	f (post) - freqüência simples da classe posterior à classe modal
Exercícios: Moda
3- O salário de 40 funcionários de um escritório está distribuído segundo o quadro ao lado. Calcule a moda do salário destes funcionários. 
	i	Salários
(R$)	fi
	1
2
3
4
5
6	400 ⌐ 500
500 ⌐ 600
600 ⌐ 700
700 ⌐ 800
800 ⌐ 900
900 ⌐ 1000	12
15
8
3
1
1
			Σ = 40
530
Mo = l* + D1 x h*
	 D1 + D2
l* - Limite inferior da classe modal
	h*- É a amplitude da classe modal
	D1 = f* - f (ant)
	D2 = f* - f (post)
	f* - freqüência da classe modal
	f (ant) – freqüência simples da classe anterior à classe modal
	f (post) - freqüência simples da classe posterior à classe modal
Exercícios: Moda
3- O salário de 40 funcionários de um escritório está distribuído segundo o quadro ao lado. Calcule a moda do salário destes funcionários. 
	i	Salários
(R$)	fi
	1
2
3
4
5
6	400 ⌐ 500
500 ⌐ 600
600 ⌐ 700
700 ⌐ 800
800 ⌐ 900
900 ⌐ 1000	12
15
8
3
1
1
			Σ = 40
530
Moda= 500+ 3 . 100= 530
 3+7
Mediana (Md) - A mediana é outra medida de posição definida como o número que se encontra no centro de uma série de números, estando estes dispostos segundo uma ordem.
Mediana (Md) - Dados agrupados com intervalo de classes
Executaremos os seguintes passos:
Determinamos as frequências acumuladas;
Calculamos Σfi 
		 2
c) Marcamos a classe correspondente à freqüência acumulada imediatamente superior (classe mediana) e em seguida utilizaremos a fórmula:
		
Sendo:
l* - limite inferior da classe mediana;
F(ant) – freqüência acumulada da classe anterior à classe mediana;
f* - freqüência simples da classe mediana
h* - amplitude do intervalo da classe mediana
Mediana (Md) - Dados agrupados com intervalo de classes
Sendo:
	 Σfi = 40 = 20
	 2 2 	
A menor freqüência acumulada que supera esse valor é 24. Logo a 3ª Classe será a Classe Mediana
	i	Estaturas
(cm)	fi	xi
	Fii
	1
2
3
4
5
6	150 ⌐ 154
154 ⌐ 158
158 ⌐ 162
162 ⌐ 166
166 ⌐ 170
170 ⌐ 174	4
9
11
8
5
3	152
156
160
164
168
172	4
13
24
32
37
40
			Σ = 40		
	 40 - 13 x 4
Md = 158 + 2
	 11
Md = 160,55
l* - limite inferior da classe mediana;
F(ant) – freqüência acumulada da classe anterior à classe mediana;
f* - freqüência simples da classe mediana
h* - amplitude do intervalo da classe mediana
Exercícios: Mediana
4- O salário de 40 funcionários de um escritório está distribuído segundo o quadro ao lado. Calcule a mediana.
	i	Salários
(R$)	fi
	1
2
3
4
5
6	400 ⌐ 500
500 ⌐ 600
600 ⌐ 700
700 ⌐ 800
800 ⌐ 900
900 ⌐ 1000	12
15
8
3
1
1
			Σ = 40
	Freq. Acumulada
	12
	27
	35
	38
	39
	40
Md= 500 + (20-12) . 100
 15
Md= 553.33
 
ATIVIDADE DE CASA
1- Uma imobiliária gerencia o aluguel de residências particulares, seguindo o quadro ao lado. Calcule a mediana do aluguel para estas residências
	i	Aluguel
(R$)	fi
	1
2
3
4
5	0 ⌐ 200
200 ⌐ 400
400 ⌐ 600
600 ⌐ 800
800 ⌐ 1000	30
52
28
7
3
			Σ = 120
	i	Consumo por nota (R$)	fi
	1
2
3
4
5
6	0 ⌐ 50
50 ⌐ 100
100 ⌐ 150
150 ⌐ 200
200 ⌐ 250
250 ⌐ 300	10
28
12
2
1
1
			Σ = 54
2- Calcule a mediana para a distribuição de valores de 54 notas fiscais emitidas na mesma data, selecionadas em uma loja de departamentos:
ATIVIDADE DE CASA 
3- Uma imobiliária gerencia o aluguel de residências particulares, seguindo o quadro ao lado. Calcule a moda do aluguel para estas residências
	i	Aluguel
(R$)	fi
	1
2
3
4
5	0 ⌐ 200
200 ⌐ 400
400 ⌐ 600
600 ⌐ 800
800 ⌐ 1000	30
52
28
7
3
			Σ = 120
	i	Consumo por nota (R$)	fi
	1
2
3
4
5
6	0 ⌐ 50
50 ⌐ 100
100 ⌐ 150
150 ⌐ 200
200 ⌐ 250
250 ⌐ 300	10
28
12
2
1
1
			Σ = 54
4-- Calcule a moda para a distribuição de valores de 54 notas fiscais emitidas na mesma data, selecionadas em uma loja de departamentos:
	i	Aluguel
(R$)	fi
	1
2
3
4
5	0 ⌐ 200
200 ⌐ 400
400 ⌐ 600
600 ⌐ 800
800 ⌐ 1000	30
52
28
7
3
			Σ = 120
Md= 200 + (60 – 30) . 200
 52 
	Freq. Acumulada
	30
	82
	110
	117
	120
	
Md= 200 + 6000
 52
Md= 200+ 115,38= 315,38