trabalho maquinas

Prévia do material em texto

1 
 
Universidade Federal Fluminense 
Departamento de Engenharia Mecânica 
Máquinas Hidráulicas 
 
 
 
 
 
 
Trabalho 2 
Bombeamento de água entre reservatórios interconectados por tubos em diferentes 
elevações. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Grupo: 
Rennan Lista 
Igor Rodrigues 
Victor Tayar 
Jorge Felipe 
Thiago Jahn 
 
 
 
Professor: Felipe Rachid 
 
 
 
 
 
2 
Sumário 
1. Descrição do problema………………………………...........3 
 
2. Parte 1: 
A………………………………...………………………………...3 
B………………………………...………………………………...5 
C………………………………...………………………………...7 
D………………………………...………………………………...7 
E………………………………...………………………………...8 
F………………………………...………………………………...9 
G………………………………...………………………………...10 
H………………………………...………………………………...13 
 
3. Parte 2: 
A………………………………...…………………………….......14 
B………………………………...………………………………...18 
C………………………………...………………………………...18 
D………………………………...………………………………...18 
 
4. Referências Bibliográficas.………………………………......21 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
Enunciado: Em alguns casos práticos surge a necessidade de transportar líquido de um 
reservatório para outros interconectados por tubos. Um exemplo é apresentado na figura 1 na 
qual água é bombeada do reservatório 1 para os reservatórios 2 e 3, que estão em diferentes 
elevações 
 
Figura 1 - escoamento através de tubos conectando múltiplos reservatórios 
Problema: Referindo-se a figura 1, admita que as elevações dos reservatórios 1, 2 e 3 sejam 30 
ft, 40 ft e 40 ft respectivamente. Os comprimentos dos tubos 1, 2 3 valem 1000 ft, 500 ft e 1500 
ft, respectivamente, e todos os três tubos são feitos de aço galvanizado e tem diâmetro de 2.0 
ft, 1.0 ft e 1.5 ft. Admita também que a temperatura da água é de 80ºF. O coeficiente de perda 
de carga na entrada de cada tubo é 0.5 e para a saída é 1.0. Existe uma bomba no tubo 1 e na 
sua descarga uma válvula globo com abertura 90%. Os tubos são retos e não existe nenhuma 
outra forma de perda de carga localizada no sistema. A Altura manométrica útil da bomba, Hu 
(ft) é uma função da descarga através da bomba Q1 (cfs), dada pela expressão: Hu=120-10Q1² 
 
O coeficiente de descarga da valvula globo é apresentada na tabela abaixo 
 
Abertura 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100% 
Cd 0 0.01 0.05 0.08 0.15 0.20 0.26 0.30 0.35 0.38 0.41 
 
 
 
A relação entre o coeficiente de descarga Cd e o coeficiente de perda de carga Kv é dado pela 
expressão: 𝐶𝑑 = (1/1 + 𝑘𝑣)0.5 
Questões: 
Os dados contidos na tabela abaixo foram utilizados para realizar os cálculos através de 
planilhas no Microsoft Excel. Todos os gráficos e tabelas usadas neste documento podem ser 
encontradas em anexos. 
 
Parte 1: 
a) Determine o ponto de operação quando a válvula para o reservatório 3 está 
fechada. 
Primeiramente foi calculado o valor de vazão máxima para a bomba através da fórmula: 
em que Q1 assume seu valor máximo quando Hu é zero. Em seguida, o valor da vazão máxima 
foi utilizado para plotar o gráfico da curva característica da bomba, representado na tabela 
Tabela ab-1 e no Gráfico ab-1 
4 
 
O próximo passo é determinar as curvas do sistema para que possa ser encontrado o ponto de 
operação da bomba (BEP), através do ponto de interseção entre as curvas da bomba e do 
sistema. A seguinte fórmula foi usada como base: 
 
Logo, o próximo passo seria calcular os valores das perdas localizadas e distribuídas que 
ocorrem no escoamento do fluido do reservatório 1 até o reservatório 2. Através de planilhas 
interativas torna-se possível calcular os valores de Hm para diferentes vazões, permitindo que 
seja traçado o gráfico da curva do sistema para diferentes aberturas da válvula globo. 
O próximo passo é calcular os valores de cada perda localizada e distribuída que ocorrerão no 
caminho do fluido do reservatório 1 até o reservatório 2. Para que assim possa ser calculado 
Hm para diversas aberturas da válvula globo e para diversas e vazões, e assim seja plotado o 
gráfico da curva do sistema e acharmos o BEP. 
 
Para determinar o valor das perdas distribuídas nos tubos 1 e 2, reescrevemos a fórmula do 
Número de Reynolds em função da vazão, e o calculamos para diversas vazões. Isso foi feito 
para, em seguida, encontrar o fator de atrito e finalmente fazer o cálculo das perdas 
especificadas na tabela Tabela ab-2. Seguem as fórmulas utilizadas: 
 
 
Sendo Re o número de Reynolds, Q a vazão, g a gravidade, D o diâmetro do tubo estudado e 
v a viscosidade cinemática do fluido.
 
Sendo f o fator de atrito, Re o número de Reynolds e Rr a rugosidade relativa do tubo 
(calculado através da rugosidade média do aço galvanizado, com valores obtidos de tubos sem 
costura, e do diâmetro da parte estudada do tubo). 
 
Sendo J distribuído a perda de carga distribuída, f o fator de atrito distribuído no tubo e L o 
comprimento do tubo. 
 
 
Em seguida, as perdas localizadas na entrada do tubo 1 e na saída do tubo 2 foram calculadas 
na tabela Tabela ab-3 segundo a fórmula: 
5 
 
Sendo Jlocal a perda localizada, K o coeficiente de perda de carga localizada (dado no 
enunciado para entrada e saída dos tubos, e para Kv em cada abertura da válvula globo. 
 
Para fazer o cálculo da perda de carga resultante das diversas aberturas da válvula globo, 
foram utilizados os valores de Cd dados no enunciado para encontrar o Kv que viria a ser 
aplicado na fórmula de perda distribuída local, a fim de quantificar a dimensão das perdas em 
função das aberturas. Todos os resultados foram expressos na tabela Tabela ab-4. 
 
 
Com todas as perdas de cargas do sistema quantificadas se torna possível calcular os valores 
de Hm para definir, enfim, a curva do sistema. Desta vez, tendo em mãos todos os valores, 
voltamos à fórmula: 
 
Sendo He, a diferença de elevação entre os reservatórios, Jv a perda na válvula para 
determinada abertura, Je a perda na entrada, Js a perda na saída, e J1 e J2 correspondem às 
perdas distribuídas nos tubos 1 e 2, respectivamente. 
 
Desta maneira, foi construído o gráfico ab-1, onde constam as curvas da bomba e do sistema 
diante da mesma escala, para diversas frações de abertura da válvula. Assim, fica possível 
encontrar facilmente o ponto de operação da bomba (Best Efficiency Point), que é o ponto onde 
as duas curvas se interceptam. 
 
Sendo assim, o BEP encontrado para uma abertura de válvula de 90% é mostrado a seguir: 
 
BEP 
Abertura Q[cfs] Hu[ft] 
90% 3.27 13.636 
 
 
b) Repita o item a) quando a abertura da válvula for 40% 60% e 100%. 
Diante da automação do processo dos cálculos nas planilhas em Excel, ficou simples o 
processo de observação do comportamento das curvas, e de seu consequente ponto de 
operação, para as diversas aberturas da válvula globo. Basta, então, substituir na fórmula de 
Hm as novas perdas localizadas e plotar no gráfico para aberturas de válvula de 40%, 60% e 
100%, além da curva que já havia sido traçada, que corresponde à abertura de 90%. 
 
6 
Falta apenas buscar neste gráfico os valores do BEP para cada abertura. Porém, nota-se que o 
comportamento das curvas do sistema variaram muito pouco para aberturas maiores do que 
40%, fato que na interpretação do grupo deve decorrer de uma bomba mal dimensionada para 
tal aplicação. Por isso, a diferença nos pontos de operação requisitados no enunciado foi 
pequena, e o grupo julgou que seria válido, a título de comparação, apresentar as curvas do 
sistema para aberturas menores da válvula globo. Assim, observa-se que as curvas para 
aberturas abaixo de 20% apresentam uma mudança significativa em seu ponto ideal de 
operação. 
 
BEP 
Abertura Q[cfs] Hu[ft] 
100% 3.28 13.633 
90% 3.27 13.636 
60% 3.25 13.640 
40% 3.24 13.647 
20% 3.18 18.182 
10% 2.05 77.273 
 
 
7 
c) Determine o ponto de operação quando a abertura da válvula para o reservatório 
2 está fechada. 
O procedimento para calcular o ponto de operação para oreservatório quando a válvula do 
reservatório 2 está fechada é análogo ao da letra a). Sendo assim, suas tabelas de cálculo 
podem ser consultadas no anexo. 
 
A curva da bomba se mantém a mesma, e as mudanças mais significativas são vistas nas 
perdas de carga distribuídas, que agora são avaliadas em todo o comprimento do tubo 3 ao 
invés do tubo 2, e na altura de elevação He, que agora é significativamente maior. Por isso, a 
curva do sistema é iniciada a partir de um valor maior de Hu para Q igual a zero, resultando em 
um maior ponto de operação. 
 
BEP 
Abertura Q[cfs] Hu[ft] 
90% 3.14 31.591 
 
d) Repita o item c) quando a abertura da valvula globo for 40% 60% e 100%. 
 Assim como no item b) o gráfico da curva da bomba e do sistema são mostrados abaixo, 
assim como a tabela das com os valores de BEP para aberturas da válvula iguais a 40%, 60%, 
90% e 100% 
 
 
 
 
 
8 
 
BEP 
Abertura Q[cfs] Hu[ft] 
100% 3.15 31.588 
90% 3.14 31.591 
60% 3.11 31.595 
40% 3.1 31.647 
 
e) Admita que a válvula para o reservatório 2 está fechada. Determine o arranjo de 
bombas para bombear o líquido com 5 cfs. 
No caso apresentado, a vazão máxima da bomba é de 3,46 cfs. Diante disso, foi estudado que 
para bombear vazões maiores através de um sistema, é necessário a aplicação de bombas em 
paralelo. Para isso, foi feita a correção da curva da bomba dada inicialmente no enunciado, 
onde substituiu-se Q por Q/2, de forma a bombear o fluido a uma vazão máxima de 6,89 cfs, 
que é um valor maior do que o requisitado. Sendo assim é necessário um ajuste na vazão 
utilizando-se da valvula globo para adequá-la próximo de 5 cfs. A abertura da válvula deve ser 
de 80%. 
 
Corrigindo a curva da bomba, ela fica na forma que segue: 
 
Hu = 120 - 2,5Q² 
 
Dessa forma, novas curvas da bomba podem ser traçadas para o mesmo trajeto do fluido 
observado no item anterior, onde o registro gaveta do reservatório 2 estaria fechado. As perdas 
de carga locais seguem as mesmas (entrada no tubo 1, saída no tubo 3 e as perdas 
decorrentes das diferentes aberturas da válvula globo), além das perdas de carga distribuídas 
ao longo dos tubos citados. 
9 
 
 
Assim, observa-se graficamente que as curvas do sistema se mantém a mesma em relação ao 
item anterior, porém a curva da bomba mostra alterações significativas. 
 
f) Repita o item e) quando a abertura da valvula globo for 40%, 60% e 100%. 
Novamente, o processo foi feito de forma a facilitar a observação do comportamento das 
curvas diante da mudança de variáveis. Diferentes aberturas de válvula implicam em diferentes 
perdas de carga e recalcula-se o valor de BEP para cada caso. Em todos os casos 2 bombas 
em paralelo são suficientes para atingir os 5 cfs de vazão. 
 
BEP 
Abertura Q[cfs] Hu[ft] 
100% 3.28 13.633 
90% 3.27 13.636 
60% 3.25 13.640 
40% 3.24 13.647 
20% 3.18 18.182 
10% 2.05 77.273 
 
 
10 
g) ponto de operação quando um líquido de 25 cSt deve ser bombeado para o 
reservatório 3. 
A equação da bomba dada no início do problema serve apenas para quando ela está 
bombeando água. Desta maneira, a curva encontrada nos itens c) e d) não se aplica mais 
diretamente, e é necessário encontrar a curva corrigida da bomba para a nova viscosidade do 
fluido. Para encontrar a curva corrigida do sistema, faremos uso do diagrama a seguir, onde 
podem ser encontrados os fatores de correção através dos pontos A,B, C e D. E para isso 
converteremos os seguintes dados: 
 
Delta H [m] Q BEP [m³/h] 
Viscosidade 
[cSt] 
6,09 337 25 
 
11 
 
 
12 
O ponto A é o ponto em que a linha vertical vermelha referente a vazão de 337 m³/h (3.31cfs) 
encontrar a reta diagonal azul referente ao delta H de 6,09m (20ft) . Em seguida a linha vermelha 
desloca-se na horizontal até encontrar a reta diagonal verde, referente a viscosidade de 25 cSt. Em 
seguida a linha vermelha volta a se deslocar verticalmente para cima, onde cruza as curvas de de onde 
são traçadas as retas horizontais laranjas para os fatores de correção fq e fh que são mostrados a 
seguir. 
 
 0.6Q 0.8Q 1Q 1.2Q 
Q 1.986 2.648 3.31 3.972 
Hb 80.55804 49.88096 10.439 -37.76784 
 
fq (gráfico) 0.9555 0.9555 0.9555 0.9555 
fh (gráfico) 0.97 0.955 0.93 0.89 
 
 
Os fatores são multiplicados com suas respectivas proporções de vazões e alturas dando 
origem aos dados da tabela abaixo que serão utilizados para plotar a curva característica. 
 
Dados p/curva da bomba e do sistema corrigidos 
Q(25 cSt) Hu(agua) Hu(25 cSt) Hm(90%) 
1.897623 
83.990269
5 78.1412988 20.90 
2.530164 
55.982701
33 47.6363168 21.47 
3.162705 
19.972970
83 9.70827 22.15 
3.795246 
-
24.038922
01 -33.6133776 22.94 
 
Além disso, como a viscosidade do fluido mudou, também se torna necessário refazer os 
cálculos da curva do sistema . O procedimento para esta passo é o mesmo dos itens c) e d) 
porém com a viscosidade cinemática corrigida e convertida em ft²/s. Sendo assim, podemos 
finalmente traçar o gráfico da curva corrigida e do sistema para 25 cSt. Desta maneira, 
encontramos o ponto de operação pedido. A curva em vermelho é a curva da bomba corrigida 
para o líquido com viscosidade de 25 cSt. A curva em azul é a mesma calculada no item a), 
para a água. 
13 
 
BEP 
Abertura Q[cfs] Hu[ft] 
90% 2.968 22.273 
 
h) Admita que a válvula para o reservatório 3 está fechada e que uma nova bomba 
cuja curva característica é dada por Hu=200-8Q1² deve ser utilizada. Determine o 
coeficiente de perda de carga da válvula a ser colocada num bypass (conectando a 
descarga e a sucção da bomba de modo que o sistema opera com vazão encontrada no 
item a). 
 
Uma vez que há a utilização de uma nova bomba no projeto, e está imputa uma altura útil 
maior que a altura útil necessária, a instalação de um by-pass se faz indispensável tendo em 
vista que o mesmo contribui para redução da vazão para o sistema sem que seja preciso 
substituição da bomba ou readequação do projeto como um todo. “A válvula de bypass tem 
função de manter constante a pressão do sistema. Uma vez que a pressão do sistema é 
excedida, a válvula abre e alivia a pressão, protegendo assim o sistema contra rupturas. 
[McGraw-Hill Dictionary of Scientific & Technical Terms, 6E. (2003)] 
 
Analisando o ponto de máxima vazão na curva da bomba proposta, ou seja, onde a altura útil 
Hu é nula, observou-se que esta é igual a 5 cfs e, utilizando a nova curva do sistema,incluindo 
a perda de carga do bypass, Obtivemos no ponto de máxima eficiência uma vazão equivalente 
a Qbomba = 4,78 cfs. 
 
Assim, com a válvula para o reservatório 3 fechada e a vazão do sistema (Qsistema) igual a 3,28 
cfs, idem ao item a, a vazão que passará pelo By-pass deverá ser: 
 
 
14 
𝑄(𝑏𝑦 − 𝑝𝑎𝑠𝑠) = 𝑄(𝑏𝑜𝑚𝑏𝑎) − 𝑄(𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎) 
 
Resultando a vazão que passa pelo By-pass igual a 1,50 cfs. 
Para obtenção na perda de carga no bypass, foi igualado a altura útil da nova bomba com a 
altura útil do novo sistema, conforme mostrado abaixo. 
 
Hubomba=Husistema 
200-8Q2bomba=H3-H0+Jbypass 
200-8Q2bomba=(z2-z1)+Jbypass+Jentrada+Jvalv. globo+Jd1+Jd2+Jsaida 
Jbypass= 200-8Q
2
bomba-((z2-z1)+Jentrada+Jvalv. globo+Jd1+Jd2+Jsaida) 
 
Aplicando as fórmulas utilizadas na questão 1a para as perdas de carga na equação acima é 
possível chegar a: 
 
Jbypass=4,48 ft 
 
Assumindo que o by pass só possui perda de carga na válvula e seu diâmetro é igual ao 
diametro do tubo 1, podemos escrever a perda de carga no by-pass como: 
 
𝐽𝑏𝑦𝑝𝑎𝑠𝑠 =
𝐾𝐵𝑦𝑝𝑎𝑠𝑠 . 𝑄𝑏𝑦𝑝𝑎𝑠𝑠
2
2𝑔. 𝐴𝑏𝑦𝑝𝑎𝑠𝑠
2 
 
Isolando o coeficiente de perda de carga do by-pass, 
 
𝐾𝐵𝑦𝑝𝑎𝑠𝑠 =
2𝑔. 𝐴𝑏𝑦𝑝𝑎𝑠𝑠
2 . 𝐽𝑏𝑦𝑝𝑎𝑠𝑠 
𝑄𝑏𝑦𝑝𝑎𝑠𝑠
2 
 
Então, 
 
𝐾𝐵𝑦𝑝𝑎𝑠𝑠 = 1263.855229 
 
Parte 2: 
a) Determine as direções e magniture das descargas Q1, Q2 e Q3 através dos três 
tubos. 
 
15 
 
 
 
Inicialmente, a conservação de massa na junção dostrês tubos permite escrever a seguinte 
equação: 
 Q1 = Q2 + Q3 
 
Para esse arranjo dado no problema, as vazões Q2 e Q3 podem vir a ser negativas, e podem 
ser divididas em alguns casos: 
 
i) Fluido escoa da junção para os dois reservatórios 
ii) Fluido escoa do reservatório 3 para a junção, e da junção para o reservatório 2. 
iii) Fluido escoa do reservatório 2 para a junção e da junção para o reservatório 3. 
 
De antemão sabe-se que o caso iii) nao vai acontecer pois como ambos os reservatórios estão 
a Patm, é possível chegar a essa conclusão comparando as alturas piezométricas. 
 
● Da equação da energia entre 5 e J: 
 
 
 
Sabendo que o termo da perda de carga 𝐽5−𝑗 é dado por: 
 
 
Então calculamos a altura piezométrica na junção sabendo que V5 e Vj sao iguais. 
 
 
16 
 
 
Da equação da energia entre 1 e 4: 
 
 
A perda de carga de 1 para 4 pode ser calculada como: 
 
Podemos então calcular a altura piezométrica em 4: 
 
A seguir calcula-se a altura piezométrica no ponto 5: 
 
● Pelo balanço de energia entre J e 2: 
 
 
Sendo, 
 
Como 
 
● Fazendo o mesmo procedimento entre J e 3: 
 
17 
 
 
 
 
 
 
 
Q2 e Q3 foram calculados em planilha para diferentes valores de Q1 e o resultado obtido 
converge para: 
 
 
Q1 [cfs] 2.465 
Q2 [cfs] 5.975 
Q3 [cfs] -3.497 
 
 
Sendo assim, dentre as três situações possíveis descritas inicialmente, o grupo concluiu que a 
situação ii) acontece. 
 
 
 
18 
 
 
 
 
b) Se a bomba está localizada a 100 ft do reservatório a uma elevação de 10 ft, 
determine se a bomba cavitará. O NPSH requerido da bomba é de 10ft. 
 
Para determinar se a bomba cavitará ou não é necessário saber o valor do NPSHdisponivel 
e comparar com o valor do NPSHrequerido. Se o primeiro valor for maior que o segundo, a bomba 
não cavitará. 
Sendo assim, temos que: 
 
𝑁𝑃𝑆𝐻𝑑𝑖𝑠𝑝 = 𝐻𝑏(𝐻𝑎 + 𝐽𝑎 + ℎ𝑣) 
𝐻𝑏 =
𝑃𝑎𝑡𝑚
૪
 = 34,087 ft 
𝐽𝑎 = 8
𝑄²
𝑔𝑑4ⲡ
𝑓(
𝐿𝑏
𝐷
+ 𝑘𝑒𝑛𝑡) = 5,131 ft 
ℎ𝑣 =
𝑃𝑣
𝜌𝑔
= 1,176ft 
 
Logo, NPSHdisp=70,04 ft. Como este valor é muito superior aos 10ft dos 
NPSHrequerido da bomba, ela não cavitará. 
 
 
c) Admita agora que a curva da bomba seja dada por Hu=200-8Q1², determine as 
direções e magnitudes das descargas Q1, Q2 e Q3 através dos três tubos. 
 
Para essa questão utilizamos a mesma metodologia utilizada na questão anterior, porém 
alteramos a equação da bomba para a equação indicada no problema. Esta alteração foi feita 
no termo Hj. As vazões encontradas foram: 
 
Q1=4.685 cfs 
Q2= 6.889 cfs 
Q3= 2.201 cfs 
 
d) Repita o item c quando a abertura da válvula globo for de 40% 60% e 100%, os 
resultados obtidos lhe parecem intuitivos? Justifique sua resposta! 
 
Levando em consideração ao item (c) e utilizando a mesma metodologia para análise de curva 
do sistema alterando a abertura da válvula globo, obtém-se como resultado: 
 
 
 
19 
● · Abertura de 100% da válvula globo: 
100% 
Q1 (de 1 para J) Q2 (de J para 2) Q3 (de 3 para J) Hj 
4,685 6,890 2,200 33,609 
 
Hu > H2 
Hu > H3 
 
Onde resulta em uma vazão positiva para 2 e para 3, o que comprova os resultados 
encontrados. 
 
● · Abertura de 60% da válvula globo: 
60% 
Q1 (de 1 para J) Q2 (de J para 2) Q3 (de 3 para J) Hj 
4,625 6,979 2,646 33,361 
 
Hu > H2 
Hu > H3 
 
Onde, novamente, a vazão de 2 e de 3 mantém-se positiva, corroborando com os resultados 
esperados. 
 
 
 
 
 
 
20 
● · Abertura de 40% da válvula globo: 
40% 
Q1 (de 1 para J) Q2 (de J para 2) Q3 (de 3 para J) Hj 
4,43 6,952 2,556 32,518 
 
Hu > H2 
Hu > H3 
 
Onde, novamente, a vazão de 2 e de 3 mantém-se positiva, corroborando com os resultados 
esperados. 
Como esperado, quando a vazão Q1 diminui, implica-se em uma diminuição na vazão 2. Por 
esta diminuição. A altura piezométrica da junção diminui, proporcionalmente com a vazão 1. 
 
21 
Referências Bibliográficas 
 
MACINTYRE, Archibald J., Bombas e instalações de bombeamento, Rio de Janeiro, Editora 
Guanabara, 1987. 
FOX, Robert W.; MCDONALD, Alan T. Introdução à mecânica dos fluidos. 4ª ed. Rio de 
Janeiro. 
MAYS, L. W. Hydraulic Design Handbook. McGraw-Hill: New York, 1999. 
RODRIGUEZ, Daniel. Notas de Aula da Disciplina de Métodos Computacionais para 
Engenharia Mecânica – Universidade Federal Fluminense, 2017.