[ControleII] Projeto_Controle de Tensão de Saída em AmpOps

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
CENTRO DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA
ELE0522 - SISTEMAS DE CONTROLE II
Projeto - Controle da tensão de sáıda em AmpOps
Natal - RN
Dezembro de 2023
Projeto - Controle da tensão de sáıda em AmpOps
Relatório de projeto sobre o controle da
tensão de sáıda de um amplificador opera-
cional à disciplina de Sistemas de Controle
II (60 horas), ofertada pela Universidade Fe-
deral do Rio Grande do Norte, como requi-
sito para a composição da terceira unidade
do componente curricular mencionada.
Natal - RN
Dezembro de 2023
Resumo
Este relatório, primeiramente, tem como objetivo a análise detalhada, a modela-
gem e a simulação de um circuito elétrico incorporando amplificadores operacionais,
e por fim, possui a finalidade de desenvolver um controlador que regule a voltagem
de sáıda de um amp-op de dois estágios. Logo, foi-se necessário o conhecimento do
comportamento do amplificador para que possibilitasse a modelagem do sistema e
assim obtenção das funções de transferência de malha aberta e fechada. Desse modo,
no software de modelagem matemática, o Scilab, foram executados testes conside-
rando a configuração da planta com e sem realimentação negativa, utilizando uma
entrada degrau unitário. Já o controlador, foi desenvolvido por meio de duas distin-
tas técnicas: o método de espaço de estados e o método polinomial, ambas aplicadas
considerando a função de transferência pré-existente do amplificador. Os resultados
em ambos os métodos mostraram-se bastante similares e alinhados aos critérios de
projeto estabelecidos, apesar das limitações inerentes a cada técnica. Para anali-
sar o comportamento do controlador, realizou-se uma simulação gráfica no Scilab,
permitindo uma visão do desempenho do sinal controlado ao longo do tempo. Com
base nesses resultados, é viável afirmar que os objetivos do projeto foram alcançados
de maneira satisfatória, em conformidade com os critérios estabelecidos.
1
Sumário
1 Introdução 3
2 Desenvolvimento 5
2.1 Modelagem do Sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Análise da planta em malha aberta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2.1 Simulação do Scilab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Análise da planta em malha fechada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3.1 Simulação no Scilab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3 Projeto dos Controladores 11
3.1 Cenário 1 - Projeto por Realimentação de Sáıda . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2 Cenário 2 - Projeto por Espaço de Estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4 Simulações dos Controladores 14
4.1 Cenário 1 - Realimentação de Sáıda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.2 Cenário 2 - Espaço de Estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
5 Implementação 17
5.1 Simulação no TinkerCard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5.2 Simulação Prática no Laboratório . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6 Conclusão 21
1 Introdução
Os amplificadores operacionais são peças-chave na eletrônica, tendo uma ampla vari-
edade de usos em circuitos analógicos e digitais. Sua função é crucial no processamento
de sinais e no desenho de circuitos altamente precisos. Além disso, têm um papel crucial
em circuitos de filtragem, podendo ser ajustados para operar como filtros passa-baixa,
passa-alta, passa-faixa e rejeita-faixa. Isso possibilita a eliminação de rúıdos indesejados
ou a seleção de frequências espećıficas de interesse.
Além do mais, os amplificadores operacionais têm uma presença significativa em cir-
cuitos de feedback, os quais exercem uma função essencial na estabilidade e regulação de
sistemas. A aplicação de feedback negativo possibilita regular a amplificação e a resposta
em frequência do amplificador operacional, conferindo-lhe maior estabilidade e reduzindo
a probabilidade de oscilações indesejadas. Logo, possuir habilidades para modelar os am-
plificadores operacionais é essencial na concepção de sistemas eletrônicos que operem de
maneira estável e consistente.
Já os controladores, desempenham um papel crucial na estabilidade e no controle pre-
ciso da voltagem de sáıda dos amplificadores operacionais, assegurando um desempenho
constante e confiável. Além disso, oferecem proteção aos circuitos e ajuste para alterações
nas caracteŕısticas do amplificador. Essa flexibilidade permite uma ampla variedade de
usos, tornando os reguladores uma ferramenta indispensável na engenharia de sistemas
eletrônicos.
Considerando a importância fundamental dos controladores nos sistemas eletrônicos,
é essencial empregar métodos matemáticos eficazes que garantam um projeto robusto e
resultados dentro dos critérios de estabilidade desejados. Além do mais, é crucial levar em
conta as particularidades de cada projeto, como linearidades, não linearidades e o número
de entradas e sáıdas. Esta análise viabiliza a escolha de métodos mais eficientes e menos
exigentes em termos computacionais, como no caso deste projeto, onde foram aplicados
os métodos polinomiais e de espaço de estados. A seleção do método de projeto é crucial
para o sucesso do sistema eletrônico, Ogata (2010) [1] afirma:
Um sistema moderno complexo pode ter muitas entradas e muitas sáıdas,
e elas podem ser inter-relacionadas de maneira complexa. Para ana-
lisar esse sistema, é essencial reduzir a complexidade das expressões
matemáticas, bem como recorrer aos computadores para a maioria dos
processamentos tediosos necessários na análise. A abordagem com base
no espaço de estados é a mais apropriada para analisar o sistema sob
esse ponto de vista. (OGATA, 2010, p.595)
Outra técnica de projeto que não foi citada acima, mas é bastante interessante, é o
método polinomial, que será utilizada como ferramenta para projetar o controlador. Esse
método se baseia na śıntese de polinômios com o objetivo de ajustar seus coeficientes
para obter uma resposta desejada. Dessa forma, isso permite uma simplificação na repre-
sentação matemática e facilita a manipulação e o cálculo dos coeficientes, simplificando o
processo de śıntese e análise do controlador.
Sendo assim, o presente relatório irá abordar a modelagem matemática, a análise,
o projeto de controlador e as simulações computacionais do sistema apresentado na Fi-
gura 1, visando observar o funcionamento do circuito com amp-ops, obter a função de
transferência que o descreve e projetar o controlador que atue na regulação da tensão de
sáıda de um amplificador operacional de dois estágios que estejam dentro dos critérios de
estabilização e percentual de overshoot estabelecidos nos cenários 1 e 2, apresentado na
3
Figura 2. O desenvolvimento, bem como os resultados obtidos, serão expostos por meio
de figuras, processos matemáticos, gráficos e diagramas de blocos.
Figura 1: Esquema do circuito a ser controlado.
Fonte: Disponibilizado pelo professor(2023)
Figura 2: Cenário 1 e 2 do projeto.
Fonte: Disponibilizado pelo professor(2023)
4
2 Desenvolvimento
Neste campo será desenvolvido o processo de modelagem do sistema do circuito in-
tegrador, a ênfase foi na formulação das equações fundamentais que descrevem o com-
portamento elétrico do sistema a ser controlado. Inicialmente, a configuração do circuito
integrador, composto por um amplificador operacional e elementos capacitivos e resisti-
vos, foi analisada. A tensão de entrada foi designada como Vin e a tensão de sáıda como
Vout, resultando em equações que governam o comportamento do circuito. Para tanto,
as equações, juntamente com prinćıpios fundamentais, estabelecem a base matemática
essencial para a implementação eficaz do controle da tensão de sáıda, sendo crucial para
uma análise e projeto eficientes do sistema decontrole em questão.
2.1 Modelagem do Sistema
Após ter abordado o referencial teórico do sistema estudado, inicialmente foi primordial
que os componentes e os nós do circuito sejam devidamente referidos e nomeados para
realizar o estudo do comportamento do circuito. A Figura 3 mostra como se deu essa
denominação.
Figura 3: Circuito com componentes devidamente referidos
Fonte: Autoria própria (2023)
Posteriormente, dado que se trata de um sistema linear e invariante no tempo, cada
componente é representado por seus valores no domı́nio da frequência por meio da trans-
formada de Laplace. É importante destacar que, visando simplificar os cálculos e, por
conseguinte, obter a função de transferência de forma mais eficiente, foi relizada uma
abordagem no domı́nio da frequência durante a modelagem do sistema, apesar de ser
posśıvel também observar a operação do sistema do domı́nio do tempo.
Nesse sentido, foi necessário relizar alguns cálculos inicias para simplificar o sistema,
primeiramente trasformando resistências e capacitâncias em impedâncias e especialmente
fazendo a impedância equivalente para a resistência R3 e a capacitância C2, denominada
de impedância Z4.
Figura 4: Circuito após aplicação da transformada de Laplace
Fonte: Autoria própria (2023)
5
Segundo NISE (2013), os resistores não apresentam relação direta com a frequência,
por isso não sofrem alteração na transformada de Laplace, todavia, os capacitores passam
a ser representados por Xc(S) =
1
SC
. Dessa maneira, as impedências podem ser calculadas
da seguinte maneira:
Z1 = R1 = 100kΩ (1)
Z2 =
1
SC1
(2)
Z3 = R3 = 100kΩ (3)
Z4 =
R3
SC2
R3 +
1
SC2
=
R3
SC2R3 + 1
(4)
Partindo para a análise do circuito da Figura 4, em virtude das realimentações negati-
vas em torno de ganhos extremamente elevados nos amplificadores operacionais, constata-
se que curtos circuitos virtuais emergirão nas suas entradas. Dessa forma, os potenciais
das portas não inversoras e inversoras de cada amplificador estarão no mesmo potencial.
Para MALVINO e BATES (2016), um curto circuito virtual funciona como curto circuito
somente para a tensão e um circuito aberto para a corrente. Além disso, apesar dessa
análise ser uma aproximação ideal, ela proporciona respostas muito precisas quando usado
com realimentação negativa, como é o caso do circuito deste relatório. Isso significa, na
prática, que V −A = V
+
A = 0, pela mesma razão que V
−
B = V
+
B = 0.
No que diz respeito as correntes que presentes no circuito, é posśıvel afirmar que a
corrente I1 que passa por Z2 é a mesma que passa por Z1 devido à alta impedância de
entrada de um amplificador operacional. Igualmente, uma mesma corrente I2 que passa
por Z3 vai toda para Z4. Com isso encontram-se as expressões:
I1 =
Vin
Z1
(5)
I2 =
VoutA
Z3
(6)
Com essas informações já é posśıvel calcular o potencial em VoutA por meio de LKT
(Lei de Kirchhoff das Tensões):
VoutA = Vin − (Z1 + Z2) · I1 (7)
Substituindo a Equação 5, encontra-se:
VoutA = −
Z2
Z1
· Vin (8)
Analogamente, usando LKT no trecho restante do circuito é posśıvel encontrar a
expressão para o potencial em Vout:
Vout = VoutA − (Z3 + Z4) · I2 (9)
Agora, usando o valor de I2 encontrado na Equação 6, chega-se ao valor:
6
Vout =
Z2 · Z4
Z1 · Z3
· Vin (10)
Com as impedâncias já calculadss previamente, finalmente, substitui-se os valores para
Vout:
Vout =
1
SC1
· R3
SC2R3+1
R1 ·R2
· Vin =
R3
S2R1R2R3C1C2 + SR1R2C1
· Vin (11)
Substituindo os valores de resistência R1 = R2 = R3 = 100 · 103Ω e capacitância
C1 = C2 = 10 · 10−6F dados no projeto, Vout pode ser descrita por:
Vout =
105
S2105 + S105
· Vin (12)
Enfim, após ter chegado à expressão de Vout, é plauśıvel ainda realizar uma simpli-
ficação do resultado para descrever a função de transferência da planta a ser controlada:
Gp(S) =
Vout
Vin
=
1
S(S + 1)
(13)
2.2 Análise da planta em malha aberta
A partir das especificações dadas no projeto, as duas principais caracteŕısticas que se
deseja obter são o erro em regime permanente e o tempo de estabilidade. Isso pode ser
melhor observado levando em consideração a expressão ideal de um sistema de segunda
ordem e comparando-a a equação da planta encontrada anteriormente.
G(s) =
ω2n
s2 + 2ξωns+ ω2n
(14)
Na comparação efetuada, verifica-se uma peculiaridade matemática em que o ωn pode
assumir simultaneamente os valores de 1 e 0. A explicação para esse fenômeno reside na
instabilidade provocada pela colocação de um polo na origem. Tal polo, por sua vez irá
ocasionar um erro de regime nulo, conforme o desenvolvimento abaixo.
Segundo NISE (2013), o erro em regime permanente de qualquer sistema pode ser
dado pelas expressões a seguir:
ess = lim
t→∞
e(t) = lim
S→0
SE(S) = lim
S→0
S(R(S)− C(S)) (15)
Para o prosseguimento dos cálculos, o erro calculado utilizará como referência R(S)
uma entrada do tipo degrau, U(). Além disso, C(S) seria equivalente à função de trans-
ferência da sáıda da planta seguida do controlador, mas como ainda não implementamos
o controlador no sistema, C(S) será igual à sáıda Y (S), a qual, por sua vez, iguala-se a
Gp(S)U(S). Assim, teremos:
ess = lim
S→0
S(U(S)−Gp(S)U(S) = lim
S→0
S
(
1
S
− 1
S(S + 1)
1
S
)
(16)
ess = lim
S→0
S
(
1
S
(
1− 1
S + 1
))
= lim
S→0
1− 1
S + 1
= 1− 1
0 + 1
= 1− 1 = 0 (17)
7
Apesar de tal polo resultar em um erro em regime permanente igual a 0, sua predo-
minância em relação ao outro polo determinará o tempo de estabilização, o qual manifes-
tamente tenderá ao infinito.
Entretanto, como se deseja que os controladores sejam empregados utilizando os
métodos polinomial e de espaço de estados, como já se sabe, os parâmetros em malha
aberta não apresentam impactos significativos quando esses métodos são aplicados. Nesse
contexto, a análise de maior importância se dá em malha fechada, sendo este tópico do
relatório adicionado com a finalidade de evidenciar este fato.
2.2.1 Simulação do Scilab
Por meio do Scilab, ferramenta bastante utilizada na disciplina, foi preciso o aux́ılio da
ferramenta Xcos para simular como a planta em malha aberta se comporta. A Figura 5 é
responsável por mostar como se deu a configuração do diagrama de blocos para simulação
em evidência.
Figura 5: Diagrama de blocos no Scilab da planta em malha aberta
Fonte: Autoria própria (2023)
A partir do diagrama, plotou-se a resposta da planta em malha aberta dado uma en-
trada degrau, como exemplifica a Figura 6. Nessa simulação, é percept́ıvel a instabilidade
causada pelo polo na origem da planta em malha aberta, o que constata que o tempo de
estabilização é infinito. Ademais, somente com essa análise não é posśıvel comprovar o
erro nulo em regime permanente.
8
Figura 6: Resposta do sistema em malha aberta
Fonte: Autoria própria (2023)
2.3 Análise da planta em malha fechada
Com relação à análise da planta em malha fechada, considera-se que existe uma rea-
limentação unitária, o que transforma a Equação 13 na seguinte Equação:
Gp(S) =
1
S2 + S + 1
(18)
Tomando essa nova equação como base, é plauśıvel compará-la novamente com a ex-
pressão de um sistema de segunda ordem ideal, para se obter os valores de ωn e ξ. Fazendo
essa observação, identifica-se que esses valores são iguais a 1 e a 0,5, respectivamente. As-
sim, isso permite encontrar o tempo de estabilização para a planta em malha fechada,
como visto na próxima equação.
T2% =
4
ξωn
=
4
0, 5 · 1
= 8s (19)
Outra análise interessante de se realizar é do erro em regime permanente para o sistema
em malha fechada. Como já estudado em sala de aula, o erro para entrada do tipo degrau
pode ser obtido do seguinte modo:
ed = lim
S→0
1
1 + 1
S2+S+1
= 0, 5 (20)
Nesse sentido, é posśıvel aferir que para análise em malha fechada o tempo de estabi-
lização e o erro em regime estão dentro dos parâmetros estáveis, dadas as especificaçõesdo projeto.
2.3.1 Simulação no Scilab
De forma análoga à simulação do sistema em malha aberta, o Scilab foi novamente
utilizado para se observar o comportamento do sistema. A Figura 7 mostra o diagrama
de blocos constrúıdo por meio da ferramenta Xcos.
9
Figura 7: Diagrama de blocos no Scilab da planta em malha fechada
Fonte: Autoria própria (2023)
Por conseguinte, foi plotado a resposta da planta em malha fechada para uma entrada
degrau. No gráfico da Figura 8 se visualiza que o tempo de estabilização é em torno de 8
segundos enquanto o percentual de overshoot é aproximadamente 16%.
Figura 8: Resposta do sistema em malha fechada
Fonte: Autoria própria (2023)
10
3 Projeto dos Controladores
3.1 Cenário 1 - Projeto por Realimentação de Sáıda
O projeto de controladores tomando como base a realimentação de sáıda pode ser
feita utilizando o método polinomial. Ele parte do prinćıpio que deve-se encontrar um
polinômio que represente os polos alocados de maneira que os requisitos do projeto se-
jam atendidos. Logo, diante da função de transferência da planta do sistema levemente
adaptada, Equação 21, deve-se encontrar um polinômio de grau dois que a represente.
Gp(S) =
Vout
Vin
=
1
S2 + S
(21)
Para a modelagem desse sistema, será utilizada uma função de transferência ideal de
ordem dois, Equação 22, para que assim os parâmetros da Equação 21 sejam comparados
com os da Equação 22.
G(S) =
ω2n
2 + ξ2ωnS + ω2n
=
ω2n
P (S)
(22)
Além disso, devem ser considerados os parâmetros de projeto especificados na tabela
a seguir:
Parâmetros
Ts2% ≤ 2s
PO% ≤ 16, 31%
Para que seja encontrado o coeficiente de amortecimento ξ, utiliza-se a Equação 23:
ξ = ±
√√√√√ ln
(
PO%
100
)
π + ln2
(
PO%
100
) = 0, 5 (23)
Já para ser obtido o tempo de estabilização desejado, utiliza-se a fórmula abaixo:
ωn =
4
ξTs2%
= 4 (24)
Em posse desses valores, é posśıvel determinar o polinômio desejado para o sistema
P (S), visto abaixo.
P (S) = S2 + 4S + 16 (25)
Como observado na Figura 6, em malha aberta é visto um sistema com tempo de esta-
bilização infinito. Além disso, o seu erro em regime é nulo, conforme pode ser observado
pela explicação desenvolvida nas equações em 15 e 17. Por estes motivos, será escolhido
um controlador do tipo PD, já que ele é o mais adequado para melhorar a resposta tran-
sitória e assim reduzir o tempo de estabilização, sem necessidade de ser melhorado o
erro em regime, conforme NISE (2013). Desta forma, utiliza-se a equação a seguir para
projetar o controlador PD:
G(S) = kc + kdS = (1 + τdS)kc (26)
11
Assim, para obter a função de transferência de malha fechada com o controlador,
considera-se a interação entre a planta e o controlador, dada por Gc(S) +Gp(S), e faz-se:
Gmf (S) =
Gc(S)Gp(S)
1 +Gc(S)Gp(S)
=
(1+τdS)kc
S2+S
1 + (1+τdS)kc
S2+S
(27)
Gmf (S) =
(1 + τdS)kc
S2 + S + (1 + τdS)kc
=
(1 + τdS)kc
S2 + (1 + τdkc)S + kc
(28)
Diante da formulação obtida acima, compara-se ela às equações 22 e 25. Desse modo,
conclui-se que:
kc = 16; 1 + τdkc = 4 ⇒ τdkc = kd = 3 (29)
Portanto, a função de transferência do controlador será dada por:
Gc(S) = 16 + 3s (30)
3.2 Cenário 2 - Projeto por Espaço de Estados
O segundo cenário tem os mesmos requisitos do cenário 1, diferenciando-se pelo método
o qual deve ser utilizado: o método do espaço de estados.
Para conceber um controlador utilizando a abordagem do espaço de estados, é ne-
cessário expressar a função de transferência da planta nesse arranjo. Nesse sentido, optou-
se pela notação controlável e implementou-se o procedimento de conversão de um modelo
para o outro, conforme descrito abaixo, conforme LATHI (2008, p. 801):
Considerando uma função de transferência genérica:
H(S) =
b0S
N + b1S
N−1 + ...+ bN−1S + bN
SN + a1SN−1 + ...+ aN−1S + aN
(31)
Sua representação em espaços de estado será dada pelas duas equações matriciais
abaixo: 
ẋ1
ẋ2
...
ẋN−1
ẋN
 =

0 1 . . . 0 0
0 0 1 . . . 0
...
...
...
. . .
...
0 0 0 . . . 1
−aN −aN−1 . . . −a2 −a1


x1
x2
...
xN−1
xN
+

0
0
...
0
1
u (32)
y =
[
(bN − b0aN) (bN−1 − b0aN−1) . . . (b1 − b0a1)
]

x1
x2
...
xN
+ b0u (33)
Reduzindo a notação das equações 32 e 33, ter-se-á:
ẋ = Ax+Bu (34)
y = Cx+Du (35)
12
Analisando a Equação 13 e comparando-a com as expressões de A, B, C e D, serão
obtidos os valores abaixo:
A =
[
0 1
0 −1
]
B =
[
0
1
]
C =
[
1 0
]
D = 0 (36)
A partir desses valores, é posśıvel formar a matriz de controlabilidade CM , que possui
a função de determinar a controlabilidade de uma planta. Consoante Nise (2013), uma
planta de ordem n é plenamente controlável se a matriz de posto n, sendo CM a matriz
de controlabilidade, dada pela equação abaixo:
CM =
[
B AB
]
=
[
0 1
1 −1
]
(37)
Como o determinante da matriz CM é igual a -1 (portanto, diferente de 0), é posśıvel
dizer que suas linhas são linearmente independentes e a planta é controlável.
Para realizar o controle pelo método de espaço de estados, utiliza-se, então a Fórmula
de Ackermann para ser encontrada a matriz de ganhos. Nela, Phi(A) corresponde à
matriz provenienete da aplicação da matriz A no lugar de S no polinômio que põe os
polos nas locais desejados para serem atendidos aos requisitos de projeto, explicitado na
Equação 25:
K =
[
0 1
]
C−1M Φ(A)
K =
[
0 1
] [0 1
1 −1
]−1{[
0 1
0 −1
]2
+ 4
[
0 1
0 −1
]
+ 16
[
1 0
0 1
]}
=
[
16 3
]
(38)
13
4 Simulações dos Controladores
4.1 Cenário 1 - Realimentação de Sáıda
A partir dos parâmetros do controlador definidos, foi montado o diagrama de controle
no software Scilab, em sua ferramenta interna Xcos.
Figura 9: Diagrama de controle por método polinomial
Fonte: Autoria própria (2023)
A resposta obtida com este circuito foi um sinal de sáıda controlado com percentual
de oversoot de 16,2% e tempo de estabilização de 2 segundos, conforme visto na Figura
10.
Figura 10: Resposta do sistema com controlador polinomial
Fonte: Autoria própria (2023)
4.2 Cenário 2 - Espaço de Estados
Já para as simulações envolvendo o método de controle por espaço de estados com o
uso do software Scilab e suaferramenta Xcos, torna-se necessário expressar a função de
transferência completa do sistema, convertendo a partir da representação de espaço de
estados. Tal equação para conversão foi obtida com base na manipulação das equações
32 a 35.
14
Gmf = C(SI − (A−BK))−1B +D =
1
S2 + 4S + 16
(39)
A partir da Equação 39, observa-se que o erro em regime será distinto de zero. Isso
ocorre porque o método de projeto por espaço de estados não contempla a correção de
erro. Portanto, é essencial realizar um ajuste fino, para o qual se aplica o limite para S
tendendo a 0 na Equação 39.
lim
S→0
Gmf =
1
16
(40)
Com base nesse resultado, compreende-se que é necessário aplicar um ganho de 16 à
referência para garantir o correto funcionamento do controlador.
Além disso, para a construção do diagrama de controle, foi necessário adaptar alguns
dos valores de entrada do bloco cujos valores de input eram os valores das matrizes A, B,
C e D.
A partir da definição que, em um sistema genérico com planta e controlador o sistema
será regido pela equação abaixo:
ẋ = (A−BK)x+Br (41)
E considerando que, sem controlador, o sistema seria regido por:
ẋ = Ax+Br (42)
Podemos, então, por meio da comparação entre as duas equações, representar, para
fins de simulação, o valor da matriz A no bloco do software Xcos como sendo A − BK,
ou seja, a matriz abaixo:
A−BK =
[
0 1
−4 −16
]
(43)
Portanto, o diagrama final e os parâmetros de entrada do bloco com os valores do
sistema modelado por meio das matrizes A−BK, B, C e D são os seguintes:
Figura 11: Parâmetros de entrada do bloco de controle
Fonte: Autoria própria (2023)
Este bloco já incorpora a malha de realimentaçãoe os ganhos do controlador, o que
torna o diagrama de controle final o da figura a seguir:
15
Figura 12: Diagrama de controle por método de espaço de estados
Fonte: Autoria própria (2023)
Diante disso, torna-se viável criar o diagrama no software, conforme ilustrado na
Figura 12. A Figura 13 apresenta o desempenho do controle. Nesse gráfico, é percept́ıvel
que o sistema exibiu um overshoot de aproximadamente 16,3% e atingiu a estabilização
em 2 segundos, conforme solicitado.
Figura 13: Resposta do sistema com controlador por espaço de estados
Fonte: Autoria própria (2023)
16
5 Implementação
Neste tópico será discutido tanto a implementação ideal, realizadas em software online,
quanto a implementação real realizada no laboratório.
5.1 Simulação no TinkerCard
Antes da realização do laboratório, foi realizado uma simulação no software chamado
de Tinkercard. Nesse sentido, o circuito representativo do controlador e da planta foi
montado em protoboard, sendo percept́ıvel os valores almejados que deveriam ser colhidos
na implementação prática no laboratório.
Logo, na Figura 14, pode ser visto uma imagem do sistema projetado, o qual é com-
posto por 5 AMPOPs da famı́lia LM741, três capacitores de 10µF, quatro resistores de 1
kΩ, dois de 10 kΩ, um de 20 kΩ, três de 100 kΩ e um de 300 kΩ. Além disso, foi utilizado
fontes de tensão para alimentação dos AMPOPs, bem como um multimetro e osciloscópio
para observar os valores de sáıda.
Figura 14: Simulação no TinkerCard
Fonte: Autoria própria (2023)
5.2 Simulação Prática no Laboratório
Na implementação experimental, foi utilizados os seguintes componentes para a mon-
tagem do circuito: uma protoboard, 5 AMPOPs da famı́lia LM741, três capacitores de
10µF, quatro resistores de 1 kΩ, dois de 10 kΩ, um de 22 kΩ, três de 100 kΩ e um de
330 kΩ. Além disso, também foi usado duas fontes de alimentação CC, sendo uma para a
alimentação dos AMPOPs (com +10 e -10) e outra para a tensão de referência aplicada
no subtrator, como pode ser observado na Figura 15 e 16.
17
Figura 15: Fonte de alimentação para o circuito do laboratório.
Fonte: Autoria própria (2023)
Figura 16: Fonte de alimentação para o circuito do laboratório.
Fonte: Autoria própria (2023)
Feito a configuração das fontes, foi utilizado os componentes listados para imple-
mentação do circuito em questão. Nesse sentindo, o circuito pode ser visto na Figura
17.
18
Figura 17: Implementação prática em protoboard
Fonte: Autoria própria (2023)
Diante disso, também foi utilizado o osciloscópio para visualizar o sinal de sáıda do cir-
cuito projetado. Nessa perspectiva, os valores coletados foram satisfatórios e compat́ıveis
com a projeção, tendo obtido Vo = 1.005V . Assim, na Figura 18 pode ser observado o
sinal e o valor em questão.
Figura 18: Sinal de sáıda do circuito
Fonte: Autoria própria (2023)
Por fim, é válido mencionar o fato que nesta simulação foi necessário realizar algumas
alterações de resistores do modelo ideal projetado no TinkerCard, substituindo os resis-
19
tores de 20 kΩ e 300 kΩ por valores aproximados de 22 kΩ e 330 kΩ. Logo, as posśıveis
margens de diferença nos valores obtidos experimentalmente podem ser referentes a isto.
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6 Conclusão
A partir da análise da estrutura dos amplificadores, foi posśıvel modelar o sistema em
função da tensão de sáıda e de entrada, no domı́nio da frequência. Posteriormente, com o
sistema modelado, realizaram-se simulações a partir das funções de transferência de malha
aberta e de malha fechada. Entretando, analisou-se que a função de transferência em
malha aberta, por possuir um polo na origem, levou o sistema à instabilidade, enquanto em
malha fechada, apresentou tempo de estabilização e erro em regime dentro de parâmetros
estáveis.
De modo amplo, este projeto teve como objetivo final criar um controlador por meio
de duas abordagens diferentes. Para alcançar resultados positivos, ambos os métodos
demandaram compreensão da função de transferência do amplificador operacional em
análise. Além disso, foram conduzidas avaliações visuais para entender o funcionamento
do sistema controlado e validar a sua conformidade com os padrões de desempenho es-
tipulados. De maneira prática, esses passos foram essenciais para atingir os objetivos
propostos neste trabalho.
Nesse sentido, ao comparar as duas técnicas de projeto o método polinomial e o método
do espaço de estados, foi posśıvel identificar diferenças mı́nimas no que diz respeito ao
percentual de overshoot. Notavelmente, o método polinomial apresentou uma maior pro-
ximidade com o critério de ultrapassagem de sinal estabelecido. É importante ressaltar
que o tempo de estabilização foi o mesmo para ambas as técnicas. Outro aspecto relevante
foi a observação de uma limitação no método do espaço de estados, que não considera o
erro em regime igual a zero. Portanto, foi necessário encontrar uma solução para corrigir
esse problema e garantir um controle preciso e adequado do sistema.
Os dados mencionados durante o relatório foram adquiridos através do software Sci-
lab, como também no TinkerCAD. As simulações realizadas em cada programa estavam
consistentes para comparação, possibilitando uma visualização mais clara e viabilizando
a implementação do circuito no ambiente laboratorial.
Portanto, com as informações obtidas desde a modelagem até as simulações, construiu-
se uma base sólida para a implementação do amplificador operacional no projeto de con-
troladores, levando em consideração os pré-requisitos de desempenho e estabilidade. A
utilização das duas técnicas de projeto evidenciou a importância de possuir um conjunto
de ferramentas matemáticas que se adaptem às particularidades de cada projeto, bem
como a habilidade de lidar com as limitações de cada abordagem de forma adequada.
Assim, o presente trabalho obteve resultados satisfatórios de acordo com os critérios de
projeto estabelecidos.
21
Referências
[1] Albert Paul Malvino e David J Bates. Eletrônica. AMGH, 2016.
[2] Katsuhiko Ogata. Engenharia de Controle Moderno. 5ª ed. Pearson Prentice Hall,
2010.
[3] Nise Norman S. Engenharia de Sistemas de Controle. 6ª ed. LTC, 2013.
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	Introdução
	Desenvolvimento
	Modelagem do Sistema
	Análise da planta em malha aberta
	Simulação do Scilab
	Análise da planta em malha fechada
	Simulação no Scilab
	Projeto dos Controladores
	Cenário 1 - Projeto por Realimentação de Saída
	Cenário 2 - Projeto por Espaço de Estados
	Simulações dos Controladores
	Cenário 1 - Realimentação de Saída
	Cenário 2 - Espaço de Estados
	Implementação
	Simulação no TinkerCard
	Simulação Prática no Laboratório
	Conclusão