CadernoDoAluno_2014_Vol1_Baixa_MAT_Matematica_EF_8S_9A

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8a SÉRIE 9oANO
ENSINO FUNDAMENTAL – ANOS FINAIS
Caderno do Aluno
Volume 1
MATEMÁTICA
MATERIAL DE APOIO AO
CURRÍCULO DO ESTADO DE SÃO PAULO
CADERNO DO ALUNO 
MATEMÁTICA
ENSINO FUNDAMENTAL – ANOS FINAIS
8a SÉRIE/9o ANO
VOLUME 1
Nova edição
2014-2017
GOVERNO DO ESTADO DE SÃO PAULO
SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
São Paulo
Governo do Estado de São Paulo
Governador
Geraldo Alckmin
Vice-Governador
Guilherme Afif Domingos
Secretário da Educação
Herman Voorwald
Secretário-Adjunto
João Cardoso Palma Filho
Chefe de Gabinete
Fernando Padula Novaes
Subsecretária de Articulação Regional
Rosania Morales Morroni
Coordenadora da Escola de Formação e 
Aperfeiçoamento dos Professores – EFAP
Silvia Andrade da Cunha Galletta 
Coordenadora de Gestão da 
Educação Básica
Maria Elizabete da Costa
Coordenadora de Gestão de 
Recursos Humanos
Cleide Bauab Eid Bochixio
Coordenadora de Informação, 
Monitoramento e Avaliação 
Educacional
Ione Cristina Ribeiro de Assunção
Coordenadora de Infraestrutura e 
Serviços Escolares
Ana Leonor Sala Alonso
Coordenadora de Orçamento e 
Finanças
Claudia Chiaroni Afuso
Presidente da Fundação para o 
Desenvolvimento da Educação – FDE
Barjas Negri
Caro(a) aluno(a),
Para viver no mundo atual com qualidade de vida é preciso ter cada vez mais conhecimentos, 
respeitar valores e desenvolver atitudes positivas em relação a si e aos outros. Os conhecimentos que 
a humanidade construiu ao longo do tempo é um valioso tesouro, que nos permite compreender 
o mundo que nos cerca, interagir com as pessoas, tomar decisões... Ler, observar, registrar, analisar, 
comparar, refletir e expressar-se são algumas formas de compartilhar esse tesouro. Sendo assim, 
este material foi elaborado especialmente para ajudar você a compreender e a utilizar parte desses 
conhecimentos.
O objetivo das Situações de Aprendizagem deste Caderno é apresentar conhecimentos 
matemáticos de forma contextualizada, para que a aprendizagem seja construída como parte de sua 
vida cotidiana e do mundo ao seu redor. Logo, as atividades propostas não devem ser consideradas 
simplesmente exercícios ou problemas a serem resolvidos com técnicas transformadas em rotinas 
automatizadas. Pelo contrário, muitas dessas situações podem ser vistas como ponto de partida para 
estudar ou aprofundar uma noção ou propriedade matemática.
Aprender exige esforço e dedicação, mas também envolve curiosidade e criatividade, que es-
timulam a troca de ideias e conhecimentos. Por isso, sugerimos que você participe das aulas, observe 
as explicações do professor, faça anotações, exponha suas dúvidas; além disso, é importante que 
você não se intimide em fazer perguntas e que procure respostas aos seus questionamentos, e que 
também dê sua opinião.
Você estudará neste Caderno os seguintes assuntos: conjuntos numéricos, números reais, Teo-
rema de Tales, Teorema de Pitágoras, potências, notação científica e ordem de grandeza, equações 
do 2o grau, proporcionalidade (grandezas direta e inversamente proporcionais). 
Se precisar, peça ajuda ao professor, pois ele pode orientá-lo sobre o que estudar e pesquisar, como 
organizar os estudos e onde buscar mais informações sobre um assunto. Reserve todos os dias um 
horário para fazer as tarefas e rever os conteúdos, porque assim você evita que eles se acumulem. Ajude 
e peça ajuda aos colegas, pois partilhar ideias é fundamental para construção do conhecimento. 
Aprender pode ser muito prazeroso e temos certeza de que você vai descobrir isso.
Equipe Curricular de Matemática 
Coordenadoria de Gestão da Educação Básica – CGEB
Secretaria da Educação do Estado de São Paulo
5
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 1
VOCÊ APRENDEU?
 1. Considere a seguinte situação: uma atividade com duas questões foi aplicada em uma tur-
ma de 40 alunos. Os resultados indicaram que 20 alunos haviam acertado as duas questões, 
35 acertaram a 1a questão e 25, a 2a questão.
 a) Os dados do enunciado sugerem que a soma das partes é maior do que o todo: 
20 35 25 80 > 40. Como podemos explicar esse fato?
 b) Se 35 alunos acertaram a 1a questão e 20 acertaram as duas, quantos alunos acertaram 
apenas a 1a questão?
Acertaram a 
1a questão 
Acertaram apenas a 
1a questão 
Acertaram a 1a e a 2a 
questões 
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1 
CONJUNTOS E NÚMEROS
Nesta Situação de Aprendizagem, você vai aprender algumas ideias relacionadas aos 
conjuntos que vão ajudá-lo a resolver problemas e, também, a compreender os diferentes 
tipos de número que fazem parte da Matemática.
6
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 1
Leitura e análise de texto
Conjuntos e diagramas
Os diagramas podem ser usados para representar os conjuntos e suas relações. Atribui-se 
ao famoso matemático suíço Leonhard Euler a ideia de usar diagramas para representar re-
lações lógicas. O diagrama de Euler nada mais é do que uma região delimitada do plano, 
simbolizada por uma figura curva fechada, que representa um conjunto. Um conjunto é 
formado por elementos que possuem determinada propriedade. Vejamos um exemplo:
O conjunto das aves inclui animais que possuem determinadas características. Uma 
delas é o fato de possuir asas. O beija-flor, o tucano e a águia são aves, ou seja, são animais 
que possuem asas. O cavalo, por sua vez, não pertence ao conjunto das aves, pois não pos-
sui asas. O diagrama a seguir representa essa situação: 
 c) E apenas a 2a questão?
Acertaram apenas a 
2a questão 
Acertaram a 1a e a 2a 
questões 
Acertaram a 
2a questão 
 d) Qual é o percentual de alunos que acertaram apenas uma questão nesta atividade?
Águia
Beija-flor
Tucano Cavalo
Ave
7
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 1
VOCÊ APRENDEU?
 2. Com base no texto apresentado na seção Leitura e análise de texto, represente, por meio de diagra-
mas, as seguintes situações: 
 a) Conjunto: Paulistanos
 Elementos: André, Luiz e Renata nasceram na cidade de São Paulo. Júlio nasceu em 
Ribeirão Preto. 
 b) Conjunto: Alunos do Ensino Fundamental
 Elementos: Patrícia, Renato e Lucas estudam na 7a série/8o ano do Ensino Fundamental; 
Rafael estuda na 5a série/6o ano do Ensino Fundamental; Marta, Reinaldo e Antônio estu-
dam na 2a série do Ensino Médio. 
 c) Conjuntos: corintianos e são-paulinos
 Elementos: João, Helena, Marcus e Alberto são corintianos. Diego, Laís e Alice torcem pelo 
São Paulo. André e Tomás não torcem para nenhum time. 
8
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 1
Leitura e análise de texto
Relações entre conjuntos
Todos os conjuntos exemplificados até este momento são representados em uma região 
delimitada por meio de uma curva fechada, representando determinado conjunto.
A figura a seguir mostra de forma genérica um conjunto A, constituído de todos os 
elementos que possuem determinada propriedade a.
yx
A
Nesse caso, o elemento x possui a propriedade a e, portanto, pertence ao conjunto A. Já o 
elemento y, que está fora do diagrama, não possui a propriedade a e, portanto, não pertence a A.
A relação espacial entre as figuras (sobreposição, separação, inclusão) indica também o 
tipo de relação existente entre os conjuntos (interseção, inclusão, exclusão). Consideremos o 
conjunto A formado pelos elementos que têm a propriedade a e o conjunto B formado pelos 
elementos que têm a propriedade b. Vejamos os principais casos e os símbolos associados:
1. Inclusão: todo a é b. Se todo elemento de A pertence a B, então A é um subcon-
junto de B. Dizemos que A está contido em B, ou seja, A B.
 Exemplo: todo múltiplo de 10 é um número par. Os conjuntos dos múltiplos de 10 
é um subconjunto do conjunto dos números pares.
Pares
Múltiplos de 10
2. Interseção: algum a é b. Se alguns elementos do conjunto A também pertencem 
ao conjunto B, então existe interseção entre esses dois conjuntos. Os elementos da 
interseção possuem as propriedades de A e de B simultaneamente, ou seja, A B.
9
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 1
 Exemplo: os diagramas mostram que alguns elementos do conjuntodos números 
ímpares são primos, como 3, 5, 7 etc. O 9 é ímpar, mas não é primo.
Ímpares Primos
3. União: a ou b. O conjunto da união entre A e B contém todos os elementos de 
A e de B, ou seja, A B.
 Exemplo: a união dos múltiplos de 2 e dos múltiplos de 3. A interseção são os el-
ementos do conjunto dos múltiplos de 6.
M(2) M(3)
4. Diferença: algum a não é b. Os elementos da diferença entre os conjuntos A e B são 
aqueles que pertencem a A e não pertencem a B, ou seja, A – B.
 Exemplo: a figura representa os números pares que não são primos. Trata-se da 
diferença entre os conjuntos. Pares – Primos = {0, 4, 6, 8, 10, ...}.
Pares Primos
5. Complementar: caso particular da diferença entre dois conjuntos, quando um 
deles é subconjunto do outro. Contém os elementos de A que não pertencem ao 
subconjunto B.
C
B = A – B
A
 Exemplo: seja A o conjunto dos múltiplos de 5 e B o conjunto dos múltiplos de 10, 
o conjunto complementar dos múltiplos de 10 em relação aos múltiplos de 5 são 5, 
15, 25, 35, 45,...
M(2) M(3) = M(6)
10
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 1
M(5)
M(10)
6. Conjuntos mutuamente exclusivos ou disjuntos: nenhum a é b. Se nenhum 
elemento de um conjunto A pertence a outro conjunto B, então esses conjuntos são mu-
tuamente exclusivos. A interseção entre os dois conjuntos é vazia, ou seja, A B = .
 Exemplo: os conjuntos dos números pares e dos números ímpares são mutuamente 
exclusivos, pois não possuem elemento em comum.
Pares Ímpares
Para representarmos as relações entre dois ou mais conjuntos, podemos utilizar um 
número maior de diagramas. Por exemplo:
Animais
Minerais
Mamíferos
Os diagramas anteriores mostram que o conjunto dos mamíferos é um subconjunto 
do conjunto dos animais e que nenhum elemento do conjunto dos minerais pertence ao 
conjunto dos animais. Observando os diagramas, podemos chegar às seguintes conclusões:
todo mamífero pertence ao reino dos animais.
nem todo animal é mamífero.
nenhum mineral é animal.
11
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 1
VOCÊ APRENDEU?
 3. Assinale o item que melhor representa os diagramas a seguir: 
 a) Conjuntos: múltiplos de 2 e múltiplos de 3.
 I. M(3) – M(2)
 II. M(3) M(2)
 III. M(2) – M(3)
 b) Conjuntos: retângulos e losangos.
 I. Retângulos Losangos
 II. Losangos Retângulos 
 III. Losangos Retângulos
 c) Conjuntos: números pares e números primos.
 I. Pares – Primos
 II. Pares Primos
 III. Pares Primos
 d) Conjuntos: números pares e múltiplos de 10.
 I. Pares – M(10)
 II. Pares M(10)
 III. M(10) Pares
 e) Conjuntos: polígonos e polígonos regulares.
 I. C Polígonos RegularesPolígonos 
 II. Polígonos Polígonos Regulares 
 III. Polígonos Polígonos Regulares
 f ) Conjuntos: números pares e ímpares.
 I. Pares – Ímpares
 II. Pares Ímpares 
 III. Pares Ímpares
M(3)
2
4
10
0
14
8
12 15
3
9
6
M(2)
Ímpares
2
4
10
0
8
12
11
3
51
7
9
6
Pares
Retângulos Losangos
2
4
20
0
8
12
11
3
75
6Pares
Primos
2
4
0
8
12
20
10
Pares
M(10)
Polígonos
Polígonos 
Regulares
12
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 1
LIÇÃO DE CASA
 4. Pinte os diagramas que representam as seguintes operações com conjuntos:
 a) A – B
A B
 b) A B
A B
 c) A B
A B
 d) CB
A
A
B
 e) A – (B C)
BA
C
 f ) A – (B C)
BA
C
 g) CU
A B
U
BA
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Matemática – 8a série/9o ano – Volume 1
Leitura e análise de texto
Diagramas e lógica
Os diagramas de Euler passaram a ser amplamente utilizados para representar conjuntos 
em virtude de sua facilidade de compreensão visual. Contudo, ficaram mais conhecidos como 
“Diagramas de Venn”, por causa da semelhança com o tipo de diagrama criado pelo 
filósofo britânico John Venn. Os diagramas também podem ser usados para representar 
argumentações lógicas. Por exemplo:
Essa estrutura de argumentação lógica é denominada silogismo e é composta de três 
proposições: duas premissas e uma conclusão. 
Brasileiros
Mineiros
Pedro
VOCÊ APRENDEU?
 5. Nas figuras seguintes, assinale o diagrama que melhor representa os argumentos dados.
 a) Todas as pessoas nascidas em Curitiba (C) são paranaenses (P).
 João nasceu em Curitiba.
 Logo, João é paranaense.
 I. 
João
C
P III. 
P
C
João
 II. 
C
P
João
14
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 1
 b) Nenhum quadrilátero possui cinco lados. 
 Um quadrado é um quadrilátero.
 Logo, nenhum quadrado possui cinco lados. 
 I. 
Quadriláteros
Cinco lados
Quadrado
 III. 
Cinco ladosQuadriláteros
Quadrado
 II. 
Quadrado
Cinco ladosQuadriláteros
 c) Alguns tetraedros são poliedros regulares.
 Todos os tetraedros são pirâmides.
 Logo, algumas pirâmides são poliedros regulares.
 I. 
Poliedros regulares
Tetraedros Pirâmides
 III. 
Poliedros 
regulares
Pirâmides
Tetraedros
 II. 
Pirâmides
Tetraedros
Poliedros 
regulares
15
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 1
Problemas, conjuntos e diagramas
 6. Vamos retomar o problema inicial desta Situação de Aprendizagem para resolvê-lo por meio de 
diagramas. 
 Uma atividade com duas questões foi aplicada em uma turma com 40 alunos. 
Os resultados indicaram que 20 alunos haviam acertado as duas questões, 35 acertaram a 
1a questão (Conjunto A) e 25, a 2a questão (Conjunto B).
 a) Represente no diagrama a seguir o número de alunos que acertaram as duas questões. 
A B
 b) Represente no diagrama a seguir o número de alunos que acertaram apenas a 1a questão. 
A B
 c) Represente no diagrama a seguir o número de alunos que acertaram apenas a 2a questão.
A B
16
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 1
 7. Uma pesquisa de mercado foi realizada para verificar a audiência de três programas de televisão. 
Ao todo, 1 200 famílias foram entrevistadas e obtiveram-se os seguintes resultados: 370 famílias 
assistem ao programa A; 300, ao programa B e 360, ao programa C. Desse total, 100 famílias assis-
tem aos programas A e B; 60, aos programas B e C; 30, aos programas A e C e 20 famílias assistem 
aos 3 programas. Com base nesses dados, responda: 
 a) Famílias que assistem a três programas.
A B
C
 b) Famílias que assistem a dois programas.
A B
C
 c) Famílias que assistem exclusivamente a um programa.
A B
C
 d) Famílias que não assistem a nenhum dos três programas. 
A B
C
T
17
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 1
 8. Com base no diagrama apresentado na atividade anterior, responda às seguintes perguntas: 
 a) Quantas famílias assistem ao programa A e não assistem ao programa C?
 b) Quantas famílias assistem aos programas B e C e não assistem ao programa A? 
 c) Qual é o programa de maior fidelidade, ou seja, aquele cujos espectadores somente assistem a ele?
LIÇÃO DE CASA
 9. Resolva o problema a seguir usando diagramas.
Uma prova com três questões foi aplicada em uma turma com 60 alunos. Os resultados ob-
tidos foram os seguintes: 36 alunos acertaram a 1a questão, 31 acertaram a 2a e 25 acertaram a 3a. 
Além disso, verificou-se que 18 alunos acertaram a 1a e a 2a questões, 16 acertaram a 1a e a 3a questões 
e 13 acertaram a 2a e a 3a questões. Apenas 10 alunos acertaram as três questões.
Represente na forma de diagrama os conjuntos descritos anteriormente e responda às questões seguintes: 
18
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 1
 a) Quantos alunos erraram as três questões? 
 b) Quantos alunos acertaram a 1a ou a 2a questão? 
 c) Quantos alunos erraram a 3a questão? 
(Coordenadoria de Admissão aos Cursos Regulares – FGV/DO-SP) – Uma pesquisa 
de mercado sobre o consumo de três marcas (A, B e C) de um determinado produ-
to apresentou os seguintes resultados: A (48%); B (45%); C (50%); A e B (18%); 
B e C (25%); A e C (15%); nenhuma das três, 5%.
(Dica: represente a porcentagem de entrevistados que consomem as três marcas por x 
e construa o diagrama com as informações dadas.)
 a) Qual é a porcentagem dos entrevistados que consomem as três marcas? 
 b) Qual é a porcentagem dos entrevistados que consomem apenas uma das três 
marcas?
 
Desafio!
19Matemática – 8a série/9o ano – Volume 1
VOCÊ APRENDEU?
Conjuntos numéricos
 10. Qual diagrama representa melhor os subconjuntos dos números reais?
 IN – Naturais / – Inteiros / – Racionais / r – Irracionais
 a) 
INr
IR
 b) 
IN
IR
 c) 
IN
IR
r
20
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 1
 11. Na atividade anterior, destaque com lápis de cor o conjunto dos números irracionais. 
 12. Classifique em verdadeira ou falsa as expressões matemáticas a seguir. Reescreva as expressões 
falsas, tornando-as verdadeiras.
 a) IN 
 b) IN 
 c) IR – IIr 
 d) 
 e) IIr 
21
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 1
VOCÊ APRENDEU?
Números racionais e sua escrita decimal
 1. Responda:
 a) Qual é a fração geratriz da dízima 0,7999...?
 b) Qual é o decimal obtido quando dividimos o numerador pelo denominador na fração en-
contrada no item a?
Leitura e análise de texto
A conclusão importante que decorre da atividade 1 é que tanto a dízima periódica 
0,7999... quanto o decimal finito 0,8 são representações decimais de uma mesma fração: 4
5
.
Considerando o resultado obtido como fração geratriz de uma dízima periódica, 
podemos afirmar que:
Todo número racional pode ser escrito como uma dízima periódica.
Historicamente, o desenvolvimento da representação de racionais por uma dízima 
periódica teve como motivação a busca pela escrita de qualquer fração sob uma forma 
decimal, pois tanto o cálculo como a comparação entre frações decimais são mais simples 
do que entre frações ordinárias.
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2 
NÚMEROS RACIONAIS E SUA ESCRITA DECIMAL
22
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 1
 2. Encontre frações que mostrem a equivalência entre os seguintes números:
 a) 2,5 e 2,4999...
 b) 1 e 0,999...
 c) 0,32 e 0,31999...
23
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 1
 3. Analise atentamente os resultados obtidos na atividade anterior e justifique a seguinte afirma-
ção: “Todo número racional pode ser escrito como uma dízima periódica”.
 4. Se todo número racional pode ser escrito como uma dízima periódica, será sempre possível 
representar um racional como uma soma de infinitas frações. Por exemplo, no caso dos racionais
 4
5
 e 7
6
, essas somas seriam:
4
5
 0,8 0,7999... 7
10
 + 9
100
 + 9
1 000
 + 9
10 000
 + ...
7
6
 1,1666... 1 + 1
10
 + 6
100
 + 6
1 000
 + 6
10 000
 + ...
 Com base nessa mesma ideia, escreva as frações a seguir como a soma de infinitas frações:
 a) 3
8
 
 b) 7
3
 
24
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 1
LIÇÃO DE CASA
 5. Encontre a fração geratriz de 2,3939... e mostre que ela é diferente da fração geratriz de 2,4.
 (Sugestão: encontre as frações geratrizes dos dois decimais e, em seguida, transforme essas fra-
ções em frações de mesmo denominador para poder compará-las.)
25
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 1
Leitura e análise de texto
Localização de números na reta real com o uso de régua e compasso
Os gregos antigos interessavam-se por construções geométricas feitas com o uso de 
dois dos instrumentos geométricos mais simples de todos: a régua sem escala e o compas-
so. Outros instrumentos de construção também eram utilizados na Antiguidade clássica, 
porém, acredita-se que o problema de encontrar os procedimentos para as construções 
geométricas com o uso de apenas esses dois instrumentos estaria relacionado à busca de 
simplicidade e elegância.
Iremos investigar a seguir alguns procedimentos com régua sem escala e compasso para 
localizar na reta real a maior quantidade de números que for possível. Começaremos nossa 
discussão apresentando um diagrama com exemplos de números de cada conjunto nu-
mérico e, em seguida, tentaremos localizar na reta real (com os instrumentos permitidos) 
alguns dos exemplos colocados no diagrama.
 
0,25
0
1
3
2
– 1
– 2
– 3
– 6
2,3666...
π
1
2
1
3
IR – 
IN
2
3
23
24
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3 
ARITMÉTICA, ÁLGEBRA E GEOMETRIA 
COM A RETA REAL
4
7
26
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 1
VOCÊ APRENDEU?
Construção dos números naturais e dos inteiros negativos
 1. Partindo de uma reta ordenada com uma marcação para o zero, estabeleça uma unidade de me-
dida arbitrária (1u) e, com a ajuda do compasso, marque alguns números naturais e os inteiros 
negativos transferindo a unidade para a reta real.
–3 –2 –1 0 1 2 3 IR
1u
 
Construção dos racionais não inteiros
 2. Faça a construção de 1
2
 na reta real.
 (Sugestão: marque com o compasso o número 1 e, em seguida, trace a mediatriz do segmento 
que liga os números 0 e 1.)
0 1 IR
 
©
 C
o
n
ex
ão
 E
d
it
o
ri
al
27
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 1
 3. Construa e localize, na reta real, com régua e compasso, o ponto correspondente ao número 0,25 = 1
4
.
 4. Com base nas atividades anteriores, reflita sobre como seria possível construir, com régua sem 
escala e compasso, o número racional – 7
 8
 . Registre suas conclusões. 
 5. Siga as orientações seguintes e localize 1
3
 na reta real. (Observação: embora seja um pouco 
trabalhoso, o procedimento de construção é vantajoso porque constitui um método geral para 
a representação de qualquer racional do tipo 1
q
, com q *).
28
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 1
Construção do 1
3
 :
 I. Marque D e E nos pontos correspondentes aos números reais 0 e 1 da reta.
 II. Trace uma reta qualquer (diferente da reta real) passando por D, que chamaremos 
de reta t.
 III. Na reta t, com a ajuda do compasso, marque três segmentos de mesmo comprimento a 
partir do ponto D (na figura, são os segmentos DA, AB e BC). O comprimento desses 
segmentos não precisa ser igual à unidade de medida 1u.
 IV. Ligue C com E formando o triângulo DCE.
Até essa etapa, a sua construção deve ser semelhante a:
0
D
A
B
C
1
E
t
IR
29
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 1
Note que, se for possível traçar, com régua e compasso, retas paralelas à reta que passa por E e C 
de forma que elas passem pelos pontos B e A, segundo o Teorema de Tales, a interseção dessas retas 
com a reta real ocorrerá nos números 1
3
 e 2
3
.
Para traçar a paralela s à reta EC, siga estes passos:
 I. A partir de um ponto P de EC, abra o compasso até B e trace uma semicircunferência de 
diâmetro XZ .
 II. Transfira com o compasso o segmento XB na semicircunferência para a posição indicada na 
figura por ZQ ( XB e ZQ são congruentes).
 III. Ligue os pontos B e Q, e trace a reta s, que será paralela à EC.
 IV. Observe que a interseção de s com a reta real ocorrerá em 2
3
. Para traçar 1
3
, basta transferir com 
o compasso o segmento de extremos em 2
3
 e em 1 para a esquerda de 2
3
 (note que o segmento 
reproduzido tem medida igual a 1
3
 u).
Agora, verifique se a sua construção corresponde à figura a seguir:
0
D
Q
Z
X
s
t
PA
B
C
1
E
2
3
IR
Caso constate alguma diferença entre a sua construção e a imagem apresentada, tente rever as 
etapas indicadas para identificar possíveis problemas.
1
3
30
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 1
O procedimento descrito anteriormente permite a generalização da construção com régua sem 
escala e compasso de qualquer racional 1
q
, com q * e, consequentemente, de qualquer fração p
q
, 
com p e q *.
LIÇÃO DE CASA
 6. Construa e localize, na reta real, com régua e compasso, o ponto correspondente ao número 
0,8333... = 5
6
 .
31
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 1
VOCÊ APRENDEU?
Localização de números irracionais na reta real com o uso de régua e compasso 
 7. Uma vez que já conhecemos um procedimento para localizar todos os racionais na reta real com 
régua e compasso, o próximo passo é investigar a localização dos números irracionais, por exem-
plo, a construção do número 2 pode ser feita da seguinte forma:
 a) Trace uma perpendicular à reta real passando pelo zero.
 b) Marque 1 u na reta traçada (P) e também na reta real (Q).
 c) Ligue P e Q. O segmento obtido tem medida 2u (pelo Teorema de Pitágoras).
 d) Transfiracom o compasso o segmento de extremos P e Q para a reta real e determine 2u 
sobre ela.
32
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 1
Verifique se sua construção corresponde à figura a seguir:
0 1
1 P
Q
IR
Observe que, se utilizarmos um triângulo retângulo de catetos 1u e 2 u, sua hipote-
nusa será 3 u, o que mostra que também é possível construir 3, ou seja, repetindo esse 
processo, pode-se construir qualquer número irracional do tipo n, com n natural e não 
quadrado perfeito. 
Frequentemente, os livros de Matemática apresentam a seguinte construção associada a 
uma espiral.
1
1
1
1 1
1
1
1
1
1
1
11
...
2
 √ 
___
 12 
 √ 
__
 2 
 √ 
__
 3 
 √ 
__
 5 
 √ 
__
 4 
 √ 
__
 9 
 √ 
___
 13 
 √ 
___
 14 
 √ 
___
 15 
 √ 
___
 16 
 √ 
___
 17 
 √ 
___
 11 
 √ 
___
 10 
 √ 
__
 8 
 √ 
__
 6 
 √ 
__
 7 
2
33
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 1
 8. Construa 24 com base na propriedade do triângulo retângulo apresentada a seguir.
B C
A
a
n m
h
bc
 a) Analisando a relação anterior, qual será o valor de h se n = 1 e m = 2?
 b) Se n = 1 e m = 2 , qual é o valor de h?
 c) Qual seria o valor de h se n = 1 e m = 24 ?
 d) Repetindo esse procedimento, quais raízes podem ser obtidas?
 
Leitura e análise de texto
Acompanhe os procedimentos necessários para a construção de 24 , com régua sem 
escala e compasso.
 1. Trace com régua e compasso os números reais 1 e 1 + .
h2 = m n
34
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 1
2
2
2
2
1 2
1 2
 2. Trace a mediatriz t do segmento de extremos em 0 e para determinar M, ponto 
médio desse segmento.
0
1
1 M
t
IR
 3. Trace uma semicircunferência de centro M e raio .
0
1
1 M
t
IR
35
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 1
 4. Trace uma perpendicular à reta real passando pelo número 1 e, em seguida, marque 
com o ponto P sua interseção com a semicircunferência.
0
1
1 M
t
P
IR
 5. Observe que o segmento de extremos em P e no número 1 tem comprimento 24 , 
porque é a altura de um triângulo retângulo de projeções ortogonais dos catetos sobre 
a base medindo 1 e 2.
1
h
 
O procedimento descrito permite que se construa qualquer raiz do tipo n
p
, dado que 
p é uma potência de 2 diferente de 1, ou seja, p é igual a 2, 4, 8, 16, ..., e n natural.
2
h2 = 1 √ 
__
 2 
h = 
4
 √
 __ 
2 
1 2
Este ângulo é reto porque é um ângulo 
inscrito de um ângulo central de 180o.
2
2
36
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 1
LIÇÃO DE CASA
 9. Construa e localize, na reta real, com régua e compasso, o número 5.
 (Utilize o procedimento da espiral.)
 10. Com base no que foi apresentado na seção Leitura e análise de texto, construa 54 , com régua 
sem escala e compasso.
 (Use as relações métricas no triângulo retângulo.)
37
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 1
Leitura e análise de texto
O micro, o macro e as potências de 10
O principal argumento para justificar o uso de uma notação na forma de potências 
de 10 é que ela facilita a compreensão, a comparação e a operação com números muito 
grandes ou muito pequenos. As informações numéricas escritas na forma decimal nem sem-
pre são inteligíveis. Por exemplo: o raio do átomo de hidrogênio mede, aproximadamente, 
0,000000005 cm; uma célula é formada por cerca de 2 000 000 000 000 átomos. Dificilmente 
somos capazes de assimilar tais informações. Escrevendo os mesmos números como potências 
de 10, é possível ter uma ideia da sua ordem de grandeza:
raio do átomo de hidrogênio: 5 10–9 cm;
número de átomos em uma célula: 2 1012.
Um número pode ser escrito como uma potência de 10 de diferentes formas. Para 
isso, basta decompô-lo em um produto por um múltiplo de 10.
1 500 1 = 150 10 = 15 100 = 1,5 1 000 = 0,15 10 000 = ...
Em notação de potência de 10, os mesmos números seriam escritos assim:
1 500 100 = 150 101 = 15 102 = 1,5 103 = 0,15 104 = ...
Ou seja, existem infinitas maneiras de expressar um número como o produto de uma 
potência de 10.
VOCÊ APRENDEU?
 1. Escreva de quatro modos diferentes os números a seguir como potências de 10. 
 a) 250 = 
 b) 0,004 = 
 c) 4,73 = 
 d) 0,125 = 
 e) 25 300 = 
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4 
POTÊNCIAS, NOTAÇÃO CIENTÍFICA E ORDEM DE GRANDEZA
38
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 1
 2. Percepção numérica: números muito grandes ou muito pequenos costumam fugir à nossa intuição. 
Como intuir a magnitude de um milhão ou de um trilhão? E a magnitude de um bilionésimo? 
Nesta atividade, você vai verificar se sua intuição numérica é capaz de avaliar a magnitude de alguns 
números. Para isso, suponha que você tenha de estimar o tempo necessário para contar até deter-
minado número, um número por segundo. Por exemplo, para contar até 100, são necessários 100 
segundos, isto é, 1 minuto e 40 segundos. 
 Preencha a tabela com base nas instruções a seguir:
 I. observe os números por extenso, apresentados na primeira coluna;
 II. seguindo o exemplo da segunda coluna, insira os numerais de acordo com a primeira coluna;
 III. na terceira coluna, indique o numeral na forma de potência de 10;
 IV. na última coluna, efetue os cálculos necessários para determinar o tempo de contagem, 
usando uma unidade de medida apropriada (minuto, hora, mês, ano ou século).
 
Nome Número
Potência 
de 10
Tempo de contagem
Um 1 100 1 segundo
Mil 1 000 103
Milhão
Bilhão
Trilhão
Quatrilhão
Quintilhão
PESQUISA INDIVIDUAL
Prefixos do Sistema Internacional de Medidas
Os prefixos são usados para facilitar a medição de algumas grandezas, principalmente 
nas ciências. Alguns desses prefixos são bem conhecidos, como o quilo (1 000), que é 
usado para expressar distâncias (quilômetro = 1 000 metros), massa (quilograma = 1 000 gra-
mas) ou, até mesmo, unidades de informação (quilobyte = 1 000 bytes). Outros prefixos 
são menos conhecidos, como os exemplos a seguir: 
39
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 1
femtômetro de extensão.
micrômetro.
petagramas.
equivaleram a 281 exabytes.
Faça uma pesquisa e descubra quais são os outros prefixos do Sistema Interna-
cional. Preencha a tabela a seguir com o nome dos prefixos e letras correspondentes 
aos valores em potências de 10. 
LIÇÃO DE CASA
 3. Escreva os números a seguir por extenso e em notação científica:
Exemplo: 0,035 (trinta e cinco milésimos), 3,5 10 – 2
 a) 7 300 000 000 
 b) 2 980 000 000 000 000 000 
 c) 0,25 
 d) 0,0004 
 e) 0,0000125 
Prefixo Símbolo
Potência 
de 10
Prefixo Símbolo
Potência 
de 10
10-18 quilo k 103
10-15 106
10-12 109
10-9 1012
10-6 1015
10-3 1018
10-2
10-1
40
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 1
 4. Transforme os dados numéricos em notação científica.
 a) A população da China é aproximadamente igual a 1,3 bilhão de habitantes.
 b) A Bacia Amazônica é formada pelo Rio Amazonas e seus afluentes, e ocupa uma área, 
de 7 045 000 km2, dos quais 4 750 000 km2 estão em território brasileiro. 
 c) A velocidade da luz é cerca de 300 000 km/s. 
 d) A espessura da folha de papel é de, aproximadamente, 0,0001 m.
VOCÊ APRENDEU?
 5. Efetue as seguintes operações usando as propriedades da potenciação. Dê as respostas em 
notação científica.
 a) 1 200 500 000 = 
 b) 0,00015 0,002 = 
 c) 450 000 ÷ 0,009 = 
 d) (0,0004)4 = 
 6. Efetue as operações a seguir e dê a resposta em notação científica.
 a) 2,5 105 + 7 103 = 
 b) 2,5 107 – 500 104 = 
 c) 1,28 108 + 4 105 = 
 d) 7,54 107 – 3,2 106 = 
41
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 1
LIÇÃO DE CASA
 7. Escreva as distâncias indicadas na tabela em notação científica:
Planeta Distância média até o Sol (em km) Notação científica
Mercúrio 57 900 000
Vênus 108 200 000
Terra 149 600 000
Marte 227 900 000
Júpiter 778 300 000
Saturno 1 427 000 000
Urano 2 870 000 000
Netuno 4 497 000 000
 8. Com base na tabela anterior, considere o seguinte problema: em determinado momento, Sol, 
Terra e Saturno formam um triângulo retângulo, com o ângulo reto na Terra. Qual é a distânciaentre Saturno e a Terra? (Faça um desenho para representar a situação descrita.)
42
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 1
Leitura e análise de texto
Ordem de grandeza 
Em muitas situações, quando se trabalha com medidas muito grandes ou muito 
pequenas, não há necessidade de conhecer com precisão todos os algarismos que compõem 
o número. Nesses casos, basta conhecer a potência de 10 que mais se aproxima de deter-
minado valor. Tal potência é denominada ordem de grandeza do número que expressa a 
medida.
Exemplos: 
 a) O raio orbital médio do planeta Júpiter mede aproximadamente 778 547 200 km. Esse 
número pode ser escrito como 7,785472 108 km. Como 7 está mais próximo de 10 
do que de 1, é possível arredondá-lo para 10, resultando no produto 10 108. Portanto, 
sua ordem de grandeza é de 109.
 b) A ordem de grandeza do número 0,000031 é 10 – 5. Escrito em notação científica, 
temos 3,1 10–5. Nesse caso, nota-se que o 3 está mais próximo do 1 do que do 10. 
Portanto, arredondando o número para baixo, o resultado será 1 10–5.
Conhecendo a ordem de grandeza de diversas medidas, pode-se facilmente distinguir 
qual é a menor ou a maior, bastando comparar os expoentes das potências de 10. Retoman-
do a tabela da atividade 7, que informa as distâncias médias dos planetas em relação ao Sol, 
constata-se que a distância Terra-Sol é da ordem de 108 km, enquanto a distância Júpiter-
Sol é da ordem de 109 km. Em termos de ordem de grandeza, Júpiter é, aproximadamente, 
dez vezes mais distante do Sol que a Terra.
VOCÊ APRENDEU?
 9. Dê a ordem de grandeza das seguintes medidas:
 a) População mundial: aproximadamente 6,9 bilhões em 2011.
 b) Massa da Terra: 5,9742 1024 kg.
43
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 1
 c) Massa de um elétron: 9,11 10 – 28 g.
 d) Altitude do Everest: 8 848 m.
 e) Idade estimada do Universo: 13,7 bilhões de anos.
 
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 1
44
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 5 
ALGUNS MÉTODOS PARA RESOLVER EQUAÇÕES 
DE 2o GRAU
VOCÊ APRENDEU?
 1. Os participantes de um festival de música decidiram que, ao final do evento, fariam uma festa 
de encerramento. Nessa festa, cada participante daria uma flor de presente a cada colega 
que participou do evento. Quantas flores serão distribuídas se o total de participantes for igual 
a 5? E se for igual a 6? E igual a 7?
 2. Complete a tabela a seguir:
Número de 
participantes
Número de flores que cada 
um vai receber
Total de flores
3 2 3 2 = 6
4
5
6
11
x
y + 1
 3. Se o total de flores distribuídas na festa for igual a 930, qual será o número de participantes?
 a) 29 b) 30 c) 31 d) outro
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 1
45
 4. Para responder à questão anterior, um aluno de 8a série/9o ano, aplicou seus conhecimentos 
algébricos e fez a seguinte reflexão:
Escreveu a expressão algébrica 
relativa ao problema
x(x – 1) = 930
Aplicou a propriedade distributiva x2 – x = 930
Deixou todos os termos no primeiro 
membro da equação, igualando-a a zero
x2 – x – 930 = 0
 Para resolver essa equação, o aluno substituiu a incógnita x pelos valores das alternativas e, as-
sim, descobriu a correta. Use o mesmo procedimento e, em seguida, compare o resultado com 
a sua resposta à atividade 3.
 E se as alternativas não tivessem sido dadas, como você resolveria esse problema?
 5. Traduza as seguintes situações por meio de uma equação. Em seguida, resolva cada equação e 
encontre a resposta para os problemas. 
 (Dica: desenhe as figuras e represente os lados desconhecidos por uma letra.)
 a) A área de um quadrado de lado x é igual a 49 cm2. Qual é a medida do lado desse quadrado?
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 1
46
 b) Um retângulo tem área igual a 242 cm2 e o seu lado maior é o dobro do menor. Qual é a 
medida do lado maior desse retângulo? 
 c) A área de um triângulo retângulo isósceles é 18 cm2. Determine as medidas de seus catetos 
e de sua hipotenusa.
 d) A área do retângulo representado pela figura a seguir é igual a 65 cm2. Calcule seu perímetro.
x + 8
x
 e) Um canteiro na forma de um quadrado foi reduzido de modo a ser contornado por uma 
calçada com 2 m de largura, conforme a figura a seguir. Com isso, sua área passou a ser de 
144 m2. Qual era a medida da área original desse canteiro?
2 m
144 m2
 
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 1
47
LIÇÃO DE CASA
 6. Escreva as equações elaboradas na atividade 5 da seção Você aprendeu? na tabela a seguir. De-
pois, faça as operações algébricas necessárias de tal modo que o segundo membro da equação 
seja igual a zero.
Item Equação utilizada Equação transformada
a) x2 = 49 x2 – 49 = 0
b)
c)
d)
e)
 Quais são as principais semelhanças e diferenças que podem ser observadas entre as cinco 
equações obtidas?
VOCÊ APRENDEU?
 7. Resolva as equações a seguir e depois verifique se os valores encontrados as satisfazem. 
 a) x + =4 9 b) 2 16
2x
 
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 1
48
 c) x3 – 9x = 0 d) x4 – 16 = 0
 8. Obtenha as raízes das equações a seguir:
 a) x2 = 9 c) 3x2 = 27
 b) 4x2 – 36 = 0 d) x2 – 4 = 12
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 1
49
 e) 4x2 – 25 = 0 f ) 
2
=
5x2 2
5
 g) x2 + 1 = 0 h) 4 = x2
 i) –2x2 + 7 = 0 j) x2 = 0
 k) 3x2 = 0 l) x2 + 1 = 1
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 1
50
 9. Se o produto de dois fatores é zero, necessariamente um deles é igual a zero. Assim, obtenha as 
raízes reais das seguintes equações:
 a) (x + 2) (x – 6) = 0 b) – –x+( )3 2x ( )
1
2
0=⋅
 c) –x2 + 4x = 0 d) x2 + x = 0
 e) (x – 3) (2x – 10) = 0
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 1
51
LIÇÃO DE CASA
 10. Obtenha as raízes reais das equações a seguir:
 a) x2 – 9 = 27 b) (x + 7) (–x + 11) = 0
 c) 2x2 + 1 = 0 d) 3x2 – 12x = 0
 e) 5x 2 – 125 = 0
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 1
52
Considere o seguinte problema: 
“A área de um quadrado acrescida de 8 vezes o seu lado é igual a 65. 
Qual é a medida do lado desse quadrado?”
 Na Álgebra moderna, esse problema pode ser traduzido pela seguinte expressão algé-
brica: x2 + 8x = 65. Resolvendo a equação, podemos obter a solução do problema.
Antigamente, contudo, os matemáticos não dispunham das mesmas ferramentas 
da Álgebra moderna. Usavam, então, outras estratégias para resolver problemas desse 
tipo. Uma delas foi desenvolvida pelo matemático árabe Al-Khowarizmi, que viveu em 
Bagdá no século IX. 
O método desenvolvido por ele compreendia os seguintes passos:
I. As expressões x2 e 8x são interpretadas como as áreas de um quadrado e de um 
retângulo. A solução do problema é, então, a medida do lado do quadrado:
x
x xmais igual a 65
8
8xx
2
x2 + 8x = 65
II. O retângulo é dividido em dois retângulos de mesma área. Logo, a equação seria 
interpretada da seguinte maneira:
x
x x
4 4
4x 4xx2 mais igual a 65
x2 + 2 4x = 65
Leitura e análise de texto
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 1
53
III. Cada retângulo é arranjado de modo que fiquem justapostos aos dois lados do 
quadrado. Com essa composição, a área da figura continua sendo 65. 
x
x
4
4
4x
4xx2
IV. Para completar o quadrado, acrescentava-se um quadrado no canto da figura anterior. 
A medida do lado desse quadrado é a mesma do lado conhecido do retângulo, ou seja, 
4. Assim, a área do novo quadrado é 4 4 = 16. Com esse método, “completava-se um 
quadrado perfeito” de lado x + 4 e com área igual a 65 + 16 = 81.
x
x
4
4
4
44x 16
4xx2
x2 + 2 4x + 16 = 65 + 16 ou (x + 4)2 = 81
V. Se a nova área é 81, então a medida do lado do novo quadrado será 81 9. 
 Assim, o lado do quadrado corresponde a x + 4 = 9, portanto, x = 5 é a solução.
 
VOCÊ APRENDEU?
 11. Resolva o problema a seguir usando o método desenvolvido por Al-Khowarizmi, apresentado 
na seção Leitura e análise de texto. Desenhe as figuras e escreva as equações equivalentes a cada 
etapa no espaço a seguir. 
“A área de um quadrado acrescida de 12 vezes o seu lado é igual a 13. Qual é a medida 
do lado desse quadrado?”
Matemática – 8a série/9oano – Volume 1
54
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 1
55
LIÇÃO DE CASA
 12. Encontre as raízes das equações de 2o grau aplicando o método de “completamento do quadrado” 
desenvolvido por Al-Khowarizmi.
 (Observação: desenhe a figura do quadrado que representa a solução de cada equação.)
 a) x2 + 20x = 300
 b) x2 + 5x = 6
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 1
56
 c) x2 + 2x + 1 = 0
 
VOCÊ APRENDEU?
 13. Quais dos seguintes trinômios referem-se a quadrados perfeitos? Escreva-os na forma fatorada. 
 a) x2 + 4x + 4 b) x2 – 6x + 9
 c) 4x2 + 12x + 9 d) 25x2 + 100x + 100
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 1
57
 e) x2 – x + 1
 14. Encontre o termo que falta para que o trinômio seja um quadrado perfeito:
 a) x2 + 18x + 
 b) 9x2 + x + 4
 c) x2 – 20x + 
 d) 4x2 – x + 49
 e) x2 – 30x + 25
 15. Resolva as seguintes equações de 2o grau. 
 (Dica: use a forma fatorada do trinômio quadrado perfeito.)
 a) x2 – 6x + 9 = 0 c) x2 – 4x + 4 = 0
 (x – 3)2 = 0. 
 Logo, x = 3.
 b) x2 + 12x + 36 = 0 d) x2 + x + 1 __ 
4
 = 0
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 1
58
16. Descubra dois números cuja soma e produto sejam, respectivamente, iguais a:
 a) 7 e 12 d) 10 e –24
 
 + = 
 . = 
 + = 
 . = 
 b) 11 e 24 e) –13 e 40
 
 + = 
 . = 
 + = 
 . = 
 c) 11 e –12 f ) –6 e –40
 
 + = 
 . = 
 + = 
 . = 
17. Use a ideia da soma e do produto e fatore os trinômios de 2o grau conforme o exemplo 
a seguir:
 a) x2 + 17x + 30
 I. Descobrir dois números cuja soma seja 17 e cujo produto seja 30: 2 e 15.
 II. Fatorar o trinômio x2 + 17x + 30 : (x + 2) (x + 15).
 III. Verificar se o produto obtido corresponde ao trinômio original:
 x2 + 15x + 2x + 30 = x2 + 17x + 30.
 b) x2 – 12x + 32
 c) x2 – 7x – 60
 d) x2 – 4x – 60
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 1
59
 18. Resolva as equações a seguir usando a fatoração de 2o grau (método da soma e do produto):
 a) x2 – 2x – 15 = 0
 Fatorando o trinômio, obtemos (x – 5) (x + 3) = 0
 Logo, x = 5 ou x = – 3.
 b) x2 + 7x + 12 = 0 
 c) x2 – 12x + 36 = 0 
 d) x2 + 5x – 36 = 0
 e) x2 – 13x + 36 = 0
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 1
60
VOCÊ APRENDEU?
 19. Ao preparar uma atividade para seus alunos, um professor queria escrever uma equação de 
2o grau cujas raízes fossem os números 8 e 9. Ele procedeu da seguinte maneira:
(x – 8) (x – 9) = 0 é uma equação cujas raízes são 8 e 9. Aplicando a propriedade 
distributiva, obtemos: x2 – 9x – 8x + 72 = 0, ou seja, x2 – 17x + 72 = 0
 Assim, o professor obteve uma equação de 2o grau, na forma ax2 + bx + c = 0, com as raízes desejadas.
 Escreva equações de 2o grau que tenham como raízes os números a seguir:
 a) –5 e 3 d) – 1 __ 
2
 e 2 __ 
3
 
 b) 4 e 12 e) 0 e 12
 c) –2 e –2,5 f ) 5 e –5
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 1
61
20. Resolva as equações a seguir usando a fórmula de Bhaskara: x = – b ± ® 
_______
 b2 – 4ac _____________ 2a 
 .
 Lembre-se de que, para aplicá-la, a equação deve estar na forma ax2 + bx + c = 0.
 a) x2 + 2x – 3 = 0 d) 2x2 + x = 1
 b) 3x2 + 5x + 2 = 0 e) 3x2 – 2x + 1 = 0
 c) 7x – x2 – 6 = 0 f ) 4x2 + 12x + 9 = 0
BOOK_MAT-SPFE-2014_8s_CAA_vol1.indb 61 13/11/13 13:43
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 1
62
 21. Discuta com seus colegas a afirmação a seguir e registre suas conclusões.
“Dependendo do valor da expressão b2 – 4ac, uma equação de 2o grau pode 
admitir duas raízes reais distintas, duas raízes reais idênticas (uma raiz dupla), ou 
não admitir raízes reais.”
LIÇÃO DE CASA
22. Resolva as equações a seguir utilizando o método que julgar mais apropriado. Lembre-se de que 
uma equação de 2o grau pode ter duas raízes reais distintas, uma raiz real dupla ou nenhuma 
raiz real.
 a) x2 – 4x + 4 = 0
 b) y2 + y + 1 = 0
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 1
63
 c) x2 = 8x – 15
d) y + 2y2 = 4
 23. Justifique o fato de as quatro equações a seguir terem as mesmas raízes:
– x2 + 2x + 3 = 0
x2 – 2x – 3 = 0
–10x2 + 20x + 30 = 0
–0,5x2 + x + 1,5 = 0
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 1
64
VOCÊ APRENDEU?
 24. Desenvolvendo-se algebricamente as equações a seguir, é possível obter equações de 2o grau. 
Utilize essa estratégia para resolvê-las.
 a) 
x
x
+
=
5
3
2
 b) 
10
1
2 9
2x x x+
= +
+
 c) 10
24
1x2 –
=
2
1x –
+
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 1
65
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 6 
EQUAÇÕES DE 2o GRAU NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
Leitura e análise de texto
A Índia foi palco de grande desenvolvimento matemático entre os séculos VII e 
XII. Embora não haja evidências históricas que associem a fórmula para resolução de 
uma equa ção de 2o grau à figura do matemático hindu Bhaskara, o povo hindu em geral 
deu valiosas contribuições no campo das ideias matemáticas.
Relevantes contribuições no campo das equações também foram dadas pelos árabes 
e babilônios. As atividades apresentadas a seguir resgatam modelos de problemas que es-
ses povos criaram para aplicar e registrar seus conhecimentos sobre equações quadráticas. 
Alguns desses modelos são adaptações do livro Lilavati, escrito por Bhaskara.
VOCÊ APRENDEU?
 1. Responda às seguintes questões:
 a) O quadrado da oitava parte de um bando de macacos saltitava em um bosque divertindo-se 
com a brincadeira, enquanto os 12 restantes tagarelavam no alto de uma colina. Quantos 
macacos constituem o bando?
 b) Em ambas as margens de um rio existem duas palmeiras, uma em frente à outra. A altura 
de uma é 30 côvados; a da outra, 20. A distância entre seus troncos é de 50 côvados. Na 
copa de cada palmeira está um pássaro. Subitamente os dois pássaros descobrem um peixe 
que aparece na superfície da água. Os pássaros lançam-se sobre ele e o alcançam no mesmo 
instante. Qual é a distância entre o tronco da palmeira maior e o peixe? 
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 1
66
 A situação está ilustrada na figura a seguir.
 c) Adicionei sete vezes o lado de um quadrado a onze vezes a sua área e o resultado foi 6,25. 
Qual é a medida do lado do quadrado?
30
20
50 – xx
©
 C
o
n
ex
ão
 E
d
it
o
ri
al
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 1
67
 2. Perguntaram a um professor de Matemática sobre o número de pessoas que o acompanharam na 
visita a uma exposição. Como resposta, o professor criou um problema, explicando que todas as 
pessoas que o acompanharam, ao se encontrarem, cumprimentaram-se apertando as mãos e que, 
assim, ele observou 66 cumprimentos. Quantas pessoas acompanharam o professor?
 3. Mostre que não existem dois números reais tais que sua soma seja igual a 5 e seu produto 
igual a 10.
 4. Considere a equação de 2o grau x2 + bx + 9 = 0, sendo b um número real.
 a) Substitua b por 10 e calcule as raízes da equação. 
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 1
68
 b) Determine um valor de b para o qual a equação possua duas raízes reais e iguais (pode-se 
dizer também uma raiz real dupla).
 c) Determine um valor de b para o qual a equação não possua raízes reais. 
 5. A diagonal de um polígono convexo é o segmento que une dois vértices não consecutivos. 
Por exemplo: na figura a seguir, os vértices C, D, E, F e G não são consecutivos ao vértice A.
A
B
H
C
D
E
F
G
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 1
69
 Com base nessa definição:
 a) Quantas diagonais tem um retângulo? E um pentágono? 
 b) Complete a tabela apresentada a seguir:
Número de lados de 
um polígono
Número de diagonais de 
um polígono
3 0
4 2
5 5
6
7
...
n
 c) Qual é o número de diagonais de um polígono com 15 vértices? 
 d) Sabendo que um polígono tem 44 diagonais, quantos lados tem esse polígono?
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 1
70
 e) Utilizando seus conhecimentos sobre equações de 2o grau, mostre que não existe um polí-
gono com exatamente 42 diagonais.
LIÇÃO DE CASA
 6. O projeto de um jardim retangular prevê que se coloquem pedras ornamentais, formando com 
o jardim uma área maior, também retangular. Na figura a seguir, a regiãocinza representa o 
lugar onde as pedras deverão ser colocadas.
x 15 m
6 m
x
 Sabendo que a área ocupada pelas pedras é de 46 m2, calcule a medida x, em metros.
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 1
71
 7. Em uma peça retangular de tecido, parcialmente representada na figura a seguir, o número de 
fios de linha vermelha excede o número de fios de linha azul em 5, sendo que o total de pontos 
de cruzamento entre as linhas azuis e vermelhas é igual a 6 800. Calcule o número de 
fios de linhas azul e vermelha usados na confecção desse tecido.
fios de linha vermelha
fi
o
s 
d
e 
li
n
h
a 
az
u
l
 8. Um vitral retangular colorido de dimensões 2 m por 4 m será emoldurado conforme indica 
a figura a seguir. Sabendo que a área total da moldura é 7 m2, calcule a medida x do lado 
dos quadrados nos cantos da moldura, tendo em vista que os quatro cantos da moldura são 
quadrados idênticos. 
x
x
x
xx
x
x
x
4 m
2 m
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 1
72
9. Com os procedimentos já estudados para solucionar equações de 2o grau, você 
pode resolver também equações de outros graus. Assim, resolva as seguintes 
expressões algébricas:
 a) x3 – 6x = 0
 b) x = √
——
 + 3x – 1
Desafio!
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 1
73
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 7 
GRANDEZAS PROPORCIONAIS: ESTUDO 
FUNCIONAL, SIGNIFICADOS E CONTEXTOS
VOCÊ APRENDEU?
 1. Discuta com seus colegas a seguinte situação: Paulo foi à feira e encontrou ofertas de maçãs:
 Em sua opinião, a oferta das 10 maçãs é vantajosa para Paulo? Justifique sua resposta. 
 2. A tabela a seguir indica como varia a grandeza y em função da grandeza x. Analise-a e, 
levando em conta os valores apresentados, diga se as grandezas envolvidas são diretamente ou 
inversamente proporcionais, ou se não são nem direta nem inversamente proporcionais. Em 
cada caso, escreva a expressão algébrica que relaciona x e y.
 a) 
x 1 2 3 4 5 6 7
y 10 20 30 40 50 60 70
©
 C
o
n
ex
ão
 E
d
it
o
ri
al
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 1
74
 b) 
x 1 2 3 4 5 6 10
y 48 24 16 12 9,6 8 4,8
 c) 
x 1 2 3 4 5 6 7
y 3 5 7 9 11 13 15
 d) 
x 1 2 3 4 5 6 7
y 2 8 18 32 50 72 98
LIÇÃO DE CASA
 3. Refaça a tabela apresentada na atividade 2, item c da seção Você aprendeu?, e verifique se há 
proporcionalidade entre x e y – 1. Justifique sua resposta. 
x 1 2 3 4 5 6 7
y 3 5 7 9 11 13 15
y – 1
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 1
75
 4. Faça a mesma análise com o item d da atividade 2 apresentado na seção Você aprendeu?, 
verificando se há proporcionalidade entre os valores de y e os de x2. Justifique sua resposta.
x 1 2 3 4 5 6 7
x2
y 2 8 18 32 50 72 98
 5. Em cada um dos casos apresentados a seguir, verifique se há ou não proporcionalidade direta 
entre as medidas das grandezas correspondentes. Se houver, expresse tal fato algebrica-
mente, indicando o valor da constante de proporcionalidade, quando possível. 
 a) A massa m de uma pessoa é diretamente proporcional a sua idade t? 
 b) Quando compramos x metros de determinado fio, o preço p a pagar é diretamente propor-
cional a x? 
 c) O preço a ser pago por uma fotocópia é diretamente proporcional ao número de cópias?
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 1
76
 d) O perímetro p de um triângulo equilátero é diretamente proporcional ao seu lado de 
medida a?
 e) A diagonal d de um quadrado é diretamente proporcional ao lado a do quadrado?
 
a
a
d
 
 f ) O comprimento C de uma circunferência é diretamente proporcional ao seu raio r?
 g) A área de um círculo é diretamente proporcional à medida do raio? E ao quadrado do 
seu raio?
VOCÊ APRENDEU?
 6. Ao dirigir um automóvel, o motorista deve estar atento à distância percorrida pelo automóvel 
quando o freio é acionado. O código de segurança nas estradas sugere uma relação entre a 
 distância de segurança, isto é, a distância percorrida pelo carro após acionado o sistema de freios 
e a velocidade do automóvel no instante da frenagem. A tabela a seguir mostra alguns valores 
encontrados em uma pista de testes:
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 1
77
Velocidade 
v (km/h)
0 10 20 30 40 50 100 120
Distância de segurança 
d (metros)
0 1 4 9 16 25 100 144
Observando a tabela, concluímos que d = k v2. 
 a) Qual é o valor da constante de proporcionalidade k ?
 b) O automóvel encontra um obstáculo a uma distância de 83 m. Qual deve ser, aproximada-
mente, sua velocidade máxima de modo que ele não atinja o obstáculo? 
 c) Qual é a distância de segurança quando a velocidade do automóvel for v = 80 km/h?
 7. Para produzir x unidades de um produto A, o custo total C é composto por uma parcela 
fixa de mil reais e uma parcela variável, que é diretamente proporcional a x. O custo total da 
produção de x produtos é, então, C = 1 000 + kx, sendo C em reais. A constante k representa 
o aumento no custo total C quando a quantidade produzida aumenta uma unidade. Dado 
que, para produzir 100 unidades do produto A, o custo total é igual a R$ 1 500,00, responda 
às seguintes questões:
 a) Qual é o valor de k na expressão C = 1 000 + kx? 
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 1
78
 b) Em quanto aumentará o custo total se a quantidade produzida aumentar de 579 para 580? 
E de 2 938 para 2 939? 
 c) Para qual valor de x o custo variável será igual ao custo fixo?
 d) O custo total C é diretamente proporcional a x? 
 e) A diferença entre o custo total C e o custo fixo é diretamente proporcional a x? 
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 1
79
 f ) De acordo com os dados apresentados no enunciado do problema, quais valores completam 
a tabela? 
Número de 
produtos (x)
Custo total
Diferença entre o 
custo total e o custo 
fixo (custo variável)
Razão entre a 
 diferença 
calculada e x
1 1 000 + 5 1 1 005 1 005 – 1 000 5 5 ___ 1 5
2
3
4
10
 8. Uma determinada revista estadunidense apresentou duas leis que representam a relação entre o 
número do sapato (n) e o comprimento do pé (c) de uma pessoa em polegadas. Para as mulheres, 
a lei é n = 3c – 22 e para os homens, é n = 3c – 25. Assim, responda:
 a) Qual é o número do sapato de uma mulher cujo comprimento do pé é 13 polegadas? E o 
de um homem com 16 polegadas?
 b) Se um homem e uma mulher possuem o pé de mesmo comprimento, qual deles calçará o 
sapato de número maior?
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 1
80
 c) Existe alguma medida de comprimento de pé que torne o número do sapato masculino 
igual ao do feminino?
LIÇÃO DE CASA
 9. Quando mergulhamos no mar, a pressão aumenta com a profundidade. Na superfície do mar, 
a pressão é resultante do peso do ar atmosférico e sua medida é igual a 1 atmosfera. Quando 
nos encontramos a uma profundidade x (em metros), a pressão p é uma soma de duas parcelas: 
a pressão ao nível do mar mais a pressão resultante do peso da água, que é diretamente propor-
cional à profundidade x, ou seja, p = 1 + kx (p em atmosferas, x em metros e k, a constante de 
proporcionalidade). Sabendo que a cada 10 m que descemos verticalmente na água do mar, a 
pressão aumenta em 1 atmosfera, responda às questões a seguir:
a) Qual é o valor de k na relação p = 1 + kx? 
b) Em quanto aumentará a pressão se descermos verticalmente mais 1 m na água? 
c) À qual profundidade x o valor da pressão triplica em relação ao valor na superfície? 
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 1
81
 d) A pressão p é diretamente proporcional à profundidade? 
 e) A diferença entre a pressão p e a pressão na superfície é diretamente proporcional à 
profundidade? 
VOCÊ APRENDEU?
 10. A área A de uma imagem projetada é dada em função da distância d entre o projetor e a tela.
d = 1
d = 2
d = 3
 a) Observe a figura e complete a tabela a seguir, que relaciona a área A da imagem com a dis-
tância d do projetor: 
Distância (d) 1 2 3 4 5 6 7
Área (A) (u) 1
 b) Qual das expressões a seguir representa a relação entre A e d?
 A = 2d ( ) A = d + 4 ( ) A = d2 ( ) A = d + 1 ( )
©
 C
o
n
ex
ão
 E
d
it
o
ri
al
u
Matemática– 8a série/9o ano – Volume 1
82
 c) A área A da imagem é diretamente proporcional à distância d do projetor? Se sim, quanto 
vale a razão de proporcionalidade?
 d) A área A da imagem é diretamente proporcional ao quadrado da distância d ao projetor? 
Se sim, quanto vale a razão de proporcionalidade?
 11. Em finanças, dois conceitos muito importantes são o da oferta e o da demanda ou procura. A função 
oferta representa a relação entre o preço (p) necessário para que um fabricante produza certa quanti-
dade (n) desses produtos. A função demanda representa a relação entre o preço (p) que os consumi-
dores pagam pelo produto e a quantidade (n) de produtos produzidos. Supondo que a função oferta 
para determinada mercadoria seja p = 3n2 + 60n, para p dado em reais, responda:
 a) Qual o preço a ser oferecido caso a produção seja de 50 mercadorias?
 b) O que ocorre com o preço à medida que o número de mercadorias produzidas aumenta? 
Podemos dizer que o preço p é proporcional ao número de mercadorias produzidas? Cons-
trua uma tabela para fundamentar suas conclusões e justifique.
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 1
83
VOCÊ APRENDEU?
 1. Considere as grandezas “distância de casa” e “tempo decorrido” nas situações a seguir e indique 
o gráfico que melhor corresponde a cada uma.
 I. Paulo saiu de sua casa de automóvel para ir ao trabalho, mas o pneu furou. Depois de trocá-lo, 
ele continuou o trajeto. Gráfico 
 II. Ana saiu de casa para ir ao banco, mas precisou retornar para pegar sua bolsa. Em seguida, 
ela foi ao banco. Gráfico 
 III. Pedro saiu de casa devagar, mas aumentou cada vez mais sua velocidade para chegar mais 
rápido ao seu destino. Gráfico 
distância de casa
tempo
a)
tempo
distância de casab)
distância de casa
tempo
distância de casa
tempo
c) d)
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 8 
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE GRANDEZAS 
PROPORCIONAIS E DE ALGUMAS NÃO PROPORCIONAIS
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 1
84
 2. Mediram-se as massas de pequenas amostras de ferro de diversos volumes. A unidade de me-
dida de massa foi o grama (g) e a de volume foi expressa em centímetros cúbicos (cm3). Com 
os dados encontrados, construiu-se o gráfico a seguir: 
0 1 2 3 4 5
7,5
15
22,5
37,5
30
massa (gramas)
volume (centímetros cúbicos)
 a) Qual é a massa de uma amostra de ferro cujo volume é 4 cm3?
 b) Qual é o volume de uma amostra de ferro de 15 g de massa?
 c) Explique por que as grandezas volume e massa de amostras de ferro representadas no gráfico 
são grandezas diretamente proporcionais.
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 1
85
 d) Qual é a constante de proporcionalidade?
e) Escreva a relação entre a massa, m, e o volume, V, por meio de uma expressão.
 3. O gráfico a seguir indica a velocidade que um automóvel precisa alcançar em função do tempo 
para percorrer uma distância de 120 km. 
(km/h)
0
60
40
30
24
20
120
v
1 2 3 4 5 6 t (h)
 a) Com base no gráfico, complete a tabela a seguir: 
t (h) 1 1,5 2 3 4 5 6 8 12
v (km/h) 120 60
 b) Explique por que as grandezas “velocidade” e “tempo” representadas no gráfico são inversa-
mente proporcionais.
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 1
86
 c) Escreva a sentença que relaciona v e t.
LIÇÃO DE CASA
 4. Analise o gráfico a seguir. Ele indica o preço em reais de cada camiseta que uma confecção pro-
duz de acordo com o número de camisetas compradas pelas lojas.
100
2
4
6
8
10
12
14
16
18
(preço em reais por item)
200 300 400 500 600 (quantidade de itens)
 O gráfico mostra que, quanto maior for a quantidade de camisetas compradas, menor será o preço 
por unidade. Por exemplo: se uma loja comprar 100 camisetas, o preço de cada uma delas é 16 reais; 
se comprar 200, o preço por camiseta passará a ser 14 reais, e assim por diante. Agora responda:
 a) As grandezas envolvidas, preço unitário p e quantidade q, são diretamente ou inversamente 
proporcionais? Explique. 
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 1
87
 b) O que acontece com o preço da camiseta quando a quantidade vendida varia em 
100 unidades?
 c) Qual seria a diminuição no preço para um aumento de uma unidade vendida?
 d) Com base nessas informações, escreva uma sentença que relacione o preço p com a 
quantidade q.
 5. Dona Alice faz doces por encomenda. Ela fez 36 bombons e vai usar apenas um tipo de caixa 
para embalá-los, colocando a mesma quantidade de bombons em cada uma delas.
 a) As grandezas “número de bombons” e “número de caixas” são inversamente proporcionais? 
Explique. 
 b) Preencha a tabela a seguir: 
Número de bombons Número de caixas
2
3
4
6
9
12
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 1
88
 c) Construa um gráfico que represente a situação indicada na tabela anterior. 
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 1
89
VOCÊ APRENDEU?
 6. Observe os três retângulos e responda às questões a seguir:
8 cm
3 cm
I
1 cm
10 cm
II
5 cm
6 cm
III
 a) Calcule o perímetro e a área de cada um deles e, em seguida, preencha a tabela:
Retângulo Perímetro (cm) Área (cm2)
I
II
III
 b) Considere um retângulo de mesmo perímetro que os anteriores, cujos lados medem x e 
y centímetros. Expresse y em função de x.
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 1
90
 c) Complete a tabela a seguir para a função anterior com valores inteiros de x variando 
de 0 a 11. Com base nesses dados, construa o gráfico dessa função. 
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
y 11 0
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 1
91
 d) Como varia y à medida que o valor de x aumenta? O gráfico representa uma variação pro-
porcional entre x e y? Justifique.
 e) Indicando por A a área do retângulo do item anterior, escreva-a em função de x.
 f ) Preencha a tabela a seguir com os valores da área A para x variando de 0 a 11.
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
A
 g) A área A é proporcional à medida de x? Justifique.
 h) O gráfico a seguir representa a função da área A de um retângulo em relação a seu lado de 
medida x. Com base nele, determine o valor de x que torna a área máxima.
y
x0
10
20
30
10
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 1
92
 7. Um quadrado de lado x (x > 0) tem perímetro p e área A.
 a) Expresse algebricamente a relação existente entre os valores de p e de x. 
 b) Expresse algebricamente a relação existente entre os valores de A e de x.
 c) Mostre que existe um valor de x para o qual a área e o perímetro de um quadrado são 
expressos pelo mesmo número. 
 d) Esboce no mesmo sistema de coordenadas os gráficos de p e de A em função de x e localize 
o ponto encontrado no item anterior.
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 1
93
LIÇÃO DE CASA
 8. Um grupo de alunos da 8a série/9o ano formou uma banda e precisa determinar o preço x, em 
reais, do ingresso para um show de apresentação. Eles imaginaram que, se o valor do ingresso 
for muito alto, não conseguirão vendê-lo e, se for muito baixo, não obterão lucro, que seria 
investido na banda. Com base nos valores cobrados por outras bandas, os alunos concluíram 
que o lucro L de cada espetáculo, em reais, poderia ser dado pela expressão L = – x2 + 12x – 20. 
(Observação: L > 0 significa lucro e L < 0, prejuízo). 
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
– 1
–1
– 2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 x
y
x y
2 0
3 7
4 12
5 15
6 16
7 15
8 12
9 7
10 0
 Observe o gráfico e a tabela e, em seguida, responda: 
 a) Qual será o lucro caso eles decidam cobrar 4 reais por ingresso?
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 1
94
 b) Se o preço do ingresso for superior a 6 reais, podemos afirmar que o grupo terá prejuízo? 
Justifique.
 c) Para que intervalo de valores de x o lucro aumenta? E para qual ele diminui?
 d) Qual é o valor do ingresso para que o grupo obtenha o maior lucro possível? Qual é o valor 
do lucro máximo?
 e) O que acontece quando o valor dos ingressos é inferior a 2 reais ou superior a 10 reais?
 f ) O que ocorre com o lucro quando os ingressos são vendidos a 3 reais ou a 9 reais? 
CONCEPÇÃO E COORDENAÇÃO GERAL
NOVAEDIÇÃO 2014-2017
COORDENADORIA DE GESTÃO DA 
EDUCAÇÃO BÁSICA – CGEB
Coordenadora 
Maria Elizabete da Costa
Diretor do Departamento de Desenvolvimento 
Curricular de Gestão da Educação Básica 
João Freitas da Silva
Diretora do Centro de Ensino Fundamental 
dos Anos Finais, Ensino Médio e Educação 
Profissional – CEFAF 
Valéria Tarantello de Georgel
Coordenadora Geral do Programa São Paulo 
faz escola
Valéria Tarantello de Georgel
Coordenação Técnica 
Roberto Canossa 
Roberto Liberato 
S el Cristina de lb er e o
EQUIPES CURRICULARES
Área de Linguagens 
Arte: Ana Cristina dos Santos Siqueira, Carlos 
Eduardo Povinha, Kátia Lucila Bueno e Roseli 
Ventrela.
Educação Física: Marcelo Ortega Amorim, Maria 
Elisa Kobs Zacarias, Mirna Leia Violin Brandt, 
Rosângela Aparecida de Paiva e Sergio Roberto 
Silveira.
Língua Estrangeira Moderna (Inglês e 
Espanhol): Ana Paula de Oliveira Lopes, Jucimeire 
de Souza Bispo, Marina Tsunokawa Shimabukuro, 
Neide Ferreira Gaspar e Sílvia Cristina Gomes 
Nogueira.
Língua Portuguesa e Literatura: Angela Maria 
Baltieri Souza, Claricia Akemi Eguti, Idê Moraes dos 
Santos, João Mário Santana, Kátia Regina Pessoa, 
Mara Lúcia David, Marcos Rodrigues Ferreira, Roseli 
Cordeiro Cardoso e Rozeli Frasca Bueno Alves.
Área de Matemática 
Matemática: Carlos Tadeu da Graça Barros, 
Ivan Castilho, João dos Santos, Otavio Yoshio 
Yamanaka, Rodrigo Soares de Sá, Rosana Jorge 
Monteiro, Sandra Maira Zen Zacarias e Vanderley 
Aparecido Cornatione. 
Área de Ciências da Natureza 
Biologia: Aparecida Kida Sanches, Elizabeth 
Reymi Rodrigues, Juliana Pavani de Paula Bueno e 
Rodrigo Ponce. 
Ciências: Eleuza Vania Maria Lagos Guazzelli, 
Gisele Nanini Mathias, Herbert Gomes da Silva e 
Maria da Graça de Jesus Mendes. 
Física: Carolina dos Santos Batista, Fábio 
Bresighello Beig, Renata Cristina de Andrade 
Oliveira e Tatiana Souza da Luz Stroeymeyte.
Química: Ana Joaquina Simões S. de Matos 
Carvalho, Jeronimo da Silva Barbosa Filho, João 
Batista Santos Junior e Natalina de Fátima Mateus.
Área de Ciências Humanas 
Filosofia: Emerson Costa, Tânia Gonçalves e 
Teônia de Abreu Ferreira.
Geografia: Andréia Cristina Barroso Cardoso, 
Débora Regina Aversan e Sérgio Luiz Damiati.
História: Cynthia Moreira Marcucci, Maria 
Margarete dos Santos e Walter Nicolas Otheguy 
Fernandez.
Sociologia: Alan Vitor Corrêa, Carlos Fernando de 
Almeida e Tony Shigueki Nakatani.
PROFESSORES COORDENADORES DO NÚCLEO 
PEDAGÓGICO
Área de Linguagens 
Educação Física: Ana Lucia Steidle, Eliana Cristine 
Budisk de Lima, Fabiana Oliveira da Silva, Isabel 
Cristina Albergoni, Karina Xavier, Katia Mendes 
e Silva, Liliane Renata Tank Gullo, Marcia Magali 
Rodrigues dos Santos, Mônica Antonia Cucatto da 
Silva, Patrícia Pinto Santiago, Regina Maria Lopes, 
Sandra Pereira Mendes, Sebastiana Gonçalves 
Ferreira Viscardi, Silvana Alves Muniz.
Língua Estrangeira Moderna (Inglês): Célia 
Regina Teixeira da Costa, Cleide Antunes Silva, 
Ednéa Boso, Edney Couto de Souza, Elana 
Simone Schiavo Caramano, Eliane Graciela 
dos Santos Santana, Elisabeth Pacheco Lomba 
Kozokoski, Fabiola Maciel Saldão, Isabel Cristina 
dos Santos Dias, Juliana Munhoz dos Santos, 
Kátia Vitorian Gellers, Lídia Maria Batista 
Bom m, Lindomar Alves de Oliveira, Lúcia 
Aparecida Arantes, Mauro Celso de Souza, 
Neusa A. Abrunhosa Tápias, Patrícia Helena 
Passos, Renata Motta Chicoli Belchior, Renato 
José de Souza, Sandra Regina Teixeira Batista de 
Campos e Silmara Santade Masiero.
Língua Portuguesa: Andrea Righeto, Edilene 
Bachega R. Viveiros, Eliane Cristina Gonçalves 
Ramos, Graciana B. Ignacio Cunha, Letícia M. 
de Barros L. Viviani, Luciana de Paula Diniz, 
Márcia Regina Xavier Gardenal, Maria Cristina 
Cunha Riondet Costa, Maria José de Miranda 
Nascimento, Maria Márcia Zamprônio Pedroso, 
Patrícia Fernanda Morande Roveri, Ronaldo Cesar 
Alexandre Formici, Selma Rodrigues e 
Sílvia Regina Peres.
Área de Matemática 
Matemática: Carlos Alexandre Emídio, Clóvis 
Antonio de Lima, Delizabeth Evanir Malavazzi, 
Edinei Pereira de Sousa, Eduardo Granado Garcia, 
Evaristo Glória, Everaldo José Machado de Lima, 
Fabio Augusto Trevisan, Inês Chiarelli Dias, Ivan 
Castilho, José Maria Sales Júnior, Luciana Moraes 
Funada, Luciana Vanessa de Almeida Buranello, 
Mário José Pagotto, Paula Pereira Guanais, Regina 
Helena de Oliveira Rodrigues, Robson Rossi, 
Rodrigo Soares de Sá, Rosana Jorge Monteiro, 
Rosângela Teodoro Gonçalves, Roseli Soares 
Jacomini, Silvia Ignês Peruquetti Bortolatto e Zilda 
Meira de Aguiar Gomes. 
Área de Ciências da Natureza 
Biologia: Aureli Martins Sartori de Toledo, Evandro 
Rodrigues Vargas Silvério, Fernanda Rezende 
Pedroza, Regiani Braguim Chioderoli e Rosimara 
Santana da Silva Alves.
Ciências: Davi Andrade Pacheco, Franklin Julio 
de Melo, Liamara P. Rocha da Silva, Marceline 
de Lima, Paulo Garcez Fernandes, Paulo Roberto 
Orlandi Valdastri, Rosimeire da Cunha e Wilson 
Luís Prati. 
Física: Ana Claudia Cossini Martins, Ana Paula 
Vieira Costa, André Henrique Ghel Ru no, 
Cristiane Gislene Bezerra, Fabiana Hernandes 
M. Garcia, Leandro dos Reis Marques, Marcio 
Bortoletto Fessel, Marta Ferreira Mafra, Rafael 
Plana Simões e Rui Buosi. 
Química: Armenak Bolean, Cátia Lunardi, Cirila 
Tacconi, Daniel B. Nascimento, Elizandra C. S. 
Lopes, Gerson N. Silva, Idma A. C. Ferreira, Laura 
C. A. Xavier, Marcos Antônio Gimenes, Massuko 
S. Warigoda, Roza K. Morikawa, Sílvia H. M. 
Fernandes, Valdir P. Berti e Willian G. Jesus. 
Área de Ciências Humanas 
Filosofia: Álex Roberto Genelhu Soares, Anderson 
Gomes de Paiva, Anderson Luiz Pereira, Claudio 
Nitsch Medeiros e José Aparecido Vidal.
Geografia: Ana Helena Veneziani Vitor, Célio 
Batista da Silva, Edison Luiz Barbosa de Souza, 
Edivaldo Bezerra Viana, Elizete Buranello Perez, 
Márcio Luiz Verni, Milton Paulo dos Santos, 
Mônica Estevan, Regina Célia Batista, Rita de 
Cássia Araujo, Rosinei Aparecida Ribeiro Libório, 
Sandra Raquel Scassola Dias, Selma Marli Trivellato 
e Sonia Maria M. Romano.
História: Aparecida de Fátima dos Santos 
Pereira, Carla Flaitt Valentini, Claudia Elisabete 
Silva, Cristiane Gonçalves de Campos, Cristina 
de Lima Cardoso Leme, Ellen Claudia Cardoso 
Doretto, Ester Galesi Gryga, Karin Sant’Ana 
Kossling, Marcia Aparecida Ferrari Salgado de 
Barros, Mercia Albertina de Lima Camargo, 
Priscila Lourenço, Rogerio Sicchieri, Sandra Maria 
Fodra e Walter Garcia de Carvalho Vilas Boas. 
Sociologia: Anselmo Luis Fernandes Gonçalves, 
Celso Francisco do Ó, Lucila Conceição Pereira e 
Tânia Fetchir.
Apoio:
Fundação para o Desenvolvimento da Educação 
- FDE
CTP, Impressão e acabamento
Plural Indústria Grá ca Ltda.
A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo autoriza a reprodução do conteúdo do material de sua titularidade pelas demais secretarias de educação do país, desde que mantida a integri-
dade da obra e dos créditos, ressaltando que direitos autorais protegidos*deverão ser diretamente negociados com seus próprios titulares, sob pena de infração aos artigos da Lei no 9.610/98.
* Constituem “direitos autorais protegidos” todas e quaisquer obras de terceiros reproduzidas no material da SEE-SP que não estejam em domínio público nos termos do artigo 41 da Lei de 
Direitos Autorais.
* Nos Cadernos do Programa São Paulo faz escola são indicados sites para o aprofundamento de conhecimentos, como fonte de consulta dos conteúdos apresentados e como referências bibliográficas. 
Todos esses endereços eletrônicos foram checados. No entanto, como a internet é um meio dinâmico e sujeito a mudanças, a Secretaria da Educação do Estado de São Paulo não garante que os sites 
indicados permaneçam acessíveis ou inalterados.
* Os mapas reproduzidos no material são de autoria de terceiros e mantêm as características dos originais, no que diz respeito à grafia adotada e à inclusão e composição dos elementos cartográficos 
(escala, legenda e rosa dos ventos).
Ciências Humanas 
Coordenador de área: Paulo Miceli. 
Filosofia: Paulo Miceli,Luiza Christov, Adilton Luís 
Martins e Renê José Trentin Silveira. 
Geografia: Angela Corrêa da Silva, Jaime Tadeu Oliva, 
Raul Borges Guimarães, Regina Araujo e Sérgio Adas.
História: Paulo Miceli, Diego López Silva, 
Glaydson José da Silva, Mônica Lungov Bugelli e 
Raquel dos Santos Funari.
Sociologia: Heloisa Helena Teixeira de Souza Martins, 
Marcelo Santos Masset Lacombe, Melissa de Mattos 
Pimenta e Stella Christina Schrijnemaekers.
Ciências da Natureza 
Coordenador de área: Luis Carlos de Menezes. 
Biologia: Ghisleine Trigo Silveira, Fabíola Bovo 
Mendonça, Felipe Bandoni de Oliveira, Lucilene 
Aparecida Esperante Limp, Maria Augusta 
Querubim Rodrigues Pereira, Olga Aguilar Santana, 
Paulo Roberto da Cunha, Rodrigo Venturoso 
Mendes da Silveira e Solange Soares de Camargo.
Ciências: Ghisleine Trigo Silveira, Cristina Leite, 
João Carlos Miguel Tomaz Micheletti Neto, 
Julio Cézar Foschini Lisbôa, Lucilene Aparecida 
Esperante Limp, Maíra Batistoni e Silva, Maria 
Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Paulo 
Rogério Miranda Correia, Renata Alves Ribeiro, 
Ricardo Rechi Aguiar, Rosana dos Santos Jordão, 
Simone Jaconetti Ydi e Yassuko Hosoume.
Física: Luis Carlos de Menezes, Estevam Rouxinol, 
Guilherme Brockington, Ivã Gurgel, Luís Paulo 
de Carvalho Piassi, Marcelo de Carvalho Bonetti, 
Maurício Pietrocola Pinto de Oliveira, Maxwell 
Roger da Puri cação Siqueira, Sonia Salem e 
Yassuko Hosoume. 
Química: Maria Eunice Ribeiro Marcondes, Denilse 
Morais Zambom, Fabio Luiz de Souza, Hebe 
Ribeiro da Cruz Peixoto, Isis Valença de Sousa 
Santos, Luciane Hiromi Akahoshi, Maria Fernanda 
Penteado Lamas e Yvone Mussa Esperidião.
Caderno do Gestor 
Lino de Macedo, Maria Eliza Fini e Zuleika de 
Felice Murrie.
GESTÃO DO PROCESSO DE PRODUÇÃO 
EDITORIAL 2014-2017
FUNDAÇÃO CARLOS ALBERTO VANZOLINI
Presidente da Diretoria Executiva 
Antonio Rafael Namur Muscat
Vice-presidente da Diretoria Executiva 
Alberto Wunderler Ramos
GESTÃO DE TECNOLOGIAS APLICADAS 
À EDUCAÇÃO
Direção da Área 
Guilherme Ary Plonski
Coordenação Executiva do Projeto 
Angela Sprenger e Beatriz Scavazza
Gestão Editorial 
Denise Blanes
Equipe de Produção
Editorial: Amarilis L. Maciel, Angélica dos Santos 
Angelo, Bóris Fatigati da Silva, Bruno Reis, Carina 
Carvalho, Carla Fernanda Nascimento, Carolina 
H. Mestriner, Carolina Pedro Soares, Cíntia Leitão, 
Eloiza Lopes, Érika Domingues do Nascimento, 
Flávia Medeiros, Gisele Manoel, Jean Xavier, 
Karinna Alessandra Carvalho Taddeo, Leandro 
Calbente Câmara, Leslie Sandes, Mainã Greeb 
Vicente, Marina Murphy, Michelangelo Russo, 
Natália S. Moreira, Olivia Frade Zambone, Paula 
Felix Palma, Priscila Risso, Regiane Monteiro 
Pimentel Barboza, Rodolfo Marinho, Stella 
Assumpção Mendes Mesquita, Tatiana F. Souza e 
Tiago Jonas de Almeida.
Direitos autorais e iconografia: Beatriz Fonseca 
Micsik, Érica Marques, José Carlos Augusto, Juliana 
Prado da Silva, Marcus Ecclissi, Maria Aparecida 
Acunzo Forli, Maria Magalhães de Alencastro e 
Vanessa Leite Rios.
Edição e Produção editorial: R2 Editorial, Jairo Souza 
Design Grá co e Occy Design projeto grá co .
CONCEPÇÃO DO PROGRAMA E ELABORAÇÃO DOS 
CONTEÚDOS ORIGINAIS
COORDENAÇÃO DO DESENVOLVIMENTO 
DOS CONTEÚDOS PROGRAMÁTICOS DOS 
CADERNOS DOS PROFESSORES E DOS 
CADERNOS DOS ALUNOS 
Ghisleine Trigo Silveira
CONCEPÇÃO 
Guiomar Namo de Mello, Lino de Macedo, 
Luis Carlos de Menezes, Maria Inês Fini 
coordenadora e Ruy Berger em memória .
AUTORES
Linguagens 
Coordenador de área: Alice Vieira. 
Arte: Gisa Picosque, Mirian Celeste Martins, 
Geraldo de Oliveira Suzigan, Jéssica Mami 
Makino e Sayonara Pereira.
Educação Física: Adalberto dos Santos Souza, 
Carla de Meira Leite, Jocimar Daolio, Luciana 
Venâncio, Luiz Sanches Neto, Mauro Betti, 
Renata Elsa Stark e Sérgio Roberto Silveira.
LEM – Inglês: Adriana Ranelli Weigel Borges, 
Alzira da Silva Shimoura, Lívia de Araújo Donnini 
Rodrigues, Priscila Mayumi Hayama e Sueli Salles 
Fidalgo.
LEM – Espanhol: Ana Maria López Ramírez, Isabel 
Gretel María Eres Fernández, Ivan Rodrigues 
Martin, Margareth dos Santos e Neide T. Maia 
González.
Língua Portuguesa: Alice Vieira, Débora Mallet 
Pezarim de Angelo, Eliane Aparecida de Aguiar, 
José Luís Marques López Landeira e João 
Henrique Nogueira Mateos.
Matemática 
Coordenador de área: Nílson José Machado. 
Matemática: Nílson José Machado, Carlos 
Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz 
Pastore Mello, Roberto Perides Moisés, Rogério 
Ferreira da Fonseca, Ruy César Pietropaolo e 
Walter Spinelli.