11 - Derivada e Reta Tangente

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Derivada e Reta Tangente
AUTORIA
Pedro Henrique Martinez
Finalmente chegamos a uma das partes mais importantes do cálculo. Nesta aula,
basicamente, aplicaremos o que conhecemos de limite para extrair informações das
funções que não conseguiríamos sem a noção de limite.
Para entendermos como a derivada funciona usaremos um grá�co de uma função
f(x).
O grá�co da função f(x) está representado na Figura 17. O primeiro passo agora é
traçar uma reta secante onde quisermos. Lembrando que uma reta secante
basicamente é uma reta que vai cruzar dois pontos quaisquer de nosso grá�co. Para
�car mais fácil de entender o raciocínio traçaremos a reta secante como indica a
Figura 18.
Vale lembrar que poderíamos escolher outros dois pontos quaisquer. O que
queremos aqui é estudar o que acontece à medida que aproximamos o segundo
ponto que está no par ordenado (1,1) do primeiro ponto, que está no par ordenado
(0,0). Para exempli�car o que acontece, a Figura 19 apresenta retas secantes com o
segundo par ordenado se aproximando do primeiro.
Figura 17: Grá�co de f(x) = x²
Fonte: o autor.
f (x) = x2
Figura 18: Grá�co de f(x) com reta secante nos pares ordenados (0,0) e (1,1)
Fonte: o autor.
Figura 19: Retas secantes com os pares ordenados se aproximando, sendo a verde
a mais próxima
Fonte: o autor.
Na Figura 19, temos a aproximação dos pares ordenados. Percebam que existe uma
tendência a cada vez que aproximamos os pares ordenados. Que tal agora
aproximarmos o máximo que der mantendo os pares ordenados diferentes.
Chegaremos ao desenho da Figura 20.
Na Figura 20, percebemos que os pontos estão tão próximos, tão próximos, que
praticamente estamos em cima de um ponto só (0,0). Quando isso acontece, a reta
que era secante agora é uma reta tangente ao ponto (0,0).
Agora, partiremos para a formulação do que foi dito. Primeiro, estabeleceremos dois
pares ordenados. O primeiro em um ponto (x,f(x)), ou seja, dada uma função f(x)
qualquer existirá uma resposta para cada x escolhido. O segundo ponto vamos
escrever em função do primeiro ponto. Portanto, �caremos com o segundo ponto
escrito da seguinte forma: (x+Δx,f(x+ Δx)).
Na Figura 21, temos uma representação genérica destes dois pontos. Dado que a
fórmula da tangente é a divisão do cateto oposto pelo cateto adjacente, �camos
com a seguinte fórmula:
Figura 20: Grá�co de f(x) com reta tangente no par ordenado (0,0)
Fonte: o autor.
tangente =
f (x + Δx) − f (x)
Δx
Figura 21: Pares ordenados (x, f(x)) e (x + Δx, f(x + Δx))
Fonte: o autor.
Na Figura 22, temos a representação da fórmula apresentada. Agora já temos a
fórmula da tangente escrita em função dos pares ordenados e já temos a
representação grá�ca do problema.
Figura 22: Representação do triângulo formado pelos pares ordenados e seus
respectivos valores em verde
Fonte: o autor.
Só nos falta um detalhe: queremos que os dois pontos se aproximem o máximo
possível sem se coincidirem. Para isso aplicaremos o seguinte limite:
Portanto, a famosa derivada é dada pela fórmula acima que podemos representar
da seguinte maneira:
Lemos a expressão acima da seguinte maneira: “a derivada da função f(x) é dado
pelo limite da função [f(x+ Δx) -f(x)]/Δx quando Δx tende a zero”.
Existe outra forma de escrevermos a mesma coisa.
Neste caso,  Δy = f(x+ Δx)-f(x).
No �nal, temos a mesma coisa escrita de forma diferente. Veremos mais para frente
durante o curso, que a segunda maneira de escrever a derivada será muito útil em
inúmeros casos.
lim
Δx→0
[ ]
f (x + Δx) − f (x)
Δx
f ′ (x) = lim
Δx→0
[ ]
f (x + Δx) − f (x)
Δx
= lim
Δx→0
[ ]dy
dx
Δy
Δx
Exercícios
a) Ache a derivada das seguintes funções
Resposta:          
Para fazer, basta aplicar o conceito de limite.          
Vamos primeiro trabalhar com as substituições necessárias.
f (x) = x2 − 3
f (x) = x2 + x − 3
f ′ (x) = lim
Δx→0
[ ]
f (x + Δx) − f (x)
Δx
Resposta da segunda derivada:          
Para fazer, basta aplicar o conceito de limite. Vamos usar a outra forma:        
Vamos primeiro trabalhar com as substituições necessárias.
[(x + Δx)2 − 3] − (x2 − 3)
Δx
x2 + 2xΔx + Δx2 − 3 − x2 + 3
Δx
2xΔx + Δx2
Δx
2xΔx + Δx2
Δx
f ′ (x) = lim
Δx→0
[2x + Δx]
f ′ (x) = 2x
= lim
Δx→0
[ ]
dy
dx
f (x + Δx) − f (x)
Δx
[(x + Δx)2 + (x + Δx) − 3] − (x2 + x − 3)
Δx
x2 + 2xΔx + Δx2 + x + Δx − 3 − x2 − x + 3
Δx
2xΔx + Δx2 + Δx
Δx
2x + Δx + 1
= lim
Δx→0
[2x + Δx + 1]
dy
dx
= 2x + 1
dy
dx
CONECTE-SE
No link abaixo, você encontrará mais explicações a respeito da derivada.
NA PRÁTICA
Na aula 16, será apresentado um problema utilizando as derivadas. Logo
chegaremos lá.
https://go.eadstock.com.br/bme
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