Nivelamento em Matemática Básica 3

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Nivelamento em Matemática Básica
Operações com números reais e intervalos numéricos
Apresentação
Na matemática, definimos conjunto como uma coleção de objetos quaisquer, o que torna essa noção fundamental, pois, a partir dela, podemos expressar diversas teorias e conceitos matemáticos.
Muitas teorias dentro da matemática são desenvolvidas considerando como universo o conjunto dos números reais ou seus subconjuntos, de modo que é muito importante conhecer suas formas de representação. Quando trabalhamos com números naturais ou inteiros, os seus subconjuntos podem ser enumerados. No entanto, com números reais, os subconjuntos são descritos em uma representação denominada intervalos.
Nesta Unidade de Aprendizagem, abordaremos as operações com números reais e intervalos numéricos por meio de sua definição, suas representações e exemplos.
Bons estudos.
Desafio
Em situações aplicadas, é comum lidarmos com problemas numéricos. Quando isso ocorre, é fundamental identificarmos qual é o contexto do problema para que, após a resolução, saibamos se a resposta encontrada está inserida no intervalo de definição do problema.
No caso de situações envolvendo questões financeiras, estamos lidando com um subconjunto dos números reais. Assim, todas as propriedades e operações com números reais são válidas nesse contexto.
Imagine que você trabalha no Recursos Humanos (RH) de uma indústria farmacêutica que dispõe de 10 representantes comerciais e, como deseja ampliar sua participação no mercado, definiu que precisa contratar mais colaboradores para fortalecer sua equipe de vendas.
O departamento financeiro da empresa informou que o orçamento mensal máximo para pagamento dos salários e encargos de representantes é de R$ 33.000,00.
Sabendo que o salário líquido de um representante comercial é calculado a partir do salário bruto (que consiste no salário-base mais a comissão) menos o custo de INSS devido pelo empregado e que, sobre o salário bruto, incidem impostos devidos pela empresa, considere as seguintes informações:
Salário-base = R$ 800,00
Comissão = R$ 1.000,00
INSS (parte do empregado) = 8%
INSS (parte do empregador) = 20%
FGTS = 8%
Como gestor da indústria farmacêutica, calcule o custo mensal com cada representante comercial e o custo atual com os representantes. Em seguida, decida se será possível contratar mais e, se sim, quantos representantes poderão ser contratados a partir do orçamento financeiro disponível.
Escreva sua resposta no campo abaixo:
Cálculo para o salário líquido de cada representante comercial:
a) Salário bruto: salário-base (R$ 800,00) + comissão (R$ 1.000,00) = R$ 1.800,00.
b) Desconto: R$ 1.800,00 x 8% (INSS) = R$ 144,00.
c) Salário líquido: R$ 1.800,00 - R$ 144,00 = R$ 1.656,00.
Cálculo para o custo mensal com cada representante comercial:
a) Salário bruto: salário-base (R$ 800,00) + comissão (R$ 1.000,00) = R$ 1.800,00.
b) Encargos: R$ 1.800,00 x 20% (INSS) + R$ 1.800,00 x 8% (FGTS) = R$ 504,00.
c) Custo unitário: R$ 1.656,00 (salário líquido) + R$ 504,00 (encargos) = R$ 2.160,00.
Cálculo do custo atual com os 10 representantes comerciais:
10 x R$ 2.160,00 (custo unitário) = R$ 21.600,00
Como o gestor dispõe de um orçamento mensal de R$ 33.000,00 para pagamento de salários e encargos com os representantes comerciais e a estrutura atual consome R$ 21.600,00, é possível contratar mais colaboradores, conforme segue:
a) Orçamento à disposição para novos representantes: R$ 33.000,00 - R$ 21.600,00 = R$ 11.400,00.
b) Como cada representante custa R$ 2.160,00 para a empresa, temos R$ 11.400,00 divididos por R$ 2.160,00 = 5,3.
​ Infográfico
Os intervalos são representações de subconjuntos de números reais. Eles podem ser abertos ou fechados, com extremidades numéricas ou no infinito.
O Infográfico apresenta exemplos de subconjuntos dos números reais, representados de três formas: na reta numérica, por intervalos numéricos e usando a notação de conjuntos. 
Exercícios
1. Os subconjuntos dos números reais podem ser representados por meio de intervalos. Após essa representação, é possível realizar operações com esses intervalos, como, por exemplo, a união e a interseção.
Considere os conjuntos expressos por intervalos numéricos: A = ]1, 5[ e B = [3,7]. Determine o conjunto A U B.
A. A U B = ]1,7].
B. A U B = [1,7].
C. A U B = ]1,7] e x ≠ 5.
D. A U B = ]5,7].
E. A U B = [3,5[.
Você acertou!
A. A U B = ]1,7].
A união do conjunto A com B será com intervalo aberto em 1 e intervalo fechado em 7: A U B = ]1,7]. Note que, mesmo o número 5 não pertencendo a A, pois é intervalo aberto, ele pertence ao conjunto da união de A e B, pois está no intervalo de B.
2. Na matemática, é preciso estar atento às notações, para que possa interpretar corretamente um problema. Os símbolos <, >, ³, £ e ¹ são utilizados para representar desigualdades e são lidos, respectivamente como: menor, maior, maior ou igual, menor ou igual, e diferente.
Nesse contexto, marque a opção que apresenta uma desigualdade representada corretamente.
A. 4 > 5.
B. 9 < 5.
C. 3 está à direita de 6 na reta real.
D. 3 está́ à esquerda de 8 na reta real.
E. 8 está́ à esquerda de 3 na reta real.
Você acertou!
D. 3 está́ à esquerda de 8 na reta real.
O sinal > representa maior que, e, como 4 é menor que 5, devemos representar 4 < 5.
O sinal < representa menor que, e, como 9 é maior que 5, devemos representar 9 > 5.
O número estar à direita de outro significa que é maior que ele e, como 3 < 6 (menor), logo 3 está à esquerda de 6.
O número estar à esquerda de outro significa que é menor que ele e, como 3 < 8 (menor), logo 3 está à esquerda de 8.
O número estar à esquerda de outro significa que é menor que ele e, como 3 < 8 (menor), logo 8 está à direita de 3.
3. Os intervalos numéricos são subconjuntos dos números reais e podem ser representados na reta numérica por conjuntos ou por meio da notação específica de intervalos. Considere o intervalo real:
Selecione a representação correta do conjunto T na reta real.
A. 
B. 
C. 
D. 
E. 
Você acertou!
E. 
4. Em operações com números reais (R), a prioridade continua sendo da expressão que está entre parênteses; após, da que está entre colchetes; por fim, daquela expressão que se encontra dentro das chaves. Segue, também, a ordem prioritária de operações — primeiramente, a multiplicação e a divisão e, depois, a adição e a subtração. Com base no exposto, marque a alternativa que apresenta a solução correta da operação: (-2)(+4) (3 -1)2 + 11:
A. 43.
B. -21.
C. 120.
D. -120.
E. -43.
Você acertou!
B. -21.
Desenvolvendo a equação a partir dos passos das operações com números reais, tem-se que:
1. Resolver o parêntese: (-2)(+4) (3 -1)2 + 11 = (-2)(+4) (2)2 + 11
2. Resolver a potência: (-2)(+4) (2)2 + 11 = (-2)(+4) (4) + 11
3. Multiplicar os termos: (-2)(+4) (4) + 11 = (-32) + 11
4. Somar os termos: (-32) + 11 = -21
​​​​​​​Resposta: -21
5. Em operações com números reais (R), a prioridade continua sendo da expressão que está entre parênteses; após, da que está entre colchetes; por fim, daquela expressão que se encontra dentro das chaves. Segue, também, a ordem prioritária de operações — primeiramente, a multiplicação e a divisão e, depois, a adição e a subtração. Com base no exposto, marque a alternativa que apresenta a solução correta da expressão numérica (– 4 + 3)2 ÷ 1/5 - 2.
A. -0,56.
B. -7.
C. 0,56.
D. -3.
E. 3.
Você acertou!
E. 3.
A solução correta, considerando os passos das operações com números reais, é:
1. Resolver o parêntese: (– 4 + 3)2 ÷ 1/5 - 2= (-1)2 ÷ 1/5 - 2
2. Resolver a potência: (-1)2 ÷ 1/5 - 2 = 1 ÷ 1/5 - 2
3. Dividir os termos: 1 ÷ 1/5 - 2 = 5 - 2
4. Subtrair os termos: 5 - 2 = 3
Resposta: 3
Na prática
Situações do nosso dia a dia podem ser bem representadas por meio de conjuntos numéricos, como, por exemplo, os números reais. Conhecer as operações com números reais pode nos ajudar na tomada de decisões, como vemos na situação a seguir.
Veja Na Prática, um exemplo.
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