exercicios vetores e espaços vetoriais

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1
Sabe-se que o ângulo entre os vetores   e  vale 45°. Determine
o valor de p real.
A 0
B 1
C 2
D 3
E 4
Resposta correta
Gabarito comentado
A resposta correta é: 4
2
No contexto da física mecânica, considere o estudo do movimento de um objeto
lançado em um plano inclinado. Nesse cenário, é adotado um sistema de
→u(p, p − 4, 0) →v(2, 0, −2)
undefined Questão 1 de 10
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coordenadas tridimensional com três eixos: x, y e z. Cada eixo representa uma direção
específica do movimento do objeto. Com base nessa contextualização, assinale a
alternativa correta:
A
A representação de um vetor no estudo do movimento de um objeto
lançado em um plano inclinado não requer o conhecimento de sua
projeção nas três direções do sistema de coordenadas
B
O sistema de coordenadas utilizado no estudo do movimento do objeto
lançado possui apenas dois eixos, não sendo necessária a projeção nas três
direções
C
A projeção do vetor nas três direções do sistema de coordenadas é
irrelevante no estudo do movimento de um objeto lançado em um plano
inclinado
D
A projeção do vetor nas três direções do sistema de coordenadas é
essencial para determinar a trajetória e a velocidade do objeto durante o
movimento
E
A representação de um vetor no estudo do movimento do objeto lançado é
realizada apenas através de sua magnitude, sem considerar sua projeção
nas direções do sistema de coordenadas
Resposta correta
Gabarito comentado
No contexto do estudo do movimento de um objeto lançado em um plano
inclinado, o sistema de coordenadas tridimensional é utilizado para descrever a
trajetória e a velocidade do objeto. Nesse contexto, conhecer a projeção do vetor
nas três direções representadas pelos eixos é essencial para determinar a
trajetória e a velocidade do objeto durante o movimento. A projeção nos eixos x,
undefined Questão 1 de 10
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y e z permite analisar as componentes do vetor de posição, velocidade e
aceleração do objeto em cada direção.
3
Considere o contexto da engenharia de transportes, onde são realizados estudos de
tráfego em uma interseção de vias urbanas. Para analisar o fluxo de veículos nessa
interseção, é adotado um sistema de referência baseado em três eixos ortogonais: x, y
e z. Cada eixo representa uma dimensão específica do tráfego, como velocidade,
densidade de veículos e nível de congestionamento. Nesse contexto, assinale a
alternativa correta:
A
O sistema de referência adotado na engenharia de transportes utiliza
apenas dois eixos ortogonais, não sendo necessário o eixo z de cota
B
A direção do eixo y é denominada de cota, representando a elevação em
relação ao plano horizontal
C
Os eixos ortogonais são utilizados apenas para representar coordenadas
geográficas, não sendo relevantes para a análise de tráfego
D
A origem do sistema de referência é definida no cruzamento das vias, ponto
0, onde ocorre o congestionamento máximo
E
Na interseção de vias, os eixos ortogonais são utilizados para representar as
diferentes dimensões do tráfego, como velocidade, fluxo de veículos e
variação temporal.
Resposta correta
Gabarito comentado
undefined Questão 1 de 10
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No enunciado, é apresentado um contexto relacionado à engenharia de
transportes, onde um sistema de referência baseado em três eixos ortogonais é
utilizado para analisar o fluxo de veículos em uma interseção de vias urbanas.
Nesse contexto, os eixos representam diferentes dimensões do tráfego, como
velocidade, fluxo de veículos e variação temporal.
4
No contexto da mecânica clássica, consideramos três vetores: vetor força (F), vetor
posição (r) e vetor momento angular (L). Se o produto misto entre esses três vetores
for nulo, o que isso indica?
A Os três vetores estão no mesmo plano no espaço
B
O vetor força é uma combinação linear dos vetores posição e momento
angular.
C Os três vetores são ortogonais entre si
D
O vetor posição é uma combinação linear dos vetores força e momento
angular.
E Os três vetores são linearmente independentes
Resposta correta
Gabarito comentado
O produto misto é uma operação entre três vetores e é representado por [u,  v,
w]. Se o resultado do produto misto for igual a zero, isso significa que os trêsundefined
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vetores estão coplanares, ou seja, pertencem ao mesmo plano no espaço.
5
No contexto da engenharia elétrica, considera-se um sistema de circuitos elétricos.
Cada circuito é representado como um vetor no espaço vetorial V. Os elementos
desse espaço são combinações lineares de grandezas elétricas, como correntes e
tensões. Considerando essa contextualização, assinale a alternativa correta:
A
Um espaço vetorial é um conjunto vazio de elementos que atendem às
operações da adição e multiplicação por um número real
B
As operações de adição e multiplicação por um número real não são
aplicáveis em um espaço vetorial
C
O espaço vetorial é definido apenas para sistemas mecânicos, não sendo
aplicável à engenharia elétrica
D
Os elementos de um espaço vetorial podem ser representados apenas por
grandezas geométricas, excluindo grandezas físicas como correntes e
tensões
E
O espaço vetorial V é composto por elementos que podem ser combinados
linearmente através das operações de adição e multiplicação por um
número real
Resposta correta
Gabarito comentado
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O enunciado da questão apresenta uma contextualização específica
relacionada à engenharia elétrica, onde um sistema de circuitos elétricos é
representado como um espaço vetorial. Nesse contexto, os elementos desse
espaço são combinações lineares de grandezas elétricas, como correntes e
tensões, que atendem às operações de adição e multiplicação por um número
real. Na engenharia elétrica, é comum utilizar conceitos de espaços vetoriais
para representar grandezas físicas, como correntes e tensões, em sistemas de
circuitos elétricos. Essas grandezas podem ser combinadas linearmente por
meio das operações de adição e multiplicação por um número real,
características de um espaço vetorial.
6
Determine o valor da constante k para que os vetores  e 
sejam ortogonais.
A 0
B
C
D
E 1
Resposta correta
Gabarito comentado
→u(3, 4, −5) →v(5k + 2, 1, 7 − k)
1
2
2
5
5
4
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Dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles é igual a zero.
Portanto, para encontrar o valor de k que torna os vetores e ortogonais,
devemos resolver a seguinte equação: . Substituindo os valores dos
vetores na equação, obtemos: .
Resolvendo essa equação, encontramos que o valor de k que satisfaz a condição
é , que corresponde à alternativa D.
7
Determine o valor de  . Sabe-se que  e é um vetor de
módulo   , paralelo ao vetor ( 1 , 1 , 1) e tem componente z positiva.
A
B
C
D
E
Resposta correta
Gabarito comentado
A resposta correta é: 
→u →v
→u ⋅ →v = 0
3 ∗ (5k + 2) + 4 ∗ 1 − 5 ∗ (7 − k) = 0
5
4
→w = 3→u + 2→v →u(−1, 0, 2) →v
4√3
→w(5, 8, 14)
→w(−11, −8, −2)
→w(4, 4, 4)
→w(−3, 4, 6)
→w(14, 8, 6)
→w(5, 8, 14)
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No contexto da economia, considera-se um mercadofinanceiro onde são realizadas
operações de compra e venda de ativos. Nesse mercado, os valores dos ativos são
representados por vetores e as operações de compra e venda são realizadas através
da adição e multiplicação por um número real k.
 
Com base nessa contextualização, assinale a alternativa correta que corresponde a
uma propriedade mencionada no enunciado:
A
A propriedade associativa na adição se aplica às transações financeiras,
onde a ordem em que as operações de compra e venda são realizadas não
afeta o resultado final.
B
A propriedade comutativa é válida para as oscilações dos valores dos
ativos no mercado financeiro, onde a ordem das variações não altera a
soma total
C
A propriedade existência do elemento neutro na adição está relacionada à
existência de um ativo financeiro que, ao ser adicionado a qualquer outro
ativo, não altera o valor total do investimento
D
A propriedade existência do elemento oposto na adição é observada
quando um investidor compra e vende ações simultaneamente,
compensando os ganhos e perdas e mantendo um saldo neutro
E
A propriedade distributiva por escalar é aplicável às transações financeiras,
onde um investidor multiplica o valor de um ativo por um número real k
para obter o valor correspondente às operações de compra e venda
Resposta correta
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Gabarito comentado
No enunciado, é mencionada a propriedade associativa na adição. No contexto
da economia e do mercado financeiro, essa propriedade se aplica às
transações de compra e venda de ativos, onde a ordem em que as operações
são realizadas não afeta o resultado final. Por exemplo, se um investidor vende
um ativo, compra outro e, em seguida, vende outro ativo, o resultado final será o
mesmo, independentemente da ordem em que as transações ocorreram.
9
Determine o versor do vetor 
A
B
C
D
E
Resposta correta
Gabarito comentado
→u(6, −3, 6)
û( 23 , −
2
3 ,
2
3 )
û(− 23 ,
1
3 , −
2
3 )
û( 23 , −
1
3 ,
2
3 )
û(2, −1, 2)
û(− 16 ,
1
3 , −
1
6 )
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A resposta correta é: 
10
Determine o valor de k real sabendo que os vetores ,    e
 são coplanares.
A 1
B -8
C 7
D -4
E 3
Resposta correta
Gabarito comentado
A resposta correta é: -8
û( 23 , −
1
3 ,
2
3 )
→u(2, −2, 0) →v(k, 0, 2)
→w(2, 2, −1)
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