TAXAS DE VARIAÇÃO curso de matematica

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TAXAS DE VARIAÇÃO - DIRETAMENTE PROPORCIONAIS
As funções afins guardam um segredo interessante. Se observarmos seu comportamento, ele se mantém inalterado porque o gráfico é uma reta. E ainda que não pudéssemos ver os gráficos dessas funções, conseguiríamos - por meio de cálculos simples - “enxergá-lo”.
· Vamos olhar a função linear f(x)=axf(x)=ax
Quando xx varia de uma unidade, a partir de qualquer ponto, o valor correspondente de yy varia sempre de aa unidades.
· Vejamos isso com a função y=2xy=2x
Como o número 2 da função é uma “constante”, podemos afirmar que yy é diretamente proporcional a xx. Isso significa dizer que yy e xx têm taxas de variações diretamente proporcionais.
Vamos entender o que seria essa taxa de variação diretamente proporcional entre xx e yy?
Observe o gráfico:
· quando xx varia de 0 para 1, a sua imagem (yy) varia de 0 para 2.
· quando xx varia de 1 para 2, a sua imagem varia de 2 para 4 .
· quando xx varia de 2 para 3, a sua imagem varia de 4 para 6 .
· quando xx varia de 0 para 3, a sua imagem varia de 0 para 6 .
· quando xx varia de 1 para 3, a sua imagem varia de 2 para 6 .
Essa taxa de variação pode ser vista, também, como a diferença entre o valor final e o valor inicial de yy e de xx . Vamos observar os mesmos intervalos colocados acima.
Variação = yfinal−yinicialxfinal−xinicialyfinal−yinicialxfinal−xinicial
· 1ª variação:
2−01−0=21=22−01−0=21=2
· 2ª variação:
4−22−1=21=24−22−1=21=2
· 3ª variação:
6−43−2=21=26−43−2=21=2
· 4ª variação:
6−03−0=63=26−03−0=63=2
· 5ª variação:
6−23−1=42=26−23−1=42=2
Você viu que todas as taxas de variação nos intervalos considerados são iguais? Mas será que isso sempre acontece?
Vamos analisar o gráfico de mais uma função para tentar entender, dessa vez de g(x)=−2xg(x)=−2x
Veja que:
· quando xx varia de 0 para 1, a sua imagem (yy), varia de 0 para -2.
· quando xx varia de 1 para 2, a sua imagem varia de -2 para -4.
· quando xx varia de 0 para -1, a sua imagem y, varia de 0 para 2.
· quando xx varia de -1 para -2, a sua imagem varia de 2 para 4.
· quando xx varia de -2 para -3, a sua imagem varia de 4 para 6.
Temos:
· 1ª variação:
−2−01−0=−21=−2−2−01−0=−21=−2
· 2ª variação:
−4−(−2)2−1=−4+21=−4−(−2)2−1=−4+21= −21=−2−21=−2
· 3ª variação:
2−0−1−0=2−1=−22−0−1−0=2−1=−2
· 4ª variação:
4−2−2−(−1)=2−2+14−2−2−(−1)=2−2+1 =2−1=−2=2−1=−2
· 5ª variação:
6−4−3−(−2)=2−3+26−4−3−(−2)=2−3+2 =2−1=−2=2−1=−2
Novamente, as taxas de variação por intervalos considerados são iguais.
E com relação às funções afins? Será que as taxas de variação por intervalos considerados - também - seriam iguais? Qual é o seu palpite?
Vejamos a função f(x)=4x−1f(x)=4x−1
Mais uma vez, analisaremos o gráfico!
· quando xx varia de 0 para 1, a sua imagem (yy), varia de -1 para 3 (lembre-se que quando x=0,y=−1x=0,y=−1).
· quando xx varia de 1 para 2, a sua imagem varia de 3 para 7.
Representando as variações (a diferença entre o valor final menos o valor inicial de yy e de xx), observamos os intervalos:
· 1ª variação:
3−(−1)1−0=3+11=41=43−(−1)1−0=3+11=41=4
· 2ª variação:
7−32−1=41=47−32−1=41=4
Será que a taxa de variação se mantém quando xx e yy são negativos?
· quando xx varia de 0 para -1, a sua imagem y, varia de -1 para -5.
· quando xx varia de -1 para -2, a sua imagem varia de -5 para -9.
· 1ª variação:
−5−(−1)−1−0=−5+1−1=−4−1=4−5−(−1)−1−0=−5+1−1=−4−1=4
· 2ª variação:
−9−(−5)−2−(−1)=−9+5−2+1=−4−1=4−9−(−5)−2−(−1)=−9+5−2+1=−4−1=4
Novamente percebemos (pelo gráfico e pelas contas) que as taxas de variação por intervalo considerado se mantiveram constantes. As taxas de variações são iguais em funções afim.
E o quê isso tudo significa? Que podemos dizer que aa (de uma função do tipo f(x)=ax+bf(x)=ax+b) é a taxa de variação de yy em relação a xx e que ele representa a variação constante de yy por unidade a mais de xx nas funções de 1º grau. O aa é também conhecido como derivada.
A derivada me dá, nas funções de 1º de grau, o valor dessa variação. Mas, ela me dá - também - a tangente do ângulo que o gráfico faz com o eixo OxOx. Foi exatamente isso que calculamos quando analisamos as variações entre os pontos yy e os pontos xx do gráfico. Esse valor corresponde ao valor da tangente do ângulo formado pela reta com o eixo OxOx, por isso é fácil a gente descobrir que ângulo é esse.
E, pelo valor da tangente, a gente consegue descobrir esse ângulo. Não é fantástica a quantidade de informações que obtemos por meio do gráfico e da lei de formação de uma função?
Lembre-se que a tangente de um ângulo é dada pelo quociente entre o cateto oposto (c.oc.o) a esse ângulo e o cateto adjacente (c.ac.a) a esse ângulo. Dessa forma, em y=2xy=2x:
Nessa reta, o ângulo que a reta y=2xy=2x faz com o eixo xx, foi nomeado como αα. A tangente de será:
tgα=catetoopostoaαcatetoadjacenteaαtgα=catetoopostoaαcatetoadjacenteaα
Observe ainda, que:
· o cateto oposto é a diferença entre o valor final de yy(resultado do valor de f(x)f(x) para xx final) e o valor inicial de yy (resultado do valor de f(x)f(x) para xx inicial). logo, o cateto oposto é 2−1=12−1=1;
· o cateto adjacente é a diferença entre x final e xx inicial (os mesmos referentes ao cateto oposto de ). Logo, o cateto adjacente é 1−0=11−0=1.
Portanto,
tgα=catetoopostoaαcatetoadjacenteaαtgα=catetoopostoaαcatetoadjacenteaα =2−11−0=21=2=2−11−0=21=2
Como você já deve ter percebido, a tangente é igual a taxa de variação. Ou seja, a tangente não muda, pois a taxa de variação não muda (se ainda tiver dúvida, verifique o gráfico da função f(x)=4x−1f(x)=4x−1).
Observação: o conteúdo relacionado à triângulos retângulos é muito importante para esse curso! Caso você tenha dificuldade ou nem se lembre, procure alguns materiais didáticos que possam te auxiliar.
É tudo muito lógico! Se o gráfico da função é uma reta, sua inclinação não varia. Se a função é linear, com a≠0a≠0, crescente ou decrescente - as variações que ocorrem - são sempre proporcionais. Não haverá - em nenhum “lugar” do domínio da função - um intervalo em que essa variação se modifique.
A consequência disso é que, nas funções de 1º grau, a derivada (o “aa”) é sempre um número. Mas, falaremos da derivada mais à frente.
Para fecharmos nosso estudo de funções do 1º grau, vamos apresentar outro tipo de função - a função constante. Você já sabe o que é uma constante, né? Então, como seria essa função?
Uma função constante é do tipo f(x)=bf(x)=b, com b∈Rb∈R , por exemplo:
· y=4y=4 (que é o mesmo que f(x)=4f(x)=4), y=10y=10 (que é o mesmo que f(x)=10f(x)=10), y=−1y=−1 (que é o mesmo que f(x)=−1f(x)=−1), etc.
É fácil imaginar o gráfico dessas funções, não é mesmo? O “nome” dela já diz tudo. Independentemente do valor de xx que tomarmos, o valor de yy será sempre constante e igual.
Vamos ver o gráfico da função y=−1y=−1? Independente do valor de xx, yy sempre será igual a −1−1. Dessa forma, temos uma reta paralela ao eixo xx, ou seja, uma reta horizontal que corta o eixo OyOy em y=−1y=−1.
E qual seria o valor da derivada nesse caso? Para responder, observe o gráfico. Há algum ângulo formado entre o gráfico (reta azul y=−1y=−1) e o eixo OxOx? Não, né? (Olhe o gráfico novamente). Se não há inclinação é porque ela é zero! E, consequentemente, a derivada e a tangente são iguais a zero.
E se você encontrasse uma expressão do tipo x=2x=2? Ela representa uma função? Como é o seu gráfico?
Para terminar essa parte, pense na seguinte questão: O que acontece com as variações de yy e de xx quando uma função não é de 1º grau? Será que ela também seria constante? Vamos ver?
Na primeira parte dos nossos estudos, você aprendeu (ou revisou) o que era uma função afim. Entendeu conceitos importantes como: lei de formação, domínio, imagem, contradomínio, coeficiente angular (taxa de variação), coeficiente linear, função crescente, função decrescente, derivada, tangente. Também viu os diferentes tipos de funções de 1º grau.
De tudo que vimos, um dos pontos mais importantes, foi o fato de que - nas funções afins (que não sejam constantes) - a variação entre yy e xx ocorre de maneira proporcional (nas funções lineares nãonulas). Em outras palavras, se a função é crescente, ela cresce de maneira proporcional, se ela é decrescente - ela decresce também de maneira proporcional.
E VAMOS PARA AS CURVAS?
TAXAS DE VARIAÇÃO - NÃO CONSTANTES
Normalmente, a primeira função que estudamos depois das funções afins (de 1º grau) - são as funções quadráticas:
· f(x)=x2f(x)=x2
Vamos observar o gráfico dessa função? Você se lembra dela?
Como o yy varia em função de xx, nesse caso? Você tem uma ideia? Imagine os pontos do eixo OxOx e do eixo OyOy que pertencem ao gráfico da função.
E se te perguntassem se a função é crescente ou decrescente? O que você responderia? Se a derivada indica a taxa de variação de yy em relação a xx, teria como calcularmos isso em gráficos que não são retas? De que maneira?
Vamos começar, usando o que já sabemos. Pegamos um intervalo do domínio dessa função e calculamos a taxa de variação nesse intervalo considerado. Observe o gráfico.
Vamos pensar juntos?
Os pontos escolhidos para o intervalo foram x=1x=1 e x=2x=2. Pelo gráfico (ou pela lei de formação da função), eu já sei quais são as imagens correspondentes a esses pontos:
· Para x=1,f(1)=12=1x=1,f(1)=12=1
· Para x=2,f(2)=22=4x=2,f(2)=22=4
Se nós não estivéssemos vendo o gráfico, bastaria substituir o valor de xx na função que chegaríamos aos mesmos resultados.
Calculando a taxa de variação nesse intervalo, teríamos:
4−12−1=31=34−12−1=31=3
Mas, o que esse 3 representa? A tangente do ângulo que a reta faz com o eixo OxOx, né?. Mas, essa inclinação indica, de fato, a variação de yy por xx, por todo o intervalo considerado?
Vamos escolher outro intervalo para estudar essa variação?
Agora tomemos x=0x=0 e x=2x=2, teríamos como imagens: f(0)=0f(0)=0 e f(2)=4f(2)=4.
Calculando a taxa de variação nesse intervalo:
4−02−0=42=24−02−0=42=2
Já percebemos que, em intervalos diferentes, a variação não se manteve igual. Ou seja, no caso dessa função, a taxa de variação de yy, pela correspondente taxa de variação em xx, não é diretamente proporcional (como nas funções lineares).
Se mudamos os intervalos, a variação também muda. Estamos calculando, na verdade, uma taxa de variação média, pois estamos considerando todo o intervalo de uma vez. O que estamos fazendo? Vamos observar os dois gráficos novamente?
Já vimos, por meio das contas, que os ângulos que as duas retas formam com o eixo OxOx são diferentes. O que significa que o valor das tangentes deles, também serão diferentes. Será que se tentássemos com outros intervalos do domínio, acharíamos outros ângulos? A resposta é sim. E o que isso significa?
Significa que a taxa de variação de yy com a correspondente taxa de variação em xx, nesse intervalo indicado pela reta laranja, é menor do que a variação no intervalo indicado pela reta verde. Uma outra forma de dizer isso seria: no intervalo considerado pela reta laranja, a função cresce de maneira mais lenta do que no intervalo considerando a reta verde. Vamos ver isso mais ampliado?
Ficou mais fácil para compreender o que representaria o 33 o e o 11 encontrados nos cálculos anteriormente?
E aqui, um problema se coloca: se a taxa de variação média nos dá - como o próprio nome indica - a média do valor da variação no intervalo considerado, significa que ela será diferente para cada intervalo que considerarmos. Mas, não queremos saber o que acontece com as funções em intervalos quaisquer, o importante é saber o que acontece em um determinado ponto do intervalo! E por quê?
Quando avançarmos nos nossos estudos, você verá que há funções com comportamentos incríveis! Com variações de todos os tipos. Há, inclusive, funções que - em um ponto específico do seu domínio - se comportam de maneira totalmente inesperada. Por isso, é fundamental termos um mecanismo para descobrirmos esses casos: "o que acontece com o comportamento da função em um ponto específico?". A ferramenta que nos dará essa informação será a derivada.
Mas de que maneira? Como poderemos avançar das taxas de variação média para as taxas de variação em determinados pontos?
Para resolver essa questão, os matemáticos foram muito espertos e se utilizaram de um artifício que vamos te mostrar. A ideia principal é o de aproximar uma curva por meio de uma reta. A reta nos ajudaria a “ver” o comportamento da curva (se ela cresce mais rapidamente ou decresce) em determinado ponto do seu domínio ou próximo ao ponto qualquer. É como se perguntássemos: “como é que o gráfico da função está se comportando nesse ponto? E naquele outro? Daquele intervalo para esse o que aconteceu?”
A taxa média nos dá uma ideia, mas ainda meio grosseira dessa variação (entre yy e xx) porque dependendo do intervalo que considerarmos, poderemos ter interpretações bem distintas referentes à mesma função.
Vamos te dar dois exemplos para você entender esse artifício e, mais adiante, formalizaremos o conceito de derivada voltando a parábola. Vamos lá?
Exemplo 1
Você já ouviu falar do PIB?
O PIB brasileiro é calculado e divulgado pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE). Os dados são divulgados a cada trimestre e o último resultado mostra um valor de R$ 1,641 trilhão revelando um crescimento de 0,6% em relação ao segundo trimestre
Agora, dá uma olhada no gráfico que representa esse crescimento.
· Só analisando o gráfico, podemos identificar quando o PIB diminuiu (decresceu) ou quando ele aumentou (cresceu). Por exemplo, entre os anos de 2007 e 2009 ele só diminuiu. A partir de 2009 ele volta a crescer até 2010 quando começa a cair novamente.
· Podemos ver também em que “locais” o crescimento ou decrescimento foi mais acentuado ou mais suave. Entre 2011 e 2012 - por exemplo - houve um decrescimento bem acentuado se comparado com o que aconteceu entre os anos de 2007 e 2008. O crescimento entre 2009 e 2010 foi vertiginoso - se comparado ao crescimento entre 2012 e 2013.
Esse exemplo foi fácil, já tínhamos “semi-retas” compondo o gráfico. Mas, se no lugar dele tivéssemos uma curva? Como analisaríamos essas regiões de crescimento e decrescimento?
Vamos ver? Para te animar nos estudos vamos trazer um exemplo especial.
Exemplo 2
Você sabe quem foi Ayrton Senna?
Saiba mais sobre Ayrton Senna
Mas, por que estamos falando do Ayrton? Para conversarmos sobre uma das curva de Interlagos que tem um S - de Senna. O S do autódromo é “quase” como esse gráfico abaixo.
· A função é dada por y=x1+x2y=x1+x2
Como bom piloto que ele era, Ayrton tinha que controlar a velocidade do carro nessas curvas. A taxa de variação da velocidade pela taxa de variação do tempo é a aceleração. E nisso, ele era excelente. Olhando o comportamento do gráfico, podemos dizer que ele decresce de maneira suave até mais ou menos x=−1x=−1 , depois começa a crescer até mais ou menos x=1 e torna a decrescer a partir daí - mas qual seria essa “velocidade de crescimento”? Se observarmos o comportamento de uma reta tangente a essa curva em alguns pontos do seu domínio, teríamos a imagem abaixo.
Se você prestar atenção ao ângulo que a reta tangente à curva faz com o eixo Ox, verá que ele indica essas variações.
Se fôssemos olhar a taxa de variação média da velocidade pela a taxa de variação média do tempo por intervalos, teríamos algo assim:
Olhando as três situações apresentadas, se você comparar os três intervalos considerados em cada uma das situações, você saberia dizer onde a velocidade teria aumentado, onde teria diminuído? Sim, né? Mas, ainda sem muita precisão.
Lembra do gráfico do PIB? Ele era mais fácil para vermos essas variações do que esse do Senna, não é mesmo?
A saída matemática aqui, para o gráfico do Senna - e para outras funções, seria aproximar - o máximo possível - a curva por meio de segmentos de reta. Afinal, com retas fica mais fácil analisarmos inclinações. E de que maneira isso seria feito?
No gráfico acima você vê alguns segmentos - representados em verde. O que você acha que aconteceria à medida que fôssemos diminuindo o tamanho desses segmentos? Vamos ver?
Se diminuímos os tamanhos dos segmentos, mais próximos da curva conseguimoschegar. Esse é o passo fundamental para entendermos a derivada de uma função porque ela nos “contará” o comportamento da função em qualquer ponto do seu domínio.
EXPLICANDO DE OUTRA MANEIRA
Uma variação em xx leva a uma variação em yy. Sendo assim, quando saímos de x0x0 para x0+hx0+h, a imagem varia de f(x0)f(x0) para f(x0+h)f(x0+h). O nome “chique” desse hh é “incremento” (são sinônimos desse termo: aumento, acréscimo).
E por que esse nome?
É porque o “novo ponto” é o x0x0 aumentado de “h”“h”. Observe o gráfico abaixo: vamos definir quais são os pontos P e Q?
· O ponto PP tem coordenadas P(x0,f(x0))P(x0,f(x0)) e o ponto QQ tem coordenadas Q(x0+hQ(x0+h, f(x0+h))f(x0+h)).
Vamos fazer o mesmo raciocínio com uma função da qual conheçamos a lei de formação?
Vejamos a função:
· f(x)=x2+1f(x)=x2+1
Visualmente percebemos a mudança na taxa de variação de yy em relação a xx ao longo da curva. Mas, nosso objetivo é definir um maneira para encontrarmos a taxa de variação em cada ponto da curva. Inspirados pela discussão sobre as inclinações de segmentos e retas, somos levados a esses cálculos com a utilização das inclinações médias. Nas figuras abaixo, veremos a relação entre a taxa de variação em um ponto e a taxa de variação (média) da reta tangente.
· Vamos escolher P(1,f(1))P(1,f(1)) e Q(1+h,f(1+h)).Q(1+h,f(1+h)).
Vamos definir as coordenadas dos pontos A e B?
Note que A está sobre o eixo xx, ou seja, ele é da forma (0,f(0))(0,f(0)).
· f(0)=(0)2+1=0+1=1f(0)=(0)2+1=0+1=1
Logo, as coordenadas do ponto A, são A=(0,1)A=(0,1). Já o ponto B é da forma (1,f(1))(1,f(1)):
· f(1)=(1)2+1=1+1=2f(1)=(1)2+1=1+1=2
Dessa forma, as coordenadas do ponto B, são B=(1,2)B=(1,2).
Agora preste bastante atenção nos passos seguintes, eles são decisivos para você entender como chegamos na derivada de funções que não são de 1º grau. Os pontos A e B pertencem tanto à reta quanto à curva.
Nesse caso a inclinação média é dada por:
· Se fôssemos calcular, como calculamos para uma função de 1º grau, faríamos o cálculo da tangente do ângulo formado por FÂB, ou seja, cateto oposto à FÂB dividido pelo cateto adjacente (BF¯¯¯¯¯¯¯¯FA¯¯¯¯¯¯¯¯BF¯FA¯).
E como seria? A(0,1) e B(1,2)
· tgFÂB=ΔyΔx=y2−y1x2−x1tgFÂB=ΔyΔx=y2−y1x2−x1 =2−11−0=1=2−11−0=1
Mas, já sabemos que essa variação não expressa o que acontece em cada ponto do intervalo considerado. E o quê os matemáticos fizeram?
Eles pensaram assim: "E se diminuíssemos a distância entre o ponto B e A descendo pela curva?" A reta secante mudaria de posição. Quanto mais o ponto B se aproximar do ponto A, a reta secante vai ficando cada vez mais próxima de se transformar em uma reta tangente em um único ponto da curva (que é o nosso objetivo, lembra?).
O que queremos é aproximar curvas, por meio de retas. Você consegue entender essa ideia de aproximar curvas por retas (tangentes)? Caso tenha dúvidas, leia o conteúdo abaixo.
COMO FUNCIONA A IDÉIA DE APROXIMAR CURVAS
POR MEIO DE RETAS (TANGENTES)?
y=x2+1y=x2+1x=0⟹y=02+1=0+1=1x=0⟹y=02+1=0+1=1A=(0,1)A=(0,1)
x=1x=1x=2x=2
x=1x=1y=2y=2x=2x=2y=5y=5
A=(0,1)A=(0,1)D=(1,2)D=(1,2)
As retas tangentes à curva nos ajudam a entender o comportamento de gráficos que não são retas por meio de retas tangentes a essa curva, em determinados pontos do seu domínio. Dependendo da função, podemos “apoiar” uma reta tangente a curva em todos os pontos do seu domínio, ou seja, por toda a curva. Não é maravilhoso?
Você não esqueceu do “h”“h” não, né? Se olhamos para o ponto A(0,1)A(0,1), sabemos que o hh vale 1. E por quê? Porque é o tanto que "eu caminho” no eixo OxOx para chegar no ponto B(1,2)B(1,2).
Vamos, por alguns momentos, fazermos de conta que não sabemos esse valor de hh? (como fizemos no gráfico abaixo.)
Como ficaria a variação, nessas condições, considerando a função f(x)=x2+1f(x)=x2+1? Quem seria f(x+h)f(x+h)? Vamos substituir na função?
· f(x1)=x21+1f(x1)=x12+1
· f(x1+h)=(x1+h)2+1f(x1+h)=(x1+h)2+1
    =(x21+2⋅x1⋅h+h2)+1=(x12+2⋅x1⋅h+h2)+1
    =x21+2x1h+h2+1=x12+2x1h+h2+1
Vamos agora calcular a variação ΔyΔxΔyΔx? Para ficar mais clara a substituição que realizaremos, vamos chamar o primeiro xx de x1x1 e o nosso segundo xx (aquele com o incremento) de x2x2 , ou seja, x2=x1+hx2=x1+h
Então, teríamos:
f(x1)=x21+1f(x1)=x12+1
e
f(x2)=x21+2x1h+h2+1f(x2)=x12+2x1h+h2+1
Substituindo na variação:
ΔyΔx=y2−y1x2−x1ΔyΔx=y2−y1x2−x1 =(x21+2x1h+h2+1)−(x12+1)(x1+h)−(x1)=(x12+2x1h+h2+1)−(x12+1)(x1+h)−(x1)
ΔyΔx=x21+2x1h+h2+1−x12−1x1+h−x1ΔyΔx=x12+2x1h+h2+1−x12−1x1+h−x1 (O que "sobrou"?)
ΔyΔx=2x1h+h2hΔyΔx=2x1h+h2h(Podemos simplificar esse quociente colocando h em evidência)
ΔyΔx=h(2x1+h)h=hh⋅(2x+h)1ΔyΔx=h(2x1+h)h=hh⋅(2x+h)1
ΔyΔx=2x+hΔyΔx=2x+h
AGORA VAMOS PENSAR MAIS UM POUQUINHO?
Lá no gráfico, nosso intuito era o de fazer a reta secante se transformar em uma reta tangente, lembra? Para que isso acontecesse - geometricamente falando - tínhamos que aproximar o ponto lá de cima da curva (o ponto Q) ao que estava mais abaixo (ponto P).
Mas, ao mesmo tempo, queríamos saber - algebricamente - o que acontecia. Essa parte foi a que fizemos até agora.
Mas, fazer a reta secante virar uma reta tangente é o mesmo que fazer o hh (o incremento, lembra?) tender a zero (por quê? - tente ver no gráfico). Então, podemos afirmar que a variações de yy associadas às variações de xx (quando o hh tende a zero), nas funções do tipo f(x)=x2f(x)=x2 é igual a 2x2x. Isso quer dizer que, quanto menor for o incremento hh, mais perto 2x+h2x+h estará de 2x2x, sendo esse o valor limite.
· ΔyΔx=2x+hΔyΔx=2x+h
Observe que ΔyΔxΔyΔx representa uma taxa média, 2x2x representa a taxa no ponto. Para essa taxa calculada no ponto usamos o símbolo dydxdydx, isto é
· dydx=2x
FORMALIZANDO O CONCEITO DE DERIVADA
· Função derivada: Essa igualdade dydx=2xdydx=2x também pode ser escrita da forma f´(x)=2xf´(x)=2x, que chamamos de função derivada de f(x)=x2f(x)=x2.
· Diferencial: Também podemos reescrever dydx=2xdydx=2x como dy=2xdxdy=2xdx e, dizemos que essa segunda forma é a diferencial da função.
Você percebeu que nos exemplos envolvendo funções afins, a derivada era um número, mas agora estamos falando em função derivada? Nas funções afins a taxa de variação não se altera, e essa taxa é exatamente a mesma em todos os pontos de uma função constante. Mas nas funções quadráticas, a taxa de variação se altera em cada ponto! Temos aqui uma função - não constante - que é literalmente derivada de outra! E a "mágica" só está começando!
A derivada é a taxa de variação (que acontece entre yy e xx) no ponto que consideramos. O valor encontrado é a taxa de variação de yy em relação a xx. Obter a função derivada significa obter uma lei ou regra que nos dá a taxa de variação em todos os pontos onde ela possa ser calculada - o domínio da função derivada pode não ser o mesmo que o domínio da função.
Vamos voltar à função que estávamos usando para pensarmos a derivada?
Se a função é f(x)=x2+1f(x)=x2+1 e a função derivada é f´(x)=2xf´(x)=2x, para sabermos a taxa de variação em um determinado ponto ou, equivalentemente, o valor da inclinação da reta tangente em um ponto, basta substituirmos os valores de xx, na função derivada.
· x=0x=0 (ponto A(0,1)) e x=1x=1(ponto B(1,2))
· f′(x)=2xf′(x)=2x
· Para x=0,f′(0)=0x=0,f′(0)=0
· Para x=1,f′(1)=2x=1,f′(1)=2
Faz sentido esses valores encontrados? Observando o gráfico da função e imaginando a reta que tange (ou toca) a curva do gráfico nesses dois pontos, podemos afirmar que esses valores estão corretos?
Vejamos o primeiro. Quando x=0,f′(0)=0x=0,f′(0)=0 - Isso quer dizer que a inclinação da reta tangente no ponto x=0x=0 é zero. Mas uma reta com inclinação zero é paralela ao eixo OxOx. Mas, já sabíamos disso, lembra? A reta que tangencia o gráfico da função no ponto zero é paralela ao eixo OxOx (observe o segmento de reta DC).
Agora, imagine uma reta que tangencia o gráfico no ponto de abscissa 1 (veja Figura abaixo), lá no ponto B, mas só toca o ponto B.
Para x=1x=1, temos f′(1)=2f′(1)=2. A inclinação da reta tangente ao gráfico é 2. Observe na figura acima que isso é razoável,pois a inclinação parece ser maior que a inclinação da
bissetriz , que tem inclinação 1.
Quando definimos “matematicamente” a derivada, afirmamos que ela é “o limite da razão incremental quando o hh tende a zero”. Escrevendo essa definição, ela ficaria assim:
· f′(x)=limh→0f(x)f′(x)=limh→0f(x)
   =limh→0f(x+h)−f(x)h=limh→0f(x+h)−f(x)h
Vamos tentar descobrir a função derivada de mais uma função? Lembra do SS do Senna? Vamos utilizar uma função parecida g(x)=x3g(x)=x3 ? Você já sabe como é o gráfico dela, né?
Vamos escolher um ponto qualquer do domínio x1=xx1=x. Vamos dar um “incremento” a ele para obtermos um segundo ponto no domínio da função g(x)g(x) e vamos chamá-lo de x2x2. Então, x2=x+hx2=x+h. Quais serão as imagens desses dois pontos?
· Para x1,g(x1)=g(x)=x3x1,g(x1)=g(x)=x3
· Para x2,g(x2)=g(x+h)=(x+h)3x2,g(x2)=g(x+h)=(x+h)3
Já vamos utilizar a notação do exemplo anterior;
g′(x)=limh→0g(x+h)−g(x)hg′(x)=limh→0g(x+h)−g(x)h
Substituindo:
g′(x)=limh→0g(x+h)−g(x)hg′(x)=limh→0g(x+h)−g(x)h
=limh→0(x+h)3−x3h=limh→0(x+h)3−x3h
=limh→0(x3+3x2h+3xh2+h3)−x3h=limh→0(x3+3x2h+3xh2+h3)−x3h
=limh→0x3+3x2h+3xh2+h3−x3h=limh→0x3+3x2h+3xh2+h3−x3h
=limh→03x2h+3xh2+h3h=limh→03x2h+3xh2+h3h
CUBO DA SOMA
(a+b)3=(a+b)⋅(a+b)⋅(a+b)=a3+3a2b+3ab2+b3(a+b)3=(a+b)⋅(a+b)⋅(a+b)=a3+3a2b+3ab2+b3
(a+b)3=(a+b)⋅(a+b)⋅(a+b)=(a+b)2⋅(a+b)(a+b)3=(a+b)⋅(a+b)⋅(a+b)=(a+b)2⋅(a+b)
=(a2+2ab+b2)⋅(a+b)=(a2+2ab+b2)⋅(a+b)
Veja que na última igualdade, tanto no numerador quanto no denominador, todos os termos têm hh (multiplicando). Dessa forma, podemos "colocá-lo em evidência":
limh→0 3x2h+3xh2+h3h=limh→0 3x2h+3xh2+h3h= limh→0 h⋅(3x2+3xh+h2)hlimh→0 h⋅(3x2+3xh+h2)h
=limh→0 hh⋅(3x2+3xh+h2)=limh→0 hh⋅(3x2+3xh+h2)
=limh→0 1⋅(3x2+3xh+h2)=limh→0 1⋅(3x2+3xh+h2)
=limh→0 3x2+3xh+h2=limh→0 3x2+3xh+h2
O que acontece se substituirmos h=0h=0 nessa última igualdade?
Olha, 3xh3xh tende a 00 e, h2h2 também tende a 0. Logo, temos como resultado que
g′(x)=limh→0 3x2+3xh+h2g′(x)=limh→0 3x2+3xh+h2
   =3x2+0+0=3x2+0+0
   =3x2=3x2
Agora sabemos que a derivada de g(x)=x3g(x)=x3 é g′(x)=3x2g′(x)=3x2.
Mas o que isso significa? Como podemos associar uma parábola (que é o gráfico de 3x23x2 ) à uma tangente, se até agora vimos que a tangente é uma reta?
Esses gráficos não parecem ter relação alguma com o que estudamos anteriormente, né? O que vem à sua cabeça quando você pensa em derivada? Veja algumas palavras que podem te ajudar:
· inclinação;
· coeficiente angular;
· reta tangente;
· ângulo;
· função;
· variação;
· taxa.
Ainda está difícil? Vamos te ajudar…
Vimos que a derivada é a taxa de variação (que acontece entre yy e xx ) no ponto que consideramos. O valor encontrado é a inclinação da reta tangente (que passa por esse ponto). A função derivada nos dá, o valor da derivada da função considerada, para qualquer ponto em que o cálculo do limite acima seja possível.
Anteriormente, tínhamos o exemplo da função f(x)=x2+1f(x)=x2+1, cuja função derivada é f´(x)=2xf´(x)=2x, e descobrimos o valor da inclinação da reta tangente em um determinado ponto, substituindo os valores de xx, na função derivada. Vamos fazer isso aqui para ver o que acontece?
Seguindo o mesmo raciocínio do exemplo anterior, vamos pegar pontos do gráfico g(x)=x3g(x)=x3 e ver a reta tangente à esse gráfico em cada um desses pontos.
Vamos pegar a coordenada x=1x=1. Substituindo esse valor de xx em g(x)=x3g(x)=x3 e g′(x)=3x2g′(x)=3x2, temos:
· g(1)=13=1.g(1)=13=1. Chamaremos esse ponto de A=(1,1)A=(1,1)
· g′(1)=3⋅12=3⋅1=3g′(1)=3⋅12=3⋅1=3. Chamaremos esse ponto de B=(1,3)B=(1,3)
Agora consideraremos x=2x=2:
· g(2)=23=8.g(2)=23=8. Isso nos dá o ponto C=(2,8)C=(2,8)
· g′(2)=3⋅22=3⋅4=12g′(2)=3⋅22=3⋅4=12. Aqui temos o ponto D=(2,12)D=(2,12)
Vamos marcar esses pontos no plano cartesiano?
O que encontramos foram pontos (B e D) que pertencem à parábola!
Você sabe por que isso aconteceu? Por que quando substituímos valores para xx no caso anterior, em que a derivada era f′(x)=2xf′(x)=2x encontramos uma reta e agora não?
Veja bem, o que fizemos quando encontramos B e D, foi substituir valores para xx na equação quadrática (g′(x)=3x2)(g′(x)=3x2) e nada mais correto que encontrarmos uma parábola!
O triângulo de Pascal é uma forma de encontrar os coeficientes para binômios.
Provavelmente, você sabe os binômios elevados até a terceira potência, né? Ou seja, que
· (a+b)0=1(a+b)0=1 (desde que aa e/ou bb seja não nulo)
· (a+b)1=a+b(a+b)1=a+b
· (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)2=a2+2ab+b2
· (a+b)3=(a+b)(a+b)2(a+b)3=(a+b)(a+b)2 =(a+b)(a2+2ab+b2)=(a+b)(a2+2ab+b2) =a3+3a2b+3ab2+b3=a3+3a2b+3ab2+b3
Mas e se pedirmos para você resolver, por exemplo, (a+b)7(a+b)7? Ou até mesmo (a+b)9(a+b)9? Como você faria? Desenvolveria todo o produto notável?
Temos uma boa notícia para você!!! Com o triângulo de Pascal, não é preciso necessariamente abrir e desenvolver todo o produto notável. Vamos ver como funciona?
Em cada linha,representaremos os coeficientes - naturais - de um produto notável. Por exemplo, na primeira linha, serão os coeficientes de (a+b)0(a+b)0. Na segunda, os coeficiente de (a+b)1(a+b)1, na terceira, os de (a+b)2(a+b)2 e, assim por diante.
Lembrando que só vamos trabalhar com expoentes naturais!!!
Na primeira linha teremos apenas um coeficiente: 1. Na segunda linha teremos dois: 1 e 1 (porque o resultado de (a+b)1(a+b)1 é 1a+1b1a+1b). As outras linhas vamos preenchendo como se estivéssemos desenhando um triângulo, no qual o primeiro e último coeficientes de cada linha são 1. No meio, nós preencheremos com a soma dos números de cima. Veja:
Note que na terceira linha, estão os coeficientes de (a+b)2(a+b)2, que são 1a2+2ab+1b21a2+2ab+1b2.
Já na quarta linha, temos os coeficientes de (a+b)3(a+b)3, que são 1a3+3a2b+3ab2+1b31a3+3a2b+3ab2+1b3.
Mas e como montamos nossa equação, sem saber os expoentes?
Sempre o primeiro termo será aa e o último será bb. Os outros termos serão a base abab multiplicada por um coeficiente e com expoentes diferentes (para aa e bb). Vamos montar?
Observe a quinta linha: temos os números 1, 4, 6, 4 e 1.
Como dito anteriormente, vamos "esquecer" os expoentes e colocar o primeiro termo com base aa, o último com base bb e os do meio com base abab (multiplicados pelo coeficiente):
(a+b)4=a+4ab(a+b)4=a+4ab +6ab+4ab+b+6ab+4ab+b
Como o expoente de (a+b)4(a+b)4 é 44, então colocamos o primeiro e o último termo elevados a 44:
(a+b)4=a4+4a3b(a+b)4=a4+4a3b +6a2b+4a1b+b4+6a2b+4a1b+b4
Agora, da esquerda para a direita, vamos diminuindo os expoentes de aa (de uma em uma unidade):
(a+b)4=a4+4a3b(a+b)4=a4+4a3b +6a2b+4a1b+b4+6a2b+4a1b+b4
Da direita para a esquerda, vamos diminuir os expoentes de bb em uma unidade:
(a+b)4=a4+4a3b1+6a2b2(a+b)4=a4+4a3b1+6a2b2 +4a1b3+b4+4a1b3+b4
Por fim, temos o resultado de (a+b)4(a+b)4:
(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2 +4ab3+b4+4ab3+b4
Vamos fazer para (a+b)5(a+b)5
Disso, concluímos que
(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2 +10ab2+b3+5ab4+b5+10ab2+b3+5ab4+b5
O ESTUDO DAS FUNÇÕES
O QUE É UMA FUNÇÃO?
Para te ajudar a relembrar esse conceito tão importante, vamos lhe dar uma lista de palavras que você poderá utilizar para definir o que é uma função. Se não se lembrar de todas, utilize apenas aquelas que fazem algum sentido para você.
INTERAÇÃO
Clique e arraste para a lacuna mais abaixo as palavras que você acha que estão relacionadas à função.
Inequação
Equação
Domínio
Lei
Ponto
Contradomínio
Imagem
Coeficiente
Variáveis
Conjuntos
Grandeza
Polinômio
Gráfico
Par Ordenado
Elementos
Relação
Variáveis
Conjuntos
Gráfico
Polinômio
Grandeza
Relação
Elementos
Ponto
Equação
Mas, há outra maneira de você relembrar o conceito de função. Vamos para o próximo slide.
PARA QUE SERVE UMA FUNÇÃO?
Vamos tentar resolver um problema?
Exemplo 1
Um botijão de gás de cozinha contém, inicialmente,13kg de gás. Supondo que seja gasto, por dia 0,5kg na preparação das refeições. Quanto tempo o gás duraria?
Conseguimos chegar em uma resposta? De que maneira?
Solução
Solucionaremos esse problema de três formas diferentes:
Primeira forma:
Se a cada dia é gasto 0,5kg degás, temos que:
· 1º1º dia: 13kg−0,5kg=12,5kg13kg−0,5kg=12,5kg
· 2º2ºdia: 12,5kg−0,5kg=12,0kg12,5kg−0,5kg=12,0kg
· 3º3ºdia: 12,0kg−0,5kg=11,5kg12,0kg−0,5kg=11,5kg
Ora, para subtrairmos todos os 13kg dessa forma, gastaríamos muito tempo, né?!
Mas, ainda assim conseguiríamos chegar ao resultado. Você seria capaz de, ao continuar essa conta, dizer quantos dias seriam necessários para o gás acabar? Ou em que dia restará menos de meio quilo no botijão?
SOLUÇÃO 2SOLUÇÃO 3
Outra forma de resolver, mais diretamente esse problema, é dividir 13kg por 0,5 kg:
130,5=13⋅100,5⋅10=1305130,5=13⋅100,5⋅10=1305
(Veja que quando multiplicamos o numerador e o denominador por 10, na verdade estamos multiplicando o valor inicial da fração por 1010=11010=1; ou seja, não alteramos o valor da mesma)
INSTRUÇÕES
Utilize o menu ao lado para navegação.
 Passo 1 de 3 
Viu como a matemática é espetacular? Quase sempre não há uma única forma de se resolver um problema. Por isso, não tenha nunca medo de “arriscar”!
Exemplo 2
Um posto de combustível vende o litro de gasolina por R$4,17R$4,17 e o litro de etanol por R$2,80R$2,80. Esse posto ganhará mais se vender 9 litros de gasolina ou 14 litros de etanol? Como você resolveria esse problema?
Solução
Calcularemos separadamente, por quanto o posto venderá 9 litros de gasolina e quanto cobrará por 14 litros de etanol.
Preço de 9 litros de gasolina:
· Se cada litro custa R$4,17R$4,17, então 2 litros custarão R$4,17+R$4,17=R$4,17+R$4,17= R$4,17⋅2=R$8,34R$4,17⋅2=R$8,34
· 3 litros custarão R$4,17+R$4,17R$4,17+R$4,17 +R$4,17=R$4,17⋅3+R$4,17=R$4,17⋅3 =R$12,51=R$12,51
· 4 litros custarão R$4,17+R$4,17R$4,17+R$4,17 +R$4,17+R$4,17+R$4,17+R$4,17 =R$4,17⋅4=R$16,68=R$4,17⋅4=R$16,68
Você já consegue imaginar qual será a operação que devemos fazer para descobrir qual o preço de 9 litros de gasolina, né?
Veja bem…
Seguindo o raciocínio anterior, 9 litros custarão R$4,17R$4,17 adicionados à ele mesmo 9 vezes. Por definição de multiplicação, isso é o mesmo que R$4,17⋅9=R$37,53R$4,17⋅9=R$37,53
Dessa forma, 9 litros de gasolina custarão R$37,53R$37,53.
Agora que já descobrimos o preço de 9 litros de gasolina, vamos descobrir o preço de 14 litros de etanol e, assim, responder à nossa pergunta inicial...
O preço de 1 litro de etanol é R$2,80R$2,80, e por consequência,
· 2 litros custarão R$2,80+R$2,80R$2,80+R$2,80 =R$5,60=R$5,60
· 3 litros custarão R$2,80+R$2,80R$2,80+R$2,80 +R$2,80+R$2,80 =R$2,80⋅3=R$8,40=R$2,80⋅3=R$8,40
Seguindo os mesmos raciocínios anteriores, para descobrir o valor do preço de 14 litros de etanol, basta que adicionemos R$2,80R$2,80 à ele mesmo num total de 14 vezes. Mas isso é o mesmo que multiplicar R$2,80R$2,80 por 14, ou seja,
· R$2,80⋅14=R$39,20R$2,80⋅14=R$39,20
Sabemos por fim, qual o valor de 9 litros de gasolina e de 14 litros de etanol. Agora você é capaz de responder a pergunta inicial: qual é mais caro?
Como R$39,20R$39,20 é maior que R$37,53R$37,53, já conseguimos responder a pergunta do problema, esse posto ganhará mais vendendo 14 litros de etanol do que vendendo 9 litros de gasolina.
Veja mais um exemplo abaixo!
Exemplo 3
Em uma livraria, o gerente compra livros por R$27,00R$27,00 a unidade e paga mais R$12,00R$12,00 de frete. Ele revende cada livro por R$42,00R$42,00, acrescidos de 5/2 do valor do frete. Qual o lucro que essa loja ganharia com a venda de 7 livros?
Solução
Como você resolveria esse problema?
Uma dica é calcular separadamente por quanto a livraria compra esses 7 livros e por quanto ela os vende (já que no preço do livro está incluído uma parte do valor do frete). Em seguida, calculamos a diferença desses preços, pois dessa forma você descobrirá o valor do lucro (o que o gerente ganha na venda) que é o que o exercício pede.
Vamos calcular juntos? Primeiramente, quanto a loja paga para comprar 7 livros…
Pelo enunciado, essa livraria compra livros por R$27,00 a unidade mais R$12,00 fixos do frete. Vamos calcular o valor de 7 livros sem o frete, por enquanto. Cada livro é comprado pela loja por R$27,00. Isso significa, que:
· 2 livros custarão R$27,00+R$27,00R$27,00+R$27,00 =R$27,00⋅2=R$54,00=R$27,00⋅2=R$54,00
· 3 livros custarão R$27,00+R$27,00R$27,00+R$27,00 +R$27,00=R$27,00⋅3+R$27,00=R$27,00⋅3 =R$81,00=R$81,00
Por meio dessa lógica, que é a mesma do exercício anterior, você consegue efetuar os cálculos de quantos reais a loja paga somente pela compra (sem o frete) de 7 livros? Para calcular o preço de 7 livros, basta multiplicar R$27,00R$27,00 por 7:
· R$27,00⋅7=R$189,00R$27,00⋅7=R$189,00
Agora adicionaremos o valor do frete ao preço da compra de 7 livros, ou seja, basta operarmos:
· Preço da compra + preço do frete= R$189,00+R$12,00R$189,00+R$12,00 =R$201,00=R$201,00
Dessa forma, o gerente compra 7 livros por R$201,00R$201,00, incluindo o frete.
Ou seja, até aqui calculamos as despesas que o vendedor de livros tem.
O próximo passo é calcular por quanto a loja vende esses livros. Faremos da mesma forma que anteriormente: calcularemos sem o frete e depois adicionaremos o valor dele.
Para vender cada unidade de livro, essa loja cobra R$42,00R$42,00. Como descobrimos o valor da venda de 7 livros?
Podemos utilizar o mesmo processo anterior: multiplicando R$42,00R$42,00 por 7. Veja:
· Preço da venda =R$42,00⋅7=R$294,00R$42,00⋅7=R$294,00
Assim, 7 livros são vendidos por R$294,00R$294,00 mais o valor do frete.
Mas você sabe dizer o valor exato do frete?
Para calculá-lo, precisamos saber qual o valor de 5252 de 1212, pois o enunciado nos diz que o gerente revende cada livro por R$42,00R$42,00, acrescidos de 5252 do valor do frete que ele pagou (equivalente a 12 reais).
Ora, 5252 de um valor, é o mesmo que esse valor multiplicado por 5 e depois dividido por 2. Dessa forma, 5252 de 12=5⋅122=5⋅122=5⋅6=3012=5⋅122=5⋅122=5⋅6=30 (verifique também que 5252 de 12=2,5⋅1212=2,5⋅12).
Portanto, quem vai comprar o livro dessa livraria, deve pagar R$30,00 de frete.
Agora é com você! Quantos reais uma pessoa deve pagar ao total na compra de 7 livros nessa livraria?
Como explicado anteriormente, o preço total que um cliente dessa livraria pagará pela compra de 7 livros é R$294,00R$294,00 mais o valor do frete (que acabamos de descobrir que é igual a 30 reais). Ou seja, o valor total é:
· R$294,00+R$30,00R$294,00+R$30,00 =R$324,00=R$324,00
Portanto, a loja vende 7 livros por um total de R$324,00R$324,00.
O lucro dessa livraria será o preço que ela ganha livre, ou seja, o preço que ela vendeu 7 livros menos o preço que ela comprou essa mesma quantidade de livros:
Lucro=Lucro= preço da venda - preço da compra
Lucro=R$324,00Lucro=R$324,00 −R$201,00=R$123,00−R$201,00=R$123,00
Concluímos que o lucro dessa loja na venda de 7 livros é igual a R$123,00R$123,00.
Nos exemplos anteriores, pudemos chegar às respostas fazendo contas simples e adicionando ou substituindo valores, um por um.
Mas, isso só foi possível porque a quantidade de dados analisados era relativamente pequena.
Se fosse pedido para você (nos exemplos anteriores) escrever a função que representasse a situação colocada para encontrar a solução, como seria? Vejamos no próximo slide...
No exemplo 1: há um botijão de gás com uma quantidade inicial de 13kg e além disso, a cada dia gasta-se 0,5kg desse gás para fazer comidas. Vimos na solução, que se formos subtraindo 0,5kg - em algum momento - chegaremos a zero.
Mas, e se o problema fosse referente à um gás de 90kg? 1000kg? Já imaginou? Que sonho! Um botijão que demoraria muito para ser trocado! Mas, ainda assim, seria necessário termos uma ideia de “quanto tempo” ele duraria.
Só que - da maneira que fizemos até agora - gastaríamos muito tempo para resolver essas subtrações até o gás acabar!
Dessa forma, o que o podemos fazer é dividir 13kg (quantidade total de gás no botijão no primeiro dia) pela quantidade consumida a cada dia (que a gente já sabe que é meio quilo) e o resultado (quociente) é a quantidade de dias que serão necessários até o gás acabar : 26 dias.
O que você achou desta resolução? E se tivéssemos outras situações parecidas?
SITUAÇÃO1SITUAÇÃO 2
E se o problema tivesse a mesma quantidade inicial de gás (13 kg), mas ao invés de perder 0,5kg por dia, perdesse 1 kg?
Ora, deveríamos tirar 1 kg de cada dia. Seguindo o mesmo raciocínio anterior, poderíamos dividir a quantidade total de gás pela quantidade utilizada em cada dia. Assim, teríamos:
INSTRUÇÕES
Utilize o menu ao lado para navegação.
 Passo 1 de 2 
Você consegue perceber o que todos esses problemas (envolvendo uma determinada quantidade de gás utilizada por dia) têm em comum?
Em todos eles, podemos dividir a quantidade inicial de gás pela quantidade utilizada por dia e, assim, chegar à quantidade de dias que esse gás pode durar. Dessa forma, se a quantidade total de gás sempre for 13kg e o que muda/varia é a quantidade consumida por dia, podemos escrever esse problema de uma "forma geral". Você imagina como?
PROBLEMA RESOLVIDO
Seja pp a quantidade de gás utilizada por dia e qq a quantidade total de dias para o gás acabar. Temos então a seguinte expressão:
q=13÷pq=13÷p
ou
q=13pq=13p
Que pode ser reescrita da forma
p=13qp=13q
Não é muito mais fácil e rápido calcular assim? Do que ficarmos subtraindo por dia, o tanto de gás que foi gasto?
SLIDE 3 DE 7
O exemplo 2: esse exercício queria descobrir se um determinado posto de combustível ganhava mais vendendo 9 litros de gasolina ou vendendo 14 litros de etanol, sabendo que o litro de gasolina custava R$ 4,17 - enquanto que o litro de etanol custava R$ 2,80.
· Primeiramente, calculamos o custo dos 9 litros de gasolina, multiplicando 9 por R$ 4,17 . Obtivemos como resultado R$37,53R$37,53.
· Em seguida, calculamos o custo dos 14 litros de etanol, multiplicando 14 por R$ 2,80. Obtivemos como resultado R$39,20R$39,20.
· Dessa forma, concluímos que o posto ganhava mais vendendo 14 litros de etanol, do que vendendo 9 litros de gasolina.
Considere que os preços de cada litro de etanol e de gasolina não mudaram. Se quiséssemos saber qual é o mais caro: 5 litros de gasolina ou 9 litros de etanol? Como você resolveria esse problema?
Pensando pelo mesmo método anterior, uma forma de resolver essa questão é descobrindo (separadamente) qual o preço de 5 litros de gasolina e de 9 litros de etanol e, em seguida, ver qual valor é maior. Vamos ver?
Para calcular o valor de 5 litros de gasolina, vamos multiplicar 5 pelo preço de cada litro (de gasolina):
5⋅R$4,17=R$20,855⋅R$4,17=R$20,85
Seguindo o mesmo raciocínio, vamos multiplicar 9 pelo preço de cada litro (de etanol) e descobrir qual o preço de 9 litros de etanol:
9⋅R$2,80=R$25,209⋅R$2,80=R$25,20
Temos, então, que nove litros de etanol, custam R$25,20 e que cinco litros de gasolina custam R$ 20,85. Ou seja, o etanol - apesar de ser uma quantidade maior de litros - sai mais caro para o motorista do que os cinco litros de gasolina. E para o dono do posto? O que você acha?
	QUANTIDADE DE LITROS
	PREÇO TOTAL (GASOLINA)
	PREÇO TOTAL (ETANOL)
	1
	R$ 4,17
	R$ 2,80
	2
	2 · R$ 4,17 = R$ 8,34
	2 · R$ 2,80 = R$ 5,60
	3
	3 · R$ 4,17 = R$ 12,51
	3 · R$ 2,80 = R$ 8,40
	4
	4 · R$ 4,17 = R$ 16,68
	4 · R$ 2,80 = R$ 11,20
	5
	5 · R$ 4,17 = R$ 20,85
	5 · R$ 2,80 = R$ 14,00
	6
	6 · R$ 4,17 = R$ 25,02
	6 · R$ 2,80 = R$ 16,80
	...
	...
	...
	nn
	nn · R$ 4,17
	nn · R$ 2,80
Você já entendeu o que fizemos para descobrimos quanto pagaremos pelas quantidades de litros tanto de etanol quanto de gasolina, né? Ainda não? Então observe a tabela abaixo:
Assim, para saber qual o combustível mais caro nesse posto - xx litros de gasolina ou yy litros de etanol - basta verificar qual é o maior valor: x⋅R$4,17x⋅R$4,17 ou y⋅R$2,80y⋅R$2,80.
Mas afinal, o que seria esse nn no final da tabela? O que ele representa? Representa qualquer quantidade de litros de etanol ou de gasolina.
O exemplo 3: Nesse exemplo - apresentado em um vídeo -, o gerente compra livros por R$27,00 a unidade mais um frete de R$12,00 fixos (pelo frete). Depois, ele revende revende esses livros por R$42,00 (a unidade) mais 5252 do frete (que ele pagou anteriormente). O exercício pergunta qual o lucro que esse gerente terá se vender 7 livros.
       Como resolvemos esse problema
Nós calculamos primeiramente qual o valor que esse gerente gastou para comprar 7 livros: multiplicamos 7 pelo preço de cada livro (R$27,00) e adicionamos o frete (R$12,00). Veja:
· Preço que ele comprou = R$12,00+7⋅R$27,00R$12,00+7·R$27,00
=R$12,00+R$189,00=R$12,00+R$189,00
= R$201,00R$201,00
Em seguida, calculamos qual o preço que ele cobra para revender esses 7 livros: multiplicamos 7 pelo preço de cada livro (R$42,00) e adicionamos o frete (R$30,00). Como encontramos o valor do frete? Simples!
O valor que o gerente repassa para os seus clientes é de 5252do frete. Ela paga R$12,00 fixos. Então, basta saber quanto é 5252 de R$12,00. Fazendo as contas:
5252 de R$12,00=22⋅12,00=30,00R$12,00=22⋅12,00=30,00 reais
· Preço que ele vendeu = R$30,00+7⋅R$42,00R$30,00+7⋅R$42,00
=R$30,00+R$294,00=R$30,00+R$294,00
=R$324,00=R$324,00
Mas o lucro de um produto é dado pelo valor livre que o vendedor ganhou (sem qualquer tipo de gasto), ou seja, é o preço que ele vendeu o produto menos o preço que ele pagou por esse produto. Dessa forma, o lucro que esse gerente terá na venda de 7 livros será:
· Lucro = (preço que ele vendeu o produto) - (preço que ele comprou o produto)
=R$324,00−R$201,00=R$324,00−R$201,00
=R$123,00=R$123,00
SITUAÇÃO 2
E se fossem 3 livros? O lucro seria maior ou menor?
(Lembrando que o gerente compra livros e paga R$12,00 fixos pelo frete, mais R$ 27,00 por unidade de livro e os revende por R$42,00 além de cobrar 5252 do frete)
INSTRUÇÕES
Utilize o menu ao lado para navegação.
 Passo 1 de 5 
Situação 3
E se fossem 10 livros? Você consegue calcular qual seria o lucro, né? Vamos montar uma tabela para ajudar no nosso raciocínio.
Observação: como os preços são inteiros, para ficar "mais resumido" não colocaremos os centavos na tabela, mas que fique subentendido.
	QTD. DE LITROS
	PREÇO QUE O GERENTE COMPROU (R$)
	PREÇO QUE O GERENTE REVENDEU (R$)
	LUCRO (R$)
	1
	12 + 27 · 1 = 39
	30 + 1 · 42 = 72
	72 -39 = 33
	2
	12 + 27 · 2 = 66
	30 + 2 · 42 = 114
	72 -66 = 48
	3
	12 + 27 · 3 = 93
	30 + 3 · 42= 156
	156 -93 = 63
	...
	...
	...
	...
	7
	12 + 27 ⋅⋅ 7 = 201
	30 + 7 ⋅⋅ 42 = 324
	324 -201 = 123
	...
	...
	...
	...
	nn
	12 + 27⋅n⋅n
	30 + n⋅n⋅ 42
	30 + 42nn - (12 + 27nn)
= 30 + 42nn - 12 - 27nn
= 30-12 + nn(42-27)
= 18 + 15nn
Portanto, se n=10n=10, o lucro seria:
Lucro=18+10⋅15Lucro=18+10⋅15
Lucro=18+150Lucro=18+150
Lucro=168 reaisLucro=168 reais
Situação 4
Agora responda: qual seria o lucro do vendedor se ele conseguisse, em um único mês, vender 1.000 livros?
Como você resolveria a questão acima? Pelo método do “passo a passo” (calculando por quanto ele comprou, depois por quanto ele vendeu e depois subtraindo os valores) ou substituindo n=1000n=1000 em "lucro=18+15n""lucro=18+15n" ?
Com certeza a opção mais rápida é a segunda! Você deve estar se perguntando:
· Para quê esse tanto de exemplos?
· Por que a apresentação de tantas formas diferentes de resolver o mesmo problema?
Nosso objetivo é o de te convencer sobre a importância de sabermos funções! Afinal, com elas conseguimos simplificar e generalizar casos. Veja que, por meio dessa igualdade do lucro, nós pudemos substituir valores muito altos para nn e ver qual era o lucro do vendedor em poucos passos. Mas essa é apenas uma das inúmeras utilidades de funções, que são aplicadas em várias áreas do conhecimento - como economia, engenharias, física, biologia, química, etc - e por isso a importância de sabermos o que é e do que as mesmas se tratam.
Então, para terminarmos essa parte de compreensão (ou revisão) das funções, você pode imaginá-la como uma “máquina” que transforma números (valores) em outros números (valores). Cada função faz essa transformação de um jeito.
Se ao invés de propormos um problema, como fizemos anteriormente, pedíssemos para que você descobrisse o que as máquinas abaixo estão fazendo com os números que entram: você conseguiria? Observando os números que entram e os números que saem,você acha que há uma ou várias maneiras de se chegar aos valores que saem? Por meio das três animações, arraste o retângulo que você achar que completa a lei de formação de cada uma das funções (a saber que nenhuma delas se repete).
3x+13x+1
2x−12x−1
−x2+x−x2+x
x2−xx2−x
x3x3
f(x)=f(x)=
h(x)=h(x)=
O que é uma função, afinal?
Função:
De uma maneira bem simples, podemos dizer que: uma função é uma relação de interdependência entre grandezas que são, no nosso dia a dia, representadas por números. Muitos fenômenos físicos, sociais, biológicos, etc são expressos por meio de funções. Você verá isso, detalhadamente, nas aplicações em sua área de conhecimento.
Nos exemplos apresentados a você, anteriormente, nós tínhamos grandezas que se relacionavam umas com as outras. Você sabe dizer quais eram? Não? Então vamos relembrar…
No exemplo 1 tínhamos a situação com o botijão de gás: as grandezas envolvidas eram a quantidade do gás (dada por quilo) e o consumo diário (também dado em quilos).
No exemplo 2 queríamos descobrir se um determinado posto de gasolina ganhava mais dinheiro vendendo gasolina ou etanol: as grandezas envolvidas eram o preço da gasolina e do etanol e o lucro do dono do posto.
No exemplo 3 queríamos descobrir o lucro do vendedor na venda de 7 de livro, sabendo que ele tinha gastos comprando os livros e pagando o frete dos mesmo. As grandezas envolvidas eram o gasto e lucro na compra e revenda dos livros.
Vamos ver outra forma de se representar uma função?
Nos exemplos apresentados você identificou grandezas que se relacionavam de diferentes maneiras entre si. Na matemática, essas grandezas são representadas - na maioria das vezes - por xx e por yy. Dizemos que uma grandeza yy é função de outra grandeza xx , quando os valores de ambas estão relacionados de tal forma que a cada valor de xx corresponda a um único valor de yy.
As funções podem ser representadas de diferentes maneiras: por meio de tabelas, por gráficos, por uma fórmula matemática (também conhecida como lei de formação), que traduzem de forma sintética, a maneira como yy depende de xx.
Vamos mostrar para você agora, o conceito de função por meio dos diagramas de Venn.
Definição: Dados dois conjuntos não vazios A e B, uma função de A em B é uma regra que indica como associar cada elemento x ∊ A a um único elemento y ∊ B.
Observação: O símbolo ∊ significa pertence. Ou seja, x ∊ A significa "xx pertencente ao conjunto A". Enquanto que y ∊ B significa "yy pertencente ao conjunto B".
E como escrevemos isso?
ff: A → B ( ff é uma função de A em B. A função ff transforma xx de A em yy de B)
y=f(x)y=f(x)
Você percebeu que está explícita a palavra “definição” no quadro anterior? Uma definição - em matemática - nunca pode ser mudada. Ela foi criada para ter uma uniformidade em todos os lugares.
Pense em um jogo de futebol: suponha, agora, que em cada país, o jogo tenha regras diferentes. Como seria possível esses times jogarem entre si em uma copa do mundo, por exemplo? Qual time ganharia? Qual perderia? Qual(is) regra(s) valeria(m)?
Por isso a importância da definição matemática: onde quer que estejamos, ela não muda. Ou seja, ela é igual para todas as pessoas e em todos os lugares do mundo. Dessa forma, quando temos alguma definição, é importante segui-la à risca, entender que aquilo não pode ser mudado e que foi feita com um determinado objetivo (que nem sempre é explícito), mas que nada "caiu do céu".
Olhe novamente para a definição de função:
· f:A→Bf:A→B (ff é uma função de AA em BB. A função f transforma xx de AA em yy de BB)
· y=f(x)y=f(x)
Domínio (D)
É o conjunto formado por todos os elementos que podem ser atribuídos a xx na função. Ou seja, é o conjunto dos elementos da entrada ( valores que atribuímos a xx ).
Imagem (Im)
É o conjunto dos elementos resultantes da função, ou seja, é o conjunto dos elementos da saída (depois que substituímos xx na lei de formação da função e efetuamos o cálculo, esse valor é a imagem de xx ).
No Cálculo, não falamos explicitamente do domínio de uma função, mas ele fica subentendido na lei de formação da função, como sendo o maior subconjunto dos números reais, onde a conta indicada pela lei possa ser feita e o resultado que encontramos continua sendo um número real.
Percebeu como a linguagem matemática é bem mais sucinta? E o segredo para compreendê-la é, justamente, entender o que está por trás dessa simbologia. Mais adiante explicaremos, em detalhes, as condições necessárias para uma função existir e, aí, a definição acima ficará ainda mais clara para você.
Agora, todas as vezes que você ler f(x)=yf(x)=y (ff de xx igual a yy ) já saberá do que se trata.
Nesta unidade relembraremos as principais informações que vimos durante esse minicurso sobre o estudo das funções. Após a revisão você terá acesso a exercícios relacionados a tudo que vimos até aqui. Boa sorte e bons estudos!
Função
Uma função é uma relação entre conjuntos, que é determinada por uma lei (ou também regra). Em qualquer função um valor é aplicado à essa lei e depois sai outro valor - que pode ser igual ou diferente.
Na animação acima, temos a função f(x)=3x+1f(x)=3x+1. Assim, ao entrar o x=−2x=−2, sai da máquina o valor −5−5, pois f(−2)=3(−2)+1=−6+1=−5f(−2)=3(−2)+1=−6+1=−5. Veja que os outros valores de xx que entram, correspondem aos respectivos resultados para f(x)f(x). Ou seja,
· f(−2)=3⋅(−2)+1f(−2)=3⋅(−2)+1 =−6+1=−5=−6+1=−5
· f(0)=1f(0)=1
· f(5)=16f(5)=16
· f(7)=22f(7)=22
Mas como saberemos quais valores podemos atribuir para xx? Será que são quaisquer que quisermos?
Para responder essa questão precisamos - primeiramente - saber sobre 3 conjuntos importantes, a saber: Imagem, Domínio e Contradomínio.
· O conjunto Domínio são todos os valores que podemos atribuir para xx.
· O conjunto Imagem são todos os resultados que podemos obter quando esses valores de xx do Domínio são aplicados à f(x)f(x).
· Já o conjunto Contradomínio é aquele que "cabe" todo o conjunto Imagem. Ou seja, ele é sempre maior ou igual ao conjunto Imagem, pois esse tem que estar dentro do ao conjunto Contradomínio.
Exemplo 1
Na imagem abaixo, representamos por meio do Diagrama de Venn, a função f(x)=2xf(x)=2x. O conjunto Domínio e Contradomínio são os reais. Já o conjunto Imagem - delimitado por vermelho - são só os números reais pares (que está dentro do conjunto do Contradomínio).
Em Cálculo Integral e Diferencial quando o enunciado do problema não nos diz, consideramos o conjunto Contradomínio como sendo o conjunto dos números reais. Como o conjunto Imagem deve estar contido ("dentro") do conjunto dos reais, ele não pode ter um número complexo, por exemplo.
Exemplo 2
Considerando que o conjunto Contradomínio seja o dos números reais, qual será a Imagem e o Domínio da função g(x)=x−−√g(x)=x ?
Ora, se o Contradomínio é o conjunto dos números reais, então a imagem deve estar contida nesse conjunto. Ou seja, os resultados de g(x)g(x) devem ser números reais. Nós sabemos que nos números reais, não existe resultado negativo de raiz quadrada, né? Por isso, na Imagem não pode ter números negativos, ou seja, o conjunto Imagem será igual aos reais não negativos (que representamos por IR+IR+):
IM=IM={y∈IR|y≥0y∈IR|y≥0}.
Mas para que a Imagem seja formada apenas por números não negativos, o nosso Domínio não pode ter números negativos também. Por isso definimos que o Domínio é formado por todo xx pertencente aos reais, tal que xx é maior ou igual a zero. Matematicamente,
D=D={x∈IR|x≥0x∈IR|x≥0}.
Podemos concluir que para definir o conjunto Domínio, precisamos responder a pergunta: "quais os valores que eu posso atribuir para xx, de forma que o resultado esteja dentro do conjunto Imagem?".
Além disso, para definir o conjunto Domínio, precisamos saber das regras de função: uma delas é que não pode ter elemento nesse conjunto que não tenha uma imagem associada à ele. Por isso no exemplo acima não podemos ter números negativos no Domínio - se fosse assim, ele DEVERIA TER um elemento associado à imagem e, portanto ao Contradomínio, ou seja, deveria existirum resultado de raiz quadrada de número negativo, o que não existe no conjunto dos números reais.
Mas e as outras condições, você se lembra quais são?
Vejamos abaixo as três:
· Condição 1: Para ser função, todos os elementos do Domínio DEVEM ter correspondência com um elemento do contradomínio.
· Condição 2: Para ser função, cada elemento do Domínio só pode ter uma imagem.
· Condição 3: Em uma função, dois ou mais elementos diferentes de um domínio podem possuir a mesma imagem.
OBSERVE OS EXEMPLOS ABAIXO:
1
Esse diagrama não representa uma função, pois no conjunto A (Domínio) temos um elemento (o zero) que não está associado à algum elemento da Imagem (que está dentro do conjunto B). Isso contraria a primeira condição de ser função.
2
Esse diagrama representa uma função, pois satisfaz as condições 1 e 2 e, apesar de haver dois elementos do conjunto A (11 e 22) que estão associados ao mesmo elemento (33) do conjunto B, isso não impede de ser função, pela condição 3. Caso você não entenda essa regra, imagine o caso da função h(x)=x2h(x)=x2. Os elementos do Domínio 22 e −2−2 têm a mesma imagem (4)(4), pois h(2)=22=4h(2)=22=4 e h(−2)=(−2)2=4h(−2)=(−2)2=4.
3
O diagrama não representa uma função, pois o mesmo elemento (33) do Domínio possui duas imagens diferentes (c e d) no contradomínio, o que contraria a condição 2.
4
O gráfico acima representa uma função, pois satisfaz as três condições. A saber, essa é uma função do segundo grau do tipo ax2+bx+c=0ax2+bx+c=0, com coeficiente aa negativo.
5
O gráfico acima não representa uma função, pois existe pelo menos um valor de xx (no Domínio) que possui mais de uma imagem (no contradomínio yy), o que não satisfaz a segunda condição.
6
O gráfico acima também não representa uma função, pois existe valor de xx (domínio) que possui mais de uma imagem (valor de yy), o que contraria a segunda condição.
7
O gráfico acima não representa uma função, pois também não satisfaz a segunda condição.
8
O gráfico acima representa uma função, pois satisfaz todas as três condições.
9
O gráfico acima representa uma função, pois satisfaz todas as três condições. A saber, essa é denominada função constante, tal que independente do valor de xx, f(x)f(x) sempre terá o mesmo resultado - que é uma constante.
Até aqui, vimos que estão relacionados à função:
· gráfico;
· grandeza;
· relação;
· domínio;
· lei;
· coeficiente;
· par ordenado;
· imagem;
· ponto;
· contradomínio;
· conjuntos;
· elementos;
· variáveis.
TAXAS DE VARIAÇÃO
Em uma função do tipo f(x)=axf(x)=ax, chamamos o coeficiente aa de coeficiente angular. Isso porque, ele mede o ângulo que a reta dessa função faz com o eixo OxOx.
Veja o exemplo de f(x)=2xf(x)=2x:
Vamos pensar juntos?
Os pontos escolhidos para o intervalo foram x=1x=1 e x=2x=2. Pelo gráfico (ou pela lei de formação da função), eu já sei quais são as imagens correspondentes a esses pontos:
· quando xx varia de 0 para 1, a sua imagem yy, varia de 0 para 2.
· quando xx varia de 1 para 2, a sua imagem varia de 2 para 4 .
· quando xx varia de 0 para 3, a sua imagem varia de 0 para 6 .
· quando xx varia de 1 para 3, a sua imagem varia de 2 para 6 .
Essa taxa de variação pode ser vista, também, como a razão entre a diferença do valor final e o inicial de yy e de xx. Vamos observar os mesmos intervalos colocados acima.
Variação = yfinal−yinicialxfinal−xinicialyfinal−yinicialxfinal−xinicial
Por exemplo:
4−22−1=21=24−22−1=21=2
Todas as taxas - dessa reta - que você calcular, terão o resultado igual a 2, que é o valor do coeficiente angular e, também, o valor da tangente do ângulo formado entre essa reta e o eixo OxOx.
Lembra que por definição, tangenteα=senoαcossenoα tangenteα=senoαcossenoα =catetoopostoaαcatetoadjacenteaα=catetoopostoaαcatetoadjacenteaα?
Agora veja a imagem abaixo:
Como a medida do cateto oposto a é igual a yfinal−yinicialyfinal−yinicial e a do cateto adjacente é xfinal−xinicialxfinal−xinicial , segue que a tangente é igual a yfinal−yinicialxfinal−xinicialyfinal−yinicialxfinal−xinicial , que é igual a variação.
Mas lembre-se: isso acontece, porque estamos calculando - ainda - as variações em uma reta.
· Quando a variação é positiva, chamamos de reta crescente. Isso porque se x1>x2x1>x2, então f(x1)>f(x2)f(x1)>f(x2).
· E quando a variação é negativa? Dizemos que a reta é decrescente. Veja abaixo que a variação da reta y=−3x+2y=−3x+2 é igual a −3−3:
· Além disso, no gráfico acima podemos concluir que bb é onde a reta corta o eixo yy (quando x=0x=0).
· Quando a variação é zero (a=0a=0), temos uma função constante, pois f(x)=ax+b=0x+b=bf(x)=ax+b=0x+b=b.
a=tgα=ΔyΔx=y2−y1x2−x1a=tgα=ΔyΔx=y2−y1x2−x1
*Nesse caso, não é mais função de 1º grau!
E QUANDO É EM UMA CURVA: COMO CALCULAMOS A VARIAÇÃO?
Veja na animação abaixo que, geometricamente, a reta que antes era uma reta secante à curva (ela cortava a curva em dois pontos) foi se transformando em uma reta tangente à curva (já que passou a tocá-la/tangenciá-la) em um único ponto.
Com isso, nós resolvemos o problema de ter uma reta que toca a curva em um único ponto. Mas precisamos chegar na taxa de variação em um ponto.
Para isso, aproximamos a curva por retas tangentes, por meio de variações. As retas tangentes à curva nos ajudam a entender o comportamento de gráficos que são curvas, por meio de retas tangentes à essa curva, em determinados pontos do seu domínio. Dependendo da função, podemos “apoiar” uma reta tangente à curva em todos os pontos do seu domínio, ou seja, por toda a curva.
Uma variação em xx leva a uma variação em yy. Sendo assim, quando saímos de x0x0 para x0+hx0+h, a imagem varia de f(x0)f(x0) para f(x0+h)f(x0+h). O nome desse hh é incremento, porque o “novo ponto” é o x0x0 aumentado de “h”“h”. Observe o gráfico abaixo:
O ponto P tem coordenadas P(x0,f(x0))P(x0,f(x0)) e o ponto QQ tem coordenadas Q(x0+h,f(x0+h))Q(x0+h,f(x0+h)).
Quando aproximamos essa curva por meio de retas tangentes, na verdade estamos calculando essa variação, para quando esse hh é bem pequeno, ou seja, para quando ele tende a zero.
Quando calculamos essa variação, na verdade estamos calculando a derivada no ponto P.
Por exemplo: Suponha que essa curva seja f(x)=x2+1f(x)=x2+1. Dessa forma,
· f(x1)=x21+1f(x1)=x12+1
· f(x1+h)=(x1+h)2+1f(x1+h)=(x1+h)2+1 =x21+2x1h+h2+1=x12+2x1h+h2+1
ΔyΔx=y2−y1x2−x1=ΔyΔx=y2−y1x2−x1= (x21+2x1h+h2+1)−(x21+1)(x1+h)−(x1)(x12+2x1h+h2+1)−(x12+1)(x1+h)−(x1)
ΔyΔx=2x1h+h2hΔyΔx=2x1h+h2h
ΔyΔx=h(2x1+h)h=2x1+hΔyΔx=h(2x1+h)h=2x1+h
Isso é o mesmo que calcular
f′(x)=limh→0f(x+h)−f(x)hf′(x)=limh→0f(x+h)−f(x)h
que é a definição de derivada.
Assim, se quisermos calcular a derivada (variação) em um determinado ponto dessa curva, basta substituirmos o valor de xx desse ponto na função derivada. Veja um exemplo:
Vamos calcular qual a equação da reta tangente à curva g(x)=x3+3g(x)=x3+3 no ponto (−1,2)(−1,2).
Pela definição de derivada, temos que
g′(x)=limh→0   g(x+h)−g(x)hg′(x)=limh→0   g(x+h)−g(x)h
         =limh→0  [(x+h)3+3]−(x3+3)h         =limh→0  [(x+h)3+3]−(x3+3)h
g′(x)= limh→0[(x3+3x2h+3xh2+h3)+3]−(x3+3)hg′(x)= limh→0[(x3+3x2h+3xh2+h3)+3]−(x3+3)h
g′(x)=limh→0x3+3x2h+3xh2+h3+3−x3−3hg′(x)=limh→0x3+3x2h+3xh2+h3+3−x3−3h
g′(x)=limh→03x2h+3xh2+h3hg′(x)=limh→03x2h+3xh2+h3h
g′(x)=limh→0h(3x2+3xh+h2)hg′(x)=limh→0h(3x2+3xh+h2)h
g′(x)=limh→03x2+3xh+h2g′(x)=limh→03x2+3xh+h2
Currículo
Adriana Maria tavares 
 
Endereço: avenida Bahia nº 286 bairro Eckert
Campo verde Mt.
Data de nascimento 19/06/1985 = 35 anos de idade
Estado civil: casada. Natural de Cuiabá
cep 78840000.
Situação escolar; completo 
Telefone para contato 66999646340 ou de recado 66996886289.
(Estou à procura de oportunidade)
Referência de trabalho.
Monsanto campo verde MT
Sisan engenharia empresa terceirizada em campo verde MT
Churrascaria gaúcha. Ajudante geral.