T2_Máquinas Hidraulicas_20 1

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1 
UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE 
ESCOLA DE ENGENHARIA 
CURSO DE ENGENHARIA MECÂNICA 
 
 
 
BÁRBARA ABREU, CAMILLA SCHAUSSE, EDUARDO HADDAD, 
GABRIEL MARINHO, JUAN CARLOS, MARIANA VOLPINI E 
PAOLA ACHTSCHIN 
 
 
 
TRABALHO DE MÁQUINAS HIDRÁULICAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
NITERÓI, RJ 
2020 
 13 
Sumário 
1. DESCRIÇÃO DO PROBLEMA ............................................................................................................................ 14 
2. PARTE 1, LETRA A) .......................................................................................................................................... 15 
3. PARTE 1, LETRA B) .......................................................................................................................................... 19 
4. PARTE 1, LETRA C) .......................................................................................................................................... 22 
5. PARTE 1, LETRA D) .......................................................................................................................................... 13 
6. PARTE 1, LETRA E) .......................................................................................................................................... 18 
 
 
 14 
1. DESCRIÇÃO DO PROBLEMA 
Água é bombeada do Reservatório 1 ao Reservatório 2 e para o Reservatório 3, como mostrado na 
Figura 1-1. 
 
Figura 1-1: Escoamento através de tubos conectados múltiplos. 
As elevações dos reservatórios 1, 2 e 3 são, respectivamente, 300, 500 e 600 ft. Os comprimentos 
dos tubos 1, 2 e 3 valem, respectivamente, 100, 500 e 1500 ft. Todos os tubos são feitos de aço 
galvanizado e têm diâmetro 2 e ¼ ft. A temperatura da água é 80oF. Existe uma bomba no tubo 1 e 
na sua descarga uma válvula globo cujo coeficiente de perda de carga vale 5. Os tubos são retos e 
não existe nenhuma outra forma de perda de carga localizada no sistema. A altura manométrica útil 
da bomba, Hu (ft), é uma função da descarga através da bomba Q1 (gpm), dada pela seguinte curva 
da Figura 1-2: 
 
Figura 1-2: gráfico relacionando a altura manométrica útil com a vazão 
 15 
2. PARTE 1, LETRA A) 
 
Determinar o ponto de operação quando a válvula para o reservatório 3 está fechada. Dessa forma, a 
água é toda bombeada do reservatório 1 até o reservatório 2. 
 
O ponto de operação se dá por meio da interseção da curva característica do sistema com a curva 
característica da bomba. 
 
Formando os pares ordenados mostrados na Tabela 1 com base no gráfico dado, foi possível traçar a 
curva característica da bomba. Nesse caso, foram feitas três curvas pois o gráfico dado fornece três 
curvas, uma para cada valor de diâmetro de rotor, como pode-se analisar na Figura 2-1. 
 
Tabela 1: Pares ordenados obtidos do gráfico dado. 
Curva Característica da Bomba 
 Q (gpm) Q (cfs) Hm1 (ft) Hm2 (ft) Hm3 (ft) 
0 0 325 275 237 
4000 10,7 322 272 232 
8000 21,41 319 269 226 
12000 32,11 313 263 224 
16000 42,81 300 250 206 
20000 53,51 288 225 187 
24000 64,22 250 188 150 
 
 
Figura 2-1: curvas características da bomba. 
 
Em seguida, para montar a curva característica do sistema foi necessário encontrar o valor da altura 
manométrica total do sistema para a configuração em que o reservatório 3 está fechado o 
reservatório 2 está aberto. 
 
 16 
 
Sabe-se que: 
 
𝐻! = ℎ" + ℎ# 
 
Onde: 
 
Hm é a altura manométrica. 
 
hg é o desnível geométrico entre os reservatórios. 
 
hf é a perda de carga total do sistema, resultado da soma entre a perda de carga localizada 
total e a perda de carga contínua total. O problema esclarece que o valor da perda de carga 
localizada total é igual a 5 ft (válvula globo). Desse modo, resta calcular o desnível 
geométrico e o valor da perda de carga contínua total. 
 
Entre os reservatórios 1 e 2, o desnível geométrico se dá por meio de: 
 
ℎ" = ℎ$ − ℎ% = 500 − 300 = 200	ft 
 
Já a perda de carga total se dá por: 
 
ℎ# = ℎ&'(,*'*+& + ℎ(',*,*'*+& = 5 + ℎ(',*,*'*+& 
 
Em que a perda de carga contínua localizada pode ser calculada por meio da fórmula de Darcy-
Weisbach: 
 
ℎ(',*,*'*+& = 𝑓	.
𝐿
𝐷	.
𝑈$
2𝑔 
 
Onde, pela fórmula de Churchill, o fator de atrito é: 
𝑓 = 8	. 45
8
𝑅𝑒8
%$
+
1
(𝐴 + 𝐵)
!
"
>
#
#"
 
𝐴 = ?2,457	. ln
1
E -
./
F
0,1
+ 0,27 /
2
G
%3
 
𝐵 = 5
37530
𝑅𝑒 8
%3
 
 
Finalmente, a velocidade e o número de Reynalds são determinados através das seguintes equações: 
 
𝑈 = 𝑄	. 𝐴 = 𝑄	. 𝜋	.
𝐷$
4 
𝑅𝑒 =
𝑈	.		𝐷
𝜈 
 
 17 
Os dados de entrada para a solução das equações acima foram: 
 
Tabela 2: Dados de entrada para solução da perda de carga contínua total. 
Dados de Entrada 
Diâmetro do tubo, D (ft) 2,25 
Área do tubo, A (ftˆ2) 3,98 
Rugosidade do tubo, e (ft) 0,00049 
Viscosidade cinemática da água a 80℉,	
𝜈 (ft/sˆ2) 0,0000961 
Comprimento do tubo 1, L1 (ft) 1000 
Comprimento do tubo 2, L2 (ft) 500 
Comprimento do tubo 3, L3 (ft) 1500 
hf localizado (ft) 5 
Aceleração da gravidade, g (ft/sˆ2) 32,15 
Elevação do tubo 1 (ft) 300 
Elevação do tubo 2 (ft) 500 
Elevação do tubo 3 (ft) 600 
hg (ft) 200 
 
Como solução, chega-se a: 
 
Tabela 3: Resultados para a construção da curva característica do sistema. 
Curva Característica do Sistema 
Q (cfs) U (ft/s) Re (ft/s) f L (ft) hf total (ft) Hm (ft) 
10,7 2,69 62944,80 0,02 1500,00 6,55 206,55 
21,41 5,38 125948,42 0,02 1500,00 10,52 210,52 
32,11 8,07 188893,22 0,02 1500,00 16,73 216,73 
42,81 10,76 251838,01 0,02 1500,00 25,13 225,13 
53,51 13,44 314782,81 0,02 1500,00 35,68 235,68 
64,22 16,14 377786,43 0,02 1500,00 48,39 248,39 
 
Portanto, para construir a curva característica do sistema, basta traçar uma curva entre os pares 
ordenados formados pela coluna de vazão (Q) e pela coluna de altura manométrica (Hm). 
 
 
 18 
Por fim, tem-se as seguintes curvas: 
 
 
Figura 2-2: curvas características da bomba e do sistema. 
 
Nota-se que, neste caso, a curva característica do sistema intercepta todas as curvas características 
da bomba. Dessa forma, temos um ponto de operação para cada diâmetro de rotor da bomba: 
 
Tabela 4: Pontos de operação encontrados para cada curva característica da boma. 
Ponto de Operação 
Rotor 1 Rotor 2 Rotor 3 
Q H Q H Q H 
 66,9064 245,8777 49,0253 232,8826 32,8200 220,2051 
 
 
 
 19 
3. PARTE 1, LETRA B) 
Desta vez, a válvula para o reservatório 2 se encontra fechada e a do reservatório 3 está aberta. 
Sendo assim, a água entre os reservatórios 1 e 3. 
 
As curvas características da bomba são mantidas as mesmas. Já a curva característica do sistema 
sofrerá alteração. 
 
Sendo assim, será traçada uma nova curva característica do sistema seguindo os mesmos passos da 
questão acima: 
 
Entre os reservatórios 1 e 2, o desnível geométrico se dá por meio de: 
 
ℎ" = ℎ$ − ℎ% = 500 − 300 = 200	ft 
 
Já a perda de carga total se dá por: 
 
ℎ# = ℎ&'(,*'*+& + ℎ(',*,*'*+& = 5 + ℎ(',*,*'*+& 
 
Em que a perda de carga contínua localizada pode ser calculada por meio da fórmula de Darcy-
Weisbach: 
 
ℎ(',*,*'*+& = 𝑓	.
𝐿
𝐷	.
𝑈$
2𝑔 
 
Onde, pela fórmula de Churchill, o fator de atrito é: 
𝑓 = 8	. 45
8
𝑅𝑒8
%$
+
1
(𝐴 + 𝐵)
!
"
>
#
#"
 
𝐴 = ?2,457	. ln
1
E -
./
F
0,1
+ 0,27 /
2
G
%3
 
𝐵 = 5
37530
𝑅𝑒 8
%3
 
 
Finalmente, a velocidade e o número de Reynalds são determinados através das seguintes equações: 
 
𝑈 = 𝑄	. 𝐴 = 𝑄	. 𝜋	.
𝐷$
4 
𝑅𝑒 =
𝑈	.		𝐷
𝜈 
 
 20 
Os dados de entrada para a solução das equações acima foram: 
 
Tabela 5: Dados de entrada para solução da perda de carga contínua total. 
Dados de Entrada 
Diâmetro do tubo, D (ft) 2,25 
Área do tubo, A (ftˆ2) 3,98 
Rugosidade do tubo, e (ft) 0,00049 
Viscosidade cinemática da água a 80℉,	
𝜈 (ft/sˆ2) 0,0000961 
Comprimento do tubo 1, L1 (ft) 1000 
Comprimento do tubo 2, L2 (ft) 500 
Comprimento do tubo 3, L3 (ft) 1500 
hf localizado (ft) 5 
Aceleração da gravidade, g (ft/sˆ2) 32,15 
Elevação do tubo 1 (ft) 300 
Elevação do tubo 2 (ft) 500Elevação do tubo 3 (ft) 600 
hg (ft) 200 
 
Como solução, chega-se a: 
 
Tabela 6: Resultados para a construção da curva característica do sistema. 
Curva Característica do Sistema 
Q (cfs) U (ft/s) Re (ft/s) f L (ft) hf total (ft) Hm (ft) 
10,7 2,69 62944,80 0,02 2500,00 7,59 307,59 
21,41 5,38 125948,42 0,02 2500,00 14,21 314,21 
32,11 8,07 188893,22 0,02 2500,00 24,56 324,56 
42,81 10,76 251838,01 0,02 2500,00 38,54 338,54 
53,51 13,44 314782,81 0,02 2500,00 56,13 356,13 
64,22 16,14 377786,43 0,02 2500,00 77,31 377,31 
 
Portanto, para construir a curva característica do sistema, basta traçar uma curva entre os pares 
ordenados formados pela coluna de vazão (Q) e pela coluna de altura manométrica (Hm). 
 
 
 21 
Por fim, tem-se as seguintes curvas: 
 
 
Figura 3-1: curvas características da bomba e do sistema. 
 
Desta vez, a curva característica do sistema intercepta apenas a curva característica da bomba com 
maior diâmetro de rotor. Dessa forma, temos o seguinte ponto de operação: 
 
Tabela 7: Ponto de operação encontrados para cada curva característica da bomba. 
Ponto de Operação 
Rotor 1 
Q H 
30,06 319,5563 
 
 
 22 
4. PARTE 1, LETRA C) 
 
 
É possível afirmar que o arranjo de bombas pode permanecer o mesmo, porque o valor encontrado 
para a vazão máxima da bomba atende a este valor. Caso não atendesse teríamos a possibilidade de 
adicionar bombas em série que somando ao valor máximo da vazão delas teríamos a vazão 
resultante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 13 
5. PARTE 1, LETRA D) 
 
A válvula para o reservatório 2 permanece fechada, de modo que o fluido fluirá do reservatório 1 
para o reservatório 3. Este fluido possui viscosidade igual a 20 cSt, portanto as mesmas contas 
realizadas na Pare 1, letra b) serão repetidas, com a diferença no valor de viscosidade. 
 
Como o fluido não se trata mais de água, e o gráfico dado dá os valores referentes à água e sua 
respectiva viscosidade, é necessário adaptar a curva da bomba para o fluido de 20 cSt. 
 
Assim, é feita uma correção da curva da bomba, que é realizada no ponto de maior eficiência da 
bomba. Considerando todas as três curvas da bomba para água, o ponto de maior eficiência é 
aproximadamente 24000 gpm, sendo este o valor utilizado para a correção. 
 
 
Os fatores de correção a serem determinados serão FQ (para a vazão) e FH (para a altura 
manométrica) e são encontrados por meio da leitura da carta de conversão de curva da bomba para 
cada valor de Q e seu respectivo Hm. Com esses valores, são encontrados os valores de vazão e 
altura manométrica do fluido de viscosidade 20 cSt, sendo possível traçar a curva característica do 
sistema para, assim, encontrar o ponto de operação. 
 
𝑄4 = 𝐹5 	. 𝑄6 
𝐻74 = 𝐹8 	. 𝐻76 
 
Onde: 
 
QF é a vazão para a bomba operando com o fluido viscoso. 
QA é a vazão para a bomba operando com água. 
HMF é a altura manométrica para a bomba operando com o fluido viscoso 
HMA é a altura manométrica para a bomba operando com água 
 
Como a carta de correção fornece os valores em m3/h, é necessário mudar as unidades usadas até 
então. Os valores de correção 
 
A vazão máxima para a bomba operando com água será multiplicada por 0.6, 0.8, 1.0 e 1.2 e, para 
cada um destes valores será lida a altura manométrica correspondente no gráfico da bomba 
operando com água. Em seguida, os valores de Q e Hm encontrados serão utilizados no gráfico para 
que sejam determinados os fatores de correção FQ e FH de cada par ordenado: 
 
Tabela 8: Determinação de parâmetros para encontrar os fatores de correção. 
 Q (gpm) Q (m3/h) Hm (ft) Hm (m) 
0,6 x Qmáx 14400,00 3270,59 306,25 93,35 
0,8 x Qmáx 19200,00 4360,79 287,5 87,63 
1,0 x Qmáx 24000,00 5450,99 250 76.2 
1,2 x Qmáx 28800,00 6541,19 - - 
 
 14 
 
 Portanto, foram encontrados os seguintes pares: 
 
Tabela 9: Valores de Q e Hm a serem usados na leitura da carta de conversão da curva da bomba. 
Q (m3/h) Hm (m) 
3270,59 93,35 
4360,79 87,63 
5450,99 76.2 
 
 
Uma vez que o valor de vazão máximo presente na carta de correção é 2000 m3/h - e os valores de 
vazão encontrados acima ultrapassam este valor - será usado este valor para as três alturas 
encontradas (ao invés de utilizar os valore de vazão calculados). 
 
Realizando a seguinte leitura da carta de correção: 
 
 15 
 
 
 
 16 
Chega-se a aproximadamente: 
 
Q (m3/h) Hm (m) FQ FH 
2000 93,35 1 1 
2000 87,63 1 1 
2000 76.2 1 1 
 
Como os fatores que correção em todos os casos chegaram muito próximo de 1, conclui-se que a 
curva da bomba operando com o fluido de viscosidade 20 cSt pode ser aproximada da curva da 
bomba operando com água. Sendo assim, será utilizada a mesma curva. 
 
Além disso, avaliando as outras duas curvas da bomba operando com água com valores menores de 
diâmetro de rotor, também se conclui que os fatores de correção são muito próximos de 1. Mesmo 
para uma altura manométrica de 150 ft = 45,72 m (menor altura atingida no gráfico), o fator de 
correção permanece próximo de 1 para o mesmo valor de viscosidade (20 cSt). 
 
Agora, os dados de entrada serão: 
 
Tabela 10: Dados de entrada para solução da perda de carga contínua total. 
DADOS DO PROBLEMA 
Diâmetro do tubo (ft) 2,25 
Área do tubo (ftˆ2) 3,98 
Rugosidade do tubo, e (ft) 0,00049 
Viscosidade do fluido, 𝜈 (ft/sˆ2) 0,0002153 
Comprimento do tubo 1 (ft) 1000 
Comprimento do tubo 2 (ft) 500 
Comprimento do tubo 3 (ft) 1500 
hf localizado (ft) 5 
Aceleração da gravidade (ft/sˆ2) 32,15 
Elevação do tubo 1 (ft) 300 
Elevação do tubo 2 (ft) 500 
Elevação do tubo 3 (ft) 600 
hg (ft) 300 
 
De modo que os seguintes resultados são encontrados aplicando todas as equações necessárias para 
encontrar a curva característica do sistema: 
 
Tabela 11: Resultados para a construção da curva característica do sistema. 
Curva Característica do Sistema 
Q (cfs) U (ft/s) Re f L (ft) hf total Hm (ft) 
10,7 2,69 28095,66 0,02 2500,00 8,05 308,05 
21,41 5,38 56217,57 0,02 2500,00 15,57 315,57 
32,11 8,07 84313,23 0,02 2500,00 27,10 327,10 
 17 
42,81 10,76 112408,89 0,02 2500,00 42,47 342,47 
53,51 13,44 140504,54 0,02 2500,00 61,58 361,58 
64,22 16,14 168626,46 0,02 2500,00 84,42 384,42 
 
Traçando a curva característica do sistema para fluido de viscosidade igual a 20 cSt, tem-se: 
 
 
Figura 5-1: Curvas características da bomba e do sistema. 
 
Novamente, a curva característica do sistema intercepta apenas a curva característica da bomba com 
maior diâmetro de rotor (sendo esta a única curva avaliada no início desta solução). Dessa forma, 
temos o seguinte ponto de operação: 
 
Tabela 12: Ponto de operação encontrados para cada curva característica da bomba. 
Ponto de Operação 
Rotor 1 
Q H 
 28,7354 320,7121 
 
 18 
6. PARTE 1, LETRA E) 
 
Para determinar as direções e magnitudes das descargas Q1, Q2 e Q3 é necessário, primeiramente, 
definir uma equação para a curva da bomba. 
 
Tendo em vista que a curva característica da bomba para o rotor de maior diâmetro sempre foi 
interceptada pela curva característica do sistema nas soluções anteriores, ela será escolhida para a 
análise. 
 
Como foi possível reproduzir aproximadamente a curva característica da bomba no Excel por meio 
da combinação dos pares ordenados tirados do gráfico dado, traçando-se uma linha de tendência é 
possível encontrar uma equação que se aproxime da realidade desta curva. Essa equação é 
importante uma vez que é necessária para resolver o sistema de equações não lineares: 
 
 
Figura 6-1: Curva característica da bomba considerando o rotor de maior diâmetro e sua respectiva equação 
 
𝐻! = −0,0243𝑄%$ + 0,5205𝑄% + 321,93 
 
 
 
Agora, é importante avaliar o sentido do escoamento no sistema e existem algumas possibilidades: 
 
Possibilidade 01: o fluido escoa do reservatório 1 até a junta e da junta ele escoa para o reservatório 
2 e para o reservatório 3. 
 
Possibilidade 02: o fluido escoa do reservatório 1 para a junta, do reservatório 3 para a junta e, 
finalmente, da junta para o reservatório 2. 
 
Portanto, ossentidos de Q1, Q2 e Q3 serão escolhidos, inicialmente, arbitrariamente para que seus 
valores sejam calculados. Caso seja necessário, o sentido será alterado para que atenda ao problema. 
 
 
 
 19 
Sabe-se que: 
 
𝑄% = 𝑄$ + 𝑄9 
 
0 = −𝑄% + 𝑄$ + 𝑄9 
 
 
Além disso, a equação da bomba encontrada foi: 
 
𝐻! = −0,0243𝑄%$ + 0,5205𝑄% + 321,93 
 
Enquanto, por definição, tem-se que a altura manométrica da bomba, em relação à linha de centro 
da mesma, se dá por: 
 
𝐻! = 𝐻. − 𝐻: 
 
Onde: 
 
HR se refere ao bocal de recalque (saída da bomba) 
HS se refere ao bocal de sucção (entrada da bomba) 
 
Sendo assim, aplicando a equação de energia na bomba, tem-se que: 
 
𝐻. =
𝑝.
𝛾 +
𝑉.$
2𝑔 + ℎ. 
 
𝐻: =
𝑝:
𝛾 +
𝑉:$
2𝑔 + ℎ: 
Portanto: 
 
𝐻! = Q
𝑝.
𝛾 +
𝑉.$
2𝑔 + ℎ.R − Q
𝑝:
𝛾 +
𝑉:$
2𝑔 + ℎ:R 
 
 
Agora, a equação de energia será aplicada ao longo de todo o trecho do sistema para reescrever a 
equação de Hm acima com termos conhecidos. 
 
Do reservatório 1 (1) até a entrada da bomba (S) (tubulação 1) 
 
 
𝑝%
𝛾 +
𝑉%$
2𝑔 + ℎ% =
𝑝:
𝛾 +
𝑉:$
2𝑔 + ℎ: + 𝐽%→: 
 
Sabendo que V1 é igual a zero e que 𝐻% =
<#
=
+ ℎ% (altura piezométrica), tem-se que: 
 
𝑝:
𝛾 +
𝑉:$
2𝑔 + ℎ: = 𝐻% − 𝐽%→: 
 
 20 
 
Onde a perda de carga 𝐽%→: é igual a zero uma vez que não há perda de carga localizada entre o 
reservatório 1 e a entrada da bomba (conforme o enunciado, a única perda de carga localizada no 
sistema é a da válvula globo), bem como perda contínua. Sendo assim: 
 
𝑝:
𝛾 +
𝑉:$
2𝑔 + ℎ: = 𝐻% 
 
Da saída da bomba (R) até a junção dos tubos (j) (tubulação 1) 
 
 
𝑝.
𝛾 +
𝑉.$
2𝑔 + ℎ. =
𝑝>
𝛾 +
𝑉>$
2𝑔 + ℎ> + ℎ#.?> 
 
Onde: 
 
𝑉> = 𝑉% =
𝑄%
𝐴%
 
 
𝐻> =
𝑝>
𝛾 + ℎ> 
 
ℎ#.?> = 5 + 𝑓%	.
𝐿%
𝐷%
	 .
𝑄%$
2𝑔	. 𝐴%$
 
 
Logo: 
 
𝑝.
𝛾 +
𝑉.$
2𝑔 + ℎ. = 𝐻> +
𝑄%$
2𝑔	. 𝐴%$
+ 5 + 𝑓%	.
𝐿%
𝐷%
	 .
𝑄%$
2𝑔	. 𝐴%$
 
 
 
Com as duas equações encontradas acima, pode-se substituir <$
=
+ @$
"
$"
+ 𝑖 e <%
=
+ @%
"
$"
 na equação de 
Hm: 
 
𝐻! = Q
𝑝.
𝛾 +
𝑉.$
2𝑔 + ℎ.R − Q
𝑝:
𝛾 +
𝑉:$
2𝑔R 
 
𝐻! = Q𝐻> +
𝑄%$
2𝑔	. 𝐴%$
+ 5 + 𝑓%	.
𝐿%
𝐷%
	 .
𝑄%$
2𝑔	. 𝐴%$
R − (𝐻%) 
 
 
Nesses casos acima, como era conhecido o sentido da vazão desde o reservatório 1 até a junção, foi 
possível definir o sinal das perdas de carga. 
 
 
 
 
 21 
Da junção (j) até o reservatório 3 (3) (tubulação 3): 
 
𝑝>
𝛾 +
𝑉>$
2𝑔 + ℎ> =
𝑝9
𝛾 +
𝑉9$
2𝑔 + ℎ9 ± ℎ#&→! 
 
Onde: 
 
ℎ#>→9 = 𝑓9	.
𝐿9
𝐷9
	 .
𝑄9$
2𝑔	. 𝐴9$
 
 
𝑉> = 𝑉9 
 
𝐻A =
𝑝>
𝛾 + ℎ> 
 
𝐻9 =
𝑝9
𝛾 + ℎ9 
 
O uso de ± para a perda de carga se dá pelo fato de não ser conhecido o sentido da vazão entre o 
reservatório 3 e a junção, de modo que não se sabe ainda qual sinal determinar para a perda de carga. 
 
Logo: 
 
𝐻> = 𝐻9 −
𝑄9$
2𝑔	.		𝐴9$
+ 𝐻9 ± 𝑓9	.
𝐿9
𝐷9
	 .
𝑄9$
2𝑔	. 𝐴$$
 
 
 
Da junção (j) até o reservatório 2 (2) (tubulação 2): 
 
𝑝>
𝛾 +
𝑉>$
2𝑔 + ℎ> =
𝑝$
𝛾 +
𝑉$$
2𝑔 + ℎ$ ± ℎ#&→" 
 
Onde: 
 
ℎ#>→$ = 𝑓$	.
𝐿$
𝐷$
	 .
𝑄$$
2𝑔	. 𝐴$$
 
 
𝑉> = 𝑉$ 
 
𝐻A =
𝑝>
𝛾 + ℎ> 
 
𝐻$ =
𝑝$
𝛾 + ℎ$ 
 
 
 
 
 22 
Logo: 
 
𝐻> = 𝐻$ −
𝑄$$
2𝑔	.		𝐴$$
± 𝑓$	.
𝐿$
𝐷$
	 .
𝑄$$
2𝑔	. 𝐴$$
 
 
 
Finalmente, é possível montar um sistema de equações não linear em que há 5 equações e 5 
incógnitas: 
 
𝑄% = 𝑄$ + 𝑄9 
 
𝐻! = −0,0243𝑄%$ + 0,5205𝑄% + 321,93 
 
𝐻! = Q𝐻> +
𝑄%$
2𝑔	. 𝐴%$
+ 5 + 𝑓%	.
𝐿%
𝐷%
	 .
𝑄%$
2𝑔	. 𝐴%$
R − (𝐻%) 
 
𝐻> = 𝐻9 −
𝑄9$
2𝑔	.		𝐴9$
+ 𝐻9 ± 𝑓9	.
𝐿9
𝐷9
	 .
𝑄9$
2𝑔	. 𝐴9$
 
 
𝐻> = 𝐻$ −
𝑄$$
2𝑔	.		𝐴$$
± 𝑓$	.
𝐿$
𝐷$
	 .
𝑄$$
2𝑔	. 𝐴$$
 
 
Onde as incógnitas são: Q1, Q2, Q3, Hm e Hj. 
 
Este sistema pode ser resolvido utilizando o Wolfram Mathematica, como mostrado abaixo: 
 
 
Figura 6-2: Código de solução do sistema pelo Mathematica. 
 
 
 
 
 
 
 23 
 
Portanto, chega-se a: 
 
 Q1 257,823 ft3/s 
 Q2 719,701 ft3/s 
 Q3 - 461,888 ft3/s 
 Hj 1624,15 ft3/s 
 Hm 1427,42 ft3/s 
 
 
 
 
 13 
7. PARTE 2, LETRA B) 
A bomba cavitará caso o NPSH disponível seja menor que o NPSH requerido. Para isso, é 
necessário calcular o valor do NPSH disponível, que é definido como: 
 
𝑁𝑃𝑆𝐻BCD<',íF/& =
𝑃:
γ
+
𝑉:$
2𝑔 − ℎF	 
 
Onde: 
 
ℎF =
𝑃F
𝜌𝑔 =
0,507 × 9$,$%
%$G
62,1 × 32,2 
ℎF = 1,176	𝑓𝑡 
 
Aplicando a equação de energia entre o reservatório 1 (1) e entrada da bomba (S) tem-se que: 
 
𝑝%
𝛾 +
𝑉%$
2𝑔 + ℎ% =
𝑝:
𝛾 +
𝑉:$
2𝑔 + ℎ: + ℎ#%→: 
 
Onde: 
 
𝑉% = 0 
 
𝑝%
𝛾 + ℎ% = 𝐻% 
 
Então: 
𝑝:
γ
+
𝑉:$
2𝑔 = 	𝐻% − ℎ: −	ℎ#%→: 
 
 
Substituindo <%
γ
+ @%
"
$"
 por 𝐻% − ℎ: −	ℎ#%→: na equação de NPSH disponível, chega-se a: 
 
𝑁𝑃𝑆𝐻BCD<',íF/& =
𝑃:
γ
+
𝑉:$
2𝑔 − ℎF 
 
 
𝑁𝑃𝑆𝐻BCD<',íF/& = 𝐻% − ℎ: −	ℎ#%→: − ℎF 
 
 
 
 
 
 
 14 
Onde: 
 
ℎ#%→: =
𝑓%𝐿𝑄%$
2𝐷%𝑔𝐴%$
 
 
𝑄% = 257,823	𝑓𝑡9/𝑠 
 
ℎD = 10𝑓𝑡 
 
𝐿 = 100𝑓𝑡 
 
𝐻% ≅ 300𝑓𝑡 
 
Portanto: 
 
𝑁𝑃𝑆𝐻BCD<',íF/& = 300 − 10 −	
𝑓%𝐿𝑄%$
2𝐷%𝑔𝐴%$
− 1,176 = 284,22	𝑓𝑡 
 
 
O NPSH requerido é aquele onde a vazão Q1 corta a curva de NPSH do gráfico dado no problema. 
Como o valor de Q1 é muito alto, será considerado o maior valor encontrado na curva de NPSH no 
gráfico: 
 
𝑁𝑃𝑆𝐻H/IJ/HCB' = 27,5	𝑓𝑡 
 
 
Portanto, realizando a comparação: 
 
𝑁𝑃𝑆𝐻BCD<',íF/& > 𝑁𝑃𝑆𝐻H/IJ/HCB' 
 
Assim, conclui-se que a bomba não cavitará.