geometria analitica e algebra linear exercicios

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Determine o versor do vetor →u(6,−3,6)�→(6,−3,6) 
 
 ^u(23,−23,23)�^(23,−23,23) 
 ^u(−23,13,−23)�^(−23,13,−23) 
 ^u(−16,13,−16)�^(−16,13,−16) 
 ^u(2,−1,2)�^(2,−1,2) 
 ^u(23,−13,23)�^(23,−13,23) 
Data Resp.: 03/10/2023 13:35:52
 
Explicação: 
A resposta correta é: ^u(23,−13,23)�^(23,−13,23) 
 
 
 
 
2. 
 
 
No contexto da engenharia elétrica, considera-se um sistema 
de circuitos elétricos. Cada circuito é representado como um 
vetor no espaço vetorial V. Os elementos desse espaço são 
combinações lineares de grandezas elétricas, como correntes 
e tensões. Considerando essa contextualização, assinale a 
alternativa correta: 
 
 
O espaço vetorial V é composto por elementos que podem ser combinados 
linearmente através das operações de adição e multiplicação por um número real. 
 
O espaço vetorial é definido apenas para sistemas mecânicos, não sendo aplicável à 
engenharia elétrica. 
 
Um espaço vetorial é um conjunto vazio de elementos que atendem às operações da 
adição e multiplicação por um número real. 
 
Os elementos de um espaço vetorial podem ser representados apenas por grandezas 
geométricas, excluindo grandezas físicas como correntes e tensões. 
 
As operações de adição e multiplicação por um número real não são aplicáveis em um 
espaço vetorial. 
Data Resp.: 03/10/2023 13:37:06
 
Explicação: 
O enunciado da questão apresenta uma contextualização específica relacionada à 
engenharia elétrica, onde um sistema de circuitos elétricos é representado como um espaço 
vetorial. Nesse contexto, os elementos desse espaço são combinações lineares de 
grandezas elétricas, como correntes e tensões, que atendem às operações de adição e 
multiplicação por um número real. Na engenharia elétrica, é comum utilizar conceitos de 
espaços vetoriais para representar grandezas físicas, como correntes e tensões, em 
sistemas de circuitos elétricos. Essas grandezas podem ser combinadas linearmente por 
meio das operações de adição e multiplicação por um número real, características de um 
espaço vetorial. 
 
 
 
 
3. 
 
 
Determine o valor de k real sabendo que os 
vetores →u(2,−2,0)�→(2,−2,0), →v(k,0,2)�→(
�,0,2) e →w(2,2,−1)�→(2,2,−1) são coplanares. 
 
 
7 
 
-4 
 
3 
 
-8 
 
1 
Data Resp.: 03/10/2023 13:37:57
 
Explicação: 
A resposta correta é: -8 
 
 
 
 
4. 
 
 
Determine o valor da constante k para que os 
vetores →u(3,4,−5)�→(3,4,−5) e →v(5k+2,1,7−k)
�→(5�+2,1,7−�) sejam ortogonais. 
 
 2525 
 
1 
 5454 
 
0 
 1212 
Data Resp.: 03/10/2023 13:37:39
 
Explicação: 
A resposta correta é: 5454 
 
 
 
 
5. 
 
 
Determine o valor 
de →w=3→u+2→v�→=3�→+2�→ . Sabe-se 
que →u(−1,0,2)�→(−1,0,2) e →v�→ é um vetor 
de módulo 4√ 343 , paralelo ao vetor ( 1 , 1 , 1) e tem 
componente z positiva. 
 
 →w(14,8,6)�→(14,8,6) 
 →w(5,8,14)�→(5,8,14) 
 →w(−11,−8,−2)�→(−11,−8,−2) 
 →w(−3,4,6)�→(−3,4,6) 
 →w(4,4,4)�→(4,4,4) 
Data Resp.: 03/10/2023 13:38:27
 
Explicação: 
A resposta correta é: →w(5,8,14)�→(5,8,14) 
 
 
 
 
6. 
 
 
Considere o contexto da engenharia de transportes, onde são 
realizados estudos de tráfego em uma interseção de vias 
urbanas. Para analisar o fluxo de veículos nessa interseção, é 
adotado um sistema de referência baseado em três eixos 
ortogonais: x, y e z. Cada eixo representa uma dimensão 
específica do tráfego, como velocidade, densidade de veículos 
e nível de congestionamento. Nesse contexto, assinale a 
alternativa correta: 
 
 
O sistema de referência adotado na engenharia de transportes utiliza apenas dois 
eixos ortogonais, não sendo necessário o eixo z de cota. 
 
Na interseção de vias, os eixos ortogonais são utilizados para representar as 
diferentes dimensões do tráfego, como velocidade, fluxo de veículos e variação 
temporal. 
 
A direção do eixo y é denominada de cota, representando a elevação em relação ao 
plano horizontal. 
 
A origem do sistema de referência é definida no cruzamento das vias, ponto 0, onde 
ocorre o congestionamento máximo. 
 
Os eixos ortogonais são utilizados apenas para representar coordenadas geográficas, 
não sendo relevantes para a análise de tráfego. 
Data Resp.: 03/10/2023 13:38:47
 
Explicação: 
No enunciado, é apresentado um contexto relacionado à engenharia de transportes, onde um 
sistema de referência baseado em três eixos ortogonais é utilizado para analisar o fluxo de 
veículos em uma interseção de vias urbanas. Nesse contexto, os eixos representam 
diferentes dimensões do tráfego, como velocidade, fluxo de veículos e variação temporal. 
 
 
 
 
7. 
 
 
No contexto da física mecânica, considere o estudo do 
movimento de um objeto lançado em um plano inclinado. 
Nesse cenário, é adotado um sistema de coordenadas 
tridimensional com três eixos: x, y e z. Cada eixo representa 
uma direção específica do movimento do objeto. Com base 
nessa contextualização, assinale a alternativa correta: 
 
 
A representação de um vetor no estudo do movimento de um objeto lançado em um 
plano inclinado não requer o conhecimento de sua projeção nas três direções do 
sistema de coordenadas. 
 
A projeção do vetor nas três direções do sistema de coordenadas é essencial para 
determinar a trajetória e a velocidade do objeto durante o movimento. 
 
A projeção do vetor nas três direções do sistema de coordenadas é irrelevante no 
estudo do movimento de um objeto lançado em um plano inclinado. 
 
O sistema de coordenadas utilizado no estudo do movimento do objeto lançado possui 
apenas dois eixos, não sendo necessária a projeção nas três direções. 
 
A representação de um vetor no estudo do movimento do objeto lançado é realizada 
apenas através de sua magnitude, sem considerar sua projeção nas direções do 
sistema de coordenadas. 
Data Resp.: 03/10/2023 13:39:24
 
Explicação: 
No contexto do estudo do movimento de um objeto lançado em um plano inclinado, o sistema 
de coordenadas tridimensional é utilizado para descrever a trajetória e a velocidade do 
objeto. Nesse contexto, conhecer a projeção do vetor nas três direções representadas pelos 
eixos é essencial para determinar a trajetória e a velocidade do objeto durante o movimento. 
A projeção nos eixos x, y e z permite analisar as componentes do vetor de posição, 
velocidade e aceleração do objeto em cada direção. 
 
 
 
 
8. 
 
 
No contexto da mecânica clássica, consideramos três vetores: 
vetor força (F), vetor posição (r) e vetor momento angular (L). 
Se o produto misto entre esses três vetores for nulo, o que isso 
indica? 
 
 
Os três vetores são ortogonais entre si. 
 
O vetor força é uma combinação linear dos vetores posição e momento angular. 
 
O vetor posição é uma combinação linear dos vetores força e momento angular. 
 
Os três vetores estão no mesmo plano no espaço. 
 
Os três vetores são linearmente independentes. 
Data Resp.: 03/10/2023 13:39:55
 
Explicação: 
O produto misto é uma operação entre três vetores e é representado por [u, v, w]. Se o 
resultado do produto misto for igual a zero, isso significa que os três vetores estão 
coplanares, ou seja, pertencem ao mesmo plano no espaço. 
 
 
 
 
9. 
 
 
Sabe-se que o ângulo entre os 
vetores →u(p,p−4,0)�→(�,�−4,0) e →v(2,0,−2)
�→(2,0,−2) vale 45°. Determine o valor de p real. 
 
 
0 
 
4 
 
1 
 
3 
 
2 
Data Resp.: 03/10/2023 13:40:34
 
Explicação: 
A resposta correta é: 4 
 
 
 
 
10. 
 
No contexto da economia, considera-se um mercado financeiro 
 
onde são realizadas operações de compra e venda de ativos. 
Nesse mercado, os valores dos ativos são representados por 
vetores e as operações de compra e venda são realizadas 
através da adição e multiplicação por um número real k. 
Com base nessa contextualização, assinale a alternativa 
correta que corresponde a uma propriedade mencionada no 
enunciado: 
 
 
A propriedade comutativa é válida para as oscilações dos valores dos ativos no 
mercado financeiro, onde a ordem das variações não altera asoma total. 
 
A propriedade distributiva por escalar é aplicável às transações financeiras, onde um 
investidor multiplica o valor de um ativo por um número real k para obter o valor 
correspondente às operações de compra e venda. 
 
A propriedade existência do elemento neutro na adição está relacionada à existência 
de um ativo financeiro que, ao ser adicionado a qualquer outro ativo, não altera o valor 
total do investimento. 
 
A propriedade associativa na adição se aplica às transações financeiras, onde a 
ordem em que as operações de compra e venda são realizadas não afeta o resultado 
final. 
 
A propriedade existência do elemento oposto na adição é observada quando um 
investidor compra e vende ações simultaneamente, compensando os ganhos e perdas 
e mantendo um saldo neutro. 
Data Resp.: 03/10/2023 13:41:29
 
Explicação: 
No enunciado, é mencionada a propriedade associativa na adição. No contexto da economia 
e do mercado financeiro, essa propriedade se aplica às transações de compra e venda de 
ativos, onde a ordem em que as operações são realizadas não afeta o resultado final. Por 
exemplo, se um investidor vende um ativo, compra outro e, em seguida, vende outro ativo, o 
resultado final será o mesmo, independentemente da ordem em que as transações 
ocorreram.