[ControleII] Prova_Unidade_03

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
CENTRO DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA
ELE0522 - SISTEMAS DE CONTROLE II
Sistemas de Controle II: Prova Unidade 03
Natal - RN
Dezembro de 2023
1. Considere o sistema:
Gp(s) =
1
s(s+ 3)
(1)
Utilizando o método polinomial, projete um controlador que faça com que os pólos em malha fechada se
comportem de acordo com a seguinte equação caracteŕıstica:
a∗(s) = s2 + 2s+ 1 (2)
Sabendo que a expressão da função de transferência para malha fechada controlada é G(s) =
G(s)
1 +G(s)C(s)
,
podemos igualar a expressão da equação caracteŕıstica do sistema controlado (denominador da função de trans-
ferência de malha fechada) à zero e, posteriormente, à equação caracteŕıstica solicitada no enunciado da questão.
1 +G(s)C(s) = 0 −→ 1 + 1
s(s+ 3)
C(s) = 0 −→ s(s+ 3) + C(s) = 0
s(s+ 3) + C(s) = a∗(s) −→ s2 + 3s+ C(s) = s2 + 2s+ 1 −→ C(s) = 1− s
Assim, encontramos que a função de transferência do controlador para esse caso: C(s) = 1 − s. Para a
implementação, vamos utilizar um controlador do tipo PD, assim podemos comparar a função de transferência
que queremos com a expressão referente ao controlador, a fim de descobrirmos seus parâmetros.
GPD = kc(Tds+ 1) −→ 1− s = kc(Tds+ 1) =⇒
{
kc = 1
Td = −1
2
2. Considere o sistema:
Gp(s) =
1
s+ 10
Utilizando o método polinomial, projete um controlador que atenda os seguintes critérios de desempenho em
malha fechada:
• Erro nulo em regime permanente;
• Tempo de estabilização em 2s;
• Sobressinal de 16, 31%.
Primeiramente, vamos analisar os critérios de desempenho para definirmos alguns parâmetros de projeto:
• e(∞) = 0: Um controlador proporcional (P) pode reduzir o erro em regime permanente, mas não o elimina
completamente para uma entrada degrau, para isso é necessário um termo integrativo (I) no controlador.
• OS% = 16, 31%: Podemos encontrar o coeficiente de amortecimento a partir do percentual de overshoting
dado: e
−ξ · π√
1− ξ2 = 0, 1631 −→ ξ = 0, 5.
• Ts,2% = 2s: A partir do coeficiente de amortecimento calculado e do tempo de estabilização dado, podemos
definir a frequência natural:
4
ξωn
= 2 −→ ωn = 4.
A partir disso, podemos tirar duas conclusões: escolher o tipo do controlador para o projeto e determinar
qual a equação caracteŕıstica desejada para o sistema controlado, como explicitado abaixo.
a∗(s) = s2 + 2ξωn + ω
2
n −→ a∗(s) = s2 + 4s+ 16
Já o tipo do controlador, foi escolhido um PID (proporcional, integral e derivativo), pois utilizaremos da
ação derivativa para melhorar o desempenho em regime transitório e da ação integrativa para diminuir o erro
em regime permanente. Logo, a expressão do controlador a partir de seus parâmetros é:
GPID = kp
ki
s
+ kds −→ GPID =
kps+ ki + kds
2
s
A partir da equação acima e da função de transferência do sistema G(s) =
1
s+ 10
podemos relacionar seus
numeradores e denominadores de forma a encontrar a equação caracteŕıstica do sistema controlado, baseado na
seguinte dedução:
Sendo a FT do controlador definida por
p(s)
l(s)
e a FT da planta definida como
b(s)
a(s)
, temos que a FT da
planta controlada em MA será Gma =
p(s)b(s)
l(s)a(s)
. Em MF, sabemos que Gmf (s) =
G(s)
1 +G(s)
, logo a FT da planta
controlada em MF será:
Gmf =
p(s)b(s)
a(s)l(s)
1 +
p(s)b(s)
a(s)l(s)
=
p(s)b(s)
a(s)l(s)
=
a(s)l(s)
a(s)l(s) + p(s)b(s)
=
p(s)b(s)
a(s)l(s) + p(s)b(s)
Com isso, podemos igualar a equação caracteŕıstica que desejamos para o sistema controlado à forma padrão
encontrada por meio da dedução acima, logo:
a(s)l(s) + p(s)b(s) = a∗(s) −→ (s+ 10) · s+ 1 · (kps+ ki + kds2) = s2 + 4s+ 16
s2+10s+kds
2+kps+ki = s
2+4s+16 −→ (1+kd)s2+(10+kp)s+ki = s2+4s+16

kd + 1 = 1 −→ kd
kp + 10 = 4 −→ kp = −6
ki = 16
Como nosso kd = 0, a componente derivativa não será necessária para atender os requisitos de projeto
solicitados, bastando utilizarmos um controlador do tipo PI com GPI =
16− 6s
s
.
3
3. Dado o sistema abaixo:
ẋ =
(
−2 1
−3 −1
)
x+
(
0
1
)
u
y =
(
1 0
)
x
a) Projete um controlador por realimentação de estados que faça com que o sistema apresente um compor-
tamento desejado de:
• Erro nulo em regime permanente;
• Tempo de estabilização em 0,5s;
• Sobressinal nulo.
b) Admita que as variáveis dessa representação de estados não podem ser mensuradas, e portanto, é necessário
que sejam estimadas por meio de um observador de estados. Faça o projeto desse observador para que ele
apresente uma resposta 8 vezes mais rápida que o controlador.
a) Primeiramente, vamos analisar os critérios de desempenho para definirmos alguns parâmetros de projeto:
• e(∞) = 0: Um controlador proporcional (P) pode reduzir o erro em regime permanente, mas não o elimina
completamente para uma entrada degrau, para isso é necessário um termo integrativo (I) no controlador.
• OS% = 0%: Podemos encontrar o coeficiente de amortecimento a partir do percentual de overshoting
dado: e
−ξ · π√
1− ξ2 = 0 −→ ξ = 1.
• Ts,2% = 0, 5s: A partir do coeficiente de amortecimento calculado e do tempo de estabilização dado,
podemos definir a frequência natural:
4
ξωn
= 0, 5 −→ ωn = 8.
A partir disso, nossa equação caracteŕıstica desejada para o sistema controlado será:
a∗(s) = s2 + 2ξωn + ω
2
n −→ a∗(s) = s2 + 16s+ 64
Observando o sistema dado na questão, extráımos que as matrizes que caracterizam seu comportamento são:
A =
[
−2 1
−3 −1
]
;B =
[
0
1
]
;C =
[
1 0
]
;D =
[
∅
]
Logo, vamos verificar se o sistema é controlável. Para verificarmos se um sistema é controlável, basta
utilizarmos a matriz de controlabilidade C que é dada por: C =
[
B AB
]
. Logo:
AB =
[
−2 1
−3 −1
]
·
[
10
1
]
−→ AB =
[
1
−1
]
=⇒ C =
[
B AB
]
−→ C =
[
0 1
1 −1
]
Para verificarmos a controlabilidade, devemos observar se o posto da matriz é igual a sua ordem e se
det(C) ̸= 0. Observamos que o posto da matriz é 2, assim como sua ordem, e que det(C) = (0 ·−1)−(1 ·1) = −1,
portanto o sistema é controlável.
Agora, por meio da fórmula de Ackermann, podemos determinar a matriz K tal que: K =
[
0 1
]
C−1a∗(A),
logo:
a∗(A) = A2 + 16A+ 64I =
[
−2 1
−3 −1
]2
+ 16
[
−2 1
−3 −1
]
+ 64
[
1 0
0 1
]
=
[
33 13
−39 46
]
Como a inversa da matriz de controlabilidade é C−1 =
[
1 1
1 0
]
, nossa matriz K será:
K =
[
0 1
] [1 1
1 0
] [
33 13
−39 46
]
=
[
33 13
]
b) Para que o observador de estados tenha uma resposta 8x mais rápida que o controlador, seu tempo de
estabilização deverá ser de 0,0625s, implicando em ωn = 64. Assim, considerando o coeficiente de amortecimento
ainda 1, nossa equação caracteŕıstica para o observador de estados é: a∗(s) = s2 + 128s+ 4096.
E sabemos que esse polinômio é dado por:
4
P (s) = det(sI −AL);AL = A− LC =⇒ P (s) = det(sI − (A− LC))
P (s) = det
([
s 0
0 s
]
−
[
−2 1
−3 −1
]
+
[
L1
L2
] [
1 0
])
= det
([
s+ L1 + 2 −1
L2 + 3 s+ 1
])
= s2+(Ls+3)s+(Ls+Ls+5)
Agora, podemos igualar o polinômio encontrado do sistema à equação caracteŕıstica com os requisitos dese-
jados a∗(a):
s2 + (Ls + 3)s+ (Ls + Ls + 5) = s
2 + 128s+ 4096 −→
{
L1 + 3 = 128 −→ L1 = 125
L1 + L2 + 5 = 4096 −→ L2 = 3966
Logo nossa matriz L é
[
125
3966
]
.
5
4. Dada a planta:
Gp(s) =
10
s2 + 3s+ 10
a) Escreva a planta na sua representação em espaços de estados forma canônica controlável.
b) Verifique se o sistema é controlável a partir da matriz de controlabilidade.
c) Verifique se o sistema é observável a partir da matriz de observabilidade.
d) Projete um controlador por realimentação de estados que faça o sistema em questão ter o comportamento
de acordo com a seguinte equação:
A∗(s) = (s+ 10)(s+ 100)
a) Para expressar a planta dada na forma canônica controlável de espaço de estados, precisamos seguir
alguns passos. A representação em espaço de estados é dada por:
{
ẋ = Ax+Bu
y = Cx+Du
, onde:
• A, B, C e D são matrizes que caracterizam o sistema;
• x(t)é o vetor de estados no instante t;
• ẋ(t) é a taxa de variação do vetor de estados;
• u(t) é o vetor de entrada no instante;
• y(t) é o vetor de sáıda no instante t;
Logo, para termos a representação em espaços de estados na forma canônica controlável, devemos obter a
descrição do comportamento do sistema no domı́nio do tempo, o que será feito a seguir.
Sabemos que Gp(s) =
Y (s)
U(s)
, representando a relação entre a entrada e a sáıda de um sistema e, para este
problema:
Y (s)
U(s)
=
10
s23s+ 10
−→ 10U(s) = (s2 + 3s+ 10)Y (s)
Aplicando a inversa de Laplace para encontrarmos a expressão no domı́nio do tempo, temos:
L−1{10U(s)} = L−1{(s2 + 3s+ 10)Y (s)} −→ 10u(t) = ÿ(t) + 3ẏ(t) + 10y(t) −→ ÿ(t) = −3ẏ(t)− 10y(t) + 10u(t)
Considerando x1 = ẏ e x2 = y, temos: ẋ = −3x1 − 10x2 + 10u(t). E, como x2 = y e x1 = ẏ −→ ẋ2 = x1,
logo: [
ẋ1
ẋ2
]
=
[
−3 −10
1 0
] [
x1
x2
]
+
[
10
0
]
u
y =
[
0 1
]
x
Logo, comparando com o formato padrão da representação de espaço de estados, conseguimos definir as
matrizes que caracterizam o sistema:
A =
[
−3 −10
1 0
]
;B =
[
10
0
]
;C =
[
0 1
]
;D =
[
∅
]
b) Para verificarmos se um sistema é controlável, basta utilizarmos a matriz de controlabilidade C que é
dada por: C =
[
B AB
]
. Logo:
AB =
[
−3 −10
1 0
]
·
[
10
0
]
−→ AB =
[
−30
10
]
=⇒ C =
[
B AB
]
−→ C =
[
10 −30
0 10
]
Para verificarmos a controlabilidade, devemos observar se o posto da matriz é igual a sua ordem e se det(C) ̸=
0. Observamos que o posto da matriz é 2, assim como sua ordem, e que det(C) = (10 · 10) − (−30 · 0) = 100,
portanto o sistema é controlável.
c) Para verificarmos se um sistema é observável, basta utilizarmos a matriz de observabilidade O que é dada
por: O =
[
C
CA
]
. Logo:
6
CA =
[
0 1
]
·
[
−3 10
1 0
]
−→ CA =
[
1 0
]
=⇒ O =
[
C
CA
]
−→ O =
[
0 1
1 0
]
Para verificarmos a observabilidade, devemos observar se o posto da matriz é igual a sua ordem e se det(O) ̸=
0. Observamos que o posto da matriz é 2, assim como sua ordem, e que det(O) = (0 · 0)− (1 · 1) = −1, portanto
o sistema é observável.
d) Para dimensionarmos o controlador de estados de forma a atender o polinômio pedido, é necessário
fazermos uma mudança na dinâmica do sistema de forma que:
{
ẋ(t) = Acx(t) +Bu(t)
y(t) = Cx(t)
, onde Ac = A−BK,
sendo K a matriz do controlador desejado, logo:
Ac =
[
−3 −10
1 0
]
−
[
10
0
] [
k1 k2
]
=
[
−3− 10k1 −10− 10k2
1 0
]
Agora, podemos calcular o polinômio P(s) dos autovalores:
P (s) = det(sI −A) = det
([
s 0
0 s
]
−
[
−3− 10k1 −10− 10k2
1 0
])
= det
([
s+ 3 + 10k1 10 + 10k2
−1 s
])
P (s) = s2 + (3 + 10k1) + (10 + 10k2)
Agora, podemos igualar o polinômio encontrado do sistema à equação caracteŕıstica com os requisitos dese-
jados A∗(a):
s2 + (3 + 10k1) + (10 + 10k2) = s
2 + 110s+ 1000 =⇒
{
3 + 10k1 = 110 −→ k1 = 10, 7
10 + 10k2 = 1000 −→ k2 = 99
Logo nossa matriz K é
[
10, 7 99
]
.
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