[ControleII] Projeto_Controle de Velocidade do Motor CC

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
CENTRO DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA
ELE0522 - SISTEMAS DE CONTROLE II
Projeto - Motor CC
Natal - RN
Novembro de 2023
Projeto - Motor CC
Relatório de projeto sobre o controle de ve-
locidade e posição de um motor CC à dis-
ciplina de Sistemas de Controle II (60 ho-
ras), ofertada pela Universidade Federal do
Rio Grande do Norte, como requisito para a
composição da segunda unidade do compo-
nente curricular mencionada.
Natal - RN
Novembro de 2023
Resumo
Este relatório tem como finalidade apresentar uma pesquisa detalhada, contendo
tanto modelagem, como a simulação do sistema em malha aberta, assim como, o
projeto e simulação de controladores sobre um sistema que possui um motor CC.
Como a máquina de estudo é de corrente cont́ınua, é essencial compreender o fun-
cionamento da mesma, principalmente, no quesito de como as variáveis elétricas e
mecânicas se correlacionam, com o intuito de adquirir embasamento para projetar
controladores (através da técnica de resposta em frequência) que respeitem com
veemência os parâmetros de velocidade e posição estabelecidos. Dessa forma, o
desenvolvimento do trabalho baseou-se na utilização de artif́ıcios e análises de mo-
delos matemáticos estudados durante a disciplina Sistemas de Controle II. Ainda
sobre a resposta em frequência, foram obtidas as curvas de bode que caracterizam
o modelo e dessa forma foi posśıvel determinar as margens de ganho e de fase.
Portanto, a partir desses resultados e análises, para determinar estes controladores,
também foram realizadas consultas em livros e notas de aulas sobre as etapas de
projeto relacionadas ao método supracitada, de forma que fossem estabelecidos os
parâmetros e constantes necessárias de cada controlador. Além disso, foram reali-
zadas implementações computacionais dos controladores com o aux́ılio do software
de modelagem matemática, o Scilab, a fim de validar os projetos desenvolvidos, e
dessa forma, foi posśıvel analisar a resposta e o comportamento dos controladores
dimensionados. Por meio dessas simulações foi posśıvel validar o funcionamento
adequado dos controladores. Por fim, como forma de complementar as análises
computacionais, realizou-se alguns ajustes emṕıricos e observou-se a resposta dos
controladores.
1
Sumário
1 Introdução 3
2 Desenvolvimento 6
2.1 Modelagem do Sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Função de Transferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Simulação em Malha aberta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3.1 Comportamento da Velocidade Angular . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3.2 Comportamento da Posição Angular . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4 Curvas de Bode e resposta em frequência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.5 Margem de fase e ganho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3 Projeto dos Controladores 15
3.1 Cenário 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2 Cenário 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.3 Simulações Computacionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3.1 Simualação Cenário 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3.2 Simualação Cenário 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.3.3 Pontos de melhoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4 Conclusão 26
1 Introdução
A engenharia é uma área ampla e que abrange segmentos que muitas vezes são de-
pendentes e trabalham juntos para que sejam cada vez mais eficientes nos resultados
que almejam. Dentro de sistemas de controle, há a necessidade de interfacear alguns
conhecimentos que auxiliam no planejamento e execução de estratégias para regular o
comportamento de sistemas dinâmicos. Dessa forma, estes desempenham um papel es-
sencial na supervisão e controle de múltiplas variáveis, visando garantir um desempenho
espećıfico. Um exemplo comum é o controle de velocidade ou posição, envolvendo mode-
lagem do sistema, seleção de controladores adequados, ajuste de parâmetros e aplicação
prática. Controladores são amplamente utilizados em setores como robótica, sistemas de
posicionamento, transporte automatizado e indústria.
O foco deste estudo é um motor de corrente cont́ınua; logo, entender o funcionamento
desse equipamento é fundamental para projetar os seus posśıveis controladores. Mediante
a isso, os sistemas de controle desempenham um papel essencial na regulação do compor-
tamento de sistemas, garantindo que os mesmos atinjam seus objetivos predeterminados,
dependendo da aplicação em questão. Eles são fundamentados em prinćıpios da engenha-
ria de controle, operando pela medição precisa de variáveis relevantes, comparando-as a
um valor de referência e gerando sinais de controle apropriados para corrigir desvios e
manter o sistema no estado desejado.
Assim, o uso de motores de corrente cont́ınua se torna bastante significativo, pois são
atuadores comuns em situações de baixa potência, controlando a velocidade angular e
a posição através da tensão aplicada à sua armadura. Sua versatilidade e capacidade
de resposta são cruciais em ambientes que demandam controle preciso e dinâmico para
resultados de alta qualidade.
Em primeiro plano, o sistema que será mostrado a seguir na Figura 1, deverá ser
modelado e simulado em malha aberta. Posteriormente, será realizada uma análise breve
da função de transferência que foi explorada e por fim, será realizado o controle do sistema
com uma máquina CC.
Figura 1: Esquema do motor DC
Fonte: Disponibilizado pelo professor(2023)
3
Com relação as aplicações desse tipo de sistema, Nise (2013) afirma que:
Uma aplicação comum de um sistema eletromecânico é o sistema de
controle da posição de azimute de antena. Outras aplicações de siste-
mas com componentes eletromecânicos são os controles dos robôs, os
rastreadores do Sol e de estrelas, e os controles de posição dos aciona-
mentos de fitas e discos de computadores. (Nise, 2013, p.79)
Desta forma, para o funcionamento desses mecanismos é essencial o controle das diver-
sas variáveis que o permeiam. Assim, este estudo visa examinar duas situações espećıficas,
ilustrado na Figura 2, considerando os fenômenos f́ısicos controlados por um controlador
PID para regular a posição e a velocidade de um motor de corrente cont́ınua (CC) em
cenários distintos. Devido a sua simplicidade, robustez e eficiência no controle de sistemas,
controladores PID são amplamente empregados na indústria, desse modo, desempenham
um papel fundamental no estabelecimento de controle preciso sobre as variáveis de inte-
resse, garantindo desempenho ótimo em sistemas controlados por motores CC.
Figura 2: Cenário 1 e 2 do projeto.
Fonte: Disponibilizado pelo professor(2023)
Com isso, o presente relatório irá abordar primeiramente, como já foi dito, a modela-
gem matemática e a descrição de tal sistema, visando observar o funcionamento de um
motor de corrente cont́ınua e obter as funções de transferência que o descrevem, além
disso, conta com uma simulação em malha aberta para a sua ilustração e com sua res-
posta em frequência a partir das curvas de Bode, para posição e controle de velocidade.
O desenvolvimento, bem como os resultados obtidos, serão expostos por meio de figuras,
processos matemáticos, gráficos, linhas de código e diagramas de blocos.
Por conseguinte, diante do contexto apresentado, a segunda parte deste projeto con-
siste em dimensionar um controlador através da resposta em frequência, a fim de controlar
o sistema de maneira satisfatória e atender aos requisitos de desempenho especificados.
Para isso, serão considerados os parâmetros especificados na Figura 3.
4
Figura 3: Parâmetros considerados para oprojeto
Fonte: Disponibilizado pelo professor(2023)
O desenvolvimento, os resultados obtidos, bem como as escolhas dos controladores
e o dimensionamento dos parâmetros serão abordados em detalhes neste relatório por
meio de figuras, processos matemáticos, gráficos e diagrama de blocos. Portanto, torna-se
evidente a importância dos controladores nos mais diversos ramos da engenharia.
5
2 Desenvolvimento
Neste campo será desenvolvido o processo de modelagem de um modelo matemático
que descreve o comportamento de um sistema a ser controlado. Assim, neste trabalho
foi proposto a modelagem de um sistema eletromecânico, um motor de corrente cont́ınua
(CC), o qual relaciona grandezas tanto elétrica quanto mecânicas. Para isso, é necessário
analisar tal sistema no viés teórico e particular, afim de definir as equações deste.
2.1 Modelagem do Sistema
O motor CC é responsável por converter energia elétrica em mecânica, se movendo
a partir do torque elétrico produzido pelo rotor e seus enrolamentos de armadura. Já
estator, o qual é fixo, gera um fluxo magnético que atravessa essa armadura. Este sistema
pode ser representado por um circuito contendo os componentes elétricos e mecânicos que
o descrevem. Tal pode ser observado abaixo:
Figura 4: Esquema do motor DC
Fonte: Disponibilizado pelo professor(2023)
Segundo FITZGERALD (2014), a principal relação eletromecânica é a velocidade
angular do rotor da máquina (ωm(t)) e a força contraeletromotriz (fcem), que consiste
em uma força que se opõe à corrente principal que percorre um circuito. Logo, quando
as bobinas de armadura de um motor elétrico rodam em uma velocidade angular ωm(t),
gera-se uma força contraeletromotriz nestas bobinas, pela sua interação com o campo
magnético Esta pode ser representação pela expressão:
fcem = km · ωm(t) (1)
Sabendo disso, é necessário obter uma equação que relacione a frequência angular do
motor com a tensão, assim como outra que associe a posição angular do eixo do motor com
a tensão. Tendo em vista que o sistema é composto por uma parte elétrica e mecânica,
pode-se então realizar duas análises iniciais.
6
Nesse contexto, primeiramente será analisado o esquema elétrico do motor. Diante
disso, aplicando a Lei de Kirchhoff das Tensões (LKT), ao percorrer a malha obtém-se a
seguinte relação:
Vm − VRm − VLm − fcem = 0 (2)
Onde VRm e VLm fazem referência nas quedas de tensão, respectivamente, no resistor
de resistência Rm e no indutor com indutância Lm. Além disso, a corrente da armadura
é representada por Im(t), ωm é velocidade angular como mencionado anteriomente e Km
é que a constante de torque do motor relacionando o torque desenvolvido com a corrente
da armadura.
Vm −Rm · Im(t)− Lm
dIm(t)
dt
− km · ωm = 0 (3)
Sabendo disso, pode-se analisar o esquema mecânico do sistema. Assim, já que que
torque desenvolvido pelo motor é proporcional à corrente de armadura, têm-se que:
Tm = km · Im(t) (4)
Sob essa perspectiva, também é imprescind́ıvel considerar que o torque equivalente
em um sistema rotativo resulta de uma relação entre o momento de inércia rotacional
equivalente (Jeq) - o qual é dado pela soma do momento de inércia do motor e do disco - e
o coefiente de atrito rotacional (B). Logo, o torque do motor também pode ser encontrado
relacionando essas duas grandezas, através da seguinte expressão:
Tm = Jeq
dωm(t)
dt
+B · ωm(t) (5)
Igualando a Equação (4) e Equação (5), têm-se:
km · Im(t) = Jeq
dωm(t)
dt
+B · ωm(t) (6)
Fazendo as manipulações matemáticas necesárias, é posśıvel obter a seguinte expressão
para a corrente da armadura Im(t):
Im(t) =
Jeq
dωm(t)
dt
+B · ωm(t)
km
(7)
Substuindo esta expressão na equação da tensão na malha encontrada, têm-se a tensão
em relação a velocidade angular é igual a derivada primera da posição angular.
Vm1(t) =
Lm · Jeq
km
· ω̈m(t) +
Rm · Jeq + Lm ·B
km
· ω̇m(t) +
Rm ·B + k2m
km
ωm(t) (8)
Em sequência, para encontrar a relação entre a tensão e a posição angular, é necessário
relacionar a velocidade angular com a posição. Logo, a velocidade
ωm(t) =
dθm(t)
dt
(9)
Diante disso, têm-se que a expressão que relaciona tensão e posição angular no domı́nio
do tempo é igual:
Vm2(t) =
Lm · Jeq
km
·
...
θm(t) +
Rm · Jeq + Lm ·B
km
θ̈m(t) +
Rm ·B + k2m
km
˙θm(t) (10)
7
2.2 Função de Transferência
Em seguida, é primordial encontrar a função de transferência do controlador, já que ela
descreve a relação de como o controlador responde a diferentes entradas e como influencia
a sáıda de um sistema no domı́nio da frequência. De acordo com Nise (2010), a função
de transferência permite analisar separadamente a entrada e a sáıda, simplificando a
análise, considerando as condições iniciais antes de uma descontinuidade. Sabendo disso,
primeiramente para encontrar a função de transferência de Vm1, será necessário passar
esta do domı́nio do tempo para o da frequência, por meio da aplicação da transformada
de Laplace.
L{Vm1(t)} (11)
Dessa forma, obtêm-se:
Vm1(s) =
(
Lm · Jeq
km
· s2 + Rm · Jeq + Lm ·B
km
· s+ Rm ·B + k
2
m
km
)
Ωm(s) (12)
Realizando algumas manipulações matemáticas, têm-se:
Vm1(s) =
Ωm(s)
km
(
Jeq · Lm · s2 + (Jeq ·Rm + Lm ·B) s+Rm ·B + k2m
)
(13)
Dessa forma, a primeira função de transferência será:
G1(s) =
Ωm
Vm1
=
km
(Jeq · Lm · s2 + (Jeq ·Rm + Lm ·B) s+Rm ·B + k2m)
(14)
Dando prosseguimento, de maneira análoga será encontrado a função de transferência
da expressão que relaciona tensão e posição angular Vm2. Assim, utilizando laplace para
passar para o domı́nio da frequência:
L{Vm2(t)} (15)
Logo, têm-se que:
Vm2(s) =
θm(s)
km
(
Jeq · Lm · s2 + (Jeq ·Rm + Lm ·B) s+Rm ·B + k2m
)
s (16)
Portando, a segunda função de transferência será:
G2(s) =
Θm
Vm2
=
km
s (Jeq · Lm · s2 + (Jeq ·Rm + Lm ·B) s+Rm ·B + k2m)
(17)
Finalmente, após modelar e encontrar as funções de transferências do sistema, deve-se
obter o valor númerico da Equação 14 e 17, substituindo suas variáveis por seus deter-
minados valores. Assim, utilizando a tabela de parâmetros disponibilaza pelo professor,
têm-se que: km = 0, 0502N.m/A; Rm = 10, 6Ω; Lm = 0, 82mH;
Além disso, sabendo que Jeq é igual a somatória do momento de inércia do motor (Jm)
com o momento de inércia do disco (Jd), têm-se que Jm = 1, 16 · 10−6kg.m2 e Jd pode ser
encontrado com a relação da massa do disco e o raio deste.
Jd =
M1 · r21
2
=
0, 068 · (0, 0248)2
2
= 20, 91 · 10−6kg.m2 (18)
8
Logo, Jeq será igual:
Jeq = Jm + Jd = 1, 16 · 10−6 + 20, 91 · 10−6 = 22, 07 · 10−6kg.m2 (19)
Para determinar o coeficiente de atrito rotacional (B), será feito uma relação do mo-
mento de inércia do motor (Jm) com a constante de tempo (τm) disponibilizada pelo
professor:
B =
Jm
τm
=
1, 16 · 10−6
0, 005
= 232 · 10−6kg.m2/s (20)
Diante disso, tendo encontrado todos os valores necessários e aplicando esses em G1 e
G2, têm-se, respectivamente:
G1(s) =
0, 0502
(1, 81 · 10−8 · s2 + 2, 34 · 10−4 · s+ 4, 98 · 10−3)
(21)
G2(s) =
0, 0502
s(1, 81 · 10−8 · s2 + 2, 34 · 10−4 · s+ 4, 98 · 10−3)
(22)
2.3 Simulação em Malha aberta
Para realizar as simulações, após a conclusão dos processos de modelagem e deter-
minação da função de transferência, o software de modelagem matemática Scilab foi
empregado. Com o objetivo de observar e analisar o comportamento do sistema, as si-
mulações das relações Tensão x Velocidade Angular e da Tensão x Posição Angular foram
conduzidas por meio da ferramenta Xcos dispońıvel no Scilab.
2.3.1 Comportamento da Velocidade Angular
Na primeira situação, foi estabelecido a relação entre a tensão e a velocidade angular.
Nesse sentido, para iniciar a simulação com a ferramenta Xcos, desenvolveu-se um dia-
grama de blocos destinado a simular o comportamento do sistema a partir de um degrau
de valor 14,9 V, conforme demonstrado na Figura 5 e na Figura 6.Figura 5: Diagrama de blocos que relaciona velocidade angular e tempo
Fonte: Autoria própria (2023)
9
Figura 6: Gráfico da velocidade angular em função do tempo
Fonte: Autoria própria (2023)
Ao analisar o desempenho do sistema, observa-se um resultado que atende às expec-
tativas do modelo. Notavelmente, o motor mantém uma velocidade constante em estado
estacionário, o que é conforme o previsto. Vale ressaltar que, para obter o valor de ve-
locidade angular em 150rad/s foi necessário pôr a mencionada amplitude de entrada de
14, 9V . Caso fosse aplicado um sinal de entrada de degrau unitário, a sáıda seria de
10rad/s.
2.3.2 Comportamento da Posição Angular
De forma idêntica à simulação anterior, foi posśıvel encontrar a relação da tensão com
a posição angular fazendo uso ainda da ferramenta Xcos para criar o diagrama de blocos.
O comportamento da simulção e o diagrams podem ser vistos nas Figuras 7 e Figura 8.
Figura 7: Diagrama de blocos que relaciona posição angular e tempo
Fonte: Autoria própria (2023)
10
Figura 8: Gráfico da posição angular em função do tempo
Fonte: Autoria própria (2023)
De momo semelhante à simulação anterior, com base na análise do resultado obtido
e na representação gráfica do sistema, observa-se que o comportamento é conforme o
esperado, uma vez que o motor ajusta a sua posição de acordo com a tensão a que é
submetido.
2.4 Curvas de Bode e resposta em frequência
Como foi estudado em sala de aula, a resposta em frequência é um método de análise
fundamental para sistemas de controle, cujo desenvolvimento é atribúıdo a Nyquist e
aperfeiçoado por Bode. Esse método é voltado para a compreensão do comportamento
de sistemas quando sujeitos a uma entrada senoidal em regime permanente. Quando
uma entrada senoidal é aplicada a um sistema linear, este responde gerando uma sáıda
senoidal que compartilha a mesma frequência da entrada. Entretanto, a resposta apre-
senta alterações notáveis em amplitude e fase, possibilitando uma exploração profunda
das caracteŕısticas dinâmicas do sistema em diversas frequências.
Os diagramas de Bode fornecem uma representação gráfica que permite visualizar
como o sistema responde a diferentes frequências, auxiliando na compreensão de seu
comportamento e nas decisões de projeto de controle.
Tomando esses conceitos como base, foi posśıvel analisar a resposta em frequência
do sistema em questão por meio do diagrama de Bode. Através das Figuras 9 e 10,
podemos observar as curvas de magnitude e fase das funções de transferência calculadas
anteriormente.
11
Figura 9: Curvas de Bode para função de transferência 1
Fonte: Autoria própria (2023)
Figura 10: Curvas de Bode para função de transferência 2
Fonte: Autoria própria (2023)
12
2.5 Margem de fase e ganho
As margens de ganho e fase são fundamentais no desenvolvimento de um controlador
por diversas razões. Primeiramente, elas fornecem indicativos cruciais da estabilidade do
sistema. Uma margem de fase positiva e uma margem de ganho adequada são requisitos
essenciais para evitar oscilações e comportamento instável no sistema. Isso é fundamental
para garantir que o sistema opere de maneira previśıvel e segura.
Ademais, essas margens desempenham um papel crucial no projeto de controladores.
Ao analisar as margens de ganho e fase, é posśıvel determinar a distância entre o estado
atual do sistema e a instabilidade. Com esse conhecimento, podem escolher ou ajustar o
controlador de maneira apropriada para alcançar as metas de desempenho desejadas.
A análise das margens de ganho e fase também ajuda a otimizar a resposta transitória
e permanente do sistema. Com base nessas margens, é posśıvel projetar um controlador
que minimize o tempo necessário para que o sistema se estabilize e melhore a capacidade
de acompanhar referências rapidamente e com precisão.
Além disso, um controlador ajustado com base nas margens de ganho e fase é mais
eficaz na rejeição de distúrbios, o que é crucial em sistemas de controle que precisam
manter o desempenho mesmo na presença de perturbações. Outro ponto imporante é
que o conhecimento das margens de ganho e fase é essencial para garantir a segurança
operacional. Em sistemas onde a segurança é uma preocupação primordial o risco de
instabilidade do sistema precisa ser evitado ao máximo.
Sendo assim, a margem de fase refere-se ao menor atraso de fase que pode ser introdu-
zido em um sistema de malha aberta estável por meio da ação de um controlador. Essa
alteração tende a perturbar a estabilidade do sistema de malha fechada. Por outro lado,
a margem de ganho requer um valor máximo de ganho que garanta a estabilidade. Uma
margem de ganho positiva indica que o sistema é estável e tem uma capacidade satis-
fatória de amplificação, enquanto uma margem de ganho negativa indica que o sistema
está próximo da instabilidade e pode experimentar distorções excessivas.
Dessa maneira, a partir das curvas de Bode geradas no caṕıtulo anterior, foi realizada
a análise das margens de ganho e de fase, as quais serão empregadas como parâmetros
no desenvolvimento do controlador e podem ser observadas na Figura 11, também feitas
com o aux́ılio da ferramenta do Scilab.
Figura 11: Margens de Ganho e Fase para ambas funções de transferência
(a) Magem de Ganho e Fase para Fun. de Trans.
1.
(b) Magem de Ganho e Fase para Fun. de Trans.
2.
Fonte: Autoria própria (2023)
13
Com base nas figuras acima, conclui-se que, para a Função de Transferência 1, a
margem de ganho é ∞ dB e a de fase é de 94,7º. Já para a Função de Transferência 2,
tem-se uma margem de ganho de 62,2 dB com uma margem de fase de 66,5º.
14
3 Projeto dos Controladores
3.1 Cenário 1
Nesta etapa, primeiramente é necessário analisar as margens definidas do projeto para
escolher o melhor controlador para esta situação. Portanto, segue os parâmetros que
foram fornecidos:
Parâmetros
MF ≥ 100◦
MG ≥ 6dB
ωB ≈ fcg
e.r = 0
Sabendo disso, neste cenário foi pedido para regular a velocidade do motor em 150rad/s.
Neste contexto, é necessário analisar a situação da planta sem o controlador inserido, para
avaliar se esta se enquadra nos pré-requisitos e, assim, projetar o controlador de forma
mais assertiva. Portando, é notório a necessidade em avaliar a função de transfêrencia G1
(Equação 21), que relaciona a tensão de entrada com a velocidade angular do motor:
G1(s) =
0, 0502
(1, 81 · 10−8 · s2 + 2, 34 · 10−4 · s+ 4, 98 · 10−3)
Assim, é necessário determinar a margem de estabilidade desta função - de fase e de
ganho. Para isso, será utilizado um diagrama da curva de bode, onde, por intermédio
da 17, pode considerar a MF1 = 94.7 e MG1 = ∞dB. Além disso, também é posśıvel
encontrar fcg = 214rad/s.
Em seguida, pode-se calcular o erro em regime da função, para checar se este realmente
é nulo. Sendo assim, considerando um entrada em degrau, o erro em regime será igual:
e.r =
1
1 + lims→ 0G1(s)
≈ 0, 09 (23)
É percept́ıvel que o erro em regime permanente é diferente de zero. Nesse caso, tanto
o e.r e a margem de fase MF precisam ser ajustados para se adequarem aos parãmetros.
Assim, a solução para correção destes, é a incrementação de um controlador PID que que
será responsável por regular estes, já que a componente derivativa ajudará no ajuste da
margem de fase e a componente integrativa no ajuste do erro.
Dessa forma, têm-se:
G′c1 =
Kc
τi
(2τds+ 1)
2
s
(24)
Para tornar a função de transferência mais adequada, deve-se considerar que τi = 4τd
e que há um ganho de 3V/V do amplificador. Tal valor pode ser justificado observando
que há um amplificador de tensão linear no circuito da Figura 1, com seu ganho definido
como 3 V/V na Figura 3. Assim, obtém-se uma nova função de transferência, que pode
ser representada da seguinte maneira:
Gc1 =
3Kc
4τd
(2τds+ 1)
2
s
(25)
15
Após definir afunção de transferência do controlador, pode-se determinar os parâmetros
necessários. Sabe-se que na frequência de cruzamento de ganho (fcg) o controlador deve
compensar o déficit da margem de fase, o qual é definido por:
̸ Gc1(jfcg) = ϕf − ϕi (26)
Onde ϕf é a margem de fase almejada e ϕi é atual. Percebe-se que, nesse caso, foi
desconsiderada a fase de ajuste δΦ. Dessa forma, obtêm-se:
̸ Gc1(jfcg) = 100
◦ − 94, 7◦ = 5, 3◦ (27)
Visando encontrar o parâmetro τd é necessário determinar a expressão que relaciona
tal parâmetro com a fase do controlador PID. Para isso, deve ser feita a análise das curvas
de Bode t́ıpicas de um controlador PID, explicitas abaixo:
Figura 12: Curvas de Bode t́ıpicas de um controlador PID
Fonte: Autoria Própria(2023)
Logo, analisando-as, é posśıvel deduzir a expressão a seguinte expressão:
̸ G(jfcg) = 2arctan(2τd · fcg)− 90◦ (28)
Realizando algumas manipulações matemáticas, obtêm-se:
2arctan(2τd · fcg)− 90◦ = ϕf − ϕi (29)
(2τd · fcg) = tan
(
ϕf − ϕi + 90◦
2
)
(30)
τd =
tan
(
ϕf−ϕi+90◦
2
)
2fcg
(31)
16
Fazendo as devidas substituições, será posśıvel encontrar τd:
τd =
tan
(
5,3◦+90◦
2
)
2 · 214
= 2, 56 · 10−3 (32)
Já para encontrar τi:
τi = 4 · τd = 10, 25 · 10−3 (33)
Em seguinda, o fator Kc deve ser calculado com o intuito de manter o fcg do sistema.
Nesse viés, o produto entre a magnitude do controlador na frequência de cruzamento e a
magnitude da planta na frequência de cruzamento, como pode ser visto abaixo:
|Gc1(jfcg)||G1(jfcg)| = 1 (34)
A partir dessa relação, pode-se encontrar uma expressão para a variável Kc:
Kc =
∣∣∣∣ jfcg 43τd(2τdjfcg + 1)2
∣∣∣∣ ∣∣∣∣ 1|G1(jfcg)
∣∣∣∣ (35)
Kc =
4 · 2, 56 · 10−3 ·
√
(−1, 81 · 10−8 · 2142 + 4, 98 · 10−3) + (2, 34 · 10−4 · 214)2 · 214
3 · 0, 0502 · [(2 · 214 · 2, 56 · 10−3)2 + 1]
(36)
Kc ≈ 0, 3323 (37)
Para determinar o valor da constante integrativa (Ki), basta calcular a razão entre a
constante proporcional e o τi:
Ki =
Kc
τi
=
0, 3323
10, 25 · 10−3
= 32, 40 (38)
Já a constante derivativa (Kd) é determinada a partir do produto entre a constante
proprocional e o τd:
Kd = Kc · τd = 0, 3323 · 2, 56 · 10−3 = 8, 51 · 10−4 (39)
Portanto, a partir da determinação de todos os parâmetros do controlator, pode-se
substituir esses na função de transferência.
Gc1 =
3·0,3323
4·2,56·10−3 (2 · 2, 56 · 10
−3s+ 1)2
s
(40)
Gc1 =
97, 35(5, 12 · 10−3s+ 1)2
s
(41)
Após isso, é necessário definir a função de transferência em malha aberta do sistema, a
qual será primordial para verificar se os requisitos de desempenho estão sendo antendidos.
Esta é definida pela seguinte relação:
Gma(s) = Gc1 ·G1 (42)
17
Gma(s) =
1, 28 · 10−4s2 + 0, 05s+ 4, 89
s(1, 81 · 10−8 · s2 + 2, 34 · 10−4 · s+ 4, 98 · 10−3)
(43)
Em seguida, é essencial determinar o ponto de operação, que será aplicado na entrada
do sistema para obter uma velocidade almejada de 150 rad/s. Logo, será avaliado a
expressão que relaciona a tensão com a velocidade angular, o Vm1:
Vop(t) =
Lm · Jeq
km
· f̈m(t) +
Rm · Jeq + Lm ·B
km
· ω̇m(t) +
Rm ·B + k2m
km
ωm(t) (44)
Vale ressaltar que, nesse caso, por se tratar de uma velocidade constante, as parcelas
que dependem de um variação na velocidade serão desconsideradas. Assim, têm-se a
tensão no ponto de operação será:
Vop(t) =
Rm ·B + k2m
km
ωm(t) =
10, 6 · 232 · 10−6 + 0, 05022
0, 0502
· 150 = 14, 87V (45)
Além disso, na tabela disponibilizada pelo professor há um ganho da realimentação
do sensor utilizado no projeto, sendo igual H(s) = 667RPM/V . No entanto, é necessário
transformar essa informação para rad/s.
H(s) =
1
667 · π
30
V/(rad/s) (46)
Assim, têm-se:
H(s) =
1
69, 84
V/(rad/s) (47)
Dessa forma, abaixo, na Figura 14, pode ser visto o diagrama de blocos do cenário I,
aplicando as expressões obtidas.
Figura 13: Diagrama de blocos para cenário 1
Fonte: Autoria própria (2023)
3.2 Cenário 2
O segundo cenário tem como requisitos de desempenho os seguintes valores:
18
Parâmetros
MF ≥ 50◦
MG ≥ 6dB
ωB ≥ fcg
er = 0
Assim, neste cenário foi pedido para regular a velocidade do motor em 1 rad/s. Neste
contexto, é necessário analisar a situação da planta sem o controlador inserido, para
avaliar se esta se enquadra nos pré-requisitos e, assim, projetar o controlador de forma
mais assertiva. Portando, é notório a necessidade em avaliar a função de transfêrencia
G2, na Equação 22, que relaciona a tensão de entrada com a posição angular do motor:
G2(s) =
0, 0502
s(1, 81 · 10−8 · s2 + 2, 34 · 10−4 · s+ 4, 98 · 10−3)
(48)
Em seguida, é necessário determinar a margem de estabilidade desta função de fase
e de ganho. De forma análoga a como foi feito no cenário I, será plotado o diagrama
de bode, sendo que os resultados podem ser visualizados na Figura 11, com seus valores
sendo:
MF2 = 66, 5
◦
MG2 = 62, 2dB
Da mesma forma, observa-se que a frequência de cruzamento de ganho é fcg = 9, 25
rad/s.
Em seguida, é imprescind́ıvel examinar o erro em regime permanente da planta.
Para isso, será determinado esse parâmetro para uma entrada em degrau, realizando
as operações matemáticas necessárias para checar se este realmente é nulo. Com isso,
obtém-se que o erro em regime permanente é:
e.r =
1
1 + lims→ 0G2(s)
=
1
1 +∞
= 0 (49)
Tendo como base os resultados obtidos e os requisitos desejados, percebe-se que a
planta já atende as condições estabelecidas, visto que o sistema já está controlado e aten-
dendo a todos os critérios de projeto. No entanto, pode-se implementar um controlador
tipo P (proporcional), que atuará de forma proporcional ao erro do regime com um ganho
unitário. Logo, o erro residual em regime (offset), pode ser reduzido ao aumentar o ganho
proporcional do controlador, assim como a ação proporcional contribui para uma maior
estabilidade do sistema de controle e evita oscilações.
Nesse cenário, é posśıvel chegar a conclusão que a função de transferência de ma-
lha aberta será igual a função de transferência da planta, devido ao fato que o ganho
proprocional é unitário.
Gma(s) = G2(s) (50)
Após definir o controlador que será implementado, pode-se partir então para deter-
minação do ponto de operação e do sensor do sistema. Desta forma, será avaliado a função
no tempo que relaciona a tensão de entrada com a posição angular, o Vm2:
19
Vm2(t) =
Lm · Jeq
km
·
...
θm(t) +
Rm · Jeq + Lm ·B
km
θ̈m(t) +
Rm ·B + k2m
km
˙θm(t) (51)
No entanto, ao analisar a expressão anterior, é percept́ıvel que esta se realciona apenas
as derivadas da posição angular, tornado inviável determinar a tensão de entrada a partir
de uma posição angular constante. Desse modo, a tensão não é pode ser considerado um
parâmetro adequado para determinar o ponto de operação do sistema.
Portanto, para contornar essa problemática, é necessário investir nos sensores presentes
na planta. Dessa forma, a partir da tabela disponibilizada pelo professor, nota-se a
presença de dois ganhos relacionados com um tipo de sensor comumente utilizado ao se
trabalhar com motores CC: um encoder.
Figura 14: Exemplo de Encoder
Fonte: Concepción Álvarez, Jose Alejandro (2019) - Diseño de un Robot Autobalanceado.
Os dois parâmetros associados ao encoder da planta são: Contagem de Linhas do
Encoder, expressa em lines/rev, e Resolução do Encoder, indicada em º/count. A unidade
count refere-se ao número de impulsos elétricos gerados pelo encoder à medida que o eixo
do motor gira, de modo que a contagem desses impulsos ao longo do tempo permite
incrementar e portanto determinar a posição angular do eixo.
Por outro lado, lines refere-se ao número de trilhas ou discos codificados presentes no
encoder absoluto. Cada linha representa o registro de uma posição angular espećıfica no
disco. Por exemplo, um encoder absoluto com 1024 linhas teria 1024 posições angulares
distintas armazenadas.
Portanto, count está relacionado à quantidadede impulsos gerados, enquanto lines
está associado ao número de posições angulares codificadas em um encoder absoluto.
Em relação à interconexão entre essas duas unidades, Pollefliet (2018) [3] afirma que:
20
”Para correlacionar count e lines em um encoder, é essencial conhecer
a resolução do encoder. A resolução refere-se ao número de impulsos
elétricos gerados em uma rotação completa do eixo ou em uma unidade
angular espećıfica. A relação entre count e lines depende da estrutura
do encoder. Em alguns casos, cada linha pode corresponder a um único
count, o que implica que a resolução do encoder seria igual ao número
de lines. Por exemplo, um encoder com 1024 lines teria uma resolução
de 1024 count por rotação completa do eixo.”
Assim, para o presente projeto, consideraremos count e lines como equivalentes. Agora,
basta determinar o ganho do sensor realizando as conversões apropriadas entre unidades,
isto é, convertendo graus para radianos e revoluções para radianos. Denominando H1 o
ganho associado à Resolução do Encoder, H2 o ganho vinculado à Contagem de Linhas
do Encoder, e Hs o ganho equivalente entre esses dois ganhos do encoder, temos:
H1 = 0, 0879 ·
o
count
· π
180o
rad =
180
0, 0879 · π
count
rad
(52)
H2 = 1024
lines
rev
=
2π
1024
rad
lines
(53)
Hs = H1 ·H2 =
180
0, 0879 · π
count
rad
· 2π
1024
rad
lines
=
180
0, 0879 · 515
≈ 4 rad
lines
(54)
Como o encoder irá ser implementado no circuito como um controlador da posição
angular do eixo, seu esquema de ligação seria com o bloco correspondente a Hs formando
uma malha fechada entre a sáıda da função de transferência e a entrada do circuito, por
meio de um somador, formando uma retroalimentação negativa.
Entretanto, essa confguração seria um problema para ser atingido o ponto de operação
do sistema, pois o desejado era obter 1rad na sáıda ao aplicar um degrau unitário na
entrada. No entanto, a presença do sensor altera a medida da leitura real da posição
angular do motor. O problema pode ser contornado computacionalmente considerando a
entrada em série com tal ganho, anulando a influência da retroalimentação para o aumento
do erro.
Assim sendo, após as construções das equações para o segundo cenário, a ferramenta
do Scilab foi utilizada mais uma vez, com o intuito de construir o diagrma de blocos do
sistema que será fundamental para visualizar o seu comportamento, como será elucidado
nos próximos caṕıtulos deste relatório.
Figura 15: Diagrama de blocos para cenário 2
Fonte: Autoria própria (2023)
21
3.3 Simulações Computacionais
Finalmente, tomando como base as equações deduzidas anteriormente para modelar
o controle de um motor CC, foram realizadas as simulações computacionais dos sistemas
estudados. Isso nos permitiu analisar e compreender melhor o comportamento do sistema
em diferentes cenários, contribuindo para a experiência prática no campo dos sistemas de
controle.
3.3.1 Simualação Cenário 1
Em primeiro lugar, no contexto do primeiro cenário, foi estipulado o ajuste da ve-
locidade do motor para 150 rad/s, mantendo-se dentro dos parâmetros estabelecidos no
desafio proposto. Além disso, o sistema foi requisitado a atender diversas configurações
espećıficas, incluindo a necessidade de uma Margem de Fase superior ou igual a 100º,
Margem de Ganho maior ou igual a 6dB e a obtenção de um erro em regime igual a zero
para uma entrada de degrau, como já especificado anteriormente.
É imporante destacar que as simulações conduzidas revelaram que, neste cenário, os
requisitos para a Margem de Fase e o erro em regime de degrau não foram satisfeitos, tor-
nando necessária a implementação de um controlador PID para atender às caracteŕısticas
solicitadas.
Nesse contexto, para as simulações envolvendo o novo sistema controlador, foi essencial
verificar se os parâmetros estabelecidos no cenário 1 foram de fato cumpridos. Para esta
avaliação, recorreu-se à análise das curvas de Bode, a partir das quais foi posśıvel avaliar
o comportamento do sistema ao acrescer o controlador PID. Para efeito de comparação,
os diagramas de Bode da função de transferência 1 e do controlador PID foram trazidos
na Figura 16, enquanto que a Figura 17 revela o impacto do controlador implementado
ao sistema.
Figura 16: Diagramas de Bode para planta e o controlador PID do cenário 1
(a) Diagrama de Bode da Fun. de Trans. 1. (b) Diagrama de Bode para o controlador PID
Fonte: Autoria própria (2023)
22
Figura 17: Margem de fase e ganho para cenário 1 com controlador PID
Fonte: Autoria própria (2023)
No que diz respeito à simulação gráfica do comportamento da velocidade angular do
sistema em relação ao tempo, o diagrama de blocos já visto neste relatório na Figura 14
foi utilizado por meio da ferramenta do Xcos do Scilab. Ao executar o diagrama alguns
parâmetros precisaram ser preestabelecidos: a entrada degrau precisou ser igual a 14,88V
e o saturador com margem de saturação igual a +15V e -15V. Após essas configurações
iniciais o sistema pôde ser simulado, resultado no gráfico da Figura 18, que comprova que
a velocidade angular antigiu o valor de 150 rad/s requeridos no trabalho.
Figura 18: Velocidade Angular x Tempo
Fonte: Autoria própria (2023)
23
3.3.2 Simualação Cenário 2
Já no segundo cenário, todos os parâmetros do controlador requeridos foram satisfa-
toriamente atendidos, como já evidenciado neste relatório e identificados pelos diagramas
de margem de estabilidade da segunda função de transferência. Resta, portanto, a tarefa
de ajustar a posição do eixo do motor para 1 radiano, conforme estipulado no problema.
Dado que o sistema já se encontra sob controle, o cenário 2 exige somente a regulação
da posição do eixo, tornando um controlador P suficiente para cumprir a condição esta-
belecida. Assim, similarmente à simulação realizada no cenário 1, o diagrama de blocos
constrúıdo no Scilab, já visto na Figura 15, foi empregado para a simulação do segundo
cenário, e, com a assistência da ferramenta Xcos, foi posśıvel visualizar o comportamento
do sistema em questão. Com a inclusão do controlador P no sistema, observa-se uma
diminuição do erro de oscilação na resposta, conforme ilustrado na Figura 19.
Figura 19: Posição Angular x Tempo
Fonte: Autoria própria (2023)
3.3.3 Pontos de melhoria
Conforme constatado nas simulações anteriores, é posśıvel efetuar alguns ajustes vi-
sando aprimorar as respostas obtidas. Esses ajustes serão implementados com o propósito
de complementar os resultados, dado que as respostas alcançadas já se encontram em con-
formidade com as especificações de desempenho e projeto previamente definidas.
Na simulação do cenário 1 uma análise minuciosa pode identificar que a resposta em
regime é ligeiramente diferente dos 150 rad/s especificado no trabalho. Entretanto, como
já foi dito anteriormente, os valores atenderam àquilo que foi proposto, por se tratar de
um valor muito próximo. Aqui uma sugestão de melhoria poderia ser um pequno aumento
do valor do ganho Kp do controlador PID para se observar como o gráfico da velocidade
angular se comportaria.
Já no tocante às simulações do cenário 2, uma melhoria bastante interessante de se
fazer é empregando os conceitos relacionados ao controlador proporcional para mitigar as
oscilações na resposta temporal. Como é sabido, um ganho proporcional elevado pode
induzir oscilações na resposta. Nesse sentido, para minimizar tal efeito oscilatório, pode-
se reduzir a constante proporcional em um fator de 10, resultando na resposta ilustrada
na Figura 20.
24
Figura 20: Relação entra a posição angular e o tempo com melhorias aplicadas
Fonte: Autoria própria (2023)
Por fim, vale destacar que tais ajustes foram determinados de forma experimental,
sem a utilização de métodos de cálculo para validar os ganhos. Além disso, é posśıvel
observarque, mesmo ao atender os critérios das margens em ambos os cenários, os va-
lores das frequências de cruzamento de ganho foram alterados, o que indica que um dos
requisitos de projeto não foi atendido. Entretanto, o aumento dessas frequências acelera a
resposta transitória, embora seja fundamental considerar que um aumento excessivo pode
potencialmente conduzir o sistema à instabilidade, o que não se verificou neste caso.
25
4 Conclusão
A aplicação dos métodos matemáticos propostos neste projeto revelou a validade e
a importância de diversos conceitos da teoria de modelagem de sistemas, especialmente
no âmbito dos sistemas eletromecânicos e dos projetos envolvendo motores DC. Durante
este projeto, ficou evidente o impacto das variáveis e parâmetros, tanto na parte elétrica
quanto na parte mecânica do sistema, tais quais a resistência e indutância da armadura
e o momento de inércia. Além disso, as margens de ganho e fase do sistema foram
determinadas a partir das curvas de Bode na análise da resposta em frequência.
Sendo assim, constatou-se que vários aspectos contemplados na teoria de projeto de
controladores, em especial no que se refere ao método da resposta e frequência e o uso das
curvas de Bode nesse processo, são válidos e de extrema importância. Diante do exposto,
é posśıvel inferir a relevância desse trabalho na resolução de problemas que envolvam
abordagens semelhantes à trabalhada, ou seja, projetos que não apresentem limitações
significativas ao projeto via resposta em frequência e que sejam posśıveis de atender às
especificações de desempenho adequadamente.
Com a realização deste trabalho, ficou claro que a escolha dos controladores adequados
tem um impacto direto na eficiência do sistema. Além disso, constatou-se que os cálculos
dos parâmetros e constantes dos projetos devem ser conduzidos com extrema precisão, pois
esses elementos são fundamentais para garantir a resposta satisfatória dos controladores.
Consequentemente, verificou-se que um controlador PID é a escolha apropriada para o
primeiro cenário, uma vez que este apresentava uma margem de fase inferior ao necessário
para um erro em regime diferente de zero. Por outro lado, o segundo cenário atendia a
todos os requisitos, levando à opção por um controlador P com ganho unitário.
Foi necessário também realizar certas considerações com relação aos sensores presente
na planta, dado que as especificações fornecidas não apresentam exatidão. Para o controle
da velocidade considerou-se um tacômetro na realimentação, já para o controle de posição
foi empregado um encoder.
Para futuras aplicações, seria pertinente explorar outros tipos de controladores, como
os controladores avanço-atraso, a fim de desenvolver um novo projeto e avaliar a resposta
do sistema. Assim, este trabalho cumpriu os objetivos iniciais e ofereceu soluções para o
problema apresentado.
26
Referências
[1] Nise Norman S. Engenharia de Sistemas de Controle. LTC, 2013.
[2] A.E. Fitzgerald, Charles Kingsley e Stephen Umans. Máquinas Elétricas. 7ª ed.
AMGH, 2014.
[3] Jean Pollefliet. “18 - Current -, Angular Position -, Speed Transducers”. Em:
Power Electronics. Ed. por Jean Pollefliet. Academic Press, 2018, pp. 18.1– 18.34.
ISBN: 978-0-12-814641-5. DOI: Link para acesso ao artigo.
27
	Introdução
	Desenvolvimento
	Modelagem do Sistema
	Função de Transferência
	Simulação em Malha aberta
	Comportamento da Velocidade Angular
	Comportamento da Posição Angular
	Curvas de Bode e resposta em frequência
	Margem de fase e ganho
	Projeto dos Controladores
	Cenário 1
	Cenário 2
	Simulações Computacionais
	Simualação Cenário 1
	Simualação Cenário 2
	Pontos de melhoria
	Conclusão